Разработка пропедевтического курса "Комбинаторика"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретические основы развития математического мышления школьников посредством решения комбинаторных задач

1.1 Роль и место комбинаторных задач в развитии математического мышления школьников

1.2 Основные методы и приемы, используемые при обучении темы «Комбинаторика»

1.3 Особенности комбинаторных задач

1.4 Основные типы комбинаторных задач по математике

1.5 Методы и этапы обучения решению комбинаторных задач

2. Методические аспекты обучения решению комбинаторных задач

2.1 Методика обучения решению комбинаторных задач в 5 классе

2.2 Методика обучения решению комбинаторных задач в 6 классе

2.3 Методика обучения решению комбинаторных задач в 7-9 классах

3. Создание и апробация проредевтического курса по теме «Комбинаторика» для развития математического мышления школьников

3.1 Пропедевтический курс по теме «Комбинаторика» для развития математического мышления школьников

3.2 Апробация пропедевтического курса

Список использованных источников



Введение

Комбинаторика - одни из очень интересных разделов в математике, благодаря своим широким возможностям всегда претендовали на включения в школьный курс. Эту проблему еще в середине XX века рассматривали Хинчин А.Я., Колмогоров А.Н., Гнеденко Б.В.

Актуальность данной темы обусловлено ролью, которую играют эти знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Изучение этого материала направленно: на формирование умений воспринимать и анализировать полученную информацию; на развитие вероятностной интуиции и логического мышления; умений выполнять простейшие вероятностные подсчеты; на понимание характера многих реальных зависимостей. Эти знания необходимы для повседневной жизни в современном информационном обществе, а также для продолжения образования почти во всех сферах деятельности человека.

Раздел по этой теме был включен в школьный курс математики с 2003/2004 учебного года.

Введения этого раздела в школьный курс математики вызвало ряд проблем, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей, во-вторых, это отсутствие единой методики преподавания, в-третьих, это отсутствие материала по данной теме в школьных учебниках.

Хотя с момента включения этой темы в школьный курс математики до наших дней прошло немало лет, но все же некоторые трудности в её изучении и преподавании остались. Одним из основных затруднений является обучение решению задач по комбинаторике. Как правило, большинство школьников либо не понимают, либо недопонимают, как решать такие задачи. Так как решение таких задач требует от школьников несколько иных навыков и способов рассуждений, в отличие от задач других линий школьного курса математики. Школьники не всегда могут полностью осознать математическую модель задачи, следовательно, и правильно выбрать способ решения. Прежде всего, это связано с отсутствием единой методики в школьных учебниках, а также со строго ограниченными временными рамками. В курсе школьной математики на эту тему отводится мало часов, за которые очень сложно передать значительный объем информации и закрепить навыки решения практических задач.

Целью данной выпускной квалификационной работы является разработка пропедевтического курса «Комбинаторика» для учащихся 5 - 9 классов.

Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Описать теоретические основы развития математического мышления школьников посредством решения комбинаторных задач;

2. Изучить методику решения задач по курсу «Комбнаторика»;

3. Разработать пропедевтический курс «Комбинаторика» для учащихся 5 - 9 классов;

4. Провести апробацию разработанного курса.



1. Теоретические основы развития математического мышления школьников посредством решения комбинаторных задач

1.1 Роль и место комбинаторных задач в развитии математического мышления школьников

Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения.

Если ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит, то эту деятельность обычно называют репродуктивной. Основная цель такой деятельности - формирование у школьников знаний, умений, навыков, развитие внимания и памяти. комбинаторика математический мышление школьник

Психологи отмечают, что следствием такой деятельности является скованность мышления и стремление ребенка мыслить по готовым стереотипам. Такие особенности интеллектуальной деятельности связаны с показом образца действий и его закреплением в процессе выполнения однотипных заданий. В результате учащиеся усваивают только однотипные способы решения задач, успешно воспроизводят их, но не видят других вариантов решения, не могут их варьировать и преобразовывать [1,2,3].

Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами мышления или приемами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания - одно из важных условий построения развивающего обучения.

Организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими обеспечивает не только новый уровень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по условию знаний [4].

Мышление есть процесс, то есть познание в его динамике. Направленность мыслительного процесса на открытие неизвестного, обозначенного в вопросе, придает мышлению строго определенный, организованный и проблемный характер.

Когда человек мыслит, он обязательно решает какую-то задачу. Не случайно еще СЛ. Рубинштейн говорил о том, что «мышление определяют нередко как процесс решения задач. Действительно, мышление возникает обычно из проблемной ситуации и направлено на ее разрешение». Но он указывал и на то, что «свести мышление к процессу решения задач - значит определить его прагматически, по тому эффекту, который оно дает, не вскрывая его собственной природы - того, благодаря чему этот эффект получается. Мышление разрешает встающую перед человеком задачу благодаря тому, что оно раскрывает не данные в условиях, неизвестные свойства и отношения объектов или явлений, входящих в проблемную ситуацию: мышление - это, по существу своему, познание, приводящее к решению встающих перед человеком проблем и задач» [4].

