Организация образовательной среды на уроках математики в первом классе при формировании понятия числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Организация образовательной среды на уроках математики в первом классе при формировании понятия числа

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы формирования понятия числа в начальном курсе математики
• 1.1 Понятие нумерации чисел
• 1.2 Методика изучения числа в пределах
• Выводы по первой главе
• Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по изучению формирования понятия числа у младших школьников
• 2.1 Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа
• Выводы по второй главе
• Заключение
• Библиографический список
• Приложения

Введение

Актуальность исследования. Изучение математики связано с усвоением определенной системы понятий. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий. Эти знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка в дальнейшем.

В процессе изучения понятия числа младшие школьники должны овладеть системой теоретических знаний, а также рядом умений и навыков, которые определены программой.

Разрабатывают понятие числа, описывая его виды и операции с ними следующие авторы: Н.Я. Виленкин, Р.В. Канбекова, Н.Н. Лаврова, А.М. Пышкало, Л.П. Стойлова. Идеи развивающего обучения при изучении понятия числа и других тем нашли отражение в трудах Л.В. Занкова, Н.Б. Истоминой, Г.Г. Микулиной, Г.И. Минской, М.И. Моро и др.

Однако не всегда понятие числа у учащихся сформировано на высоком уровне. Вследствие чего выпускники начальной школы могут испытывать затруднения в обучении. Поэтому проблема формирования понятия числа у младших школьников является актуальной во все времена.

Актуальность проблемы, её практическая значимость определили выбор темы курсовой работы: «Организация образовательной среды на уроках математики в первом классе при формировании понятия числа».

Объект исследования: учебный процесс изучения понятия числа.

Предмет исследования: образовательная среда на уроках математики при формировании понятия числа.

Цель исследования: изучить организацию образовательной среды на уроках математики в первом классе при формировании понятия числа.

Задачи исследования:

1. изучить историю развития понятия числа, теорию формирования натурального ряда чисел, психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме преподавания числа в начальных классах;

2. изучить опыт учителей начальных классов по изучению числа в начальных классах;

3. выявить особенности формирования понятия числа у младших школьников;

4. провести исследование и экспериментальную работу по данной проблеме, апробировать полученные результаты.

Гипотеза исследования: В качестве гипотезы было выдвинуто следующее предположение - формирование понятия числа в первом классе при использовании современных методов обучения, информационных технологий значительно способствует:

· результатам усвоения понятия числа младшими школьниками;

· развитию навыков письма цифр и чтения чисел;

· усвоению образования последовательности чисел;

· развитию интереса к изучению понятия числа и математике.

Для решения поставленных задач и проверки исходных положений применяются следующие методы исследования: изучение и анализ литературы по теме исследования; обобщение педагогического опыта в области формирования понятия числа с целью выявления теоретических основ и современных тенденций преподавания математики.

Этапы исследования:

Первый этап (ноябрь - декабрь 2013): изучение и анализ литературы, составление плана работы.

Второй этап (январь - февраль 2014): определение объекта, предмета, цели и задачи исследования, проведение экспериментальной работы.

Третий этап (март - апрель 2014): анализ, обобщение и систематизация накопленных материалов, интерпретация полученных результатов исследования и оформление курсовой работы.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты могут быть использованы учителями начальных классов на уроке математики при формировании понятия числа в первом классе.

База исследования: МКОУ Октябрьская СОШ, НСО, Краснозёрский район, п. Октябрьский.

Глава 1. Теоретические основы формирования понятия числа в начальном курсе математики

1.1 Понятие нумерации чисел

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин, эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 - около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). [6, с.42]

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский - родоначальник греческой стихийно-материалистической философии - учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.). [14, с.113]

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д. [26, с.76]

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а за пределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» - 10¹², «леодр» - 10²⁴, «ворон» - 10⁴⁸, «колода» - 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶, и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности. [31, с.202]

Для записи или для обозначения чисел существует десять особых знаков, называемых цифрами:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

С помощью этих десяти цифр можно написать любое число. Это делается следующим образом. Первые девять чисел от единицы до девяти записываются указанными выше цифрами: 1; 2; …; 9.

Следующие за девятью числа записываются при помощи тех же самых знаков и знака 0 (нуль), т.е. так: 10 (нуль показывает, что в этом числе нет единиц); 11; 12; 13; и т.д.

Обратим внимание на то, что для чисел от 11 до 20 название не совпадает с написанием: когда мы говорим «одиннадцать», то сначала произносим один, а потом десять, а пишем наоборот, сначала десяток, а потом единицу.

Следующие за 20 числа пишутся так: 21; 22; 23; и т.д.

Заметим, что здесь нет разницы между названием и написанием чисел: как мы называем число, так его и пишем.

Дальнейшие числа от 30 до 100 будут записываться по образцу записи чисел от 20 до 30.

Значит, единицы числа пишутся на первом месте справа, а десятки - на втором месте, т. е. левее единиц.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, возникающие в процессе счета, называются натуральными (целыми) числами, а совокупность этих чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральном рядом.

