Образовательный стандарт дисциплины "Системное моделирование"

Нахождение параметров функции связано с минимизацией базисной функции

. (4.20)

Далее представляется логичным определить порядок расчета параметров ФГС. В том случае, когда имеется всего один фактор, базисная функция имеет вид

. (4.21)

При на рассматриваемом отрезке функция равна нулю, и если проинтегрировать выражение (2.4.21) для того, чтобы избавиться от производных, можно получить

. (4.22)

Подставляя в это уравнение значение начальной точки, легко установить, что величина первой производной связана со значением величины и соотношением . (4.23)

Если проинтегрировать уравнение (22) еще раз, то можно записать выражение вида

. (4.24)

При условии, что , определяется . Тогда уравнение (4.24) целесообразно представить следующей зависимостью:

. (4.25)

Из этого уравнения видно, что оно содержит неизвестные величины. Теперь значение интеграла можно вычислить, так как функция УМ задана таблицей, а для определения и можно образовать систему двух уравнений с двумя неизвестными на основе уравнения (4.25). Это нетрудно сделать, если подставить в (4.25) значение еще двух точек, взятых из временного ряда. Тогда

 (4.26)

После вычисления данных интегралов находятся неизвестные коэффициенты и . Затем определяется значение первой производной путем подстановки в уравнение (4.23) , и . Корень базисного уравнения равен параметру со знаком минус. Вычисленные параметры подставляются в формулу ФГС (4.19) для получения математического выражения формы связи между и .

В качестве примера применения функции с гибкой структурой для прогнозирования в военном деле рассматривается задача по определению вида зависимости между коэффициентом выпуска серийных образцов условных технических систем и объемом задач, выполняемых с помощью данных образцов. Эта зависимость в дальнейшем используется для получения прогноза. Исходные данные представлены в табл. 1.

Таблица 1

	0,597	0,597	0,608	0,618	0,615	0,618	0,631
	31,2	32,3	33,4	34,3	34,5	35,5	37,8

Из этой таблицы выбираются значения трех опорных точек, одна из которых (начальное значение) должна лежать в середине ряда с тем, чтобы полученная функция одинаково точно приближала данное значение как в конце, так и в начале ряда. Следовательно,

Определяются коэффициенты уравнения (4.26):

Следующий шаг - переход к вычислению необходимых интегралов (рис. 4.5).

Рис. 4.5 Определение необходимых интегралов для ФГС

Интеграл вида есть площадь, ограниченная графиком и значениями , равными 34,3 и 31,2. Так как верхний предел интеграла меньше нижнего, то значение интеграла отрицательное. Площадь, ограниченная значениями равными 34,3 и 31,2, будет складываться из площадей трех трапеций:

.

Значение интеграла будет

.

Полученные коэффициенты подставляются в систему уравнений (4.26):

Решая эту систему, определяются

.

Затем находится значение первой производной в начальной точке путем подстановки в уравнение (4.23) вычисленных коэффициентов и .

Тогда

.

Для базисное уравнение имеет вид

или .

Таким образом, получены все параметры. Подставив в уравнение функции с гибкой структурой значение первой производной и значение , можно получить

.

Подстановкой вместо его перспективного значения на определенный год определяется ожидаемая величина коэффициента выпуска. Необходимо отметить, что основной задачей при использовании ФГС для прогноза является определение корней базисного уравнения , значения которых зависят от коэффициентов . Последние должны определяться из принципа оптимальной аппроксимации, заключающегося в минимизации остатка и установлении таких значений коэффициентов , для которых значение остатка в каждой точке таблицы исходных данных не превышает некоторой заданной величины (ошибки аппроксимации). При машинной реализации метода, базирующегося на применении ФГС, необходимо принимать допущение о дифференцируемости функции раз, с учетом которого можно записать, что

; (4.27)

, (4.28)

где - значение производной функции порядка в точке ;

- выражение, получаемое из определителя

(4.29)

заменой последней строки определителя на функции вида , ;

. (4.30)

Значения коэффициентов определяются в результате решения уравнения (4.30) путем приравнивания его к нулю. В связи с тем, что производные неизвестны, переходят к системе линейных алгебраических уравнений [1], [2] вида

, (4.31)

где , ;

- постоянная интегрирования; ;

, , ;

; .

Результатом решения этой системы является определение коэффициентов , что позволяет по базисному уравнению вычислить параметры . Неизвестные как следует из (4.18), (4.27), равны значениям производных функций в точке , то есть

.

Рис. 4.6 Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС



Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)



Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)



Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)



Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)

На основе изложенного разработан алгоритм параметрического прогнозирования, блок-схема которого изображена на рис. 4.6.

Согласно работам [1], [2] можно утверждать, что ошибка аппроксимации в значительной степени зависит от системы опорных точек и , которые необходимо выбрать для вычисления коэффициентов при неизвестных и и свободных членов системы уравнений (31). Поэтому в рамках алгоритма имеется специальная процедура выбора системы опорных точек (блоки 1-19), использование которой обеспечивает минимальную ошибку аппроксимации. Смысл этой процедуры сводится к следующему:

в качестве начальной точки последовательно выбирается каждая точка таблицы исходных данных (блоки 4а, 5а, 15а);

при зафиксированном значении вычисляются значения (блоки 6а-11а);

составляется система уравнений (4.31) (блок 12а);

решается система уравнений (4.31) по МНК и определяются значения Си , (блок 13а);

устанавливается структура модели, например в виде регрессионного уравнения

(4.32)

параметры которого определены выше, и задают ошибку аппроксимации по зависимости (блок 14а)

, (4.33)

где - число наблюдений над прогнозируемой характеристикой;

осуществляются ранжировка исходных данных по возрастанию , выбор опорных точек по правилу (блок 16а)

и их запись;

описанная процедура повторяется для каждого значения (блоки 2а, За, 18а).

