Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Заметим, что разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности, задача о построении правильного n-угольника. Эта задача в полном объеме была решена Гауссом, при этом потребовалось изучить корни n-ой степени из единицы в поле комплексных чисел.

Аналитическая геометрия.

Аналитическая или координатная геометрия была создана независимо видными французкими математиками П. Ферма (1601-1665) и Р. Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.

Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у.

Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству». Следует отметить, что идея введения координат и проблемы, связанные с решением диофантовых уравнений, привели к открытию алгебраической геометрии - одного из важных разделов современной математики.

Основания математики.

Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым, обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств. Задача усиления строгости формулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 г. великий немецкий математик Д.Гильберт (1862-1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного им подхода - трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать любые объекты, удовлетворяющие аксиомам. Следствием этой особенности явилась возрастающая абстрактность современной математики. Евклидова и неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин «точка» может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для тополога точкой может быть функция или последовательность чисел, равно как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких «точек».

Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки - мощности множества (трансфинитные числа). При этом был обнаружен ряд парадоксов в теории множеств. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований математики, такими, как неявное использование аксиомы выбора; ряд сомнений вызывал и закон исключенного третьего (или доказательство от противного). Однако ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты, доказанной великим К.Гёделем (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, использующая аксиоматику натурального ряда, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках формальной системы. Тем самым, было доказано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. Действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие открытых формальных логических структур; это показывает, что в основе математики лежит не формальная логика, а здравая интуиция.

Если математику, известную до 1600 г., можно охарактеризовать как элементарную, то по сравнению с тем, что было создано позднее, элементарная математика бесконечно мала. Расширились старые области и появились новые, как чистые, так и прикладные отрасли математических знаний. Выходят около 500 математических журналов. Огромное количество публикуемых результатов не позволяет даже специалисту ознакомиться со всем, что происходит в той области, в которой он работает, не говоря уже о том, что многие результаты доступны пониманию только специалистами узкого профиля. Ни один математик сегодня не может надеяться знать больше того, что происходит в очень маленьком уголке науки. Однако это вовсе не означает, что следует заниматься только узким разделом математики. Математика едина по своей сути, ее идеи проникают из одной области в другую. Многие результаты и направления математических исследований вызваны непосредственными потребностями других наук.

РАЗДЕЛ 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Тема 2.1. Первичные понятие и простейшие свойства.

Из основного курса вам известны понятия одночлена и многочлена от нескольких переменных. Вы знакомы также с понятием степени и знаете ее свойства: при умножении многочленов степени складываются, при сложении многочленов степень не может увеличиться, она может уменьшиться.

10. Старшие члены многочленов. Далее, одночлены одной степени можно сравнивать, сравнивая их наборы показателей, например, набор (2, 3, 5) больше, чем набор (2, 3, 4), поэтому мы считаем, что одночлен 7x2y3z5 больше одночлена 12x2y3z4. Сравнивая одночлены, мы сравниваем только показатели сначала по первой переменной (в данном случае по x), потом по второй переменной (это y), затем по следующей переменной (это z). Коэффициенты при одночленах, в данном случае - это числа 7 и 12, мы никак не сравниваем.

Определение. Среди одночленов, входящих в многочлен, имеется самый большой в указанном выше смысле, он называется старшим членом многочлена.

Легко сообразить, что при умножении старших членов получается старший член произведения многочленов. Поскольку при сложении многочленов не могут появиться новые одночлены, то старший член суммы не больше старшего члена одного из слагаемых.

20. Понятие симметрического многочлена.

Определение. Многочлен ? (от нескольких переменных) называется симметрическим, если он не меняется при любом переименовании переменных.

Рассмотрим всевозможные переименования переменных.

Для двух переменных x и y возможно только одно переименование:

x > y, y > x, которое обозначим через (12).

Три переменные (x, y, z): x > y, y > z, z > x (его обозначим через (123));

аналогично вводятся переименования

(12) x > y, y > x, z > z; (13) x > z, z > x, y > y;

(23) x > x, y > z, z > y; (132) x > z, z > y, y > x и т.д.

Приведем пример симметрического многочлена: ? = x2 + y2. Это многочлен от двух переменных, поэтому рассмотрим единственное возможное переименование переменных (12): (x2 + y2)(12) = y2 + x2 = ?. Следовательно, ? симметричен. Но следует заметить, что он несимметричен для переименования (23), так как (x2 + y2)(23) = y2 + z2, следовательно, данный многочлен не является симметрическим от трех переменных.

Для дальнейшего изучения данной темы нам потребуются два утверждения, которые мы с вами примем без доказательства.

Критерий симметричности многочлена. Многочлен ? от n переменных симметричен тогда и только тогда, когда он не меняется при следующих двух переименованиях переменных (12) и (12…n).

Таким образом, проверять надо только два переименования переменных, а не n! («эн» факториал) переименований, указанных в определении симметрического многочлена. Напомним, что факториал n! определяется как произведение чисел от 1 до n!

В частности, для проверки симметричности многочлена ? от 3 переменных нам надо проверить меняется ли он при переименованиях (12) и (123).

Теорема. Сумма, разность и произведение симметрических многочленов являются симметрическими многочленами.

20. Элементарные симметрические многочлены.

Важными примерами симметрических многочленов служат элементарные симметрические многочлены. Приведем их для некоторых наборов переменных.