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки. В нашу жизнь вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

В соответствии с федеральным компонентом Государственного стандарта образования и программу по математике за курс основной (средней) школы включены элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. В последние годы в заданиях государственной итоговой аттестации (с настоящего года - обязательный государственный экзамен) и единого государственного экзамена по математике предлагаются задачи по теории вероятностей и комбинаторике. Поэтому при обучении математике необходима специальная подготовка по обучению учащихся решению таких задач.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой [5].

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях науки [6].

Комбинаторные задачи - это одна из важных областей математики, которая имеет большое значение в развитии математического мышления у школьников. Эти задачи помогают ученикам развивать логическое мышление, умение абстрагироваться от конкретных ситуаций и решать проблемы на основе закономерностей и правил.

Изучение комбинаторных задач позволяет ученикам узнать и понять такие основные принципы, как правило умножения, правило сложения, перестановки и сочетания. Это не только помогает решать конкретные задачи, но и развивает их мышление, учит абстрактному мышлению и знанию математических закономерностей.

Кроме того, решение комбинаторных задач требует от учеников точности, внимательности и системности. При работе над такими задачами они учатся структурировать свои мысли, организовывать информацию, постоянно перепроверять свои выводы и решения.

Таким образом, комбинаторные задачи играют важную роль в развитии математического мышления и являются важным элементом учебного плана в школе. Они помогают ученикам развивать критическое мышление, систематический подход к решению задач и, в целом, готовят их к дальнейшему изучению более сложных математических понятий.

Другой важный аспект изучения комбинаторики заключается в том, что эта область математики может быть применена практически во всех науках и профессиях. Знание комбинаторики может помочь ученикам в работе с огромными объемами данных, при работе с компьютерами и программировании, а также при изучении таких наук, как физика, биология, химия и экономика.

При решении комбинаторных задач ученикам приходится работать в команде, что в свою очередь развивает навыки коммуникации и взаимодействия с другими людьми. Это также помогает им развивать уверенность в своих способностях и умение принимать решения в коллективе.

Кроме того, изучение комбинаторики может стимулировать интерес к научным и математическим исследованиям в целом. Сложность задач и их эмоциональный заряд могут вызвать в учениках чувство удовлетворения от решения сложных проблем и стимулировать их желание развиваться в этой области знаний.

Таким образом, изучение комбинаторики является необходимым для развития математического мышления школьников, поскольку оно помогает не только развивать конкретные математические навыки, но и способствует развитию учеников в целом.

1.2 Основные методы и приемы, используемые при обучении темы «Комбинаторика»

Обучению решения комбинаторных задач посвящены практически все ступени образовательного процесса в курсе математики средней школы, начиная с бесформульных примеров в начальной школе и заканчивая элементами теории вероятности и математической статистики в выпускных классах общеобразовательных учебных заведений. Поэтому, эта тема позволяет привить учащимся математическую культуру и способность к логическому мышлению начиная с самой начальной школы. Комбинаторика учит абстрактному восприятию различных предметов и объектов, развивает способности к их анализу.

С комбинаторными задачами сталкиваются не только в математике и информатике, но и в физике, лингвистике, химии, биологии, да и специалисты различных других профильных ориентаций.

Однако, существуют известные сложности, которые испытывают учащиеся при решении комбинаторных задач, связанные с необходимостью самостоятельно выделять и классифицировать различные элементы и множества в целом, и совершать операции с ними по правилам комбинаторики. Это указывает на необходимость улучшения методологических подходов к процессу изучения элементов комбинаторики в курсе математики, что является обязательным для успешного окончания общеобразовательной школы.

Основные методы и приемы, используемые при преподавании темы «Комбинаторика», непосредственно вытекают из анализа рассматриваемой схемы введения понятий комбинаторики и последовательного изложения следующего основного материала:

1. Элементы теории множеств. Конечные множества, операции с множествами.

2. Выборки. Характер выборки с повторениями и без повторений.

3. Основные правила комбинаторики. Сумма и произведение в комбинаторике.

4. Проблемы, решаемые в комбинаторике.

5. Соединения в комбинаторике. Факториал и размещения.

6. Перестановки и сочетания.

7. Раскладки и разбиения.

8. Основные формулы комбинаторики.

9. Бином Ньютона. Рекуррентные соотношения.

10. Комбинаторные соединения и характер выборки. Классификация соединений.

11. Возможное и невозможное в комбинаторике.

12. Алгоритмы решения комбинаторных задач. «Простые» и «сложные» задачи.

13. Элементы теории вероятности. Случайные события.

14. Вероятностные задачи. Применение комбинаторики для решения задач теории вероятности.

