Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

Условимся называть множество чисел N ограниченным, если все входящие в него числа могут быть заключены в некоторый отрезок. Очевидно, что ограниченность функции у=f(х) на множестве М равносильна ограниченности множества N значений, принимаемых этой функцией, когда величина х «пробегает» множество М, т. е. принимает всевозможные значения, принадлежащие этому множеству. Само собою ясно, что означают термины «множество N ограничено сверху (или справа)» и «множество N ограничено снизу (или слева)».

Условимся называть число верхней гранью множества N, если: 1) множество N не содержит чисел, больших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее этому множеству. Подобным же образом нижней гранью множества N мы назовём такое число , что: 1) в множестве N нет чисел, меньших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее множеству N. Очевидно, что множество, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, ограничено сверху (снизу).

Пример 14. Доказать, что функция f(х)= не является ограниченной сверху.

Решение. Нужно доказать, что для любого числа b существует (хотя бы одно) значение х из области определения функции, для которого f(x)b, т.е. b.

Область определения функции представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-, 1) и (1,). Очевидно, что если b, то неравенство b выполняется, например, при х=0. Если же b>0, то неравенство b в области определения функции равносильно неравенству |х-1|,которое выполняется, например, при х=1+, что и требовалось доказать.

п.1.4.2. четность, нечетность

Функция у=f(х) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (т.е. если точка а принадлежит области определения, то точка -а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).

Функция у=f(х) называется нечетной, если:

область определения этой функции симметрична относительно точки 0;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=-f(-x).

Без труда проверяется, что функция y=|х| является четной. Точно так же функция у=х²ⁿ четна, а функция у=x²ⁿ⁺¹ нечетна (при любом целом п). Без труда проверяется также, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций снова являются четными функциями. Далее, сумма и разность двух нечетных функций являются нечетными функциями. Наконец, произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями, а произведение и частное четной и нечетной функций являются нечетными функциями

Из сказанного следует, например, что многочлен, у которого все показатели четны, является четной функцией, а многочлен, у которого все показатели нечетны, является нечетной функцией. Так, функция y=х⁴+2х²-1 четна, а функция х³-х⁵ нечетна.

Не следует думать, что всякая функция непременно является или четной или нечетной: существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.

Пример 15. Доказать, что функция f(х)=2х+1 не является ни четной, ни нечетной.

Решение. Областью определения этой функции является вся числовая ось, т. е. условие 1) в определении четной и нечетной функций выполнено. Чтобы доказать, что функция f(х), не является четной, мы должны поэтому доказать, что условие 2) в определении четной функции не выполнено, т. е. что существует (хотя бы одно) значение х, для которого f(x)f(-x). Возьмем x=1. Тогда f(1)=3, f(-1)=-1, т.е. f(1)f(-1). Таким образом, функция f(х) не является четной. Аналогично, так как f(1)-f(-1), то функция f(x)=2x+1 не является нечетной.

Четность или нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции. Именно, имеют место следующие две теоремы:

Теорема. График четной функции симметричен относительно оси у.

Доказательство. Пусть точка (x₀; y₀) принадлежит графику четной функции у=f(х), т.е. у₀=f(х₀). Точка, симметричная с точкой у=f(х) относительно оси у, имеет координаты (-х₀; у₀). Надо доказать, что точка (-x₀; y₀) принадлежит графику функции у=f(х), т.е. доказать, что y₀ =f(-х₀). Но это следует из определения четной функции: f(-х₀)=f(х₀)=y₀.

Теорема. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Замечание. Из этих теорем следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно оси у, т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно оси у. В частности, таким способом можно построить график функции y=f(|x|), так как функция f(|x|) является четной. Для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно точки (0; 0), т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно начала координат. (Заметим, что для осуществления симметрии некоторой кривой относительно начала координат можно поступить следующим образом: сначала данную кривую К симметрично отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую К' симметрично отразить относительно оси абсцисс, рис. 10)

п.1.4.3. монотонность

Функция у=f(х) называется неубывающей на отрезке [а, b], если при ах₁х₂b всегда f(x₁)f(x₂); если при том же условии всегда f(x₁)f(x₂), функция f(х) называется невозрастающей на отрезке [а,b]. Неубывающие и невозрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают целым рядом специальных свойств, которые делают их во многих случаях очень удобным орудием исследования.

