Вводится понятие градуса и его обозначение. Дети уже знаю, что прямой угол равен половине развернутого, на основе этого определения вводится градусная мера для прямого угла.

Также вводятся градусные меры для острого и тупого углов: если угол меньше 90 градусов, то его называют острым углом, а если больше, то - тупым.

Математика 6 класс

Глава 2. Рациональные числа

§9. Координаты на плоскости

Перпендикулярные прямые

Сразу дается определение перпендикулярных прямых: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными (с понятие прямых углов учащиеся знакомы по материалу 5 класса).

Вводится стандартное обозначение для перпендикулярных прямых и алгоритм построение перпендикулярных прямых с помощью чертежного треугольника и транспортира (с этими инструментами учащиеся знакомы на основе материала 5 класса).

Параллельные прямые

Сообщается, что для прямых существует два варианта взаимного расположения: они либо пересекаются, либо не пересекается. Рассматривается случай, когда прямые не пересекаются, такие прямые называются параллельными.

Вводится стандартный символ для обозначения параллельных прямых.

С помощью рисунков поясняется, что отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами).

Далее рассматриваются признак параллельных прямых: если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны. Данный факт поясняется на примере прямоугольника.

С помощью рисунка дается пояснение как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной.

Далее, без каких либо пояснений, сообщается аксиома: через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

2. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, Математика 5 класс

Глава 1. Натуральные числа

§3. Язык геометрических рисунков

Математический язык - это не только язык чисел, букв и символов. Это еще и язык рисунков и чертежей. При изображении геометрических фигур соблюдаются некоторые правила.

На основе рисунка вводятся точки, прямые и отрезки и их обозначения.

§4. Прямая. Отрезок. Луч

Выполните задания и ответьте на вопросы:

1) Отметьте две точки - А и В. Проведите отрезок АВ.

2) Сколько существует отрезков, соединяющих точки А и В?

3) Отметьте две точки - С и Д. Проведите через них прямую. Сколько прямых можно провести так, чтобы они проходили через обе эти точки?

4) Начертите две пересекающиеся прямые. Обозначьте точку их пересечения буквой А.

Могут ли эти прямые иметь еще и другие точки пересечения?

Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?

Выводы:

1) Две точки могут быть концами единственного отрезка;

2) Через две точки можно провести единственную прямую;

3) Две прямые могут пересекаться только в одной точке.

Понятие луча вводится по рисунку.

§5. Сравнение отрезков. Длина отрезка

На основе устного упражнения учащиеся могут сделать вывод, что отрезки равны, если при наложении их можно совместить; отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.

Понятие длины отрезка учащимся предлагается сформулировать самостоятельно.

§6. Ломаная

На основе рисунка сообщается какую линию называют ломаной. Вводятся ее элементы (вершины, звенья).

Вывод об обозначении ломаных учащимся предлагается сделать самостоятельно.

§8. Координатный луч

Рассматривается задача: шляпа, которую ветер сорвал со старухи Шапокляк, упала в десяти метрах от нее и покатилась со скоростью 3 м/с. С какой скоростью должна бежать Крыска Лариска, чтобы догнать шляпу через 10 с?

Приводится два способа: с помощью рисунка и без. И объясняется преимущество первого способа.

Затем, с помощью последовательно добавления элементов на рисунок вводится понятие координатного луча и координаты точки.

§11. Прямоугольник

Так как с этой фигурой учащиеся знакомы с начальной школы, то предлагается по рисунку ответить на вопросы:

1) Почему прямоугольник получил такое название

2) Как "зовут" этот прямоугольник?

3) Что обозначено буквами а и в?

4) Что такое периметр прямоугольника, как его найти?

5) Запишите выражения для периметра прямоугольника

6) Что такое диагональ прямоугольника?

7) Как найти площадь прямоугольника

8) Запишите выражение для площади прямоугольника

Глава 2. Обыкновенные дроби

§23. Окружность и круг

Проводится аналогичная работа, как и с прямоугольником.

Глава 3 Геометрические фигуры

§27. Определение угла. Развернутый угол

На основе рисунка вводится понятие дополнительного и противоположного лучей. Предлагается ученикам самостоятельно сформулировать определение угла, а затем, вводится определение: угол - это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало.

Далее вводится определение развернутого угла: развернутый угол - это угол, образованный дополнительными лучами.

§28. Сравнение углов наложением

Ученикам уже известно, что равные фигуры можно совместить так, что они совпадут. На основе рисунка показывается, что этот способ работает и для углов.

§29. Измерение углов

Ставится проблема: длины отрезков можно измерить с помощью линейки, а для углов такой способ не подойдет, значит, нам не хватает каких-то знаний, умений.

Вводится новый измерительный прибор (транспортир). Вводится понятие градуса и градусной меры угла. После чего вводятся виды углов.

§30. Биссектриса угла

Сообщается, что равные углы на геометрических чертежах принято отмечать равным количеством дуг.

Вырежем из бумаги угол и перегнем так, чтобы его стороны совместились. Проведем по линии сгиба луч. Этот луч называется биссектрисой угла. Сравните углы, на которые биссектриса разделила наш угол. Ответ обоснуйте.

Далее ученикам на основе изображения биссектрисы угла предлагается сформулировать определение.

Сравните определение с таким определением: биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

§31. Треугольник

Сначала ученикам с помощью угольника предлагается построить различные треугольники. Затем вводятся виды треугольников.

