Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

, , , . (*)

Где , ,,. Поскольку, сложное отношение точек не зависит от выбора репера, то в качестве репера можно выбрать репер , тогда будут являться аффинными координатами на данной прямой.

Найдем простое отношение (используя определение простого отношения): , .

Найдем сложное отношение по формуле (1), используя координаты (*):

.

Замечание 1. Несобственная точка делит любой отрезок прямой в отношении , то есть .

Замечание 2. Если выбрать в качестве репера , то в этом репере точка будет иметь координаты: . Зная сложное отношение точек , всегда можно найти расположение точки на прямой. В этом случае .

Значит, если , то .

Свойства сложного отношения четырех точек

10: Сложное отношение точек не изменится, если поменять местами пару точек: .

Доказательство: , . Учитывая, что получим, что . Свойство доказано.

20: Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .

Доказательство: , . Свойство доказано.

30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .

Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.

40: .

Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.

Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда

1) тогда и только тогда, когда точки ,

2) тогда и только тогда, когда точки .

Теоремы о сложном отношении точек и прямых

Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.

Доказательство. Пусть - проективное преобразование плоскости , прямая , ; точки переходят в отображении в точки . Как мы знаем, сужение есть проективное отображение . Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов , где , . Если - координаты точки в репере , то эти же координаты имеет точка в репере . Но , . Теорема доказана.

Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.

Теорема 2. Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то - проективное отображение.

Доказательство. Пусть - различные точки прямой и их образы в отображении . Существует единственной проективное отображение , которое переводит точки в точки соответственно.

Если , и , то по доказанному

.(3)

Если , то по условию

(4)

(3), (4)

и, значит, точки и совпадают. Так как , то такой вывод справедлив для любой точки . Следовательно, данное нам отображение совпадает с проективным отображением . Теорема доказана.

Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.

Теорема 3. Пусть - четыре различные прямые пучка П(О), прямая не проходит через точку и - точки пересечения этой прямой с прямыми . Тогда сложное отношение не зависит от выбора прямой (оно называется сложным отношением четырех названных прямых).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми в точках соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение по закону: . Так как это частный случай проективного отображения, то . Теорема доказана.

Следствие. Биекция :П()П() одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.

Сложное отношение точек заданных своими координатами на проективной плоскости

Как найти сложное отношение четырех точек прямой , зная их координаты , , , относительно репера на плоскости?

Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек . Для определенности будем считать, что (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(). Имеем:

. (5)

В репере на прямой имеем координаты точек:

.

Поэтому

и, учитывая равенство (5),

. (6)

Аналогичные выражения получим, если прямая не проходит через вершину или координатного треугольника, проектируя точки прямой на из или на и из .

На проективной плоскости возьмем репер и произвольную точку . Пусть - проекции точек и на прямую из центра . Мы знаем, что в репере на прямой точка имеет координаты и, следовательно, по формуле (2) при условии, что , то есть . Аналогичные выражения получим и для других отношений между координатами точки . Поэтому справедлива

Теорема 4. Если точка имеет координаты относительно репера проективной плоскости, то отношение равно сложному отношению четырех точек: двух вершин , и проекций , на прямую точек и из третьей вершины координатного треугольника (при условии, что , т. е. ) [3].

4.Итог занятия.

Итак, сегодня мы познакомились с понятием сложного отношения четырех точек прямой, изучили свойства сложного отношения, рассмотрели сложное отношение четырех прямых пучка.

- Как обозначается сложное отношение четырех точек прямой?

Возможный вариант ответа: (AB,CD).

- Какие свойства сложного отношения точек сегодня были изучены?

- Каким отношением связанно сложное отношение четырех точек прямой и отношение трех точек прямой?

- При обозначении сложного отношения точек важен порядок записи точек?

Лекция № 2

Тема: Полный четырехвершинник

Цель: обучающая: ввести определение гармонической четверки точек, изучить теорему о свойствах полного четырехвершинника;

развивающая: развивать память, логическое мышление, умение анализировать, выделять закономерности, обобщать, способность быстро ориентироваться в ситуации;

воспитательная: воспитывать положительное отношение к процессу обучения, уважение к сверстникам и преподавателю.

Тип занятия: лекция.

Структура занятия:

1.Организационный момент (2 мин).

2.Изложение нового материала (85 мин).

3.Итог занятия (3 мин).

Ход занятия

1.Организационный момент.

- преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;

- сообщается тема занятия, его цель: На этой лекции мы познакомимся с понятием гармонической четверки точек, изучим теорему о свойствах полного четырехвершинника.

