Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

Тема не вражає своєю новизною. Адже теорема Піфагора прийшла до нас через віки. Вона має надзвичайно широке застосування, незважаючи на той факт, що стосується лише прямокутного трикутника і є частинним випадком теореми косинусів. А тому, на мою думку, теорема Піфагора не втратила актуальності і сьогодні.

Робота чітко структурована за пунктами плану. В роботі вважаю за доцільне розглянути теорему, обернену до теореми Піфагора. Навожу кілька її формулювань і ряд способів її доведення, серед яких одне з провокацією

Підбірка запропонованих способів доведення буде зрозумілою для більшості учнів.

Вивчення різних доведень одніє і тієїж теореми сприяє до свідомого та більш глибокого сприйняття вивченого впродовж курсу геометрії, розвитку логічного мислення та формуванню загальної математичної культури.

ПІФАГОР САМОСЬКИЙ - УЧЕНИЙ, ФІЛОСОФ, ГРОМАДСЬКИЙ ДІЯЧ.

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія-група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сім'ї золотих справ майстера Мнесарха народився син. За давньою традицією Парфеніса, мати немовляти, приймає ім'я Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери.

Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Як і будь-який батько, Мнесарх мріяв, що син буде продовжувати його справу - ремесло золотих справ майстера. Життя вирішило інакше.

Майбутній математик та філософ вже в дитинстві вявив велику здатність до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для покращення пам'яті Гермодамас примушував його вивчати пісні з “Одіссеї” та “Іліади”. Перший вчитель навчив Піфагора любити природу та вивчати її таємниці.

Пройшло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити навчання в Єгипті, у жреців. Потрапити до Єгипту у той час було дуже важко, тому що країну практично закрили для греків. За допомогою вчителя Піфагору вдається залишити острів Самос. Але поки що до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом - другом Фалеса. У Ферекіда Піфагор навчається астрології, таємницям чисел, медицині та іншим обов'язковим на той час наукам. Піфагор прожив на Лесбосі кілька років. Звідти шлях Піфагора лежить у Мілет - до відомого Фалеса, засновника першої в історії філософської школи.

Піфагор уважно слухає в Мілеті лекції Фалеса, якому на той час було вже 80 років, та його учня Анаксімандра, відомого географа й астронома. Багатьма важливими знаннями оволодів Піфагор за час свого навчання в Мілетській школі. Але Фалес теж радить йому поїхати до Єгипту, щоб продовжити навчання. І Піфагор відправляєтья у дорогу.

Перед Єгиптом він на деякий час зупиняється у Фінікії, де, за легендою, навчається у відомих сідонських жреців. Поки він живе в Фінікії, його друзі добилися того, щоб Полікрат - власник Самоса, не лише вибачає втікача, але навіть посилає йому рекомендаційного листа для Амазіса - фараона Єгипту. В Єгипті завдяки допомозі Амазіса Піфагор знайомиться з мемфійськими жрецями. Йому вдається потрапити в єгипетські храми, куди чужоземців не пускали. Щоб прилучитися до таємниць єгипетських храмів, Піфагор приймає посвячення в сан жреця.

Навчання Піфагора в Єгипті сприяє тому, що він стає одним із найбільш освічених людей свого часу. До цього періоду відноситься подія, яка змінила все його майбутнє життя. Помер фараон Амазіс, а його наступник по трону не сплатив щорічну данину Камбізу, персидському царю, що служило достатнім приводом для війни. Перси не помилували навіть священні храми. Піддалися гонінням і жреці: їх вбивали або брали в полон. Так потрапив у персидський полон і Піфагор.

Згідно старовинним легендам, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався з персидськими магами, прилучився до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, які збиралися східними народами протягом багатьох віків: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою. Ці науки у халдеїв у значній мірі спиралися на уявлення про магічні та надприродні сили, вони надали певне містичне звучання філософії та математиці Піфагора...

Дванадцять років знаходився у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, прочувший про відомого грека. Піфагору вже 60, він вирішує повернутися батьківщину, щоб прилучити до набутих знань свій народ.

З того часу як Піфагор залишив Грецію, там відбулися значні зміни. Кращі уми, рятуючись від персидського іга, перебралися в Південну Італію, яку тоді називали Великою Грецією, і заснували там міста - колонії: Сіракузи, Агрігент, Кротон. Тут і вирішує Піфагор створити власну філософську школу. Це був одночасно і релігійний союз, і політичний клуб, і наукове товариство. Учні цієї школи зобов'язувались вести так званий піфагорійській спосіб життя.

Досить швидко він здобуває велику популярність серед населення. Ентузіазм населення настільки великий, що навіть дівчата та жінки порушували закон, заборонявший їм знаходитися на зборах. Одна з таких порушниць, дівчина на ім'я Теано, незабаром стає дружиною Піфагора.

Досконало володіючи методами єгипетських жреців, Піфагор “очищував душі своїх слухачів, виганяв вади з серця та наповнював уми світлою правдою”. В Золотих віршах Піфагор показав ті моральні правила, суворе виконання яких приводить душі тих, хто помилився, до ідеалу. Ось кілька з них:

Роби лиш то, що в майбутньому не засмутить тебе.

Не роби ніколи того, що не знаєш. Але вчись усьму, що потрібно знати, і тоді будеш вести спокійне життя.

Не зневажай здоров'ям свого тіла. Давай йому вчасно їжу і пиття, і вправи в яких воно потребує.

