· составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (Рис. №3):

· на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);

· для контрольных значений параметра и выделенных областей

· однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений.

1.2.3.4 Общая схема решения линейных уравнений с параметром вида

В линейном уравнении с параметром а и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из следующих типов:

; ; .

Приведенная классификация позволяет определить общую схему решения.

1. На числовой прямой отмечаются все значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2. На области допустимых значений параметра исходное уравнение при
помощи равносильных преобразований приводится к виду .

3. Определяются контрольные значения параметра, для которых . В множестве таких значений выделяются подмножества и . Значениям параметра из соответствуют особые частные уравнения типа ?. Значениям параметра из А0 соответствуют особые частные уравнения типа .

4. Для значений параметра из множества соответствующие частные уравнения принадлежат типу L с общим решением .

Заметим, что если уравнение имеет конечное множество решений , то для каждого из найденных контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения решаются отдельно. В случае, когда множеством решений уравнения является числовой промежуток, удобнее найти также множество решений уравнения, пересечению найденных множеств решений соответствуют особые частные уравнения типа ?.

1.2.3.5 Решение уравнений с параметрами не выше второй степени

Уравнения с параметрами не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом с параметром а или многочленом с параметрами а и b не выше второй степени.

Отметим, что наиболее важными в практике являются следующие задачи:

· решить уравнение (неравенство) с параметрами;

· найти значение параметров, при которых общее решение уравнения (неравенства) обладает некоторыми свойствами.

В уравнении не выше второй степени с параметром а и переменной x всякое частное уравнение принадлежит одному из следующих типов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)

Контрольные значения параметра определяются уравнением и уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам.

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2. На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводится к виду

3. Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения, выделяются типы и особых частных уравнений. Множеству Соответствует тип 3) не особых частных уравнений.

4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта D.

Множеству соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра частные уравнения имеют два различных действительных корня.

Рассмотрим пример: Решить уравнение

.

Решение. В уравнении значение является контрольным, для него соответствующее частное уравнение не определено.

На множестве исходное уравнение равносильно

обращается в нуль для. Соответствующее частное уравнение имеет единственное решение .

На множестве частные уравнения являются квадратными с дискриминантом. Дискриминант для и

Пусть , соответствующее частное уравнение имеет двукратный корень . Для соответствующее частное уравнение имеет двукратный корень .

На числовой прямой отметим найденные значения параметра и на каждом из полученных промежутков установим знак дискриминанта(Рис. №4).

Рис. 4

моделирование обучение задача параметр

Если, то соответствующие частные уравнения не имеют решений. Для значений параметров из частные уравнения имеют два различных корня, их общие решения .

Ответ: ; ; ; ; ; [28, с. 34- 35].

В уравнении не выше второй степени с параметрами и и переменной всякое частное уравнение принадлежит одному из выше перечисленных типов с аналогичными характеристиками. Контрольные значения параметров определяются уравнениями и. В плоскости эти уравнения выделяют области, на которых дискриминант D имеет определенный знак. Тогда общая схема решения уравнений с двумя параметрами не меняется, лишь вместо числовой прямой используется координатная плоскость . Графическое изображение линий контрольных значений параметров и выделенных ими областей однотипности обеспечивает наглядность в выполнении каждого из этапов решения.

1.2.3.6 Интеграция алгебраического и геометрического методов при решении уравнений с параметром

История математики свидетельствует о том, что оба метода, алгебраический и геометрический, развивались в тесной взаимосвязи. Первые элементы алгебры появились сразу в двух равноправно существующих интерпретациях: геометрической и буквенно-символической. Именно благодаря взаимосвязи алгебраического и геометрического методов были сделаны многие открытия в математике.

В целом, как отмечал А.Д. Александров, «почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений». Именно эта взаимосвязь и должна находить отражение в школьном курсе математики, показывая учащимся процесс становления математического знания, делая их реальными участниками математических «открытий».

Проиллюстрируем интеграцию алгебраического и геометрического методов на примере решения уравнения с параметром.

Пример. При каких значениях параметра а уравнение

не имеет решений, имеет одно решение, два решения, бесчисленное множество решений?

Решение.

1. Алгебраический метод.

Разобьем всю числовую ось на три участка (Рис. №5):

Рис. 5

Если , то получаем:

.

Уравнение будет иметь решения, если

.

При уравнение не будет иметь решений.

Если , то имеем:

, откуда .

Уравнение имеет бесчисленное множество решений при , в случае, если, не имеет решений.

