Формирование вычислительной культуры учащихся 5-6 классов

Примеры:

1. Пользуясь оценкой, сравните значение суммы 289+655 с 1000

Решение:

Необходимо прикинуть, что 1000 получается в результате сложения 300 и 700 (выбираем числа, которые ближе к слагаемым предложенной суммы). Заметим, что и 289<300, и 655<700, поэтому и вся сумма 289+655 меньше 1000.

2. Сравните с числом 10 сумму 2,901+2,809+2,999

Решение:

Замечаем, что каждое из слагаемых меньше трех, а значит их сумма заведомо меньше девяти, ну и, соответственно, меньше 10.

10>2,901+2,809+2,999

Кроме применения соответствующих правил, учащихся желательно учить сравнению чисел путем рассуждений. Это более завуалированный вариант сравнения с «рубежными» числами. Основная идея состоит в том, что это число не дано в задании, а дети его должны выявить сами. Этот прием можно использовать при сравнении обыкновенных дробей с разными знаменателями, т. к. такое сравнение можно осуществить проще и быстрее, нежели искать общий знаменатель, а потом сравнивать. Дроби удобно будет сравнивать с и с 1. Не всегда можно использовать подобный прием, но во многих заданиях, он помогает экономить и время, и силы.

При сравнении дробей с разными знаменателями на основе рассуждений и догадок можно разобрать сравнении таких пар чисел, как и , и , и , и :

1. Для дробей вида и в учебниках приводится даже вполне конкретное правило: «Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше». Поэтому, нетрудно установить, что >

2. Сравнить дроби и немного сложней, но тем не менее, так же возможно, для этого нужно сравнить каждую из дробей с единицей. Замечаем, что дроби не достает до единицы , а дроби не достает . А и сравнить проще. > , поэтому расположено от единицы дальше, чем .Значит, < .

3. и так же необходимо сравнивать с единицей, сразу заметив. Что - неправильная дробь, которая всегда больше или равна единице, а - дробь правильная, меньше единицы. Поэтому < .

4. Прием сравнения таких дробей, как и , основан на сравнении каждой из дробей с половиной.

<<, т. к. =

Для отработки подобного приема можно использовать следующие задания:

1) Запишите дробь, равную ; меньшую и большую , со знаменателем 10,12,50.

2) Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь . Какие из отмеченных чисел меньше ? Какие из отмеченных чисел больше ?

3) Выпишите дроби, которые больше :

,,,,,

4) Расположите дроби в порядке возрастания:

Прием второй «Сравнение путем рассуждений» (положительные и отрицательные числа)

При использовании такого приема сравнивают произведения чисел с нулем, с отрицательным числом, с положительным числом. Казалось бы, выполнение подобных упражнений полностью опирается на правило, ни о какой прикидке и речи не идет. Но, опять же находятся такие упражнения, которые отталкиваясь от правил, путем некоторых рассуждений, приводят нас фактически к необходимости выполнить их не вычисляя, а прикинув. Подобное задание встречается в учебнике Виленкина Н.Я и др. Этот пример будет подробнее разобран во второй главе моего диплома в одном из фрагментов урока.

Перед тем как сравнивать, нужно разобрать сравнение произведений с нулем в следующем виде:

· а - положительное число, b - отрицательное, сравните с нулем произведение аb.

Опираясь на правило умножения чисел с разными знаками, замечаем, что произведение положительного числа на отрицательное дает нам отрицательное число, а отрицательное число всегда меньше нуля. Следовательно, ab<0.

· а - отрицательное, b - отрицательное, сравните с нулем произведение ab.

Опираясь на правило умножение отрицательных чисел, замечаем, что произведение отрицательного числа на отрицательное дает нам положительное число, а положительное число всегда больше нуля. Следовательно, ab>0.

После выполнения такого задания рассматриваем сравнение в нулем конкретных произведений, уже не в общем виде:

· Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное равенство:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ;

Учитель предлагает выполнить это упражнение, не вычисляя. При выполнении пунктов а), б), д) полностью полагаемся на только что разобранные в общем виде случаи сравнения с нулем:

а) произведение отрицательного и положительного чисел дает нам отрицательное число, которое всегда меньше нуля;

б) произведение двух отрицательных чисел дает нам положительное число, которое всегда больше нуля;

д) аналогично, как и в пункте а), не смотря на то, что умножаем на дробь;

В пунктах в), г) и е) уже сравниваем с числом, но если в пункте в) такое сравнение осуществить совсем просто, не выполняя вычислений, то в пунктах г) и е) рассуждения будут немного сложней:

в) произведение положительного и отрицательного чисел дает нам отрицательное число, которое всегда меньше любого положительного;

г) Заметив, что в правой части произведение дает нам отрицательное число, знак все равно еще не можем поставить, т. к. в правой части тоже отрицательное число. Но есть одна особенность - сравним правую и левую часть, что общего можно отметить? «-8» есть и в правой, и в левой частях. Но, если в левой части оно взято всего один раз, то в правой целых 7,3 раза. Значит, на координатной прямой это число лежит левее числа -8. Поэтому .

е) Случай, казалось бы, аналогичен пункту г) (проводятся аналогичные рассуждения), но особенность заключается в умножении дробей. Необходимо вспомнить, что при умножении двух обыкновенных дробей мы получаем дробь, меньшую каждого из множителей (можно включить умножение дробей в устный счет в начале урока, чтобы затем освежить в памяти эти сведения). Поэтому, дробь, полученная при умножении на будет меньше, чем или . Получаем .

Этот прием больше используется в младшей школе при умножении многозначных чисел на однозначное или двузначное, но задания легко изменить таким образом, чтобы появилась возможность продолжить работать с таким приемом и в 5-6 классах. Достаточно натуральные числа заменить десятичными дробями, отчего суть приема не изменится.

