Формирование вычислительной культуры учащихся 5-6 классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме:

«Формирование вычислительной культуры учащихся 5-6 классов»

Москва, 2010

Введение

Очевидно, что вычислительная культура является необходимым элементом общеобразовательной подготовки учащихся, прежде всего силу своей практической значимости. [5, 64]

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируют память учащихся, их внимание, стремление к рациональной организации деятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитие учащихся.

В повседневной жизни, в бешеном ритме города, когда дорога каждая минута, очень важным является умение быстро и рационально провести вычисления устно, не допустив при этом ошибки и не используя при этом никаких дополнительных средств (микрокалькулятор, ручка и листочек).

Школьники сталкиваются с такой проблемой повсеместно: и в школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине и т.п. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у них вычислительной культуры.

Всегда ли в жизни нам важна стопроцентная точность результата? Часто можно слышать высказывания типа: «Приблизительно два с половиной часа», «Взвесьте мне, пожалуйста, конфет на сто рублей». Важной задачей становится объяснить ребенку значение таких простых, казалось бы на первый взгляд, фраз. Что значит «приблизительно»? Где и когда нам нужны точные результаты, а где мы можем округлить, что значит это самое «округление» и где мы его можем применить в жизни и на уроке? Хотелось бы, чтобы школьник мог легко сообразить (прикинуть), а хватит ли ему этих самых ста рублей на то количество конфет, которое ему необходимо? И какое ориентировочно количество конфет он должен получить - это также важно, чтобы не быть обманутым вдруг ошибившимся продавцом.

Поэтому-то обучение прикидке и оценке результата в 5-6 классах является крайне актуально и близко ко многим жизненным ситуациям.

Усложнение и увеличивающееся многообразие видов практической деятельности, возникновение и развитие наук и производства, совершенствование вычислительных средств, развитие соответствующих разделов математики только пополняют список вычислительных задач, делают вычисления все более значимыми.

Бурное развитие вычислительной техники требует еще более обширного развития вычислительной культуры школьников. Так как основой множества процессов, представленных на компьютере, служит математическая модель, в которой умение быстро и рационально проводить вычисления будут основными.

В курсе 1-4 классов в основном завершена теоретическая подготовка учащихся по изучению операций над рациональными числами, представленных как в идее обыкновенных, так и в виде десятичных дробей. Однако на этом этапе у школьника еще не сложились навыки быстрых и безошибочных действий над рациональными числами. Поэтому, начиная работу с 5-6 классами, учитель должен с первых же уроков обратить серьезное внимание на дальнейшее развитие навыков вычислений, планируя на каждый урок включение какого-либо рода вычислительных упражнений как в форме письменных, так и в форме устных заданий. Эта причина также делает нашу тему актуальной.

Есть и другая причина - это требования образовательного стандарта и требования к уровню подготовки учащихся при изучении математики. В соответствии с ними учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для устной прикидки и оценки результата вычислений, проверки результата вычислений с использованием различных приемов.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5- 6 классов.

Предмет исследования: приемы прикидки и оценки результата и их формирование у учащихся 5-6 классов.

Цель работы состоит в изучении существующих методов и приемов формирования вычислительной культуры у школьников 5-6 классов, в частности приемов прикидки и оценки результата вычислений и разработка своей методики обучения приемам прикидки и оценки результатов.

В соответствии с целями работы требуется решить следующие задачи:

1. Проанализировать учебную и научно - методическую литературу по теме исследования.

2. Выявить психологические особенности личности учащихся 5-6 классов.

3. Выбрать наиболее эффективные методы и средства повышения вычислительной культуры учащихся.

4. Привести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета.

5. Выделить состав приема прикидки как компонента вычислительной культуры учащихся 5-6 классов.

6. Разработка фрагментов уроков для 5-6 классов, направленных на формирование умения прикидывать и оценивать результат.

Дипломная работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

учащийся вычислительный развивающий культура

1. Компоненты вычислительной культуры

Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры индивидуума или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культуры. Учитывая это, будем считать, что наличие у учащихся вычислительной культуры характеризуется следующей совокупность признаков:

· Прочное и осознанное знание законов арифметических действий;

· Уверенное владение алгоритмами основных операций над рациональными числами;

· Умение эффективно сочетать устные, письменные и инструментальные вычисления;

· Применение рациональных приемов вычислений;

· Выработка потребности и умений осуществлять самоконтроль;

· Умение по условию задачи определить, являются ли исходные данные точными или приближенными, и владение правила действия с последними

Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Так, нередко, может потребоваться замена числа, близким ему числом, например 57406 тыс., представление числа в эквивалентной форме, например 25% - это 0,25, то есть четверть, сравнение чисел на основе качественных оценок.

Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и др. предметов.

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

Об уровне вычислительной культуры учащихся можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Перечислим важнейшие вычислительные умения и навыки учащихся 5-6 класса:

· умение находить числовое значение выражение с использованием всех действий с десятичными дробями [19, 3]:

· умение выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей;

· умение производить совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами;

В результате анализа учебно-методической литературы можно выделить следующие основные проблемы с вычислениями у учащихся 5- 6 классов:

· Почти четверть детей, окончивших начальную школу, ошибаются при вычислении значений числовых выражений, например:

· Около 40% шестиклассников не могут округлить натуральные числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с дробями, например:

· Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями.

Все это говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5-6 классах формировать:

1. Опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с отработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата;

2. Умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа;

3. Приведение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений.

Все это еще больше убеждает нас в необходимости формирования у учащихся вычислительной культуры, наличие которой у школьников позволит не допускать ошибки, о которых говорилось ранее.

Рассмотрим подробнее каждый из компонентов вычислительной культуры.

1.1 Навыки вычислений с рациональными числами

В курсе 1-4 классов в основном завершена теоретическая подготовка учащихся по изучению операций над рациональными числами, представленных как в идее обыкновенных, так и в виде десятичных дробей. Однако на этом этапе у школьника еще не сложились навыки быстрых и безошибочных действий над рациональными числами. Поэтому, начиная работу с 5-6 классами, учитель должен с первых же уроков обратить серьезное внимание на дальнейшее развитие навыков вычислений, планируя на каждый урок включение какого-либо рода вычислительных упражнений как в форме письменных, так и в форме устных заданий.

В 6 классе во втором полугодии подводятся итоги многолетней работы по обучению детей вычислениям, и основная задача, стоящая перед учителем математики, наряду с изучением темы «Положительные и отрицательные числа» и продолжением формирования у учащихся навыков вычислений с обыкновенными дробями, организовать качественное повторение изученного 1-5-м классах, и особенно продолжить тренировку в вычислениях с натуральными числами, десятичными дробями и процентами: на следующих ступенях обучения практически не будет ни времени, ни возможностей для «дообучения» школьников вычислениям, без чего сколько-нибудь полноценное обучение математики в следующих классах невозможно.

1.2 Умение рационализировать вычисления

Рационализация вычислений требует от учащихся, помимо знаний всех основных свойств арифметических действий над числами, элементарного желания «упростить себе жизнь», затратить на выполнение, громоздкого по виду, задания как можно меньше времени, увидеть самый короткий, но от этого не менее правильный путь достижения результата.

Простейшие приемы рационализации вычислений появляются еще в 5 классе при ознакомлении учащихся с основными законами сложения и умножения: сочетательным, переместительным и распределительным. Все эти же законы продолжают «работать» и в 6 классе, но используются не только для множества натуральных чисел, но и для дробей, и для положительных и отрицательных чисел. Подсчитывая значение произведения или суммы, школьники, пользуясь этими законами, переставляют множители или слагаемые, таким образом могут выполнить вычисления быстрей и проще, чем при последовательном сложении или умножении.

А применение распределительного закона умножения, вообще является одной из тем при изучении умножения дробей в учебнике Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6, 1 часть», т.е. помимо основного правила умножения рассматривается еще один способ, который помогает облегчить вычисления.

Приведем примеры:

1.

Подобный способ позволяет пропустить целых два действия, порой вызывающие затруднения у учащихся - это переведение в неправильную дробь смешанного числа и обратно - из неправильной дроби выделить целую часть.

2. -3,9+8,6+4,7+3,9-4,7=(-3,9+3,9)+(4,7-4,7)+8,6=8,6

В подобном задании, пользуясь переместительным законом сложения, учащиеся должны отыскать пары чисел, дающие в сумме ноль (в том числе и пары противоположных чисел). И в итоге вычисления будут максимально простыми.

Ученики должны, прежде всего, научиться не только рационально вычислять, но и в целом, так сказать, «рационально мыслить и рассуждать», т.е. искать более удобные способы не исключительно в вычислениях, но и при решении задач, при составлении уравнений, при их решении, при преобразовании различных выражений. Часто, прежде чем приступить непосредственно к вычислениям, нужно просто заметить, что то или иное выражение можно преобразовать, упростить, а лишь после этого выполнять действие.

1.3 Прикидка результата вычисления

Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата вычислений. В основе этого умения лежит умение округлять числа.

В ряде случаев бывает нужно установить, имеет ли решение некоторая задача при указанных значениях параметров, оценить порядок значения некоторого выражения, сравнить между собой значения нескольких выражений.