Для двух переменных (x, y) существует два элементарных симметрических многочлена:

1 = x + y (сумма переменных);

2 = xy (произведение переменных);

2. Для трех переменных существует три элементарных симметрических многочлена:

1 = x + y + z (сумма переменных)

2 = xy + xz + yz (сумма произведений двух различных переменных)

3 = xyz (произведение трех переменных)

Для четырех переменных существует четыре элементарных симметричных многочлена:

1 = x + y + z + t (сумма переменных)

2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt (сумма произведений по два)

3 = xyz + xzt + yzt + xyt (сумма произведений по три)

4 = xyzt (произведение всех переменных)

Приведем два утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.

Лемма 1. Показатели степеней старшего члена симметрического многочлена расположены в невозрастающем порядке.

Докажем это утверждение для 3 переменных: x, y, z; общий случай рассматривается точно также. Пусть u - старший член; u = axiyjzk, где a - число, i, j, k - показатели степеней. Необходимо проверить, что i ? j ? k. Допустим от противного, что i<j. Тогда, так как f - симметричный многочлен, то f = f(12), значит, среди одночленов, входящих в его состав, содержится одночлен: (axiyjzk)(12) = axjyizk. Поскольку по предположению i<j, то одночлен axjyizk будет больше старшего члена, и это противоречит определению. Следовательно, i ? j. Аналогично проверяется неравенство j ? k.

Лемма 2. Каждый одночлен от элементарных симметрических многочленов однозначно определяется своим старшим членом.

Доказательство рассмотрим на примере. Пусть дан -одночлен S = a1i2j3k, т.е. одночлен от элементарных симметрических, зависящих от трех переменных x, y, z (a - произвольное число, отличное от нуля). Для того чтобы найти его старший член необходимо перемножить старшие члены элементарных симметрических многочленов. Ясно, что старший член 1 равен x, старший член 2 равен xy, старший член 3 - это xyz. Следовательно, старший член многочлена a1i2 j3k имеет вид

axi(xy) j(xyz)k = axi+j+k y j+k zk.

Заметим, что если известен старший член u для -одночлена S = a1i2j3k, то можно найти числа a, i, j, k. Например, если u = 2x5y4z3, то a = 2,

i + j + k = 5, j + k = 4, k = 3,

значит, i = j = k = 1.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.

10. Представление симметрического многочлена через элементарные.

Основная теорема. Всякий симметричный многочлен единственным образом можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических.

Доказательство приведем на конкретном примере, рассматривая симметрический многочлен f = x3 + y3 + z3. Представление f в виде многочлена от элементарных симметрических оформим в виде алгоритма:

Шаг 0. Вводим начальный многочлен f0 = f, и находим его старший член - это x3. Используя лемму 2, восстанавливаем по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических, в данном случае получаем s0 = ц13. Отметим еще раз, что многочлены f0 и s0 имеют одинаковые старшие члены.

Шаг 1. Полагаем f1 = f0 - s0:

f1 = f - s0 = x3 + y3 + z3 - (x + y + z)3 = - 3(x2y + y2x + …) - 6xyz.

В последней скобке стоят одночлены указанного вида от трех переменных; коэффициенты определяются по формуле «куба суммы».

Далее, находим старший член f1 - это одночлен -3x2y; и восстанавливаем по нему одночлен s1 от элементарных симметрических: s1 = -3ц1ц2. Отметим, что старшие члены многочленов f1 и s1 совпадают.

Шаг 2. Положим f2 = f - s1 = - 3(x2y + y2x + …) - 6xyz + 3ц1ц2 =

= - 3(x2y + y2x + …) - 6xyz + 3(x + y + z)(xy + yz + zx) =

= (-6 + 9)xyz = 3xyz = 3ц3.

В общем случае указанный алгоритм выдает две конечные последовательности многочленов: f0, f1, f2, … (в нашем случае f0, f1, f2), s0, s1, s2, … (в нашем случае s0, s1). В нашем случае f2 = 3ц3, процесс закончился на шаге 2, когда мы получили одночлен от элементарных симметрических. Положим s3 = 3ц3, и запишем систему равенств f0 = f,f1 = f0 - s0, f2 = f1 - s1, s2 = f2. Складывая почленно полученные равенства, получаем s2 = f - s0 - s1, откуда находим f = s0 + s1 + s1. Значит, f - сумма -одночленов и в нашем случае f =13 - 212 + 3ц3.

20. Метод неопределенных коэффициентов. Из доказательства основной теоремы вытекает

Следствие. Всякий симметрический многочлен f представим в виде многочлена g от элементарных симметрических, причем коэффициенты g являются целыми числами, если целыми числами были коэффициенты многочлена f.

Отметим без доказательства, что многочлен g, о котором идем речь в последнем утверждении находится по многочлену f однозначно. На этом замечании основан еще один способ представления симметрического многочлена через элементарные симметрические, называемый методом неопределенных коэффициентов. Этот метод является более эффективным при решении задач.

Проиллюстрируем его на примере многочлена f = x3 + y3 + z3. Так как наш многочлен содержит 3 переменные, то давайте распишем вектор-показателей (в данном случае тройку чисел), который отвечает показателям старшего члена при переменных x, y, z. Он имеет вид (3,0,0) (при x - степень 3, при y - 0, при z - 0).

Согласно алгоритму, указанному в основной теореме, на каждом шаге происходит уменьшение вектора показателей степеней у старшего члена. Выпишем тройки чисел показателей для всевозможных старших членов, заметив, что их компоненты располагаются в невозрастающем порядке согласно лемме 1:

(3,0,0) - соответствует старшему члену x3

(2,1,0) - соответствует старшему члену x2y

(1,1,1) - соответствует старшему члену xyz

Для каждой из троек приведем соответствующие ц-одночлены (т.е. одночлены от элементарных симметрических многочленов):

(3,0,0) > ц13

(2,1,0) > ц1ц2

(1,1,1) > ц3

Значит, многочлен f можно представить в виде f = aц13 + bц1ц2 + cц3, где a,b,c - некоторые числа. Их нам надо найти.