В основе этого приема лежит знание таблицы умножения и навыки устного счета, а также используется округление чисел.

Главное, догадаться, что произведение чисел, не вычисляя можно определить по последней цифре числа, либо оценив произведение, округлив каждое из чисел до целых.

Примеры:

1) Догадайся! Как, не вычисляя значений произведений, выбрать из чисел, записанных справа, правильные ответы:

20,78 · 7 648,4

19,76 · 4 79,04

81,05 · 8 273,49

39,07 · 7 145,46

Школьники сначала умножают числа, стоящие в разряде сотых

(20,78 Ч 7 =?, 8 Ч7 = 56, результат 145,46), что дает основание предположить, какое из чисел второго столбика является значением данного произведения. Для последних двух выражений, значение произведения которых оканчивается цифрой 9 (7 Ч 7 = 49 и 1Ч9=9), во втором столбике есть два числа, имеющие в разряде сотых 9, в этом случае в качестве «прикидки» можно использовать прием округления (до целых).

2) Найди ошибки, не производя вычислений, способом «прикидки»:

80,04 Ч 9 = 72,36

99,8 Ч 8 = 7988,4

45,67 Ч 8 = 365,42

8,352 Ч 7 = 58,464

234,5 Ч 3 = 703,4

4.3 Задания на прикидку в ЕГЭ и ГИА

Умение быстро и правильно оценить результат вычислений, затратив на это минимум времени и сил необходимо, чтобы выполнению более трудных заданий уделить больше внимания, делать их спокойно, а не в суматохе.

Поэтому уже 5-6 классах необходимо начать готовить школьников к возможности выполнения некоторых заданий практически устно, прикинув возможный результат и отбросив заведомо неверный или же округлив результат до целых. Это важно потому, что подобные задания присутствуют как в ГИА, так и в ЕГЭ.

Задания на прикидку и оценку в ГИА [7, 22-25]:

· Округление натуральных чисел и десятичных дробей:

Задание 1.В одной столовой ложке - 25 г. риса, а в один стакан входит 235 г. риса. Сколько целых ложек риса помещается в одном стакане?

Решение:

1 способ. В 10 ложках содержится 10*25=250 г. риса. Это много для одного стакана. Если возьмем 9 ложек риса, то получим 9*25=225 г. риса, значит, в одном стакане помещается 9 целых ложек риса.

2 способ. В один стакан входит 235:25=9,4 ложек риса. Получается, что в один стакан входит 9 целых ложек риса.

· Прикидка и оценка результата вычислений

Задание 1. Оцените значение выражения 3х+2у, если 1 < x < 2, 3 < у < 4

A. (3,4) Б. (9,14) В. (6,10) Г. (4,8)

Решение:

Можно просто посчитать сумму при х=1, у=3 и х=2 и у=4. Понятно, что сумма будет больше 9, но меньше 14. Варианты А), В) и Г) отбрасываются автоматически, исходя из условия, сумма уже не может быть меньше 9.

Задание 2. На упаковке пачки сливочного масла есть информация: «Масса 5007 г». Укажите, сколько масла не может быть в этой пачке.

А. 502 г. Б. 507 г. В. 492 г. Г. 497 г.

Решение:

Запись «5007 г» означает, что в пачке не больше, чем 500-7=493 г., но и не меньше, чем 500+7=507 г. . В этот промежуток не входит ответ В) 492 г.

Задание 3. Билет на аттракцион для взрослого стоит 50 рублей, а для детей дешевле. Достаточно ли 250 рублей, для посещения аттракциона двум взрослым и трем детям?

А.достаточно В.недостаточно данных

Б.недостаточно Г.лишние данные

Задание 4. Вес среднего куриного яйца 43 г., в том числе 23 г. белка и 20 г. желтка. Найдите отношение веса желтка к весу белка и укажите в какой промежуток оно входит.

А. (0,3; 0,4) В. (0,5; 0,6)

Б. (0,4; 0,5) Г. (0,8; 0,9)

Задания на прикидку в ЕГЭ [23]:

В 1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на сто рублей после повышения цены билет на 20%?

В 1. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 500 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

В 1. Шариковая ручка стоит 10 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 10%?

В 5. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3)	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки
1	2600	10000
2	2800	8000	При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бес - платная.
3	2700	8000	При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная.

Как видно, что выполняя задания из ЕГЭ и ГИА, мы пользуемся теми же приемами, что и при изучении основных тем в 5-6 классах. Основой являются рассуждения, попытка по внешнему виду задания определить ответ, который будет заведомо ложным. Поэтому очень важно, чтобы школьники усвоили их вовремя, чтобы затем с успехом применять на экзаменах.

В этом параграфе были рассмотрены приемы обучения прикидке и оценке результатов вычислений. Вся следующая глава посвящена разработке методических рекомендаций по использованию этих приемов на уроках математики, а также в ней представлены фрагменты таких уроков.

5. Формирование вычислительной культуры учащихся 5-6 классов

5.1 Методические рекомендации по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5-6 классах

Очевидно, что вычислительная культура является необходимым элементом общеобразовательной подготовки учащихся прежде всего силу своей практической значимости. Умение предвидеть результат, осуществить его проверку входит в учебно-интеллектуальную группу общеучебных умений, которые создают необходимую основу для самостоятельно приобретенных знаний, дальнейшего образования.