После выбора опорных точек в алгоритме предусмотрены операторы по подготовке к составлению системы уравнений порядка. С этой целью по соответствующим зависимостям методом численного интегрирования (методом трапеций) вычисляются , а также значения и (блок 5). При этом

.

Если число членов ФГС-модели , то значения параметров функции и относительного отклонения функции от в -й точке рассчитываются в соответствии с выражениями блоков 7-3. На основе выбора из множества значения и сравнения его с заданным (блоки 45, 47), принимается решение либо продолжать усложнять модель, либо удовлетвориться достигнутой сложностью. При осуществляется составление системы уравнений порядка вида (4.31) (блок 14) и решение ее методом Гаусса относительно параметров и постоянных интегрирования (блок 15).

В блоке 16 осуществляется вычисление параметров

по зависимостям

(4.34)

Вычисление корней базисного уравнения производится методом Ньютона с использованием стандартной программы (блок 17). Поскольку в общем случае корни уравнения могут быть действительными, комплексными или действительными и комплексными, в блоках 18, 27 производится их анализ с целью определения дальнейшей расчетной схемы. При условии, что все корни действительные, функция принимает вид

, (4.35)

где - степенной определитель -го порядка (4.29), значение которого вычисляется методом перекрестного умножения (блоки 19, 20);

- определитель, получаемый из (4.29) заменой -й строки на функции - блок 23;

- вычисленная ранее производная.

Значение функции в каждой точке и ее отклонения вычисляются в блоках 21, 22, 24-26. При подстановке значений , и зависимость (4.35) принимает вид суперпозиции экспоненциальных законов, параметрами которых являются аргументы прогнозирующих зависимостей.

Если все корни комплексные, то имеет вид

,(4.36)

где - нечетное натуральное число;

- действительная часть корня; ; .

Значения функции и ее отклонения вычисляются в блоках 28, 29. Если в результате анализа устанавливается, что корней комплексные, а корней действительные, то принимает вид

,

где вычисляется по зависимости (4.36) с использованием корней блок 38); при вычисляется по зависимости (4.35) с использованием корней (блоки 33, 34, 35, 41), при - в соответствии с блоками 32, 39, 40. Значения функции и ее отклонения от вычисляются в блоках 36, 37, 42, 43, 44. Результаты расчетов выводятся на печать. После вычисления функции и в каждом из приведенных случаев выбирается максимальное значение отклонения , которое сравнивается с заданным (блоки 45, 47).

По результатам сравнения принимается решение о наращивании сложности модели либо о его прекращении. В блоке 48 осуществляется проверка достаточности числа наблюдений для заданной сложности модели.

Вопросы для самопроверки к разделу 2

В чем сущность метода статистических испытаний?

Что понимается под названием вычислительный эксперимент?

Что представляет собой статистическое моделирование?

Какие основные составные части метода статистических испытаний Вы знаете?

Какие основные достоинства метода статистических испытаний Вы знаете?

Каким образом возможно моделирование системы массового обслуживания?

Что такое однофазная система обслуживания?

Каким образом происходит оценка результатов наблюдений при моделировании?

В чем суть метода повторений?

В чем суть метода подынтервалов?

Какие прикладные задачи имитационного моделирования Вы знаете?

В чем суть метода экспоненциального сглаживания?

Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента

Введение

В данном разделе рассматриваются методы, позволяющие оценить качества модели, методы повышения качества оценок показателей эффективности.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 3.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 152 - 183).

1. Планирование имитационных экспериментов

Целью имитационных экспериментов является, возможно, более глубокое изучение моделируемых систем при ограниченных затратах. С этой целью необходимо планировать и проектировать не только модель системы, но и процесс проведения экспериментов с ней.

В практике имитационных исследований наиболее распространены следующие типы экспериментов:

сравнение средних и дисперсий результатов операций для различных альтернатив;

определение значимости влияния тех или иных факторов и необходимости их учета при исследовании конкретной системы;

отыскание оптимальных альтернатив (в частности, стратегий управления) на некотором множестве возможных значений.

Математические методы отыскания целесообразных планов проведения экспериментов указанных типов и проведения расчетов с целью вычисления искомых оценок получили название методов планирования эксперимента.

1.1. Общая схема испытаний

При планировании испытаний (в узком смысле) принципиально возможны два подхода: пассивный и активный. Пассивные испытания заключаются в наблюдении и регистрации входных и выходных параметров объектов в режиме нормального функционирования (при фиксированных нагрузках). Планирование испытаний сводится к выбору стационарного режима испытаний. Активные испытания проводятся посредством наблюдения и регистрации процесса после внесения в него возмущений. Сущность активного подхода заключается в одновременном варьировании по определенному закону значений из совокупности факторов , которое ведется по целесообразно составленной программе, называемой матрицей планирования.

План испытания характеризуется спектром плана (нормированным спектром)

или , (1)

где определяет уровни, на которых находится каждый из факторов в -м испытании; - число повторных испытаний;

, - суммарное количество испытаний, , .

Схему планирования испытаний рассмотрим применительно к случаю доводочных испытаний, проводимых с целью достижения экстремального (заданного) значения выходного параметра. Планирование включает: определение пространства факторов, выбор стратегии испытаний.

Совокупность факторов должна быть достаточно полной (включать все существенные факторы), а каждый из факторов отвечать требованиям однозначности, управляемости, независимости и совместимости с другими факторами. Так, при опытной отработке двигателя внутреннего сгорания, когда при выбранном типе двигательной установки и виде топлива решается задача обеспечения требуемой тяги и ресурса , в качестве могут использоваться тип форсунок, их количество, соотношение, размещение, тип головки, литраж и геометрия блока цилиндров, способ охлаждения и т. д.

При выборе стратегии испытаний в общем случае можно выделить три основных этапа.

Планирование и проведение испытаний в ограниченной области с конечной целью установить градиентное направление (направление, в котором угол наклона функции отклика максимален). Решение задачи может осуществляться с помощью линейных уравнений регрессии.