§32. Площадь треугольника

Как найти площадь прямоугольника ученикам уже известно. На основе различных конфигураций прямоугольника учащимся предлагается вычислить площади.

Вводится понятие высоты треугольника. И с его помощью учащимся предлагается самостоятельно вывести формулу площади прямоугольника.

§33. Свойство углов треугольника

На основе практической деятельности (работы с прямоугольником), заполнение таблиц, учащие могут сделать вывод, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

§34. Расстояние между двумя точками. Масштаб

Учащиеся уже знают, что расстояние между двумя точками измеряется по соединяющей их прямой, что еще раз разбирается на примере: Настя живет в 7 минутах ходьбы от школы, а Костя идет от дома до школы 5 минут. Можно ли утверждать, что Костя живет ближе к школе, чем Настя? Могут ли Костя и Настя жить в одном доме? Может ли Костя жить дальше от школы, чем Настя?

§35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые

Маша и Саша собирали грибы в лесу. После того как корзинки наполнились, ребята решили отправиться домой. Для этого им надо было выйти на шоссе, так как с тяжелой корзинкой идти по лесу довольно трудно. Но тут у них возник спор: - в какую сторону идти, чтобы быстрей выйти из леса.

1) Подумайте, как выглядит кратчайший маршрут, по которому надо было двигаться, чтобы добраться от точки О до шоссе, и изобразите его.

2) Под каким углом к краю шоссе проходит отрезок, который вы изобразили? Какой чертежный инструмент удобно было использовать для проведения этого отрезка?

Затем вводятся определения перпендикуляра, расстояния и взаимно перпендикулярных прямых.

§36. Серединный перпендикуляр

На основе изображения, на котором отмечены равные элементы, учащимся предлагается самостоятельно дать определение серединного перпендикуляра.

После все рассуждений вводится полное определение и свойство точек серединного перпендикуляра.

§37. Свойство биссектрисы угла

Учащимся с помощью рисунка предлагается ответить на вопросы, после которых они смогут сформулировать свойство биссектрисы.

Глава 5. Геометрические тела

§50. Прямоугольный параллелепипед

Даны две группы рисунков, которые учащимся предлагается классифицировать самостоятельно, а затем проверить себя:

1) Изображены тела, поверхность которых составлена из плоских фигур - многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, а сами тела - многогранниками.

2) Тела ограничены не только плоскими поверхностями. Это круглые тела: цилиндр, шар и конус.

Далее аналогичная работа проводится другими группами рисунков:

1) Предметы имеют форму различных многогранников

2) Предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Затем, вводятся основные элементы параллелепипеда.

§51. Развертка прямоугольного параллелепипеда

Рассматривается задача: на поверхности прозрачного куба находится паук, который пристально смотрит сквозь него на сидящую на другой грани куба муху. Всем понятно естественное для паука желание поймать муху, однако для этого ему нужно как можно скорее до нее добраться, а то ведь муха может и улететь. Другими словами, пауку необходимо двигаться к ней по кратчайшему маршруту. Изобразите простым карандашом путь, которым, по вашему мнению, должен двигаться паук. Подумайте, как проверить, является ли в действительности предложенный вами маршрут самым коротким.

§52. Объем прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед с измерениями 5 см, 6 см и 4 см, изготовленный из деревянного бруска, покрасили зеленой краской, а затем распилили на одинаковые кубики с ребром 1 см. Сколько среди этих кубиков окажется таких, у которых:

Ш Окрашено 3 грани?

Ш Окрашено только 2 грани?

Ш Окрашена только 1 грань?

Ш Не окрашено ни одной грани?

Чтобы ответить на последний вопрос, можно было найти число всех кубиков, а затем вычесть из него число кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань, т.е. сумму чисел, найденных в первых трех заданиях.

Рассматривается сводная таблица для длины, площади и объема. Затем вводится формула для вычисления объема.

Замечание: главная особенность рассмотренного учебника состоит в том, что учащиеся самостоятельно "добывают" все необходимые знания с помощью устных и практических заданий. Затем только сверяются с данными в учебнике.

3. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Арифметика: 5 класс», «Арифметика: 6 класс», Арифметика 5 класс

Глава 2. Измерение величин

Прямая. Луч. Отрезок

В данном разделе порядок рассмотренных понятий построен от самого сложного (понятие плоскости) к самому простому (отрезок).

Понятие плоскости вводится на интуитивном, бытовом уровне: поверхность стола или поверхность воды на пруду (в безветренную погоду) может служить примером части плоскости.

Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой лини. Коротко - частью прямой.

Рассматривается несколько вариантов для обозначения прямой.

Сообщается, что через любые две точки можно провести только одну прямую, значит две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. А что если прямые не пересекутся, как бы их не продолжали? Такие прямые называются параллельными.

Вводится значок для обозначения параллельных прямых. По рисунку объясняется как с помощью линейки и угольника провести параллельные прямые.

Если на прямой отметить точку, то она разделит прямую на две части (в отличие от учебника Н.Я. Виленкина понятия дополнительного луча не вводится), каждая из которых называется лучом. Сообщается об обозначениях луча.

Часть прямой, ограниченная точками называется отрезком.

Измерение отрезков

Понятия единицы измерения и единичного отрезка вводятся с помощью задачи: ученик 5 класса и его сестра - десятиклассница решили подсчитать число шагов от школы до дома. Получилось, что одно и тоже расстояние равно 300 шагам брата и 250 шагам сестры. Очевидно, что разные результаты получились из-за того, что сестра измеряла расстояние большими шагами, чем брат.