Прежде всего всякая функция f(х), монотонная на данном, отрезке [а, b], ограничена на этом отрезке [как обычно, отрезок предполагается закрытым; для открытых отрезков утверждение неверно: функция у= монотонна, но не ограничена в открытом отрезке (0,1)]; в самом деле, при аxb f(х) заключено между f(a) и f(b); очевидно, далее, что гранями монотонной функции служат её значения f(а) и f(b) в концах данного отрезка; эти же числа служат наибольшим и наименьшим значениями монотонной функции f(х) в отрезке [а, b].

п.1.4.4. точки экстремума

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₁ максимум. В точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂ минимум. Аналогично для точки x₄.

Функция y=f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x?x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x₀).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x?x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x₀).

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x₁. В частности, f(x₁)<f(x₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Дx имеем f(x₀+Дx)<f(x₀), т.е. f(x₀+x)-f(x₀)<0. Но тогда при x<0, при x>0.

Переходя в этих неравенствах к пределу при Дx>0 и учитывая, что производная f '(x₀) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Дx>0, получаем: при Дx>0-0 f '(x₀)?0 а при Дx>0+0
f '(x₀)?0. Так как f '(x₀) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x₀)=0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную Функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует. Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем, что f '(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x0 функция имеет экстремум. Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x=x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

a. f '(x)>0 при x<x₀ и f '(x)<0 при x> x₀, то x₀ - точка максимума;

b. f '(x)<0 при x<x₀ и f '(x)>0 при x> x₀, то x₀ - точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀ f '(x)>0 для x< x₀, f '(x)<0 для x> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x)-f(x₀) = f '(c)(x-x₀), где c лежит между x и x₀.

1. Пусть x <x₀. Тогда c<x₀ и f '(c)>0. Поэтому f '(c)(x-x₀)<0 и, следовательно,

f(x) - f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

2. Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f '(c)<0. Значит f '(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) - f(x₀)<0, т.е. f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀ f(x)<f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть
f '(x₁)=0 и для любых x, достаточно близких к x₁, выполняются неравенства

f '(x)<0 при x< x₁, f '(x)>0 при x> x₁.

Тогда слева от точки x₁ функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x=x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x₂ и x₃.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим - самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x=a, x=b.

3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

п.1.4.5. непрерывность

Приступая к изучению функциональных зависимостей, мы должны, конечно, прежде всего с помощью целесообразной классификации внести хотя бы некоторый порядок в предстоящий нам многообразный мир. Первым таким классифицирующим и организующим принципом служит обычно (и с полным основанием) разделение всех функций на непрерывные и разрывные, причём математический анализ фактически имеет дело почти исключительно с непрерывными функциями, лишь в сравнительно редких случаях привлекая к рассмотрению и простейшие из разрывных. Непрерывные функции обладают целым рядом особых свойств, которых лишены, вообще говоря, функции разрывные; благодаря этим свойствам исследование и применение непрерывных функций весьма значительно облегчаются, так что изучение этих свойств становится для анализа чрезвычайно важным делом.

Мы говорим, что функция у=f(х) непрерывна при х=а (или, короче, в точке а), если f(х)=f(а), или, что в силу определения понятия предела равносильно тому же, если для любой окрестности V числа f(а) найдётся такая окрестность U числа а, что для любого хU мы имеем f(х)V. Таким образом, для непрерывности функции в точке а требуется, во-первых, существование предела f(х) и, во-вторых, совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает при х=а. Само собой разумеется, что второе из первого ещё не вытекает, как показывает пример функции

(3)

По поводу этого определения надо прежде всего заметить, что так понимаемая непрерывность есть локальное (местное) свойство функции, т. е. такое свойство, которым функция может обладать в одной точке и не обладать в другой; так, функция (3) разрывна (т. е. не непрерывна) при х=0 и непрерывна при любом другом значении х; это - очень важное обстоятельство, которое никогда не надо упускать из вида.