Привчайся жити просто.

Не зачиняй очей, коли хочеш спати, не розглянувши усіх своїх вчинків у минулий день.

Не порушуй справедливість.

Не сідай на подушку (тобто не заспокоюйся на досягнутому).

Не гризи свого серця (тобто не піддавайся меланхолії).

Не поправляй вогню мечем (тобто не дратуй тих, хто і без того в гніві).

Не приймай під свій дах балакунів і легковажних людей.

На перстні Піфагора було викарбувано такий девіз: “Тимчасова невдача краща тимчасової удачі”.

З часом Піфагор закінчує промови в храмах та на вулиці, а навчає вже у себе вдома. Система освіти була важкою, багаторічною. Бажаючі прилучитися до знання повинні були пройти випробувальний термін від трьох до п'яти років. Весь цей час учні були зобов'язані зберігати мовчання і лише слухати Вчителя, не задаючи жодних питань. У цей період перевірялися їхня терплячість та скромність.

Піфагор навчав медицині, принципам політичної діяльності, астрономії, математиці, музиці, етиці та багато іншому. З його школи вийшли відомі політичні та державні діячі, історики, математики та астрономи. Це був не лише вчитель, але й дослідник. Дослідниками ставали і його учні. Піфагор розвивав теорію музики й акустики, створив відому “піфагорійську гамму” і провівши основоположні експерименти по вивченню музичних тонів: знайдені відношення він виразив на мові математики. У школі Піфагора вперше був виказаний здогад щодо кульоподібності Землі. Здогадка про те що рух небесних тіл підлягає певним математичним відношенням, ідеї “гармоніїї світу” та “музики сфер”, в майбутньому призвели до революції у астрономії, вперше з'явились саме в колі Піфагора.

Піфагорійці створили першу математичну теорію музики. У якості символа піфагорійці вибрали п'ятипалу зірку, хоч сам Піфагор казав, що з усіх фігур найкраще - коло, а з тіл - куля. У той же час серед геометричних теорем піфагорійців немає теореми про коло. Вони займалися в основному багатокутниками. Наприклад, вони вміли будувати багатокутник, подібний одному з двох заданих багатокутників і одночасно рівний іншому.

Багато зробив вчений і для геометрії. Доведена Піфагором знаменита теорема носить його ім'я. Достатньо грунтовно дослідив Піфагор і математичні відношення, закладаючи тим самим основи теорії пропорцій.

Піфагорійці вважали, що всі тіла складаються з найменших частинок - “одиниць буття”, які в різних сполученнях відповідають різним геометрчним фігурам. Число для Піфагора було і матерією, і формою всього світу. З цього уявлення виходила і основна теза піфагорійців: “Усі речі - сутність числа Піфагор з його наслідувачами своїми працями заклали основу однієї дуже важливої області математики - теорії чисел.

Не чужою була піфагорійцям геометрична інтерпретація чисел. Вони вважали, що точка має два виміри, лінія - два, площина - три, об'єм - чотири виміри

Числам надавали містичних властивостей. Одні числа приносять добро, другі - зло, треті - успіх і т.д. Піфагор вважав, що душа - теж число, вона безсмертна і передається від однієї людини до іншої. Числова містика Піфагора та його учнів нанесла великої шкоди розвитку математики. Сучасна церква визнає числову містику. Так, у Біблії число 666 є число звіру, 12 несе щастя, 13 - нещастя.

Піфагорійці уявляли числа як сукупності точок, що утворюють геометричні конфігурації -- на зразок малюнка з камінців на землі. Числа-камінці розкладалися як правильні геометричні фігури, ці фігури класифікувалися. Так виникли числа, які називають сьогодні фігурними. Трикутні числа: З, 6, 10, 15, 21,...; квадратні: 4, 9, 16, 25, 36,... На малюнках зображено трикутні числа

1, 1 + 2 = 3; 1 + 2+3 = 6, а також квадратні числа

Рис. 46

1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Загальна формула трикутних чисел

І+2 + З+...+n =

Загальна формула квадратних чисел: 1+ 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2.

Рис. 47

П'ятикутні числа: 5,12,22.

Формула п'ятикутних чисел:

1 + 4 + 7+...+(Зn-2) = .

Вивчаючи властивості чисел, піфагорійці першими звернули увагу на закони їх подільності. Вони розбили всі числа на парні -- «чоловічі», і непарні -- «жіночі», і, що дуже важливо, на прості і складені. Піфагорійці називали складені числа, які можна подати у вигляді добутку двох множників, -- «плоскими числами», а ті, які можна подати у вигляді добутку трьох множників, -- «тілесними числами». Прості числа, які не можна подати у вигляді добутків, вони називали лінійними. Піфагорійці займалися пошуком досконалих чисел, тобто таких, які дорівнюють сумі своїх дільників (крім самого числа), як, наприклад, 6 = 1 + 2+3 або 28 = 1+2+4+7 + 14.

Два числа, які мають ту властивість, що сума дільників кожного з них дорівнює іншому, називалися «дружніми».