Безошибочное выполнение вычислений является необходимой базой для обучения другим школьным дисциплинам. Причем, существуют определенные требования к уровню сформированности вычислительных навыков по годам обучения (таблица 1) [5, 67]:

Таблица 1

Класс	Скорость арифметического счета (операций в минуту)	Количество предложений с логическими союзами или связками в речи
	Сложение четырехзначных чисел	Вычитание четырехзначных чисел	Умножение трехзначных чисел
5	3-4	2-3	1	3-5
6	3-5	2-4	1-2	4-6
7	4-5	3-4	1-3	5-7
8	5-6	3-5	2-3	6-8
9	6-7	4-5	2-4	7-9
10	7-8	5-6	3-4	8-9
11	8-9	6-7	3-5	Не менее 10

Кроме того, следует отметить большие потенциальные возможности для развития интуиции, сообразительности, «здравого смысла», которые таятся в правильно организованной работе с числами. Вычислительную культуру в школьной математической подготовке нельзя рассматривать изолированно, так как, с одной стороны, без сформированных вычислительных навыков невозможно решать уравнения, неравенства, исследовать свойства функции, строить графики, решать практические задачи, с другой стороны ее формирование при правильно организованной методике обучения может осуществляться в процессе изучения любого раздела школьного курса математики.

В программе по математике отведено большое место вопросам формирования навыков вычислений. В начальной школе (1-4 классы) предусматривается овладение алгоритмами вычислений с многозначными числами, в младшем звене основной школы (5-6 классы) с обыкновенными и десятичными дробями, а позднее с приближенными значениями величин.

На протяжении всех лет обучения обращается особое внимание учащихся на необходимость предварительного планирования вычислительной работы, а лишь затем ее безошибочное осуществление.

Специфика математических алгоритмов состоит в том, что многие из них базируются на сложных навыках. Например, алгоритм сложения двух дробей с разными знаменателями основан на умении находить наибольшее общее кратное двух чисел, навыке применения основного свойства дроби для приведения дробей к общему знаменателю, навыке сложения двух дробей с одинаковыми знаменателями. В свою очередь каждый из них имеет сложную структуру, и несформированность какого-либо одного звена в этой системе является причиной несформированности более общего навыка сложения дробей с разными знаменателями. Учитывая сложную структуру многих математических алгоритмов, учителю следует с особым вниманием относиться к соблюдению основных методических требований к их формированию. Известно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формировать на сознательной основе, а поэтому желательно, чтобы формированию алгоритма, выработке соответствующего навыка предшествовало понимание сути выполняемого действия. Например, умножению десятичных дробей может предшествовать умножение на , где n - натуральное число, после чего умножение десятичных дробей сводится к умножению натуральных чисел.

Согласно одной из психологических теорий, формирование навыков происходит поэтапно, на первом этапе - овладение умением, а затем - доведение его до автоматизма. С учетом этого и должна строиться методика обучения. Для успешного овладения умением необходимо четкое выделение алгоритма действия, его структуры, осознание каждого шага. При выполнении упражнений на овладение умением необходимо требовать подробную запись и полное пояснение. Например, при овладении умением деления рациональных чисел следует подробно объяснять каждый шаг алгоритма: определение знака произведения, обращение модулей множителей в неправильные дроби, замену деления умножением на обратное делителю число, умножение дробей. Причем таких упражнений должно быть достаточно много, лишь после этого можно переходить к автоматизации умения. Автоматизация умения происходит, когда ученик в состоянии исключить промежуточные операции, при этом сложные ассоциации (А-В-С) заменяются простым (А-С).

На языке методики это означает, что, что после достаточного числа упражнений, выполняемых в развернутой форме, постепенно, с учетом индивидуальных особенностей обучаемых, необходимо учить их свертыванию промежуточных операций. При этом часть преобразований выполняется мысленно. Одной из основных причин ошибок учащихся является преждевременный переход к этому этапу формирования соответствующего умения. Например, учащиеся часто допускают ошибки при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, забывая сменить знак перед каждым слагаемым, заключенным в нее. Это объяснятся тем, что выделение (-1) в качестве множителя, стоящего перед скобкой, слишком рано было исключено из обязательного этапа соответствующего тождественного преобразования и заменено свернутой операцией - раскрытием скобок со сменой знака каждого слагаемого. [5, 68-69]

2а - 3b - (a+b+3) = 2a - 3b - 1a - 1b+3 = a - 4b+3

Специфика формирования алгоритмических навыков, а именно к ним относятся вычислительные навыки, такова, что формирование нового навыка идет на фоне старых, при этом часто используется перенос старых навыков на новые. Например, прочные навыки действий с натуральными числами облегчают усвоение алгоритмов действий с десятичными дробями. К сожалению, довольно часто старые навыки тормозят или даже мешают выработке новых. В психологии отрицательное воздействие одного навыка на другой называют интерференцией. Примеров интерференций (влияний старого навыка на новый) в математике много: решение уравнений с использованием зависимостей между компонентами и результатом арифметических действий после того, как уже известно правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, отбрасывание нулей в произведении натуральных чисел после изучения действий над десятичными дробями и т.д. Наиболее значимыми причинами интерференции являются большая прочность ранее образованных связей и сходство в условиях, способах реализации старых и новых действий. Возможными средствами ослабления интерференции являются: акцентирование внимания на различиях между старым и новым действием, разнесением во времени изучение сходных алгоритмов, недопущение длительных перерывов в использовании важных навыков.

Как следует из определения, важным компонентом вычислительной культуры является умение рационально выполнять вычисления. Если ввести уровни сформированности вычислительной культуры, то можно сказать, что умение выполнять вычисления по алгоритму, знание законов действий характеризуют нижнюю, обязательную ее ступень или первый уровень. Порой, более высокий уровень определяется умением выполнять некоторые преобразования для более рационального вычисления и, наконец, третий уровень можно охарактеризовать наличием умения привести к виду, допускающему преобразования. Очевидно, что каждый из выделенных уровней характеризуется разной долей ориентировочной деятельности, в результате которой вырабатывается план вычислений.

Рассмотрим три способа вычисления одного и того же выражения, соответствующего трем указанным уровням.