В таких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерения длины. Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичным отрезком.

На примере объясняется измерение с недостатком и с избытком.

Длину отрезка называют расстоянием между его концами.

Метрические единицы длины

Окружность и круг. Сфера и шар

Окружность - замкнутая линия, которую описывает ножка циркуля с карандашом. Центр окружности-т точка, в которую установили острие циркуля.

Радиус, хорда и диаметр определяются как отрезки, соединяющие различные точки окружности.

Круг - часть плоскости, находящаяся внутри окружности.

Сфера - все точки пространства, удаленные от данной точки на одно и тоже расстояние.

Шар - часть пространства, находящаяся внутри сферы.

Традиционная последовательность материала и его изложение.

Углы. Измерение углов

Понятие угла и его составляющих (вершина, стороны) вводится по рисунку на конкретном примере. Угол- часть плоскости, ограниченная лучами, выходящими из одной точки.

Понятие равных углов так же вводится по рисунку. Два угла называются равными, если они совмещаются наложением.

Далее рассматриваются все виды углов: развернутый, прямой, острый тупой.

Ели на прямой отметить точку, то образуется два луча, выходящих из одной точки. Эти точки тоже делят плоскость на две части, каждую из которых называют развернутым углом.

Прямой угол вводится на основе развернутого при помощи практических представлений: перегнем лист бумаги так, чтобы лучи совпали, и расправим лист. Тогда линия сгиба, разделит каждый из развернутых углов на два равных угла, каждый из которых называют прямым углом.

Сообщается, что углы измеряют и строят с помощью транспортира.

Острый и тупой угол вводятся традиционно, как угол, меньший и больший 90, соответственно.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными. Вводится традиционный значок для обозначения перпендикулярных прямых.

Треугольник. Прямоугольник

Ученикам уже знакомы все виды углов, на основе этого вводятся виды треугольников. Кроме этого, вводится равнобедренный и равносторонний треугольники.

Все понятия вводятся традиционно и последовательно.

Прямоугольник

Вначале вводится стандартное определение прямоугольника: прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы прямые. Определяются вершины и стороны прямоугольника.

Так как определение параллельных прямых было уже введено ранее, то сообщается, что прямоугольника противоположные стороны равны и параллельны.

Понятие квадрата вводится на основе прямоугольника, как частный случай: прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Площадь прямоугольника. Единицы площади

Вводится понятие единичного квадрата и сообщается, что его площадь принимают за единицу измерения площадей, вводятся основные единицы измерения площадей.

Формула площади прямоугольника вводится по рисунку на конкретном примере.

Сообщается формула площади квадрата и дается объяснение названия второй степени числа, как квадрата числа.

Вводятся единицы измерения площадей земельных участков

Прямоугольный параллелепипед

Понятие прямоугольного параллелепипеда вводится на конкретных примерах: классная комната, коробка конфет, кирпич.

По рисунку вводятся все основные составляющие параллелепипеда.

Понятие куба вводится, как частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.

На рисунке изображена коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, если ее разрезать по вертикальным ребрам и развернуть, то получится развертка прямоугольно параллелепипеда, тоже изображена на рисунке.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема

Все понятия, связанные с данным пунктам вводятся аналогично и в той же последовательности, как и площадь прямоугольника.

Арифметика 6 класс

Глава 5

Длина отрезка

Ранее уже вводилось понятие длины отрезка, но только в том случае, когда его длина выражалась рациональным числом. В этом пункте дано понятие длины произвольного отрезка, которая может выражаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Итог: произвольный отрезок АВ имеет длину а - положительное число. Верно и обратное утверждение: если дано положительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Длина окружности. Площадь круга

Вводится число пи и обосновывается причина использования его приближенного значения, постоянное число, равное отношению длины окружности к длине ее диаметра.

Формула длины окружности получается на основе определения числа пи, а формула площади круга приводится без доказательства.

Далее рассматривается пример на использование полученных формул.

Координатная ось

Ранее вводилось понятие координатной оси. Но там рассматривались только рациональные точки, т.е. точки, имеющие рациональные координаты х, и ось была «дырявая» - без иррациональных точек. Однако координата х произвольной точки координатной оси есть, вообще говоря, действительное число, т.е. оно может быть рациональным или иррациональным. Этот вопрос и был выяснен на основании общего понятия длины отрезка, введенного ранее. Теперь координатная ось перестала быть «дырявой» - каждой ее точке соответствует действительное число (взаимно однозначное соответствие между точками оси х и действительными числами).

Декартова система координат на плоскости

Декартова система координат вводится на основе двух осей координат, расположенных под прямым углом, ось х и ось у (позднее сообщается, что можно обозначить оси и другими буквами), с точкой пересечении О., являющейся начальной точкой для каждой из осей.

Затем вводятся координаты точки на конкретном примере, по рисунку, и координатные четверти.

4. В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин, Математика 5 класс

Глава 1. Линии и углы

§1. Линии

Разнообразный мир линий

На интуитивном уровне вводится понятие линии: если мы ведем карандашом по поверхности, то рисуем линию. Объясняется происхождение термина линия ( от латинского слова linea - лен, льняная нить, веревка).

Сообщается, что существует множество видов линий и рассматриваются следующие из них: замкнутая и не замкнутая ( на основе того можно линию обвести карандашом или нет); самопересекающаяся линия и линия без самопересечений.

