В следующем параграфе предлагается к рассмотрению функцию y=cosx. Ее график получается из графика функции y=sinx сдвигом на в лево. После чего рассматриваются свойства функции.

В §15 учащимся предлагается функция y=tgx и y=сtgx. Отмечаются их свойства. Графики строятся так же как в учебниках Алимова.

Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.

Известно, что методы высшей математики позволяют строить любой график. Однако знаний тех элементов высшей математики, которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно. С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма интересных может быть построено средствами исключительно элементарной математики. Наиболее трудные из этих графиков требуют для своего построения хорошего знания многих разделов элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих знаний. Построение графиков средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разделам элементарной математики.

§3.1. Параллельный перенос.

п 3.1.1 Сдвиг оси х-ов.

Разобьем этот прием на примере построения графика функции

График этой функции можно построить, пользуясь общими приемами:

1) область существования: (-;), т.е. вся числовая ось;

2) область изменения функции - полуоткрытый интервал 1у;

3) функция четная;

4) при х=0 у=1, т.е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0;1); в этой точке функция имеет минимум, так как х² =0, откуда у1;

Рис.13. Рис.14.

5) контрольная точка: при х=2 у=4+1=5; точка (2; 5).

По этим данным график функции построен на рис. 13.

Тот же график можно построить проще, воспользовавшись уже известным нам графиком функции у=х². Для этого наносим штриховой линией график функции у=х² (рис. 14), назовем его исходным графиком.

Сравнивая графики функций у=х²+1 и у=х², видим, что ординаты у графика заданной функции на 1 больше ординат исходного графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх, как это и сделано на рисунке 14.

График функции у=х²+1 можно построить еще проще, если воспользоваться тем же исходным графиком (y=x²), но вместо перенесения всей кривой вверх на 1 перенести ось х-ов на ту же 1 вниз, как показано на рисунке 15. Тем самым относительно новой оси х-ов все ординаты

кривой у=х² увеличиваются на 1 и получается график заданной функции у=х²+1.

Следовательно, график функции y=f(x)+b, где f(x) - простейшая функция, график которой нам известен, можно построить следующим простейшим приемом (рис. 15).

Строится известный нам график функции у=f(х), причем горизонтальная ось вычерчивается штриховой линией. Затем она сдвигается на (-b). Это и есть истинная ось х-ов; первоначальную же горизонтальную ось, нанесенную штриховой линией, можно стереть.

Например, для построения графика функции у=f(x)+3 горизонтальная штриховая ось графика функции у=f(x) сдвигается на 3 единицы вниз, т. е. на (-3); для построения графика функции y=f(x)-3 горизонтальная штриховая ось сдвигается на (+3), т. е. на 3 единицы вверх.

п 3.1.2. Сдвиг оси у-oв

Разберем этот прием на примере построения графика функции

y=(x+1)².

Общий метод построения графика:

область существования -- вся числовая ось;

область изменения функции - полуоткрытый интервал 0у<;

функция не обладает свойствами четности и нечетности;

при у=0 (х+1)²=0, или х+1=0, откуда х=-1, т. е. кривая пересекает ось х-ов в точке (-1; 0);

при х=0 у=1, т. е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0; 1);

контрольные точки:

x=2; у=(2+1)²=9; точка (2; 9);

x=-3; у=(-3+1)²=4; точка (-3; 4).

По этим данным график функции построен на рисунке 17.

Другой способ построения графика функции у=(х+1)² показан на рисунке 18.

Вначале строится (штриховой лини ей) график исходной функции y=х².

Далее замечаем, что каждая ордината графика функции y=(х+1)² равна той ординате исходного графика, которая соответствует абсциссе х+1, т.е. на 1 большей, нежели действительная абсцисса исходного графика.

Например, при х=1 у=(х+1)²=2²=4, т. е. при х=1 надо отложить по оси у-ов не 1², а 2²=4, т. е. (1+l)². Эта ордината точки А исходного графика соответствует абсциссе х=2, а для графика заданной функции она соответствует абсциссе х=1, следовательно, точку А надо сдвинуть по оси х-ов на (-1), в точку А₁. Таким же образом и в с е точки исходного графика должны быть сдвинуты по оси х-ов на (-1), т. е. весь график исходной функция должен быть сдвинут влево на 1, что сделано на рисунке 18.