Умение, не производя громоздких вычислений, оценивать результат вычислений, является одним из главных критериев математической культуры учащегося, так как основывается не только на знании конкретного теоретического материала, но в первую очередь и на умении применять теоретический материал в самых разнообразных, нестандартных ситуациях. Научить этому можно, только проводя систематическую работу по выработке соответствующих умений буквально на каждом уроке. [16, 163]

В следующих параграфах будут более подробно рассмотрены приемы прикидки и оценки результата вычислений.

1.4 Устные вычисления

Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. Не секрет, что у детей с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений.

Насыщение уроков разнообразными, интересными и полезными вычислительными заданиями при большой плотности текущего теоретического материала, задач по изучаемым темам возможно лишь через совершенствование системы устных упражнений на уроках. Устный счет - это первооснова любых вычислений. Основная функция устных упражнений - актуализация опорных для конкретной темы знаний и умений, подготовка учащихся к работе на протяжении всего урока, а также систематическое повторение изученного, поддержание и совершенствование основных специальных умений и навыков, в том числе и навыков вычислений. [15, 156]

При устных вычислениях всем учащимся в классе приходится работать самостоятельно и активно, чтобы не отстать от товарищей. Следует остановиться и на вопросе о быстроте подсчёта при устных вычислениях. Конечно, устно, как правило, можно подсчитать быстрее, экономней с точки зрения затраченного времени и затраченных умственных сил. Но не это является самым ценным. При устных вычислениях значительно важнее экономии времени то, как выполнено данное действие, в чём проявилась творческая инициатива учащихся.

Устные вычисления имеют большое практическое применение. В курсе алгебры средней школы существует немало возможностей развивать и совершенствовать навыки устного счета, приобретенные учащимися в предшествующих классах.

Польза устных вычислений огромна. Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, дети не только повторяют их, закрепляют, но, что самое главное, усваивают их не механически, а сознательно. Сознательное усвоение законов арифметических действий - вот первая и очень ощутимая польза устных вычислений. При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека как внимание, сосредоточенность, выдержка, самостоятельность.

При устном счёте (иногда) надо держать в уме сами числа, над которыми производятся действия, некоторые промежуточные результаты, надо помнить некоторое количество наиболее эффективных приёмов устного счёта. Следовательно, устный счёт содействует тренировке и развитию памяти.

Следует четко определить уровень трудности заданий для устного счета в соответствии с возрастными возможностями учащихся. Хотя навыки устных вычислений из года в год совершенствуются, и повышается уровень трудности таких заданий, однако было бы ошибкой считать, что всюду, где это возможно, следует предпочитать устные вычисления письменным. Очевидно, что выполнение вычислений в уме, как правило, требует большего умственного напряжения, чем письменные вычисления, и быстрей приводит к утомлению, а в итоге и к ошибкам. Поэтому учитель не должен перегружать учащихся работой, связанной с устными вычислениями достаточно громоздких значений выражений, если такие вычисления легче выполнять письменно.

Полезно время от времени проводить математические диктанты и другие виды самостоятельных работ, в которых учащиеся, выполняя вычисления в уме, записывают только полученный ответ.

Составляя тексты математических диктантов и разрабатывая тексты самостоятельных работ, предназначенных для тренировки в устном счете, следует определить примерный уровень требований, который будет предъявлен к навыкам устных вычислений. Например, в упражнениях на сложение и вычитание целых чисел и десятичных дробей можно ограничиться данными, содержащими не более двух значащих цифр; при умножении - произведением однозначного и двузначного чисел; при делении - заданиями, не приводящими к бесконечным десятичным дробям (ели не ставится задача найти приближенного значения частного), где данные имеют не более двух значащих цифр.

В действиях с обыкновенными дробями можно ограничиться заданиями на сложение и вычитание дробей, имеющих равные знаменатели или один из знаменателей, кратный другому, и несложными примерами на умножение и деление дробей, числители и знаменатели которых, главным образом, однозначные числа.

Для устного счета могут быть предложены и несложные упражнения, содержащие несколько действий. Такие упражнения включают обычно в математические диктанты, например [16, 157]:

«Число 17 умножить на 6, к полученному произведению прибавить 48 и результат разделить на 25»;

«Из квадрата дроби вычесть 1, полученное число умножить на 8 и к полученному результату прибавить 4».

При рассмотрении компонентов вычислительной культуры были выделены особенности каждого из них, но при этом следует сказать о том, что все эти компоненты неразрывно связаны. Развивая у учащихся приемы одно из компонентов, нельзя забывать и об остальных. Так, например, устный счет приучает к рациональным вычислениям, помогает сопоставлять, сравнивать показатели, прикидывать в уме результат действий.