Если , то имеем:

.

Уравнение имеет решения, если откуда . При уравнение не имеет решений.

Ответ: при уравнение не имеет решений; при уравнение имеет два решения; при уравнение имеет бесчисленное множество решений; одно решение уравнение не может иметь ни при каком значении а.

2. Геометрический метод.

На геометрическом языке уравнение означает, что надо найти такую точку ,сумма расстояний от которой до точек и равна а. На рис 1. Видно, что АВ=4, поэтому:

Если, то такой точки , сумма расстояний от которой до точек и равна а, не существует, так как для точек на отрезке АВ сумма расстояний до точек А и В равна 4, а для точек, лежащих вне отрезка АВ, сумма расстояний больше 4. Значит, при уравнение не имеет решений.

Рис. 6

Если , то всегда существуют две точки и лежащие вне отрезка АВ и симметричные относительно него, сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна а. И значит, уравнение имеет два решения.

Если , то существует бесконечно много точек , сумма расстояний от которых до точек А и В равна 4 (все они расположены на отрезке АВ). Значит, в этом случае уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Кроме того, не существует одной точки, сумма расстояний от которой до точек А и В равна а. Так как, если есть одна точка, то найдется всегда и ей симметричная относительно отрезка АВ. Следовательно, уравнение не может иметь одного решения ни при каком значении а.

В итоге ответ получаем такой же, как и в случае алгебраического метода.

Выводы по первой главе

Учебное моделирование, в отличие от научного, имеет несколько целей, главной из которых является обучение учащихся самому методу моделирования, методам научного познания, способам мыслительной деятельности, развитию интуиции и творческих способностей.

Характерные признаки учебного моделирования:

1) учебное моделирование - это процесс поисковой познавательной деятельности (изучение, выявление, установление чего-либо и т.д.);

2) учебное моделирование всегда направлено на получение новых знаний, то есть моделирование всегда начинается с потребности узнать что-либо новое;

3) учебное моделирование предполагает самостоятельность учащихся при выполнении задания;

4) учебное моделирование должно быть направлено на реализацию дидактических целей обучения.

Под методом моделирования понимается учебная деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих умений моделирования.

Структуру метода моделирования определяют следующие компоненты: учебно-исследовательская задача, учебно-исследовательские действия и операции, действия контроля и оценки.

Приобщение обучающихся к методу моделирования можно реализовать через решение специальных исследовательских задач или через дополнительную работу над задачей.

Исследовательская задача - объект мысленной деятельности, в котором в диалектическом единстве представлены составные элементы: предмет, условие и требование получения некоторого познавательного результата при раскрытии отношений между известными и неизвестными элементами задачи.

Таким образом, в математике включение учащихся в определенный вид деятельности происходит посредством решения ими конкретного класса задач. Средством формирования опыта метода моделирования могут служить и задачи с параметрами. Овладение опытом такой деятельности как требует от учащихся, так и формирует у них способности к самостоятельному осмыслению и поиску решения задач.

В результате решены три первые задачи метода моделирования:

1. Изучены психолого-педагогические теории развития у учащихся умений моделирования при обучении математике в школе.

Установлены развивающие функции задач в обучении.

Рассмотрены основные методы решения задач с параметрами.

Глава 2. Развитие у учащихся умений моделирования при решении задач с параметрами

2.1 Система учебно-исследовательских задач с параметрами

2.1.1 Понятие параметра

Понятие параметра тесно связано с понятием переменной величины. Переменная величина - величина, которая принимает различные значения. Введение переменной величины в математику в XVII в. является революционным скачком в развитии науки вообще. Оно означало новую ступень познания явлений природы в их взаимной связи и движении. На основе Декартовой переменной величины сформировалось понятие функции.

Итак, переменная - это общий термин для обозначения различных меняющихся величин.

Параметр - вспомогательная переменная, входящая в формулы и выражения. Обычно параметр представляет собой скалярную величину или действительное число; параметр обозначается буквой какого-либо алфавита. Часто параметр рассматривают и как постоянные числа в условиях данной задачи, но в другой задаче они рассматриваются как переменные.

Примеры.

1. В квадратном уравнении коэффициенты являются параметрами, х переменная. При решении уравнения коэффициенты считаются постоянными числами, но вообще они также могут быть приняты за переменные.

2. Уравнение в прямоугольной декартовой системе координат представляет собой уравнение множества окружностей единичного радиуса; числа и параметры окружности в рассматриваемом множестве; если положить , то мы получим вполне определенную окружность с центром в точке (1; 3) единичного радиуса из множества окружностей того же радиуса.