Первый способ вычисления состоит из вычисления суммы в скобке и получения результата в виде обыкновенной дроби, перевода первого множителя, также в обыкновенную дробь и умножение этих двух дробей по известному правилу.

1)

2)

Второй способ вычисления заключается в применении распределительного закона умножения.

Третий способ предусматривает не только применение распределительного закона умножения, но и представление второго слагаемого в виде суммы, т.е. предварительного преобразования.

Преобразование выражений - один из способов рационализации вычислений, при этом основное внимание уделяется не механической работе, а творческой, что существенно важно не только для устных вычислений, но и для инструментального счета с микрокалькулятором. Без сформированных на достаточном уровне умений приводить выражения к наиболее удобному для инструментальных вычислений виду трудно говорить о грамотном использовании вычислительной техники. [5, 70-72]

Прежде всего, формируя навыки рациональных вычислений, необходимо учащимся «во всей красе» показывать удобство того или иного способа вычислений. Для этого необходимо использовать при составлении заданий «неудобные» числа, давать громоздкие с виду примеры, либо в самом задание должна звучать фраза типа «упростить», «как проще?», «как удобней, короче?» Все это способствует проявлению у школьника желания упростить себе задачу, отыскав более рациональный способ вычисления.

Элемент соревновательности на уроке позволяет более наглядно показать удобство использования тех или иных приемов рационализации вычислений.

Арифметические вычисления, с одной стороны, предусматривают проверку полученного результата или хотя бы его прикидку в качестве необходимого этапа, а с другой - представляют широкие возможности для выработки соответствующих навыков. Одной из особенностей современных учебников математики для 5-6 классов основной школы является наличие в системе упражнений заданий на проверку правильности полученного результата выполнением обратного действия, на прикидку результата. Конечно, сегодня наиболее эффективным средством проверки правильности вычислений является калькулятор.

Пользование калькулятором повышает значение счета «в уме» для прикидки результата, ученики должны следить за разумной точностью вычислений, ощущать ее необходимость и контролировать каждый свой шаг. Верные вычисления не всегда соответствуют правильному решению задачи. Именно поэтому во многих случаях ученикам очень важно уметь прикинуть и оценить результат вычислений. Например, что при вычислении части от числа мы никогда не сможем получить результат, больший, чем само число, от которого искали часть.

Приемы, используемые в следующем параграфе, при составлении фрагментов уроков обучения прикидке и оценке результата вычислений, основаны на составлении некой системы вопросов, которую учитель должен тщательно продумать. Такую беседу лучше проводить не при выполнении непосредственно самого задания на прикидку, а на этапе актуализации знаний или устного счета, чтобы ученик подходил к самому заданию более подготовленным, что обеспечит большую эффективность подобного рода упражнений.

На примере конкретных уроков, в следующем параграфе номер два подробно разобраны приемы обучения прикидке и оценке результата вычислений при изучении различных тем, а также два конспекта посвящены рациональным вычислениям.

5.2 Реализация методических рекомендаций по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5- 6 классах

Фрагмент урока №1

Класс: шестой

Тема: «Умножение положительных и отрицательных чисел»

Тип урока: закрепление нового материала

Цель фрагмента: на основе правил сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел без вычислений, путем рассуждений (экономя тем самым время), выполнять задания

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

На данную тему отводится три часа. Этот урок второй по теме: «Умножение положительных и отрицательных чисел». На первом уроке были рассмотрены два основных правила умножения положительных и отрицательных чисел и первично закреплены путем выполнения пробных и тренировочных упражнений.

На следующем уроке (этап которого и рассматривается) учитель, проводя необходимую актуализацию знаний, предлагает ученикам такое задание.

Пример:

· Число a - положительное, а число b - отрицательное. Сравните с нулем произведение этих чисел.

· Числа m и n - отрицательные. Сравните с нулем произведение этих чисел.

Еще раз вспомнив правило, ребята пытаются ответить, какому числу равно произведение положительного и отрицательного числа. Ответ: отрицательному числу.

Учитель. Всегда ли так?

Ученик. Дети приводят несколько примеров и делают вывод, что всегда. Учитель. А что больше ноль или отрицательное число?

Ученик. Конечно, отрицательное число меньше нуля. Поэтому, если а - положительное, а b - отрицательное, то произведение будет отрицательным числом, а значит меньше нуля: <0.

Составим произведение m и n ().

Учитель. Какими числами являются m и n?

Ученик. Отрицательными числами.

Вспомнив правило умножения отрицательных чисел, делаем вывод, что произведение отрицательных чисел всегда является положительным числом, а значит оно больше нуля. Поэтому произведение >0.

После актуализации знаний, проведенной в подобной форме, учитель предлагает выполнить №1124.

№1124.

Поставьте вместо знака * знак < или > так, чтобы получилось верное равенство:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ;

Но учитель добавляет к заданию, что его нужно выполнить не вычисляя.

Учитель. Нужно ли выполнять вычисления, или вы, все-таки, вы заметили, как сразу сравнить?

Буквы а), б) и д) легко сделать, так как только что разобрали эти же случаи в «общем виде». В буквах а) и д) произведение чисел с разными знаками - оно всегда отрицательно, в букве б) произведение отрицательных чисел - оно всегда положительно. Все это дети должны заметить, основываясь на разобранных случаях.

Учитель. Можем ли мы точно так же, не выполняя вычислений, сразу поставить знак в букве в)?

Ученик. Слева вновь мы видим произведение чисел с разными знаками (которое, как мы не раз уже повторили, всегда отрицательно).

Учитель. А какое же число на это раз стоит справа?

Ученик. Положительное число. Теперь мы сравниваем не с нулем, а с положительным числом. А положительное число, всегда больше отрицательного.

Разобрать задание под буквой г) можно в виде такого диалога:

Учитель. Что общего между правой и левой частями в задании под буквой г)?

