Б. Введение определения области определения функции, полного описания линейной функции на алгебраическом языке

Цель: ввести термин область определения функции, зафиксировать элементы для полного описания функции на алгебраическом языке. Содержанием данного этапа является выполнение задания, в ходе которого фиксируется термин область определения функции, составляющие полного описания области определения. Таким образом, учащиеся проанализировали имеющиеся представления о линейной функции, конкретизировали определение функции, выявив еще одни аспект понятия, такой как область определения.

II. Аспект однозначности в понятии "Функция"

Цель: ввести представление о неоднозначных зависимостях. Содержанием данного этапа является конструирование кусочных зависимостей, выделение среди получившихся класса неоднозначных. В результате прохождения этапа учащиеся познакомятся с нефункциональными зависимостями, овладеют способом определять их по графику и аналитически.

Особой задачей при работе с функциями становиться оценивание полноты совершенных действий, обнаружение границ возможных действий. При этом большую роль играет действие контроля, анализа собственных действий.

3.3 Разработка формы учебных и методических материалов для учителя по теме "Линейная функция"

Учителя традиционной системы обучения при подготовке к урокам используют методические комментарии авторов и текст учебника. В экспериментальной программе МАРО текстов учебника нет (и быть не может из-за особенностей программы), поэтому встает задача создания методического обеспечения для учителя. Для того, чтобы учитель мог эффективно использовать материал программы для подготовки и проведения занятий, необходимо разработать специальные формы описания содержания.

Программа А. Г. Мордковича представлена методическими комментариями для учителя, учебником и задачником для учеников. В методических комментариях отсутствует описание ситуаций организации уроков. При подготовке к урокам учитель использует текст учебника, доступную ему литературу, свои знания о понятии. В учебнике материал изложен в доступной форме, но как отмечают учителя, ученики в 7 классе не читают текст учебника, а при подготовке домашнего задания, в основном, опираются на конспекты урока. Таким образом, у учащихся в формировании понятия происходит разрыв между ситуацией урока и описанием материала учебника, если только учитель не воспроизводит текст целиком.

Поскольку предполагается, что основным источником информации является учебник, то опишем методические особенности строения материала в нем. В учебнике материал представлен в повествовательной форме, метод введения всех понятий от частного к формально-общему. Все определения, алгоритмы, способы оперирования с объектами, с помощью которых решается большинство задач из задачника, вводятся автором. Это ограничивает "интуиции" учащихся для отыскания своего метода решения. С помощью некоторых задач вводится новый объект, например, задачи в которых появляется и применяется линейное уравнение и график линейного уравнения. А.Г. Мордкович работает с утверждениями - контрпримерами формально. Например, предлагается такое задание: "Объясните, почему следующие уравнения не являются линейными уравнениями с двумя неизвестными", ниже приводятся уравнения, отличные от того вида уравнения с двумя неизвестными, которое закрепил автор [22].

В рамках программы исследование учащийся может реализовать, только если условия специально будут созданы учителем. Например, к исследованию каждого класса функций применяется "инвариантное ядро", которое и является алгоритмом при изучении функций [21]. В Программе реализуется отношение к математике как науке "ставшей", которую следует изучить (освоить нормативные способы работы с объектами); движение в материале задано как движение в жестко заданной схеме изучения выделенных автором классов объектов или способе.

3.3.1 Анализ существующих форм для описания содержания в деятельностном подходе

На данное время существует два экспериментальных фрагмента УМК "Алгебра 7" С.Ф. Горбова и В.М. Заславского [27], [28], которые представлены в таблице:

Таблица 3.1

	Состав	Назначение
Учитель	Методическое пособие концепция курса; логика разворачивания понятия; тематическая разбивка; характеристика учебного комплекта (общее описание элементов этого комплекта, рекомендации по использованию каждого элемента этого комплекта)	целостное представление организация деятельности учителя
Ребенок, учитель	Учебное пособие хрестоматия; задачник (задачи 3-х уровней, рекомендации по подготовке к зачету); творческая работа (тематические задания, справочный материал); справочный материал.	работа с текстами тренинг контроль и оценка
	Учебная тетрадь опоры для постановки и решения учебной задачи; опоры для написания конспекта (осмысление хода движения)	логика движения учителя и ребенка по учебной задаче рефлексия, оформление опыта детский справочный материал для больных детей