Последовательное движение в градиентном направлении (в частном случае «крутое восхождение»). На этом этапе, зная градиентное направление, выбирают другую ограниченную область в факторном пространстве, где и проводят новую серию испытаний. Крутое восхождение ведется до тех пор, пока не будет достигнута так называемая «почти стационарная область», в которой вариации факторов слабо влияют на значение выходных параметров.

Планирование и проведение испытаний в почти стационарной области, где окончательно определяется совокупность значений факторов , при которых обеспечивается экстремальное (требуемое) значение . На этом этапе учитывается нелинейный характер связей между и .

Основу современного подхода к планированию многофакторных испытаний составляют активные методы, из числа которых широкое распространение получили полные и дробные факторные планы (ПФП и ДФП). Пассивные методы сохраняют свое значение в ходе проведения промышленных экспериментов на стадии серийного производства вооружения, при изучении опыта эксплуатации ракетных и артиллерийских комплексов в войсках, а также в тех случаях, когда при испытании не удается устранить шумовое поле, вызываемое неуправляемыми переменными или случайными помехами, накладываемыми на управляемые факторы.

1.2 Полные факторные планы испытаний

Планирование по схеме полного факторного плана предусматривает реализацию всех возможных комбинаций на каждом из выбранных уровней. Общее количество испытаний , где - количество уровней, - число факторов. , если при каждом сочетании факторов проводится только одно испытание. Если испытания проводятся при двух уровнях факторов , то реализуется план , при и т. д. Формирование ПФП включает два этапа.

На первом этапе выбирается совокупность факторов , удовлетворяющих сформулированным требованиям, после чего определяется локальная область факторного пространства, в которой намечается проведение испытаний. При планировании по схеме эта область устанавливается посредством задания основного уровня и интервала варьирования. Основным уровнем (центром плана) называют многомерную точку в факторном пространстве. В зависимости от целей испытаний координаты могут соответствовать номинальным значениям параметров или выбираться в центре области их изменения, подлежащей изучению. Интервал варьирования устанавливают симметрично относительно основного уровня и определяют для каждого из факторов по формуле

, (2)

где , - максимальные и минимальные значения каждого из факторов (определяющих фактор параметров).

Интервал варьирования выбирается из прогнозируемых значений выходного параметра и условий технической осуществимости вариаций входных воздействий с учетом затрат на выполнение работ.

Рис. 1. Схемы ПФП типа и

ПФП составляют в виде матрицы планирования, используя кодированную (безразмерную) систему координат. Переход к безразмерной системе координат осуществляется по формулам

; . (3)

В кодированной системе верхний уровень изменения любого фактора равен , нижний , а координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. На рис. 3.1 изображены схемы ПФП типа и - соответственно прямоугольник и куб. Матрица ПФП , приведена в табл. 1, а (обозначение 1 в таблице опущено), где столбцы (вектор-столбцы) показывают, какие значения принимает каждый из факторов в очередном испытании, а строки (вектор-строки) характеризуют режим каждого отдельного испытания. Так, например, при изучении влияния условий подачи компонентов топлива на выходные параметры ЖРД первый опыт проводится при минимальных расходах горючего и окислителя, четвертый - при максимальных, второй - при максимальной подаче горючего и минимальной окислителя и т. д.

Таблица 1

Номер опыта					Номер опыта
1	+	-	-		1	+	-	-	+
2	+	-	+		2	+	-	+	-
3	+	+	-		3	+	+	-	-
4	+	+	+		4	+	+	+	+

Первый столбец используется только для выполнения расчетов ( - фиктивная переменная). В последнем столбце записываются результаты испытания.

Порядок перехода от плана к плану показан в табл. 2. Аналогично методом «перевала» можно перейти к планам с большим числом факторов.

Таблица 2

Номер опыта						Номер опыта
1	+	-	-	-		5	+	-	-	+
2	+	-	+	-		6	+	-	+	+
3	+	+	-	-		7	+	+	-	+
4	+	+	+	-		8	+	+	+	+

Приведенные в табл. 1 и 2 матрицы планирования обладают свойствами ортогональности, симметричности и нормировки.

Свойство симметричности относительно центра опыта заключается в том, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбцов каждого из факторов равна нулю:

; ; . (4)

Условие нормировки подтверждается равенством суммы квадратов элементов каждого столбца числу опытов:

; . (5)

Свойство ортогональности определяется равенством нулю произведений любых двух вектор-столбцов:

;. (6)

Предполагается, что при перемножении элементов с одноименными знаками получаем , с разноименными .

Свойство ортогональности позволяет резко уменьшить трудоемкость вычислений коэффициентов регрессии, так как матрица нормальных уравнений становится диагональной, причем ее диагональные элементы равны числу испытаний , заданных матрицей ПФП.

Воспользуемся матрицей планирования (табл.1) для получения уравнения регрессии вида

. (7)

При вычислении оценок коэффициентов регрессии по формуле последовательно получим

Отсюда

; ;

; .

Таким образом, каждый из коэффициентов вычисляется независимо и по простой формуле, которая в общем случае имеет вид

. (8)

Поскольку все диагональные элементы матрицы ошибок равны между собой, каждая из оценок получена с одинаковой (и минимальной) дисперсией

, (9)

где - ошибка опыта.

Рассмотренные ПФП являются оптимальными в том смысле, что при их реализации для данного числа испытаний определитель матрицы ошибок минимален. Геометрически это означает, что сведен к минимуму объем эллипсоида рассеивания оценок параметров. Важным свойством полученных планов является также рототабельность, которая заключается в том, что точность предсказания значений выходной характеристики одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.

План типа позволяет получить модель в виде уравнения второго порядка

.

Для вычисления коэффициента , характеризующего совместное воздействие факторов и вводится дополнительный вектор-столбец (табл.1), элементы которого определяют, перемножая попарно элементы столбцов и .