В задачах встречается 2 вида символов: неизвестные переменные (обозначаются ) и параметры . Разница между ними весьма условна, и можно считать, что параметр - это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему, функцию).

2.1.2 Употребление букв в математике

В связи с тем, что в математике широко используют буквы, необходимо иметь в виду их различные функции.

Первая функция - обозначающая, когда буква обозначает или любое число из данного множества, или даже какое-то выражение, точку, прямую, фигуру и т.д.

При этом используются либо строчные буквы либо заглавные буквы М, N, К, ....

Например, с помощью букв записывается переместительный закон: , где буквы в записи обозначают любые числа. В записи а||b буквами обозначаются прямые. MN прямая (луч, отрезок). М точка (множество, фигура, выражение), - обозначение конкретного числа.

Вторая функция - обобщающая, когда буква выступает в роли обобщения возможных значений какой-то величины, коэффициента и т.д. В этом случае такую букву называют параметром.

Для записи параметров обычно используются первые строчные буквы алфавита. Так, в записи уравнения ах + b = с буквы а, b и с являются параметрами.

Третья функция - вопросительная, когда требуется найти те значения этих букв, при которых выполняются указанные в задаче условия. В этом случае эти буквы обозначают неизвестные (искомые) значения задачи.

Для неизвестных используются строчные буквы алфавита х, у, z, ... или стандартные обозначения соответствующих величин: путь - s, S; время - t, Т; скорость - и т.д.

2.1.3 Задачи с параметрами в V - VI классах

В V классе вместе с числовыми выражениями изучаются буквенные выражения. Рассматривается серия задач с заменой некоторого числа. Изменяющееся число обозначают буквой, получая новую задачу. Каждую из задач решают, составляя выражение. Выражение для решения последней задачи является буквенным.

Задача 1. Поезд ехал двое суток. В первые сутки он проехал 980 км, а во вторые - на 50 км больше. Сколько км проехал поезд за 2-е суток?

Решение..

Задача 2. Поезд ехал двое суток. В первые сутки он проехал 980 КМ, а во вторые - на 65 км больше. Сколько км проехал поезд за 2-е суток?
Решение.

Обозначим буквой т число, которое меняется от задачи к задаче. Получим новую задачу.

Задача 3. Поезд ехал двое суток. В первые сутки он проехал 980 км, а во вторые - на т км больше. Сколько км проехал поезд за 2-е суток?

Решение. Выражением для решения этой задачи будет

Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением. В этом выражении буквы могут обозначать различные числа.

Рассматриваются упражнения на запись, чтение буквенных выражений, определение компонентов операций, нахождение значений выражений и сравнение этих значений, решают задачи, составляя выражения.

Упражнения

1. Запишите выражение:

а) сумма 7 и

б) разность 16 и

в) разность 45 и

2. Назовите слагаемы в сумме:

а)

б)

Назовите уменьшаемое и вычитаемое:

Прочитать выражение

5. Заполнить таблицу

Таблица №2

Значение	0	1	2	3	4	5
Значение
Значение

При каких значениях а:

а) 16 - а меньше, чем а + 12;

б) 16 - а больше, чем а + 12;

в) значения 16 - а и а + 12 равны?

6. Пусть цена футболки а руб., а цена трусов b руб. Какой смысл имеет выражение: а) а + b; б) а - b; в) 250 - (а + b)?

Учащихся ориентируют на знание буквенной записи свойств сложения и вычитания:

а + b = b + а;

а + (b + с) = (а + b) +с;

a + о = о + a = а;

а - (b + с) = а - b - с, b + с ? а;

(а + b) - с = а +(b - с), с ? b;

(а + b) - с = (а - с) + b, с ? а;

а - о = а, а - а = О.

Аналогичная работа проводится при изучении умножения и деления натуральных чисел. Определение умножения чисел дается с помощью букв: Умножить число т на натуральное число n - значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно т:

т- n = т + т + ... + т. (n штук)

Свойства умножения:

a* в = в * а;

а* (b* с) = (а * b) * с;

1* n = n. Исходя из переместительного свойства умножения условились n *1 = n

0*n=0. Исходя из переместительного свойства умножения условились n*0 =0.

Появляются упражнения, при решении которых можно ввести понятие параметр.

Упражнения

1. Существует ли такое число n, что 0*n = 6?

2. При каких значениях т верно равенство 0 * т= 0? Можно ли из этого равенства найти единственное значение т? Можно ли разделить 0 на 0?