Ранні піфагорійці пов'язували з цілими числами і різні містичні спекуляції: тіло виражалося числом 210, вогонь -- числом 11, повітря -- 13, вода -- 9. Якість і колір є цифра 5, творча здатність життя -- 6, 7 символізувало життєвий принцип, здоров'я, цикли, біоритми, 8 (октава) -- любов і дружбу. Всесвіт відповідав числу 10, а число 10 являло собою досконалість -- тетраксис (1+2 + 3+4). Тетраксис був задуманий як число «суть джерело і вічний корінь мінливої природи». Виходячи з чудових властивостей декади, піфагорійці вважали, що небесних сфер має бути 10, а оскільки їх нараховували лише 9 (сфери неба, Сонця, Місяця, Меркурія, Землі, Венери, Марса, Юпітера і Сатурна), то придумали нову планету -- Протиземілля, що оберталася по десятій сфері.

Число 36 справило сильне враження на піфагорійців своїми властивостями: з одного боку, воно є сумою кубів трьох перших чисел натурального ряду (І3 +23 +З3), а з іншого боку -- сумою перших чотирьох парних і перших чотирьох непарних чисел (2+4+6+8)+(1+3+5+7) = 36.

Увесь світ, на думку піфагорійців, був побудований на перших чотирьох непарних і перших чотирьох парних числах, а тому найстрашнішою клятвою в них вважалася клятва числом 36.

Один раз у Піфагора запитали про те, скільки в нього учнів, на що мудрець відповів: «Половина моїх учнів вивчає прекрасну математику, четверта -- музику, сьома частина мовчить і, крім того, є ще три жінки».

Задача розв'язується, наприклад, за допомогою рівняння:

х + х + х + 3 =х, де х - кількість учнів Піфагора.

Відповідь. 28.

Насправді в цій задачі кількість учнів дуже зменшена. У життєпису Піфагора вказується 235 членів піфагорійського союзу.

Школа Піфагора - це організація зі строго обмеженим числом учнів з аристократії, і потрапити туди було непросто. Претендент мав витримати кілька іспитів. За твердженням деяких істориків, одним із таких іспитів була п'ятирічна обітниця мовчати, і весь цей час учні могли слухати голос учителя через завісу, а побачити його могли лише тоді, коли «їхні душі будуть очищені музикою і таємницею гармонії чисел». Іншим законом організації було збереження таємниці вчення, недотримання цього правила строго каралося -- аж до смерті. Цей закон мав негативне значення, оскільки перешкодив вченню стати складовою частиною культури.

Навчання в школі Піфагора було двоступінчатим. Одні учні називалися «математиками», тобто пізнавачами, а інші -- «акусматиками», тобто слухачами. Математики -- ті, хто вивчав усю суть науки повніше і докладніше, акусматики -- ті, хто тільки слухав узагальнений звіт знань без докладного викладу. Акусматики слухали вчителя мовчки, вивчаючи лише загальні положення, без їх логічного і критичного осмислення. Бачити вчителя акусматикам не дозволялося. Найбільш обдаровані акусматики переводилися в математики, на другу ступінь навчання. Математикам докладно викладалося ретельно розроблене вчення, їм дозволялося бачити вчителя і навіть вести з ним наукові суперечки. Найбільш талановиті з математиків, зокрема Гіппас Месопотамський, Філолай із Кротона, Архіт з Тарента в 5 і 4 ст. до н.е. продовжили вчення Піфагора.

2. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

Геометрія володіє двома скарбами:

один із них - це теорема Піфагора,

а другий - поділ відрізка в

середньому і крайньому відношенні...

Перший можна порівняти з мірою

золота, а другий більше нагадує

коштовний камінь.

Йоганн Кеплер,

німецький астроном і математик

Теоремма Піфагомра -- одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

Теорема звучить наступним чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Класичне формулювання теореми Піфагора:

Якщо сторони прямокутного трикутника є сторонами квадратів, то площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Рис. 47

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

2.1. Історія теореми Піфагора.

У Франції і деяких областях Німеччини в середні віки теорему Піфагора називали «ослиним мостом», тому що доведення цієї теореми було величезною перешкодою, так званим мостом, перейти який могли тільки розумні учні. У математиків арабського Сходу ця теорема одержала назву «теореми нареченої». Справа в тому, що в деяких списках «Начал» Евкліда ця теорема називалася «теоремою німфи» за подібність креслення з метеликом, що грецькою звався німфою. Але цим словом греки називали деяких богинь, а також наречених. При перекладі арабський перекладач, не звернувши уваги на креслення, перевів слово «німфа» як «наречена», а не «метелик». Так з'явилася назва «теорема нареченої». А відома всім школярам назва «Піфагорові штани» виникла через схожість креслення до Евклідового доведення теореми Піфагора зі штанами.

Піфагор багато подорожував, його ім'я було оточене багатьма легендами, тому тепер важко визначити, що зробив він сам, а що запозичив у інших. Залежність між сторонами прямокутного трикутника була відома ще за 1000 років до Піфагора в Давніх Вавилоні та Єгипті. Піфагору, очевидно, належить доведення цієї теореми і широке застосування її під час розв'язування задач.

Рис. 48

Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута чинили так. Мотузок ділили вузлами на 12 рівних частин і кінці зв'язували. Потім мотузок натягували на землі так, щоб утворився трикутник із сторонами 3, 4 і 5 поділок. Звідси і походить назва давніх землемірів - „гарпедонапти” -натягувачі мотузок.

Кут трикутника, протилежний стороні, яка має 5 поділок, був прямий (З2 +42 =52). Тому прямокутний трикутник із сторонами 3, 4, 5 одиниць називають єгипетським або піфагоровим.