Кратко описав каждый из компонентов, в следующем параграфе рассмотрим как влияет на школьников развитие вычислительной культуры с точки зрения психологии и педагогики, учитывая возрастные особенности учеников 5-6 классов.

2. Психолого-педагогическая характеристика учащихся 5-6 классов

Шестой класс, 11-12 лет, - период резкого возрастания познавательной активности и любознательности, возникновения познавательных интересов.

Рассматривая особенности учебной деятельности и умственное развитие подростка, В.А. Крутецкий отмечает [8, 106], что в процессе овладения основами наук не только обогащается жизненный опыт и расширяется кругозор, но и формируются и развиваются интересы подростков. По сравнению с младшим школьным возрастом уровень интересов у подростков гораздо шире.

В этот период подростку становится интересно многое, далеко выходящее за рамки его повседневной жизни. Его начинают интересовать вопросы прошлого и будущего, проблемы войны и мира, жизни и смерти, экологические и социальные темы, возможности познания мира, инопланетяне, ведьмы и гороскопы. Многие исследователи рассматривают этот возраст как период «зенита любознательности», по сравнению с младшими и старшими детьми. Обратим внимание также на поверхностность, разбросанность этих проявлений любознательности, а также на практически полное отсутствие связи их со школьной программой. Недаром среди психологов распространена шутка, что подросток знает все и интересуется всем, что не входит в школьную программу.

Нельзя не заметить, что обучение вычислениям вносит специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя развитию речи, внимания, памяти. Вычисления - основа для формирования умений пользоваться алгоритмами, логическими рассуждениями.

Каждый учитель знает, как трудно дети воспринимают язык математики на слух. У учащихся 5-6 классов основным является наглядно образное мышление. Слышать и слушать учащихся нужно учить. Следовательно, школьников нужно научить слышать и понимать язык математики.

Психология много внимания уделяет проблеме механизмов формирования навыков, имеющей большое практическое значение. Доказано, что механическое заучивание гораздо менее эффективно, чем заучивание при участии сознания. Полезен практический принцип «повторение без повторения», когда при отработке навыка не затверживается одно и то же действие, но постоянно варьируется в поисках оптимальной формулы движения. При этом осознанию принадлежит очень важная роль.

Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться разнообразием (вариативностью) формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также развивающее значение, так как считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, памяти, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления, логического мышления учащихся, творческих начал и волевых качеств, наблюдательности и математической зоркости. Кроме того, устный счет способствует развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.

3. Приемы устных вычислений

3.1 Система задач для умственного счета С.А. Рачинского

В 1891 году С.А. Рачинский издал книгу «1001 задача для умственного счёта» которая стала первым в России сборником упражнений по устному счёту.

Сергей Александрович Рачинский родился 10 июня 1833 года. Он весьма интересен как педагог - практик, поднявший в своей школе - сельской школе - преподавание арифметики на очень высокую ступень, особенно это относится к устному счету и решению задач.

С.А. Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво. Учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

Сергеем Александровичем было описано множество приемов устного счета, таких как:

· способ возведения в квадрат любого двузначного числа

· способ умножения двузначных чисел

· способ умножения на число, записанное одними девятками

· числа, «раздвигаемые при умножении»

· признаки делимости натуральных чисел и т.п. [1]

Вот некоторые специальные приёмы устных вычислений:

1) Приёмы последовательного умножения и деления

Один из множителей раскладываем на простые множители, а затем выполняем умножение. То же самое и с делением.

Пример:

78*8=78*2*2*2=150*2*2=300*2=600

18*35=18*5*7=90*7=630

35*18=35*2*9=70*9=630

23*55=23*5*11=115*11=1150+115=1265

540:4=(540:2):2=270:2=135

960:15=(960:3):5=320:5=640:10=64

2) Приёмы, основанные на значениях некоторых свойств чисел или результатов действий (10*10+11*11+12*12+13*13+14*14):365, если знать, что в этом ряде чисел 10*10+11*11+12*12=13*13+14*14=365 (сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов следующих за ними двух чисел).

Замечательный русский художник Николай-Петрович Богданов-Бельский (1868-1945), ученик Рачинского написал знаменитую картину «Устный счет», которая хранится в Третьяковской галерее.

На картине изображены крестьянские дети, которые напряженно ищут в уме решение примера (как раз такого, который описан в данном приёме):

Этот необычный для учеников трехклассной сельской школы пример, можно решить быстро, если догадаться до приведенного выше решения. [1]

3) Сразу можно записать ответ, если знать, что 37*3=111

4) Зная число Шахразады 1001=7*11*13, сразу можно получить результат:7*11*13*678=678678

5) Наблюдая примеры

1+3=4=2*2 1+3+5+7=16=4*4

1+3+5=9=3*3 1+3+5+7+9=5*5

можно выявить закономерность. Если складываются натуральные нечётные последовательные числа, то сумма любого количества последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых, на самого себя.

