Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

92

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

(дипломная работа)

Т - 2004

Введение

Глава I. Определение понятия функция

§ 1.1. Краткий обзор понятия числа.

§ 1.2. История развития функции.

§ 1.3. Различные современные подходы к определению понятия «функция», графики функции.

§ 1.4. Графики функции.

§ 1.5. Основные свойства функции.

п.1.5.1. Ограниченность.

п.1.5.2. Четность, нечетность.

п.1.5.3. Монотонность.

п.1.5.4. Точки экстремума.

п.1.5.5. Непрерывность.

п.1.5.6. Периодичность.

Глава II. Понятие функции в школьном курсе.

§ 2.1. Линейная функция.

§ 2.2. Квадратичная функция.

§ 2.3. Обратная пропорциональность.

§ 2.4. Степенная функция.

§ 2.5. Показательная функция.

§ 2.6. Логарифмическая функция.

§ 2.7. Тригонометрическая функция.

Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.

§ 3.1. Параллельный перенос.

п.3.1.1. Сдвиг оси х-ов.

п.3.1.2. Сдвиг оси у-ов.

§ 3.2. Растяжение и сжатие графика

п.3.2.1. По оси х-ов.

п.3.2.2. По оси у-ов.

§ 3.3. Отражение.

§ 3.4. График суммы и разности двух функций.

§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций.

Заключение

Список использованных источников и литературы

Глава I. Определение понятия функция.

§ 1.1. Краткий обзор развития понятия числа.

На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и тому подобного. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия “больше”, “меньше”, “столько же” или “равно”. Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.

С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была “мириада” 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед (около 287-212 до н.э.) в своем трактате “Исчисление песчинок” “Псаммит” разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен.

Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.

В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через . Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.

Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.

Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось . Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые “мнимые числа” получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера (1717-1783) и Эйлера (1707-1783), которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.

Обозначение комплексного числа а+b принадлежит Кардано (1501-1576). Эйлер стал записывать это число в виде а+bi, где i=, а i²=-1. По рекомендации ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона (1805--1865) комплексные числа стали выражать парой действительных чисел в виде (а, b). Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось. Оно продолжает свой путь дальше.

Аксиомы натуральных чисел

Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Вошедшая во всеобщее употребление система аксиом натуральных чисел была предложена итальянским математиком и логиком, профессором Туринского университета Джузеппе Пеано
(1858-1932) в статье «О понятии числа», опубликованной в 1891 г. Вот как формулировал Пеано свои пять аксиом:

О есть натуральное число.

Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

О не следует ни за каким натуральным числом.

Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

Аксиома полной индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Итак, с аксиоматической точки зрения мы имеем дело с двумя основными понятиями: «натуральные числа» (объект) и «непосредственно следует за» (соотношение). Эти понятия косвенно определяются системой аксиом.

Излагаемая в настоящее время в учебных руководствах система аксиом натуральных чисел лишь по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа -- это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

1. Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом, т. е. для любого а имеем: а*1.

2. Для каждого натурального числа а существует одно и только одно непосредственно за ним следующее натуральное число а*, т.е. а = b а* = b*.

3. Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом, т. е. если а1, то из а*=b*а=b.

4. Аксиома индукции. Пусть М -- подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число а принадлежит М, то а* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е. М совпадает с N.

То, что в первоначальной формулировке (Пеано) первый элемент есть 0, а не 1, не имеет принципиального значения. Дело в том, что в настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам. Символы 1, 2, 3, ..., которыми обычно обозначают натуральные числа, были выработаны, как мы уже знаем, на протяжении веков. На основе аксиом 1--4 можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе аксиомы 4 доказывается следующее предложение: если некоторая теорема Т, в формулировку которой входит натуральное число n, верна для n=1 и в предположении, что она верна для n, будет верна и для n+1, то Т верна для любого натурального числа. Это предложение, эквивалентное аксиоме 4, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии. Под индукцией (от латинского inductio -- наведение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.

Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике

Идея бесконечности возникла еще в глубокой древности в связи с представлениями о Вселенной. В философии под бесконечностью понимают отсутствие начала и конца во времени и в пространстве. Конечное и бесконечное -- это две категории, т. е. два основных понятия, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Вселенная, природа бесконечны. Бесконечная движущаяся материя существует в виде бесконечного многообразия взаимосвязанных конечных вещей. С понятием бесконечности в философии связано и математическое понятие бесконечности как одной из математических абстракций. Оно встречается уже на первых ступенях изучения арифметики, а именно когда речь идет о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, .... В геометрии мы сталкиваемся с понятием бесконечности, когда прямая мыслится как бесконечная прямая и т. п.

Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции, где ее развитие протекало в сотрудничестве с философией. Уже в VI в. до н. э. греческие философы разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного. Этими проблемами занимались представители милетской школы Анаксимандр (около 610--546 гг. до н. э.) в своем произведении «Апейрон» («Беспредельное»), Анаксимен (около 588гг. до н. э.) в сочинении «О природе». Такое же заглавие выбрал для одного из своих сочинений Анаксагор (около 500--428 гг. до н. э.), в котором он понятие бесконечности положил в основу своего мировоззрения. Анаксагор писал: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно». Эту мысль он дополнил, написав, что «всегда имеется нечто большее, чем то, что большое». Вот почему историки математики считают, что Анаксагор впервые ввел в математику понятие потенциально бесконечно малого и бесконечно большого, а это оказалось весьма существенным для дальнейшего развития математики. Но если Анаксагор и другие математики приписывали пространству только непрерывные свойства, то другие ученые создали представление о пространстве как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Последняя концепция отвечала, в частности, духу школы Пифагора, в которой развивалось учение о дискретных (т. е. прерывных) объектах, а именно о числах. Пифагорейцы долгое время считали возможным распространить свое учение о целочисленной основе всего существующего и на геометрические величины. Открытие несоизмеримости, которое явно показало различие между дискретной природой (рациональных) чисел и непрерывной природой геометрических величин, привело, как известно, к большим трудностям, связанным с понятием бесконечности, к настоящему кризису в обосновании математики.

С точки зрения диалектического материализма в объективном реальном мире дискретное и непрерывное, движение и покой находятся в диалектическом единстве. Но нельзя отобразить движение, не остановив его, т.е. не прибегая к покою -- его противоположности.

В настоящее время в основе изучения геометрии и математического анализа лежит понятие о вещественном числе. Множество вещественных чисел, как и множество точек прямой, обладает свойством непрерывности. Вещественным числом можно выразить отношение двух любых однородных величин. Однако, как известно, расширение понятия числа до вещественного и обоснование соответствующей теории были завершены только в XIX в.. Греки же, которые при открытии несоизмеримости имели представление лишь о дискретном множестве чисел (натуральных и в лучшем случае положительных рациональных), пошли в V--VI вв. по пути геометризации арифметики и строили общую теорию отношений, аналогичную нашей теории вещественных чисел, применяя ее к учению о подобии, к вопросам измерения площадей и объемов и вообще к исследованию непрерывных величин.

Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида (конец IV - III в. до н. э.). Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, b так, что отношение величин будет равно отношению отрезков а:b. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса (около 408 - около 355 до н. э.), или аксиомой Евдокса -- Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома которая является одной из аксиом непрерывности.

Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С, D, если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:

1) тА<пВ и тС<пD;

2) тА = пВ и тС = пD;

3) тА>пВ и тC>пD.

Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А:В и В:С -- значит найти отношение А:С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а:b и с:d, требуется предварительно найти отношение b:x, равное с:d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с, d, b четвертого пропорционального отрезка x. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом. Последний, возражавший против определения равенства отношений Евдокса, ссылался на следующий пример. Для чисел 4; 3 и 5; 4, т=6, п=9 имеет место неравенство

6·4<9·3 и 6·5<9·4,

но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4. Рамус не учел, что речь идет не об определенной одной паре или о конечном числе пар натуральных чисел т, п, а о произвольной паре. Достаточно в данном случае взять т=6, п=8, чтобы получить:

6·4=8·3,

в то время как 6·5<8·4.

Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда (1831-1916). И метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин, т. е. в конечном итоге на идее потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов, которым пользуемся и мы. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен ¹/₃ объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения.