Методическое пособие для учителя состоит из методических рекомендаций, в которых описан замысел авторов, связанный с применением учебной тетради, задачника. В тексте выделены этапы постановки и решения учебной задачи. Учебное пособие для учащихся представлено хрестоматией и таблицей с рекомендациями по подготовке к зачету, в которой отражены умения, контрольные задания, рекомендуемые номера заданий из задачника. Рабочая тетрадь для учащегося состоит из заданий и свободных мест, в которые нужно записать решение.

Нет утвержденной формы описания содержания для учителя. На данный момент авторами программы РО разработаны две формы. Форма №1 описания содержания состоит из двух таблиц [27]. В первой представлены циклы учебных ситуаций, предметные знания и действия, которые учащиеся должны приобрести и освоить как результат изучения темы (единицы содержания курса). Как отдельный элемент выделены "основные способы действий, построенные учащимися при решении учебных задач". Вторая таблица иллюстрирует переход от "старого" (готового) знания к "новому" (еще не оформленному). Удобна эта таблица тем, что в ней фиксируются знания учащихся, на которые учитель может опираться для формирования новых, ситуации перехода от готовых знаний к неизвестным.

Недостатки первой формы заключаются в:

o Трудности заполнения (например, в колонке "основные способы действий...", трудно верно выделить основания для "нового" знания);

o Форма может использоваться только при условии того, что урок проходит без непредвиденных ситуаций;

o Отсутствие авторами фиксации средств, помогающих оформить "новое" знание.

Форма №2 представляет собой описание решения задач, в ходе которого говориться о том, с какой целью решается задача, какие средства нужно использовать при ее решении, на какие знания опираться [27]. Недостаток заключается в том, что данная форма не является наглядной.

Преимущество первой формы по сравнению со второй заключается в том, что первая форма отражает замысел авторов и логику движения по материалу, а также в том, что в ней разделены знания и действия относительного каждого из имеющихся циклов.

По нашим представлениям форма описания содержания должна удовлетворять следующим требованиям:

o В форме должны быть представлены логика строения материала и замысел авторов;

o Степень важности использования во время урока тех или иных средств (например, знаковых), которая определяется замыслом;

o Доступность изложенного материала для понимания учителя;

o Наличие в форме стандартных ситуаций, определяемых замыслом, и возможных "ловушек".

Под "ловушками" понимаются такие моменты урока, которые могут возникнуть в ходе урока, но не предусмотрены в замысле авторов. Описание "ловушек" появляется в процессе анализа материала, соотнесение предложенного авторами программы содержания и особенностей конкретного класса, или как элемент прошедшего урока (реальной ситуации, которая была на уроке).

В рамках написания курсовой работы в 2003 году мы разработали еще одну форму оформления содержания. Данная разработка была выполнена на материале темы "Решение линейных уравнений", при этом был использован текст методических рекомендаций, предложенный авторами, т.е. форма описания №2. На наш взгляд она является наиболее удобной для применения ее учителем. Она состоит из таблицы, в которой зафиксированы этапы решения учебной задачи, замысел урока (описание заданий так, как они предлагаются авторами), комментарии к замыслу (описание требований к выполнению заданий), "ловушки" (ситуации урока, которые непредусмотрены в замысле), возможный выход из них.

3.3.2 Описание формы организации содержания по теме "Линейная функция"

В 2004 году мы разработали методические рекомендации для учителя по теме "Линейная функция". Исходной формой для оформления содержания для нас стала разработка 2003 года. Поскольку методические рекомендации для учителя должны отражать не только урочные ситуации, но и логику разворачивания материала, то мы трансформировали форму описания содержания №1. Таким образом, методическое обеспечение для учителя по теме "Линейная функция" состоит из трех таблиц.