6) Можно использовать для вычислений ещё одну закономерность:

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

Впервые эту закономерность выявил итальянский математик XVI века Николо Тарталья.

7) Можно находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел заметив, что сумма крайних равна сумме двух любых других, равноудалённых от начала и конца ряда.

Например:

5+6+7+8+9+10+11=(5+11)+(6+10)+(7+9)+8=16*3+8=56

3.2 Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу

Профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг в конце 40-х годов он организовал в Цюрихе свой Математический институт - единственное в своём роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, достигая поразительных успехов.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае по части математики), превосходно, быстро и надёжно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как в прочем и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приёмов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще. [6, с. 7-8]

Cвод правил (алгоритм)

умножение на	характер действий
11	Прибавить соседа. 1) Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата 2) Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат 3) Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг. По системе Трахтенберга вы пишите результат по одной цифре справа налево. Пример: 1 шаг. 6 3 3 х 1 1 3 2 шаг. 6 3 3 х 1 1 6 3 3+3=6 3 шаг. 6 3 3 х 1 1 9 6 3 6+3=9 4 шаг. 6 3 3 х 1 1 6 9 6 3
12	Удвойте цифру и прибавьте соседа Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее соседа Пример: 1 шаг. 4 1 3 х 1 2 6 3*2=6 2 шаг. 4 1 3 х 1 2 5 6 1*2+3=5 3 шаг. 4 1 3 х 1 2 9 5 6 4*2+1=9 4 шаг. 4 1 3 х 1 2 4 9 5 6
6	Прибавьте половину соседа и: · прибавить 5 к цифре, если она нечётная; · ничего не прибавлять, если она чётная. 1 шаг. 7 6 3 х 6 8 Т.к 3-нечетная, то добавляем 5, т.е. 3+5=8-самая правая цифра результата. 2 шаг. 7 6 3 х 6 7 8 Т.к 6-четная цифра, то 5 не прибавляем, а складываем с половиной соседа, т.е.с половиной от 3. Получаем: 6+1=7 (следующая цифра результата). 3 шаг. 7 6 3 х 6 5 7 8 Т.к 7-нечетная цифра, то добавляем 5, т.е. 7+5=12. Затем к 12 прибавляем половину от 6 (соседа):12+3=15. Записываем в результат цифру 5, а единицу переносим в следующий разряд (как в обычном сложении) 4 шаг. 7 6 3 х 6 4 5 7 8 Число 7 делим пополам, получаем 3 и прибавляем единичку.
7	Удвоить цифру и прибавить половину соседа. Если цифра нечётная, то прибавить еще пять. Аналогично, как и с умножением на 6, но только на этот раз не делим на два, а умножаем.
5	Если цифра четная, то берем половину соседа. Если цифра нечетная, то берем половину соседа и прибавляем 5. Пример: 1 шаг. 5 1 4 х 5 0 Т.к цифра 4-четная, то пять не добавляем, а берем только половину соседа. Но «сосед» в данном случае - это ноль, поэтому половина от нуля, тоже ноль. Самая правая цифра результата - это ноль. 2 шаг. 5 1 4 х 5 7 0 Цифра 9-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 4:2=2 и к этой половинке прибавляем пять. Получаем 5+2=7. 3 шаг. 5 1 4 х 5 5 7 0 Цифра 5-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 1:2. Получается дробь, но дроби в подобных случаях мы отбрасываем и оставляем только целую часть. Здесь целая часть ноль. К нулю прибавляем пять и записываем в результат. 4 шаг. 5 1 4 х 5 2 5 7 0 Половина от 5-это два.
9	При умножении на 8 или 9 мы мысленно делаем еще один новый шаг. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать вычтите из 10 или 9. 1) Вычтите правую цифру множимого из 10. Это дает правую цифру результата 2) Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее из 9 и прибавьте соседа 3) В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед множимым, вычтите 1 из соседа и полученное число будет самой левой цифрой результата. Пример: 1 шаг. 8 7 6 9 х 9 1 Из 10 вычитаем правую цифру числа 8769, получаем 10-9=1. Это самая правая цифра результата. 2 шаг. 8 7 6 9 х 9 2 1 Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9-6=3. Затем к 3 прибавляем соседа, т.е. 3+9=12. Один в уме, поэтому следующая цифра результата - это 2. 3 шаг. 8 7 6 9 х 9 9 2 1 Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9-7=2. Затем к 2 прибавляем соседа, т.е. 2+6=8.И еще добавляем единицу, т. к. 1 была в уме. Поэтому следующая цифра результата - это 9. 4 шаг. 8 7 6 9 х 9 8 9 2 1 Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9-8=1. Затем к 1 прибавляем соседа, т.е. 1+7=8. Следующая цифра результата - это 8. Последний шаг. Из 8 вычитаем 1, получим 7-первую цифру результата. Ответ: 78921
8	1) Первая цифра - вычтите из 10 и удвойте 2) Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа 3) Уменьшите самую левую цифру на 2
4	1) Вычтите самую правую цифру числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечётная 2) Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечётная, и прибавьте половину соседа 3) Возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите её на один 1 шаг. 2 1 8 7 х 4 8 10-7=3 (вычитаем из 10 самую правую цифру числа). Цифра 7-нечетная, поэтому к результату вычитания прибавляем 5: 3+5=8. 2 шаг. 2 1 8 7 х 4 4 8 9-8=1. Затем прибавляем половину соседа: 1+7:2=1+3 (т. к. дробная часть отбрасывается. Результат-4. 3 шаг. 2 1 8 7 х 4 7 4 8 9-1=8. 8+5=13 (прибавляем 5, так как 1-нечетная) 13+8:2=13+4=17. 4 шаг. 2 1 8 7 х 4 8 7 4 8 9-2=7; 7+1:2=7+0=7 Но в шаге №3 у нас получилось 13, значит единица была в уме, поэтому к семи добавляем еще 1.
3	1) Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте. Прибавьте 5, если цифра нечётная 2) Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечётная 3) Самая левая цифра: разделите на два самую левую цифру большого числа и вычтите два. 1 шаг. 2 5 8 8 х 3 4 10-8=2. Затем удвоить: 2*2=4. 2 шаг. 2 5 8 8 х 3 6 4 9-8=1. Удваиваем полученное: 1*2=2. Затем прибавляем половину соседа: 2+8:2=2+4=6 3 шаг. 2 5 8 8 х 3 7 6 4 9-5=4, 4*2=8, 8+8:2=8+4=12 Цифра пять - нечетная, поэтому прибавляем 5. 12+5=17 4 шаг. 2 5 8 8 х 3 7 7 6 4 9-2=7
2	Поочередно удвойте каждую цифру множимого, не пользуясь соседом
1	Перепишите множимое без изменений
0	Ноль, умноженный на любое число, даёт ноль