На основе рисунка вводятся такие понятия как внутренняя и внешняя области и граница.

Главные линии: прямая и окружность

Понятие линий и их видов учащимся уже знакомо. На интуитивном уровне и вводится понятие прямой. Рассматриваются ее свойства как линии и возможности ее получения.

Далее, аналогичным способом вводится понятие окружности и круга, и их составляющие элементы.

Части прямой. Ломаная

Учащиеся знакомятся с понятием луча: точка О на прямой АВ делит ее на две части - лучи ОА и ОВ.

Если несколько, не лежащих на одной прямой, точек соединить отрезками, то мы получим ломаную. Вводятся элементы ломаной: вершины, стороны (звенья).

Длина линии

Отрезки можно сравнивать друг с другом. Если отрезки расположены на одном листе бумаги, то это легко сделать с помощью циркуля. Но это не всегда удобно. Другой способ - сравнить длины отрезков. Длину можно найти, если измерить отрезок, а для этого нужны единицы измерения. Вводятся единицы измерения. Сообщается, что для измерения длин отрезков используется линейка.

§2. Углы

Как обозначают и сравнивают углы

Проведем на плоскости два луча АВ и АС с общим началом в точке А. Часть плоскости, ограниченная этими лучами, называется углом.

Углы так же как и отрезки можно сравнивать. Для этого используется наложение одного угла на другой.

Вводится понятие биссектрисы, как луча, который делит угол на два равных угла.

Далее вводятся виды углов в сравнении с прямым, но не используя градусную меру.

Измерение углов

Вводится понятие градуса, и уже через градусную меру рассматриваются виды углов.

Учащиеся знакомятся с новым измерительным прибором- транспортиром.

Глава 3. Многоугольники

§1. Прямоугольники и треугольник

Ломаные и многоугольники

Замкнутая ломаная линия без самопересечений, которой четыре вершины называется четырехугольником. Четырехугольник это один из видов многоугольников.

Вводятся элементы фигуры: вершины, стороны, углы, диагональ.

Прямоугольники

Четырехугольники бывают различных видов, среди них один, уже хорошо знакомый ребятам - прямоугольник. Прямоугольник - это четырех угольник, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны, а две другие (смежные) стороны могут быть различны.

Если же у прямоугольника все стороны равны, то он называется квадратом. Т.о., всякий квадрат является прямоугольником.

Треугольники и их виды

Самым простым многоугольником является треугольник.

Далее рассматриваются все виды треугольников:

Равнобедренный (равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием), а треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вид треугольника определяется не только числом равных сторон, но и величиной углов: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный (виды углов ученикам уже знакомы).

§2. Площади

Площадь прямоугольника

Отрезки и углы дети уже умеют сравнивать, причем двумя способами: геометрическим- наложением и арифметическим - с помощью измерения. Ставится вопрос о сравнении прямоугольников, на который дает ответ понятие площади.

Вводятся единицы измерения площади и определение площади, а далее формулы площади для прямоугольника и квадрата.

Единицы площади

Вводятся новые единицы измерения, предназначенные для измерения площадей земельных участков: ар и гектар.

Глава 5. Многогранники

§1. Геометрические тела

Предметы и их форы

Математики изучают не предметы, а их формы. Вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т.д.

Происходит знакомство с элементами многогранников.

Изображение геометрических тел

Параграф носит повествовательный характер. Учеников знакомят с основными правилами изображения геометрических тел.

§2. Параллелепипед и пирамида

Прямоугольный параллелепипед

Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют прямоугольный параллелепипед. Вводятся все элементы прямоугольного параллелепипеда.

Среди всех параллелепипедов выделяется один, уже хорошо известный ученикам - куб.

Пирамида

Важным и интересным семейством многогранников являются пирамиды. Вводятся элементы пирамиды. И рассматривается простейший вид пирамиды.- треугольная.

Развертки

Изображена фигура и сообщается, что если ее вырезать и сложить, то получится куб. И наоборот, разрезав куб по некоторым ребрам, мы можем развернуть его на плоскости. При этом мы получим развертку куба.

Математика 6 класс

Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве

Пересекающиеся прямые

Напоминаются уже известные свойства прямой: бесконечна, незамкнутая, через две точки можно провести только одну прямую.

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общая вершина - точка пересечения прямых.

Вводится понятие вертикальных углов и объясняется, что они равны, т.к. каждый из этих углов дополняет один и тот же угол до развернутого угла.

Далее вводится понятие перпендикулярных прямых. Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы, то другую - тупы. Но может оказаться так, что все четыре угла между собой равны, тогда каждый из них равен 90. В этом случае прямые называют перпендикулярными. Объясняется происхождение термина и вводится стандартный символ для обозначения перпендикулярных прямых.

На основе рисунка сообщается, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью угольника или с помощью транспортира.

Параллельные прямые

Случай, когда прямые пересекаются был рассмотрен в предыдущем пункте, а если прямее не пересекаются, для них существует свой термин, они называются параллельными.

Вводится символ для обозначения параллельных прямых и поясняется история его происхождения.

Далее приводится подробный план построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Но предварительно свойство, характеризующее параллельные прямые и которое позволяет выполнить построение с помощью циркуля и линейки: если провести несколько параллельных прямых и прямую их пересекающую, эта прямая пересечет каждую из этих параллельных прямых под одним и тем же углом.