Таблица №1. (приложение №1) Отражает логику введения понятия функция, краткое содержание изучения понятия на каждом из этапов преодоления затруднений, результаты - умения, которые возможно приобретут учащиеся после прохождения этапа.

Таблица №2. (приложение №2) Состоит из четырех разделов:

1. Название этапа решения учебной задачи

2. Задание (базовое задание этапа)

3. Предметный аспект содержания понятия

4. Методический аспект содержания понятия (описание предполагаемых действий учащихся)

5. "На что следует обратить внимание учителю" (рекомендации по организации некоторых затруднительных ситуаций) (приложение №4).

Таблица №3. (приложение №3) Задачник для учителя

1. Базовые задания предназначены для решения их на уроках (позволяют осуществлять движение по этапам);

2. Контрольно-оценочные задания (отличаются от базовых тем, что решая их учащиеся должны самостоятельно применить способ, обнаруженный при выполнении базового задания);

3. Задания на отработку (номера из учебника А.Г. Мордковича, которые соответствуют содержанию этапа).

Форму предъявления контрольно-оценочных заданий учащимся учитель выбирает самостоятельно. Например, они могут быть даны как задания проверочной работы или как индивидуальные задания для учащихся.

Таблица №1 дает общее представление об этапах логики введения понятия, тогда как таблица №2 позволяет раскрыть содержание этапов более подробно.

3.4 Анализ результатов апробации

Описание диагностических заданий

Результаты анализа текстов УМК программы А.Г. Мордковича, показывают, что в курсе много внимания уделяется свойствам функций, но не элементам, составляющим это понятие. Для выявления того, в какой степени у школьников, обучающихся по разным программам, сформировалось представление о функции как об однозначной зависимости (однозначном соответствии между переменными), необходимо подобрать диагностический материал.

В 2003 году нами было проведено пилотное исследование сформированности понятия функция в 9 классе (Диагностика №1) [3]. Целью этого исследования было опробовать диагностические задания на предмет того, в какой степени учащиеся могут работать с провокационными утверждениями, могут ли они различать два вида зависимостей.

Учащиеся выбранного нами класса, начиная с 7 класса, обучались по программе А.Г. Мордковича. Нами был выбран 9 класс, поскольку уже пройдены этапы наглядно-интуитивного и рабочего уровней использования понятия функции, темы, в которых рассматриваются примеры неоднозначных зависимостей, сформулировано общее определение функции. Авторами предполагается, что к концу 9 класса у учащихся основные характеристики понятия сформированы [21].

Задания содержали материал, который знаком учащимся и соответствует их уровню знаний. Задания были выписаны на доску учителем, носили статус безоценочной, диагностической работы. Возможность использовать учебник и другие средства, задавать вопросы не оговаривалась. Учащиеся вопросов при выполнении работы не задавали, учебники не использовали. На выполнение заданий потребовалось 20 минут.

Диагностика №1

Задание №1. Пусть y=f(x)

1. Найдите f(-3), f(-2), f(1), f(2) используя график или формулу;

2.Изобразите множество точек (x, f(x));

3.Найдите наибольшее и наименьшее значение y=f(x);

4.Является ли y=f(x) функцией?

Цель задания - проверить смогут ли учащиеся, опираясь на свой опыт и анализируя данные, полученные в ходе выполнения задания, выявить неоднозначный характер предложенной зависимости.

В задании №1 задана кусочная зависимость, представленная системой двух функций, которая сама функцией не является, поскольку есть промежуток, на котором однозначность нарушается. В первом пункте задания значения независимой переменной подобраны так, что при подстановке их в формулы, или используя график, учащиеся бы получили два значения зависимой переменной. Учащиеся должны были найти значения зависимой переменной при заданных значениях независимой переменной, построить график зависимости, по которому возможно было бы увидеть неоднозначность. Нами предполагалось, что учащиеся при ответе на вопрос №4 обратят внимание на данные, которые получили при построении графика и при поиске значений зависимой переменной, и смогут сделать вывод, является ли предложенная зависимость функциональной. Наибольшее и наименьшее значение предлагается найти для того, чтобы проверить степень владения одним из свойств функций. Структура задания предполагает, что учащиеся умеют делать вывод на основании результатов выполненных действий, имеют некоторый опыт работы с контрпримерами.