К сожалению, использование подобной системы на обычных уроках математики достаточно затруднительно, но на дополнительных или факультативных занятий школьников вполне можно ознакомить. Им важно понять, что вся система по сути своей разработана благодаря необычайной наблюдательности автора, и постараться самим проявить нечто подобное при разборе приведенных выше правил.

3.3 Общие и специальные приемы

Приёмы устного счёта очень разнообразны. При выполнении вычислений устно, порой надо проявлять творческую инициативу, смекалку и выполнять действие тем или иным способом.

Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все приемы можно объединить в две группы:

· общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)

· специальные (для конкретных чисел, частные случаи)

Общие приемы
Краткие сведения	Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.
Прием №1 Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий	При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа: 1) Разложение каждого слагаемого на разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д. 2) Использование сочетательного и переместительного свойств. 3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп. Пример: Требуется сложить 28, 47, 32 и 13. 1) пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды - десятки и единицы. 28=20+8 32=30+2 47=40+7 13=10+3 2) воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами: 20+30+8+2+40+10+7+3 - (переместительный закон) (20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) - (сочетательный закон) 3) выполняем сложение каждой группы 50+10+50+10 4) 50+50+10+10 (переместительный закон) 5) 100+10+10=120 выполняем сложение

Специальные методы
Краткие сведения	Приёмы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.
Приём №1. Приём округления	Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях. Прием заключается в следующем: 1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа. 2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли. Примеры: 1) 399+473=400+473=873-1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1) 399+473=(399+1)+(473-1)=400+472=872 2) 56-38=(56+4-38) - 4=(60-38) - 4=22-4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц) 3) 72-15=((72-2) - 15)+2=(70-15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить) 4) 752-298=(752 - (298+2))+2=(752-300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.) 93-22=(93 - (22-2)) - 2=(93-20) - 2=73-2=71
Приём №2 Приём перестановки слагаемых или перестановки сомножителей	Суть приёма заключается в перемене мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают «круглое» число или просто более легко складываются. Примеры: 1) 389+567+111=389+111+567=500+567=1067 (переместительные свойства суммы) 2) 2357+1998+3055=2357+1997+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410 (первое и второе слагаемые дополняются за счёт третьего)
Приём №3 Приём замены одного действия другим	Замена вычитания сложением: вычитаемое сначала дополняется единицами до «круглого» числа, а затем полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное действие вычитания заменилось на «двойное» сложение. Примеры: 1) 600-289 дополняем 289 до 300: это 11 и ещё 300 до 600. Итого: 311 Вместо того, чтобы вычислять 600-289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя 11, 300, итого 311 2) 730-644 вычитаемое 644 дополняем до 650 (6), затем до 700 (50) и до 730 (30): 6+50+30=86
Приём №4 Приём умножения на 5,50,500	1. Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте. Пример: Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза. Пример: 1) 2) (первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза) Умножение чисел на 50 и 500 начинается также, как и умножение на 5, с деления множимого на 2 и заканчивается умножением полученного результата на 100 или 1000, что равносильно приписыванию двух или трёх нулей справа. Пример:
Приём №5 Приём умножения на 25, 250, 2500	При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100. Пример: Аналогично выполняется умножение на 250 и на 2500.
Приём №6 Прием умножения на 125	Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000. Примеры: 1)