Наименьшим числом натурального ряда является единица, а наибольшего числа нет, так как, какое бы большое число мы ни взяли, увеличив его на единицу, получим новое число. Эту мысль можно выразить так: натуральный ряд чисел бесконечен. [34, с.13]

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Натуральные числа, кроме основной функции - характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию - характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий. [39, с.3]

1.2 Методика изучения числа в пределах 10

Выделение темы «Десяток» в особый концентр объясняется рядом причин.

Нумерация и арифметические действия в пределах 10 имеют некоторые особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуется в результате счета простых единиц (без использования других разрядных единиц). Для обозначения каждого из чисел первого десятка применяется в устной речи особое слово, а на письме - особый знак.

Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть.

Небольшие числа создают хорошие условия для раскрытия учащимися математических понятий. Опираясь на имеющийся у детей опыт, а также используя практические действия с предметами, можно сформировать такие понятия, как натуральное число, равенство и неравенство чисел. [4, с.156]

В теме «Десяток» начинается изучение многих вопросов, работа над которыми продолжается в последующих концентрах. Так, счет в пределах 10 - основа овладения счетом вообще, потому что другие разрядные единицы (десятки, сотни и т.д.) считают точно так же, как и простые единицы. Названия и обозначения чисел первого десятка служат исходными для называния и обозначения любых многозначных чисел. Сложение и вычитание в пределах 10 составляют основу выполнения устных и письменных вычислений за пределами первого десятка.

В подготовительный период учителю надо выявить запас математических знаний и умений у детей, поступивших в школу, и подготовит их к работе над первой темой программы - нумерацией чисел в пределах 10.

Важно на этом этапе установить, умеет ли ребенок считать предметы и в каких пределах, понимает ли смысл терминов « больше», «меньше», «столько же» (одинаково, поровну», каков у него запас пространственных представлений (т. е. в какой мере он владеет понятиями (слева-справа», «вверху-внизу», «впереди-позади», «перед-после-между» и др.). [1, 133]

В непринужденной беседе (желательно до начала обучения в (желательно до начала обучения в 1 классе) учитель предлагает ребенку выполнить несколько заданий, чтобы выяснить, каков запас знаний и умений у ученика. Задания могут быть примерно такими:

Умеешь ли ты считать? Сосчитай эти картинки. Сколько здесь картинок? (10 - 15штук).

Возьми в левую руку столько же карандашей, сколько их лежит на столе (4 - 7 штук).

Узнай, каких кружков больше: синих или красных (6 больших красных и 7 маленьких синих).

Посмотри на картину (к сказке «Репка») и скажи, кто стоит перед жучкой, после кошки, между внучкой и кошкой.

В том случае, когда ученик успешно справляется с этими заданиями, можно предложить ему один-два вопроса по материалу, который предстоит изучать (примеры или задачи на сложение и вычитание в пределах 10, задания на различение и называние геометрических фигур, на узнавание цифр и др.).

Полученные сведения полезно записать в таблицу так, чтобы впоследствии учитель мог использовать их на уроках, проводя индивидуальную работу с детьми.

В подготовительный период и далее при изучении нумерации чисел у детей можно постепенно формироваться понятие чисел, т.е. они должны усвоить разные способы получения (образования) чисел: в процессе счета, измерения, а также путем выполнения арифметических действий. Прежде всего важно отработать умение считать, поэтому упражнения в счете предметов включаются на каждом уроке подготовительного периода. Дети считают предметы окружающий обстановки; предметные картинки, выставленные на наборном полотне; предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др. Этот материал удобно хранить в арифметических кассах или в самодельных пеналах, изготовленных из спичечных коробок.

Упражняясь в счете, учащиеся с помощью учителя должны установить, что при счете нельзя пропускать предметы или сосчитывать один и тот же предмет несколько раз. К такому выводу они подойдут сами, сопоставляя правильный и неправильный счет предметов. [37, с.38]

Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формулируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Например, один ученик считает предметы, расположенные в ряд, слева направо, а другой - справа налево. Учащиеся убеждаются, что считали по-разному, а получилось одно и то же число. Аналогично выполняются другие упражнения, например счет сверху вниз и снизу вверх ступенек лестницы, этажей в доме и т.п.

Надо научить детей пользоваться при счете как количественными, так и порядковыми числительными, предлагая упражнения: «Считай так: один, два, три…» или «Считай так: первый, второй, третий…». Учащиеся постепенно должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и, наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет.

С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. С этой целью предлагаются детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше; в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне и т.п.». [44, с.95]

Упражнения на сравнения множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только не только с помощью счета, но и путем соотнесения элементов «один к одному», т.е. через установление взаимно однозначного соответствия, например: а) положите на парту 7 треугольников; на каждый треугольник положите по кружку; кто не считая, скажет, сколько кружков положили, как догадались; б) положите в ряд несколько квадратов; как не считая, положить столько же палочек; в) возьмите не считая, несколько больших и несколько маленьких кружков; разложите их друг под другом так, чтобы сразу было видно, каких кружков больше, каких меньше; г) нарисуйте в тетради три треугольника, затем нарисуйте од каждым треугольником квадрат и справа еще один квадрат, каких фигур меньше, каких больше.