Ученик. Число -8.

Учитель. Какое это число?

Ученик. Отрицательное.

Учитель. Сколько раз берется число (-8) в правой части?

Ученик. Один

Учитель. А в левой?

Ученик. семь целых и три десятых раза

Учитель. Как вы думаете какое из чисел расположено левее на числовой прямой: (-8) взятое один раз или (-8) взятое 7,3 раза?

Ученик. Второе

Вывод:

В пункте е) отличие от г) лишь в том, что при умножении обыкновенных дробей, мы всегда получаем число по модулю меньшее, чем сами множители.

Таким образом, еще раз видим, на примере данного упражнения, что не всегда необходимы вычисления, так как порой к правильному ответу можно прийти и путем рассуждений, пользуясь лишь правилами сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел.

Фрагмент урока №2

Класс: шестой

Тема урока: «Умножение дробей»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторив правила умножения дробей, но при этом не делая акцента на правилах сравнения дробей, выполнять сравнение произведения с дробью, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [10]

Всего на данную тему отводится 4 часа. Это третий урок по теме: «Умножение дробей».

На первых двух уроках были разобраны три основных правила:

· Умножение дроби на число;

· Умножение обыкновенных дробей;

· Умножение смешанных чисел;

А также рассмотрена возможность использования сокращения при умножении дробей, закреплялись эти правила путем выполнения различных упражнений.

На этом уроке на этапе устного счета учителю с учениками необходимо повторить все правила умножения.

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

Школьники отвечают развернутым ответом: «Для того, чтобы умножить на 7, нужно числитель умножить на число 7, а знаменатель оставить прежним. Заметим, что числитель и знаменатель можно сократить на 7, получаем, что в числителе остается 1, и в знаменателе - один».

В таком ключе каждый из примеров.

После выполнения всех заданий учитель задает следующие вопросы:

Учитель. Обратите внимание на пример первый. Какие числа мы умножаем?

Ученик. на 7, то есть дробь на натуральное число

Учитель. -это какая дробь?

Ученик. Это правильная дробь!

Учитель. Какой результат получился при умножении?

Ученик. Единица.

Учитель. Скажите, а этот результат больше или меньше каждого из множителей?

Ученик. , но

Учитель. То есть в результате умножения дроби на натуральное число мы получили результат, меньший самого этого числа?

Учитель. В каком еще примере мы получим результат, меньший, чем натуральное число, на которое умножали?

Ученик. Во втором примере.

Учитель. Верно! А как вы думаете, всегда ли так будет получаться?

Ученик. Да всегда!

Учитель. Почему же? Когда мы умножаем дробь на натуральное число, как вы думаете, какую операцию мы выполняем?

Ученик. Находим дробь от числа. Находим часть от числа, а часть не может получиться больше, чем само число.

Учитель. Молодцы! Поэтому при умножении дроби на натуральное число, всегда получаем число, меньшее, чем само число, на которое умножали.

Учитель. Разберем примеры 3) - 5)

Учитель. Какие числа умножали?

Ученик. Обыкновенны дроби.

Учитель. При умножении получили . Выберите из трех дробей самую меньшую («Что меньше: третья часть хлеба, шестая или восемнадцатая?»

Ученик. - самая меньшая. . Получили результат меньше каждого из множителей.

Точно так же сравниваем результат с каждым из множителей в примерах 4) и 5) и убеждаемся, что всегда результат умножения двух правильных дробей меньше каждой дроби. Вывод: при умножении двух правильных дробей всегда получим еще меньшую дробь.

После этого этапа учитель предлагает выполнить задание №624 (а, б, в)

№624. Не выполняя умножения, сравните:

а) и 3; б)и ; в)) и .

Учитель. Посмотрите внимательно на задание и скажите, что мы будем сравнивать в каждом из пунктов? Есть ли что-то общее во всех пунктах задания?

Ученик. Да! В каждом из пунктов сравниваются произведения чисел с одним из множителей.

Пункт а).

Учитель. Какие числа умножаем в пункте а)?

Ученик. Натуральное число на правильную дробь. И мы уже знаем, что результат такого умножения меньше самого натурального числа, на которое умножали, поэтому

Пункт в)

Учитель. В этом пункте какие числа умножаем?

Ученик. Обыкновенные дроби. А при умножении дробей получаем дробь меньшую, чем каждая из дробей, которые умножаем. Поэтому .

Пункт б)

Учитель. А какие числа умножаем в этом пункте?

Ученик. Смешанное число и обыкновенную дробь.

Учитель. Какое действие такое умножение нам напоминает?

Ученик. Нахождение дроби от числа. Поэтому результат умножения будет меньше самого смешанного числа, но больше дроби, на которую умножали!

Учитель. Верно!

Таким образом, ученики твердо усваивают для себя, что при нахождении части от числа, мы всегда получим ответ меньший, чем само число. Это поможет им легко находить ошибки в вычислениях, оценив полученный ответ. А также легко выполнять сравнения, подобные тем, что представлены в номере 624, экономя время на вычислениях. Для большей наглядности учитель может дать аналогичные задания, но содержащие дроби, вычисление произведения которых действительно громоздко и долго.

Например:

Сравните, не выполняя вычислений и 361;

и

Фрагмент урока №3

Класс: шестой

Тема урока: «Сложение отрицательных чисел»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторить правило сложения отрицательных числе и, не выполняя вычислений, сравнивать сумму отрицательных чисел с одним из слагаемых

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

Всего на данную тему отводится 2 часа. Это второй урок по теме: «Сложение отрицательных чисел».

На первом уроке, с опорой на умение складывать отрицательные числа с помощью координатной прямой и знание определения модуля числа, выводится правило сложения отрицательных чисел и основной факт, заключающийся в том, что результатом сложения двух отрицательных чисел является также отрицательное число, вне зависимости от того какие числа складываем (дробные ли, целые ли).

