Обучение учащихся элементам комбинаторики как средство развития у них критического мышления

В 5 классе представлены комбинаторные задачи на размещения, сочетания, перестановки с повторением и без повторения элементов. Однако ни сами эти термины, ни соответствующие формулы не рассматриваются. Используется естественный, доступный детям этого возраста метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций). Этот метод целесообразен в тех случаях, когда число вариантов невелико.

На первоначальном этапе освоения решить комбинаторную задачу -- это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи. Цель пункта состоит в том, чтобы в процессе решения системы задач учащиеся встретились с необходимостью перебора различных по своей сути и составу комбинаций.

При решении каждой задачи ставится один и тот же вопрос: как организовать перебор вариантов, чтобы не пропустить ни один из них и в тоже время избежать повтора?

Среди других способов перебора в теоретической части пункта предлагается осуществление перебора с помощью специальной схемы -- дерева возможных вариантов, задающего удобную опорную схему для перебора.

Пример. В алфавите племени УАУА имеются только две буквы - «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

Решение. В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.

Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется деревом возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву - это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ааа аау ауа ауу уаа уау ууа ууу

Рисунок 11 - Дерево возможных вариантов



Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»: ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.

Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы.

В 6 классе для изучения элементов комбинаторики выделяется два параграфа: логика перебора и правило умножения. В данном учебнике, как и в 5 классе, продолжается решение задач путем систематического перебора возможных вариантов. Однако при этом учащиеся имеют дело с большим количеством элементов и в более сложных ситуациях. Они знакомятся с кодированием как способом представления информации, который позволяет упростить записи. Продвижением вперед является знакомство на содержательном уровне с комбинаторным правилом умножения. Задачи решаются как с опорой на зрительный образ, которым служит дерево, изображенное на бумаге или представленное мысленно, так и с помощью только логических рассуждений.

При введении правила умножения на наглядно-содержательной основе учащимся предлагаются задачи с большим числом вариантов решения, когда построение дерева оказывается технически трудоемким. При этом обращается внимание на то, что, если дерево симметричное или, как говорят, «правильное», его легко представить себе по отдельному фрагменту. Подсчитав число решений для выделенного фрагмента, нетрудно с помощью умножения определить число всех возможных вариантов решения. Термин «правило умножения» здесь не вводится, и какое-либо формальное правило действия не предлагается. Учащиеся остаются на уровне содержательного подхода.

Пример. На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных вариантов обеда из трех блюд можно составить по предложенному меню?

Решение. В меню указано 2 супа с каждым из них можно взять любое из трех вторых блюд. Получим 2?3=6 вариантов выбора супа и второго блюда. Каждому из шести вариантов можно взять любой из четырех соков. Получаем, 6?4=24 варианта обеда из трех блюд.

Данную задачу можно решить построением дерева:

*

1 2

1 2 3 1 2 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Рисунок 12 - Дерево вариантов

В 7 классе тема «Комбинаторика» рассматривается в двух параграфах. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений и правила умножения. В данном пункте дается формулировка правила умножения. Задачи более сложные. В следующем параграфе рассматриваются перестановки, где также дается определение перестановки и формула перестановки для решения задач, в этом же пункте вводится термин и обозначение «факториал». Также в учебнике имеется дополнительная информация о круговой перестановке.

Пример. В расписании 7 класса на четверг должно быть шесть предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание, на этот день?

Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: Р6=6!=1•2•3•4•5•6=720.

В 5 классе в главе «Введение в вероятность» во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов. Дается понятие «комбинация». По-нашему мнению, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, взяты не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи.

Пример. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, красного, синего. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны - свой флаг?

Решение. Предположим, что первая полоса (верхняя) - белого цвета (Б). Тогда вторая полоса (средняя) - может быть синей (С) или красной (К), а третья (нижняя) полоса, соответственно, красной (К) или синей (С). Получилось 2 варианта цвета полос: белая, синяя, красная (БСК) или белая, красная, синяя (БКС).