В VI классе набор таких задач гораздо богаче. Среди них имеются и задачи с неравенствами:

3. При каких значениях а верно неравенство: а) a < - а;

б) а > - а;

в)-а < а;

г) - а > а?

Очевидно, наиболее удобным материалом для введения понятия параметр являются уравнения и неравенства, в которые входят вместе с неизвестной переменной буквы, обозначающие некоторые числа.

Обращается внимание на необычную форму ответов при выполнении заданий с параметрами.

Например:

Решить уравнение х - а = 0.

Ответ: х = а при любом значении а.

Решить уравнение Зх = а.

Ответ: х = - при любом значении а.

Решить уравнение ах = 8.

Ответ: х = при a?0; нет решений при a=0

В V - VI классах не ставится задача полного освоения параметра. Тем не менее, желательно методично предлагать задачи с параметрами на уроках. Ими могут быть:

Задания:

1. Решить уравнения:

2. Решить неравенства:

Сравнить: и [21, с.14- 15].

2.1.4 Задачи с параметрами в VII классе

В VII классе круг задач, от которых легко перейти к задачам с параметрами значительно шире. Да и теоретический материал представляет богатые возможности. В VII классе, например, учащиеся решают линейные уравнения и неравенства, причем уравнение они должны решать в общем виде и уметь выяснять знак корня при различных значениях и (то есть по существу ими решается задача с двумя параметрами).

Покажем фрагмент урока на тему «Линейные уравнения с параметром».

Решим уравнение (1)

Получим:

Если в уравнении (1) заменить какое-либо число, например, 6, другим числом, то можно получать новые уравнения:

Каждое из этих уравнений решается тем же способом, что и уравнение (1). Чтобы не решать несколько однотипных уравнений одним и тем же способом, решим задачу в общем виде, заменив изменяемое число (параметр) буквой:

Действуя по тому же плану, что и при решении уравнения (1), придем к уравнению

Только не будем торопиться с делением на, ведь это выражение при а = 1 обращается в 0, а на нуль делить нельзя. Случай а = 1 надо рассматривать отдельно.

1) Если а = 1, то уравнение (6) имеет вид . Очевидно, что уравнение (6) в этом случае не имеет корней.

2) Если же а ? 1, то уравнение (6) имеет единственный корень

Нетрудно убедиться, что по формуле мы получим корни уравнений (2) - (4), если в качестве a возьмем числа 5, 4 и 3 соответственно.

Задание, которое мы выполнили, обычно формулируют так: для всех значений параметра а решите уравнение

Ответ к этому заданию можно записать так:

Ответ: при нет корней при .

Замечание. Наши рассуждения о параметре начались с уравнения (1), имевшего единственный корень, но после замены числа 6 на букву а оказалось, что полученное уравнение имеет единственный корень не при всех значениях а. При а=1 оно не имеет корней.

Оформление решений задач с параметрами

1. Решите уравнение

Ответ: при , х - любое действительное число;

при

при и решений нет.

2. Решите уравнение

Решение.

 и

или

а) то и (или x - любое число);

б) то - уравнение не имеет решений.

Ответ: при бесконечно много корней при нет корней при

3. Решите неравенство

Определим множество допустимых значений параметра: этим множеством является все множество чисел.

При получаем . Оно верно при любых х.

При . Разделим на , получим

При. Разделим на, получим [ 15, с. 12].

2.1.5 Задачи с параметрами в VIII классе

В восьмом классе имеется много тем, где можно с успехом использовать задачи с параметрами : при решении уравнений и неравенств с одной переменной, при решении дробно-рациональных уравнений и, естественно, при решении квадратных уравнений. Здесь основное внимание уделяется не только вопросам теории, но и методам решения задач с параметрами . Например, можно ли дать определение квадратного уравнения следующим образом:

«Уравнение вида, где х- переменная(неизвестное), а, b и с параметры (или выражения, зависящие от параметров), причем, , называется квадратным».

Особенно тщательно рассматривается теоретический материал, позволяющий учащимся понять, когда квадратное уравнение с параметрами не имеет корней, имеет один корень (или два равных) и имеет два корня. Случай, когда корни квадратного уравнения должны быть или одного знака, или разных, или обладать другими свойствами подкрепляться необходимыми примерами. При решении неравенств особое внимание уделяется рассмотрению двух методов: методу разложения на множители и методу введения новой переменной.