Далее, мы называем, функцию непрерывной в данном отрезке [а,b], если она в вышеприведённом смысле непрерывна в каждой точке этого отрезка; при этом в точке а требуется лишь непрерывность справа, т, е. соотношение f(х)=f(а), а в точке b - непрерывность слева, определяемая аналогичным соотношением, которое Вы напишете сами (если имеется в виду открытый отрезок (а, b), то, разумеется, в точках а и b от функции ничего не требуется). Заметим кстати, что математики давно уже пользуются очень удобным обозначением

f(a)=f(a+0), ,

с помощью которого определение непрерывности функции f(x) в точке а можно записать посредством весьма простого соотношения

f(a+0)=f(a-0)=f(a);

это обозначение не может привести ни к каким смешениям, если только помнить, что f(а+0) и f(а-0) представляют собой не значения функции f(х) в каких-либо точках, а пределы таких значений при некоторых определённых изменениях величины х.

п.1.4.6. периодичность

Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое число Т>0, что для, каждого значения х из области определения этой функции значения х+Т и х-Т также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x+Т)=f(x). При этом число Т называется периодом функции y=f(x). Из этого определения следует, что

f(х+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),

f(х+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x),

f(x)=f[(x-T)+T]=f(x-T)

и т. д. Отсюда, используя метод математической индукции,

Рис. 12

получаем, что для любого п = 0, 1, 2, …, выполняется равенство f(х+пТ)=f(х), Таким образом, каждое из чисел nТ (п=1,2,3,…) также является периодом функции f(х).

Мы предполагаем, что читатель хорошо знаком с периодическими функциями sinx, соsx и tgх.

Пример 16. Доказать, что функция является периодической с периодом 2.

Решение. Область определения рассматриваемой Функции получается выбрасыванием из числовой оси тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. точек -+2k (k-целое). Отсюда видно, что если точка х принадлежит области определения рассматриваемой функции f(x), то точки x+2 и x-2 также принадлежат этой области определения. Остается проверить, что выполнено равенство f(x+2)=f(x). Мы имеем

f(x+2)=

Пример 17. Доказать, что функция f(х)=|sinх| является периодической с периодом .

Решение. Область определения функции f(х)=|sinх| вся числовая ось. Поэтому для любого k точки х+ и х- принадлежат области определения. Остается проверить, что выполнено равенство f(х+)=f(х). Мы имеем f(х+)=|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx|=f(x).

Глава II. Изучение основных элементарных функций в школьном курсе математики.

В результате изучения курса математики учащиеся должны:

§ понимать, что функция - это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

§ правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее в тексте, в речи учителя, в формулировке задач;

§ находить значения функции, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу;

§ находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения;

§ строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции;

§ интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции.

§2.1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа. Такое определение дает Ю.Н. Макарычев и др. в своем учебнике по алгебре в 7 классе, в параграфе 13.

И только после этого в следующем параграфе дается определение прямой пропорциональности. Перед тем как ввести определение предлагается задача об объеме железного бруска. Зависимость массы железного бруска от его объема является примером функции, которая задается формулой вида у=kх. И только затем дается определение. Обращается внимание на то, что прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула у=kх получается из формулы y=kx+b при b=0 и для того, чтобы построить график прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Целый параграф в данном учебнике отводится на изучение взаимного расположения графиков линейных функций. Графики двух линейных функций, заданных формулами вида y=kx+b, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

В отличие от учебника Ю.Н. Макарычева и др, в учебнике Ш. А. Алимова и др. понятие прямой пропорциональности вводится раньше линейной функции. Школьникам предлагается найти площадь треугольника, основание которого равно 3, а высота х. пусть искомая площадь будет у. Тогда ответ можно записать у=3х. если же основание треугольника равно k, тогда зависимость между высотой х и площадью у выражается формулой у=kх. Все первоначальные сведения о линейной функции вводятся на примере его частного случая у=kх. В отличии от Ю.Н. Макарычева и др, школьников уже в 7 классе знакомят с понятием обратной пропорциональности. Как пример приводится зависимость скорости от времени. Говорится о том, что плотность вещества при постоянной массе обратно пропорциональна его объему.