Задание №2 [30]

Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число у, зависящее от х.

Вопрос. Какие из следующих формул можно назвать функциями?

a) ?=Р?Рb) c) y=2

Цель задания - выявить смогут ли учащиеся, опираясь на предложенное определение числовой функции, определить те формулы, которые задают не однозначное соответствие между переменными. Мы предполагали, что учащиеся прочитают определение, выделят в качестве существенного аспекта понятия числовой функции, опираясь на этот факт и свой опыт работы с функциями смогут ответить на вопрос задания.

Нами были получены следующие результаты.

В первом задании график кусочной "функции" был построен верно практически всеми учениками (13 из 19), причем кусок прямой ребята строили с помощью "двух точек", а параболу "по памяти". При выполнении п.1 все учащиеся предпочли находить значения "функции" в заданных точках используя аналитическое задание. Значения в заданных точках многие учащиеся находили используя только одну из формул (11 из 19), некоторые не выполнили это задание (5 из 19), а остальные определили верно по два значения в предложенных точках, но подозрений у них это не вызвало. Только один человек из класса определил, что предложенная зависимость не функциональная.

При выполнении второго задания некоторые пробовали построить графики зависимостей, но при наличии верных графиков делали вывод, что все предложенные зависимости являются функциями. Все-таки 4 из19 учащихся смогли определить верный вариант ответа. Никто из учащихся не обосновывал выбор своего варианта ответа. О.А. Хрипунова [26] приводит следующие результаты, выполнения этого задания учащимися 11 класса (26 работ): вариант b) выбрали 2 учащихся ссылаясь на определение, 8 человек указали однозначное соответствие, которое заметили в определении и выбрали b); между тем, используя этот же факт и не обнаружив переменной х в с) 8 школьников выбрали варианты а) и b); 2 ученика посчитали верными варианты а) и b), поскольку к ним можно построить график; оставшиеся ученики предполагают, что все формулы задают функции.

На основании результатов пилотного исследования складывается впечатление о том, что учащиеся 9 класса не умеют работать с функцией как однозначным соответствием между независимой и зависимой переменными.

Анализ возможных причин, которые могли повлиять на ответы школьников 9 класса, показывает, что, они не умеют делать выводы на основании совершенных действий, приводить контрпримеры. Поскольку учащиеся не указывали основания, по которым они выбирали тот или иной ответ при выполнении задания №2, не ясно использовали ли они определение или опирались на свой опыт.

У учеников могли возникнуть трудности при работе с контрпримерами. Действительно, в программе А.Г. Мордковича, учащиеся не сталкиваются с контрпримерами в явной форме [20]. Отметим, что "контрпримеры" в их практике встречаются в заданиях такого типа:

ь "Установите, задает ли уравнение линейную функцию y=kx+m", далее приводятся примеры только линейных функций;

ь "Объясните, почему следующие уравнения не являются линейными уравнениями с двумя неизвестными", ниже приводятся уравнения, отличные от того вида уравнения с двумя неизвестными, которое закрепил автор.

Возможно, поэтому учащиеся не увидели в заданиях контрпример (не однозначную зависимость), не были готовы к провокации.

Диагностика №2 (приложение №5)

Разрабатывая задания диагностики №2 сформированности понятия функция для 7 класса в 2004 году, мы учитывали причины, перечисленные выше.

Цель новой диагностики - определить насколько свободно учащиеся работают с понятием линейной функции, проверить умение учащихся конструировать кусочно-линейные зависимости, выявить степень "понимания" функции как однозначной зависимости.

Прежде чем рассказать о заданиях диагностики, обозначим, что мы понимаем под "работой с понятием линейная функция". Когда мы говорим о том, что учащийся владеет понятием функция (умеет работать с линейной функцией), это значит, что он способен:

ь Свободно оперировать с любыми буквенными обозначениями, например, определять вид линейной функции независимо от обозначений переменных входящих в его состав;

ь Понимать, что формула линейной функции может быть задана с точностью до преобразований;

ь Отличать линейную функцию от других видов зависимостей, т.е. понимать, что под линейным выражением понимается выражение, в состав которого все переменные входят в первой степени, и нет произведения переменных.

