Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

О возможностях использования элементов проективной геометрии в школе

Умение распознавать природу тех или иных рассматриваемых свойств фигур способствует успешному решению самых разных геометрических задач.

Если задача метрическая, то нужно ввести обозначения длин отрезков и величин углов, выбрать подходящий треугольник (или другую фигуру) и составить связывающие её элементы тригонометрические соотношения и т.д. Аффинную задачу проще рассмотреть на некоторой параллельной проекции исходного чертежа. А вот задачу на проективные свойства фигур целесообразно решать средствами проективной геометрии, позволяющими быстрее достичь цели.

С помощью теорем проективной геометрии удается легко справиться и с другими задачами, которые не являются чисто проективными, однако имеют «близкое происхождение». Это касается, например, такой задачи: «Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны».

Кроме того, свойства центрального проектирования имеют важное практическое значение. В частности, они нашли широкое применение в живописи. Знание этих свойств помогает понять геометрические основы законов изображения предметов в линейной перспективе, которыми уже несколько столетий пользуются художники, пишущие в реалистической манере.

Проективные свойства фигур довольно сложны и малопригодны в учебном процессе, но некоторые из них могут быть рассмотрены на факультативе. Ниже предлагаются разработки нескольких таких факультативных занятий. Их главная цель - расширить кругозор школьников, познакомив их с элементами проективной геометрии.

Занятия рассчитаны на учащихся, освоивших курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна и др., но не изучавших на уроках приложений к учебнику. Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии» содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности), например упомянутую задачу о трех окружностях. Помимо неё, рассмотрим еще две-три задачи, которые будут интересны ученикам, а также затронем вопросы проективной геометрии, тесно связанной с живописью и гармонией (учением о музыке). Отметим, что из содержания материала были исключены те специальные термины и факты, без которых можно было обойтись при достижении поставленной цели.

Занятие 1. Гармония отрезков

На рис. 10 точка C отрезка AB делит его в отношении 3 : 1, т.е. . Иначе говоря, точка C находится в три раза ближе к B, чем к A. На прямой AB существует еще одна точка (назовем её D), которая обладает таким же свойством. Говорят, что точка D делит отрезок AB в том же отношении, но только внешним образом:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 10.

Четверку точек A, B, C, D будем называть гармонической. Отметим, что важен порядок перечисления точек в четверке. В нем заключена информация о том, что точки C и D делят отрезок AB в одинаковом отношении. Говорят также, что первая пара элементов (A,B) разделяет вторую - (C,D).

Очевидно, что существует бесконечно много гармонических четверок точек. Например, на рис. 11

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11

Для каждой такой четверки характерно, что

.

Верно и обратное: если точки A, B, C, D удовлетворяют такому соотношению, то они гармонически расположены.

Комментарий. Здесь и далее мы не вводим определение четырех точек с его правилом знаков. Будем говорить лишь о делении отрезка в одинаковом отношении, т.е. «гармонии отрезков».

Происхождение названия непосредственно связано с музыкальной гармонией. Как известно, во времена Пифагора в «математику» включили четыре раздела: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (от греч. слаженный, соразмерный). Для чисел a и древние греки вводили не только среднее арифметическое и среднее геометрическое , но и среднее гармоническое . Отсюда происходит название гармонического ряда - числового ряда , каждый член которого есть среднее гармоническое соседних членов.

В гармонии, в частности, изучалась связь между размерами струн и высотой их звучания. Пифагор знал, что длины струн, дающих ноты мажорного трезвучия (до, ми, соль), связаны с числами 1, и . Здесь - среднее гармоническое чисел 1 и .

Так если открытую гитарную струну (AD=60 см, рис 12) настроить на до, зажатые струны (CD=48 см, BD=40 см) дадут соответственно ми и соль. Легко видеть, что

,

т.е. четверка точек A, B, C, D - гармоническая.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 12

Гармонические четверки точек часто встречаются в геометрии окружностей.

Например, для двух окружностей разного радиуса с центрами и внутренний и внешний центры гомотетии (точки H и S соответственно) делят отрезок в одинаковом отношении (рис. 13), т.е.

.

Это равенство следует из подобия изображенных на рисунке прямоугольных треугольников.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 13

Если же окружности имеют равные радиусы (рис. 14), то внешний центр S гомотетии как бы устремлен в бесконечность (бесконечно удален). Договоримся и в этом случае считать четверку точек гармонической.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 14

Занятие 2. Перспектива

Рассмотрим рис. 15. Пусть изображенные на нем точки A, B, C, D образуют гармоническую четверку. Они видны из точки S как бы сквозь точки другой прямой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 15

Такое расположение точек называют перспективным (от лат. perspicere - смотреть сквозь), а точку S - центром перспективы. В этом случае говорят, что ряд точек проектируется из центра S в ряд точек и наоборот, второй ряд точек проектируется в первый.

Оказывается, сквозь гармоническую четверку точек одной прямой можно увидеть только гармоническую четверку точек другой прямой.

Утверждение 1.

Если , то (рис. 15).

Доказательство. Опустим из центра перспективы на прямую AD перпендикуляр SH и рассмотрим треугольник с общей вершиной S и основаниями, лежащими на прямой AD (рис. 15). Поскольку треугольники имеют общую высоту, их основания относятся как площади фигур.

Для треугольника ASC и BSC имеем:

откуда

Для треугольников BSD и ASD имеем:

Перемножив почленно левые и правые части двух последних равенств, получим:

.