Вводная часть из первых четырех пунктов, и последующий раздел, посвященный соединениям в комбинаторике, носят как теоретический, так и практический характер, и их следует излагать для обучения учащихся в базовом курсе алгебры и при углубленном изучении. Методы и приемы, используемые для этого, предполагают изложение данного материала в максимально доступной и, возможно, занимательной форме.

Поэтому, на начальном этапе, дается общий обзор из теории множеств. В настоящее время множества не изучаются как самостоятельный раздел в базовом курсе алгебры, и важно в сжатом виде донести до учащихся основные элементы теории множеств, а также, понятия выборки и основные виды и характеристики используемых выборок.

Затем, учащиеся переходят к изучению основных правил комбинаторики, в том числе к изучению понятия суммы и произведения.

1.3 Особенности комбинаторных задач

Комбинаторные задачи имеют свои особенности, которые отличают их от других типов математических задач.

Первой особенностью является то, что комбинаторные задачи требуют от учеников умения анализировать и организовывать информацию. В этом смысле комбинаторика является более абстрактной областью математики, которая не всегда связана с конкретными ситуациями или примерами.

Второй особенностью комбинаторных задач является наличие правил и закономерностей, которые необходимо знать и уметь применять для решения задач. Например, правило умножения, правило сложения, перестановки и сочетания - это основные правила комбинаторики. Они позволяют решать задачи на подсчет количества комбинаций в различных ситуациях, например, при вычислении количества вариантов составления слов из определенного набора букв или размещения элементов в определенном порядке.

Третьей особенностью комбинаторных задач является то, что они могут быть очень сложными и требовать тщательного анализа и долгого решения. Однако при правильном подходе и использовании правил и закономерностей, такие задачи могут быть решены довольно быстро и эффективно.

Четвертой особенностью комбинаторных задач является то, что они могут быть применены в разных областях науки и жизни, о чем уже упоминалось ранее. Например, задачи комбинаторики могут быть использованы для решения проблем в экономике, биологии, технологии и даже музыке [9].

Таким образом, комбинаторные задачи представляют собой одну из важных областей математики, которая имеет свои особенности и требует от учеников определенных навыков и знаний для их решения.

1.4 Основные типы комбинаторных задач по математике

Основные типы комбинаторных задач можно разделить на несколько категорий:

1. Задачи на перестановки. В этих задачах требуется определить количество различных способов упорядочения n элементов. Например, сколькими способами можно расставить 6 человек в ряд?

2. Задачи на сочетания. В таких задачах надо найти количество возможных комбинаций, которые можно сформировать из n элементов, если известно, что комбинации могут содержать k элементов. К примеру, сколько существует различных комбинаций пяти книг, если мы выбираем только три книги?

3. Задачи на размещения. В этой категории задач требуется определить количество возможных способов упорядочения n элементов, если мы выбираем только k элементов. Например, сколько существует различных способов усадить 3 девушки и 2 мальчиков на 5 стульях, если ребят и девушек можно рассадить только поочереди?

4. Задачи на перестановки именных групп. В таких задачах требуется определить количество возможных перестановок, если некоторые элементы отличаются друг от друга. Например, сколько существует различных перестановок слова "МАТЕМАТИКА", где буква "М" повторяется два раза, буква "А" повторяется три раза?

5. Задачи на бинарные строки. В этой категории задач требуется определить количество возможных выборов из n элементов, где каждый элемент может быть выбран или не выбран. Например, сколько существует различных бинарных строк длины 5?

Это лишь несколько примеров типов комбинаторных задач. Каждая из этих категорий может быть усложнена добавлением дополнительных условий, поэтому важно понимать основные правила комбинаторики, чтобы решать различные комбинаторные задачи.

1.5 Методы и этапы обучения решению комбинаторных задач

Решение комбинаторных задач - это комплексный процесс, который включает в себя несколько этапов. Каждый этап имеет свои методы и стратегии, которые помогают ученикам быстро и эффективно решать различные комбинаторные задачи.

Этапы обучения решению комбинаторных задач:

1. Понимание основных правил комбинаторики. На этом этапе ученики должны изучить основные правила комбинаторики, такие как правило умножения, правило сложения, перестановки и сочетания.

2. Умение анализировать задачу. Важным этапом решения комбинаторных задач является умение правильно анализировать условие задачи. Ученики должны уметь распознавать ключевые слова и фразы, которые указывают на то, какие правила комбинаторики нужно применить.

3. Применение правил комбинаторики. На этом этапе ученики должны применять правила комбинаторики для решения задач. Решение задач может потребовать использования нескольких правил комбинаторики.

4. Проверка правильности решения. После решения задачи ученики должны проверить свои ответы с помощью различных методов (например, перебора или использования формул). Это позволяет избежать ошибок и улучшить свои навыки.

Методы обучения решению комбинаторных задач:

1. Решение примеров с объяснениями учителя. Учителя могут предоставлять ученикам учебные материалы с образцами задач и подробным объяснением решения каждой задачи. Это позволяет ученикам понимать основные методы решения комбинаторных задач.