Для того, чтобы их отыскать надо поступить так: присвоить какие-нибудь значения переменным x, y, z и посчитать в этой точке значения многочленов f, ц1, ц2, ц3.

Тем самым, каждый раз возникает линейное уравнение на числа a, b, c. Взяв необходимое число различных точек, и решив соответствующую систему линейных уравнений, найдем a, b, c. Для простоты вычислений точки надо выбирать так, чтобы в них было по возможности больше нулей, и при подстановке в наше равенство получилось бы уравнение относительно одной неизвестной. Обычно берут точки

(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Рассмотрим точку t = (1,0,0) и вычислим f(t) = 1, ц1(t) = 1, ц2(t) = 0, ц3(t) = 0. Подставляя найденные значения в равенство f = aц13 + bц1ц2 + cц3, получаем 1 = a·1, a=1, следовательно, f = ц13 + bц1ц2 + cц3. Точка t = (1,1,0) приводит к значениям

f(t) = 2, ц1(t) = 2, ц2(t) = 1, ц3(t) = 0,

следовательно, после подстановки в равенство f = ц13 + bц1ц2 + cц3, получаем

2 = 23 + 2b, b откуда = - 3, значит,

f = ц13 - 3ц1ц2 + cц3.

Теперь считаем значения в точке t = (1,1,1):

f(t) = 3, ц1(t) = 3, ц2(t) = 3, ц3 t) = 1,

значит, 3 = 33 - 333 + c, c = 3. Итак, f = ц13 - 3ц1ц2 + 3ц3.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.

10. Симметрические дроби.

Определение. Дробь вида f/g, где f, g - многочлены от нескольких переменных называется симметрической, если она не меняется при любых переименованиях переменных.

Нетрудно понять, что симметричность дроби не зависит от формы ее записи. Умножая числитель и знаменатель на подходящий многочлен, можно добиться, что знаменатель станет симметрическим многочленом, но тогда и числитель, очевидно, будет симметрическим многочленом. Отсюда на основании основной теоремы получаем следующий результат.

Теорема. Всякая симметрическая дробь представима в виде отношения двух многочленов, каждый из которых является многочленом от элементарных симметрических многочленов.

20. Симметричные многочлены по наборам переменных.

Определение. Пусть у нас есть два набора переменных:

x = (x1, x2,…, xn) и y = (y1, y2,…, ys).

Многочлен f = f(x1,…, xn, y1,…,ys) называется симметрическим по этим наборам, если он не меняется при любых переименованиям, как переменных x, так и y (то есть он симметричен по каждому набору отдельно).

Введем обозначения: ц1,…,цn - элементарные симметрические от переменных x, ш1,…,шs - элементарные симметрические от переменных y.

Теорема 2. Всякий многочлен f(x1,…, xn, y1,…,ys) симметричный по двум наборам переменных представим в виде многочлена от элементарных симметрических ц1,…,цn, ш1,…,шs.

Доказательство. Запишем f(x, y) в виде многочлена g(y); коэффициенты g - это многочлены hi(x) от набора x. Ясно, hi(x) - симметрические многочлены от x, а g - симметрический многочлен от y. Многочлен g по основной теореме представлен в виде многочлена от элементарных симметрических ш1,…,шs, причем его коэффициенты являются суммой многочленов hi(x), и значит, являются многочленами от элементарных симметрических ц1,…, цn. Тем самым, получено представление исходного многочлена через ц и ш.

30. Формулы Виета. Вы знаете формулы Виета для квадратного многочлена. Оказывается аналогичные формулы справедливы для произвольного многочлена.

Возьмем для определенности кубический многочлен f = a0x3 + a1x2 + a2x + a3. Допустим, нам известны корни многочлена f; пусть это будут числа г1, г2, г3. Тогда по теореме Безу верно равенство: f(x) = a0(x - г1)(x - г2)(x - г3). Сравнивая коэффициента при одинаковых степенях x, получаем

a1 = - a0ц1(г), ц1(г) = - a1/a0,

a2 = a0ц2(г), ц2(г) = a2/a0,

a3 = - a0ц3(г), ц3(г) = - a3/a0.

Формулы для вычисления значений элементарных симметрических многочленов от корней данного многочлена называются формулами Виета. Для кубического многочлена они имеют вид ц1(г) = - a1/a0, ц2(г) = a2/a0, ц3(г) = - a3/a0. Если коэффициенты многочлена a0x3 + a1x2 + a2x + a3 положительны, то в этих формулах знаки чередуются.

РАЗДЕЛ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Тема 3.1. Числовые поля.

С первого класса вы изучаете различные числа, начиная с натуральных чисел и заканчивая действительными числами. Напомним основные классы чисел.

10. Основные числовые системы.

а) Натуральные числа - это числа, употребляемые для счета. Множество натуральных чисел обозначается через Н, значит, Н = {1, 2, 3, …}.

б) Целые число - это натуральные числа, нули и числа, противоположные натуральным. Множество целых чисел обозначается через Z, т.е. Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.

в) Рациональные числа - это отношения целых чисел, т.е. числа вида m/n, где mZ, nN. Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической. Верно и обратное, каждая такая дробь является рациональным числом. Такое представление неоднозначно, например, 1,(9) = 2,(0) = 2. Множество рациональных чисел обозначается через Q.

