б) наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах находим (согласно теореме 11) из двойного неравенства:

70,8-0,2k070,8+0,8; 5,4k06,4, то есть k0= 6. Ответ. Р(А)=0,275; k0= 6.

Случайная величина ? величина, которая при каждом испытании принимает то или иное числовое значение (наперед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а возможные значения случайных величин ? малыми. Так, при бросании игрального кубика происходит событие, связанное с числом х, где х ? выпавшее число очков. Число очков ? случайная величина, а числа 1,2,3,4, 5,6 ? возможные значения этой величины. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, тоже случайная величина (зависит от установки прицела, силы и направления ветра, температуры и других факторов), а возможные значения этой величины принадлежат некоторому отрезку [а;b].

Дискретная случайная величина - случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число её возможных значений может быть конечным и бесконечным. Для данной случайной величины множество возможных значений счетно, благодаря чему можно описать её рядом распределения, т.е. набором вероятностей Р(Х= х), где х приобретает множество возможных значений.

Однако существуют (хотя бы в теоретическом плане) случайные величины, у которых множество значений не является счетным, более того, заполняет некоторый сплошной промежуток. Такие величины называются непрерывными, их невозможно описать рядом распределения и приходится для их описания использовать другие способы. Вместо вероятностей P(Х=x) приходится использовать вероятности Р(Х< х), где х есть произвольное число. Так возникает функция F(x) P(Х < x), определенная на множестве R всех чисел, а значение этой функции в точке х есть вероятность Р(Х < х). Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины Х, она полностью определяет Х, в частности, с ее помощью можно находить интересующие нас вероятности.

Случайная величина имеет несколько характеристик, одной из которых является закон распределения, полностью характеризующий её. Однако в ряде случаев, когда закон распределения неизвестен, можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины, и дисперсия, показывающая, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X(М(Х)) ? сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е.

М(Х) = х1р1 +х2р2+...+ xnpn=хipi .

Теорема. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной, т.е. М(С) = С.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

М(СХ) = СМ(Х).

Теорема. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

М(А1,А2,..,Ап) = М(А1) М(А2)... М(Аn).

Теорема. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

М(А1 + А2 + ... +Аn) = M(А1)+M(А2) + ... +M(Ап).

Дисперсия случайной величины X(D(X)) ? математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

D(X) = М[Х-М(Х)]2.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания, т.е.

D(X)=M(X2)-[M(X)]2.

Эту формулу обычно используют на практике для вычисления дисперсии. Здесь X2 ? случайная величина, возможные значения которой равны квадратам возможных значений величины X, а вероятности возможных значений X совпадают с соответствующими вероятностями значений X.

Теорема. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е. D(C) = 0.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.

D(CX)= С2D(X).

Теорема. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть

D(A1A2±...Аn) = D(A1)+D(A2) + ... +D(An).

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины Х((Х)) ? квадратный корень из дисперсии, т.е. (Х) = = Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Теорема. Пусть С ? постоянная величина, а Х ? произвольная дискретная случайная величина. Тогда: а) (С)=0; б) (СХ)=\С\(Х).

Глава 2. Методика работы над заданиями стохастического характера

Обучение математике в начальной школе призвано сформировать у младших школьников начальную математическую грамотность: знание начал курса арифметики, необходимые вычислительные навыки, умение проводить простейшие рассуждения в ходе решения текстовых задач, первичные навыки математической речи и письма. Начальная школа должна обеспечить подготовку учащихся к успешному изучению систематических курсов математики. Математика дает широчайшие возможности для формирования таких психологических характеристик личности, как подвижность и гибкость мышления: в ней существует целый ряд задач, направленных на поиски выхода из различных нестандартных ситуаций и затруднительных положений. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Рубин А.Г., Тонких А.П. Элементы стохастики в курсах математики факультетовподготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс минус до и после. 2005. №5.