ь Выполнять построение графика линейной функции

Задания содержат материал, который знаком учащимся и соответствует их уровню знаний на момент проведения диагностики. Диагностика состоит из трех листов.

На листе №1 предложены 4 задания.

Задание №1. Цель задания: проверить умение учащихся работать с линейной функцией.

Перед учащимися ставиться задача построить графики линейных функций, заданных формулой вида y=kx+m; формулой вида y=kx+m, но в других обозначениях; формулой, которую необходимо преобразовать к линейной. Учащиеся должны перед построением графика найти подходящие точки, обозначить оси координат, преобразовать квадратичную зависимость к линейной, построить графики соответствующих функций с учетом обозначений.

Задание №2. Цель задания: проверить, умеют ли учащиеся различать два вида зависимостей (у от х и х от у) и представлять их в аналитической и графической форме.

Дано линейное уравнение с двумя неизвестными. Требуется построить графики зависимостей у от х и х от у. Перед тем, как построить графики, учащимся необходимо:

1. Записать формулу зависимости (преобразовать линейное уравнение с двумя неизвестными к виду линейной зависимости).

2. Обозначить оси координат (поскольку в математике существует договорённость о том, что значения независимой переменной располагаются на горизонтальной оси, а зависимой - на вертикальной).

3. Построить график линейной зависимости. Если учащиеся имеют представление о графиках разных зависимостей, то они без проблем смогут выполнить построение. Мы предполагаем, что учащиеся группы А смогут записать два вида зависимостей, но не выполнят построения.

Задание №3. Цель задания: проверить, на сколько свободно учащиеся оперируют с различными буквенными обозначениями. К составу действий учащихся, описанному для задания №2 добавляется введение новых значений для переменных.

Задание №4. Цель задания: проверить умение различать зависимости у от х и х от у.

На листе№2 содержится текст и задание, состоящее из четырёх пунктов. В тексте учащимся напоминается:

o Функция - это однозначная зависимость у от х.

o Область определения функции может быть разорвана, при этом аналитическое задание функции на разных частях области определения может быть различной.

o Обозначение для кусочной функции.

Выполнять задание учащиеся могут, опираясь на свой опыт работы с кусочно-линейными функциями или на содержание текста. В задании предлагаются три кусочно-линейные зависимости, одна из которых является однозначной. От учащихся требуется построить графики зависимостей, определить значения в трёх точках для каждой зависимости, используя график или формулу, опираясь на информацию представленную в тексте и проведённые исследования зависимостей учащиеся должны выбрать ту, которая не является кусочной функцией и обосновать свой выбор. С помощью задания, предложенного на этом листе, мы предполагаем выявить умение учащихся читать и понимать текст, выполнять задания с опорой на него. В задании предлагается "исследовать" заданные зависимости и сделать вывод о том, какая из них не является однозначной.

На листе№3 предложено одно задание, цель задания: выявить, могут ли учащиеся сконструировать функцию.

В задании описаны и построены четыре линейные функции. Учащимся предлагается совместить попарно кусочки и выбрать ту, которая является функцией.

Отличие заданий диагностики №2 от заданий диагностики №1 состоит в том, что они дополнены, изменена форма предъявления заданий, учащимся предлагается обосновать выполненные действия, учтены принципы работы с утверждениями, которые предлагает А.Г. Мордкович.

3.4.2 Описание результатов диагностики

Диагностика проводилась на учащихся, для которых понятие линейной функции вводились разными методами. Первая - группа А, школьники, обучающиеся по программе А.Г. Мордковича. Вторая - группа Б, экспериментальная группа учащихся, обучающаяся по разработанной методике.

Группы были сформированы из учащихся разных классов. В каждой из них присутствовало по пять человек разного уровня (слабые, сильные, средние). Уровень учащихся определялся учителем - предметником.