Как показывает практика, дети, поступающие в школу, слабо подготовлены к письму. Поэтому начиная с первого дня занятий необходимо ежедневно включать подготовительные упражнения к письму цифр, учить детей правильно держать перо, выделять строку и клетку, красиво располагать записи в тетради. С этой целью полезно предлагать рисование так называемых «бордюров», т.е. узоров из точек, палочек, знаков «плюс», «минус», геометрических фигур. [5, с.16]

При изучении нумерации учащиеся должны усвоить, как называется каждое число и как оно обозначается печатной и письменной цифрой. В органической связи с этим формируется понятие начального отрезка натуральной последовательности, а также понятие натурального числа как члена этой последовательности, т.е. учащиеся должны усвоить:

· во-первых, как образуется каждое число больше непосредственно предшествующего числа и единицы, а также из следующего за ним числа и единицы;

· во-вторых, на сколько каждое число непосредственно предшествующего ему и меньше непосредственно следующего за ним при счете числа;

· в - третьих, какое место занимает каждое число в ряду чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счете.

Усвоение этих знаний продвигают ученику на новую ступень в осознании понятия числа; число выступает не обособлено, а во взаимосвязи с другими числами, у детей начинает формироваться представление о натуральном ряде чисел. [48, с.35]

Образование каждого числа из других чисел, отношения между числами можно раскрыть только в том случае, если рассматривать одновременно несколько последовательных чисел. Поэтому изучают не отдельные числа, а отрезки натурального ряда от единицы до того числа, которое введено последним: 1, 2; 1,2,3; 1,2,3,4 и т. д.

Рассмотрим методику изучения основных вопросов нумерации.

Любое число в натуральной последовательности, кроме числа 1, можно получить так: прибавить единицу к непосредственно предшествующему числу (3 - это 2 и еще один) или вычесть единицу из следующего за ним числа (3 - это 4 без одного). Образование чисел раскрывается с помощью таких упражнений:

Присчитывание и отсчитывание по 1 (с иллюстрацией на предметах). Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом. [3, с.24]

Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением практических задач. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением числа от большего к меньшему: 1) ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счётом (почтальон); 2) часть предметов скрыта от глаз, поэтому счёт осуществить невозможно (кинотеатр).

Например, при изучении чисел 1 - 4 учитель предлагает детям положить 2 палочки, затем положить еще 1 палочку. Выясняют, сколько стало палочек и как получили 3 палочки. Затем из 3 палочек убирают одну палочку и поясняют, как получили 2 палочки.

Образование числовых последовательностей («числовых лесенок»). Так, при изучении чисел 1 - 4 производится такая работа:

«Положите два круга; ниже положите столько же треугольников; придвиньте еще один треугольник. Сколько стало всего треугольников? Как получили три треугольника? Каких фигур больше: треугольников или кругов? На сколько больше?

Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько у вас лежит треугольников. Что надо сделать, чтобы квадратов стало больше на 1? Положите еще 1 квадрат. Сколько стало квадратов? Как получили 4 квадрата?»

Решение задач с помощью иллюстрации. Например, при изучении чисел 1 - 6 учитель предлагает детям решить задачу: «В коробке лежало 5 карандашей (считают); туда положили еще один карандаш (кладут и закрывают коробку). Сколько стало карандашей?» Как решили задачу? Проверим. (Считают карандаш в коробке). Аналогично работают над задачей: «В коробке лежало 6 карандашей, 1 карандаш вынули. Сколько карандашей осталось?» Как решили задачу? Проверим. (Считают оставшиеся карандаши.)

Знакомство с печатной и письменной цифрой. Изучаемое числа обозначают сначала печатными цифрами, которое выставляют на наборном полотне рядом с соответствующим множеством предметов. Учитель поясняет: можно сказать - три квадрата, три стула, три человека, а можно обозначить число 3 вот таким знаком, такой цифрой. Дети находят новую цифру в своих кассах, рассматривают и присоединяют к знакомым цифрам. Для закрепления сразу же включают упражнения на установление соответствия между числом и цифрой: « Покажите с помощью палочек, какое число обозначает эта цифра?»; « Покажите цифрой число треугольников, которые у меня на руках».

Знакомя с письменной цифрой, учитель показывает образец написания цифры на доске. Дети усваивают направление движения руки, рисуя цифру в воздухе или обводя образец, данный учителем в тетрадях. Далее учащиеся пишут 2-3 цифры. Учитель проверяет и отмечает наиболее удачную. Затем учащиеся пишут одну-две строчки цифр.

Знание цифр закрепляется на последующих уроках, когда учащимся предлагают выполнить различные упражнения по нумерации, а ответ либо показывать цифрой, либо записывать в тетрадь. Например, какое число получится, если к 7 прибавить 1 (если из 6 вычесть 1) ? Какое число больше, чем 5, на 1(меньше, чем 10, на 1)? Какое число называют при счете после числа 6 (перед числом 7)? И т.п.

Сравнение последовательных чисел натурального ряда вначале выполняется с опорой на сравнение множеств. Число предметов обозначают цифрами, а отношение между числами - знаком «>», «<», или «=».