г) Действительные числа - можно определить как бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел обозначается через R. Каждое действительное число можно изобразить точкой на прямой (такая прямая называется числовой осью).

д) Иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными. Для этого множества будем использовать букву I. Известно, что каждое иррациональное число однозначно представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Примеры: 0,010010001… (число нулей между соседними единицами неограниченно увеличивается).

е) Комплексные числа - обозначается множество комплексных чисел через C. Для вас это новое числовое множество, поэтому необходимы соответствующие определения.

20. Действия над комплексными числами. Комплексные числа можно определять как точки на координатной плоскости или пары действительных чисел. Сложение и умножение пар определяется правилами:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Сложение пар определено покоординатно, а умножение существенно более сложным образом (его смысл будет ясен чуть позже). Отметим, что вычитание и деление можно вводить обычным образом, как решения соответствующих уравнений:

z + x = t, zx = t (z 0)

где z и t данные комплексные числа, x - неизвестное. Можно доказать, что указанные уравнения имеют единственные решения. Кроме того, отметим, что арифметические действия обладают известными для действительных чисел свойствами, в частности, можно по обычным правилам преобразовывать дробные выражения.

Существенным отличием от действительных чисел является невозможность ввести на C порядок так, чтобы были выполнены основные свойства неравенств, в частности, почленное умножение неравенств.

30. Алгебраическая форма. Пусть i = (0;1) и называется мнимой единицей. Любое комплексное число представимо в виде z = a + bi, где a, b R, i - мнимая единица (i2 = - 1). Это алгебраическая форма комплексного числа z. Записывая пары в алгебраической форме, раскрывая по обычным правилам скобки, приводя подобные члены и используя равенство i2 = - 1, получим указанные выше определения действий сложения и умножения. В самом деле, (a, b)(c, d) = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ac - bd, ad + bc).

30. Тригонометрическая форма. Каждое комплексное число a + bi изобра-жается точкой (a, b) на плоскости. Вместо этой пары можно рассматривать другую пару действительных чисел, задающих ту же точку.

29

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Проведем радиус-вектор в точку (a, b), пусть ц - угол между направлением оси 0x и данным радиус вектором, - длина радиус-вектора.

Тогда число a + bi можем описать парой чисел (, ц). При этом ц называется аргументом комплексного числа, а - его модулем. Из прямоугольного треугольника имеем 2 = a2 + b2 (теорема Пифагора), значит, . Кроме того, используя понятия синуса и косинуса, получаем a = cosц, b = sinц. Тогда число z = a + bi представимо в виде: z = (cosц + sinц). Указанное представление называется тригонометрической формой числа z. Отметим, что модуль числа находится однозначно, а аргумент с точностью до слагаемых вида 2n, n - любое целое число.

40. Теорема Гаусса.

В множестве C комплексных чисел мы можем вычислить корень из отрицательного числа, и вообще корень любой натуральной степени. Всякое уравнение xn = z имеет ровно n корней. Более того, справедлива

Теорема Гаусса. Всякий многочлен n-ой степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней.

В частности, можно разложить на множители сумму квадратов действительных чисел, правда, сомножители при этом оказываются комплексными:

a2 + b2 = (a + bi)(a - bi).

Определение. Числа a + bi и a - bi называются комплексно сопряженными.

При этом пишут . Перечислим свойства комплексного сопряжения:

; ; ; .

Гауссу принадлежит строгое определение понятия комплексного числа; он же предложил их изображать как точки на плоскости. Независимо от Гаусса идея геометрического представления комплексных чисел пришла к менее известным математикам - датчанину К.Весселю и швейцарцу Ж.Аргану. Обозначение мнимой единицы буквой i принадлежит Эйлеру.

50. Расположение числовых систем. Изобразим рассмотренные выше числовые системы на диаграмме:



Эта схема характеризует расширение понятия числа - центрального понятия во всей математике.

Подведем некоторый итог. Итак, многочлен с рациональными коэффициентами степени n имеет ровно n корней. Среди корней многочленов могут быть иррациональные и действительные числа. Может случиться, что все корни будут комплексными числами.

Тема 3.2. Алгебраические числа.

10. Понятие поля. Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.

Определение. Множество чисел М называется замкнутым относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел М, для которых определен результат данного действия, число, являющееся этим результатом, принадлежащим М.

Примеры. Множество натуральных чисел N замкнуто относительно сложения, т.е. результат сложения двух натуральных чисел является всегда числом натуральным. В отношении умножения множество N так же замкнуто. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Определение. Множество чисел k, содержащие не менее двух чисел, называется полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления (конечно, при условии, что знаменатель отличен от нуля).

Последнее означает, что для любых двух чисел из множества k результаты действий a + b, a - b, a b, a: b также принадлежат множеству k.

20. Примеры полей. Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

поле рациональных чисел;

поле вещественных чисел;

поле комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является кольцом, т.е. замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Примерами нечисловых колец являются многочлены от одной или нескольких переменных, симметрические многочлены. Примером нечислового поля служит множество симметрических дробно - рациональных функций, т.е. отношения симметрических многочленов.

Существует бесконечно много числовых полей. Например, множество всех чисел вида , где a, b - рациональны, - является полем. Заменяя на другую квадратичную рациональность - корень квадратного трехчлена с рациональными коэффициентами, получим новые поля.

С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется рассмотрение чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному полю.

30. Понятие алгебраического числа.

Определение. Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными (или целыми) коэффициентами.