На основе рисунка вводится свойство параллельных прямых: если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

На примере куба рассматривается следующий случай взаимного расположения прямых в пространстве. Вводится определение скрещивающихся прямых.

Расстояние

Рассматривается расстояние между точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми и от точки до плоскости.

Глава 5. Окружность

Прямая и окружность

На основе серии рисунков вводится взаимное расположение прямой и окружности.

С помощью рисунка сообщается свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Далее на основе этого свойства приводится подробный прян построения касательной к окружности.

Две окружности на плоскости

Объяснение видов взаимного расположения двух окружностей на плоскости проводится аналогично предыдущему пункту.

Построение треугольника

Сначала приводится подробное построение треугольника со сторонами 3, 4, 5 см с помощью циркуля и линейки. Далее приводится попытка построения треугольника со сторонами 1, 2, 4 см. Такое построение не возможно осуществляется вывод и сообщается неравенство треугольника.

Круглые тела

Рассматривается цилиндр, шар и конус. Знакомство осуществляется по следующему плану:

1. Историческая справка (происхождение термина)

2. Составляющие элементы

Глава 7. Симметрия

Осевая симметрия

Проводится практическая работа. Возьмите лист бумаги. Перегните его по некоторой прямой и проткните иглой. Развернув лист, вы увидите две точки, расположенные по разные стороны от этой прямой. Эти точки симметричные относительно прямой - линии сгиба.

Если через полученные точки провести прямую, то можно убедиться, что она перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии (важное свойство симметрии).

Затем, рассматривается алгоритм для построения точки, симметричной данной. С помощью этих знаний можно строить фигуру, симметричную данной.

Если фигуры симметричны, то они равны! Аналогом осевой симметрии в пространстве является симметрия относительно плоскости - зеркальная симметрия.

Ось симметрии фигуры

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при перегибании по этой прямой части фигуры совпадают. Именно эта линия сгиба и называется осью симметрии фигуры.

Построения циркулем и линейкой

Задача: пусть дан отрезок АВ. Требуется построить прямую, ему перпендикулярную и проходящую через его середину.

Выполняется построение, после вводится специальное название - серединный перпендикуляр.

Центральная симметрия

Ведутся аналогичные рассуждения (см. центральную симметрию).

Глава 12. Многоугольники и многогранники

Сумма углов треугольника

Ученикам в классе предлагается начертить по треугольнику. С помощью транспортира измерить все углы и найти их сумму. У всех должно получится 180 градусов. Затем этот же факт объясняется с помощью рассуждений: с помощью прямых, параллельных основанию.

Параллелограмм

Рассматриваются и поясняются свойства параллелограмма. Кроме этого выполняется построение параллелограмма с помощью циркуля и линейки.

Правильные многоугольники

Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, называют правильным. Рассматриваются некоторые свойства правильных многоугольников. Например, все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности. Этот факт можно использовать для построения.

Далее рассматриваются правильные многогранники.

Площади

Две фигуры, имеющие одинаковые площади, называют равновеликими. Затем, вычисляются площади данных квадрата и прямоугольника.

Если фигуры составлены из одинаковых частей, или, как говорят, равносоставлены, то они имеют равные площади.

Призма

В этом пункте учащиеся знакомятся еще с одним семейством многогранников - призмами. Вводятся все составляющие элементы на основе треугольной и прямоугольной призм.

геометрия школьник учебник пропедевтика

Выводы

Геометрическая линия наиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробно рассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник», «Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаются свойства фигур.

Многие задания имеют практическую направленность, что еще раз подтверждает эффективность курса. Авторы показывают учащимся возможности применения геометрических знаний в реальной жизни.

К каждой теме подобрано достаточно много заданий по изучаемому материалу. Предлагаются задания двух уровней сложности. Задания второго уровня чаще носят исследовательский характер.

Предлагаются задания в рабочих тетрадях. Это задания такого характера как: построить, начертить, измерить, вычислить. Некоторые задание предлагаются для развития глазомера. В дидактических материалах есть обучающие и проверочные задания по всем темам курса. Авторы отдельное внимание уделяют интеллектуальному развитию ребенка. На это направлены знания, представленные в дополнительных разделах. Авторы, познавательный материал предлагают для дополнительного изучения, тем самым, подталкивая учащегося к самостоятельной деятельности.

Глава 2. Методическая разработка материалов для проведения уроков по геометрии в 5-6 классах

Наши первые учителя - наши руки, ноги, глаза. Заменить все это книгами, это значит научить нас не рассуждать, а пользоваться разумом других людей; это значит научить нас многое принимать на веру и никогда ничего не знать. Руссо

§1. Система упражнений пропедевтики и развития интереса к математике

Программа по математике указывает на важность формирования у учащихся навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения и творческого мышления.

В решении этих задач особое место принадлежит геометрии, так как ее изучение неразрывно связано с осуществлением таких операций, как абстрагирование, конкретизация и применение полученных знаний на практике. Школьному курсу геометрии традиционно отводится важная роль в развитии учащихся - развитие пространственных представлений.

Из всех трех видов мышления целенаправленное внимание в курсе математики уделяется словесно-логическому, понятийному мышлению. Именно поэтому в более комфортных условиях находятся учащиеся с научным складом мышления. Это и является причиной победы некоторых учащихся на математических олимпиадах, с одной стороны, и неуспеваемости учащихся с художественным и практическим складом мышления, с другой. Хорошо, если учащиеся художественного типа мышления реализуют себя в творчестве, посещая художественные и музыкальные школы, кружки, но на уроках математики такие учащиеся испытывают большие затруднения. В основе их неуспеваемости лежат психологические проблемы.