Знаки «>», «<», «=» можно ввести так: предложить детям нарисовать слева один флажок и справа один флажок, затем слева нарисовать еще один флажок. Дети скажут, что слева флажков больше, чем справа. Далее обозначают число флажков цифрами и устанавливают, что число 2 больше, чем 1. Учитель показывает знак «>», поясняя, что он обозначает « больше». Появляется запись: 2>1. Дети учатся читать ее «Два больше, чем один». Также рассматривают: 1<2,2=2. Затем учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств по учебнику или с доски, сравнивают числа и записывают полученные равенства и неравенства.

Чтобы учащиеся запомнили написание самих знаков и не смешивали знаки «>» и «<», полезно на видном месте в классе вывесить таблички с образцами записей, например 1<2, 2>1, 2=2. Можно обратить внимание детей на то, что вершина «уголка», который обозначает «больше» или «меньше», направлена (показывает) на меньшее число и что записи со знаками «>», «<» читают слева направо. Уже при изучении чисел первого пятка учащиеся подходят к обобщениям: каждое следующее число больше на 1, а каждое предыдущее меньше на 1. Поэтому при сравнении чисел постепенно переходят от сравнения совокупностей к выяснению места сравниваемых чисел в натуральной последовательности: 6 больше, чем 5, потому что 6 при счете называют после числа 5; 5 меньше, чем 6 потому что 5 при счете называют перед числом 6.

Порядок следования чисел в натуральном ряду выясняют сначала с опорой на множества предметов. Составляя из предметов или зарисовывая «числовые лесенки», дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете числа 2 идет число 3, которое больше его на 1; перед числом 4 называют число 3, которое меньше его на 1; перед числом 3 называют число 2, которое меньше его на 1. Между числами 2 и 4 находится число 3, которое больше, чем 2, и меньше, чем 4, на 1 и т. д.

Дети должны постепенно усвоить последовательность чисел 1- 10 и уметь называть их прямом и обратном порядке, а кроме того, научиться называть сразу место любого числа, не воспроизводя всего ряда чисел , начиная с единицы. Это умение вырабатывается в процессе многократных упражнений вида: « Назовите число, которое при счете следует за числом 4. Какое число называют при счете перед числом 7 (между числами 8 и 10, после числа 4)? После какого числа (перед каким числом) называют при счете число 6?»

При выполнении упражнений по нумерации наряду с раздаточном дидактическим материалом целесообразно использовать наглядное пособие «Числа 1-10», которое должно создаваться постепенно, по мере изучения чисел, и, пока идет работа над темой, находиться перед глазами учащихся. Это пособие создает наглядный образ натуральной последовательности, иллюстрирует количественные и порядковые отношения чисел.

Прочную наглядную основу для усвоения нумерации чисел создает изучение геометрического материала, поскольку здесь учащиеся выполняют практические работы, моделируют, чертят, измеряют. Так, знакомясь с многоугольниками, дети показывают и считают углы, вершины и стороны, сравнивая их число у разных многоугольников. Ознакомившись с точкой, прямой и отрезком прямой, дети учатся проводить прямую через одну и через две точки, соединять две точки отрезком, измерять и чертить отрезки заданной длины (в сантиметрах), сравнивать отрезки. Все эти упражнения не только формируют геометрические и пространственные представления, измерительные и графические умения, но и закрепляют знания по нумерации.

Изучая числа первого десятка, дети знакомятся также и с числом нуль. Понятие об этом числе дети получают, выполняя ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока ни останется ни одного (облетают листья с ветки, улетают птицы с гнезда; ученик отдает тетради и т.п.). Затем вводится обозначение числа нуль цифрой. Учащиеся решают, например, такие задачи: 1) На ветке висели 2 вишни, 1 упала. Сколько вишен осталось? 2) На ветке висела 1 вишня, затем она упала. Сколько вишен осталось? Задачи решают, записывают решения, формулируют ответы. Решение второй задачи: 1 - 1 = 0 (из одного вычесть один, получится нуль). Ответ: на ветке не осталось вишен.

Далее число 0 сравнивают с числом 1. Опираясь на решение задачи, выясняют, сколько вишен было, сколько упало, дольше или меньше стало вишен после того, как одна вишня упала. Результат сравнения записывают: 0<1. На основе таких упражнений устанавливают, что в ряду чисел 0 должен стоять перед числом 1, так как 0 меньше, чем 1, на 1.

Состав же чисел 6, 7, 8, 9, 10 хотя и иллюстрируется с помощью операций над множествами, однако усваивается детьми позже, при изучении сложения и вычитания в пределах 10 [1, с.52].

Итак, изучив теоретические аспекты формирования понятия числа у младших школьников, можно сделать следующие выводы:

В курсе математики понятие числа является одним из ключевых, с которыми выполняются различные операции.

Формирование понятия числа проводится по определенным программам обучения, наиболее эффективной из которых является метод развивающего обучения.

Эффективному усвоению учащимися понятия числа способствует формирование логического мышления на уроках математики.

Выводы по первой главе

В процессе написания работы нами была проанализирована теоретическая и методическая литература.