Представление о связи случайного и необходимого, о статистических и динамических закономерностях является обязательным элементом общего образования современного человека. В профессиональной подготовке преподавателя математики большое значение приобретает воспитание у него высокого уровня стохастической культуры. По мнению Б. В. Гнеденко, сегодня в науке фундаментальное значение приобретает понятие случайного и уверенно пробивает себе дорогу идея отыскания оптимальных решений. Назрела необходимость введения в школьное преподавание концепции случайного, что вызвано не только требованиями научного и практического порядка, но и методологическими соображениями. Предусмотренная в настоящее время государственным образовательным стандартом специальности «Математика» структура стохастической подготовки преподавателя математики не позволяет в полной мере решить поставленную задачу формирования у него вероятностно-статистического мышления.

Вопросы о роли и месте стохастики в вузовском и школьном курсах математики, а также вопросы методики обучения теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистике, их мировоззренческого значения рассматривались в работах целого ряда математиков, педагогов, психологов и методистов: В. В. Афанасьева, Е. Е. Белокуровой, Л. О. Бычковой, К. Р. Велсксер, И. М. Гайсинской, Б. В. Гнеденко, А. Н. Коломогорова, В. Д. Маневич, В. Л. Матросова, А. Плоцки, В. Д. Селютина, А. И. Ширяева, И. М. Яглома и др.

Необходимость развития у школьников вероятностной интуиции и мышления становится насущной задачей обучения математике в школе. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, происходящие в окружающем мире, на реальный опыт школьника, способствует повышению математической грамотности в соответствии с мировыми стандартами.

Для адаптации традиционного содержания к целям новой содержательной линии «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» учителю рекомендуется использовать следующие средства: разнообразные задачи, способствующие формированию комбинаторного мышления; задания на сбор, систематизацию, наглядное представление и анализ данных, представленных в обозримых выборках; беседы педагогов с учащимися, во время которых фиксируется внимание на случайных явлениях в быту, в природе и технике.

Следуя выводам современных исследований, формирование статистической культуры, развитие вероятностной интуиции гораздо эффективнее начинать в раннем детстве, потому что у человека с возрастом формируется консервативное мышление, а значит, многие понятия теории вероятностей и математической статистики воспринимаются им иначе (некоторые из них порой вступают в противоречие с жизненным опытом). В связи с этим элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики должны войти в школьный курс математики начальных классов в виде одной из сквозных содержательно-методических линий, которая даст возможность учащимся накопить определенный запас представлений о статистическом характере окружающих явлений и их свойствах. Между тем детям в повседневной жизни обязательно понадобится умение читать и составлять расписания, таблицы, графики, собирать и обрабатывать информацию. Тонких А.П. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс минус до и после. 2003, №4.

Новые разделы школьного курса математики (элементы теории множеств и математической логики, начала комбинаторики и теории вероятностей, элементы математической статистики) в начальной школе могут вводиться пропедевтически, постепенно и, может быть, неявно, через задачи и упражнения.

Приступая к обучению школьников элементам логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей, учитель должен себе ясно представить, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательной линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляет важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии. Систематическое применение вероятностно-статистических подходов для анализа, описания и исследования явлений окружающей действительности поможет ученику овладеть особой методологией с присущим ей использованием специфических стохастических умозаключений.

Изучение школьниками закономерностей случайных явлений требует от учителя владения специфической методикой, развивающей особый тип мышления и формирующей особые, недетерминированные представления. В связи с этим остро встают проблемы методической готовности учителей к успешной реализации вероятностно-статистического содержания в школьном курсе математики.

Селютин В.Д. отмечает, что специфика науки о случайном лишний раз подтверждает, что глубокая математическая подготовка необходимое, но далеко не достаточное условие достижения высокого уровня методической подготовки учителя. Селютин В.Д. Компоненты методической готовности учителя к обучению детей стохастике //Школьные технологии.-2004.-№2. Им выделяются следующие компоненты методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике.

1. Целевой, состоящий в знании целей обучения школьников элементам науки о случайном и итоговых требований к стохастической подготовке.