Проще вместо перенесения всей кривой на 1 влево сдвинуть ось у-ов на 1 вправо, как это показано на рисунке 19.

Таким образом, график функции y=f(x+a), где f(x)- простейшая функция, график которой нам известен, строится так (рис. 20).

Наносится график функции у=f(x), причем вертикальная ось у-ов вычерчивается штриховой линией. Затем эта вертикальная ось сдвигается на (+а). Это и будет истинная ось у-ов; первоначальную вертикальную ось можно затем стереть.

Рис 19 Рис 20

Например, для построения графика функции y=f(x+3) вертикальная ось графика функции f(x) сдвигается на 3 единицы вправо, т. е. на (+3); для построения графика функции y=f(x-3) вертикальная ось сдвигается на 3 единицы влево, т. е. на (-3).

Примечание. 1. Необходимо иметь в виду, что сдвиг оси у-ов надо производить на величину «добавка» к положительному значению аргумента х, так что если задана функция y = f(-х+а), то ее надо сначала преобразовать в функцию y=f[-(х-а)] и принять за исходную функцию
f(-х), а затем сдвинуть ось у-ов на (-а), т. е. на добавок к (+x).

Пример. у=(-х+1)².

Преобразуем: у=[-(x-l)]²=(x-1)².

Приняв за исходную функцию у=х², как и при построении графика функции у=(х+1)² (рис. 19), сдвигаем ось у-ов на (-1), т. е. на добавок к (+х) (рис. 21), а не на (+1), как на рисунке 19.

Для построения графика функции у=(-х+1)³ следует, преобразовав ее в функцию у=[-(х-1)]³, принять за исходный график заданной функции у=(-х)³=-х³ и сдвинуть ось у-ов на (-1).

Примечание 2. Если требуется построить график функции у=f(x+а)+b (рис. 22), то сначала строится график функции у=f(х), причем обе оси наносятся штриховыми линиями. Затем горизонтальная ось сдвигается на (-b), т.е. в сторону, обратную знаку добавка к функции, вертикальная ось сдвигается на (+а), т.е. в сторону знака добавка к аргументу.

Если имеется добавок только к функции или только к аргументу, то при построении исходного графика можно также обе оси координат нанести штриховыми линиями; затем одну из них сдвинуть, а другую обвести сплошной линией.

Рис. 21. Рис. 22.

§ 3.2. Растяжение и сжатие графика.

п.3.2.1. По оси х-ов.

Этот прием чаще применяется при построении графиков тригонометрических функций. Поэтому разберем его на двух примерах графиков тригонометрических функций.

1-й пример (на растяжение).

y=sinх

Общий метод построения графика:

область существования - вся числовая ось;

область изменения функции: -1у1;

функция нечетная, периодическая; период функции найдем из равенства

sin=sin(+2)=sin(); =4.

Следовательно, достаточно построить часть графика для половины периода 0х2;

4) характерные точки:

а) при у=0 sinх=0, откуда х=, или х=, т.е. кривая пересекает ось х-ов в точках (0; 0) и (2; 0);

б) максимум функции равен 1 при х=, т.е. при х=.

По этим данным на рисунке 23 построен график заданной функции; сначала график строился для положительного полупериода (утолщенная часть графика), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду, построена косо симметричная кривая (тонкая линия) и, наконец, на остальном протяжении кривая изображена штриховой линией.

График функции y=sinx можно построить проще, приняв за исходный известный нам график функции y=sinx, нанесенный штриховой

линией на рисунке 24. Замечаем, что период исходной функции y=sinx ₀=2, а период заданной функции y=sinx =4,

Рис. 23

т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 24) путем растяжения его по оси х-ов вдвое.

Рис. 24

2-й пример (на сжатие).

y=sin3x.

Общий метод построения графика тот же, что и в примере первом:

1-й и 2-й пункты исследования те же;

3) период функции находится из равенства

sin3x=sin(3x+2)=sin3(x+),

откуда период =, полупериод ;

4) характерные точки:

а) при у=0 sin3x=0, откуда 3х=, х=, т. е. кривая пересекает ось
х-ов в точках (0; 0) и (; 0);

б) максимум функции равен 1 при 3х=, т.е. при х=.

По этим данным график построен на рисунке 25 в той же последовательности, как и предыдущий график.

Рис. 25.