2. Решение задач с помощью групповой работы. Групповая работа помогает ученикам обсуждать решение задачи и находить наиболее эффективные способы ее решения.

3. Решение задач с помощью игр. Игры могут использоваться для обучения комбинаторике, поскольку они обычно имеют определенные правила, которые нужно следовать. К примеру, игра в «Быки и Коровы» основана на применении правил комбинаторики.

4. Использование онлайн-ресурсов и приложений. Существуют много онлайн-ресурсов и приложений, которые предоставляют ученикам возможность решать комбинаторные задачи, получать мгновенную обратную связь и отслеживать свой прогресс.

Такое комплексное обучение решению комбинаторных задач помогает ученикам понимать основные правила комбинаторики, развивать логическое мышление и находить эффективные способы решения сложных задач.



2. Методические аспекты обучения решению комбинаторных задач

2.1 Методика обучения решению комбинаторных задач в 5 классе

В комбинаторных задачах заложены большие возможности для развития мышления учащихся. Кроме того, в процессе обучения решению комбинаторных задач можно расширить знания учащихся о самой задаче, познакомить их с новым способом решения задач; подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение; организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся.

В процессе решения комбинаторных задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем обучают детей организации систематического перебора.

Выделяют три этапа обучения комбинаторным задачам в 5 классе:

1. Подготовительный;

2. Решение задач с небольшим числом возможных вариантов;

3. Работа с графическими средствами.

На подготовительном этапе работают над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. Особое внимание уделяют сравнению объектов, состоящих из отдельных элементов.

В этом случае сравнение может быть проведено по таким основаниям, как: числу элементов; составу, входящих в объект элементов; порядку расположения элементов в объекте.

Например, предлагаются следующие задания:

1. Рассмотри внимательно колечки из бусинок. Скажи, что изменяется от одного колечка к другому.

2. Вставить пропущенные числа:

24, 21, 19, 18, 15, 13, _ , _ , 7,6 (12, 9);

3. Решить задачу:

Мальчик написал число 86, затем увеличил его на 12, не производя записи. Как он это сделал? (перевернул его). На втором этапе необходимо научить находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуя перебор в определенной системе.

Но здесь решаются задачи с небольшим числом возможных вариантов. Основная цель этого этапа - обучение школьников решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов.

После того как школьники убедятся в преимуществе систематического перебора, им показывают, что есть и такие задачи, в которых не стоит искать какую-либо систему перебора. Это задачи комбинаторной геометрии.

Комбинаторная геометрия - это раздел математики, который занимается вопросами расположения и комбинаций фигур. Непосредственный перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднен. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей пользоваться такими средствами перебора, как таблицы и графы. Они позволяют расчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустив каких-либо имеющихся возможностей.

Решение задач с использованием таблиц и графов является основным содержанием третьего этапа, выделяемого в обучении школьников решению комбинаторных задач. Когда школьники научатся составлять таблицы, я перехожу к решению комбинаторных задач с их использованием. Как правило, дети неоправданно много времени тратят на вычерчивание самой таблицы: затрудняются определить нужные размеры, разметить все строчки и столбики.

Правила решения комбинаторных задач и представленная методика обучения решению комбинаторных задач помогает мне в разработке уроков.

Таким образом, если это будут не разрозненные сведения из комбинаторики, а факультативный курс или уроки в конце каждой темы по решению комбинаторных задач, то повысится эффективность обучения, так как задачи такого вида часто включаются в олимпиадные задания.

2.2 Методика обучения решению комбинаторных задач в 6 классе

В среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и в частности к математике. На уроках математики проводимых по привычной схеме и на традиционном материале у ученика создаётся ощущение непроницаемой стены между изучаемым объектом и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт, способна содействовать как к возвращению интереса к предмету «математика», так и к развитию личности самого ребёнка, его логического мышления.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.



Выбор правила	Выбор правила
Правило суммы	Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами.	Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В можно осуществить m · n способами.

Задача 1.

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение.

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.

Рисунок 1 - Схема выбора формул при решении комбинаторных задач

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 2.

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение - размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A₇³ = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 3.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A₁₀⁷ - A₉⁶ = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 - 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг - это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р₈. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р₅ способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р₈ · Р₅ = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 5.

В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения - сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С₁₆⁴ · С₁₂³ = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

2.3 Методика обучения решению комбинаторных задач в 7-9 классах

В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе математики.

Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение простейших задач пересчета, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо, выполнение классификации, сортировки, систематизации. Можно выделить следующие типы заданий: подсчёты (задачи, в которых нужно что-либо сосчитать), комбинаторный анализ (все задачи по комбинаторике), анализ дискретных данных (эти задания призваны научить учащихся рациональным способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности данных).

Я остановлюсь на двух чертах комбинаторного стиля мышления: способности представлять явления в разных комбинациях, целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.