2. Содержательно-математический, обеспечивающий наличие системы теоретических вероятностно-статистических знаний, лежащих в основе школьной стохастики.

3. Алгоритмический, обеспечивающий прочные вычислительные навыки и освоение алгоритмов, используемых при решении стохастических задач «школьного типа».

4. Прикладной, направленный на установление тесной генетической связи вероятностных моделей с вещественным миром, организацию процессов построения и истолкования моделей как ведущих форм деятельности учащихся.

5. Вероятностно-прогностический, связанный с установлением статистических закономерностей.

6. Логико-вероятностный, отражающий специфику стохастических рассуждений и умозаключений, особенности стохастической методологии.

7. Эвристический, нацеленный на использование созидательных возможностей стохастических форм математической деятельности школьников как последовательности самостоятельных «открытий».

8. Экспериментально-исследовательский, связанный с пониманием сущности случайного эксперимента и статистического исследования, их составных частей и функций в процессе формирования и развития статистических представлений учащихся.

9. Имитационный, направленный на открытие и обоснование аналогий, изоморфизмов, анализ взаимоотношений между разными вероятностными моделями одной и той же ситуации.

10. Междисциплинарный, состоящий в установлении и реализации межпредметных связей, в использовании возможностей стохастической методологии в качестве новой формы взаимодействия между школьными дисциплинами.

11. Внутрипредметный, выражающий глубокое понимание интегрирующей роли стохастики в обучении математике, использование её связующих возможностей в укреплении различных содержательно-методических линий.

12. Дифференцированно-оценочный, отражающий специфику дифференциации обучения элементам стохастики, особые формы контроля и оценок умений и навыков учеников.

13. Воспитательный, направленный на использование воспитательного потенциала стохастики.

14. Организационно-деятельностный, обеспечивающий эффективность организационных средств формирования статистических представлений учащихся, выполнение учителем роли организатора их самостоятельной познавательной деятельности.

Качество работы учителя во многом определяется корректностью использования методов научно-педагогических исследований, которые, так или иначе, ему приходится применять в своей профессиональной деятельности. К таким методам относят: наблюдение (цель которого сбор фактического материала), опрос, анкетирование, тестирование и др. Последние из названных методов часто применяют в тех случаях, когда необходимо получить информацию о таких явлениях и процессах, которые недоступны прямому наблюдению.

В процессе изучения стохастики у школьников получают дальнейшее развитие такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др. Тонких А.П. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс минус до и после. 2003, №4.

2.1 Методика работы над комбинаторными задачами в начальной школе

Анализ методической и нсихолого-педагогической литературы показал, что включение задач с элементами теории вероятностей и комбинаторики в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Обучение младших школьников решению стохастических задач является весьма важным не только для совершенствования приемов умственной деятельности, но и для формирования способности комбинировать, определяющей развитие комбинаторного мышления. Комбинаторное мышление, тесно связанное со становлением умственных операций и представляющее собой активизацию мыслительной деятельности «в направлении поиска тех или иных преобразований» (О. С. Медведева). Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления (направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи).

Рассмотрим такой пример. Из цифр числа 246, нужно соттавить всевозможные двузначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись: 24, 26, 42, 62, 64, 42, 46.

В процессе его решения задействована такая мыслительная операция, как анализ - расчленение целого на части, выделение отдельных элементов в объекте. С другой же стороны проводится синтез - соединение элементов, сторон объектов в целое: 24, 26, 42, 46, 62, 64. При решении данной задачи путем систематического перебора, учащимся приходится и классифицировать - соотносить признаки объектов. Они делают обобщение - выделение существенных признаков объектов, а также объединение объектов на основе этих признаков. Кроме того, в процессе выполнения таких заданий с цифрами школьники повторяют устную и письменную нумерацию, работают над разрядным составом чисел, обращают внимание на поместное значение цифр, постоянно различают понятия «число» и «цифра». Можно сделать вывод, что систематическое использование комбинаторных задач при изучении тех или иных математических понятий одновременно будет способствовать реализации развивающих и образовательных функций курса «Математика в начальной школе». Солнышко С.В. Использование комбинаторных задач при обучении первокласноков математике // Начальная школа плюс минус до и после. 1996. №2.