Определение. Неалгебраическое число называется также трансцендентным.

Примерами трансцендентных чисел являются числа (отношение длины окружности к ее диаметру) и e (основание натуральных логарифмов). Трансцендентных чисел больше, чем алгебраических, однако доказательство трансцендентности конкретного числа - трудная математическая задача.

40. Простейшие свойства алгебраических чисел.

Каждое рациональное число a является алгебраическим, так как оно является корнем многочлена x - a с рациональными коэффициентами.

Если a - положительное рациональное число, то являются алгебраическим, как корни многочленов x2 - a, x3 - a. Можно доказать, что корень n-ой степени из алгебраического числа является алгебраическим числом.

Сумма алгебраического числа г и рационального числа a является алгебраическим числом.

Число, противоположное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если г - корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то - г - корень многочлена c0xn - c1xn - 1 + … + (- 1)ncn (знаки многочлена чередуются).

Число, обратное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если г - ненулевой корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то г - 1 - корень многочлена c0 + c1x + … + cnxn.

50. Степень алгебраического числа.

Определение. Число n называется степенью алгебраического числа г, если г - корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является г.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратичная иррациональность представляет собой алгебраическое число второй степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого - либо линейного уравнения с целыми коэффициентами. Алгебраические числа степени 3 часто называют кубическими иррациональностями, а степени 4 - биквадратичными иррациональностями.

Пример. - алгебраическое число степени 3.

Действительно, это число есть корень уравнения третьей степени с целыми коэффициентами x3 - 2 = 0 и не является корнем никакого многочлена первой или второй степени с целыми коэффициентами. Последнее утверждение нуждается в более строгом обосновании. Для этой цели нам потребуется определение минимального многочлена алгебраического числа.

60. Минимальный многочлен алгебраического числа.

Определение. Пусть г - алгебраическое число. Многочлен м(x) с рациональными коэффициентами называется минимальным многочленом числа г, если выполнены два условия:

- м(x) неприводим, т.е. его нельзя представить в виде произведения многочленов положительной степени;

- м(г) = 0, т.е. г - его корень.

Обычно, минимальным многочленом числа г называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, корнем которого является г. Условие на старший коэффициент позволяет однозначно определить минимальный многочлен для каждого алгебраического числа.

Важнейшее свойство минимального многочлена числа г - он является делителем любого многочлена, корнем которого служит число г. Отсюда вытекает, что неприводимый многочлен, корнем которого является число г, совпадает с минимальным. Учитывая, что многочлен x3 - 2 неприводим, получаем, что он минимальный для числа .

Отметим также, что степень алгебраического числа совпадает со степенью его минимального многочлена.

60. Поле алгебраических чисел.

Теорема. Множество A всех комплексных алгебраических чисел является полем, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел и (для частного 0) являются алгебраическими числами.

Приведем доказательство этого факта по двум причинам. Во-первых, оно совершенно не очевидно. Даже в простом случае суммы нескольких квадратных корней достаточно трудно найти минимальный многочлен для их суммы. Пусть, например,

= + , . Тогда , т.е. является корнем многочлена (x2 - 5)2 - 24 = x4 - 10 x2 + 1. Это означает, что число является алгебраическим.

Во-вторых, оно совершенно отличается от традиционных тривиальных доказательств алгебраических утверждений.

Доказательство разобьем на три пункта.

10. Если - алгебраическое число, то числа - , - 1 также алгебраические.

Это утверждение было доказано ранее при обсуждении простейших примеров алгебраических чисел.

20. Сумма алгебраических чисел является алгебраическим числом.

Пусть и - алгебраические числа; f и g - их минимальные многочлены;

1 = , 2,..., n - все корни многочлена f (числа сопряженные к ),

1 = , 2,..., s - все числа сопряженные к .

Рассмотрим многочлен . Коэффициенты этого многочлена не меняются при произвольной перестановке чисел 1,..., n, аналогично, они не меняются при произвольной перестановке чисел 1,..., s, следовательно, они являются симметрическими многочленами над Q относительно указанных наборов переменных, но тогда по теореме Виета указанные числа рациональны. Итак, коэффициенты многочлена h(x) рациональны. Наконец, + - корень h(x).

30. Произведение алгебраических чисел является алгебраическим числом.

Достаточно повторить прежние рассуждения для многочлена . Тем самым, теорема доказана.

Определение. Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен над L разлагается на линейные множители.

По теореме Гаусса поле C является алгебраически замкнутым.

Теорема. Поле A является алгебраически замкнутым.

Иначе этот результат можно сформулировать так: всякий корень многочлена с алгебраическими коэффициентами сам является алгебраическим числом.

Доказательство. Пусть c - корень многочлена f(x) = x5 + x4 +x3 + x2+ x + с алгебраическими коэффициентами , , , , . Числа, сопряженные к коэффициентам исходного многочлена , , , , ., обозначим теми же буквами с соответствующими индексами, причем 1=, 1=, 1=, 1=, 1=. Введем многочлены

fi,j,k,l,m(x) = x5 + ix4 + jx3 + kx2 + lx + m

и рассмотрим их произведение F(x). Заметим, что коэффициенты многочлена F(x) являются симметрическими многочленами относительно каждого из наборов переменных

1, 2,...; 1, 2,...; 1, 2,...; 1, 2,...; 1, 2,....

Следовательно, по теореме Виета коэффициенты многочлена F(x) рациональные числа, а исходное число c - корень F(x), т.е. является алгебраическим.

Тема 3.3. Теорема Кантора.