График функции у=sin3x проще построить методом сжатия по ocи x-ов исходного графика y=sinx в 3 раза (рис. 26), так как период ; заданной функции в 3 раза меньше периода 2 исходной функции.

Рис. 26.

Таким образом, график функции y=f(nx), если известен график функции y=f(x), с строится посредством сжатия по оси х-ов этого исходного графика пропорционально коэффициенту п при аргументе, а именно:

если п>1, то сжатие в п раз;

если 0<п<1, то растяжение в раз.

п.3.2.2 По оси у-ов

1-й пример (на растяжение).

у=2sinx.

Строить этот график методом полного исследования функции нецелесообразно. Отчетливо видно, что ординаты графика в 2 раза больше ординат исходного трафика y=sinx. Поэтому график заданной функции строится путем удвоения всех ординат исходного графика, т.е. путем растяжения исходного графика по оси у-ов 2 раза (рис. 27).

2-й пример (на сжатие).

у=sinх.

По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. сжатием исходного графика по оси у-ов в 3 раза, что сделано на том же рисунке 27.

Рис. 86.

Таким образом, график функции y=mf(x), если известен график y=f(x), строится посредством растяжения по оси у-ов исходного графика пропорционально коэффициенту т при функции, а именно:

если т>1, то растяжение в т раз;

если 0<т<1, то сжатие в раз.

Примечание 1. Если требуется построить график функции y=mf(nx), то сначала строится штриховой линией график исходной функции у=f(х), а затем этот исходный график сжимается по оси х-ов в п раз и растягивается по оси у-ов в т раз.

Примечание 2. На графиках, разобранных в этой главе, все исходные штриховые линии (первоначальные оси координат, сдвинутые в дальнейшем, и исходные графики) можно стереть или перечеркнуть по окончании всех построений.

§3.3. Отражение.

График функции y=-f(x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси х (рис. 28)

График функции y=f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси у (рис. 29)

Рис. 28. Рис. 29.

1. Построить график функции если дан график функции y=f(x).(рис. 30, а)

Рис. 30

Последовательно строим сначала графики функций у=2f(x),
у=-2f(x), у=-2f(-x) (рис 30, а), а затем графики функции и (рис. 30, б)

Рис. 30

§3.4. График суммы и разности двух функций.

Наиболее общий метод построения графиков суммы или разности двух функций заключается в том, что предварительно строятся (штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входящих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых с осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кривых и т.д.). По полученным точкам строится искомый график и производится проверка несколькими контрольными точками.

Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум или минимум), то нахождение точки экстремума средствами элементарной математики возможно только при наличии каких-либо специальных средств заданной функции.

Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности функций:

а) Если дана сумма функций, то строится график одной из них, более простой (например, линейной функции); затем к ней пристраивается график второй функции, ординаты которых откладываются от соответствующих точек первого графика.

б) Если задана разность функций, то строится (штриховой линией) график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вычитаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вычертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обратным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и вычитаемой с обратным знаком) сложить.

в) Сумма или разность двух функций преобразовывается в одну функцию, если это возможно и если вычерчивание графика такой функции проще.

г) Построение графика алгебраической суммы функций упрощается, если использовать свойства четности, нечетности, периодичности и т.д.

Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие как общий прием, так и упомянутые упрощающие приемы построения графиков суммы и разности двух функций.

1. у=х-sinx (рис. 31).

Рис. 31.

Имеем две функции: y₁=x и у₂=-sinx.

Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х-ов) откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построения параллельно прямой у₁=х проведены две вспомогательные прямые: у=х+1 и у=x-1 На этих прямых находятся вершины синусоиды.

2. y=x+tgx (рис. 32).

Построение аналогично построению предыдущего графика.

3. y=x+lgx (рис. 33).

Строится прямая y₁=x.

Характерные точки графика:

при х=1 y₁=l; y=l+lgl=l; точка А(1;1);

при х=10 y₁=10; y=10+lgl0=ll; точка В(10;11).

Из чертежа можно видеть, что область существования заданной функции (0; ), т. е. та же, что и для второго слагаемого у₂=lgx.

4. у=х-arcsinx (рис. 34).

Заданная функция нечетная, так как

(-х)-arcsin(-х)=-х+arcsin х=-(x- arcsin x).

Поэтому построение можно выполнить только для правой части графика (при х 0).

Строим два вспомогательных графика:

y₁=x и у₂=arcsinx.