Пусть теперь первая полоса синего цвета (С). Тогда вторая полоса может быть белой (Б) или красной (К), а третья полоса, соответственно, красной (К) или белой (Б). Получилось два варианта: синяя, белая, красная (СБК) или синяя, красная, белая (СКБ).

Пусть, наконец, первая полоса красного цвета (К). Тогда вторая полоса может быть белой(Б) или синей (С), а третья полоса, соответственно, синей (С) или белой (Б). Получилось 2 варианта: красная, белая, синяя (КБС) или красная, синяя, белая (КСБ).

Таким образом, всего получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.



Рисунок 13 - Дерево возможных вариантов

В 6 классе, рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

Пример. Собрание для проведения тайного голосования по важному вопросу избрало счетную комиссию, в состав комиссии вошли Антонов, Борисова и Ващенко. Члены счетной комиссии должны распределить обязанности: председатель, заместитель, секретарь. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение. Для того чтобы решить задачу необходимо осуществить перебор возможных вариантов. Построим дерево возможных вариантов, используя кодировку: А-Антонов, Б-Борисова, В-Ващенко; кроме того, порядок расположения букв будет соответствовать распределению функциональных обязанностей: первая буква - председатель, вторая - заместитель, третья - секретарь.



Рисунок 14 - Дерево возможных вариантов

Итого получилось 6 вариантов распределения обязанностей между членами комиссии.

Также эту задачу можно решить, используя логические рассуждения и здравый смысл.

Если председатель выбран, то заместителем может быть любой из двух оставшихся членов комиссии (два варианта), а секретаря уже выбирать не из кого, им будет оставшийся член комиссии. Итого 3?2?1=6 вариантов.

Е.А. Бунимович «Математика-5», «Математика-6» [22, 23]

Учащиеся знакомятся с приемом решения комбинаторных задач путем перебора возможных вариантов, в том числе, с помощью дерева возможных вариантов. Материал органично включен в курс, изложен с акцентом на практическое применение к реальным ситуациям. Кроме того, формируется умение работать с информацией. В 6 классе вводится также предусмотренное стандартом понятие множества и рассматриваются диаграммы Эйлера. Теоретико-множественный язык и символика органично включаются в основное содержание курса С.А. Козлова, А.Г. Рубин «Математика - 5», «Математика - 6».

В учебнике для 5 класса тема «Комбинаторик» рассматривается на решении простейших комбинаторных задач путем перебора возможных вариантов, с помощью построения дерева возможных вариантов, число всех возможных пар, а также число пар, соответствующих определенным требованиям.

Пример. У путешественников есть три лески - красная, желтая и зеленая, и два крючка - большой и маленький. Им нужно сделать удочку, состоящую из лески и крючка. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение. Одним из возможных подходов к решению задачи такой:

Изобразим в верхнем ряду три точки, соответствующие лескам: К, Ж и З, а в нижнем ряду две точки, соответствующие крючкам: Б и М.

Тогда каждой удочке соответствует отрезок, один конец которого лежит в верхнем ряду, а второй - в нижнем.

К Ж З

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Б М

Рисунок 15 - Графическая иллюстрация задачи

Из рисунка 15, легко подсчитать, что соединить 3 лески и 2 крючка, можно шестью способами.

В 6 классе тема «Комбинаторика» начинает рассматриваться с повторения материала изученного в 5 классе. После чего предлагается формулировка правила умножения, дается определение и обозначение «факториала». Также в данном пункте вводится формула для вычисления количества различных пар на множестве из n элементов, и формула для вычисления количества различных троек на множестве из n элементов.

Пример. Сколькими способами можно построить в ряд 5 человек?

Решение. Первым в ряду можно выбрать любого из 5 человек, т.е. первого человека можно выбрать 5 различными способами. После того как первый человек выбран, второго можно выбрать четырьмя способами. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что третьего в ряду можно выбрать тремя способами, четвертого - двумя способами, пятого - единственным способом.

Применим правило умножения, подсчитаем количество способов:

5?4?3?2?1= 120 или 5! = 120.

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей» под редакцией С.А.Теляковского. [16]

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией С.А. Теляковского.

Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Например, §3 «Элементы комбинаторики» содержит четыре пункта: примеры комбинаторных задач, перестановки, размещения, сочетания.

1. Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.

2. Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.

3. Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

Пример. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение. Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо распорядком следования предметов. Значит, в этом примере речь идет о размещении из 8 элементов по 4. Имеем, А48= 8•7•6•5=1680.

Расписание можно составить 1680 способами.

4. Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

В данном пособии некоторые элементы вводятся таким же образом, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но теории и практических упражнений по комбинаторике содержится больше. По-нашему мнению, комбинаторика предлагается к изучению слишком поздно. Как уже отмечалось выше, начинать обучать комбинаторике лучше, как можно раньше.

Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Ю.Н.Макарычева и Н.Г. Миндюка [17, 18], а также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье В.Н.Студенецкой и О.М.Фадеевой [29], которые помогут учителю не допустить ошибок при работе с данным учебником.

М.В.Ткачева «Элементы статистики и вероятность». [31]

Это учебное пособие для 7-9 классов и оно дополняет учебники Ш.А.Алимова «Алгебра 7,8,9».

Первая глава «Введение в комбинаторику» в 7 классе начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и другие. Затем рассматриваются пункт различные комбинации из трех элементов, где рассматриваются сочетания, перестановки и размещения, но вводить сами термины при этом не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы - перестановки и разбиение на две группы, выдвижение гипотез.

В конце учебника содержатся краткие методические рекомендации для учителя. Также методические рекомендации к первой главе данного учебного пособия можно найти в статье М.В. Ткачевой. [33]

Пример. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение. С помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имен каждого из четырех мальчиков (Рис.).

В полном графе проводятся все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают шахматные партии, сыгранные каждой парой мальчиков. Граф имеет шесть ребер, значит, и партий было сыграно шесть.

Рисунок 16 - граф к задаче

На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник А.Г.Мордковича, к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов:

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «События, вероятности, статистическая обработка данных». [24]

Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Начинается изучение комбинаторики с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов.

Следующий параграф - выбор нескольких элементов, в котором рассматриваются сочетания. Сначала выводится формула для двух элементов, затем для трех, а потом общая для п элементов.

По комбинаторике материал изложен более удачно. Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье В.Н.Студенецкой и О.М.Фадеевой «Новое пособие по теории вероятностей для основной школы». [29]

В данном пособии не комбинаторика изучается как математический аппарат, нужный для анализа некоторых вероятностных схем решения задач, а наоборот, теория вероятностей изучается для развития комбинаторного мышления.

При формулировке комбинаторного правила умножения авторы заводят речь о каких-то испытаниях и их исходах, о независимости испытаний, а второй параграф о комбинаторике заканчивают подробными рассуждениями о соотношении между реальными «жизненными» ситуациями и их математическими моделями.

Комбинаторика, как и вся математика, имеет дело только с моделями количественных отношений и пространственных форм действительного мира, но отношение этих моделей к действительности в простейших случаях никаких вопросов не вызывает.

Таким образом, изложение элементов комбинаторики в пособии А.Г. Мордковича и П.В.Семенова представляет собой странное смешение комбинаторной и вероятностно-статистической проблематики. Возможно, авторы хотели таким образом подготовить учащихся к введению понятия вероятности на основе комбинаторных представлений.

На взгляд В.Н. Студенецкой и О.М.Фадеевой, авторы пособия этим только усложнили дело и внесли определенную путаницу в понимание того, какими же задачами занимается комбинаторика.

Пример. Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

Решение. Условно пронумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего пять рукопожатий. Для второго неучтенного оказались рукопожатия с третьим, четвертым, пятым, шестым. Всего четыре рукопожатия и т.д.

Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1=15.

1 2 1 2 1 2

3 3 3

6 5 4 6 5 4 6 5 4

пять рукопожатий четыре рукопожатия три рукопожатия

Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров и др. «Теория вероятностей и статистика».

Это пособие для учащихся 7-9 классов.

В блоке комбинаторики рассматриваются правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей.

Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу.

Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются, как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности. Но основной целью изучения комбинаторики является развитие мышления, и ее нельзя рассматривать только как средство для подсчета вероятности.