Овладение основами математики немыслимо без целенаправленного и многоаспектного изучения понятия целого неотрицательного числа. Целенаправленная работа по изучению понятия целого неотрицательного числа положительно сказывается на формировании вычислительных навыков младших школьников.

Выявлено, что в процессе изучения детьми отрезка натурального ряда чисел, ученики должны усвоить называние и запись чисел (с помощью цифр), принципы построения натурального ряда чисел, счет, присчитывание и отсчитывание, сравнение чисел, сложение и вычитание в пределах 10.

Эффективность применения понятия целого неотрицательного числа, в начальной школе зависит от применения более интересных и разнообразных методов работы, от использования знаний и опыта младших школьников, и опоры на них.

Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по изучению формирования понятия числа у младших школьников

2.1 Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа

Программа (традиционная) предусматривает постепенное расширение области рассматриваемых чисел. Концентризм в построении программы неразрывно связан с особенностями десятичной системы счисления и нумерации чисел.

В качестве первого такого концентра выделен «Десяток», о котором в дальнейшем пойдет речь. При изучении этой темы дети знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда и действиями сложения и вычитания в этих пределах. [20, с.117]

На примере первых десяти чисел натурального ряда дети знакомятся с принципами его построения. Они осознают и усваивают, что для получения числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному числу и что поэтому числа в натуральном ряду возрастают. Эти знания они применяют для сравнения чисел. Они узнают далее, что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Здесь выясняется, что каждое число может быть не только названо, но и записано, что для записи чисел существуют специальные знаки - цифры.

Все эти знания, относящиеся к нумерации, имеют общее значение, дети с самого начала должны подводиться к пониманию общности получаемых выводов.

Наряду с упражнениями, при выполнении которых дети получают число в результате счета предметов, довольно скоро включаются упражнения, которые должны показать детям получение числа в результате измерения (знакомство с сантиметром и измерением отрезка с помощью линейки).

В теме «Десяток» происходит знакомство с числом и цифрой нуль. Таким образом, уже с первых шагов дети имеют дело с расширенным натуральным рядом, хотя и знакомы еще с очень коротким его отрезком.

При переходе к рассмотрению чисел в пределах 100, 1000 и многозначных чисел каждый раз должен осуществляться перенос приобретенных ранее знаний нумерации на новую область чисел. Вместе с тем переход от одного концентра к другому всегда оказывается связанным с введением тех или иных принципиально новых для учащихся знаний.

Каждое дальнейшее расширение области чисел, как правило, всегда связывается с введением новых единиц измерения величин и установления соотношения между ними. Это создает условия, необходимые для того, чтобы подмеченная аналогия в получении чисел при счете и при измерении могла быть в дальнейшем использована.

Итак, выделение концентров в начальном курсе математики дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению вопросов, связанных с особенностями десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, закрепляя знания детей. Благодаря концентрическому построению программы возникает возможность рассредоточить трудности, в связи с чем в процессе обучения математики можно значительно увеличить долю самостоятельного участия детей в рассмотрении вопросов нумерации, которые при расширении области чисел могут быть ими усвоены на основе «переноса» приобретенных ранее знаний.

Очень важно продуманно и целенаправленно использовать в процессе изучения натурального ряда чисел наглядные пособия. Это одно из условий, помогающих сформировать у детей нужные знания, умения и навыки. Отметим другие моменты, которые должны учитываться при изучении натурального ряда чисел. Учителю следует обратить внимание на речевой опыт, которым располагают многие дети уже ко времени поступления в школу, который быстро обогащается в школьные годы. Дети легко самостоятельно подмечают принцип образования названий чисел и сами догадываются, как будут называться следующие числа (по аналогии). [23, с.37]

Учитывая это обстоятельство, в процессе обучения нужно стремиться к тому, чтобы усвоение последовательности соответствующих числительных всегда несколько опережало ту область чисел, которая рассматривается в данный момент основательно.

Приступая к изучению первых десяти чисел, дети должны уже к этому времени более или менее уверено знать названия этих чисел, порядок их следования при счете. Забегание вперед создает условие для переноса изученных операций (операции счета предметов, присчитывание и отсчитывание по 1 и другие) на несколько расширенную область чисел. Это очень важно в качестве психологической подготовки детей к работе с большими числами.

В упражнениях, направленных на усвоение последующих чисел в натуральном ряду, специальное внимание приходится уделять гибкости в ее усвоении. Известно, что дети испытывают затруднения воспроизвести эту последовательность в обратном порядке, при выполнении заданий, требующих умений назвать ряд натуральных чисел, начиная с любого заданного, назвать число, непосредственно ему предшествующее. В результате изучения нумерации чисел дети должны не только усвоить соответствующие общие положения, но и овладеть важнейшими умениями и навыками. В учебниках математики для начальных классов намечена система упражнений, необходимых для сознательного усвоения детьми всех основных вопросов, связанных с изучением натурального ряда чисел.

В изучении нумерации чисел в пределах 10 выделяют подготовительную работу и ознакомление с соответствующими числами.

В подготовительный период, который длится в течение первой учебной недели, выполняются упражнения следующих видов:

1) счет предметов;

2) сравнение групп предметов;

3) знакомство с количественными и порядковыми значениями чисел;

4) рассмотрение порядковых отношений чисел;

5) рисование бордюров;

6) оперирование группами предметов.