Аналогично, опустив перпендикуляр на прямую и рассмотрев соответствующие треугольники, можно доказать, что

.

По условию , значит, и .

Замечание 1. При проектировании гармонической четверки точек прямые оказались связаны зависимостью . Такую четверку прямых будем называть гармонической.

Итак, прямые проходящие через центр проектирования и четверку гармонически расположенных точек, образуют гармоническую четверку. Верно и обратное: если прямые, проходящие через центр проектирования, гармонически расположены, то четверка точек, образующаяся при их пересечении некоторой прямой, также будет гармонической.

Замечание 2. Если четверка точек одной прямой не является гармонической, а - перспективная с ней четверка точек, то и в этом случае

.

Иначе говоря, значение произведения сохраняется при центральном проектировании.

Занятие 3. Теорема о трех окружностях

Итак, мы выяснили, что такое гармоническое расположение четырех точек прямой, и установили, что оно сохраняется при перспективе. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Если две гармонические четверки точек и имеют общую точку , то для них найдется общий центр перспективы.

Доказательство. Пусть прямые и пересекаются в некоторой точке. Покажем, что она и есть искомый центр перспективы (рис. 16).

Действительно, в противном случае прямая пересекла бы прямую не в точке , а в какой-то другой точке X. Тогда согласно утверждению 1, точка X делила бы отрезок в том же отношении, что и точка D а, значит, и точка , что невозможно. Следовательно точки X и совпадают, а S - искомый центр перспективы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.16

Замечание. Если бы прямые и были параллельны, то и прямая была бы им параллельна. Это означало бы, что центр S перспективы бесконечно удален. Такой случай мы считаем вырожденным и не рассматриваем.

На основе доказанного утверждения можно решить, например, задачу о трех окружностях.

Задача 1. Докажите, что внешние центры гомотетий трех окружностей лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть даны окружности с центрами . Обозначим внешние центры гомотетий буквами , а внутренние центры - буквами .

Четверки точек и являются гармоническими и имеют общую точку , значит для них существует центр перспективы (утверждение 2). Итак, прямые должны пересекаться в одной точке и это точка . Следовательно, внешние центры гомотетий расположены на одной прямой.

Занятие 4. Четырехвершинник

Выделим на рис. 16 фигуру состоящую из четырех точек - (никакие три из них не лежат на одной прямой!) и шести прямых - . Эта фигура называется четырехвершинником . Указанные точки называются его вершинами, а прямые - сторонами. Четырехвершинник легко построить путем проведения прямых через все пары отмеченных вершин.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 17

Замечание. На практике построение произвольного четырехвершинника удобно начинать не с вершин (иначе некоторые прямые могут пересечься за пределами чертежа), а с двух сторон и вспомогательной прямой . И далее следовать представленной на рис. 17 схеме.

Утверждение 3. В любом четырехвершиннике, построенном по указанной на рис. 17 схеме, четверка точек получится гармонической.

Доказательство. На рис. 16 четверка точек проектируется из центра в четверку точек . Согласно замечанию 2 (занятие 2),

.

В четверку точек также проектируется, но уже из центра , четверка точек (обратите внимание на порядок точек в этом случае!). Имеем:

.

Перемножав почленно левые и правые части этих равенств, получим

, откуда .

Следовательно, четверка точек - гармоническая.

Покажем теперь, как отмеченное свойство четырехвершинника применяется при решении задач планиметрии.

Задача 2. Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.

Доказательство. Пусть и . Покажем, что .

Проведем прямую KE и обозначим точку её пересечения с прямой AB буквой P (рис. 18).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 18

Рассмотрим четырехвершинник . Так как четверка точек - гармоническая (утверждение 3), то и проектирующие её из центра H прямые HK, HE, HM, HP составляют гармоническую четверку, поэтому, согласно замечанию 1 (занятие 2),

=1.

Итак, , а так как углы острые, то .

Если прямые KE и AB параллельны, то к точкам A, B и H четвертой гармонической будет бесконечно удаленная точка. В этом случае H - середина отрезка AB и из свойств осевой симметрии следует равенство углов и .

Замечание. Из доказанного в задаче 2 утверждения следует, что если серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке O, расположенной внутри треугольника, то она является одновременно точкой пересечения высот в треугольнике и точкой пересечения биссектрис в треугольнике .

Задачи для самостоятельной работы

1. На прямой отмечены точки A, B и C. Постройте четвертую гармоническую к ним точку D, если точка C:

а) лежит между точками A и B и AC>BC;

б) лежит вне отрезка AB;

в) является серединой отрезка AB.

2. Докажите, что пересекающиеся прямые a и b гармонически разделяются прямыми c и d, содержащими биссектрисы образовавшихся при пересечении углов.

3. Докажите, что на рис.19 любая четверка точек, принадлежащих одной прямой, - гармоническая.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 19

Ответы и указания к решению

1. Указание. Воспользуйтесь гармоническим свойством четырехвершинника.

а) См. схему на рис.8; б) точка D будет располагаться между точками A и B. В этом случае построения выполняются в обратном порядке; в) точка D окажется в бесконечности.

2. Пусть прямые c и d содержат биссектрисы острого и тупого углов, образующихся при пересечении прямых b и a . Обозначим угол между прямыми a и b как , тогда

.

3. Указание. Воспользуйтесь тем, что четверка точек на рис.10 - гармоническая, и рассмотрите перспективу с разными центрами: и т.д.

Размещено на Allbest.ru