В итоге можно сказать, что идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике главным образом в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросами измерения и исследования свойств геометрических фигур, рассматриваемых как непрерывные.

Понятие бесконечности развивалось в математике в тесной связи с решением конкретных математических задач и соответствующей разработкой математических методов (общая теория отношений, квадратура круга, метод исчерпывания и др.).

Широко использовал бесконечность в своих исследованиях и Архимед.

§1.2. История развития понятия функции.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон (1643-1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и
Лейбница (1646-1716) понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века).

Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (1629-1695) (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак (x), называя характеристикой функции, а также буквы x или ; Лейбниц употреблял x¹, x² вместо современных f₁(x) , f₂(x). Эйлер обозначил через f:x, f:(x+y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Наряду с Эйлер предлагает использовать буквы , и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, t, (t+s).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».

Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807-1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1721г., французский математик О. Коши (1789-1857) обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

Идея соответствия (19 век).

В 1855 году Н.И. Лобачевский (1792-1856), развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано (1781-1848).

Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое немецкому математику П.Л. Дирихле (1805-1859), неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «y есть функция переменной x (на отрезке axb), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» (x):

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества.

Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка a xb, о котором говорится в определении Дирихле.

Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам.

При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина «функция» в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Дальнейшее развитие понятия функции (20 век - ...).

Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака (1902-1984), крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер (1871-1941) и другие ученые опубликовали в 30-40 годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев (род. в 1908г.) первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.

§ 1.3. Различные современные подходы к определению понятия «функция».

Понятие функции часто встречается в школьном курсе математики и хорошо знакомо учащимся. Тем не менее на приемных экзаменах в вузах поступающие допускают много ошибок при использовании этого понятия. Объясняется это различными причинами, но в первую очередь тем, что слово «функция» используется в математике в нескольких смыслах, а в школьных учебниках это обстоятельство не разъяснено. Поэтому мы прежде всего обратимся к определению функции и другим относящимся сюда понятиям и подробно остановимся на тех различных пониманиях слова «функция», которые встречаются в школьном курсе математики.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции. Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В -- множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В, что и в
примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений--множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В. Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через О -- множество всех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К, (т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого круга. Мы получаем функцию с областью определения К и областью значений D.

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через О--множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a₁ и r и каждому натуральному числу п поставим в соответствие действительное число, равное п-му члену арифметической прогрессии с первым членом а, и разностью r (т. е. натуральному числу п поставим в соответствие действительное число a₁+(n-1)r ). Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений D.

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество D всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a₁ и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а₁+(х-1)r. Мы получаем функцию с областью определения D и областью значений D.

Заметим, что в примерах 4 и 5 одинакова область значений D и одинаково правило соответствия: формулы a₁+(n-1)r и а₁+(х-1)r показывают, что в обоих случаях надо над выбранным числом (n или х) проделать одни и те же действия, чтобы узнать, какое число поставлено ему в соответствие. Однако области определения этих двух функций различны, и потому мы имеем в примерах 4 и 5 разные функции. Таким образом, для задания функции мало указать правило соответствия, а надо еще обязательно указать область определения и область значений.

Для обозначения функций обычно пользуются буквами. Одна буква (чаще всего х) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области определения функции. Эта буква называется аргументом. Таким образом, если сказано, что х - аргумент некоторой функции, то вместо х мы можем подставить любой элемент, принадлежащий области определения этой функции. Далее, другая буква (чаще всего у) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области значений. Эта буква называется функцией (и это второе значение слова «функция»). Наконец, третья буква (чаще всего f) используется для обозначения правила соответствия. Это значит, что если а - произвольное значение аргумента (т. е. произвольный элемент, взятый из области определения функции), то элемент, поставленный ему в соответствие, обозначается через f(а). Элемент y = f(а) называется значением рассматриваемой функции при х=а.

Все три буквы х, у, f объединяются одной записью:

y=f(x) (1)

(«игрек равен эф от икс»), которая и означает, что х - аргумент,
у - функция, а f - правило соответствия. Иногда букву f или выражение f(х) также называют функцией (и это - уже третье значение слова «функция»).