Ординаты искомого графика представляют собой разность: у₁-у₂. Характерные точки:

1) х=0, у₁=0; у₂=0; у=0; точка (0; 0);

рис. 33

2) х=1 (граничная точка), у₁=1, y₂=arcsin1=, у=-1-0,57; точка (1;-0,57);

3) х=0,5, у₁=0,5, у₂=arcsin0,5=0,52;
у=-0,02; точка (0,5;-0,02).

Левая часть графика построена косо симметрично правой.

Из рисунка видно, что область существования заданной функции та же, что для

Рис. 34 второго слагаемого, т. е. для функции y₂=arcsinх - сегмент [-1; 1].

5. y=arcctgx-x (рис. 35).

Строим вспомогательные графики:

у₁=arcctgх и у₂=-х.

Ординаты обоих графиков складываются. Замечаем, что прямая у₂=-х является асимптотой заданной кривой. Вторая асимптота

Рис. 35

имеет уравнение: у₃=-х. Характерная точка: при х=0 y=arcctg0=; точка (0; ). Далее, =+?=?.

6. y=sin(arcsinx)-х (рис. 36).

Рис. 36. Рис. 37.

Область существования [-1; 1] заданной функции совпадает с областью существования функции y₁=sin(arcsinx). В этой области y₁=sin(arcsinx)=x, также и у₂=х.

Следовательно, у=у₁-у₂=0

Рис. 38.

График функции - отрезок оси х-ов в пределах [-1; +1].

7. y=х-ctg(arcctgх) (рис. 37).

Рис. 39.

Область существования заданной функции -- вся числовая ось х-ов (-?; ?).

у₁=х;

y₂=ctg(arcctgх)=х;

у=у₁+у₂=х+х=2х.

График функции -- прямая, проходящая через начало координат под углом к оси х-ов, где

=arctg2.

8. y=x+arcsin(sinx) (рис. 38).

Заданная функция нечетная. Поэтому построение графика проводим только для х?0.

Строим полупрямую у₁=х и от нее откладываем соответствующие значения функции у₂=arcsin(sinх). Левая часть графика строится косо симметрично правой.

9. y=х+arctg(tgx) (рис. 39).

Построение этого графика аналогично построению предыдущего графика.

Рис. 40.

10. у=х-arccos(cosх) (рис. 40). Строим два вспомогательных графика:

у₁=х и у₂=аrссоs(соsx).

Справа от вертикальной оси ординаты графика заданной функции получаются как разность соответствующих ординат вспомогательных графиков:

y=y₁-y₂.

Слева от оси у-ов сделано дополнительное построение графика функции - у₂= - arccos(cos x). Затем ординаты у₁ и (- у₂) складываются.

рис. 41.

11. у=х - arcctg (ctg x) (рис. 41).

График этой функции строится так же, как и предыдущий.

12. y=+lgx (рис. 42).

Вспомогательный график у₁=. Ординаты функции y₂=lgx откладываются не от оси х-ов, а от вспомогательного графика у₁. Характерные точки:

1) при x=l y₁==l; y₂=lgl=0; у=1; точка А(1; 1);

2) при х=10 у₁=; y₂=lgl0=l; y=+l; точка В(10; +1);

3) =-?.

Область существования заданной функции: (0; ?), т.е. та же, что и функции y₂=lgx.

Рис. 42.

13. у=- cos x (рис. 43).

Строим графики двух функций (штриховыми линиями): у₁= и у₂=-соsх. Второй график построен только для х?0, т.е. в пределах области существования функции у₁=. График заданной функции строится в этих же пределах сложением ординат: y₁+у₂.

рис. 43.

14. y=arcsin(sinx)- (рис. 44).

Помимо двух вспомогательных графиков функций у₁=arcsin(sinx) и у₂=, построен дополнительно еще один вспомогательный график: у₃=-. От точек этого дополнительного графика (у₃) отложены ординаты у₁.

Кроме того, отмечены точки A и В, в которых графики функций у₁ и у₂ пересекаются, т. е. у=у₁-y₂=0; эти точки снесены на ось абсцисс.

15. y=--a^x при а>1 (рис. 45).

Вспомогательные графики: y₁= и у₂=-а^х. От точек кривой у₂=-а^х отложены ординаты у₁=.

Рис. 44.

16. у=а^х+а^-х при а>1 (черт. 194). Вспомогательные графики: у₁=а^х и у₂=а^-х.