В ряде исследований психологов и методистов показано, что изучение элементов комбинаторики вполне можно ввести и в начальное обучение. Это не требует никаких дополнительных знаний у детей младшего школьного возраста, кроме хороших навыков счета.

Развитие комбинаторного стиля мышления необходимо начинать с рассмотрения задач существования и построения конфигураций (в пер. с латинского расположений) с какими-либо интересными свойствами. Например, задачи на построение магических и латинских квадратов, на применение ортогональных латинских квадратов, конечные геометрии.

Начиная с 5 класса целесообразно проводить исследовательскую работу. Это позволит показать учащимся роль индукции, наблюдения, эксперимента и даст возможность наряду с навыками логического рассуждения прививать учащимся навыки эвристического мышления, указать им пути к математическому творчеству. Учащиеся должны овладеть некоторыми приемами мышления при решении задач, накапливать различные математические факты, по возможности запоминать их, делать обобщения.

Рассмотрим выше сказанное на примере решения следующей задачи на существование и построение конфигураций. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не принадлежат одной прямой).

В средних классах в деятельность учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой форме. Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, управляемых учителем, их самостоятельной познавательной деятельности, необходимо организовать эти поиски.

Дети, никогда ранее не встречавшиеся с подобными задачами, не знают, с чего начать решение, и задача учителя -- указать, в каком направлении следует им работать. Учителю необходимо задать такие вопросы, чтобы все учащиеся вынуждены были принимать участие в поисках идеи решения. Ход мысли учащихся (с помощью вопросов учителя) может быть, например, таким: «Если на каждом отрезке расположить по 4 точки, то на 5 отрезках должно быть 20 точек (4 * 5 = 20). Нам же, согласно условию задачи, требуется расположить 10 точек. Куда девать «лишние» 10 точек?»

Наиболее сообразительные ученики догадаются, что 10 точек должны быть точками пересечения данных отрезков. Чтобы идею поиска решения поняли все учащиеся, целесообразно вместе с ними провести небольшое исследование: предложить им серию вспомогательных задач (еще лучше побудить учащихся к тому, чтобы вспомогательные задачи они подобрали сами), а затем обобщить идею решения.

№1. Какое число точек можно расположить на двух отрезках, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Найти правильное решение сможет каждый учащийся (8 точек, если отрезки не пересекаются, и 7 точек, если отрезки пересекаются).

№2. Какое число точек можно расположить на трех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Возможны несколько случаев:

1) Отрезки не пересекаются. Тогда на трех отрезках можно расположить 12 точек (4*3=12).

2) Отрезки имеют одну точку пересечения, тогда возможны варианты:

а) пересекаются только два отрезка, можно расположить 11 точек;

б) все три отрезка пересекаются в одной точке, можно расположить 10 точек.

3)Отрезки имеют две точки пересечения. В этом случае количество точек, удовлетворяющих условию задачи, 10.

4) Отрезки имеют три точки пересечения. В этом случае имеем 9 точек, удовлетворяющих условию задачи.

Учащиеся, рассмотрев все возможные случаи, должны заметить следующую закономерность: чтобы уменьшить количество точек, принадлежащих всем отрезкам, необходимо или увеличить число точек пересечения отрезков, или увеличить число отрезков, пересекающихся в одной точке. Минимальное число точек, принадлежащих одновременно трем отрезкам - 9, получаем в том случае, когда отрезки имеют три точки пересечения.

Тем учащимся, у которых в результате решения задачи появился вкус к исследовательской работе (для учащихся 5 класса приведенное выше решение -- действительно исследовательская работа), учитель может предложить более сложную задачу (еще лучше, если такую задачу предложат сами учащиеся).

№ 3. Какое число точек можно расположить на четырех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

В результате решения задач 2 и 3 учащиеся устанавливают закономерность: чтобы число точек, удовлетворяющих условию задачи (на каждом отрезке -- 4 точки), было наименьшим, необходимо, чтобы число точек пересечения отрезков было наибольшим.

Теперь, после проведения небольшого исследования, учащиеся должны понять не только идею решения, но и как возникла сама задача (очевидно, автор задачи имел в виду минимальное число точек, принадлежащих всем отрезкам). В результате такой систематической работы учащиеся сами смогут составить или хотя бы понять, как можно составить ту или иную задачу. Конструирование задач -- один из верных способов научиться решать задачи.

Вернемся теперь к решению исходной задачи. Подсчет показывает, что отрезки должны иметь 10 точек пересечения (4*5--10=10). Следовательно, задача свелась к следующей: «Расположить 5 отрезков так, чтобы они имели 10 точек пересечения». Небольшой опыт, приобретенный учащимися в решении вспомогательных задач, поможет им легко найти решение.

В курсе геометрии такого вида навыки будут востребованы. Поскольку, формулировки задач на построение не содержат указания на то, что рассматриваемая конфигурация существует, поэтому необходимо исследование.

Другой характерной чертой комбинаторного стиля мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.