Пример 6. Обратимся снова к функции, рассмотренной в примере 4. Аргумент обозначим через п, функцию - через у, а правило соответствия - через f. Таким образом, мы запишем эту функцию в виде у=f(n). Вот несколько значений этой функции:

f(1)=a₁, f(2)=a₂=a₁+r, f(3)=a₃=a₁+2r и т. д.

Разумеется, вместо букв х, у, f можно использовать и другие буквы. Например, запись s=t означает, что s есть функция аргумента t (или короче: s есть функция от t), причем правило соответствия обозначается буквой .

Следует подчеркнуть, что область значений функции представляет собой множество элементов (или чисел), среди которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой функции. Однако в области значений могут содержаться и «лишние» элементы, не являющиеся значениями функции. Иными словами, множество значений функции обязательно содержится в области значений, но не обязательно совпадает с ней. Так, в примере 3 значениями функции являются лишь положительные числа, тогда как область значений есть множество всех действительных чисел. Несовпадение множества значений функции и области значений можно видеть также в примере 4.

В заключение рассмотрим еще одно (четвертое!) понимание слово «функция», являющееся для школьного курса математики наиболее важным. Именно, функцией называют произвольное выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действий и числа. Например, функциями (в этом смысле) являются

y=x²+1, (2)

y=, (3)

y=|x-1|, (4)

y=, (5)

y=, (6)

y= (7)

Почему же такие формулы называют «функциями» и не противоречит ли это понимание функции сказанному выше? Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться:

Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать, что

за область значений принимается все множество D действительных чисел;

за область определения принимается множество всех тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия, указанные в правой части;

если число а принадлежит области определения, то значение функции при х=а равно числу, получающемуся, если в правую часть подставить х=а и произвести указанные действия.

Итак, задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия.

Пример 7. Найти область определения функций (2) и (3); определить, совпадают ли эти функции.

Решение. Действия, указанные в правой части равенства (2), выполнимы при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции (2) является все множество D действительных чисел (или, иначе, бесконечный интервал -<х<). Функция (3) определена для всех действительных чисел х, кроме х=0, т. е. область определения этой функции получается выбрасыванием (или, как еще говорят, «выкалыванием») из множества D точки х=0. Можно описать область определения функции (3) и иначе: она представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-, 0) и (0, ).

Заметим, что при любом х0 значения функций (2) и (3) совпадают. Тем не менее (2) и (3)--различные функции, так как их области определения не совпадают.

Пример 8. Найти области определения функций (5),

Решение. Функция (5) определена для всех значений аргумента, кроме х=-2. Таким образом, область определения этой функции получается выкалыванием из числовой оси точки х=-2; иначе говоря, эта область определения является объединением двух бесконечных интервалов (-, -2) и (-2, ).

Область определения функции (6) состоит из всех точек, для которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. эта область определения задается неравенством 1+х0, или х-1. Иначе говоря, область определения функции (6) представляет собой бесконечный полуинтервал [-1,). Концевая точка х=-1 этого полуинтервала принадлежит области определения .

Наконец, область определения функции (7) состоит из всех значений х, для которых подкоренное выражение в правой части равенства (7) неотрицательно. Но если это подкоренное выражение отлично от нуля, то оно непременно отрицательно. Значит, область определения функции (7) состоит лишь из тех точек х, для которых подкоренное выражение обращается в нуль. Это будет при х=-5, х=-1 и х=2. Таким образом, область определения функции (7) состоит лишь из трех точек: -5, -1 и 2.

Пример 9. Найти область определения функции где f(х)= и g(x)=.

Решение. Первое слагаемое f(х) определено при выполнении двух условий: 1) подкоренное выражение

Область определения функции f(x)

0 1 2

Область определения функции g(x),

0

Область определения функции f(x)+g(x).

0 1 2

Рис. 1.

неотрицательно, 2) знаменатель не обращается в нуль. Первое условие означает, что x второе условие означает, что х2. Таким образом, область определения функции f(х) представляет собой объединение полуинтервала [1,2) и бесконечного интервала (2,). Далее, второе слагаемое g(x) определено при 5-x²0, т.е. при -х. Иначе говоря, областью определения функции g(x) является отрезок [-,+].