График заданной функции строится сложением ординат вспомогательных графиков: у=у₁+у₂.

Рис. 45. Рис. 46.

При x=0 заданная функция имеет минимум: y_min=a⁰+a^-0= 1+1=2.

Найдем минимум данной функции.

Обозначим a^x +a^-x=k. (a)

Заметим, что:

область существования заданной функции: (-;), т. е. функция существует на всей числовой оси х-ов;

а^х>0 и а^-x>0 и, следовательно, k>0.

Преобразуем равенство (а):

a^x+=k,

(б)

Так как а^х ?0, то равенство (б) равносильно равенству: a^2x+1=a^xk, откуда получаем:

а^2x-ka^x+1=0. (в)

Решаем уравнение (в) относительно а^х:

(г)

Видим, что а^х имеет действительное значение при ?1, или k²?4, т. е. |k|?2.

А так как k>0, то |k|=k и, следовательно, k?2. Таким образом, k_min=2, т. е.

(a^x +a^-x)_min=2.

Подставляя в равенство (г) значение k_min, находим, что

Рис. 47

т.е. х=0.

17. y=log_acosх+cosx (Рис. 47), где а>1.

Так как заданная функция периодическая, с периодом 2, то построение проведено для одного периода: -.

Вспомогательные функции: y₁=cosx и y₂=log_acosx.

Функция y₁=cosx является внутренней для функции y₂=log_acosx, что учитывается при построении второго графика.

Граничные значения:

при х(-) и х

y₁=cosx0 и y₂=log_acosх -?; следовательно, у-?.

Характерная точка:

при х=0 у₁=соsx=1; y₂=log_al=0; у=1, точка (0; 1).

При функция не определена, так как cosх?, и вспомогательная функция y₂=logcosx не существует.

Рис. 48.

18. y=tgх+log_atgх (рис. 48), где а>1.

Строится аналогично предыдущему графику.

Построение проведено, для одного периода (): 0<х<.

При функция не существует.

19. у=х+ (рис. 49).

Функция нечетная, так как

.

Построение графика проведено для х>0.

Вспомогательные графики: у₁=х и у₂=.

Прямая у₁=х является асимптотой искомого графика.

Кроме того, при х>0 функция имеет минимум, который для функций данного вида может быть определен следующим образом.

Рис. 49.

Возьмем функцию в общем виде: у=х+ при x>0.

Так как среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического этих чисел или ему равно, то

Минимальное значение суммы имеет место при условии, что =2; откуда получаем:

; ;

x= и

Для заданной функции, следовательно, имеем:

при х==.

Левая ветвь графика косо симметрична правой.

20. у=х- (рис. 50).

Рис. 50.

Функция нечетная. Построение проведено для х>0.

Вспомогательные функции: у₁=х и у₂=-.

Ординаты искомого графика получаются алгебраическим сложением ординат у₁ и у₂. Так как ординаты графика у₂ отрицательны, то они откладываются вниз от графика у₁.

Прямая у₁=х является асимптотой для искомого графика, причем правая ветвь графика приближается к этой асимптоте снизу Кроме того, имеем:

при х0 у=х-?;

при х=1 у₁=1; -у₂=-1; у=у₁ - у₂=0.

21. y=sinx+cosx (рис. 51).

Рис. 51.

Преобразуем заданную функцию:

.

Строим график преобразованной функции:

.

22. y=cosx- sinx (рис. 52)

Рис. 52.

Аналогично предыдущему преобразуем данную функцию:

и строим график функции:

.

§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций

Произведение и частное двух функций поддаются общему исследованию, на основании которого и может быть построен график.

Часто построение графика упрощается, если предварительно построить вспомогательные графики функций, входящих в произведение или частное.

Иногда произведение или частное возможно преобразовать так, что построение графика преобразованной функции оказывается проще.

Эти и некоторые другие приемы построения графиков произведения и частного двух функций иллюстрируются следующими примерами.

1. y=xsinx (Рис. 53).

Рис. 53.

Строятся (штриховыми линиями) вспомогательные графики функций, входящих в заданное произведение: у₁=х; y₂=sinx.

Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что функция y₂=sinx периодически принимает значения 0 и 1. В первом случае искомый график y=xsinx пересекает ось абсцисс, во втором - касается вспомогательной прямой у₁=х.