В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственным образом. Математика является одним из тех предметов, при изучении которого важное место отводится зрительному каналу поступления информации.

1.1 Упражнения, направленные на развитие графической культуры

Характеристика заданий:

- задания на развитие тонкой моторики руки;

- задания на наблюдательность, внимательность и аккуратность;

- навыки работы с циркулем и линейкой.

Учимся чертить правильно.

1. Начертите по линейке и линии тетради несколько линий так, чтобы они не пересекались.

2.Возьмите угольник и обрисуйте его. Рядом повторите то же самое, не обрисовывая, а используя только одну сторону линейки.

3. Возьмите циркуль и начертите окружность

а) любого радиуса.

б) радиуса 2 см.

4. Дорисуйте окружность

5. Начертите кусок орнамента в тетради и продлите его по всей длине страницы.



6. Придумайте соседу по парте орнамент и обменяйтесь рисунками.

7. Какая из фигур, приведенных на рисунке, лишняя? Почему?

1.2 Упражнения на развитие наглядно-образное мышление

Характеристика заданий:

-умение находить заданные простые геометрические фигуры разной величины и в разных положениях;

- подготовка к правильному обозначению геометрических фигур;

- развитие мысленных образов;

Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком

1. Попробуйте начертить каждую из предложенных фигур, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды.

2. Фигуру, показанную на рисунке, нужно обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и то же ребро дважды. Если допустить, что линии могут пересекаться, то задача решается просто. Решение весьма усложняется, если пересечение линий запрещено:

3. Фигуру, изображенную на рисунке, обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и тоже ребро дважды. Пересечение линий возможно:

4. Говорят, что Магомет описывал одним росчерком состоящий из двух рогов Луны знак, представленный на рисунке. Попробуйте это сделать

5. На озере семь островов, которые соединены между собой мостами так, как показано на рисунке. На какой остров должен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер должен снять этих людей?

6. Возьмите лист бумаги и нанесите на него девять точек так. чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями не отрывая карандаш от бумаги:

7. Сколько различных квадратов с вершинами в данных точках можно начертить:

8. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды, нарисуй следующие фигуры

9. Каждую из фигур на рисунке нарисуй, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды. Для каждой фигуры найди все точки, с которых можно начинать рисунок

10. Попробуй нарисовать такую фигуру, как на рисунке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им по одному и тому же месту дважды.

11. Проложи дорожки

а) От каждого из двух домиков положи (нарисуй) дорожки к гаражу, колодцу и к станции так, чтобы они не пересекались.

б) Попробуй сделать то же самое для трех домиков (третий домик находится правее второго).

12. Положите 12 спичек так, чтобы получилось 5 квадратов. Переложите 3 спички так, чтобы получилось 3 равных квадрата.

В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Эти умения, которые вместе можно назвать «геометрическим зрением», необходимо постоянно тренировать и развивать (задания №13-18 перерисовать в тетрадь и записать ответ).

13. На отрезке АВ взяты точки К и М . Сколько получили разных отрезков? На первый взгляд кажется, что их три: АК, КМ и MB. Но если внимательно рассмотреть этот рисунок 1, то можно найти еще три отрезка: AM, KB и АВ. Сколько отрезков изображено на рисунке 2?

14. Прямоугольник ABCD разделен на части прямыми КМ и ОР. Сколько получилось разных прямоугольников? Четыре? Нет! Найдите на этом рисунке девять прямоугольников

15. Сколько четырехугольников на рисунке?

16. Сколько треугольников на рисунке?

17. Найдите 27 треугольников в фигуре на рисунке

18. Найдите звезду на рисунке

1.3 Система упражнений на развитие пространственных представлений

Характеристика заданий:

- задания на развитие пространственного мышления;

- задания на развитие умения увидеть по чертежу на плоскости объемное тело;

- первичные навыки развертывания поверхности геометрических тел;

1.Указать число кубиков, из которых состоит фигура:

2. Сколько граней у неотточенного шестигранного карандаша?

Куб находится на рабочем столе. Сколько граней можно покрасить не переворачивая?

3. Сколько разных красок понадобится, если противоположные грани куба раскрасить одним цветом, а соседние разными?

4. Заштрихуйте грань, противоположную данной;

5. Достройте рисунок так, чтобы получился куб:

6. Сначала переворачивается без скольжения 2 раза на 90° фигура слева в направлении стрелки, а затем переворачивается один раз на 90° фигура справа в направлении стрелки:

7. Найдите получившееся объединение фигур:

8. Определите количество квадратов, которое содержат фигуры:

9. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат ?

Сколько одинаковых кубиков надо взять, чтобы получился в три раза больший куб?

10. Обозначим нижнюю грань куба буквой Н, верхнюю буквой В, боковые Б. Расставьте на развёртках куба буквы в соответствии с уже намеченными:

11. Какие буквы совместятся с буквой А при склеивании развёртки изображённой на рисунке:

12. Какие из заготовок на рисунке не могут быть развёртками куба и почему?

13. Мысленно сверните куб из развёрток, представленных на рисунках, и определите, какая грань является верхней, если нижняя грань закрашена:

14. Четыре грани кубика окрашены не засыхающей краской так, как показано на рисунке. Какой след оставит кубик на листе бумаге, если его переворачивать без скольжения вправо из положения слева три раза на 90°?