2. Изложение нового материала осуществляется с помощью традиционных методов обучения и слайдов по теме «Полный четырехвершинник», которые отражаются мультимедиа-проектором и содержат основной материал лекции.

Гармонические четверки. Полный четырехвершинник

Четверка точек прямой называется гармонической, если . Говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно точек и или что пары , и , гармонически разделяют одна другую. Точку называют при этом четвертой гармонической к упорядоченной тройке точек , , .

Из свойств сложного отношения четырех точек, заключаем, что в случае гармонической четверки точек , , , их сложное отношение не меняется только при перестановке пар точек, но и при перестановке точек одной пары:

Аналогичными свойствами обладает и гармоническая четверка прямых пучка (которая определяется условием: ).

Пусть , , , - четыре точки общего положения на проективной плоскости. Если через каждые две из них провести прямую, то получим шесть прямых (рис. 4).

Фигура, образованная точками , , , и полученными шестью прямыми, называется полным четырехвершинником (или полным четырехугольником). Данные точки - его вершины, указанные прямые -его стороны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Две стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными: и , и , и - пары противоположных сторон.

Точки , , пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые , , - диагоналями полного четырехвершинника.

Пусть и - точки пересечения диагонали с противоположными сторонами и , проходящими через третью диагональную точку . Докажем, что

. (7)

Проектируя точки , , , на прямую из центра , получим:

. (8)

Проектируя точки , , , на прямую из центра , получим:

(9)

(2), (3)(10)

Но по второму свойству §1

,(11)

(4), (5)

Но при точки и совпадают, а следовательно, совпадают прямые и , и точки , , , оказываются на одной прямой, что противоречит условию. Поэтому

,

(6)

(7)

Заметим, что в полном четырехвершиннике все его вершины равноправны, как равноправны все его диагональные точки. Поэтому справедлива

Теорема 5. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:

1) на каждой диагонали имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат диагональные точки, а другой парой - точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку;

2) на каждой стороне имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат вершины, а другая пара образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки;

3) через каждую диагональную точку проходит гармоническая четверка прямых, в которой одной парой служат противоположные стороны, а другой диагонали.

Первый пункт этой теоремы дает способ построения четвертой гармонической точки к упорядоченной тройке точек , , . Через точку проводим произвольную прямую , а через точку - две произвольные прямые и . Обозначим:

Тогда искомая.

3.Итог занятия.

Итак, сегодня на занятии мы ввели понятие гармонической четверки, изучили теорему о свойствах полного четырехвершинника.

- Когда четыре точки лежащие на одной прямой, называют гармонически расположенными?

Возможный вариант ответа: Если сложное отношение четырёх точек прямой равно минус единице.

Далее, в подведении итогов лекции, студентам предлагается решить следующую задачу:

Даны отрезок , его середина C и точка M, не лежащая на прямой . С помощью одной линейки построить прямую, проходящую через точку M и параллельную прямой .

После нескольких минут самостоятельного решения задачи, к доске вызывается студент либо по собственному желанию, либо на усмотрение преподавателя. Далее задача решается студентом с помощью аудитории.

2.3 Тематический план и методические рекомендации к проведению практических занятий

Практические занятия чаще всего являются продолжением лекционных форм обучения и служат для осмысления и более глубокого изучения теоретических проблем, а также отработки навыков использования знаний. Практическое занятие даёт студенту возможность проверить, уточнить, систематизировать знания, овладеть терминологией и свободно его оперировать, научиться точно и доказательно выражать свои мысли на языке конкретной науки, анализировать факты, вести диалог, дискуссию, оппонировать. Практика призвана укреплять интерес студента к науке и научным исследованиям, научить связывать научно - теоретические положения с практической деятельностью[15].

На практических занятиях студенты проверяют, насколько тесно теория связана с практикой и осознают её необходимость для будущей профессиональной деятельности. По сути дела, практическое занятие и его результаты есть ничто иное как проявление принципа обратной связи на вузовском этапе профессиональной подготовки.

Преимущество практических занятий перед лекционными заключается в том, что здесь преподаватель имеет больше возможностей для индивидуальной работы со студентами. Контакт между преподавателем и студентами более тесен, чем при других организационных формах обучения [19].

Практические занятия занимают значительное место в обучении и важны для успешной работы в других видах учебной деятельности студентов по геометрии.

Для того, чтобы студенты быстрее и легче усвоили изучаемый материал, можно все задачи разбить на две основные темы: «Сложное отношение точек», «Полный четырехвершинник».

Первое практическое занятие по теме «Сложное отношение точек» предлагается провести с помощью методики коллективных способов обучения.