Критерии наблюдения позволяют различать умение учащихся работать с аналитической и графической формами задания зависимости.

На время проведения апробации учащимся каждой из групп были предоставлены одинаковые условия, на выполнение заданий отводилось 50 минут, но отметим, что многие из учащихся сдавали работы на 10-15 минут раньше. черновиками являлась обратная сторона листов.

Лист №1. При проверке задания №1 для нас было существенным:

o Верно ли построены графики каждой из функций;

o Верно ли введено обозначение осей координат;

В ходе проверки задания появился дополнительный параметр для наблюдения: Умение учащихся работать с данными в задании, а именно с размером единичного отрезка.

Причинной введению дополнительного параметра послужило то, что многие учащиеся группы А, по собственному желанию изменяли размер единичного отрезка, тогда как он был задан.

Для пункта В) задания №1 мы наблюдали наличие преобразованного выражения.

При проверке каждого из случаев А) и Б) задания №2 для нас было существенным:

o Наличие аналитической записи зависимости (на черновиках или явно);

o Правильность построения графика

o Правильность обозначения осей координат

При проверке каждого из случаев А) и Б) задания №3 помимо параметров, обозначенных для задания №2, для нас было существенным:

o Введены ли учащимися новые обозначения.

Задание №4. Здесь фиксировались ответы учащихся, без особых параметров.

Лист№2. При выполнении пунктов 1, 2 задания фиксировались верные ответы: построенные графики для каждого из случаев, значения зависимой переменной, которые определили учащиеся.

В пунктах 3 и 4 фиксировались варианты ответов.

Лист №3. Нами фиксировались варианты ответов.

В таблице 3.2 представлены результаты проведенной диагностики.

Таблица 3.2

		Группа А	Группа Б
Задание	"Критерии"	Кол-во уч-ся, давших верные ответы	Кол-во уч-ся не приступавших к выполнению задания	Кол-во уч-ся, давших верные ответы	Кол-во уч-ся не приступавших к выполнению задания
Лист№1 Задание 1
А)	Обозначение осей	9	6	15	0
	График	6	0	15	0
	Не изм. ед. масштаба	4	0	14	0
Б)	Обозначение осей	7	7	12	2
	График	9	3	13	0
	Не изм. ед.масштаба	5	0	15	0
В)	Обозначение осей	4	9	10	5
	График	2	4	6	3
	Не изм. ед. масштаба	2	5	11	4
	Преобразование выражения	2	10	6	5
Зад-е 2
А)	Аналит запись	3	10	15	0
	График	5	3	14	1
	Обозначение осей	7	7	13	1
Б)	Аналит запись	4	10	14	0
	График	0	6	4	4
	Обозначение осей	0	8	4	4
Зад-е 3	Введены новые обозначения	5	4	6
А)	Аналит запись	3	9	14	0
	График	6	5	14	0
	Обозначение осей	3	8	11	1
Б)	Аналит запись	3	8	12	1
	График	2	4	14	1
	Обозначение осей	0	10	4	4
Зад-е 4				4	5
А)	1	5	1	1
	2	9	1	14
	3	3	1	10
Б)	1	5	1	14
	2	1	1	0
	3	6	1	1
Лист№2
1	1) у=g(x)	1	8	6	4
	2) y=h(x)	2	11	13
	3) y=w(x)	1	12	14
2	1) у=g(x)	0	9	5	6
	2) y=h(x)	0	9	14	1
	3) y=w(x)	0	9	10	1
3	1) у=g(x)	Ф-3, Г-4	8	Ф-8, Г-1	7
	2) y=h(x)	Ф-5, Г-3	7	Ф-6, Г-7	2
	3) y=w(x)	Ф-3, Г-4	8	Ф-6, Г-7	2
4 А)	1) у=g(x)
	2) y=h(x)	13		13
	3) y=w(x)
Лист№3	1+2	1	9	5	8
	1+4			2
	3+4	3	9

На основании этих данных можно говорить о том, что большинство учащихся группы А весьма не решительно выполняли задания, возможно, что для них формулировки заданий оказались сложными, но заметим, что в процессе проведения диагностики никто из учащихся об этом не упомянул. С аналитической и геометрической формами зависимости умеют лучше работать учащиеся группы Б, также как и различать разные зависимости, заданные аналитически (лист №1 задание 3, 4). Затруднения возникли с умением графически строить зависимости у от х и х от у у учащихся обеих групп (лист №1 задание №2, 3).