§2. Задачи для кружковой работы

2.1 Задачи по геометрии, решаемые методами оригами

Слово "оригами" происходит от двух японских слов: "ори" - сложенный, "ками" - бумага, и может быть переведено как "сложенная бумага". Складывание фигурок из бумаги имеет многовековую историю и своими корнями тесно связано с культурой Востока.

Неопределяемыми понятиями геометрии являются: точка, прямая и плоскость. В традиционном школьном курсе геометрии решаются задачи на построение при помощи циркуля и линейки. В решении таких задач с помощью линейки можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. При помощи циркуля можно описать окружность данного радиуса и отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только "геометрию линейки", но и "геометрию циркуля", что обеспечивает возможность решения большого разнообразия серьезных, а порой и забавных задач. Как правило, решение задач методами перегибаний (оригами) проще и нагляднее. Некоторые задачи, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения!

Наглядность и относительная простота освоения оригами могут помочь и при изучении геометрии. Такой подход оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многим учащимся геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Ученики учатся понимать то, о чем говорят сами, и то, что говорят другие, учатся мыслить.

Условные знаки и приемы складывания

Деление отрезка на равные части

Из произвольного листа бумаги при помощи сгибов можно получить квадрат. Если на этом листе бумаги дан отрезок, который требуется разделить, то всегда сначала можно построить квадрат со стороной равной этому отрезку, а затем разделить сторону квадрата.

В задачах этого раздела происходит деление на равные части стороны квадрата (прямоугольника) при этом подразумевается, что длина заданного отрезка равна стороне квадрата.

1. Методом перегибания точно разделить сторону квадрата на три равные части.

Разделить сторону квадрата на 11 равных частей

2. Разделить прямоугольник ABCD на 9 равных прямоугольников, не используя измерительных приборов, как на рисунках 1 и 2.

Вариант 2

Прямой угол

1. Методом складывания разделить один из углов квадрата на три равных угла

Геометрия листа произвольной формы

1. Из произвольного листа бумаги получите с помощью сгибов квадрат

2. Из произвольного листа бумаги получить равносторонний треугольник

3. На листе бумаги проведены прямая, а также даны центр окружности и некоторая точка на ней (сама окружность не нарисована). Как с помощью перегибаний найти точки пересечения воображаемой окружности с проведенной прямой?

О- центр окружности

А- лежит на окружности

2.2 Задачи на геоплане

Что такое геоплан?

Геоплан представляет собой плоскую поверхность с закрепленными на ней тонкими стержнями, располагающимися в форме квадратной сетки или каким-либо другим способом (в виде окружности, многоугольника). Построение фигур осуществляется на геоплане при помощи эластичных шнуров (резиновых нитей или колец), которые фиксируются между стержнями.

Главное достоинство геоплана состоит в возможности быстрого построения геометрических фигур. При этом не требуются ни бумага с карандашом, ни доска с мелом и не нужно ничего стирать: любую конфигурацию можно быстро изменить или построить заново.

Как строить фигуры на геоплане

Строить (изображать) на геоплане можно различные геометрические фигуры: отрезки, углы, ломаные, треугольники, квадраты, ромбы, прямоугольники, параллелограммы, трапеции, всевозможные многоугольники, а также различные конфигурации, образованные линиями. Можно иллюстрировать или устанавливать свойства геометрический фигур: равенство сторон, углов, площадей, периметров.

Даже незначительные перемещения эластичных нитей по полю геоплана способны изменить (преобразовать) начальную ситуацию: упростить или усложнить ее, рассмотреть частный или более общий случай.

Для чего решать задачи на геоплане

Решение задач на геоплане развивает геометрическую зоркость, умение видеть (распознавать) на чертеже геометрические фигуры или их отдельные элементы, устанавливать их свойства. Работа с геопланом учит наблюдать, анализировать чертеж, проводить опыт, пользоваться здравым смыслом, прикидкой. Все эти умения необходимы каждому человеку. А, кроме того, решать задачи на геоплане это увлекательно!

Как изготовить геоплан самому

Геоплан можно смастерить самому в школьной мастерской или дома. Для этого необходимо подобрать деревянную доску, фанерку или картонку подходящего размера, нанести на нее квадратную сетку и вбить тоненькие гвоздики без шляпок в ее узлах. Желательно, чтобы расстояние между двумя соседними гвоздиками по вертикали или горизонтали было равно 1 дм. В качестве эластичных шнуров можно использовать обычные резиновые жгутики с маленькими петельками или шайбочками на концах, а также тоненькие резиночки со связанными концами (кольца).

При решении задач можно воспользоваться и бумажным прототипом геоплана - обычной ученической тетрадью с наколотой шилом или набитой тонким гвоздиком квадратной сеткой на всех ее листах.

Отрезки

1. Два отрезка, длиной по 5 дм каждый, постройте на геоплане таким образом, чтобы они пересекались в точке, делящей их на четыре отрезка длиной 1 дм, 2 дм, 3 дм, 4дм.

2. На четвертой части геоплана (5х5 дм) разместите десять отрезов длиной 1 дм, 1 дм, 1 дм, 2 дм, 2 дм, 3 дм, 3 дм, 4 дм, 4 дм и 5 дм таким образом, чтобы никакие два из них не имели общей точки.

3. Постройте три отрезка с общим концом так, чтобы длина первого из них равнялась 2 дм, второго - 3 дм, а длина третьего была бы больше длины первого, но меньше длины второго. Найдите два решения.