Приём №7 Приём умножения на 15	Пятнадцать состоит из одного десятка и 5 единиц, но 5 это половина 10, следовательно, мы должны число умножить на 10 и взять ещё половину полученного от умножения этого числа на десять. Пример: Особенно эффективен этот приём умножения на 15 чётных чисел, где действия можно выполнить так: А с нечётными так:
Приём №8 Приём умножения на 9 и 99	Множители 9 и 99 на единицу меньше круглых чисел 10 и 100. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так: умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число) Умножение числа на 99 производится аналогично. Примеры: 1) 25*9=25*10-25*1=250-25=225 2) 35*99=35*100-35*1=3500-35=3465
Приём №9 Приём умножения на 11	Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз это же число. Примеры: 1) 87*11=87*10+87*1=870+87=957 2) 232*11=232*10+232*1=2320+232=2552 Это общий приём умножения на 11. Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом: достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2). Примеры: 1) 54х11=594, (5+4=9) 2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8). Этот приём основан на умножении столбиком на 11: 78*11=858

В этом параграфе мы рассмотрели теоретические основы, классификацию приемов устного счета, а также приемы, которые предлагают нам такие педагоги, как С.А. Рачинский и Я. Трахтенберг.

Умение хорошо и правильно вычислять устно является одним из оснований умения прикидывать и оценивать результат вычислений, еще одного из компонентов вычислительной культуры школьников. Именно поэтому, рассмотрев приемы устного счета, переходим к приемам прикидки и оценки результатов вычислений, которые подробно описываются в четвертом параграфе.

4. Приемы прикидки и оценки результатов вычислений

Умение пользоваться микрокалькулятором стало неотъемлемой частью математической культуры современного человека. Поэтому надо определиться, какими характеристиками должны обладать вычислительные навыки.

Конкретные числа и действия машине задает человек. В некоторых ситуациях машина может дать «сбой», либо задающий ей числа и операции допускает ошибку. Школьник, используя МК, естественно, не сомневается в истинности результата, который выдает машина. Поэтому школьников надо учить давать предварительную оценку результата, т.е. выполнять «прикидку». Таким образом одной из характеристик вычислительных навыков выступает умение прогнозировать результат и оценивать его истинность, которое необходимо в дальнейшем обучении при изучении целого ряда предметов среднего и старшего звена общеобразовательной школы (алгебры, геометрии, физики, химии и др.).

В толковом психологическом словаре «прогноз - в общем смысле: предсказание хода и результата любого процесса…» [2, 118]. У Я.И. Груденова «прогнозирование - это предвидение тех результатов, к которым может привести поиск…». [3, 106]

В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение любой задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого, т.е. некоторого предвидения получаемого результата в процессе анализа, синтеза, обобщения. Прогнозирование является одной из основных функций психики. «Формирование умения прогнозировать, предвидеть результаты,…, является важным компонентом развития мышления учащихся».

В качестве иллюстрации можно привести пример: хороший шахматист не просто делает один ход, а предвидит на несколько ходов вперед, к чему этот ход приведет, т.е. прогнозирует направление дальнейшего развития партии. По мнению Я.И. Груденова «прогнозирование - важный элемент поиска решений и мощное средство развития навыков логического мышления». [3, 108] Таким образом, данное умение важно не только как одно из качеств осознанного вычислительного навыка, но и необходимо при решении любой задачи и в дальнейшей трудовой деятельности.

Под прогнозированием будем понимать предварительное оценивание результата арифметического(их) действия(ий) («прикидку» числа цифр результата, его последней цифры с помощью предварительного округления; на основании зависимости между результатами и компонентами арифметических действий; по алгоритму выполнения действий), позволяющее избежать очевидных ошибок в вычислениях.