На первой неделе занятий дети учатся работать со счетным материалом, с книгой. На этих уроках должно быть отработано умение вести счет различных объектов, при котором используются числа натурального ряда в пределах 10. дети должны усвоить, что, отвечая на вопрос «Сколько?», предметы можно считать в любом порядке, а на вопрос «Который по счету?» - в определенном порядке. Они должны научиться понимать термины «выше», «ниже», «направо», «налево», «справа налево» и т.п., а также выражения, отражающие порядковые отношения: «следовать за», «стоять перед», «находиться между». Дети должны научиться сравнивать две группы предметов. Формирование соответствующих умений и навыков на этих уроках только начинается, оно будет продолжено на уроках по теме «Нумерация». Эти ЗУН необходимы для перехода к изучению нумерации.

Приведем примеры некоторых упражнений, которые формируют эти умения и навыки на данном этапе. Упражнение 1.

На наборном полотне расположены квадраты разных размеров, красного и синего цвета.

Учитель спрашивает:

- Сколько больших квадратов?

- Сколько маленьких?

- Сколько красных квадратов?

- Сколько желтых?

- Сколько квадратов на верхней полке?

- Сколько на нижней?

- Сколько всего квадратов?

Затем дети сами учатся задавать вопросы, работая по учебнику.

Упражнение 2.

На наборном полотне стоят различные предметы. Учитель спрашивает: «Сколько игрушек на полке?» Ученик, касаясь указкой каждого предмета, считает. Допустим, что Саша считал игрушки справа налево и всего насчитал 6 игрушек. Другого ученика учитель просит посчитать слева направо. После чего учитель подводит детей к выводу о том, что результат счета не изменится от того, как мы будем считать.

Во время работы над темой «Нумерация чисел от 1 до 10» основное значение придается не только вопросам, связанным с получением каждого нового числа, с выяснением соотношений, существующих между смежными числами ряда, с рассмотрением состава чисел из двух слагаемых. Большое внимание также уделяется работе, направленной на подготовку детей к изучению действий сложения и вычитания. Данная работа очень важна, так как является основной для изучения натурального ряда впоследствии.

При рассмотрении каждого из чисел прежде всего должно быть выяснено, как оно может быть получено. Для того чтобы подчеркнуть принцип построения натурального ряда чисел, важно начать с получения числа путем прибавления единицы к предыдущему числу. Важно познакомить детей с получением любого числа и вычитанием единицы из числа, которое идет при счете сразу же после него.

Получение числа прибавлением единицы к предыдущем или вычитанием единицы из последующего легко связать со сравнением этих чисел. Так, например, на уроке, посвященном ознакомлению детей с числом 4, начинать работу полезно с повторения того, как получали рассматривавшиеся ранее числа. Предложить детям выставить на верхней полочке наборного полотна три треугольника и поставить рядом соответствующую цифру, а на нижней - столько же кругов, спросим: «Сколько выставлено кругов? Добавьте еще один круг к тем трем, которые уже стоят. Сколько теперь стало кругов? Как получили четыре круга? (к трем прибавили один). Учитель показывает цифру, которой записывается число 4, выставляет ее на наборное полотно. «чего больше кругов или треугольников?» Далее проводится ряд аналогичных упражнений, после чего делается вывод, что 3 меньше, чем 4, 4 больше, чем 3. Далее вводятся знаки > и <.

В ходе таких демонстраций и самостоятельных практических работ дети знакомятся сразу и с получением числа прибавлением единицы к предыдущему, и - вычитанием единицы из следующего за ним, и с количественными отношениями между соседними числами ряда, и с местом, занимаемым данным числом в натуральном ряду, и с обозначением числа с помощью печатной и письменной цифры. Упражняются в записях с использованием знаков действий (+ и -) и отношений (>, < и =).

Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Чтобы у детей не сложилось такого впечатления, что числа образуются только с помощью прибавления и вычитания единицы, очень важно показать им различные способы получения чисел из двух и более слагаемых.

Огромное значение имеет усвоение детьми на память состава чисел из двух слагаемых, т.к. программа предусматривает ознакомление детей в теме «Десяток» с приемами прибавления и вычитания числа по частям (по 1 и группами), приемом вычитания, основанном на связи его со сложением. В программе выделена специальная тема «Сложение и вычитание в пределах 10». Требование усвоения на память состава числа из двух слагаемых целесообразно отнести только к наиболее легким случаям состава чисел (для 2,3,4,5), а по отношению к числам 6-10 эта задача при изучении темы «Нумерация» не ставится.

На уроках, посвященных ознакомлению с цифрами и числами первого десятка, используются задания следующих видов:

1) образование чисел с использованием отсчитывания и присчитывания по одному;

2) обозначение чисел печатными и письменными цифрами;

3) установление места изучаемого числа в натуральном ряде чисел;

4) сравнение чисел, запись сравнения с помощью знаков >,<,=;

5) решение выражений и задач на сложение и вычитание.