Для формирования у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа конфигураций того или иного вида в 5-6 классах необходимо решать комбинаторные задачи на перечисление. Эти задачи тесно связаны с теорией вероятностей. Для их решения разработано немало общих приемов.

Однако в 5-6 классах они решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путем предметной деятельности с конкретными вещами, постепенно осуществляется переход к использованию других способов перебора: дерева возможных вариантов, таблиц, совокупности точек и отрезков и т.п. Потом применяется кодирование предметов с помощью букв или чисел, так как растет уровень абстрактного мышления учащихся. Разумеется, всегда надо следить за взаимно однозначным соответствием между объектами и кодами. Только в этом случае подсчет числа объектов можно заменить подсчетом числа кодов.

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,5? Чтобы ответить на этот вопрос учащиеся приступают к моделированию вариантов с помощью вспомогательного материала (карточек с цифрами 0,1,2,5). Готовые наборы выкладываются на парте. По окончании работы совместно обсуждаем результат, ребята осуществляют взаимопроверку.

Следующий этап - моделирование с помощью дерева.

	0	2
1	10	12
2	20	22
5	50	52

Рассмотрим использование таблицы. На первом месте в числе может стоять любая цифра, кроме нуля, строки будут отмечены цифрами 1,2,5, значит, в этой таблице будет 3 строки. На втором месте в числе должна стоять четная цифра 0,2, значит, в таблице будет 2 столбца. Первая цифра двузначного числа равна метке строки, вторая - метке столбца. В такой таблице будут учтены все варианты двузначных чисел 2?3=6.

Существует одна особенность комбинаторики, на которую следует обращать внимание при рассмотрении задач на перечисление. В ней исключительно большую роль играет точная формулировка и точное понимание задачи. С этим связано большинство ошибок у учащихся. Поэтому одно из главных правил комбинаторики: прежде чем подсчитывать число различных вариантов, необходимо точно выяснить смысл слова «различные».

В некоторых задачниках можно встретить задачи с некорректные формулировками.

Например, сколькими способами можно распределить три конфеты между тремя девочками? В условии этой задачи имеются два источника неопределенности. Что значит «распределить»? Одинаковые конфеты или нет? Если все конфеты одинаковые и делить справедливо каждому по одной конфете, то будет 1 вариант распределения. Если конфеты одинаковые, а дележ конфет любой, то получаем 10 вариантов. При помощи кодирование найдем количество различных вариантов, если все конфеты различные. Число вариантов при кодировании превращается в число кодов. Обозначим девочек через А, В, С и пронумеруем конфеты, тогда каждый способ распределения можно представить в виде кода. Например, код ААС отвечает варианту, когда первую и вторую конфеты получит А, а последнюю С. Получаем 27 различных кодов.

Что бы избежать путаницы при решении комбинаторных задач, необходимо точно выяснить смысл слов «различные варианты».

Учащихся надо научить отличать некорректные задачи. В этом могут помочь творческие домашние задания: придумать собственные задачи и обязательно решить их (способ решения строго не оговаривается). Свобода выбора раскрепощает детей, они проявляют инициативу и решают одну и ту же задачу несколькими способами.

Задачи, составленные самими учащимися, выполняют обучающую функцию. Они предлагаются для решения одноклассникам. Уровень этих задач самый различный. Встречаются и некорректные задачи, которые требуют корректировки условия, и это хороший обучающий прием. Например, задача, составленная учеником. Семеро козлят, украденных волком, решили написать маме письмо. Сколькими способами они могут это сделать? В ходе обсуждения учащиеся доопределяют задачу: сколькими способами может быть написано письмо, если оно пишется одним козленком? Слабоуспевающие учащиеся с каждым разом предлагают все более содержательные задачи. Некоторые учащиеся придумывают в задачах «ловушки». Например, сколькими способами из пенала, в котором находятся 2 ручки, 3 карандаша, 1 стерка, можно вынуть яблоко и шоколадку?

В 7-9 классах основное внимание отводится решению комбинаторных задач на применение правил умножения и сложения. Изучение данной темы я начинаю с вопросов: Зачем вводить какие-то правила? Нельзя ли просто пересчитать?

Необходимость диалога диктуется субъективностью ученика и влиянием диалога на интеллектуальное развитие. Через диалог в классе, с самим с собой может осуществляться познавательная деятельность учащихся, только через диалог можно выяснить проблемы учеников.

Любой вопрос учителя должен быть мотивирован. Ученики должны понимать, почему именно сейчас и именно такой вопрос задает учитель, какая польза будет от участия в ответе на поставленный вопрос. До этого момента все комбинаторные задачи решались учащимися перебором различных вариантов. Перебор осуществлялся с помощью предметной деятельности, таблиц, графов, кодирования.

Диалог в классе должен переходить в полилог. Ученик как субъект первого уровня является участником коллективной познавательной деятельности, а это значит, что любая мысль, высказанная одним из учеников, должна оцениваться, отвергаться или подхватываться другими учениками, поскольку опыт деятельности в коллективе должен быть приобретен в школьные годы.