И только в следующем параграфе дается определение линейной функции в общем виде. Школьникам объясняется, что график функции y=kx+b получается сдвигом графика функции y=kx на b единиц вдоль оси ординат. Графики данных функций параллельны.

В учебнике А.Г. Мордковича понятие «Линейная функция» вводится совсем иначе. Поскольку определение функции будет дано только в 9 классе, изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция» - первой темы, связанной с понятием функции. Первой (в §28) изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными». Рассматриваются задания следующего типа:

- найти какое либо решение уравнения 2х+3у=5;

- найти решение уравнения 2х+3у=5, зная, что х=2, зная что у=0, и т.п.;

- построить график уравнения х+у=3 и с помощью графика узнать несколько решений этого уравнения.

Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y=kx+b, для которого употребляется термин «линейная функция». Позднее им сообщается, что существуют и другие функции, например у=х² (ее изучению посвящена глава 7).

В учебнике вводятся теоремы без доказательства, например:

Теорема 2. Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.

Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности y=kx.

§2.2. Квадратичная функция.

С квадратичной функцией учащиеся в учебниках Ш.А. Алимова впервые сталкиваются в 8 классе.

В §35 учащиеся знакомятся с определением квадратичной функции. Даются примеры из жизни, где имеет место быть квадратичная функция. Например, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции y=x².

В §36 предлагается рассмотреть функцию y=x², т.е. квадратичную функцию y=ax²+bx+c при, а=1, b=0, с=0.

Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x² называется параболой.

После чего выясняются некоторые свойства функции y=x².

В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax². Сравнивается графики функций y=ax² и y=x². Говорят, что график функции y=аx² получается растяжением графика функции y=x² от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.

Рассматриваются свойства функции y=ax², где а0

1) если а0, то функция y=ax² принимает положительные значения при х0;

если а0, то функция y=ax² принимает отрицательные значения при х0;

2) Парабола y=ax² симметрична относительно оси ординат;

3) Если а0, то функция y=ax² возрастает при х0 убывает и при х0;

Если а0, то функция y=ax² убывает при х0 и возрастает при х0.

В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)²+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х². Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.

В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax²+bx+c:

1. Построить вершину параболы (х₀, у₀), вычислив х₀, у₀ по формулам .

2. Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х₀ (х₀ 0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х₀ (ординаты этих точек равны с)

5. Провести через построенные точки параболу.

При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.

В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.

В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x² учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе. Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.

Дальнейшее же знакомство с квадратичной функцией происходит только в 9 классе.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а0 - так начинается §3 в данном учебнике.

Изучение квадратичной функции начинают с частного случая - функции y=ax².

При а=1 формула y=ax² принимает вид y=x². С этой формулой учащиеся уже встречались в 7 классе. В отличии от учебника Ш. А. Алимова формулируется 5 свойств. Добавляется свойство, что график функции проходит через начало координат, и свойство о наибольшем и наименьшем значении.

В следующем пункте рассматриваются графики функции у=ах²+п и у=а(х-т)². Учащимся предлагается выяснить, что представляют собой графики данных функций.

И наконец в последнем пункте данной темы рассматривется построение графика квадратичной функции. Здесь предлагается алгоритм построения квадратичной функции, состоящий из трех пунктов:

Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

Соединить отмеченные точки плавной линией.

В учебнике Мордковича функция y=x² вводится в седьмом классе:

во-первых, для того чтобы школьник, целый год изучавший курс алгебры, не закончил год с убеждением, что в природе существуют только линейные функции; надо приоткрыть двери в дальнейшие разделы математики;

во-вторых, эта функция помогает более глубокому изучению линейной функции.