Этот раздел посвящен ответу на вопрос: каких чисел больше алгебраических или трансцендентных? Сначала надо объяснить - что означает больше, если множества бесконечные? Конечные множества сравнивать легко, считая большим то множество, в котором больше элементов. Конечно, математики умеют пересчитывать элементы в любом бесконечном множестве, используя для этого так называемые кардинальные числа. Мы не будем даже пытаться излагать эту теорию, а ограничимся совсем простыми наблюдениями.

10. Счетные и несчетные множества.

Определение. Числовое множество называется счетным, если элементы этого множества можно пересчитать.

Следует подробнее остановится на идее «пересчета». Пересчитать элементы бесконечного множества - это значит установить взаимно-однозначное соответствие между данным множеством и множеством натуральных чисел, или записать элементы данного множества в последовательность, или присвоить каждому элементу множества какой-нибудь номер.

Определение. Если множество бесконечно и не является счетным, то оно называется несчетным.

Далее мы приведем примеры счетных и несчетных множеств, отметив пока, что рациональных чисел счетно, а действительных несчетно.

20. Примеры взаимно-однозначных соответствий.

Возьмем два отрезка равной длины. Соединим концы данных отрезков и увидим, что каждой точке одного отрезка соответствует точка другого:

Как установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и квадратом. Для этого достаточно вписать окружность в квадрат и проводить прямые через центр окружности до пересечения с квадратом. Тогда каждой точке окружности будет соответствовать точка квадрата.

Легко установить счетность множества Z целых чисел. Для этого расположим все целые числа таким образом: 0,1, - 1, 2, - 2,… Видно, что мы представили их в виде числовой последовательности вида a1, a2, a3, a4,… Можно было сделать иначе, указав номер N(x) целого числа x: . Правда при этом не каждое натуральное число будет номером какого-нибудь целого числа, например, уравнение N(x) = 5 не имеет решений, значит, 5 не является номером никакого целого числа.

По существу очевиден следующий результат.

Теорема. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Из нее вытекает, что если каждому элементу множества удалось присвоить номер (при этом допустимо, что у некоторых элементов может оказать даже бесконечно много номеров), то это множество счетно.

С помощью этого замечания можно доказать, что рациональных чисел счетное число. Каждое рациональное число является отношением целых. Обозначим номер целого числа x через N(x), тогда можно присвоить номер рациональному числу x/y по формуле N(x/y) = 2N(x)3N(y). При этом каждому рациональному числу присваивается бесконечно много номеров ввиду неоднозначности представления рационального числа в виде дроби, однако разным рациональным числам присваиваются разные номера. При этом конечно есть натуральные числа (например, степени 5), которые не являются номером никакого рационального числа.

20. Свойства счетных множеств. Начнем со следующего простого факта.

Теорема. Пусть у нас есть счетные множества А, В, С. Тогда объединение этих множеств также счетно.

Доказательство. Так как все эти множества счетны, то они представимы в виде последовательностей: A: a1, a2, a3, …; B: b1, b2, b3, …; C: c1, c2, c3, … Объединение этих множеств содержит элементы каждого множества. Будем выписывать элементы объединения множеств, двигаясь по столбцам слева направо, а в каждом столбце сверху вниз: a1, b1, c1; a2, b2, c2; a3, b3, с3,…, т.е. объединение указанных множеств счетно.

Следующая теорема уже не столь очевидна.

Теорема 1. Счетное объединение счетных множеств счетно.

Доказательство. Запишем в виде таблицы элементы данных множеств, считая, что в первой строке занумерованы элементы первого множества и т.д. Рассмотрим систему расширяющихся квадратов Kn (n = 1, 2, …). Квадрат Kn находится на пересечении первых n строк и первых n столбцов таблицы. Теперь все элементы легко записать в виде последовательности. Сначала записываем элемент из первого квадрата, потом в любом порядке элементы второго квадрата (можно записанные ранее элементы не писать еще раз, а можно и писать), потом элементы третьего квадрата и т.д.

Следующий результат совсем не очевиден, его доказательство принадлежит великому математику 20 века Гёделю и основано на идее нумерации.

Теорема 2. Множество конечных последовательностей рациональных чисел счетно.

Доказательство. Пусть N какой-нибудь пересчет рациональных чисел. Найдем по формуле номер конечной последовательности рациональных чисел

,

где pn - простое число с номером n, т.е. p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, … Поскольку каждое натуральное число однозначно разлагается на простые множители, то по номеруоднозначно восстанавливаются номера N(x1), N(x2), …, N(xn), а по каждому из них и рациональные числа x1, x2, …, xn.

Для нас центральным в этом пункте является следующая

Теорема 3. Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Каждый многочлен полностью задается своими коэффициентами, значит, многочлен с рациональными коэффициентами полностью определяется конечной последовательностью рациональных чисел. Следовательно, по теореме 2 таких многочленов счетное число. Каждый из многочленов имеет конечное число корней, значит, алгебраических чисел заданной степени счетное число. Множество алгебраических чисел представляют собой объединение указанных множеств, значит, по теореме 1 это множество счетно.

30. Число точек на отрезке [0;1].

Теорема Кантора. Точек на отрезке [0;1] несчетное множество.

Доказательство. Применим так называемый процесс Кантора. Предположим от противного, что точек на отрезке [0;1] счетное число, значит, их можно выписать в последовательность a1, a2, a3, … Запишем каждое из чисел в виде бесконечной десятичной дроби:

a1 = 0, a11 a12 a13 …,

a2 = 0, a21 a22 a23 …,

a3 = 0, a31 a32 a33 …, и т.д.