Теорема Піфагора чудова тим, що вона зовсім не очевидна. Із простого споглядання прямокутного трикутника не зробиш висновок, що між його сторонами є таке просте співвідношення: с2 = а2 +Ь2.

Але це співвідношення стає очевидним, якщо вдало побудувати малюнок. У математичних трактатах давньої Індії часто наводили тільки рисунок, супроводжуючи його лише одним словом: «Дивись!»

Рис. 49

Візуальне доведення для трикутника зі сторонами 3, 4, 5 з книги «Чу Пей» 500-200 до н.е.

Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа, знання про відношення сторін в прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутів та доведення теореми.

Мегалітичні споруди близько 2500 до н.е. в Єгипті та Північній Європі, містять прямокутні трикутники із сторонами з цілих чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа були знайдені алгебраїчно.

Написаний між 2000 та 1876 до н.е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619 містить задачу розв'язком якої є числа Піфагора.

Під час правління Хаммурапі Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написана між 1790 і 1750 до н.е містить багато записів тісно пов'язаних з числами Піфагора.

В сутрах Будхаяни, які датуються за різними версіями 8-им чи 2-им століттями до н.е. в Індії, містить Піфагорові числа виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричне доведення для рівнобедренного прямокутного трикутника.

В сутрах Апастамби (близько 600 до н.е.) міститься числове доведення теореми Піфагора з використанням обчислення площі. Ван дер Варден вважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальне доведення теореми і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.

Піфагор, роки життя якого зазвичай вказують 569 -- 475 до н.е. використовує алгебраїчні методи розрахунку Піфагорових чисел, згідно з Прокловими коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 і 485 роками н.е. Згідно з Томасом Гізом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак, коли такі автори як Плутарх або Ціцерон приписують теорему Піфагору, вони роблять це так, наче авторство широко відоме і безсумнівне.

Близько 400 до н. е. згідно Прокла, Платон дав метод розрахунку Піфагорових чисел, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н.е., в Началах Евкліда маємо найдавніше аксіоматичне доведення, яке збереглося до наших днів.

Написані десь між 500 до н.е. і 200 до н.е., китайська математична книга «Чу Пей», дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу, для трикутника із сторонами 3, 4, 5. Під час правління династії Хань, з 202 до н.е. до 220 н.е. числа Піфагора з'являються в книзі «Дев'ять розділів математичного мистецтва» разом із згадкою про прямокутні трикутники.

Вперше зафіксоване використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема Гугу та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.

Багато дискутується чи була теорема Піфагора відкрита один раз чи багато разів. Бойер (1991) вважає, що знання виявлені в Шульба Сутрах можуть бути месопотамського походження.

З ім'ям Піфагора насамперед асоціюється відома теорема. Її окремі випадки були відомі ще до нього в Китаї, Вавилоні, Єгипті. Одні вчені вважають, що Піфагор першим дав повноцінне доведення цієї теореми, інші ж відмовляють йому й у цьому. Відкриття теореми Піфагора оточено ореолом красивих легенд. Розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика, у деяких легендах один бик перетворився на цілу сотню. Хочу продекламувати сонет Шалиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвопринашенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Згодом у Греції була випущена поштова марка з нагоди перейменування острова Самос в острів Піфагорейон. На марці надпис: «Теорема Піфагора.Эллас. 350 драхм». Ця красива марка майже єдина серед багатьох тисяч існуючих, на яких зображено математичний факт.

2.2. Різні формулювання теореми.

Наведемо різні формулювання теореми Піфагора в перекладі з грецької, латинської і німецької мов.

У Евкліда ця теорема звучить так (дослівний переклад на російську мову):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский переклад арабського тексту Аннаіриці (близько 900 р. до н. е.), зроблений Герхардом Клемонським (початок 12 ст.), в перекладі на російську звучить:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (близько 1400 р.) в перекладі теорема читається так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В першому російському перекладі евклідових "Начал", зробленим Ф.И. Петрушевским, теорема Піфагора викладена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В наш час достеменно невідомо, чи була ця теорема відкрита Піфагором. Проте одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Дехто приписує Піфагору доведення, яке Евклід наводить у першій книзі своїх "Начал". З іншого боку Прокл стверджує, що доведення в "Началах" належить самому Евкліду. Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних даних щодо життя Піфагора і його математичної діяльності. Однак важливість і значимість теореми, названої його імям, переоцінити неможливо.

3. ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА

Відомо, за різними даними, понад 100 або понад 300 доведень теореми Піфагора. Наведемо ряд із них.

1.Доведення Евкліда

Рис. 49

В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

8. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

9. Кути CAB і BAG -- прямі; відповідно точки C, A і G -- колінеарні. Так само B, A і H.

10. Кути CBD і FBA -- обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

11. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

12. Оскільки точки A, K і L -- колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)

13. Аналогічно міркуючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2

14. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

2. За подібністю трикутників

Рис. 50

Доведення (використання подібних трикутників).

Нехай ABC -- прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: якщо ВС= a, AC=b і AB=c, тоді

і .

Це можна записати у вигляді а2 = с •НВ і b2 = с •АН.

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо а2 +Ь2 = с •НВ+ с •АН= с •(НВ+АН) = с2.

Іншими словами, теорема Піфагора: а2 +Ь2 = с2.

3. Алгебраїчне доведення

Доведення

Рис. 51

Квадрати утворюються з чотирьох прямокутних трикутників.

Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

4. Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

5. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут -- .

6. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої -- сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрату.