В результате в 7 классе учащиеся знакомятся с графиком и свойствами функции y=x², учатся графически решать уравнения.

Дальнейшее знакомство с данной функцией происходит в 8 классе. Так, в §12 приведены два алгоритма построения графика функции у=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).

В §13, где идет речь о построении графика квадратичной функции, делается акцент не на отыскании координат вершины параболы, служащей графиком функции y=ax²+bx+c, а на отыскании уравнения оси симметрии параболы . Во - первых, построение оси параболы само по себе значимо с геометрической точки зрения: наличие оси параболы дает учащимся возможность найти одну- две пары симметричных относительно оси точек параболы, которые используются как контрольные точки для более точного эскиза графика. Во - вторых, зная уравнение оси х=х₀, ученик сможет найти ординату вершины параболы по формуле у₀=f(х₀), более важной, не мой взгляд, для понимания сути дела, чем требующая специального запоминания формула .

§2.3. Обратная пропорциональность.

В учебниках Алимова функция у= вводится только в 9 классе. § 15 начинается с задачи: построить график функции у=. Построение осуществляется с помощью свойств функции. После данной задачи, говорится что у= - гипербола.

Во второй задаче предлагается построить график функции у=, при k=2 и k=-2. Данная задача позволяет сравнить графики функций обратной пропорциональности с разными знаками. В результате дается определение гиперболы в общем случае и даются ее свойства.

В конце параграфа приводится пример из жизни, где встречается данная функция. Говорится, что функция у= при k>0 выражает обратную пропорциональную зависимость между х и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике и т.д.

Например, при равномерном движении по окружности с постоянной скоростью v тело движется с центростремительным ускорением а, равным , где r - радиус окружности, т.е. в этом случае ускорение обратно пропорционально радиусу окружности.

Учащимся предстоит овладеть такими свойствами, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.

В учебнике Макарычева данная функция вводится в 8 классе. На изучение данной функции отводится только § 8 из третьей главы. Параграф начинается с примера о площади прямоугольника, благодаря чему учащихся подводят к определению обратной пропорциональности. Далее приводится пример построения графика функции при k0. Обращается внимание на то, что при х=0 выражение смысла не имеет. Затем для сравнения строится второй график при k отрицательном. И в конце параграфа дается определение графика обратной функции.

В учебниках мордковича обратная функция изучается в 8 классе вместе с функцией y=x². И вводится точно так же как в учебнике Макарычева.

§2.4. Степенная функция.

В учебниках Алимова со степенной функцией ученики встречаются в 9 классе.

С функциями у=х и у=х² учащиеся познакомились, и им объясняется что эти функции - частный случай степенной функции у=х^r, где r -заданное число (причем как целое, так и дробное). После чего формулируются свойства данной функции в зависимости r, которое может быть как положительным, так и отрицательным.

В учебниках Макарычева с функцией у=х^r учащиеся сталкиваются тоже только в 9 классе, В §22 рассматривается только натуральный показатель. При формулировке свойств, берется два случая, когда показатель степени четный и когда нечетный.

С дробным показателем рассматривается единственная функция в 8 классе у=. Вводится она на примере площади, что для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой а=. Далее строится график данной функции, с помощью таблицы. И в конце параграфа формулируются некоторые свойства функции.

В учебниках Мордковича функция у= вводится в 8 классе, на основе функции затем даются свойства квадратных корней. То есть, то, что в 8 классе учащихся знакомят с данной функцией обосновано методически.

Знакомство же со степенной функцией происходит лишь в 11 классе. Первой функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится . Ей посвящен §40. Дело в том, что в предыдущем параграфе введен п-ый корень из действительного числа, следовательно, необходимо подумать о графике и свойствах функции . Параграф начинается с рассмотрения уже известной функции когда п=2. На основе сравнения графика данной функции с графиком функции у=х² вводится понятие симметричной функции. Формулируется теорема:

Точки М(а;ь) и Р(ь;а) симметричны относительно прямой у=х.