Расширенная матрица ПФП , обеспечивающая получение модели в виде более сложного полинома

представлена в табл. 3. В нижней строке таблицы приведены вычисленные по формуле (8) оценки коэффициентов . Значения содержатся в последнем столбце.

Например,

;

.

Таблица 3

Номер опыта
1	+	-	-	-	+	+	+	-	8
2	+	-	+	-	-	+	-	+	4
3	+	+	-	-	-	-	+	+	5
4	+	+	+	-	+	-	-	-	10
5	+	-	-	+	+	+	-	+	6
6	+	-	+	+	-	-	+	-	8
7	+	+	-	+	-	-	-	-	7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	12
	7,5	1	1	0,625	1,5	-2	0,75	-0,75

1.3 Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний

Можно сократить число испытаний, если от ПФП перейти к дробным факторным планам, или дробным репликам от полного факторного эксперимента. При переходе от ПФП к ДФП важно сохранить ортогональность матрицы планирования. С этой целью в качестве реплики (ДФП) пользуются ПФП для меньшего числа факторов. Такая возможность существует, поскольку в ПФП число испытаний значительно превосходит количество определяемых коэффициентов линейной модели.

Пусть требуется получить уравнение регрессии вида

. (10)

Для решения задачи можно ограничиться четырьмя испытаниями , если в ПФП (табл. 4, а) столбец использовать в качестве плана для (табл. 4, а). Теперь элементы столбца служат не для расчета оценки , а характеризуют уровень фактора в каждом из опытов. Использованный план составляет половину ПФП , называется полурепликой (-репликой) от и записывается формулой . В рассмотренной задаче возможны два варианта ДФП (табл. 4, а, б).

Таблица 4

а) б)

Номер опыта					Номер опыта
1	-	-	+		1	-	-	-
2	-	+	-		2	-	+	+
3	+	-	-		3	+	-	+
4	+	-	+		4	+	+	-

Общее правило перехода от ПФП к ДФП сводится к следующему: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Формула ДФП имеет вид , где - количество факторов, введенных посредством замещения исключаемых из рассмотрения взаимодействий. В зависимости от соотношения чисел и реализуются , , и т. д. реплики ПФП.

Сокращение числа испытаний в рассмотренном примере достигнуто за счет утраты части информации: из рассмотрения исключено парное взаимодействие . В результате полученные оценки , , оказались смешанными оценками генеральных коэффициентов

; ; ,

поскольку соответствующие вектор-столбцы совпадают ( неразличимо с и т. д.). Эффективность ДФП определится тем, насколько удачно выбрана система смешивания линейных эффектов и эффектов взаимодействий. Поэтому при обращении к ДФП необходимо уметь заранее установить, какие из , являются несмешанными оценками соответствующих генеральных коэффициентов - определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого находят применение понятия генерирующего соотношения и определяющего контраста.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан рассматриваемый эффект, называют генерирующим. В рассмотренном примере это или . Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения столбцов. Умножая левую и правую части определяющего контраста на и памятуя, что , получим определяющий контраст или . Теперь, последовательно умножая левые и правые части на , , , можно выявить систему смешивания факторов. Для ДФП (табл. 4,б)

; ; ,

откуда следует система смешивания

; ; .

Для ДФП (табл. 2.5, а) аналогичным путем получаются приведенные ранее соотношения.

Обращаясь к ДФП , заметим, что матрица (табл. 4, а, б) совпадает с ПФП (табл. 1). Иначе план является опорным при построении дробной реплики . При с помощью ДФП удается учесть только один дополнительный фактор. Оценим, сколько же дополнительных факторов можно учесть, используя в качестве опорного ПФП . Из табл. 3 видно, что можно частично или полностью замещать четыре взаимодействия то есть вводить дополнительно до четырех факторов. При замещении одного фактора имеет место ДФП (-реплика от ПФП ), двух - (от ПФП ),трех - ( от ), четырех - ( от ПФП ). Если замещению подлежат все взаимодействия, то план называют насыщенным. В этом случае в модели учитываются только линейные взаимодействия. Для всех рассмотренных ДФП . Сравним, что при реализации ПФП, если , то (используется ПФП ); при (); при (); при (). В табл. 5 приведен пример формирования ДФП при различном выборе генерирующих соотношений.

Последовательность формирования ДФП включает: уяснение количества факторов и допустимого числа (в примере ), выбор реплики (), построение опорного плана (), установление генерирующих соотношений, нахождение определяющего контраста (обобщенного контраста), уяснение системы смешивания.

Выбор системы смешивания осуществляется на основе анализа физической сущности процесса, изучения конструкторской документации и данных предшествующих этапов испытаний. В общем случае стремятся отсеивать взаимодействия относительно высоких порядков.

Таблица 5

Генерирующее соотношение
Определяющий контраст
Система смешивания
,	,
,	,
,	,
Система оценок
Вид модели

При выборе, например, ДФП (-реплики) возможны 12 вариантов решения. Если принять , , то система смешивания задается обобщающим определяющим контрастом, который получают, перемножая определяющие контрасты и между собой:

.

Тогда получается следующая система совместных оценок:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Соответствующий план испытаний показан в табл. 6.

Таблица 6

Номер опыта						Номер опыта
1	-	-	-	-	+	5	-	-	+	+	+
2	-	+	-	+	-	6	-	+	+	-	-
3	+	-	-	+	-	7	+	-	+	-	-
4	+	+	-	-	+	8	+	+	+	+	+

ДФП типа , как и ПФП, обладают следующими преимуществами: они ортогональны; каждый из коэффициентов вычисляется по всем испытаниям; все коэффициенты вычисляются с одинаковой и минимальной дисперсией.

При проведении испытаний учитывают, что изменение выходного параметра из-за влияния неконтролируемых факторов имеет случайный характер. Поэтому предусматривается случайный порядок проведения испытаний (рандомизация факторов). С этой целью последовательность испытаний (реализация строк матрицы планирования) определяется с помощью таблицы случайных чисел.