Выполнять построение графика линейной функции, в принципе, могут все учащиеся. Как отмечалось выше, ученики в группе А произвольно изменяли единичный отрезок, что позволило им подобрать удобные значения координат точек, причем половина выполнявших задание брали положительные значения независимой переменной.

Свободно оперировать с любыми буквенными обозначениями, например, определять вид линейной функции независимо от обозначений переменных входящих в его состав умеют учащиеся обеих групп (лист №1 задание 1 Б));

Понимают, что формула линейной функции может быть задана с точностью до преобразований, лучше умеют ученики группы Б, 6 из 10 выполнявших задание, группа А - 2 из 5 (лист №1 задание 1 В));

Относительно умения работать с текстом можно сказать, что ученики группы Б увереннее справлялись с заданиями на листе №2. В группе А к выполнению задания приступили только 6 человек, но выявить неоднозначную зависимость удалось одинаково хорошо 13 человекам в обеих группах.

Учащиеся группы А для обоснования того, почему они отнесли к зависимостям у от х (А) и к х от у (Б) отмеченные ими функции использовали следующие формулировки:

v А)Знаем х, можем найти у, Б)значение х зависит от у

v А)у зависит от х, Б) х зависит от у

v Я так думаю

В группе Б:

v А) потому, что у явно выражен через х, Б) х выражено через у

v А) мне кажется, что все формулы, в которых у выражен через х - функции

v А) у зависит от х, Б) х зависит от у

v А) чтобы найти у я подставляю в формулу значение х, а в |у|=х может получиться два значения у

v Все формулы, в которых в левой части у, а в правой х - функции.

Для обоснования того, почему кусочная зависимость на листе №2 не является функцией учащиеся группы Б отвечали так:

v одному значению х соответствует два у;

v единственному значению х должно соответствовать единственное значение у, а для h(х) это не так;

v по графику видно, что для одного х есть два у;

v для одного х я нашел два у;

v график другой.

Учащиеся группы А свой выбор не обосновывали.

Сконструировать хотя бы одну из двух функций из частей смогли учащиеся обеих групп: группа А - 2 из 6 приступавших к заданию, группа Б - 5 из 7.

Таким образом, можно заключить, что введение в программу А.Г. Мордковича экспериментальных моментов только улучшает ее.

Заключение

В процессе работы нами были получены следующие результаты:

o Проведен подробный анализ методики и логики введения понятия функция в программах А.Г. Мордковича и С. Ф. Горбова "Алгебра 7";

o Построена система затруднений для введения понятия линейной функции через систему учебных задач в программе А.Г. Мордковича;

o Описана методика введения понятия функции через систему учебных задач;

o Разработано методическое обеспечение для введения понятия функции через систему затруднений в программе А.Г. Мордковича.

Методическая разработка прошла первую апробацию в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 "И", 7 "Г" классах.

При апробации с текстом методических средств был ознакомлен только учитель, учащиеся по материалам учебника А.Г. Мордковича могли догадываться, что является продолжением изучаемого материала.

Стоит отметить, что ученики, участвовавшие в апробации, в начальной школе учились по системе Л.В. Занкова, до этого времени в апробациях каких-либо других программ они не участвовали.

После апробации в материал были внесены некоторые коррективы.

Представленная в дипломной работе разработка дает возможность описывать другие темы, как в программе С.Ф. Горбова так и в программе А.Г. Мордковича.

Литература

Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов, - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.1989.-96с.

Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В.О формировании понятия функция в РО // Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2001. - 173с.