С помощью этих заданий учащиеся овладевают следующими ЗУН:

· усвоить последовательность первых десяти чисел и уметь воспроизводить ее как в прямом, так и в обратном порядке, начиная с любого числа. Знать какое место занимает каждое из десяти чисел в этой последовательности. Знать место числа 0 среди изученных чисел;

· уметь считать различные объекты и устанавливать порядковый номер данного предмета из группы в пределах 10;

· научиться писать и читать цифры, соотносить цифру и число предметов;

· по отношению к каждому из чисел знать как оно получено: прибавлением единицы к предыдущему числу или вычитанием единицы из следующего за ним в ряду чисел. Усвоить состав чисел в результате сложения двух чисел;

· научиться сравнивать любые два числа. Уметь записать результат сравнения чисел, используя знаки сравнения.

Приведем пример упражнений, в процессе выполнения которых у детей формируются вышеперечисленные ЗУН.

Упражнение 1. «Назовите число»

Цель этого упражнения заключается в закреплении знания последовательности чисел от 1 до 10 (и в обратном порядке).

Вариант 1. Учащиеся называют числа от 1 до 10 через один, т.е. один, три, пять, семь, девять. Затем в обратном порядке.

Вариант 2. В игровой ситуации. Учитель вводит сказочную ситуацию: «В лесной школе урок математики вел медведь Михаил Михайлович. Белки и зайцы учились называть числа от 1 до 10. Зайцы произносили число 1 громко, белки произносили число 2 тихо и т.д. давайте все вместе, как зверюшки называли числа, повторим».

Упражнение 2.

У детей ряд предметов (грибы, мячики, и т.д.) и под каждым предметом стоит цифра от 1 до 10. Учитель предлагает детям показать шестой то гриб, то девятый. Важно, чтобы дети не считали, а ориентировались по цифрам. Затем учитель использует не порядковые, а количественные числительные: покажите пять мячей, восемь. Дети должны действовать, ориентируясь по цифрам. Затем учитель называет один раз порядковое, другой раз количественное числительное: покажите пятый мячик, покажите пять мячиков.

Упражнение 3. «Соедини точки».

Учитель делает индивидуальные карточки с изображением предметов в виде основных контурных точек. Ученик получает такую карточку (смотри рисунок ниже). Задание состоит в том, чтобы последовательно соединить точки и определить, какой предмет изображен. Учитывая то, сколько чисел дети изучили.

Обучая ребенка сначала способу построения модели некоторого явления, а затем способу работы с ней, учитель осуществляет процесс формирования в сознании первоклассника соответствующих абстракций, подводит его к обобщению. Следует подчеркнуть, что действие моделирования - это средство перевода мышления учащихся на более высокий уровень, средство, позволяющее в значительной мере избежать формализма знаний.

Абстрактная символика - это средство моделирования. Абстрактная символика принимается младшими школьниками легко и может быть введена на этапе изучения натурального ряда в пределах 10. Задания с абстрактной символикой, если их использовать почти на каждом уроке, становятся средством развития мышления ребенка, поскольку, с одной стороны, требуют от него обобщения, а с другой - создают условия для его осуществления. Приведем пример задания:

В гости к первоклассникам пришла Красная Шапочка. Она учится в сказочной школе и принесла карточки со сказочными цифрами. У них в сказочной школе числа стоят по порядку, как у нас. Выставляются 5 карточек, повернутых к детям оборотной стороной. Дети указывают (не поворачивая карточку) самое большое число, число на один меньше, самое маленькое число, число на один больше. Наконец, средняя карточка открывается, и обнаруживается неизвестный знак. Да, в сказочной школе цифры пишутся по-другому. Что же это за число? Дети решат, что это 3, так как оно третье от края. Красная шапочка говорит, что захватила с собой числа не с самого начала ряда. Она не хочет раскрывать секрета. Но предлагает посмотреть, как пишется число, которое на один меньше, чем открытое. Дети должны догадаться, что нужно повернуть предыдущую карточку.

- А еще на один меньше? А на один больше? И другие подобные вопросы. Подчеркивается, что хотя и неизвестно, что это за числа, но можно догадаться, какое из них самое маленькое или самое большое.

Психологи установили, что усвоение ребенком знаний начинается с материального действия с предметами или моделями, рисунками, схемами. Практические действия дети описывают словесно. Проговаривание действий переносится во внутренний план (действия в уме). Материальная форма действий является исходной, внешнеречевая предполагает рассуждения, умственная форма действия (проговаривание про себя) осуществляется тогда, когда у учеников уже сформированы представления или понятия. Эти три формы действия влияют на развитие наглядно-образного мышления. Деятельность детей должна быть разнообразной и по форме и по содержанию, и строиться в соответствии с закономерностями обучения, сформированными педагогами. «чем больше и разностороннее обеспечиваемая учителем интенсивность деятельности учащихся с предметом усвоения, тем выше качество усвоения на уровне, зависящем от характера организуемой деятельности - репродуктивной или творческой».

При работе над числами первого десятка важнейшее значение имеет удачное применение наглядности. Например, соответствующую демонстрацию можно выполнять так: на верхней полочке наборного полотна выкладываем 5 кружков. Предлагаем детям один из этих кружков переложить на нижнюю полочку, выясняем, как удалось разложить 5 кружков на две полочки (4 на одной и 1 на другой). Затем снова перекладываем 1 кружок с верхней на нижнюю полочку, выясним следующий вариант разложения: 3 и 2 и т.д. аналогично с другими числами.