1.4 Анализ результатов испытаний

Завершающим этапом испытаний по полному или дробному факторному плану является статистический анализ полученных данных, который включает: оценку воспроизводимости результатов испытаний; оценку значимости коэффициентов регрессии и уточнение вида модели; проверку адекватности модели.

Целью проверки воспроизводимости является установление однородности результатов испытаний, проводимых на различных уровнях . В ходе опытно-конструкторских работ при проведении лабораторных и стендовых испытаний обычно используется освоенная аппаратура, обеспечивающая стабильность условий. Поэтому предварительное заключение относительно воспроизводимости ожидаемых результатов часто может быть сделано до начала испытаний. При необходимости проверки воспроизводимости содержание задачи совпадает с задачей проверки гипотезы о стабильности условий испытаний. Пусть результаты испытаний представлены, как показано в табл. 7.

Проверке подлежит гипотеза , где - количество строк матрицы планирования. Условием проверки гипотезы является наличие параллельных опытов в каждой из строк.

Тогда в каждой строке могут быть вычислены

; ; ,

где - количество повторных испытаний.

Таблица 7

Номер опыта	План испытаний	Результаты испытаний	Вычисляемые оценки
1	+	-	-	...	+			...
2	+	-	+	...	+			...
								...
	+	-	+	...	-			...

Для проверки гипотезы можно воспользоваться критериями Кохрена или Бартлетта. Если , расчетное значение статистики критерия Кохрена определяется по формуле и гипотеза принимается, если , где , . Если дисперсии однородны (принята гипотеза ), то дисперсия опыта (или, что то же самое, дисперсия воспроизводимости) подсчитывается по зависимости

, (11)

где знаменатель характеризует число степеней свободы . В общем случае, подсчитывается как среднее взвешенное значение

. (12)

Проверка значимости коэффициентов регрессии позволяет лучше осмыслить математическое описание процесса, а также уточнить вид модели путем отсеивания факторов, слабо влияющих на значение выходного параметра. Проверка значимости каждого из коэффициентов производится независимо, с помощью проверки гипотезы 0 по -критерию. Расчетные значения статистики критерия можно определить по соотношению

. (13)

Если , то коэффициент является значимым и соответствующий фактор оказывает существенное влияние на величину . Статистическая незначимость может быть вызвана следующими причинами:

интервал варьирования был выбран слишком малым;

уровень начального режима по фактору оказался близок к точке частного экстремума ;

велика ошибка опыта из-за влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов;

данный фактор (совокупность факторов) не оказывают заметного влияния на величину выходного параметра.

Поскольку план ортогонален и коэффициенты оцениваются независимо друг от друга, оказавшиеся незначимыми коэффициенты могут быть отброшены без пересчета остальных.

Проверка адекватности заключается в подтверждении предположения, что полученная математическая модель достаточно верно описывает характер процесса. Формальное содержание гипотезы состоит в том, что предсказанные уравнением (расчетные) значения выходного параметра отклоняются от опытных на величину, не превышающую некоторый наперед заданный уровень, и модель пригодна для обоснования инженерных решений. Для проверки гипотезы оценивается дисперсия адекватности

; . (14)

Если дисперсия адекватности не превышает дисперсии опыта , то есть основание полагать, что модель адекватно описывает процесс. Согласно п. 1.3 для проверки гипотезы о дисперсиях используется -критерий. Статистика критерия

. (15)

Модель считается адекватной процессу, если , где , . Если ,то для получения адекватного описания необходимо увеличить порядок аппроксимирующего полинома. Очевидно, что проверка адекватности возможна лишь в том случае, если , то есть число разных испытаний превосходит количество включаемых в модель факторов.

Если гипотеза адекватности принимается, то модель может использоваться для управления процессом (при доводочных испытаниях для определения значений факторов, при которых достигается экстремальное или заданное значение выходного параметра). Незначимые коэффициенты могут быть отброшены, однако при этом необходима основанная на анализе физической сущности явления уверенность, что эти факторы не влияют на выходной параметр. В противном случае следует стремиться продолжить испытания (расширив, если позволяют технические возможности, по незначимым факторам).

Если модель неадекватна, возможны следующие решения: перейти к модели более высокого порядка (когда можно предположить, что опыты проводились в области, близкой к оптимальной); продолжить испытания, уменьшив интервал варьирования, или перенося центр плана в другую точку.

Рассмотрим примеры использования ДФП при организации испытаний технических систем.

Планируются испытания двигателя на надежность при эксплуатации. В качестве основных эксплуатационных факторов выделены: механические воздействия при транспортировании, воспроизводимые на вибростенде , температура и влажность воздуха , имитируемые попеременным термостатированием и выдержкой в термобарокамере; старение при хранении, достигаемое проведением ускоренных испытаний узлов двигателя ; излучение и прогрев элементов , с помощью секционных термобарокамер, с использованием электронагревательных приборов и холодильной установки. В качестве выходного параметра оценивалась величина давления в блоке цилиндров двигателя . Для испытаний выделялось двигателей. Поскольку для полного учета всех факторов (при числе уровней ) необходимо образца, было принято решение применить ДФП , причем , . Тогда обобщенный определяющий контраст . Получаемая в этом случае математическая модель принимает вид

.

Поскольку реализация плана возможна при , оставшиеся четыре образца использовались для проведения контрольной серии испытаний. План испытаний показан в табл. 8.

Планируются испытания двигателя, проводимые с целью эмпирического определения коэффициента усиления, величина которого в общем виде представляется как , где - изменение -го регулируемого выходного параметра двигателя, - изменение регулирующего параметра по -му каналу регулирования. Исполнительными органами систем регулирования являются регуляторы расхода, регуляторы давления, дроссели. Величина обычно включается в ТЗ на разработку.