Баженова К.А. Анализ характера взаимосвязи алгебраического и геометрического языков в программе С.Ф. Горбова "Алгебра 7 класс" // Психолого-педагогическое образование: гуманитарные технологии: Сб. материалов науч. конф. Студентов и молодых ученых, Красноярск, 17 апр. 2002г. / Краснояр. гос.ун-т. - Красноярск, 2003. - С. 145 - 147.

Баженова К.А. О сформированности понятия функции у школьников 7-9 классов, обучающихся по программе А.Г. Мордковича Молодежь и наука XXI века: сб. материалов краевой научно-практической конференции аспирантов КГПУ // КГПУ, Красноярск, 2003.

Большой энциклопедический словарь. В 2-х т. - М.: Советская энциклопедия,1991г.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики, - М.: Издательство иностранной литературы, 1963, - 292

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия: Пер. с нем. / Под ред. А.П. Юшкевича., - М.: Наука, 1966 г. - 507 с.

Горбов С.Ф. Координатный метод // Экспериментальные материалы по алгебре 7 класс, блок № 4,5, рукопись, 2002.

Горбов С.Ф. ОДЗ. Кусочные функции. Преобразования функций и их графиков f(x)+c, f(x+m) // Экспериментальные материалы по алгебре 7 класс, блок №7, рукопись, 2002.

Горбов С.Ф. Понятие зависимости. Понятие функции // Экспериментальные материалы по алгебре 7 класс, блок №6, рукопись, 2002.

Горбов С.Ф. Программа разрабатываемого курса алгебры 7-9 классы // Экспериментальные материалы по алгебре, рукопись, 2002.

Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: логико-психологические проблемы построения учебных предметов, - М.: Педагогическое общество России, 2000. - 480 стр.

История отечественной математики, в 4-х т., Киев, Наукова думка, 1970 г.

Клайн М. Математика. Поиск истины, - М.: Мир, 1988. - 295 с.

Клайн М. Математика. Утрата определенности, - М.: Мир, 1984.- 434с.

Колмогоров А.И. Математика в ее историческом развитии, - М., Наука, 1991. - 221с.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учеб. для 7 кл. ср. шк. / под редакцией Теляковского С.А., - М.: Просвещение, 1993. - 240с.

Математика. Большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю. В. Прохоров.- М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. - 848 с.: ил.

Математическая энциклопедия, - М.: Советская энциклопедия, - 1984г.

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений, - М.: Мнемозина, 2001. - 160с.

Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя,- М.: Мнемозина, 2001.- 144с.

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений, - М.: Мнемозина, 2001. - 160с.

Отчет по экспертизе курса алгебры (7-9 класс) // Экспериментальные материалы, рукопись, 2002.

Стройк, Дирк Ян, Краткий очерк истории математики, - М., Наука, 1984 г., 284 с.

Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах, - М.: Наука, 1986. -192с.

Философский энциклопедический словарь, - М.: Советская энциклопедия, 1983г.

Фрагмент УМК по Алгебре7: Алгебраический и геометрический языки // Экспериментальные материалы, рукопись, 2003.

Фрагмент УМК по Алгебре7: Решение линейных неравенств // Экспериментальные материалы, рукопись, 2003.

Хрестоматия по истории математики, М.: Просвещение, 1977 г. - 224 с.

Хрипунова О.А. Об умении учащихся разных классов анализировать утверждения // Психолого-педагогическое образование: гуманитарные технологии: Сб. материалов науч. конф. Студентов и молодых ученых, Красноярск, 21 апр. 2003г./ Краснояр. гос.ун-т. - Красноярск, 2003. - С.35 - 37.

Цукерман Г.А. Виды общения в обучении, - Томск: Пеленг, 1993. - 268с.

Щетников А.И, Щетникова А.В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа,- Новосибирск: Артель "Напрасный труд", 1999.- 44 стр.

Энциклопедия для детей: Астрономия, Т. 8,- М.: Издательство "Аванта+", 1997. - 688с

Энциклопедия для детей: Математика, Т. 11,- М.: Издательство "Аванта+", 2000. - 688с.

Размещено на Allbest.ru