Рассмотрим пример: при каких значениях параметра с уравнение

а) имеет различные действительные корни;

б) имеет один (два равных) корень;

в) не имеет действительных корней;

г) имеет хотя бы один общий корень с уравнением ?

Решение.

а)

б)

в)

г) Уравнение имеет корни при.

Рассмотрим уравнение

Пусть общий корень двух уравнений, тогда

Пусть общий корень двух уравнений, тогда

Если -15 и 2 являются корнями обоих уравнений, то имеем систему , которое не имеет решении.

Ответ: а) б) в) г) или .

2.1.6 Задачи с параметрами в IX классе

В девятом классе изучаются такие важные вопросы как степень с рациональным показателем, квадратичная функция, решаются уравнения и системы уравнений, неравенства. Поэтому включение в дидактический материал задач с параметрами должно содействовать более качественному усвоению учебного материала и одновременно создать условия и предоставить средства для дальнейшего развития логического мышления и творческих способностей учащихся.

В связи с тем, что тема «Квадратичная функция» изучается первой, с учащимися рассматривается следующий теоретический материал: необходимые и достаточные условия для заданного расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси, свойства. функции в задачах с параметрами, аналитические и графические приемы решения задач с параметрами.

На занятиях с ребятами теоретический материал обобщается, рассматриваются соответствующие задачи с параметрами. Например, для решения большинства задач с параметрами очень важно знать свойства квадратичной функции и зависимость этих свойств от возможных соотношений между коэффициентами. Причем исследование знака дискриминанта позволяет установить наличие действительных корней, а теорема Виета знаки действительных корней.

Однако для целого ряда задач требуется еще установить расположение действительных корней квадратного трехчлена на числовой оси относительно каких-либо фиксированных точек числовой оси. Эти вопросы рассматриваются более подробно, вводятся следующие обозначения:

- квадратичная функция,

- значение функции в точке

- дискриминант,

и (причем ) - действительные корни уравнения

- абсцисса вершины параболы,

- ордината вершины параболы.

Ответом на поставленную задачу служат следующие четыре
обобщающие теоремы:

Т1. тогда и только тогда, когда

Т2. т.е. тогда и только тогда, когда

Т3. тогда и только тогда, когда

Т4. тогда и только тогда, когда (В этом случае выполняется автоматически).

Эти теоремы часто применяются при решении задач с параметрами и поэтому имеют большое значение. Однако лишь немногие учащиеся знают их точные формулировки, поскольку они не входят в школьную программу, а большинство учащихся даже не в состоянии запомнить их, не говоря уже об аналитическом доказательстве теории, хотя оно и несложно (используется теорема Виета и свойство квадратичных неравенств). Именно поэтому с учащимися в школе предлагают рассматривать геометрическую интерпретацию теорем:

1)

Объединяя все четыре случая, получим систему Т1.

2)

Объединяя эти условия, получим систему Т2.

3)

Рис. 15 Рис. 16

В результате получим систему Т3.

4)

Рис. 17 Рис. 18

Оба случая объединяются в одно условие: Т4.

Приведенная графическая интерпретация доказательства теории является не только более наглядной, но и избавляет учеников от необходимости запоминания условий этих теорем.

Рассмотрим конкретную задачу:

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет корни одного знака.

Решение.

Здесь возможны два случая:

и 2)

Разбираются эти варианты в отдельности.

Случай 1. Искомыми являются такие значения параметра а, при которых график квадратного трехчлена из левой части уравнения занимает положение, схематично изображенное на рисунке №19 сплошной линией, или положение, изображенное пунктирной линией:

Рис. 19

Это можно описать системой неравенств:

Рис. 20

Возьмем пересечение решений неравенств системы и получим ответ:

Случай 2. Он описывается системой неравенств:

Таким образом, случай 2 не реализуется ни при каких значениях параметра.

Ответ: [10, с. 19- 20].

2.1.7 Задачи с параметрами в X-XI классах

в старших классах рассматриваются более сложные уравнения с параметрами: иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические.

При решении параметрических иррациональных уравнений полезно пользоваться общими формулами. Пусть и -некоторые функции, тогда:

При этом следует иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей могут быть различными, то есть ОДЗ правой её части может быть шире ОДЗ левой. Например, выражение определено при , а выражение - как при

В то же время преобразования уравнений с формальным использованием формул 1) - 5) «справа налево» не допустимы, так как возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а, следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида равносильно системе

Проиллюстрируем все вышесказанное на примере.

Решите уравнение

Решение.