Построим число, лежащее на отрезке [0;1] и отличное от перечисленных. Для этого положим b = 0, b1b2 … bn …, считая, что все цифры, входящие в запись числа b отличны от 0 и 9, а также цифра b1 отлична от цифры a11, цифра b2 отлична от цифры a22, …, цифра bn отлична от цифры ann, и т.д. Если b оказалось бы равным некоторому числу an, то были бы равны цифры bn и ann, что противоречит определению числа b.

Теперь мы можем дать ответ на сформулированный в начале пункта вопрос: каких чисел больше алгебраических или неалгебраических? Больше чисел неалгебраических, чем алгебраических, поскольку первое множество несчетно, а второе счетно.

У приведенной теоремы Кантора есть один «серьезный недостаток», она не позволяет указать хотя бы одно неалгебраическое число.

Впервые о существовании трансцендентных чисел заявил Лиувилль в 1844 году, заметив, что иррациональные алгебраические числа не допускают «очень сильных» приближений рациональными числами. Эрмит в 1873 году доказал трансцендентность числа e, а трансцендентность числа доказал Линдеман в 1882 году. Следует отметить особо, что с помощью этого факта была решена проблема, стоявшая почти 20 веков - задача о квадратуре круга: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий кругу радиуса 1?

На языке алгебраических чисел задачу о квадратуре круга можно переформулировать так: можно ли число записать в виде алгебраического выражения, содержащего рациональные числа, знаки арифметических действий и знак квадратного корня (знаки действий и корня могут использоваться любое конечное число раз).

Так вот, Линдеман доказал, что так получить число нельзя, разрешив даже использовать радикалы любой степени, а не только второй.

Одновременно и независимо друг от друга в 1934 году советский математик Гельфонд и немецкий математик Шнейдер доказали, что число не является алгебраическим, решив седьмую проблему Гильберта.

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделах математики. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Доказательство трансцендентности конкретных чисел представляет собой решение трудных математических проблем.

§ 2. Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

Введение. Тема «Алгебраические числа» может быть рассмотрена в системе углубленного изучения математики, однако, в соответствии с существующей на данный момент образовательной программой не является обязательной: она связана с расширением существующего содержания по сравнению с общеобразовательным курсом.

В 1997 году Н.Я.Виленкин выпустил учебник «Алгебра» для учащихся школ с углубленным изучением математики. В данном пособии он выделил отдельную главу, посвященную теории многочленов и предлагает на рассмотрение многие вопросы, носящие скорее необязательный характер. Среди них находится и тема «Алгебраические числа». В этом учебнике проводится изучение симметрических многочленов на примере многочленов от двух переменных. К сожалению, в учебнике нет алгебраических чисел, играющих важную роль в математике, ввиду их обширных применений. В контексте алгебраических чисел устанавливаются разнообразные связи между различными разделами и направлениями математики. Например, многочлены, поля, комплексные числа, построения с помощью циркуля и линейки, диофантовы уравнения - вот далеко неполный перечень соответствующих направлений.

Как мы уже говорили, основной целью изучения многочленов в школе является не столько изучение самой теории многочленов, сколько совершенствование изучения математики с помощью элементарных понятий и методов теории многочленов.

Поэтому главной задачей изучения темы является не формирование прочных и устойчивых навыков использования соответствующего математического аппарата при решении задач, а демонстрация новых понятий и идей.

Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий

Ученик должен иметь представление:

об истории развития математики и возникновении основных понятий - число, уравнение, многочлен от нескольких переменных, поле, алгебраическое число, счетное множество;

об основных задачах, приводящих к теории алгебраических чисел;

об именах великих математиков, внесших огромный вклад в науку.

Раздел 2. Симметрические многочлены.

Ученик должен иметь представление:

о понятии симметрического многочлена;

о виде элементарных симметрических многочленов;

о способах представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических;

Ученик должен знать:

формулировку основной теоремы о симметрических многочленах;

формулы Виета.

Ученик должен уметь (для степени 2 и 3):

приводить примеры симметрических многочленов;

записывать набор показателей старшего члена многочлена;

сравнивать старшие члены;

восстанавливать по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических;

выражать симметрический многочлен через элементарные симметрические;

применять формулы Виета.

Тема 2.1. Понятие симметрического многочлена.

Введение понятия симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.

Основная теорема о симметрических многочленах. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических. Метод неопределенных коэффициентов.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.

Симметрическая дробь, ее свойства. Симметрические многочлены по наборам переменных. Формулы Виета.

Раздел 3. Алгебраические числа.

Ученик должен иметь представление:

о понятии замкнутости числового множества;

об основные числовые множества;

о понятии числового поля;

о понятии алгебраически замкнутого поля.

Ученик должен знать:

определение числового поля;

определение алгебраического числа;

определение минимального многочлена;

понятия счетного и несчетного множества;

формулировку теоремы о множестве алгебраических чисел;

формулировку теоремы о счетности алгебраических чисел;

диагональный процесс Кантора.

Ученик должен уметь:

выполнять действия над комплексными числами;

изображать комплексные числа на плоскости;

находить модуль и аргумент комплексного числа;

приводить примеры алгебраических чисел;

приводить примеры счетных и несчетных множеств;

доказывать счетность множества целых чисел;

устанавливать взаимно-однозначные соответствия между отрезками разной длины,

окружностями разного радиуса; окружностью и квадратом.

Тема 3.1. Числовые поля.

Множество натуральных чисел. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел. Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел. Числовые и нечисловые поля.