Що й необхідно було довести.

4. Основні тригонометричні тотожності

Довести теорему Піфагора, використовуючи основну тригонометричну тотожність.

Дано: ААВС (С = 90°)

Довести: АВ2 = АС2 + ВС2.

Доведення

Рис. 52

У трикутнику АВС (С = 90°) АС та ВС - катети, АВ - гіпотенуза. Відомо, що:

sin В =, cos В = ,

звідки маємо: АС = АВ sin В, ВС = АВ cos В. В обох рівностях піднесемо обидві частини до квадрата, отримаємо:АС2 = АВ2 sіп2 В, ВС2 = АВ2 соs2 В.

Додамо почленно ці рівності:АС2 + ВС2 = АВ2 sіп2 В + АВ2 соs2 В,

АС2 + ВС2 = АВ2 (sіп2 В + соs2 В).

Використовуючи основну тригонометричну тотожність sіп2 а + соs2 а = 1, маємо:

АС2 +ВС2 = А В2, що і потрібно було довести.

5. Властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки

Довести теорему Піфагора, використовуючи властивість січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки.

Дано: ААОВ (B = 90°).

Довести: АО2= ОВ2+АВ2.

Доведення.

Будуємо коло з центром у точці О і радіусом ОВ. Воно перетне гіпотенузу АО в точці D.

Рис. 53

Оскільки АВОВ, де ОВ -- радіус, то це означає, що АВ -- дотична до кола. Пряма АО є січною і перетинає коло в точках D і С.

За властивістю січної та дотичної, проведених до кола з однієї точки, маємо:

АВ2=АD•АС.

Оскільки

АО=ОD+АD, АС = АО+ОС = АО+ОВ,

то

АD=АО-ОD =АО-ОВ.

Підставляємо знайдені вирази для АD та АС у формулу:

АВ2 =(АО-ОВ) (АО+ОВ),

АВ2 = АО2 -ОВ2,

АВ2 +ОВ2 = АО2,

що і потрібно було довести.

Доведення цікаве тим, що дає змогу побачити, як іноді допоміжні побудови допомагають отримати бажаний результат.

6. Площа трапеції

За даними на малюнку довести теорему Піфагора, а саме, що с2 = а2 +Ь2.

Доведення

На малюнку зображено прямокутну трапецію АВСD з основами СD= Ь та АВ = а; DА = а + Ь - висота трапеції.

За формулою площі трапеції маємо:

Рис. 54

SABCD = (CD+АВ)•АD = (а+ Ь)•(а + Ь) =(а + Ь)2.

З іншого боку, трапеція складається з прямокутних трикутників АВК, ВКС, СDК. Тому її площа дорівнює сумі площ цих трикутників, тобто

SABC =SABK +SBKC +SCDK.

Відомо, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів. Отже:

SABK = BA•AK = ab, SBKC = BK•KC = c2, SCDK = CD•DK == ab.

Тоді

SABCD =ab+ab+c2=ab +c2.

Прирівняємо праві частини рівностей:

(а+Ь)2 =аЬ+c2, (а2+2аЬ+Ь2) =аЬ+c2,

а2+аЬ+ Ь2- аЬ= c2, а2 + Ь2 = с2,

що й потрібно було довести.

7. Доведення теореми Піфагора з використанням формули для обчислення площі трикутника.

Дано: ААВС (C = 90°), СА = Ь, СВ = а, АВ = с.

Довести: с2=а2+Ь2.

Рис. 55

Доведення

Відомо, що SABC =ab.

Впишемо в трикутник АВС (C = 90°), коло з центром у точці О.

З іншого боку, SABC =pr,де р =(а+Ь+с) -- півпериметр трикутника АВС, r =(а+Ь-с) -- радіус вписаного в прямокутний трикутник кола.

З двох рівностей для площі трикутника АВС маємо:

ab =(а+Ь+с) • (а+Ь-с),

ab =((а+Ь)2 -c2),

2аЬ = а2+2аЬ + Ь2-с2,

с2 = а2 +Ь2,

що й потрібно було довести.

8. Відстань між точками на координатній площині

Довести теорему Піфагора методом координат.

Доведення

Нехай дано трикутник АВС (С = 90°). Доведемо, що АВ2=АС2+ВС2. Виберемо систему координат так, щоб вершина С збігалася з початком відліку, а катети лежали на осях.

Тоді точка С матиме координати (0; 0), точка В -- (х1; 0),

точка А -- (0; у1). Знайдемо квадрати відстаней між точками А, В, і С:

Рис. 56

АВ2=(x1-0)2+(0-y1)2=х+У,

АС2=(0-0)2+(0-y1)2= У, ВС2 =(0-х1)2 +(0-0)2 ==х,

звідки АВ2 = АС2 + ВС2, що і потрібно було довести.

9. Векторний метод

Довести теорему Піфагора векторним методом.

Доведення

Нехай дано трикутник АВС (С = 90°). Доведемо, що АВ2=СВ2 + АС2. На сторонах трикутника побудуємо вектори СВ, АС, АВ. Тоді, АВ = СВ + АС.

Рис. 57

А

СВ

Піднесемо обидві частини останньої рівності до квадрата:

(СВ+АС)2 = АВ2,

СВ +2СВ•АС+АС2 =АВ2.

За умовою СВАС, тому СВ• АС = 0, звідки СВ2 + АС2 =АВ2, що й потрібно було довести.