После чего идет доказательство теоремы..

Формулируются свойства функции . В учебниках Мордковича помимо тех свойств, которые изучаются у Алимова и Макарычева, рассматривается выпуклость и вогнутость графика функции.

И наконец, §44 посвящен уже степенной функции вида у=х^r, где r - любое действительное число. Основная цель этого параграфа - добиться того, чтобы учащиеся четко представляли себе эскиз графика степенной функции у=х^r для любого рационального показателя r и знали свойства степенной функции.

При формулировке свойств рассматривается три случая: степень больше единицы, степень больше нуля, но меньше единицы и отрицательная степень.

В этом же параграфе идет речь о дифференцировании и интегрировании степенной функции. Повторяется материал 10 класса: составление уравнения касательной, исследование функций на монотонность и экстремумы, построение графиков функций, отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной, вычисление площади плоских фигур.

§2.5. Показательная функция.

В 10 классе в учебнике Алимова рассматривается показательная функция. Основная цель -познакомить с многообразием свойств и графиков показательной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени.

Первое с чем знакомятся ученики на уроках математики - это свойства показательной функции и ее графиком. На ее изучение отводится один параграф, который начинается с повторения свойств степеней. После чего вводится определение показательной функции. Далее рассматриваются основные свойства показательной функции. Свойства монотонности обосновываются аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов. В учебнике приводится в пример формула радиоактивного распада , где m(t) и m_o - масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t=0, T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшится вдвое). Так же рассказывается, что с помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения.

В учебниках Колмогорова показательная функция изучается в 11 классе. Прежде чем ввести понятие показательной функции f(x)=a^x, где х принимает любые значения из множества действительных чисел, проводится подготовительная работа. Начинается со знакомства учащихся с функцией f(x)=a^x, область определения которой - множество рациональных чисел. Для каждого положительного числа а можно найти значение выражения ( - любое рациональное число). Таким образом, любому числу х из множества Q соответствует действительное число a^x. На странице 179-180 учебника после определения показательной функции помещен материал, адресованный учащимся, проявляющим повышенный интерес к занятиям математикой. В нем описана схема доказательства существования значения показательной функции для любого иррационального х (следовательно, и самой функции).

В учебнике Мордковича учащиеся впервые сталкиваются с понятием показательной функции уже в 9 классе, на примере формулы п-го члена геометрической прогрессии. Следующая встреча с данной функцией у учащихся происходит только в 11 классе. В §45 сначала рассматривается функция у=2^х, хQ. При рассмотрении свойств у=2^х отмечается, что это возрастающая функция, неограниченная сверху и ограниченная снизу, не имеющая ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Кроме того, рассматривается функция у=2^х при х=. Доказывается, что при вычислении получается конкретное число. То есть в учебнике Мордковича рассматриваются функции не только с рациональным показателем, но и действительным.

При формулировке общих свойств графика функции, рассматриваются два случая, когда основание целое число и дробное число большее нуля, но меньшее единицы. И только после этого вводится определение показательной функции.

Кроме того, в учебнике Мордковича изучается горизонтальная асимптота графика функции, и способ ее отыскания.

В учебнике обращается внимание на то, что учащиеся иногда путают понятия показательной функции и стенной. Предлагается сравнить данные функции. Далее автор не забывает упомянуть функцию . Говорится, что данная функция не считается ни показательной, ни степенной, но ее иногда называют показательно- степенной.

Во втором замечании автор говорит, что не рассматривается показательная функция с основанием а=1.

§2.6. Логарифмическая функция.

В учебнике Алимова с логарифмической функцией учащиеся впервые сталкиваются в 10 классе.

Основная цель - познакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.

До введения понятия логарифмической функции формируется понятие логарифма числа, изучаются свойства логарифмов.

§6 начинается с определения логарифмической функции. После чего формулируются свойства данной функции. Аналитическое обоснование свойств функции от всех учащихся не требуется.