На практическом занятии при изучении данной темы преподаватель выбирает из задачника однотипные задания. Пять - семь пар таких заданий выписываются на карточках, и каждая карточка получает свой номер.

Таблица

Задание 1 Вычислить сложное отношение точек А) Б)	Задание 2 Проверить лежат ли на одной прямой точки: А) Б)

Предположим, что студент Иванов знает решение всех задач задания 1, а студент Петров -2. Тогда, работая в паре, они могут обменяться заданиями. Обмен осуществляется следующим образом: Иванов обучает Петрова решению задачи А) из задания 1, заново решая эту задачу. При этом если есть необходимость, он дает теоретическое объяснение и отвечает на все вопросы Петрова. Записывать решение задачи и все необходимые формулы он может прямо в тетрадь Петрова.

Затем таким же образом учит Петров, объясняя Иванов, как решается задача А) задания 2. Потом Петров приступает к самостоятельному решению задачи Б) из задания 1, а Иванов - к самостоятельному решению задачи Б) из задания 2. Проверив друг у друга правильность решения задач, напарники расходятся. На этом их работа в данной паре заканчивается, а каждый из них ищет себе нового напарника

Коллективный способ обучения в классе считается запущенным только тогда, когда каждое задание выполнено хотя бы одним учеником.

Если по какому-то заданию никто не справился с решением, преподаватель должен дать консультацию. Отработка практических умений и навыков на серии аналогичных заданий видна из следующей карточки.

Таблица

Фамилия студента	Номера заданий
	1	2	3	4	5	6
Иванов Петров Сидоров Степанов Попов Кузнецов	+ +	+ +	+	+ +	+ + +	+

Против каждой фамилии в соответствующей графе ставится точка, означающая, что студент может консультировать по тому или иному заданию. После окончания работы в паре на месте точки ставится +. Каждый обучаемый выполняет все шесть заданий, работая с разными партнерами.

Сначала организуется несколько групп по 5-7 студентов, и они работают по своему набору заданий в карточках. Через некоторое время в каждой группе появляются студенты, освоившие соответствующую часть теории и справившиеся со всеми задачами. Из них создаются новые микрогруппы для решения задач из других карточек.

Карты контроля за результатом деятельности студентов могут быть индивидуальными, групповыми. Получил задание - поставь точку в карточке, выполнил его - получи оценку (баллы) в карточку.

На втором практическом занятии по теме «Полный четырехвершинник» используется моделирующая программа. При рассмотрении какой-либо задачи на нахождение сложного отношения точек можно рассмотреть несколько не сложных задач с помощью программы и мультимедиа проектора.

В конце второго практического занятия для контроля знаний учащихся по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» проводится самостоятельная работа на 20 минут.

Ниже приводится содержание практических занятий:

Таблица

Тема	Количество часов	Всего Часов
1.Сложное отношение четырех точек прямой.	2 часа	4 часа
2. Полный четырехвершинник.	2 часа

2.4 Планы-конспекты практических занятий

Практическое занятие №1

Тема: «Сложное отношение четырех точек».

Цель: сформировать умения и навыки применения на практике теоретического материала, данного на лекции.

Задачи:

1) образовательная - формирование научного мировоззрения;

2) развивающая - развитие у обучаемых умения обобщать, систематизировать полученные знания;

3) воспитательная - воспитания познавательного интереса обучаемых, коммуникативных качеств, умения слушать, культуры межличностных взаимоотношений, аккуратности в работе, трудолюбия.

Оборудование: доска, мультимедиапроектор, компьютер.

Структура практического занятия:

1) организационный момент (5 мин.);

2) актуализация знаний по данной теме (5 мин.);

3) закрепление теоретического материала на практике (70 мин.);

4) запись домашнего задания (7 мин.);

5) подведение итогов практического занятия (3 мин.).

Ход практического занятия:

1. Организационный момент.

Сообщается тема практического занятия и записывается на доске, в тетради.

2. Актуализация знаний по данной теме.

Задаются вопросы, необходимые для проведения данного практического занятия, рассмотренные на лекционном занятии (основные понятия и формулы).

1) Что называется сложным отношением четырех точек прямой?

- Сложным отношением четырех точек лежащих на одной прямой называется число:

2) Свойства сложного отношения точек

- 10: Сложное отношение точек не изменится, если поменять местами пару точек: .

- 20: Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .

- 30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .

- 40:

3) Каким отношением определяется связь сложного отношения точек с простым?

-

3. Закрепление теоретического материала на практике.