10. Геометричні доведення

Доведення

Нехай у прямокутному трикутнику катети дорівнюють а і Ь, а гіпотенуза с.

Рис. 58

Побудуємо два квадрати, сторони яких дорівнюють а + Ь.

Рис. 59

Очевидно, що площі цих квадратів рівні.

У першому квадраті виділимо квадрат, побудований на гіпотенузі (дістанемо квадрат і чотири рівні прямокутні трикутники).

У другому квадраті виділимо квадрати, побудовані на катетах (дістанемо два квадрати і чотири рівні прямокутні трикутники).

Виключаючи трикутники І -- IV, бачимо, що с2 = а2 +Ь2.

Тепер неважко бачити, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах цього трикутника.

11. Давньоіндійське доведення

Доведення

У книзі «Вінок знання» індійський математик Бхаскара наводить доведення теореми Піфагора у вигляді креслення з підписом «Дивись!» Як дістати з креслення Бхаскари доведення теореми Піфагора?

Рис. 60

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі с трикутника, дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата, довжина сторони якого а-Ь. Тобто

с2 =4•ab +(а-Ь)2 =2аЬ + а2-2аЬ + Ь2 =а2 +Ь2.

Отже, с2 = а2 + Ь2.

12. Давньокитайське доведення.

Доведення.

У коментарі до задачі з «Трактату про мірну віху» є посилання на креслення, де квадрат, побудований на сумі катетів а і Ь прямокутного трикутника, подано як суму площ інших фігур.

Рис. 61

а2 +Ь2 =4•ab +(а-Ь)2 = 4•ab + с2

Тому

а2 + 2аЬ + Ь2 = 2аЬ +с2,

с2 = а2 + Ь2.

13.Доведення теореми Піфагора з використанням формули для бісектриси

Доведення

Рис. 62

Рис. 63

Скористаємось формулою бісектриси: l = bc - b1c1. Маємо трикутник АВС (С = 90?). Проведемо вісьову симетрію відносно катета АС. Отримаємо рівнобедрений трикутник АВВ1 з бісектрисою АС = b. Маємо: АС2 = АВ•АВ1 - ВС•СВ1, або b2 = с•с - а • а, звідки с2 = а2 + b 2.

14.Доведення теореми Піфагора з використанням теореми про суму квадратів діагоналей

Доведення

Рис. 64

Доповнимо прямокутний трикутник АВС до прямокутника і скористаємось теоремою про суму квадратів діагоналей.

2(а2 + b 2) = 2с2, або а2 + b 2 = с2.

15. Доведення теореми Піфагора за теоремою Птолемея

Рис. 65

Доведення

Скористаємося теоремою Птолемея: а • а + b • b = с • с,

тобто а2 + b 2 = с2.

16. Доведення теореми за означенням косинуса

Рис. 66

Доведення

За означенням косинуса кута соs А = = .

Звідси АВ • АD = AC2.

Аналогічно соs B = = . Звідси АВ • ВD = ВC2.

Додавши рівності почленно і врахувавши, що АD + DВ = АВ, дістанемо: AC2 + ВC2 = АВ •(АD + DВ) = АВ2. Що й треба було довести.

17. Наочне ілюстрування теореми Піфагора -- зважування.

Доведення.

Якщо вирізати з картону три квадрати, сторони яких дорівнюють сторонам даного трикутника, і покласти два менших квадрати на одну шальку досить чутливих терезів, а на другу шальку -- третій, то терези будуть у рівновазі.

4. ТЕОРЕМА, ОБЕРНЕНА ДО ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА, ТА КІЛЬКА ЇЇ ДОВЕДЕНЬ.

Звичайно ця теорема не настільки популярна, як пряма теорема. Проте наведемо кілька її формулювань та доведень.

Теорема, обернена до теореми Піфагора:

Для будь-яких трьох додатніх чисел a, b і c, таких що aІ + bІ = cІ, існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

Або:

Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний.

Доведення оберненої теореми

Спосіб №1

Доведення

Рис. 67

Нехай у трикутнику АВС (рис. а) АС2 +ВС2 = А В2. Доведемо, що кут С прямий. Розглянемо прямокутний трикутник А1В1С1 з прямим кутом С1, А1С1 = АС, В1С1 = ВС (рис. б). За теоремою Піфагора А1В12 = А1С12 + В1С12, а з урахуванням рівностей двох сторін трикутників, що розглядаються, А1В12 = АС2 +ВС2 = А В2, тобто А1В1 = АВ. Тоді трикутники АВС та А1В1С1 рівні за трома сторонами, звідки С = С1 = 90?.

Спосіб №2

Доведення.

Застосуємо терему косинусів. В трикутнику АВС: с2 = а2 + b 2 - 2•аb•соsС.

Оскільки за умовою а2 + b 2 = с2, то 2•аb•соsС = 0, звідки соsС = 0, С = 90?.

Спосіб №3. Доведення

Рис. 68

Нехай в трикутнику АВС проведена висота hc =CH3.

Позначимо відрізки АH3 = m, ВH3 = n.

Доведемо, що якщо h = , то С = 90?. Дійсно, оскільки h2 = mn, то , а це означає, що прямокутні трикутники CH3А і CH3В подібні, тому

АСH3 = ВСH3 = , ВСH3 = САH3 = .

Отже, 2(+) = 180?, або + = 90?.