Таблица 8

Номер опыта						Номер опыта
1	-	-	-	-	+	7	-	+	+	-	+
2	+	-	-	+	+	8	+	+	+	+	+
3	-	+	-	+	-	9	+	+	+	+	+
4	+	+	-	-	-	10	0	0	0	0	0
5	-	-	+	+	-	11	-	-	-	-	+
6	+	-	+	-	-	12	-	+	-	+	-

Из практики опытной отработки известно, что расчетные значения обычно не подтверждаются в ходе испытаний. Поэтому возникает потребность настройки регулирующих органов с последующей опытной проверкой. Для обеспечения эффективности организации работ по определению и настройке коэффициентов усиления по каналам регулирования двигателя находят применение полные и дробные факторные планы. Рассмотрим случай, в котором для проведения испытаний реализуется ПФП при числе испытаний (табл. 8). В каждом испытании значения факторов и ( и ) определяют крайние положения органов в выбранной области изменения этих факторов. Матрица планирования и полученные из опыта результаты представлены в табл. 9. В нижней строке таблицы приводятся вычисленные по формуле (8) значения коэффициентов

Таблица 9

Режим	План	Результаты испытаний
1	+	-	-	+	0,7166	0,6769	0,7166	0,5785	0,6721	0,6939
2	+	-	+	-	0,8100	0,8100	0,8700	0,7545	0,8111	0,7893
3	+	+	-	-	0,6615	0,6076	0,5250	0,6071	0,6003	0,6221
4	+	+	+	+	0,6071	0,5533	0,4941	0,5375	0,5480	0,5263
	0,6578	- 0,0837	0,0216	- 0,0478

Рассмотрим порядок статистического анализа результатов испытаний. Для проверки условия воспроизводимости по формуле (11) определим

; ; ; .

Затем вычислим расчетное значение статистики критерия Кохрена:

.

При уровне значимости и числе степеней свободы , находим . Поскольку , принимается гипотеза об однородности данных (воспроизводимости результатов испытаний). Следовательно, дисперсия испытаний может быть определена по всем испытаниям согласно зависимости (12):

.

Из (9) видно, что погрешность оценивания

.

Для проверки значимости коэффициентов и уточнения вида модели вычислим расчетные значения статистики -критерия по формуле (13):

; ; .

Из таблицы Приложения при и получим . Следовательно, для и имеет место и эти коэффициенты значимо отличаются от нуля. Поскольку коэффициент оказался незначимым. Поэтому фактор из дальнейшего рассмотрения исключаем. Уточненная модель принимает вид

.

Для проверки адекватности модели определим предсказанные этой моделью значения ; ; ; . Согласно зависимости (14) мера неадекватности модели оценивается дисперсией

.

Тогда определяемое по (15) расчетное значение статистики критерия

.

При , , находим , что позволяет принять гипотезу об адекватности модели изучаемому процессу и использовать ее в дальнейшем для настройки двигателя.

1.5 Оптимальные планы

Если целью испытаний является изучение характера процесса, то с получением адекватной модели они могут быть завершены. При доводочных испытаниях, когда - параметры конструкции, работа продолжается для получения координат точки в которой соответствует заданному (или экстремальному) значению. Рассмотрим два основных подхода к отысканию области оптимума : крутое восхождение и симплексный метод.

Крутое восхождение (метод Бокса-Уилсона) выгодно отличается от традиционной организации многофакторного эксперимента, при проведении которого последовательно отыскивается экстремум по каждому из факторов. Сущность крутого восхождения заключается в шаговом движении в направлении наибольшего изменения функции (направлении градиента)

, (16)

с корректировкой этого направления после достижения частного экстремума функции. На пути движения к экстремуму производится регулярный статистический анализ. В (16) - единичные векторы в направлении координатных осей.

Определению служит реализация ПФП (ДФП), обеспечивающая получение адекватной модели чаще всего в виде линейного уравнения регрессии. Дальнейшие операции сводятся к следующему.

Вычисляются произведения . Фактор, для которого имеет место принимается за базовый . Для базового фактора исходя из анализа физической сущности процесса устанавливается шаг варьирования (в направлении экстремума), после чего для других шаг рассчитывается пропорционально наклону поверхности отклика, характеризующемуся величиной :

. (17)

Рис. 2. Графическое представление проведения испытаний по схеме крутого восхождения

Затем производятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказываемых уравнением регрессии значений в точках факторного пространства. Через несколько (обычно два - пять) шагов проводятся реальные испытания. Сравнивая опытные значения с расчетными, определяют наиболее близкие к экстремальным значения , где и проводится новая серия испытаний, после чего при необходимости крутое восхождение продолжается. Испытания прекращаются, когда все или почти все значения незначимы или близки к нулю.

Пример проведения испытаний по схеме крутого восхождения содержится в табл. 10.

В качестве параметра оптимизации рассматривалась удельная тяга ЖРД - , максимума которой добивались подбором форсунок окислителя разного диаметра сопла - фактор и изменением выходного сечения сопла - фактор . Предварительно по ПФП получена модель, с помощью которой определено градиентное направление .

Таблица 10

Уровень
	мм
Основной………………………… Интервал…………………………. Нижний…………………………... Верхний…………………………..	4,5 0,2 4,3 4,7	350 20 330 370
Коэффициент ………… Шаг при ……………….	1,2 0,1	0,8 5
Номер опыта	Вид испытания
		мм	н•с/кг
1 2 3 4 5 6	Начальная точка………….... Мысленный опыт………….. Реализованный…………….. Мысленный………………... Реализованный ……………. Реализованный…………….	4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2	370 375 380 385 390 395	- - 2760 - 2920 3000	- - 2620 - 2710 2640

В дальнейшем проведение реальных испытаний чередовалось с мысленными опытами. При подсчете предсказанных значений натуральные значения переводились в кодированные по формуле. Как видно из табл. 2.11, переход от условий испытаний № 5 к условиям испытания № 6 не обеспечивает приращения удельной тяги. Далее в точке (рис. 3.2) была проведена контрольная серия из четырех испытаний, которая подтвердила, что дальнейшие вариации и не ведут к увеличению .