Но для того, чтобы некоторая точка х=а принадлежала области определения функции у=f(х)+g(х), необходимо и достаточно, чтобы при х=а была определена и функция f(х), и функция g(х). Иными словами, область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой пересечение областей определения функций f(х) и g(х). Следовательно (рис. 1), область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой объединение полуинтервалов [1, 2) и (2, ].

§ 3.4. График функции.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у=f(х). Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции y=f(x).

Другими словами, график функции у=f(х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x).

Рис. 3.

Рис. 2.

На рис. 2 и 3 приведены графики функций у=2x+1 и у=х²-2х.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его куска, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х=а принадлежит области определения функции y=f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х=а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой x=а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции у=f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 4). Например, для функции f(х)=х²-2х

Рис. 4.

с помощью графика (рис. 3) находим f(-1)=3, f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=0 и т.д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 3 ясно, что функция y=х²-2х принимает положительные значения при х<0 и при x>2, отрицательные - при 0<х<2; наименьшее значение функция у=х²-2х принимает при х=1.

Для построения графика функции f(х) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению у=f(х). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, x₁, х₂, ..., х_k - и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции. Таблица выглядит следующим образом:

x	x1	x2	…	xk
y	f(x1)	f(x2)	…	f(xk)

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции у=f(х). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y=f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле, поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 10. Для построения графика функции y=f(х) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

x	-2	-1	0	1	2
y	-1	0	1	2	3

Соответствующие пять точек показаны на рис. 5. На основании расположения этих точек он сделал вывод,

Рис. 5.

что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 5 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. Простой пример иллюстрирует сказанное. Рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 6). Другим примером может служить функция y=x+1+sinx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Этот пример показывает, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен.

Рис. 6.

Поэтому для построения графика заданной функции, как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим в §4, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

§ 1.5. Основные свойства функции п.1.5.1. ограниченность

Теперь мы должны ознакомиться со свойством функций, которое является интегральным, т. е. может быть определено сразу для любого множества значений независимой переменной, не нуждаясь в предварительном определении для отдельных её значений (в отдельных точках). Функция у=f(х) называется ограниченной на множестве M, если все значения, принимаемые ею на этом множестве, принадлежат некоторому отрезку; очевидно, вместо этого мы можем предъявить и совершенно равносильное требование: существует такое положительное число с, что f(х)<с для всех хМ. Более детально, мы называем функцию у ограниченной сверху (снизу) на М, если существует такое число с, что f(х)<с (f(х)>с) для всех хМ. Функция просто ограниченная должна быть для этого, очевидно, ограничена как сверху, так и снизу.

Число с, о котором говорится в определении ограниченности, выбирается сразу для всего множества М. В каждой отдельной точке этого множества, если функция в ней определена, такое число с существует тривиальным образом: для точки х достаточно положить, например, с=|f(x)|+1. Но функция, определённая, например, в каждой точке некоторого отрезка, может быть и неограниченной в этом отрезке; чтобы в этом убедиться, вспомним, что tgх возрастает безгранично при х-0, так что функция

не ограничена в отрезке [0, ].

Как для многих интегральных свойств, можно, однако, и для ограниченности функции на данном отрезке указать такое локальное свойство, выполнение которого в каждой точке данного отрезка равносильно выполнению рассматриваемого интегрального свойства. Условимся называть функцию у ограниченной в точке х, если она ограничена в некоторой окрестности U числа х. Мы можем теперь утверждать, что для ограниченности функции у=f(х) на отрезке [а, b] (закрытом) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена в каждой точке этого отрезка. Необходимость этого условия вытекает из самих определений и не нуждается в доказательстве; чтобы, показать его достаточность, допустим, что каждое число х отрезка [а, b] может быть окружено окрестностью U_x, в которой функция у ограничена: применяя лемму Гейне-Бореля, мы находим, что отрезок [а, b] покрывается конечным числом отрезков = ₁, ₂, ..., _n) в каждом из которых у ограничена. Если |у|<С_i в отрезке _i (i=1, 2, ..., п) и если с есть наибольшее из чисел с₁, с₂, ..., с_n, то |у|<с для всех х[а, b], чем наше утверждение и доказано.