Перейдемо беспосередньо до доведення теореми. Маємо (АH3 = m, ВH3 = n) за умовою: с2 = а2 + b 2, або (m + n)2 = hc2 + n2 + hc2 + m2,

або n2 + m2 + 2 mn = n2 + m2 +2hc2.

Отже, mn = h2, а це означає, що трикутник АВС - прямокутний.

Спосіб №4

Доведення

Нехай S - площа трикутника АВС. Очевидно, що якщо S = ab, то С = 90?. За формулою Герона S2 = = = , тобто S = ab, а отже,С = 90?.

Спосіб №5

Доведення

Рис. 69

Добудуємо трикутник АВС до паралелограма АDВС (див. рис.).

Тоді АВ2+ СD2 = 2(АС2 + ВС2),

тобто с2 + СD2 = 2(а2 + b 2).

Оскільки за умовою а2 + b 2 = с2, то СD2 = с2. Тобто АDВС - Скористаємося теоремою Птолемея: а • а + b • b = с • с, тобто а2 + b 2 = с2.

Спосіб №6 (провокаційний)

Доведення

Рис. 70

Нехай Н - ортоцентр трикутника АВС.

Має місце формула: ОН2 = 9R2 - (а2 + b 2 + с2). (*)

Оскільки СН = 2R соsС (1*)

і СН2 = 4R2 - с2, = ОСН = ¦А - В¦, то з трикутника ОСН (див. рис.) за теоремою косинусів: ОН2 = ОС2 + СН2 - 2ОС•СН•соs. (1)

Порівняємо ліві частини виразів (*) і (1): 9R2 - (а2 + b 2 + с2) = ОС2 + СН2 - 2ОС•СН•соs. Враховуючи, що ОС = R і а2 + b 2 = с2, маємо:

8R2 - 2с2 = СН2 - 2R•СН•соs.

Оскільки СН2 = 4R2 - с2, то останній вираз набуває вигляд:

2СН2 = СН2 - 2R•СН•соs.

Порівнявши (**) з виразом(1*), отримаємо - 2R•соs = 2R•соs С.

Тоді - соs = соs С, звідкитобто трикутник у якого с2 = а2 + b2 не існує?!

Пропоную читачам знайти помилку.

Додаток 2

Бернуллі Иоганн (1667-1748 р.)Швейцарський математик. Був співробітником Лейбница в розробці диференціального й інтегрального обчислень, в області яких їм був зроблений ряд відкриттів. Дав перший систематичний виклад диференціального й інтегрального обчислень, просунув розробку методів рішення звичайних диференціальних рівнянь, поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів їхнє диференціальне рівняння.

Больцано Бернард (1781-1848 р.)Чеський математик, філософ, теолог. Першим (1817) висунув ідею арифметичної теорії дійсного числа. У його творах можна знайти ряд фундаментальних понять і теорем аналізу, зв'язуються звичайно з більше пізніми дослідженнями інших математиків. В “Парадоксах нескінченного” (изд.1851) Больцано з'явився попередником Кантора в дослідженні нескінченних безлічей.

Даламбер Жан Лерон (1717-1783 р.). Французький математик, механік філософ. Основні математичні дослідження ставляться до теорії звичайних диференціальних рівнянь. Дав (1748) метод рішення диференціального рівняння другого порядку із частками похідними, що виражає малі коливання нескінченної однорідної струни (хвильового рівняння), у вигляді суми двох довільних функцій. Йому належать також важливі результати в теорії звичайних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами й систем таких рівнянь першого й другого порядків. У теорії рядів його ім'я носить широко вживана достатня ознака збіжності. В алгебрі дав перше (не цілком строге) доказ основної теореми про існування кореня в алгебраїчного рівняння. Багато праці вклав в “Енциклопедію наук, мистецтв, ремесел”, для якої він написав всю фізико-математичну частину.

Декарт Рене (1596-1650 р.). Французький філософ, математик, фізик. Він є одним з основоположників аналітичної геометрії. У його головній математичній праці “Геометрія” (1637) уперше уведена поняття змінної величини, створений метод координат (декартовы координати), уведені загальноприйняті тепер значки для змінних величин (x,y,z,...) буквених коефіцієнтів (a,b,c,...), ступенів (x3, a5,...). Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь; сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних корінь (правило Декарта); порушив питання про границі дійсних корінь і висунув проблему приводимости (подання цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді добутку двох функцій такого ж роду); указав, що рівняння третього ступеня розв'язно у квадратних радикалах і його коріннях перебувають за допомогою циркуля й лінійки, коли воно приводимо.

Дирак Поль Адриен Моріс (1902-1984 р.). Англійський фізик-теоретик, один із засновників квантової механіки. Основні праці в математику по функціональному аналізі й математичній фізиці (рівняння Дирака, функція-дельта-функція Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелівська премія (1933).

Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 р.). Німецький математик. Основні праці по теорії чисел і математичному аналізу. Уперше точно сформулював і досліджував поняття умовної збіжності ряду (так звана ознака Дирихле), дав (1829) строгий доказ можливості розкладання в ряд Фур'є функцій, що має кінцеве число максимумів і мінімумів.