На этом этапе проведения занятия используется методика коллективных способов обучения. К занятию заранее приготовлено пять видов карточек. Пять задач, в каждой из которых содержится пара однотипных заданий. Каждой задаче соответствует свой номер. Каждый из студентов получает номер задачи и приступает к её решению. После того как все студенты, по мере своих сил справились с заданиями, группа разбивается на пары. Работая в парах студенты проверяют правильность решения задачи напарником, объясняя решение своего задания подробно, если у другого возникли затруднения при решении задания напарника. Проверив друг у друга правильность решения задач и оформив решение в тетрадь, напарники расходятся. На этом их работа в данной паре заканчивается, пара распадается, а каждый из них ищет себе нового напарника.

Если по какому либо заданию никто не справился с решением, преподаватель должен дать консультацию. Преподаватель контролирует процесс отработки практических умений и навыков на серии аналогичных заданий заполняя таблицу с фамилиями студентов и указанными номерами заданий. После окончания работы в паре в таблице в соответствующей графе ставится + в соответствующей графе. После завершения работы преподаватель выставляет баллы заработанные каждым студентом во время выполнения заданий. Причем больше баллов получает тот, у кого в тетради окажется больше решенных задач.

Ниже приведены пять типов заданий предлагаемых студентам для решения, ответы и решения всех видов заданий описаны в приложении.

Задача №1.

А) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(2;3), B(3;-1), C(4,1), D(5,3). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Б) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(-1;4), B(12;-11), C(-6,4), D(-6,8). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Задача №2

А) Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Б) Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;11), B(5;7), C(3;12). Проверить лежат ли эти точки на одной прямой. Если точки A, B, C расположены на одной прямой, то найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Задача №3

А) Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Б) Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(1;2), B(12;1), C(6;4). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Задача №4

А) Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.

Б) Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(2;5;4), B(5;6;7), C(1;5;9), D(0;0;1), заданные в репере плоскости.

Задача №5

А) Известно, что . Найти сложное отношение точек всех возможных порядков.

Б) Известно, что . Найти сложное отношение точек всех возможных порядков.

4. Запись домашнего задания.

Домашнее задание даётся под запись.

1) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

2) Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение

3) Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x; y), удовлетворяющую условию .

5. Подведение итогов практического занятия.

Подводятся итоги. Преподаватель сообщает студентам количество баллов заработанных на этом занятии. Сообщается, что на следующем занятии будет проводиться самостоятельная работа и необходимо повторить теоретический материал.

Практическое занятие № 2

Тема: «Полный четырехвершинник».

Цель: сформировать умения и навыки применения на практике теоретического материала, данного на лекции.

Задачи:

1) образовательная - формирование научного мировоззрения;

2) развивающая - развитие у обучаемых умения обобщать, систематизировать полученные знания;

3) воспитательная - воспитания познавательного интереса обучаемых, коммуникативных качеств, умения слушать, культуры межличностных взаимоотношений, аккуратности в работе, трудолюбия.

Оборудование: доска, мультимедиапроектор, компьютер.

Структура практического занятия:

1) организационный момент (5 мин.);

2) актуализация знаний по данной теме (5 мин.);

3) закрепление теоретического материала на практике (55 мин.);

4) самостоятельная работа (15 мин.);

5) запись домашнего задания (3 мин.);

6) подведение итогов практического занятия (3 мин.).

Ход практического занятия:

1. Организационный момент.

Сообщается тема практического занятия и записывается на доске, в тетради.

2. Актуализация знаний по данной теме.

Задаются вопросы, необходимые для проведения данного практического занятия, рассмотренные на лекционном занятии (основные понятия и формулы).

1) Когда четверка точек A, B, C, D (прямых a, b, c, d) называется гармонической?

- Четверка точек (прямых) называется гармонической, если , ().

2) Какая фигура называется полным четырехвершинником?

- Фигура, образованная четырьмя точками общего положения и шестью прямыми их попарно соединяющими, называется полным четырехвершинником. Данные точки его вершины, указанные прямые - его стороны.

3) Постройте полный четырехвершинник и выпишите его противоположные стороны, диагональные точки, диагонали

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис

- и , и , и - пары противоположных сторон.

-, , - диагональные точки.

-, , - диагонали.

4) Рассказать теорему о полном четырехвершиннике и указать на рисунке расположение всех гармонических точек (прямых).

Теорема. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:

1) на каждой диагонали имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат диагональные точки, а другой парой - точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку;

2) на каждой стороне имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат вершины, а другая пара образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки;

3) через каждую диагональную точку проходит гармоническая четверка прямых, в которой одной парой служат противоположные стороны, а другой диагонали.

3. Закрепление теоретического материала на практике.

На этом этапе проведения занятия используется мультимедиапроектор. При рассмотрении полного четырехвершинника и решении задач можно увидеть построение на экране, с помощью моделирующей программы.