Функция монотонно возрастающая:

Если то

Если то сделаем замену:

и

Ответ: при нет корней при или

При решении показательных и логарифмических уравнений с параметром важным является использование свойства монотонности этих функций. Именно эту мысль необходимо довести учителю до сведения учащихся. Покажем это на следующем уравнении:

При каждом а решите уравнение

Решение.

Пусть

Тогда исходное уравнение примет вид:

Если то Т.е.

Если то

т.е.

Корни уравнения (*) могут быть только положительными.

Рассмотрим два случая:

1. Оба корня положительные:

откуда

2. Корни разных знаков

Получим Так как поэтому он не может быть корнем уравнения (*). Остается один корень

Ответ: при при нет корней при .

Что касается тригонометрических уравнений, то их хорошо использовать в качестве повторения темы « Тригонометрические уравнения ». Ибо, с одной стороны, учащиеся вспоминают методы решения тригонометрических уравнений, с другой стороны, закрепляются навыки решения линейных и квадратных уравнений с параметром.

Исследуйте уравнение

Решение.

Рассмотрим два случая:

1) тогда имеем частный случай простейшего тригонометрического уравнения

2) тогда исходное уравнение приводим к виду:

Пусть где , тогда уравнение перепишем в виде:

решение которого не вызывает затруднений:

где при условии

Рассмотрим совокупность двух систем:

Решив которую, получаем ответ.

Ответ: где при или

2.2 Организация, проведение и основные итоги педагогического эксперимента

В ходе педагогической практики (Ишимская средняя школа №31) нами проводился педагогический эксперимент. Он осуществлялся поэтапно: констатирующий, поисковый, обучающий и контрольный. В ходе его проведения нам было необходимо получить подтверждение эффективности разработанной методики моделирования в процессе обучения учащихся решению задач с параметрами. Эксперимент проводился на факультативных занятиях.

1. Констатирующий эксперимент.

На данном этапе происходило выявление исследуемой проблемы (развитие у учащихся умений моделирования при решении уравнений с параметрами) в теории и практике обучения, изучалась и анализировалась психолого-педагогическая литература, опыт учителей по интересующей нас проблеме (параграфы 1.1 и 1.2 главы 1).

Были отобраны 10 учащихся для проведения с ними самостоятельной работы с целью выявления их знаний по теме «Уравнения с параметрами». Работа состояла из 10 заданий, из которых последние три были более сложными. Для каждого задания предлагалось три ответа, один из которых правильный, а два другие - неверные. Учащиеся должны были не просто указывать букву правильного ответа, но и оформить подробное решение задания. Уравнения были новыми, необычными для учащихся, вызывали у них интерес, побуждали к активным поискам решения.

Критерии оценок: оценка «5» - за 9 - 10 верных ответов; оценка «4» - за 7 - 8 верных ответов; оценка «3» - за 5 - 7 верных ответов; оценка «2» - за 0 - 4 верных ответов. Итоги тестирования были занесены в специальную таблицу, в которой рядом с каждой фамилией ученика знаком «+» отмечались верные ответы, знаком «-» - неверные, указывалось количество верных ответов и оценка.

Таблица №3

	№ задания
№	Ф.И ученика	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Кол-во верных ответов	Оценка
1	Белова Екатерина	+	+	+	-	-	+	+	-	-	-	5	«3»
2	Бучинская Михайлина	+	-	-	-	+	-	-	-	-	-	2	«2»
3	Герасимов Алексей	+	+	+	-	+	-	+	+	-	-	6	«3»
4	Иванова Дарина	+	+	-	+	-	-	-	-	-	-	3	«2»
5	Королева Алина	+	-	+	-	+	+	+	+	-	-	6	«3»
6	Осябрик Полина	+	-	+	+	+	+	+	+	+	-	8	«4»
7	Павлов Алексей	+	+	-	+	-	+	+	-	-	-	5	«3»
8	Рагозина Валерия	+	+	-	-	-	+	-	-	-	-	3	«2»
9	Ширшова Полина	+	-	+	+	-	+	+	-	+	-	6	«3»
10	Ярославцева Валерия	+	+	-	+	+	-	+	+	-	+	7	«4»

С целью иллюстрации итогов констатирующего этапа эксперимента приведем сравнительную диаграмму (рис. №21).

Рис. 21

Анализ проведенной самостоятельной работы показал, что учащихся испытывают затруднения при решении уравнений с параметрами. Это означает, что этот материал изучался ими формально. У учащихся плохо развиты умения моделирования, значит предыдущее преподавание мало способствовало их формированию у учеников, поэтому целесообразно уделить больше внимания развитию данного вида умений, с помощью решения уравнений с параметрами.