4.1 Приемы прикидки и оценки результата как приемы эвристического поиска

Поиск решения той или иной задачи на вычисления можно осуществить несколькими способами. Первое, что приходит на ум, сразу приступить к вычислению, даже с виду громоздкого примера. Это так называемый метод проб и ошибок. Задача будет решена, но весь вопрос в том сколько времени и усилий уйдет на это? Не все, но многие задания направлены на то, чтобы заставить ребенка, прежде чем ринуться считать, все-таки, на минутку задуматься, а нельзя ли как-нибудь упростить себе задачу, заметить что-то, что позволит «отсеять» заведомо неверный результат. В этом заключается метод эвристического поиска, который позволяет сузить область поиска решения. Приемы прикидки, о которых мы говорим, как об одном из компонентов вычислительной культуры и являются своеобразными приемами эвристического поиска.

Эвристика (др.-греч. ехсЯукщ «отыскиваю», «открываю») - наука, изучающая творческую деятельность, методы, используемые при открытии новых концептов, идей и взаимосвязей между объектами и совокупностями объектов, а также методики процесса обучения. Эвристические приемы (другое название эвристики) позволяют ускорить процесс решения задачи.

Термин «эвристика» понимается в различных значениях [18, 106]: 1) специальные методы, используемые в процессе открытия нового (эвристические методы); 2) наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическая деятельность); 3) восходящий к Сократу метод обучения (так называемые сократические беседы). Есть и другие точки зрения на сущность эвристики. Предлагается понимать под эвристикой и любой совет - как искать решение задачи.

Эвристический прием позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т.е. сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательное решение.

Ту же направленность имеет обучение прикидке и оценке результата вычислений в школе. Таким образом, можно считать прикидку эвристическим приемом.

Казалось бы, что можно прикидывать на этой ступени обучения, изучаются одни правила вычисления - сначала с десятичными дробями, затем с обыкновенными… Но, именно, в этом возрасте появляется возможность заложить основу умения видеть «а нужно ли вычислять» или можно обойтись рассуждениями, заметить то, что сразу выведет нас к верному ответу.

4.2 Задания на прикидку и оценку в учебниках для 5-6 класса

Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата.

В настоящее время рекомендованы министерством образования и науки РФ следующие учебники по математике для 6 класса:

1. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд Математика - М.: Мнемозина, 2003. - 304 с.

2. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Математика 6 - М.:Мнемозина, 2006. - 264 с.

3. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин Математика 5-6

В основе умения выполнять прикидку лежит умение округлять числа. Потому-то этому вопросу в курсе математики 5-6 класса в учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева уделяется достаточное внимание. С помощью упражнений закрепляется в сознании учащихся суть употребления основных терминов: «примерно», «приближенное равенство», «округление» и т.п.

Примеры (5 кл., №139,151,153):

1. В городе во время переписи населения было зарегистрировано 13882 жителя. Сообщая результаты переписи, одна газета указала, что в городе примерно 13 тысяч жителей, а другая - 14 тысяч. Какое сообщение точнее?

2. Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша?

3. В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников? 626 учеников?

При изучении темы «Округление десятичных дробей» также вначале округление осуществляется по смыслу, а затем по правилу округления. Учащимся предлагаются соответствующие группы упражнений. Среди них - задания на прикидку результата. Например, такие (6 кл., №459,469):

1. Выразите 1 тыс. секунд приближенно в часах. Какой из следующих ответов является лучшим приближением?

А. 2 ч. Б. 3 ч. В. 0,2 ч. Г. 0,3 ч.

2. Печенье, цена которого 26 руб. за 1 кг, расфасовано в пакеты. На упаковках указана их масса: 724 г., 615 г., 830 г. Какую стоимость для каждой упаковки, скорей всего, назовет продавец?

Важный класс задач, способствующих развитию вычислительных умений учащихся, базируется на использовании идеи сравнения. Например, в ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компоненты действия с некоторыми «рубежными» числами. Такие задачи и представлены в большинстве своем в учебнике Н.Я. Виленкина, но также присутствуют и в учебнике Г.В. Дорофеева.

Выделим приемы прикидки и оценки результата вычислений и соответствующие им задания в указанных выше учебниках.

В ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компоненты действия с некоторыми «рубежными» числами. В качестве таких чисел обычно выступают «круглые числа»: 10,100,1000 и т.п. Преимущественно в таких заданиях сравнивают сумму или произведение чисел с «рубежным» числом. Основная идея: сами числа, входящие в сумму или произведение заменить ближайшими к ним (например, округлить до целых десятичные дроби) «удобными» числами, которые легко можно сложить или умножить, а может быть и сразу заметить, что сумма или произведение заведомо меньше или больше «рубежного» числа. Подобные задания встречаются в учебниках Г.В. Дорофеева.