Задача №1.

Используя свойства полного четырехвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Задача №2.

Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .

Задача №3.

Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Задача №4.

На прямой даны три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .

Задача №5.

Даны три прямые пучка (рис. 5). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .

4. Самостоятельная работа.

Работа выполняется в течении 20 минут. Она пишется на отдельных листочках, которые после написания сдаются преподавателю на проверку. Она включает в себя два варианта, по одному заданию в каждом. Данная самостоятельная работа проводится в конце второго практического занятия. Если студенту что-либо не понятно, то ему предлагается прийти на дополнительное занятие по этому предмету, где ему будет объяснён материал ещё раз.

Вариант №1.

Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение

Вариант №2.

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

5. Запись домашнего задания.

Домашнее задание даётся под запись.

1) Построены диагональные точки полного четырехвершинника , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

6. Подведение итогов практического занятия.

Подводятся итоги, преподаватель выставляет баллы, заработанные студентами на этом занятии. Сообщается, что тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершнник» завершена. Далее будет рассматриваться следующая тема.

2.5 Методические рекомендации к организации самостоятельной работы и контроля знаний студентов

Важной формой обучения в вузе является самостоятельная работа, которую организует, направляет и оценивает преподаватель. Это, вполне понятно, так как без этого невозможно решить задачи ни специальной, ни общенаучной подготовки будущих специалистов.

Под самостоятельной работой иногда понимают не только организационную форму, в которой протекает учебный процесс, но и метод, и приём, и средство обучения. Самостоятельная работа является составной частью учебного процесса, научно-исследовательской работы и практики студентов в вузе и вне его[5].

В процессе самостоятельной работы студент сам организует свою познавательную деятельность. Активность её протекания полностью зависит от его личностных особенностей, от сформированности профессиональной направленности и уровня развития познавательного интереса.

Наиболее изучены исследователями особенности организации самостоятельной работы студентов в процессе слушания, записи, последующего изучения записанной информации в лекции. Студент самостоятельно может работать с литературой по курсу «Проективная геометрия» при подготовке к коллоквиуму, практической, самостоятельной, курсовой, дипломной работе, выполнении научной работы[20].

Самостоятельная работа студентов предназначена не только для овладения курса проективной геометрии, но и для формирования навыков самостоятельной работы вообще, в учебной, научной, профессиональной деятельности, способности принимать на себя ответственность, самостоятельно решить проблему, находить конструктивные решения, выход из кризисной ситуации и т.д.

Высшая школа отличается от средней специализацией, но главным образом - методикой учебной работы и степенью самостоятельности обучаемых. Преподаватель лишь организует познавательную деятельность студентов. Студент сам осуществляет познание. Самостоятельная работа завершает задачи всех видов учебной работы. Никакие знания, не подкреплённые самостоятельной деятельностью, не могут стать подлинным достоянием человека. Кроме того, самостоятельная работа имеет воспитательное значение: она формирует самостоятельность не только как совокупность умений и навыков, но и как черту характера, играющую существенную роль в структуре личности современного специалиста высшей квалификации. Поэтому в каждом вузе, на каждом курсе тщательно отбирается материал для самостоятельной работы студентов под руководством преподавателей.

Самостоятельная работа способствует:

§ углублению и расширению знаний;

§ формированию интереса к познавательной деятельности;

§ овладению приёмами процесса познания;

§ развитию познавательных способностей.

На лекции преподаватель рекомендует студентам литературу и разъясняет методы работы с учебником и первоисточниками. Студентам можно порекомендовать следующую литературу по теме «Дифференциальная геометрия поверхностей»: Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. «Геометрия»; Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия»; Базылев В.Т., Дуничев К.И. «Геометрия», Глаголев Н. А. «Проективная геометрия», Житомирский О. К. «Проективная геометрия в задачах», Комиссарук «Проективная геометрия в задачах», Певзнер С. Л. «Проективная геометрия», Четверухин Н. Ф. «Проективная геометрия».

Также студентам предлагаются задачи и упражнения для самостоятельного решения.

В помощь студентам при самостоятельном изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», была разработан электронный учебник, с помощью которого студент может самостоятельно изучить лекционный материал, решить задачи вынесенные на практические занятия, рассмотреть построение полного четырехвершинника и изучить его свойства, а также самостоятельно оценить свои знания пройдя тест предложенный в электронном учебнике.