2. Поисковый эксперимент.

На данном этапе проводилась разработка комплекса учебных занятий, направленных на развитие у учащихся умений моделирования в процессе решения уравнений с параметрами. Для этого было продумано поэтапное повторение и отработка знаний, с использованием специального комплекса заданий. Для разнообразия и возбуждения интереса учащихся были включены нестандартные задания(параграф 2.1 главы 2). После анализа первой самостоятельной работы каждый из учащихся выполнял дома работу над ошибками. В этой работе ученик должен был представить подробное решение задачи, по которой был дан неверный ответ, с теоретическим обоснованием допущенной ошибки.

Комплекс занятий:

Таблица №4

№	Тема	Количество часов
1	Уравнения с параметром: основные понятия	1
2	Решение простейших уравнений с параметрами	1
3	Решение задач на нахождение множества корней уравнения в зависимости от параметра	1
4	Решение задач на нахождение значений параметра, удовлетворяющих условиям, накладываемым на множество корней	1
5	Анализ самостоятельной работы	2
6	Итоговое занятие по проделанной работе	1

3. Обучающий и контрольный эксперимент.

Здесь с учащимися был проведен разработанный на втором этапе эксперимента комплекс заданий и проверка эффективности разработанной методики - проведение письменной самостоятельной работы.

На выходе мы получили следующие результаты:

Таблица №5

№ задания

№

Ф.И ученика

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Кол-во верных ответов

Оценка

1

Белова Екатерина

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

7

«4»

2

Бучинская Михайлина

+

+

-

+

+

+

-

-

-

-

5

«3»

3

Герасимов Алексей

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

7

«4»

4

Иванова Дарина

+

+

-

+

-

+

+

-

-

-

5

«3»

5

Королева Алина

+

+

+

+

+

-

+

-

+

+

8

«4»

6

Осябрик Полина

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

9

«5»

7

Павлов Алексей

+

+

+

+

-

+

+

-

+

-

7

«4»

8

Рагозина Валерия

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

9

«5»

9

Ширшова Полина

+

+

-

+

+

+

+

+

-

-

7

«4»

10

Ярославцева Валерия

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

10

«5»

В таблице №6 более наглядно представим результаты проведенной работы до эксперимента и после.

Таблица №6

	Количество полученных оценок
	«5»	«4»	«3»	«2»
До эксперимента	0	2	5	3
После эксперимента	3	5	2	0

Ниже с целью иллюстрации эффективности внедрения разработанного комплекса заданий приведем сравнительную диаграмму (рис. №22)



Рис. 22

Из таблицы видно, что уровень развития у учащихся умений моделирования после проведения эксперимента значительно повысился. Таким образом, мы экспериментально подтвердили гипотезу нашего исследования - если в процессе обучения учащихся решению задач с параметрами, использовать специальный комплекс упражнений, то можно ожидать развития у учащихся умений моделирования.

Выводы по второй главе

в V - VI классах не ставится задача полного освоения параметра. Тем не менее, желательно методично предлагать задачи с параметрами на уроках. В VII классе круг задач, От которых легко перейти к задачам с параметрами значительно шире. Да и теоритически материал представляет богатые возможности. В VIII классе имеется много тем, где можно с успехом использовать задачи с параметрами: при решении уравнений и неравенств с одной переменной, при решении дробно-рациональных уравнений и, естественно, при решении квадратных уравнений. Здесь основное внимание уделяется не только вопросам теории, но и методам решения задач с параметрами. В IX классе изучаются такие важные вопросы как степень с рациональным показателем, квадратичная функция, решаются уравнения и системы уравнений, неравенства. Поэтому включение в дидактический материал задач с параметрами должно содействовать более качественному усвоению учебного материала и одновременно создать условия и предоставить средства для дальнейшего развития логического мышления и творческих способностей учащихся. В старших классах рассматриваются более сложные уравнения с параметрами: иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические.

В результате решены три последние задачи исследования:

1. Выполнен анализ содержания школьного курса алгебры с точки зрения
подготовки учащихся к решению задач с параметрами.

2. Разработан комплекс учебно-исследовательских задач с параметрами.

3. Организован педагогический эксперимент и подведены его основные итоги.

Заключение

В ходе исследования были получены следующие результаты:

1. Выявлено, что проблема развития у учащихся умений моделирования «через задачи» действительно мало разработана и поэтому очень важна и актуальна.