Необходимо стремиться к тому, чтобы инициатором диалога были ученики. Это правило вызвано ролью постановки вопросов при выполнении самостоятельной познавательной и творческой деятельности.

Диалог должен затрагивать связи с прошлым, последующим и будущим. Это связано с тем, что обучение - это процесс, который имеет «вчера, сегодня, завтра», и с ролью установления связей при формировании понятийного мышления.

В процессе обучения диалог должен приобретать личностный характер, так как происходит обращение к личному опыту учащихся. Диалоговая манера «как вы думаете?», «проверьте себя» и т.д. хотя и выглядит порой несколько искусственно и даже наивно, тем не менее весьма интересна и полезна, поскольку нацеливает ученика на самостоятельную работу, а учителя - на определенный способ организации учебного процесса на уроке.

Вопрос можно считать педагогически целесообразным, если ответ на него будит активную, сознательную мысль ученика.

Простой вопрос (Зачем вводить какие-то правила?) приводит учащихся к коллективной познавательной деятельности. «Можно просто пересчитать все варианты, так как интересующих нас объектов конечное число» - говорят некоторые учащиеся. Другие начинают приводить контрпримеры, когда перебор не возможен.

Простой пример показывает необходимость введения правил. Сколько существует различных двузначных чисел, составленных из цифр 1, 2 с повторением? С помощью перебора находим искомые числа: 11,12,21,22. Попробуем решить тем же методом задачу для десятизначных, стозначных чисел. Сколько времени на это решение потратим? Перебор для к-значных чисел не возможен в принципе. А между тем простые соображения позволяют быстро дать ответ: 2^к.

После введения правил комбинаторики обычно у учащихся возникает вопрос: Складывать или умножать?

Правило умножения мало отличается от арифметических задач типа: «Сколько всего листов в 20 стопках тетрадей, если в каждой стопке по 40 тетрадей, а в каждой тетради по 18 листов?» Учащийся сразу даст ответ без упоминаний о комбинаторике 20?40?18=14400. Но ведь листов столько, сколько упорядоченных наборов а₁а₂а₃ , где а₁ пробегает значения от1 до 20 (номер стопки), где а₂ пробегает значения от 1 до 40 (номер тетради в стопке), где а₃ пробегает значения от 1 до 18 (номер листа в тетради). Таким образом, решая эту задачу, мы пользуемся принципом умножения.

Следующий вопрос так же необходимо обсудить с учащимися. Зачем надо заниматься «ненужным»? Иногда при решении комбинаторных задач используется прием перехода к множеству «ненужных» (т.е. не обладающих требуемым свойством) объектов.

Рассмотрим пример. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1?

Всего пятизначных чисел 2⁵ , «ненужных» (тех, где на первом месте стоит 0) - М=2⁴, значит из цифр 0, 1 можно составить 2⁵-2⁴=32-16=16 пятизначных чисел.

Изложенный прием перехода к дополнительному множеству очень прост. А вот забывают про него обучающиеся часто.



3. Создание и апробация проредевтического курса по теме «Комбинаторика» для развития математического мышления школьников

3.1 Пропедевтический курс по теме «Комбинаторика» для развития математического мышления школьников

Практика преподавания комбинаторики в 9 классе по учебнику Ю. Н. Макарычева показала, что учащимся, которые впервые знакомятся с комбинаторикой, очень сложно усвоить материал, так как весь школьный курс комбинаторики дается одним блоком именно в 9 классе, до этого времени обучающиеся не были знакомы даже с основными понятиями. Вследствие этого большинство учащихся путают виды комбинаций, используют неверные формулы.

Проблема, на наш взгляд, заключается в том, что школьники не привыкли решать задачи дискретной математики, которые определенным образом отличаются от задач непрерывной математики, преобладающих в школьном курсе; специфика задач дискретной математики в том, что формулировка их очень проста и интересна, создает иллюзию легкости, что не всегда так. Часто школьники, особенно более старшего возраста (8-9 классы), привыкшие к более сложной формулировке заданий, не воспринимают всерьез комбинаторные задачи, что приводит к недостаточному усвоению данного курса.

Чтобы школьники должным образом усваивали программу, нужно составлять ее, учитывая возрастные особенности учащихся, а именно: в 5-6 классах уроки лучше проводить в игровой форме, позволить учащимся обыграть некоторые ситуации при решении задач; в 7-8 классах лучше сделать упор на занимательные задачи, разобрать какие-нибудь интересные головоломки, игры, связанные с комбинаторикой, для повышения интереса к предмету; в 9 классе уровень учащихся уже позволяет разбирать более сложные задания, самим доказывать теоремы и выводить формулы. Исходя из всего вышесказанного, будем разрабатывать курс, опираясь на следующие принципы:

Систематичность и последовательность (тема «Комбинаторика» должна быть включена в школьный курс ежегодно, минимум 3 урока в год в основной программе; каждый год один урок выделяется на повторение уже знакомого материала, а остальные на изучение и закрепление нового).