На первой лекции студентам на самостоятельное изучение предложено несколько доказательств. Каждый студент должен самостоятельно проработать лекции прочитанные лектором в аудиторное время. Задания вынесенные на домашнюю работу с первого и второго практического занятия, также являются самостоятельной работой студентов во вне аудиторное время. Для выполнения заданий вынесенных на самостоятельное изучение студенту необходимо воспользоваться библиотечными ресурсами, изучить необходимую литературу.

Известно, что контроль стимулирует обучение и влияет на поведение студентов. Как показала практика, попытки исключить контроль частично или полностью из учебного процесса приводит к снижению качества обучения.

Особо следует сказать о формах организации контроля за качеством усвоения материала студентами в вузах, оценке знаний, как стимулировании процесса обучения и профессиональной подготовки специалистов. Традиционно сложились несколько видов контроля, которые мало изменяются с течением времени. Первый - устный: собеседование по курсу, тестирование, зачёт, экзамен; второй - письменный: контрольная, курсовая, дипломная работа.

Во время устного опроса контролируются не только знания, но тренируется устная речь, развивается педагогическое общение. Письменные работы позволяют документально установить уровень знания материала, но требуют больших затрат времени для преподавателя. Экзамены создают дополнительную нагрузку на психику студента. Курсовые и дипломные работы способствуют формированию творческой личности будущего специалиста. Умелое сочетание разных видов контроля - показатель уровня постановки учебного процесса в вузе и один из важных показателей педагогической квалификации преподавателя.

После изучения темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» студентам предлагается пройти тест и самостоятельно оценить свои знания по данной теме.

Тема выпускной квалификационной работы входит в вопросы к коллоквиуму, а также в экзаменационные вопросы третьего семестра. Также данная тема входит в итоговую контрольную работу по проективной геометрии. При модульно-рейтинговой системе обучения на самостоятельную работу, в аудиторное время, и домашнюю работу в соответствии с учебной программой [16] отводится по 1,5 балла.

2.6 Методические рекомендации к применению ИКТ при обучении студентов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

Компьютерные учебные демонстрации постепенно становятся важным средством предъявления информации в хорошо оборудованных учебных аудиториях. При этом имеется эффектная возможность по ходу лекции иллюстрировать явления и разнообразные процессы с помощью гибких и наглядных компьютерных динамических моделей, с гибким управлением параметрами моделей непосредственно по ходу изложения материала. Использование мультимедиа-проектора открывает для лектора новые богатейшие дидактические возможности увеличения эффективности лекций, тем более что в настоящее время число готовых программ-моделей постоянно возрастает, а возможности Интернета делают эти модели всё более доступными.

Использование компьютерных учебных демонстраций при чтении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» позволит лектору нагляднее объяснить новую тему, а студентам представить, как выглядит построение полного четырехвершинника, как именно расположены все гармонические четверки точек на его сторонах и диагоналях.

Для самостоятельной работы студентов был разработан электронный учебник. В нём представлен весь теоретический материал данной темы. Так же есть тестирующая и моделирующая программа. После того, как студент изучит лекционный материал по этому учебнику, ему предлагается пройти тест. Если он недоволен своими результатами, то он может вернуться и просмотреть теоретический материал ещё раз.

Электронный учебник, разработанный по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», состоит из следующих компонентов:

1) планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»;

2) презентации к лекциям;

3) моделирующая программа;

4) тест по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Первый компонент учебника служит для самостоятельного изучения данной темы или для повторного изучения. Второй содержит основной материал лекций.

Моделирующая программа помогает пошагово разобрать построение полного четырехвершинника, изучить его свойства, с помощью этих свойств разобрать построение четвертой гармонической точки к трем точкам заданным на прямой. В программе решаются четыре различные задачи на тему «Сложное отношение точек»:

· вычисление сложного отношения четырех точек с координатами заданными пользователем;

· найти координаты четвертой точки, если известны координаты трех точек и значение сложного отношения четырех точек, заданных пользователем;

· найти сложное отношение точек любого возможного порядка, если задать сложное отношение одного из возможных вариантов расположения точек;

· проверить лежат ли четыре точки заданные на плоскости на одной прямой, если пользователь произвольно задает координаты этих точек.

Четвертый компонент учебника - тест по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», состоит из одного варианта в котором десять вопросов. Тест подразумевает проверку теоретических знаний учащихся и охватывает тему «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник». В каждом вопросе по четыре варианта ответов. Тест осуществляет проверку знаний учащихся по данной теме.

Заключение

Изучены психологические особенности студенческого возраста в высшей школе; даны методические рекомендации к организации аудиторных занятий, самостоятельной работы студентов, контроля знаний обучаемых; составлены подробные планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»; разработан учебно-методический комплекс (УМК) включающий в себя моделирующую программу, планы-конспекты лекционных и практических занятий, презентации к лекциям, тестирующую программу, даны методические рекомендации к использованию УМК.