На втором уроке после проведения необходимой актуализации знаний (на конкретных примерах устно повторяется правило сложения отрицательных чисел), учитель проводит с учениками беседу такого характера:

Учитель. Сложим (-6) и (-3).

Ученик. -6+(-3)=-9

Учитель. Изобразим результат сложения на координатной прямой

Ученик.

Учитель. Посмотрите на рисунок, как по отношению к каждому из слагаемых расположена сумма?

Ученик. Сумма на координатной прямой лежит левее каждого из слагаемых.

Учитель. (-9) меньше или больше каждого из слагаемых?

Ученик. -9<-6, - 9<-3

Учитель. Когда мы к отрицательному числу прибавляем отрицательное число, мы в результате получаем большее или меньшее число?

Ученик. Меньшее.

Затем учитель задает ребятам выполнить номер 1046, добавляя, что его нужно выполнить не вычисляя.

№1046. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

а) - 17+(-31)* - 17; б) - 22+(-35)* - 35

Пункт а)

Учитель. Какое число встречается и в левой, и в правой части выражения?

Ученик. (-17)

Учитель. Какое (положительное или отрицательное) число прибавляем к (-17)

Ученик. Прибавляем отрицательное число. Значит сумма будет отрицательным числом, еще меньшим, чем каждое из слагаемых.

-17+(-31)<-17.

Сумма (-17) и (-31) меньше, чем само число (-17).

Аналогично разбирается пункт б)

Опять же подобное задание, можно более «эффектно» продемонстрировать, взяв числа, сумму которых вычислять либо долго, либо неудобно.

Фрагмент урока №4

Класс: пятый

Тема урока: «Деление на десятичную дробь»

Тип урока: применения знаний и умений

Цели фрагмента: вспомнить правила деления и умножения на десятичную дробь, а также связать умножение на десятичную дробь с правилом нахождения дроби от числа, выполнив задание, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [13]

Всего на данную тему отводится 7 часов. Это третий 4 урок по теме: «Деление на десятичную дробь».

На первых трех уроках были разобраны правила деления на десятичную дробь и деление на 0,1; 0,01; 0,001, а также закреплялись эти правила путем выполнения вводных, тренировочных упражнений. Была написана самостоятельная работа на проверку навыка применения этих правил.

На этом уроке решаются задачи с применением правила деления на десятичную дробь, а также задачи на повторение.

На этапе решения задач учащимся предложено решить задачу на повторение нахождения числа по его дроби и дроби от числа.

№1481. Первое число равно 6,3 и составляет второго числа. Третье число составляет второго. Найдите второе и третье числа.

Решая данную задачу, вспоминаем как находить число по его дроби и дробь от числа. Последнее нужно для выполнения следующего задания.

Учитель. Как найти дробь от числа?

Ученик. Число умножить на числитель дроби и разделить на знаменатель.

Учитель. А как найти 0,5 числа 91?

Ученик. Сначала представить число 0,5 в виде обыкновенной дроби .

А затем =45,5

Учитель. А попробуйте умножить 0,5 на 91, какой ответ получим?

Ученик. Такой же!

Учитель. Делаем вывод: число умножить на десятичную дробь - это тоже самое, что умножить его на числитель и разделить на знаменатель (10,100,1000 и т.п.)

=После этого учитель предлагает выполнить номер 1472.

№1472. Сравните, не вычисляя, значений выражений:

а) и ; б) и

Пункт а)

Учитель. Мы только что с вами сказали, что для того, чтобы число умножить на десятичную дробь что нужно сделать?

Ученик. Умножить число на числитель и разделить на знаменатель.

. Ставим знак равенства.

Пункт б)

Учитель. Для того чтобы нам разобраться с пунктом б), нам необходимо вспомнить какое правило?

Ученик. Правило умножения десятичных дробей.

Для того, чтобы умножить десятичные дроби нужно:

1) умножить, не обращая внимания на запятую;

Учитель. Смотрим на выражение, стоящее справа, соответствует ли оно первому пункту правила умножения?

Ученик. Да, так как, чтобы умножить 0,084 на 0,5, нужно сначала умножить 84 на 5.

Учитель. А дальше что необходимо сделать по правилу?

Ученик. 2) Отделить столько знаков, сколько в обоих множителях вместе.

Учитель. Сколько знаков будем отделять в данном случае?

Ученик. Четыре.

Учитель. В какую сторону будем двигать запятую?

Ученик. Влево на 4 знака

Учитель. А какое действие позволяет нам передвинуть запятую влево?

Ученик. Деление на 10, 100, 100, 10000,…

Учитель. В данном случае на сколько надо делить?

Ученик. На число с четырьмя нулями, то есть на 10000.

Учитель. Значит между выражениями в пункте б) какой знак можно поставить?

Ученик. Знак равенства

Выводы: Пункт а) очень пригодится при изучении темы проценты, дети на основе уже разобранного таким образом материала, легко смогут заметить, что найти процент от числа - это тоже самое, что умножить число на десятичную дробь, соответствующую этому проценту.

Фрагмент урока №5

Класс: шестой

Тема урока: «Деление дробей»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторив правила деления дробей, но при этом не делая акцента на правилах сравнения дробей, выполнять сравнение частного с дробью, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [10]

Всего на тему «Деление дробей» отводится 5 часов. Это третий урок по данной теме. На прошлых двух уроках учащиеся познакомились с правилом деления, были разобраны основные случаи деления:

· Деление дроби на натуральное число;

· Деление натурального числа на дробь;

· Деление обыкновенных дробей;

· Деление смешанных чисел;

На этом уроке планируется приступить к решению задач, но прежде выполнить номер из учебника на прикидку и оценку результата вычислений

На этапе устного счета вспоминаем правило деления и проводим следующую беседу:

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

Школьники отвечают развернутым ответом: «Для того, чтобы разделить на 2, нужно умножить на число, взаимно обратное 2, то есть на , а затем применить правило умножения дробей . Заметим, что числитель и знаменатель можно сократить на 2, получаем, что в числителе остается 1, и в знаменателе - три».