Тема 3.2. Алгебраические числа.

Понятие алгебраического числа. Степень алгебраического числа и свойства алгебраических чисел. Минимальный многочлен. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.

Тема 3.2. Теорема Кантора.

Счетность и несчетность числовых множеств, примеры. Счетность множества алгебраических чисел. Диагональный процесс Кантора. Несчетность множества трансцендентных чисел.

Приведем теперь тематический план обсуждаемого факультатива.

Тематический план

Название	Количество часов
	Максимум	Всего	Лекции	Семинары	Самост. работа.
Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий	2	2	2	-	-
Раздел 2. Симметрические многочлены	15	15	5	5	4
Тема 2.1. Первичные понятие и простейшие свойства	4	4	1	2	1
Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах	5	5	2	2	2
Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы	4	4	2	1	1
Раздел 3. Алгебраические числа	7	7	6	8	8
Тема 3.1. Числовые поля	3	3	2	4	4
Тема 3.2. Алгебраические числа	2	2	2	2	2
Тема 3.3. Теорема Кантора	2	2	2	2	2
Всего:	24	24	13	13	13

Список упражнений и задач для контроля

Симметрические многочлены

1. Напишите несколько переименований для 5 переменных: x, y, z, p, q.

2. Допустим, что мы выполнили последовательно переименования (12) и (13). Тогда получилось новое переименование, которое назовем произведением и запишем в виде (12)(13). Найти произведения: (12)(13), (12)(123), (12)(123)(12).

3. Приведите пример симметрического многочлена от 3, 4, 5 переменных.

4. Проверьте симметричность многочленов относительно указанных переменных:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) xy + zt + x3,

б) x3 + y3 + z3 + t2, г) x2 + y2 - xy.

5. Перечислите элементарные симметрические многочлены от x, y, z, t.

6. Восстановите многочлен, если известно его представление через элементарные симметрические многочлены:

а) f = ц13 - 3ц1ц2, в) f = ц14 - ц22 - ц1ц3,

б) f = ц13 - 4ц1ц2 + ц3, г) f = ц12ц2 - 3ц4.

7. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) (x + y)(y + z)(z + x),

б) x2y + xy2 + x2z + zx2 + y2z + yz2, г) (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y).

8. Расположите в убывающем порядке векторы показателей данной степени для старших членов, меньших данного набора:

(2,2,0,0,0), (3,0,0,0), (3,1,0,0,0), (3,3,0,0), (2,2,2,0), (4,1,0,0).

9. Сколько существует элементарных симметрических многочленов от 3 и 4 переменных? Перечислите их.

10. Как записать симметрическую дробь f/g в виде дроби с несимметричным знаменателем?

11. Почему симметрическую дробь можно представить в виде отношения двух симметрических многочленов?

12. Найти значение симметрического многочлена S от корней многочлена f:

а) S = x12x22 + …, f = x2 - x - 1; б) S = x12x2x3 + …, f = 2x2 - 3x + 1.

13. Пусть x1, x2, x3 - корни уравнения

а) x3 - 3x + 1 = 0, в) x3 - 2x2 + 3x - 1 = 0,

б) x3 + 3x - 1 = 0, г) x3 + 3x2 - 2x - 1 = 0.

Составить уравнения, имеющие указанные корни:

1) а) x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, б) x1 + x2 - x3, x2 + x3 - x1, x3 + x1 - x2,

2) а) 1/x1, 1/x2, 1/x3, б) 1/x1 + 1/x2, 1/x2 + 1/x3, 1/x3 + 1/x1,

3) а) x12, x22, x32, б) x1x2, x2x3, x3x1.

Комплексные числа

1. Вычислить:

а) (1 + 2i)(2 + 3i); б) (5 - 2i)(2 - 3i), в) (2 + 3i)(3 - 4i);

г) (1 + 2i)2, д) (1 + i)4, е) (1 + i)100.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) ; г).

3. Упростить выражение, считая действительными числа a и b:

а) (2 + i)5 +(2 - i)5, б) (1 + 2i)5 +(1 - 2i)5;

в), г);

4. Какие действительные числа a и b удовлетворяют уравнению:

а) (1 + i)a + (2 + 3i)b = 1 + 2i; б) (1 - 2i)a + (4 - 3i)b = 6 - 7i ?

5. Найти комплексные числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

(3 - i)x + (4 + 2i)y = -1 + 3i, (4 + 2i)x - (2 + 3i)y = 7.

6. Найти комплексные корни квадратного уравнения:

а) z2 + (2 - i)z - 3(1 + i) = 0; г) z2 - 5z + 7 + i = 0;

б) z2 + (1 + i)z - 3(2 - i) = 0; д) z2 - (2 + i) z + (-1 + 7i) = 0;

в) z2 - 3z + 3 + i = 0; е) z2 - (3 - 2i) z + (5 - 5i) = 0.

Определение. Комплексное число a - bi называется комплексно сопряженным к числу a + bi; обозначение .

7. Доказать свойства комплексного сопряжения:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Проверить, что следующие числа являются комплексно сопряженными:

а) (2 + 5i)4(4 - 3i)8 и (2 - 5i)4(4 + 3i)8; б) и .

9. Используя комплексные числа, доказать тождество Эйлера:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2.

10. Пусть многочлен f с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z. Доказать, что комплексно-сопряженное число также является корнем f.

11. Доказать, что

а) модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; что можно утверждать о модуле частного и модуле разности двух комплексных чисел?

б) модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых;

12. Решить уравнение:

а) = a + bi; б) = a + bi.