Материалы данной выпускной квалификационной работы могут быть полезны студентам математических факультетов педагогических вузов для подготовки к лекциям и практическим занятиям, коллоквиумам, к экзаменам, при выполнении курсовых и выпускных работ, а также преподавателям педагогических вузов математических факультетов для проведения лекционных и практических занятий с использованием технических средств предъявления информации.

Литература

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия: Учеб. пособие для студ. физ-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2-х ч. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1987.-236 с.

2. Абульханова-Славская К.Я. Деятельность и психология личности. - М., 1980. - 362 с.

3. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия. Учеб. пособие для студ. физ-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2-х ч. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1980. -248 с.

4. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. - М.: - 1963.- 190 с.

5. Гольцер Я.Н. Актуальные вопросы школьной и вузовской методики преподавания математики: Темат. сб. научн. тр./каз. пед. ин-т. им. Абая.- Алма-Ата: КазПи, 1989. - 97 с.

6. Житомирский О. К. Проективная геометрия в задачах. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.- 358 с.

7. Комиссарук А. М. Проективная геометрия в задачах. - Минск: Вышэйш. школа, 1971.- 416 с.

8. Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. - М.: Издательство московского университета, 1961.- 326 с.

9. Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. Министерство образования Российской Федерации. - издательство «Школа-Пресс», 2005, №5

10. Певзнер С. Л. Проективная геометрия. - М.: Просвещение, 1980.- 156 с.

11. Педагогические технологи: Учебное пособие для студентов педагогических специальностей / Под общей ред. В.С. Кукушина. - серия «Педагогическое образование». - Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2004.-336 с.

12. Ситаров В.А. Дидактика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений/Под ред. В.А. Сластёнина. - М.: Академия, 2002.- 136 с.

13. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Академия, 2003. - 304 с.

14. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.- М.: Народное образование, 1998.-256 с.

15. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. - М.: ВЛАДОС, 1987.- 176 с.

16. Учебная программа по курсу «Геометрия» для студентов специальности «Математика» с дополнительной специалиностью «Информатика», факультета математики и информатики, курс 1-3, семестры 1-5. Программа разработана доцентом кафедры математики и МПМ Чернышева У.А. Славянск-на-Кубани, 2007г. - 52 с.

17. Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия: Учебник для пед. ин-тов.- М.: Просвещение, 1969.- 248 с.

18. Черниченко В.И. Дидактика высшей школы: история и современные проблемы. - М.: Вузовская книга, 2002. - 136 с.

19. Яковлева У.А. Проективная геометрия: Учебно-методическое пособие по геометрии для студентов специальности 032100-«Математика»/Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт. - Славянск-на-Кубани: ООО «Берегиня», 2004. - 57 с.

20. Якушин В.А. Современные методы обучения в высшей школе. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. - 174 с.

Приложения

Приложение 1

Задачи

Задача №1.

Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(2;3), B(3;-1), C(4,1), D(5,3). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Решение

1) Вычислим сперва значение сложного отношения (AB,CD) по формуле (3).

2) Как известно, четыре элемента допускают перестановки. Согласно свойствам сложного отношения,

Таким образом, 24 перестановки букв A, B, C, D распадаются на шесть четвёрок, каждой из которых соответствует одно и тоже значение сложного отношения. Следовательно, сложное отношение данных четырёх точек не более шести различных значений:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6),

где ,.

В нашем случае сложное отношение принимает следующие шесть значений:

Задача №2

Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Решение:

Пусть в репере . Согласно формуле (3) получаем:

Но, по условию известно, что . Тогда

Значит, искомая точка D(1,3).

Задача №3

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Решение:

(4;8), (1;2), тогда . , , тогда По формуле (6): Получаем:

, откуда: , .

Значит, D(7,21).

Задача №4

Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.

Решение:

Спроектируем точки A, B, C, D на прямую из центра . Получим . При этом . Тогда:

.

Аналогично, при проецировании из центра , имеем:

.

При проецировании из центра , имеем:

.

Так как во всех трёх случаях получили разные результаты, то можно сделать вывод, что точки не лежат на одной прямой.

Задача №5 Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Задача №6 Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение

Задача №7 Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

Задача №8.

Используя свойства полного четырёхвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Решение:

Пусть продолжение боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке E,а диагонали - в точке F (рис. 5). Прямая EF пересекает основания трапеции AB и CD в точках M и N соответственно. Требуется доказать, что точки M и N являются серединами оснований.