Когда устный счет закончен, учитель проводит следующую беседу:

Учитель. При делении целого числа на правильную дробь, мы получаем результат меньший или больший, чем само это число?

Ученик. Больший (в номере 2 устного счета получается 18, а число которое делили 16<18)

Учитель. Какое действие напоминает деление числа на дробь?

Ученик. Нахождение числа по его дроби (или по его части)

Учитель. А что больше число или его часть?

Ученик. Число, конечно. Значит при делении натурального числа на дробь всегда получаем число большее, чем само число, которое делим.

Учитель. Следующий пример 3 из устного счета. Какие числа делим?

Ученик. Натуральное число на неправильную дробь.

Учитель. Результат получается больше или меньше самого числа?

Ученик. Меньше.

Учитель. Как вы думаете почему?

Ученик. Потому что при делении на неправильную дробь, применив правило и умножив число на взаимно обратное делителю, мы число умножаем на правильную дробь. Или находим часть от числа, а часть всегда меньше самого числа.

Учитель. Вывод: при делении числа на правильную дробь всегда получаем число большее самого числа, которое делим, а при делении на неправильную дробь, наоборот - меньшее.

Учитель. Попробуйте сами, глядя на результаты сформулировать подобные выводы для деления дроби на дробь (если не получается, то используя аналогичную систему вопросов, вместе с учителем делают вывод)

Ученик. При делении обыкновенных дробей результат получается больше, чем та дробь, которую делим.

Учитель. А случай деления смешанного числа схож с каким случаем?

Ученик. С делением натурального числа!

Учитель. Верно!

Затем учитель предлагает, используя только что полученные знания, решить номер 668.

№668. Не выполняя деления, сравните:

а) и 9; б) и 6; в) и ; г) и

Пункты а) и б)

Учитель. В этих пунктах какие числа делим?

Ученик. Натуральные числа на дробь: в пункте а) - на правильную дробь, в пункте б) - на неправильную.

Учитель. А с чем необходимо сравнить частное?

Ученик. С самим натуральным числом.

Учитель. Что можно сказать о результате деления в пункте а)?

Ученик. Что он всегда больше самого натурального числа самого, а пункте б) - всегда меньше. Поэтому ;

Пункт в)

Учитель. В этом пункте какие числа делим?

Ученик. Обыкновенные дроби.

Учитель. С чем сравниваем?

Ученик. С делимым.

Учитель. А мы с вами выяснили, что результат такого деления всегда больше или меньше делимого?

Ученик. Всегда больше! Поэтому

Пункт г)

Учитель. Какие числа делим?

Ученик. Смешанное число на правильную дробь.

Учитель. Такой случай аналогичен…

Ученик. Случаю деления натурального числа на правильную дробь, значит результат будет больше делимого, то есть больше, чем само смешанное число

Таким образом при дальнейшем решении задач ученикам будет легче заметить ошибку, так как они сумеют оценить правильность своего ответа, прикинув каким будет результат, зная что должно получатся в том или ином случае деления.

Фрагмент урока №6

Класс: шестой

Тема: «Свойства действий с рациональными числами»

Тип урока: закрепление нового материала

Цель фрагмента: формирования умения отыскания наиболее короткого и удобного пути вычисления, основываясь на свойствах рациональных чисел

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

На тему «Свойства действий с рациональными числами» отводится три часа. Этот второй урок по данной теме. На первом уроке были освещены основные свойства действий с рациональными числами и выполнены вводные упражнения на применение этих свойств. На втором уроке планируется выполнение тренировочных упражнений, некоторые из которых позволяют формировать вычислительную культуру рациональных вычислений, пользуясь уже известными свойствами.

После повторения свойств действий с рациональными числами и определения рационального числа вспоминаем, что эти свойств призваны прежде всего «упростить нам жизнь», делать наши вычисления на порядок проще. Но для этого нужно быть очень внимательным, и перед тем как приступать к вычислениям, посмотреть, а нельзя ли что-нибудь упростить.

Среди номеров, выбранных для классной работы, учитель предлагает выполнить номер 1206.

№1206. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значения выражений:

а)

б)

в)

Учитель. В каждом из пунктов встречаются вперемешку действия с десятичными, обыкновенными дробями и смешанными числами. Удобно ли нам будет выполнять действия «в лоб», последовательно складывать или вычитать, находя при этом общий знаменатель и т.п.?

Ученик. Нет! Применив распределительное свойство, можно поменять местами пары чисел таким образом, чтобы в одно скобке оказались десятичные дроби, а далее следовали обыкновенные дроби или смешанные числа с одинаковыми знаменателями (или наоборот).

Пункт а)

Это самый простой пример, школьники без затруднений находят пары «удобных чисел» и выполняют необходимые действия.

Пункт б)

В этом примере на первый взгляд только одна «удобная пара», но в процессе решения можно заметить появление еще одной.



Пункт в)

Учитель. Как проще выполнять действия в этом примере?

Ученик. Все дроби со знаменателем 14 запишем сначала, а затем - все дроби со знаменателем 12.

Таким образом на протяжении всей темы, ученики учатся максимально (насколько это возможно) упрощать сначала числовые, а затем буквенные выражения, что приводит к упрощению вычислений и меньшим затратам времени и сил.

Фрагмент урока №7

Класс: пятый

Тема урока: «Проценты»

Тип урока: комбинированный урок

Цели урока: наглядно, используя соревновательный момент, показать более короткий способ нахождения «красивого процента» от числа

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [13]

Всего на данную тему отводится 5-6 часов. Это второй урок по теме: «Проценты».