Лейбниц Готфрид Вільгельм (1646-1716 р.). Німецький математик, фізик, філософ, винахідник, історик, мовознавець. У математику його найважливішою заслугою є розробка (поряд з Ньютоном) диференціального й інтегрального обчислення. Дав визначення диференціала й інтеграла, розробив правила диференціювання суми, різниці, добутку, частки будь-якого постійного ступеня, дав визначення екстремальних крапок і крапок перегину, установив взаємно зворотний характер основних операцій аналізу - диференціювання й інтегрування. Заклав основи теорії рядів і теорії диференціальних рівнянь. Їм запропоновані математичні символи й терміни, що ввійшли в загальне застосування - функція, диференціал, диференціальні рівняння, алгоритм, координати, алгебраїчні й трансцендентні криві, модель і ін. Винайшов рахункову машину й перший інтегруючий механізм, передбачив деякі ідеї матлогики, виклав початку теорії визначників.

Лобачевский Микола Іванович (1792-1856 р.). Російський математик. Творець (1826) неевклідової геометрії. Дав (1834) метод наближеного рішення алгебраїчних рівнянь вищих ступенів; вніс значний вклад у теорію визначників. В області аналізу Лейбниц одержав нові результати в теорії тригонометричних рядів. Їм же встановлений один з найбільш зручних методів наближеного рішення рівнянь (метод Лобачевского).

Ньютон Исаак (1643-1727 р.). Англійський фізик, математик, механік і астроном. Одночасно з Лейбницем, але незалежно від нього, розробив диференціальне й інтегральне обчислення. Створюючи математикові безперервних процесів, Ньютон в основу поняття флюксии (похідній) і флюенты (інтеграла). У роботі “Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченним числом членів” (1669, опубл.1711) даний метод обчислень і обчислень функцій - наближення нескінченними рядами, що мав згодом величезне значення для всього аналізу і його додатків. У цій же праці викладений метод чисельного рішення алгебраїчних (метод Ньютона). Найбільш повний виклад диференціального й інтегрального обчислення втримується в трактаті “Метод флюксий і нескінченних рядів” (1670-71, опубл.1736), у якому в механічних і математичних вираженнях сформульовані обидві взаємно зворотні завдання аналізу, застосований метод флюксий, до многим геометричних завдань, вирішені завдання інтегрування звичайних диференціальних рівнянь шляхом подання рішення у вигляді нескінченного статечного ряду, дана формула (біном Ньютона) для будь-якого дійсного показника.

Репетуємо Никола (ок.1323-1382 р.) Французький математик, фізик і економіст. Довів (ок.1350) расходимость гармонійного ряду. В 1368 р. виклав вчення про ступінь із дробовими показниками. Написаний ним “Трактат про сферу” зіграв значну роль у розробці французькій наукової (астрономічної й географічної) термінології.

Соболєв Сергій Львович (рід. в 1908 р.) Радянський математик. Основні праці по теорії рівнянь із частками похідними, математичній фізиці, функціональному аналізу й обчислювальній математиці. Запропонував новий метод рішення гіперболічних рівнянь із частками похідними, спільно зі Смирновим В.И. розробив метод інваріантних-функціонально-інваріантних рішень для динамічних коливань шаруватих середовищ. Їм почате систематичне застосування функціонального аналізу в теорії рівнянь із частками похідними. Їм же уведений клас функціональних просторів і досліджене співвідношення вкладення для просторів. Увів поняття узагальненого рішення рівняння із частками похідними й дав перше (1935) строге визначення узагальненої функції; за допомогою цих понять розглянув деякі крайові завдання для рівняння із частками похідними. В області обчислювальної математики Соболєв увів поняття обчислювальних алгоритмів, що замикаються, дав точну оцінку норм погрішності кубатурных формул.

Ферма Пьер (1601-1665 р.)Французький математик. Одержав важливі результати в теорії чисел, алгебрі, геометрії, теорії імовірності. Автор ряду видатних робіт. Ферма є одним із творців теорії чисел, з його ім'ям зв'язані велика й мала теореми Ферма. Разом з Декартом є основоположником аналітичної геометрії. В області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання статечної функції, що поширив на будь-які раціональні показники.

Фур'є Жан Батист Жозеф (1768-1830 р.) Французький математик. У праці “Аналітична теорія тепла” (1822р.) вивів диференціальне рівняння теплопровідності й розробив метод його інтегрування при різних

ділянках різними аналітичними вираженнями. Розвив запропонований Даламбером для рішення хвильового рівняння метод поділу (метод Фур'є) змінних для вивчення завдань про коливання струни й теплопровідності стрижня.

Эйлер Леонард (1707-1783 р.) Математик, фізик, механік, астроном. Народився у Швейцарії. Більше 30 років працював у Петербурзької АН. Список його праць містить близько 850 назв, у їхньому числі кілька багатотомних монографій по всіх основних розділах сучасної йому математиці і її додаткам. Заклав основи декількох математичних дисциплін. Перший систематично ввів у розгляд функції комплексного змінного, вивів (1743) формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовими. Эйлер створив, як самостійну дисципліну, теорію звичайних диференціальних рівнянь, і заклав основи теорії рівнянь із частками похідними. Його ім'я носять підстановки Эйлера (1768) при заміні змінних у спеціальних інтегралах, Эйлеровы інтеграли (1731), метод ламаних Эйлера (1768) у чисельному рішенні звичайного диференціального рівняння, Эйлеровы кути (1748) у перетворенні координат, функція й теорема Эйлера (1763) у теорії чисел, пряма Эйлера (1765) у трикутнику, теорема Эйлера для опуклого багатогранника (1758), Эйлерова характеристика різноманіття, завдання Эйлера про Кенигсбергські мости (1736).

Размещено на Allbest.ru