Хорошим способом иллюстрации различных случаев состава числа из двух слагаемых является использование двухцветных полосок, двухцветных кружков, нанизанных на резинку. Использование разнообразных пособий позволяет поддерживать у детей интерес к подобным упражнениям, больше проводить их на уроках и тем самым создавать условия для лучшего усвоения состава чисел первого десятка, систематизации соответствующих знаний.

От действия с конкретными предметами, от счета, дети переходят к действиям с числами. Решение выражений на сложение и вычитание. Одни и те же выражения на прибавление и вычитание единицы нужно предлагать в различных сочетаниях, например:

1) 1+1

2+1

3+1

2) 10-1

9-1

8-1

3) 2+1

2-1

3+1

Предлагая ту или иную группу математических выражений для самостоятельного решения, учитель имеет в виду определенные знания и умения, который будут использоваться в каждом случае учащимися. Так, выражения, помещенные под номером 1), может решить ученик, который усвоил счет в пределах десяти. Выражения под номером 3) развивают наблюдательность, умение сравнивать пары примеров, видеть сходное и различное.

Детям возможно давать диктанты, которые направлены на отработку таких умений как: восстановить пропуски в ряду чисел, назвать число, непосредственно следующее за данным, или ему предшествующее число, назвать «соседей» данного числа в ряду и т. п. в диктант можно включить такие задания:

- запиши цифрой, сколько кружков на этой карточке;

- нарисуй столько кружков, сколько указано на этой карточке (карточка с цифрой);

- запиши число, которое идет при счете после числа 5, 6, 8;

- запиши число, которое стоит между 3 и 5;

- запиши число, которое на один больше, чем число 4 (меньше, чем число 7) и т. п.

После ознакомления с числами от 1 до 10 предусмотрено знакомство с числом и цифрой нуль. Понятие о нуле формируется, как понятие о любом числе, на основе практических действий с предметными множествами. Учитель должен подвести детей к пониманию того, что нуль получается в результате вычитания 1 из 1, что поэтому это число на 1 меньше, чем единица, и в ряду чисел оно занимает место перед 1 как число, ему предшествующее. Далее рассматривается линейка, значение цифры 0 в записи числа 10.

Изучение вопросов нумерации связывается с рассмотрением ряда других вопросов программы - дети знакомятся с простейшими геометрическими фигурами и их элементами, с измерением отрезков и др.

Для активизации познавательной деятельности учащихся целесообразно использовать не только наглядные средства обучения, но и дидактическую игру, которая является ценным средством воспитания умственной активности детей, вызывает у учащихся живой интерес к процессу обучения.

Игровой метод позволяет тесно связать изучение теоретического материала с практическими действиям. В процессе игры можно создавать такие условия, которые будут способствовать проявлению самостоятельности и инициативы ребенка. М.И. Моро, С.В. Степанова отмечают, что «максимальная активизация деятельности детей на уроке достигается при широком использовании разнообразных средств наглядности и элементов игры…» на уроках подготовительного периода в изучении нумерации чисел в пределах десяти используются разнообразные игровые ситуации.

Описанная ниже игровая ситуация направлена на знакомство с понятиями «стоять перед», «следовать за», «находиться между».

Учитель читает сказку К.И. Чуковского «Тараканище» по ходу чтения на наборном полотне выставляется фигурки зверей и других персонажей сказки. Выясняем, кто ехал за медведем? Кто ехал за котом? А за комариками кто ехал первым? Вторым? Третьим? Между котом и раками? Между медведем и комариками? Кто перед котом? Перед раками? Кто после комариков? Медведей?

При изучении раздела «нумерация чисел первого десятка» используются прежде всего такие игры, с помощью которых дети осознают приемы образования каждого последующего и предыдущего чисел.

Игра «составим поезд» наглядно показывает, что каждое следующее число образуется путем прибавления единицы к предыдущему числу, а каждое предыдущее число получается в результате вычитания единицы из последующего числа. Можно предложить учащимся сосчитать число вагонов слева направо и справа налево, сделав после этого вывод: считать можно в любом направлении, но при этом важно не пропустить ни одного предмета и не сосчитать его дважды.

Содержание игры. Учитель вызывает к доске поочередно учеников. Каждый из них, выполняя роль вагона называет свой номер. Например, первый вызванный ученик говорит: «Я - первый вагон». Второй ученик цепляется к первому, называет свой номер, остальные составляют выражение: 1+1=2. затем цепляется третий «вагон», и все дети по сигналу составляют выражение: 2+1=3. И так далее. Потом вагоны по одному отцепляются, а класс составляет выражения вида: 3-1=2 и т.д.

В процессе игры «Угадай-ка» дети закрепляют последовательность чисел натурального ряда от 1 до 10. детям предлагают отгадать число, если оно: 1) находится между числами 6 и 8. Какое место оно занимает? (седьмое). 2) на 1 больше 5 и на 1 меньше 7. какое место занимает оно? (шестое).