a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Элементы заданного функционального ряда являются непрерывными функциями при R, значит, они будут непрерывными и на отрезке , ведь .

Исходный ряд равномерно и абсолютно сходится при R по признаку Вейерштрасса, а, значит, и на отрезке , так как:

a) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии: ).

Следовательно, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном интегрировании ряда на отрезке .

Ответ: Теорему применить можно.

Пример №33 (№114 из [7], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера: , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Проинтегрируем почленно заданный ряд на отрезке .

.

Ряд, полученный от почленного интегрирования заданного функционального ряда имеет вид на .

Ответ: при .

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Действительно, так как:

а) для R, N;

б) для R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .

Пример №37 (№106 из [10]).

Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение

Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:

.

Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.

Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .

Пример №38 (№109 из [10]).

Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.

Решение

Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию , приходим к неравенству . Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при R. Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:

.

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

При ряд примет вид -расходящийся гармонический ряд.

Значит, - область сходимости заданного ряда, причем элементы ряда являются непрерывными функциями на всей области сходимости.

Найдем производную общего члена ряда: . Ряд из производных сходится при , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Причем, элементы ряда также являются непрерывными при .

Значит, ряд можно продифференцировать во всех внутренних точках интервала .

Ответ: Заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать на интервале .

§9. Результаты пробация

В осеннем семестре 2003-2004 учебного года были апробированы лекционные и практические занятия, а также тест по теме "Функциональные последовательности и ряды" на втором курсе факультета математики и информатики СГПИ.

Материалы фондовых лекций по вышеуказанной теме были продемонстрированы студентам в электронном виде. Для проведения лекций использовался компьютер с TV-кодером и телевизор с большой диагональю экрана (71см). Текст лекции с жесткомагнитного диска подавался на экран и озвучивался лектором. Применяемая методика проведения лекционных занятий с использованием новейших информационных технологий позволила увеличить скорость подачи информации в 1,5 раза и улучшила качество содержания конспектов студентов.

При хорошей подготовке и исключении “накладок" использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить её привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя.

Об эффективности разработанной методики проведения практических занятий можно судить по результатам самостоятельных работ, проводимых по каждому практическому занятию.

Название группы	2002-м-1	2002-м-2
Количество человек в группе	31	29
Результаты с/р по практике №1: "зачтено" "не зачтено" процентное соотношение материала общее процентное соотношение усвоения материала	23 8	23 6
	74%	79%
	74,5%
Результаты с/р по практике №3: "зачтено" "не зачтено" процентное соотношение материла общее процентное соотношение усвоения материала	20 11	21 8
	65%	72%
	68,5%

Апробация теста, представляющего собой самостоятельную работу по практике №1 показала, что его можно успешно использовать во вне аудиторное время вместо письменой самостоятельной работы на практическом занятии, либо как дополнение к ней.

Тест проводился под наблюдением преподавателя, задача которого состояла в фиксации результатов и занесение оценок в журнал.

Итоговая таблица

Название группы	2002-м-1	2002-м-2
1	Всего участвующих в апробации	31	29
2	Трудности пользования программой	-	-
3	Сложности по усвоению материала	8	53
4	Результаты по тесту
	"отлично"	-	5
	"хорошо"	10	7
	"удовлетворительно"	13	12
	"неудовлетворительно"	8	5
5	Общее процентное соотношение усвоения материала	78 %

Таким образом, можно сделать вывод, что апробация прошла успешно, так как:

трудностей в пользовании программой не обнаружилось;

общее процентное соотношение усвоения материала (78%), предложенного обучающей программой свидетельствует о должном уровне не только организации образовательного процесса по изучению функциональных последовательностей и рядов, но и о соблюдении всех дидактических принципов и психолого-педагогических аспектов;

разница между результатом тестирования и результатом письменной самостоятельной работы по практическому занятию №1 незначительная;

результаты теста, полученные за день до второго практического занятия помогли определиться, какие вопросы вызывают у студентов трудности.

Заключение

В связи с реформой Российского образования в высшей школе появилась необходимость в применении новых образовательных технологий в процессе изучения математического анализа в педагогическом вузе.