2. Обоснована необходимость привлечения внимания к задачам с параметрами, так как их решение способствует формированию умений моделирования у учащихся.

3. Разработана методика формирования умений моделирования у учащихся в процессе их обучения решению задач с параметрами.

4. Экспериментально подтверждена гипотеза исследования: если в процессе обучения учащихся решению задач с параметрами, использовать специальный комплекс упражнений, то можно ожидать развития умений моделирования у учащихся.

Совершенно ясно, что в школьном обучении конечно должны быть представлены такие задачи и упражнения, решение которых способствует глубокому пониманию и прочному усвоению школьниками той системы математических знаний и умений, которые предусмотрены программой. Однако, кроме того, в школьном курсе математики должны быть в достаточном объеме представлены и задания по развитию умений моделирования. К числу таких заданий относятся задачи с параметрами, которые позволяют формировать у учащихся представления об особенностях метода моделирования математиков.

Библиографический список использованной литературы

1. Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. средней школы / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, В.И. Жохов.- М.: Просвещение, 2013.- 154с.

2. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / Л.В. Виноградова- Ростов н/д: Феникс, 2005.- 252с.

3. Голубев, В.И. О параметрах - с самого начала [Текст] / В.И. Голубев, А.М. Гольдман, Г.В. Дорофеев // Репетитор. - 2007. - №2 - с. 3-13.

4. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами [Текст] // Мат. в шк. г: 1999. - №6.- С. 60-68.

5. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами [Текст] // Мат. в шк. - 2000. - №2.- С. 61-68.

6. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский. - М.: Просвещение, 1992.- 182с.

7. Дубич, С.Л. Линейные и квадратные уравнения с параметрами [Текст] / / Математика. - 2001. - №3.- С. 28 - 31.

8. Егерман, Е.В. Задачи с параметрами. 7 - 11 классы [Текст] // Математика. - 2003. - №1. - С. 18 - 20.

9. Капкаева, Л.С. Алгебраические и геометрические методы в обучении математике [Текст] // Мат. в шк. - 2004. ·-№7. - С. 27-33.

10. Котухов, С.К. Различные способы решения задач с параметрами [Текст] // Мат. в шк.- 1998.-№6.- С. 9-12.

11. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физико- математических факультетов пед. институтов.- М.: Просвещение, 1975.- 462с.

12. Копылов, В.С. Учебно-методические материалы спецкурса по методике преподавания математики «Задачи с параметрами в средней школе» [Текст] / В.С. Копылов, Т.М. Савина.- М.: Прометей, 2001.- 29с.

13. Леонтович, А.В. Исследовательская деятельность школьников [Текст] / / Школьные технологии.- 2006.-№6.- С. 89- 98.

14. Мишин, В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. [Текст]/ В.В. Мишин.- М.: Экзамен, 2009.- 176с.

15. Моденов, В.П. Задачи с параметрами [Текст]/ В.П. Моденов.-М: Экзамен, 2007.- 86с.

16. Мордкович, А. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст] // Математика. - 2010. -№38.- С. 2 - 3.

17. Пескова, Т.А. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. 7 класс [Текст] // Математика. - 1999. -№36.- С. 29.

18. Пронина, Е.С. Линейные уравнения с параметрами: методические рекомендации [Текст] // Мат. в шк.- 2000. -№12.- С.3-5.

19. Романов, П.Ю. Решение задач с параметрами [Текст] // Математика. - 2001. -№12. - С. 13-15.

20. Савенков, А.И. Исследовательская деятельность учащихся [Текст] // Школьные технологии.- 2008.- №1.- С. 11- 20.

21. Цыпкин, А.Г. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы [Текст] / А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. - 2-е издание, перераб. и доп. - М.: Наука, 2009. - 576 с.

22. Шабанова, М.В. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст] // Математика. - 2002.-№38.- С. 27 - 31.

23. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. пособие для 10-х классов средней школы [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.

24. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. пособие для 11 класса средней школы [Текст] / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. - М.: Просвещение, 2007. - 384 с.

25. Шахмейстер, А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст]/ А.Х. Шахмейстер.-М.: Виктория плюс, 2010,-136с.

26. Шерстаков, С.В. Уравнения с параметром [Текст] / С.В. Шерстаков, Е.Н. Юрченко.- М.: Слог,1993.- 107с.

27. Шихалиев, Х.Ш. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст] // Мат. в шк.- 1980.-№21.- С. 34- 35.

28. Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст] / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 2006.- 128с.

Размещено на Allbest.ru