В конце параграфа дается теорема:

если log_ax₁=log_ax₂, где a>0, a1, x₁>0, x₂>0 то x₁=x₂.

В учебнике Колмогорова логарифмическая функция вводится 11 классе. Логарифмическая функция, как и показательная, не может впервые вводится с помощью формулы (как это делается в учебнике Алимова). Причина этого в том, что в курсе алгебры еще не введено понятие логарифма числа. Поэтому функция вводит, как обратную к показательной функции f(x)=a^x , хR. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. (Причем у Алимова понятие обратной функции вводится после введения логарифмической функции.) В отличии от учебника Алимова у Колмогорова не сформулировано свойство о положительных и отрицательных значениях х.

В учебнике Мордковича понятие логарифма в §48 вводится при помощи графических соображений. Предлагается одновременно рассмотреть две функции и . Делается наблюдение, что данные графики симметричны относительно прямой у=х. После чего дается определение логарифмической кривой.

При формулировке свойств рассматривается два случая, когда основание больше 1 и когда основание больше нуля, но меньше единицы. Кроме тех свойств, которые перечислены в учебниках Алимова и Мордковича здесь рассматриваются свойства выпуклости, непрерывности, ограниченности, четности, наибольшего или наименьшего занчения.

§2.7. Тригонометрические функции.

В 11 классе в учебнике Алимова изучаются свойства и графики функций y=cosx, y=sinx, y=tgx. Обратные тригонометрические функции.

Основная цель - изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики.

Первой тригонометрической функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится функция y=cosx, в §19.

Изучение данных функций начинается с повторения определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла которые были введены в 9 классе.

Так как функция y=cosx периодична с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2. Кроме того достаточно построить ее график на отрезке 0х, а затем симметрично отразить относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, доказывается, что функция y=cosx убывает на отрезке 0х. Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую прямую.

После построения формулируются основные свойства функции y=cosx.

В §20 вводится функция y=sinx. Для построения функции используют формулу:

.

Эта формула показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на

Затем формулируются свойства функции y=sinx.

В §21 изучается функция y=tgx.

Построение графика функции тангенс, как и косинус, начинается с исследования. Сначала график строится на промежутке , а затем распространяется на всю числовую прямую. Для этого доказывается, что функция y=tgx возрастает на промежутке . Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на всю числовую прямую.

После чего формулируются свойства функции y=tgx.

В учебнике Колмогорова все тригонометрические функции вводятся в одном параграфе, который начинается с основных тригонометрических определений. Данные определения не являются новыми для учеников - это повторение материала 9 класса. После этого происходит построение графика функции y=sinx по точкам с использованием свойств периодичности и единичной окружности.

По графику демонстрируются свойства данной функции: ее область определения, область значения, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки постоянных знаков функции. Аналогично рассматриваются свойства функции y=cosx и y=tgx и на графиках этих функций демонстрируются их свойства.

В 9 классе в учебнике Мордковича предлагаются элементы теории тригонометрических функций. Эта глава рассматривается, как дополнительный материал. Весь этот материал повторен и расширен в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.

В начале 10 класса учащиеся подробно изучают данный материал. На изучение данного материала отводится 15 параграфов, а по времени - 18 часов.

В §1 и в §2 учащиеся знакомятся с числовой окружностью и с определением тригонометрических функций. Автор выделяет числовую окружность в качестве самостоятельного объекта изучения. Школьникам напоминается материал о вычислении длин дуг окружностей.

Числовая окружность на плоскости рассматривается в §3.

Для изучения числовой окружности автор предлагает игровые моменты.

Изучение самих функций начинается только с 9 параграфа. Перед этим вводятся определения синуса, косинуса , тангенса и котангенса. Первой функцией предлагается y=sinx. Параграф начинается с формулирования свойств функции. После чего предлагается построить график данной функции на отрезке [0; . Затем добавляют к построенному графику симметричную ему относительно начала координат линию. Получили график на отрезке [; . Далее предлагается построить график функции на отрезке [; 3. В результате получили то же самое, что и на отрезке [; .