Симплексный метод заключается в том, что испытания проводятся в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплексов. Под -мерным симплексом подразумевают выпуклую геометрическую фигуру, имеющую вершину, соединенные прямыми отрезками-ребрами. Одномерным симплексом будет отрезок прямой, двумерным - плоский треугольник, трехмерным - тетраэдр и т.д. При планировании испытаний обычно используют правильные симплексы, у которых вершины находятся друг от друга на одинаковом расстоянии. В отличие от крутого восхождения, при использовании симплексного метода процесс изучения поверхности отклика совмещается с движением к экстремуму. Схема поиска экстремума симплекс-методом при показана на рис. 2. Сначала проводится серия испытаний в вершинах правильного -мерного симплекса (точки ) с целью выявить точку, характеризующую условия, при которых получаются худшие результаты. Следующую серию испытаний проводят в вершинах нового симплекса, который получают заменой точки, соответствующей худшему результату (точка ), ее зеркальным отображением. Тем самым достигается смещение центра тяжести симплекса в направлении экстремума. В дальнейшем процедура повторяется, и образуется последовательность симплексов, перемещающихся в факторном пространстве в направлении к экстремуму. На близость экстремума указывает начинающееся вращение симплекса вокруг одной из его вершин.

Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока будет достигнута «почти стационарная область», которая не может быть описана линейной моделью, и где значимы совместные (квадратичные) эффекты воздействия.

Близость «почти стационарной области» можно установить, если провести серию испытаний в центре плана и определить значение выходного параметра . Вычисляемое для линейной модели значение при реализации ПФП или ДФП в «почти стационарной области» является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратов членов. Следовательно, разность дает представление о кривизне поверхности отклика.

«Почти стационарную область» в большинстве случаев с приемлемой точностью можно описать уравнением второго порядка

. (18)

Поскольку для отыскания раздельных оценок параметров число уровней должно быть на единицу больше степени полинома, число уровней должно быть не менее трех. Однако применение ПФП типа приведет к резкому возрастанию количества испытаний. Для сокращения можно использовать центральные композиционные планы (ЦКП). Ядро ЦКП составляют ПФП или ДФП: ПФП, если число факторов , и ДФП при . Это приводит к тому, что если после реализации ПФП (ДФП) гипотеза о линейности модели не подтвердилась, нет необходимости проводить испытания заново. Для получения модели второго порядка достаточно добавить к ПФП (ДФП) несколько специальным образом подобранных точек, в которых и провести дополнительную серию испытаний.

Пусть для получения линейной модели реализован ПФП . Согласно рис. 1,б экспериментальные точки лежат в вершинах куба. Если линейная модель неадекватна, то в план включается так называемых «звездных точек» с координатами , расположенных на сфере диаметром (рис. 3). Таким образом, каждая из точек плана лежит на координатных осях на расстоянии от центра плана, называемым звездным плечом . Центром плана является центральная точка прямоугольника, если число факторов , куба при , гиперкуба, когда . Наличие звездных точек, собственно, и задает центральный композиционный план.

Представление о положении звездных точек в факторном пространстве дают следующие примеры: при и ядре плана, образованном ПФП , величина звездного плеча ; если , а в ядре реализован ПФП , то ; при и ПФП . Общее число испытаний при реализации ЦКП

,

где - ядро плана, - число звездных точек; - количество испытаний, проводимых в центре плана.



Рис. 3. «Звездные точки» с координатами

Пример ЦКП, в котором сохранено свойство ортогональности, приведен в табл. 11. В этом плане , , .

Поскольку в ЦКП ортогональность обеспечивается, оценки коэффициентов получаются независимо. Однако дисперсии , как видно из приводимой расчетной зависимости, неодинаковы для разных коэффициентов:

; (19)

; . (20)

Таблица 11

Номер опыта				Номер опыта
1	-	-	-	9		0	0
2	-	+	-	10		0	0
3	+	-	-	11	0		0
4	+	+	-	12	0		0
5	-	-	+	13	0	0
6	-	+	+	14	0	0
7	+	-	+	15	0	0	0
8	+	+	+

При реализации такого плана, как видно из табл. 11, , в то время как для ПФП .

Адекватная модель второго порядка может использоваться для нахождения оптимального значения факторов (в частном случае оптимальных конструктивных параметров).

Необходимо отметить, что кроме рассмотренных известно большое количество других методов оптимального планирования испытаний, развитых в специальной дисциплине -- теории планирования эксперимента. К настоящему времени накоплен значительный опыт их использования при испытании составных частей технических систем, главным образом, в процессе опытно-конструкторских работ; известны пути приложения методов для оптимизации испытаний отдельных элементов образцов техники. Во всех случаях условием успешного планирования является правильное сочетание цели испытаний с возможностями выбранного метода и учет характера самого изучаемого явления.

Вопросы для самопроверки к разделу 3

Как происходит оценка качества модели?

Какие свойства модели Вы знаете?

В чем цель методов стратегического планирования имитационных экспериментов?

Какие методы повышения качества оценок показателей эффективности Вы знаете?

Какие основные этапы в общем случае можно выделить при выборе стратегии испытания?

Что такое полные факторные планы испытаний?

Что такое дробные факторные планы испытаний?

Что является целью проверки воспроизводимости?

Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования

Введение

В данном разделе рассматриваются методы, используемые для принятия решений по результатам моделирования.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 4.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 184 - 191) и учебное пособие Мартыщенко, Л.А. Системное моделирование. Ч. II: учебное пособие /Л.А. Мартыщенко, Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2008. - 102 с., (с. 5 - 88).