В данной выпускной квалификационной работе обобщен и систематизирован теоретический материал темы математического анализа "Функциональные последовательности и ряды"; рассмотрены вопросы общей методики преподавания в вузе; приведены психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе; изложены методические рекомендации по проведению лекционных и практических занятий с применением новых информационных технологий.

В процессе выполнения данной работы были достигнуты следующие результаты:

1. Разработаны методические рекомендации по проведению лекционных и практических занятий.

2. Создано электронное пособие по теме "Функциональные последовательности и ряды". Оно содержит:

а) электронный конспект фондовых лекций (14 и 36 шрифты);

в) разработку практических занятий, позволяющую изучить теоретические основы, необходимые для решения заданий, сами типовые задания. Представлены задания для самостоятельного решения;

г) тест для проверки домашнего задания по первой практике;

д) историческую справку.

3. Осуществлена апробация разработанной методики проведения лекционных и практических занятий на II курсе факультета математики и информатики СГПИ в 2003 - 2004 учебном году.

Материалы данной выпускной квалификационной работы могут быть полезны студентам математических факультетов педагогических вузов для подготовки к лекционным и практическим занятиям, коллоквиумам, контрольным и самостоятельным работам, к экзаменам, при выполнении курсовых и выпускных работ; а также преподавателям педагогических вузов математических факультетов для проведения лекционных и практических занятий с использованием технических средств предъявления информации (телевизора, компьютера) и при организации самостоятельной работы студентов с помощью электронного пособия.

Доклады по теме выпускной работы заслушивались на научно - практических конференциях СГПИ в 2002 - 2004 учебных годах. По материалам исследования в 2003-2004 учебном году в сборник, посвященный 10-летию СГПИ, была представлена для публикации статья, одобренная редакционно-издательским советом СГПИ.

Список литературы

1. Аванесов В.С. Основы научной организации педагогического контроля в высшей школе. Пособие для слушателей Учебного центра Гособразования СССР. - И.: Издательство МИСиС, 1989. - 200с.

2. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1999. - 458с.

3. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. - Минск: Высшая школа, 1999. - 150с.

4. Бохан Н.А. и др. Курс математического анализа. В 2-х томах. - М.: Просвещение, 1966. - том II, 372с.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983. - 258с.

6. Дадаян А.А. и др. Математический анализ. - Минск: Высшая школа, 1990. - 385с.

7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. - М.: Высшая школа, 1999. - Часть 2-я, 415с.

8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1990. - 328с.

9. Зиновьева Л.А. Математический анализ. Методические рекомендации к практическим занятиям. - Славянск - на - Кубани: Издательский центр СГПИ, 2000. - 16с.

10. Зиновьева Л.А. Сборник задач по математическому анализу. В 4-х частях. - Славянск - на - Кубани: Издательский центр СГПИ, 1999. - часть IV, 48с.

11. Зиновьева Л.А., Мурашко С.А. Учебная программа курса "Математический анализ" факультет математики и информатики курсы I-II, семестры 1-4. - Славянск - на - Кубани: Издательский центр СГПИ, 2000. - 22с.

12. Зорич В.А. Математический анализ. В 2-х частях. - М.: Наука. - 1989. - часть II, 635с.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М.: "Нация", 1973. - 125с.

14. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. - М.: Высшая школа. - 1988. - том II, 420с.

15. Левин М.М. Технологии профессионального педагогического образования. Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр "Академия", 2001. - 305с.

16. Монахов А.И. и др. Учебный курс "Математический анализ" в педагогическом университете. - М.: Издательский центр МГОПУ, 1999г. - 260с.

17. Пионова Р.С. Педагогика высшей школы. - Минск: Издательское республиканское предприятие "Университетское", 2002. - 253с.

18. Райков Л.А. Одномерный математический анализ. - Минск: Высшая школа, 1990. - 420с.

19. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности. Учебное пособие для слушателей факультетов и институтов повышения квалификации преподавателей и аспирантов. - М.: Аспект-Пресс, 1995. - 365с.

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. - М.: Издательство физ. - мат. литературы, 1968. - Том II, 456с.

21. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х томах. - М.: Издательство "Наука", 1964. - Том II, 456с.

22. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. В 2-х частях. - М.: Физмат, 2001. - Часть I, 396с.

Размещено на Allbest.ru