На первом уроке было введено понятие процента и представление его в виде десятичной дроби и, наоборот, представление дроби в виде процента, находили 1% от числа и число по его одному проценту.

На этом уроке после этапа актуализации знаний и объяснения решение задачи на нахождение процента от числа (задачи первого типа) учитель выписывает на доске так называемые «красивые проценты», нахождение которых наиболее простое и быстрое: 5%, 10%, 20%, 25%, 50%, 100%

Переводим проценты сначала в десятичную, а затем в обыкновенную дробь.

Учитель. Для того, чтобы найти 5,10,20,25,50 процентов, достаточно (судя по тем обыкновенным дробям, которые этим процентам соответствуют), число разделить на…

Ученик. 20, 10, 5, 4, 2 части

Далее при выполнении классной работы будем решать задачи первого типа (на нахождение процента от числа). Необходимо дать несколько задач, где встречаются «красивые проценты».

Задача. Миша съел 75% всех конфет. Всего конфет было 56. Сколько конфет осталось?

Учитель, проходя по классу замечает того, кто уже начал решать задачу только что изученным «классическим» способом: число делим на сто, находим 1% и т.д. Ученик идет к доске и оформляет задачу.

Съел? шт. - 75%

Всего 56 шт. - 100%

Ост? шт. - ?%

Учитель. А можно ли эту же задачу решить проще?

Другой ученик. Да, узнаем, что осталось 100-75=25%, а 25% - это «красивый процент», поэтому число всех конфет достаточно поделить на 4.

Учитель. Иди к доске, посмотрим, кто решит задачу быстрее.

1 вариант

1) 56:100 = 0,56 - 1%

2)конфет осталось

2 вариант

1) 56:4=14 конфет осталось

Второй ученик справится быстрей.

Таким образом школьникам при помощи мини - соревнования наглядно показана быстрота, красота и удобство использования рационального способа решения задачи.

Заключение

Вычислять быстро, подчас на ходу - это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе.

В ходе анализа научно-методической литературы были выделены различные приемы быстрого счета, приведено разделение этих приемов на общие и специальные, а также рассмотрены приемы, описанные различными математиками (С.А. Рачинским, Я. Трахтенбергом).

Помимо приемов устного счета в дипломной работе выделены приемы прикидки и оценки результата вычислений. Нами были обозначены лишь те приемы, которые доступны для понимания и усвоения учащихся 5-6 классов, а также связаны с теоретическим содержанием курса математики 5-6 классов и соответствуют идее, которая прослеживается в учебнике Виленикина Н.Я и др., который был использован при составлении фрагментов уроков.

В 5-6 классе для учеников самым трудным является этап самоконтроля. Выполнение контрольной работы быстрее всех, даже не задумываясь о возможности ошибки, является психологической особенностью школьников этого возраста. А обучение прикидке и оценке результата вычислений помогает ученикам найти неточности, благодаря тому, что они учатся видеть заведомо неверный ответ.

Формируя каждый из компонентов, мы формируем вычислительную культуру ученика в целом.

Эффективное формирование вычислительной культуры учащихся зависит от правильного сочетания форм и методов обучения учащихся, в основе которого лежит и учет психологических особенностей.

На основе анализа существующих методов, форм и средств обучения для формирования вычислительной культуры школьников, а в частности формирования прикидки и оценки результата вычислений, был выделен в качестве основного эвристический метод, и в параграфе четвертом подробно описано сходство этого приема с приемами прикидки.

При осуществлении обучения учащихся в 5-6 классах в соответствии с темой дипломной работы используются общие и специальные приемы устного счета, приемы рассуждений, приемы угадывания при обучении прикидке и оценке результата вычислений, полезны также будут наглядность и соревновательность.

В дипломной работе представлены разработанные автором 7 фрагментов уроков. В каждом фрагменте указан этап применения того или иного приема, обычно он следует после актуализации знаний или этапа устного счета.

Было установлено, что задачи на прикидку и оценку результатов вычислений встречаются не только в рассмотренных в работе учебниках математики для 5-6 классов, но и, что является наиболее важным, в заданиях итоговой государственной аттестации и единого государственного экзамена. Были приведены примеры таких заданий и способы их решения. А также, неотъемлемой частью является то, что обучение прикидке и оценке результатов вычислений считается обязательным, в соответствии с государственным стандартом.

Таким образом, задачи, поставленные в данной дипломной работе, были выполнены, тем самым цель работы была достигнута.

Библиография

1. Баврин, И.И. Сельский учитель Рачинский и его задачи для умственного счета [Текст]. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 112 с. - Б-ка физ.-мат. лит. для школьников и учителей.

2. Большой толковый психологический словарь / Ребер Артур (Penguin). Т.2. Пер. с англ. - М.: Вече, АСТ, 2000. - 560 с.

3. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

4. Емельяненко, М.В. Система развивающих заданий по теме «Умножение многозначного числа на однозначное» // Начальная школа, 1996. - №12. - с. 47-51.

5. Избранные лекции по методики преподавания математики / Московский педагогический государственный университет (МПГУ) им. В.И. Ленина, составитель Т.В. Малкова - М.:Пометей, 1993. - 177 с.

6. Катлер, Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу. Перевод П.Г. Каминского и Я.О. Хаскина [Текст] / Катлер, Э., Мак-Шейн. - М.: Просвещение, 1967. - 134 с.

7. Кочагина, М.Н. ГИА 2009. Математика [Текст]: Сборник заданий: 9 класс / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. - М.: Эксмо, 2008. - 240 с. - (Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс). Пособие для выпускников 9-го класса

8. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников [Текст]. - М.: Просвещение, 1976.