Так как функция y₂=sinx периодически принимает еще значение
(-1), то построение облегчается, если построить еще одну вспомогательную прямую: у₃=-х (на рисунке эта прямая построена штрих-пунктирной линией).

Для всех х=2 заданный график касается этой вспомогательной прямой, так как для этих значений х

sinx=-1.

Так как заданная функция y=xsinx четная [(-x)sin(-х)=
=(-х)(-sinx)=xsinx], то указанное построение проводится только для правой части графика; левая часть графика строится затем симметрично правой.

Рис. 54.

2. у= -хcosx (Рис. 54).

Так же, как и в предыдущем случае, помимо графиков двух вспомогательных функций: у₁=-х и y₂=cosx, входящих в заданное произведение, построен еще третий вспомогательный график функции: у₃=х.

Далее построение аналогично предыдущему.

3. y= (Рис. 55).

Замечаем, что заданная функция нечетная, так как ==
=-. Поэтому построение проводится только для правой части графика, левая часть графика строится затем косо симметрично правой.

На чертеже построены два графика вспомогательных функций, входящих в. заданное частное: и y₂=sinx, и третий вспомогательный график: у₃=-.

Остальные построения аналогичны предыдущим.

Рис. 55.

Следует особо объяснить вид графика при х0, так как в этом случае получается неопределенность вида , которую следует раскрыть.

Известно, что , т. е. что при x0sinx~х. Следовательно, можно записать:

4. (Рис. 56).

Функция четная, так как .

Вспомогательные функции: y₁=sinx; у₂= и y₃=

Заданный график строится как график произведения: у₁y₂=sinx.

Рис. 56.

5. y=a^xlog_bx, где а>0; а?1 и b>1 (Рис. 57).

Вспомогательные функции: у₁=а^х; y₂=log_b x.

Так как область существования функции у₂=log_b x есть интервал (0, ), что определяет область существования заданной функции, то и график вспомогательной функции y₁=а^х построен только для х>0.

Заметим, что при x=b y₂=log_bb=l и у=у₁у₂=а^b, получаем точку А(b;а^b).

6. у=|х| (рис. 58).

Функция четная. Построение проводится для правой части графика; левая часть графика симметрична правой.

Вспомогательные графики: у₁ =|х|; у₂=.

При x=± у₂==1, поэтому график заданной функции пересекает прямую y₁=|х| в точке A(, ).

При х=1 у₂=0 и у=0.

Рис. 58.

7. (Рис. 59).

Функция нечетная, так как

Вспомогательные графики функций y₁=arctgх и у₂=|х| пoстроены только для х>0.

Рис. 59.

Характерные точки (для правой части графика):

1)

так как при х0 tgxx;

2);

3) при х= y=; точка (1,7; 0,6).

8. у= (Рис. 60).

Вспомогательные графики: у₁=соsх; y₂=log₄x. Находим область существования заданной функции.

Числитель у₁=соsх не дает никаких ограничений для х.

Рис. 60.

Знаменатель y₂=log₄x обусловливает:

а) х>0,

б) log₄x?0, т. е. х?1.

Следовательно, область существования заданной функции состоит из двух интервалов: (0; 1) и (1; ?).

Так как х>0, то и вспомогательный график у₁ строится только для правой полуплоскости.

Характерные точки:

1)

2) . Прямая x= 1 является асимптотой графика;

3) при x=4 y₂=log₄4=l, поэтому искомый график пересекает график вспомогательной функции у₁ при x=4;

4) при х= у₁=соsx=0, у=0 - в этих точках заданный график пересекает ось абсцисс.

График колеблется около оси абсцисс, приближаясь к ней.

Список использованных источников и литературы

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993..

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Вейц Б.Е., Ивашев - Мусатов О.С., Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1997.

Денищева Л.О., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя - М.: Просвещение, 1988.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

Мордкович А.Г. Алгебра - 7. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 8. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 9. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа- 10-11. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович А.Г. Алгебра - 7-9. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович А.Г. Алгебра - 10-11. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы, Москва, Просвещение, 1983.

Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников, Москва, Наука, 1983.

В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990.

Гурский И.П. Функции и построение графиков. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1968.

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - Москва. 1969.

К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987.

Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение, 1979.

С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных функций, Москва, Наука, 1966.

Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев. - М.: Дрофа, 2002.