Рис. 5

Рассмотрим полный четырёхвершинник ABCD. Точки E и F являются его диагональными точками. Третьей диагональной точкой является несобственная точка параллельных сторон AB и CD. Так как, на каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек, то четвёрка точек - гармоническая; значит . В силу того, что - несобственная точка прямой AB, значение сложного отношения , то есть, последнее равенство равнрсильно следующему: . Значит, что M есть середина отрезка AB. Точно так же доказывается, что N середина отрезка CD.

Задача №9.

Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .

Решение:



Рис. 6

Обозначим прямую через . Рассмотрим полный четырёхвершинник . Его диагональными точками являются , прямые и - две его диагонали. Так как, через каждую диагональную точку полного четырёхвершинника проходит гармоническая четверка прямых, то есть пара прямых гармонически разделяет пару прямых . Отсюда следует, что как только заданные прямые и точка , так однозначно определяется третья прямая , а затем и четвёртая гармоническая прямая . Итак, прямая зависит только от и , но не от и .

Задача №10.

Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Решение:

1) Рассмотрим полный четырехвершинник . Его диагональными точками являются и . Диагональ пересекает сторону четырехвершинника в точке, четвертой гармонической к . Но согласно условию, гармонически разделяет ; значит, прямая проходит через точку , а поэтому и через . Итак, прямые и действительно сходятся в точке .

Рис. 7

2) Рассмотрим полный четырехвершинник . Точки и - его диагональные точки, прямая - диагональ. Она пересекает противоположные стороны и , проходящие через третью диагональную точку, в точках и соответственно; следовательно в силу того, что на каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, пара точек гармонически разделяет пару точек .

Задача №11.

На прямой даны три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .

Решение:

Будем считать плоскость чертежа евклидовой плоскостью, поэтом различим два случая.

1) Точка лежит вне отрезка (рис 8, а).

Будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональной точкой. Возьмем вне прямой точку (вторая диагональная точка). Построим и (пара противоположных сторон). Из точки (которая пока без пары) проведем к треугольнику секущую ( и - третья и четвертая вершины; лежит на , - на ).

Рис 8, а

Построим прямые и ; получим точку (третья диагональная точка). Наконец, построим прямую (диагональ) и получим точку . В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем - пара точек гармонически разделяет пару точек .

Точка не зависит от выбора точки и секущей .

2) Точка лежит внутри отрезка (рис 8, б)

Снова будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, но теперь диагональной точкой будем считать не , а искомую точку .

Рис 8, б

Возьмем вне прямой точку (диагональная точка). Построим прямые и (пара противоположных сторон и диагональ). На прямой возьмем точку (вторая диагональная точка) и построим прямые и (пара противоположных сторон); получим точки и (третья и четвертая вершины). Наконец, построим прямую (сторона, противоположная ) и получим точку (третья диагональная точка). В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем, что пара точек гармонически разделяет пару точек .

Как в первом, так и во втором случае мы строим одну и ту же фигуру. Разница заключается лишь в очередности построения прямых и .

Задача №12.

Даны три прямые пучка (рис. 9). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .

Решение:

Будем считать и парой противоположных сторон некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональю. Тогда центр пучка будет диагональной точкой этого четырехвершинника, а искомая прямая будет второй диагональю, проходящей через , так как через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых.

Рис. 9

Возьмем на прямой точку (вторая диагональная точка). Проведем из к углу две секущие (вторая пара противоположных сторон). Мы получим четыре точки: (вершины). Построим прямые и (третья пара противоположных сторон) и получим точку (третья диагональная точка). Прямая (диагональ) и есть искомая прямая .

Задача №13. Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение

Задача №14. Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

Задача №15 Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Приложение 2

Элементы проективной геометрии на факультативе в школе

Что такое проективные свойства фигур? Это те свойства, которые сохраняются при центральном проектировании, когда проектирующие лучи не параллельны некоторой фиксированной прямой, а выходят из заданной точки пространства, называемой центром проектирования.

Параллельное проектирование - своего рода частный случай центрального проектирования, если считать, что центр проектирования бесконечно удален. Наша цель - познакомить школьников на доступном уровне с некоторыми свойствами центрального проектирования и их практическими применениями.

Проективные теоремы и задачи

В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные.

Как же распознать проективные теоремы и задачи? Как правило в их условии речь идет о взаимном расположении точек и прямых и часто требуется доказать, что некоторые три прямые имеют общую точку или что три характерные точки лежат на одной прямой. Например: «Даны три окружности. Докажите, что точки A, B и C пересечения общих касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой ». К проективным относятся упоминающиеся в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. теоремы Паскаля, Брианшона и некоторые другие утверждения.