1. Методы принятия решений по результатам испытаний

1.1. Общая процедура принятия решений

Эффективность имитационных испытаний, в конечном счете, определяется правильностью принимаемых инженерных решений: принять образец в эксплуатацию или произвести доработку (продолжить испытания); забраковать испытанный образец или допустить его к эксплуатации и т. д. Принятию инженерного решения предшествует операция принятия статистического решения. Применение статистических методов позволяет оценить риск принятия того или иного инженерного решения, тем самым, поставив процесс принятия решения на научную основу. Содержание процесса принятия статистического решения составляет статистическая проверка гипотез - предположений о свойствах генеральной совокупности, которые могут быть проверены по данным выборки. Статистические гипотезы выдвигаются: относительно значений характеристик систем (случайных величин, и случайных функций) и относительно законов распределения параметров.

В первом случае решаются следующие основные задачи:

1) проверка соответствия полученных в ходе испытаний значений характеристик заданным в ТЗ или ТУ;

2) проверка соответствия между собой опытных значений, полученных в разных выборках.

Во втором случае:

1) проверка правомерности аппроксимации эмпирического распределения теоретическим (принадлежность выборки к известной генеральной совокупности);

2) проверка однородности распределений выборочных параметров (принадлежности двух или нескольких параметров к общей совокупности).

В дальнейшем исходную (нулевую, основную) гипотезу, выдвигаемую для проверки, будем обозначать , а альтернативную (конкурирующую) . Если гипотеза содержит только одно предположение, например , то она называется простой. Гипотезу, состоящую из множества (конечного или бесконечного) гипотез, называют сложной, например .

Рассмотрим последовательность решения задачи статистической проверки гипотез. На первом этапе уточняется задача исследования, после чего выбираются исходная гипотеза и одна или несколько альтернативных. Следующим этапом является выбор критерия проверки гипотез, под которым будем понимать свод правил, указывающих, при каких результатах наблюдений гипотеза отклоняется, а при каких принимается. Выбранному критерию соответствует статистика критерия - непрерывная случайная величина с известным законом распределения, функционально связанная с результатами испытаний. Статистику критерия обозначают в соответствии с видом закона распределения (, , , -критерий). Безотносительно к виду закона распределения статистику критерия обозначим .

При принятии статистического решения возможны четыре случая (табл. 1), определяемые содержание гипотез и (верна, неверна) и тем, какая из гипотез окажется принятой. Вероятность опровергнуть гипотезу , когда она верна (совершить ошибку первого рода), называют уровнем значимости , а вероятность - отвергнуть при условии ее ложности - мощностью критерия, -вероятность - принять гипотезу , когда справедлива гипотеза (совершить ошибку второго рода). Мощность критерия зависит от содержания . Наиболее мощным критерием простой гипотезы относительно простой альтернативы является критерий, для которого . Предпочтительно выбирать равномерно наиболее мощный критерий, который является наиболее мощным относительно любой альтернативной гипотезы.

Таблица 1

Заключение по гипотезе	Гипотеза
	Верна	Неверна (верна )
Принята	(правильное решение)	(ошибка второго рода, риск заказчика)
Отвергнута (принята )	(ошибка первого рода, риск поставщика)	(правильное решение)

Выбор уровня значимости приводит к тому, что множество значений разбивается на два непересекающихся подмножества: область допустимых значений и критическую область (рис. 1). Область допустимых значений включает совокупность значений , при которых принимается гипотеза . Совокупность значений при которых отвергается (принимается ), образует критическую область. Критическая область может быть односторонней (правосторонней, левосторонней) и двусторонней (симметричной и несимметричной). Точки, разделяющие области, называют критическими точками .

Принцип проверки статистических гипотез состоит в том, что если расчетное значение попадает в область допустимых значений, то принимают гипотезу . При попадании в критическую область отвергается и принимается гипотеза . Заметим, что принятие не означает, что доказана ее справедливость, а свидетельствует лишь о том, что результаты испытаний выборки не противоречат выдвинутым предположениям о свойствах объекта (генеральной совокупности). Необходимо иметь в виду, что продолжение испытаний может привести к иному заключению.

Рис. 1. Область допустимых значений и критическая область

Таким образом, правильное определение вида критической области и уровня значимости наряду с выбором статистики критерия; в основном, определяют достоверность статистического решения. В основе выбора лежит анализ последствий совершения ошибки первого или второго рода, поскольку одновременно уменьшить и невозможно. Для случая правосторонней критической области это иллюстрируется рис. 2. Если смещать вправо [не изменяя положения кривых ], то с уменьшением мощность критерия снижается. Если переместить влево, увеличивается, зато возрастает мощность критерия. Формализованные методы установления критической области основываются на том, что величины и связаны с объемом испытаний .

Рис. 2. Случай правосторонней критической области

Если выбрана, то при фиксированном можно руководствоваться критерием Неймана-Пирсона, в соответствии с которым из всех областей фиксированного уровня в качестве критической выбирается наиболее мощная (обеспечивающая максимум величины ). Увеличение (возрастание затрат на испытание) является единственным способом одновременного снижения и . Интуитивно значения выбираются в диапазоне . При проверке гипотез относительно технических характеристик ракет, агрегатов наземного оборудования, артиллерийских комплексов . Оценивая показатели качества (надежности, эффективности), область допустимых значений целесообразно расширить (). Более жесткие условия могут задаваться при проверке однородности характеристик контрольно-испытательной аппаратуры и свойств элементов, испытываемых в лабораторных условиях .

2. Проверка гипотез о параметрах

Рассмотрим первую группу задач статистической проверки гипотез, обеспечивающих принятие решений о средних значениях параметров. Возможны две основные задачи: проверка соответствия математических ожиданий одноименных параметров (задача проверки однородности), проверка соответствия этих математических ожиданий требованиям ТТЗ (ТУ).

В первом случае

и ,

или

, .

Во втором случае

; ; ; .