Проблему введения в начальный курс математики элементов стохастики рассматривают многие методисты. Работе над задачами стохастического характера уделяется достаточно большое внимание такими методистами, как Т. Е. Темерязев, С. А. Козлова, А. Г. Рубина, А. П. Тонких, труды которых направлены на разработку программ по математике в рамках образовательной системы «Школа 2100».

В учебниках «Моя математика» выделяется целая линия, посвященная решению проблемы введения элементов стохастики в начальный курс математики, которая так и называется: «Элементы стохастики». Она является обязательной и построена как и традиционные содержательные линии, но в то же время обладает своей спецификой. Уже в 1-ом классе дети знакомятся с чтением и записью информации в таблицах, даются первоначальные представления о графах. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Рубин А.Г., Тонких А.П. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс минус до и после. 2005. №5.

Комбинаторные задачи можно решать различными методами, условно разделенными на ''формальные'' и ''неформальные''. При ''формальном'' методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (правило суммы или произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются. При ''неформальном'' методе решения задач на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. Главное уже не сколько, а какие варианты могут получаться.

К ''неформальным'' относится метод перебора. Этот метод доступен младшим школьникам, и он позволяет накапливать решения конкретных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. В жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Решение комбинаторных задач, осуществляемое методом перебора, может проходить по-разному, в зависимости от степени сложности осуществления перебора. В связи с этим методисты различают следующие группы задач. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов. Задачи, в которых использовать прием полного перебора не целесообразно и нужно исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращенный перебор). Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора, подбирают так, чтобы совокупность этих задач удовлетворяла принципу полноты. При отборе задач учитываются психологические особенности младших школьников. Задачи даются по принципу «от простого к сложному», то есть постепенно усложняется способ перебора. Приведем примеры.

Пример. Четыре яхты готовились к соревнованиям. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски: синяя и красная.

Основная трудность, которая возникает у школьников при раскрашивании, это догадаться, что весь парус можно закрасить одним цветом. Поэтому, после того как дети раскрасят 2 паруса двумя цветами:

целесообразно задать наводящий вопрос: «В этой ситуации сказано, что обязательно каждый парус надо закрасить двумя красками? Тогда как еще по-другому можно закрасить оставшиеся?»

Пример. Составь все возможные выражения, расставляя знаки ''+'' и ''-'' между числами 3…5…7.

Проводится полный перебор вариантов:

- два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем 3 + 5 + 7, 3 - 5 - 7;

- два знака могут быть разными, тогда получаем 5 + 6 - 7, 5 - 6 + 7 (затем можно предложить детям найти значения составленных выражений).

Пример. Три кассира хранят деньги в сейфе, на котором три замка. Кассиры хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух кассиров, но не одного. Как это можно сделать?

Перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому кассиру можно дать по одному ключу, или по два разных ключа, или по три.

1) Предположим, что у каждого кассира по одному ключу, тогда, если придут любые двое из них, то они не смогут открыть сейф.

2) У каждого по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один кассир, а это не соответствует условию.

3) Дадим каждому кассиру по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи (осуществляется выбор из трех типов ключей по два ключа). Проверим, когда придут любые два кассира, смогут ли они открыть сейф. Рассматриваются все случаи: могут прийти первый и второй кассиры, у них будут все ключи (1 и 2, 1и 3); могут прийти первый и третий кассиры, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3); могут прийти второй и третий кассиры, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

Охарактеризуем этапы, которые выделяются в процессе обучения школьников решению комбинаторных задач. Первый этап - подготовительный. На этом этапе учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя пока хаотичный перебор, и от них требуется найти все возможные варианты в задаче.

Пример. Сравни картинки на листах. Нарисуй такие же картинки на остальных листах так, чтобы рисунки не повторялись.