Доступность и научность (например, в 5 классе очень важно обойтись без терминологии, так как данная тема тяжела для восприятия в этом возрасте, а решение задач перебором или составлением дерева возможных вариантов у пятиклассника вызовет интерес; с восьмого класса нужно давать не только определения и теоремы, но и постараться, чтобы ученики сами попробовали эти формулы вывести).

Полнота изложения (важно чтобы материал был выдан полностью, и на протяжении обучения в основной школе были разобраны все темы курса «Элементы комбинаторики» на уроках, а более сложные из них - на спецкурсе.

Связь теории с практикой (после изучения новой темы, обязательно нужно прорешать достаточное количество задач для полного ее усвоения, задачи предпочтительно подбирать практико - ориентированные).

Проблемность изложения (к изучению новой темы лучше подходить с практической стороны: создаем проблему с помощью нерешаемой (на данный момент) задачи, и приходим к выводу о необходимости изучения новой темы, что приводит к познавательной активности учащихся).

«От простого к сложному» (начиная с 5ого класса, учитывая возрастные особенности учащихся, постепенно знакомим с простейшими комбинаторными задачами, постепенно, по мере усвоения материала программа становится более сложной и задачи соответственно тоже; это принцип распространяется и на каждый урок в отдельности, изучив новую тему, начинаем с простых задач, постепенно повышая уровень сложности).

Основываясь на принципах, приведенных выше, и возрастных особенностях школьников, приводим программу курса «Элементы комбинаторики» оформленной в таблицу. Таблица разбита по горизонтали на классы (с 5 по 9), а программа каждого класса, в свою очередь, делится на основную и программу спецкурса, предназначенную для боле углубленного изучения данной темы. Таким образом, в каждой ячейке изложено краткое содержание программы для соответствующего класса и определенного уровня обучения.

Класс	Основная программа	Программа спецкурса
5 класс	Рассчитана на 3 часа. Первоначальное знакомство с комбинаторикой и простейшими комбинаторными задачами. Решение комбинаторных задач: · Методом перебора · Графический способ (дерево всевозможных вариантов) · С помощью составления таблицы.
6 класс	Рассчитана на 2 часа. Решение комбинаторных задач методом перебора, графическим способом (повторение программы 5ого класса). Вводится комбинаторное правило произведения, суммы. Решение задач, используя эти правила.
7 класс	Рассчитана на 2 часа. Повторение программ 5 и 6 классов. Решение задач перебором и с применением правил сложения и умножения. Знакомство с понятием факториал. Решение заданий на вычисление факториала числа. Вводятся понятия размещения и перестановки. Приводятся формулы для их вычисления. Решение комбинаторных задач с применением этих формул.	Рассчитана на 2 часа. Решение олимпиадных задач на темы: правило суммы, правило умножения, размещения и перестановки.
8 класс	Рассчитана на 4 часа. Повторение программы 7 класса. Решение комбинаторных задач уже знакомыми способами, в том числе и задач на применение формул размещения и перестановки. Выводим формулы размещения и перестановки, с доказательством. Вводится понятие сочетания из n по k элементов, его свойства. Решение задач на применение этих формул. Учимся различать вид комбинации, приводим алгоритм в виде блок-схемы.	Рассчитана на 2 часа. Решение олимпиадных задач и задач повышенной трудности на соединения без повторений.
9 класс	Рассчитана на 4 часа. Повторение программы 8 класса. Решение комбинаторных задач на правило сложение и умножение, с применением формул размещения, перестановки и сочетания. Решение комбинированных задач, с применение сразу нескольких формул. Вводятся понятия сочетания с повторениями, перестановки с повторениями, размещения с повторениями. Выводим формулы с доказательствами. Решение задач с помощью этих формул. Учимся различать виды комбинаций, как с повторениями так и без, приводим алгоритм в виде блок-схемы.	Рассчитана на 2 часа. Решение олимпиадных задач и задач повышенной трудности, используя формулы на соединения с повторениями и без, а так же их различные комбинации.

5 класс

Тема урока: «Знакомство с комбинаторикой»

Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы будем решать задачи, связанные с одним из интереснейших разделов математики - комбинаторикой. В науке и в реальной жизни очень часто приходится решать задачи, главным вопросом которых является вопрос «Сколькими способами это можно сделать?». Например:

- Сколькими способами можно поставить ученику оценку на уроке?

- Сколькими способами можно назначить дежурного в классе?

- Сколькими способами можно назначить двух дежурных в классе?

Решая такие задачи, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой.

Далее на нескольких примерах знакомим ребят с комбинаторными задачами.

Задача 1. Три мальчика Дима, Саша и Олег купили билеты в цирк. Два билета на 7 ряд, и один на 12. Сколькими способами они могут сесть в зале?