4. Выберите точку и постройте на вашем геоплане три самых маленьких по длине попарно неравных отрезка с концами в этой точке.

5. Постройте самый короткий и самый длинный отрезки геоплана так, чтобы их общая точка делила один из них на две равные по длине части.

6. Постройте отрезок, являющийся диагональю прямоугольника со сторонами 4 дм и 6 дм. Постройте еще два отрезка, пересекающие первый и разбивающие его на три равные по длине части.

Ломаные

1. Постройте ломаную из пяти звеньев, длиной по 3 дм каждое, так, чтобы расстояние между ее концами равнялось 9 дм; было больше 9 дм; было меньше 9 дм.

2. Из отрезков длиной, равной длине диагонали прямоугольника со сторонами 2 дм и 1 дм, постройте ломаную, состоящую из трех, пяти, семи звеньев, так, чтобы расстояние между ее концами равнялось 1 дм.

3. Постройте ломаную, состоящую из шести звеньев, таким образом, чтобы ее длина была больше 18 дм, но меньше 19 дм.

4. Постройте ломаную в виде буквы русского алфавита, состоящую из двух, трех, четырех звеньев.

5. Постройте ломаную в виде буквы М русского алфавита Переместите одну из ее вершин таким образом, чтобы образовалась ломаная в виде другой буквы русского алфавита.

6. Турист в течении дня несколько раз изменял направление своего движения. До обеда он прошел 4 км на север, затем повернул на восток и двигался 2 км, а далее прошел некоторое расстояние в направлении на северо-восток, больше двух км, но меньше 3 км, и, наконец, км на восток. После обеда он начал двигаться на юг и прошел км, затем повернул на запад и двигался 3 км, а далее он прошел в направлении на юго-запад такое же расстояние, какое он прошел в направлении на северо-восток до обеда. В результате турист оказался в пункте, отстоящем от начальной точки движения на расстоянии 2 км в направлении на восток. Выберите подходящий масштаб и постройте ломаную, изображающую маршрут туриста.

*В данных задачах речь идет лишь о незамкнутой простой ломаной, т.е. о такой, у которой конец последнего звена не совпадает с началом первого и несоседние звенья не пересекаются.

Углы

1. Постройте углы величиной 45, 90, 135, 180 градусов таким образом, чтобы все они имели общую вершину и каждый меньший по величине угол содержался внутри большего.

2. Постройте смежные углы таким образом, чтобы величина одного из них была бы больше 135 градусов.

3. Изобразите на геоплане несколько слов, состоящих из букв русского алфавита, в написании которых встречаются лишь прямые углы.

4. Постройте острый угол, величина которого равна 45 градусов. Выберите внутри его точку и постройте еще один угол таким образом, чтобы стороны обоих углов были соответственно перпендикулярными.

5. Постройте два угла, стороны которых попарно параллельны, таким образом, чтобы при пересечении этих сторон образовался прямоугольник, имеющий площадь 6 дм².

6. Постройте два угла, стороны которых попарно перпендикулярны, таким образом, чтобы при пересечении этих сторон образовался отрезок, имеющий длину 2 дм.

Треугольники

1. Постройте треугольник, у которого длина первой стороны больше 2 дм, но меньше 3 дм, длина второй стороны больше 3 дм, но меньше 4 дм, длина третьей стороны больше 4 дм, но меньше 5 дм.

Четырех угольники

1. Постройте четырехугольник, все стороны которого имеют длину, равную диагонали прямоугольника размером 3х1 дм. Найдите несколько решений.

2. Постройте четырехугольник, все стороны которого имеют различные длины от 4 до 5 дм.

3. Постройте квадрат со стороной 6 дм. Постройте все различные квадраты, вершины которых лежат на сторонах исходного квадрата.

4. Постройте прямоугольник, площадь которого равна 12 дм², четырьмя различными способами.

5. Постройте шесть квадратов, площади которых равны 4 дм², 16 дм², 64 дм², таким образом, чтобы каждый меньший по площади квадрат содержался внутри каждого большего.

6. Постройте два прямоугольника, имеющих: а)равные периметры и равные площади; б)равные площади и разные периметры.

2.3 Геометрия на клетчатой бумаге

Рекомендации по проведению уроков

Ш Начинать обучать школьников желательно с пятого класса.

Ш Преподавание должно вестись непринужденно, почти в импровизационном стиле. Эта видимая легкость на самом деле требует от учителя большой и серьезной подготовки.

Ш Занятия лучше проводить в нестандартной форме.

Ш Необходимо использовать на уроках как можно больше наглядного материала: различных карточек, картинок, наборов фигур, иллюстраций к решению задач, схем.

Ш При разборе темы нужно стараться добиваться понимания, а не зазубривания.

Урок №1

Цель: развивать комбинаторные навыки (рассмотреть различные способы построения линии разреза фигур, правила, позволяющие при построении этой линии не терять решения), развивать представления о симметрии.

Задачи 1-4 решаем на уроке, задача 5 - на дом.

1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат не две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе). Сколько всего разрезаний имеет задача?

Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рисунке некоторые из них показаны, причем решения б) и в) одинаковы, так полученные в них фигур можно совместить наложением (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).

Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдение позволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке А, то конец ее будет в точке В. Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами.

При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. Указанный порядок действий помогает найти все решения.

2. Прямоугольник 3х4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).