Пример. Предположим, что имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса, варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?

Решение. Выпишем сначала бутерброды с хлебом. Это бутерброд с сыром (БС), с колбасой (БК) и вареньем (БВ). Столько же бутербродов можно приготовить и с черным хлебом: ЧС, ЧК, ЧВ. Всего получается 6 бутербродов. Это число можно найти с помощью, так называемого комбинаторного правила умножения.

2.3 Развитие комбинаторного мышления школьников при изучении комбинаторики в 5-7 классах

Комбинаторика (комбинаторный анализ) - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами.

При изучении элементов комбинаторики в 5 классе основными задачами являются:

- Формирование умений и навыков в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов;

- Формирование умений подсчета комбинаторных объектов методом непосредственного перебора;

- Необходимо показать, что такое дерево возможных вариантов, показать его использование как один из методов решения комбинаторных задач.

В 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, при решении которых должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы.

На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.

Задача. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Решение. Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.

а) Антон и Борис б) Антон и Виктор в) Борис и Виктор

Теперь добавим условие, при котором, решая задачу, учтем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.

Задача. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.

Решение. Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место - Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.

После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывая порядок элементов в наборе.

Задача. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Решение. В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.

В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора, не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.

Задача. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2 и 3?

Решение. Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (Если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.

Задача. В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

Решение. В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.

При изучении элементов комбинаторики в 6 классе основными задачами являются:

- Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов.

- Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Знакомство учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению.

- знакомство с правилом суммы

- Формирование умений строить дерево возможных вариантов.

В 6 классе в теме «Комбинаторика» продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.

Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики: теоретико-множественный, лексико-графический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексикографическому подходу. При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др.

Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к лексикографическому подходу.

Рассмотрим задачу.

Задача. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны - свой флаг.

Решение. Мы можем записывать наше решение следующим образом: «1 вариант: первая полоса - красная, вторая - синяя, третья - белая.» и т.д. Но это очень долго и неудобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно - «Б», красный - «К» и синий - «С».

Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что первая полоса флага - белая, вторая - красная, третья - синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов.

Задача. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение. Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить.

Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. Причем число 35 и 53 означают одно и то же рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей:



12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

34, 35, 36, 37, 38,

45, 46, 47, 48,

56, 57, 58,

67, 68,

78.

Таким образом, у нас получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.

После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов.

Задача. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново - Борисово - Власово - Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

Решение. Построим для этой задачи дерево возможных вариантов:

Пусть у нас «П» -обозначает путь пешком; «Р» - сплавиться по реке; «В» - доехать на велосипедах.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 17 - Дерево возможных вариантов

Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.

Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2*2=4 варианта выбора способа передвижения. На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4*3=12. Ответ в этой задаче мы получили умножением. Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных вариантов является «правильным»: из каждого узла выходит одно и то же число веток.

Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных вариантов является «правильным»: из каждого узла выходит одно и то же число веток.

Задача. От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

Решение. Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 18 - дерево вариантов

Чтоб подняться у нас есть четыре тропы (четыре варианта) и на каждую из нее есть по три оставшихся тропы (три варианта), чтобы спуститься, т.е. 4•3=12 маршрутов подхода к озеру. А теперь представим, что к озеру ведут не четыре, а 10 троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались? Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего получим 10•9=90 различных маршрутов похода.

Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения, которое звучит следующим образом: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами, тогда выполнить все k действия в указанном порядке можно п1• п2•…• пk способами. Следует обратить внимание, что, применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. То есть правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов.

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?

На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель - любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30•29 = 870 способов.

Задача 2. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?

Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30•29):2.

Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.

Задача. Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?

Решение. Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами.

Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое - m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n+m способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.

Основной задачей при изучении элементов комбинаторики в 7 классе является: введение понятия перестановки и вывод формулы числа перестановок.

К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки.

Ранее учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько (2,3 или 4) элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось.

На данный момент мы уже знаем, количество перестановок для 2, 3 и 4-ех элементных множеств.

Задача. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение. Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье - любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4•3•2•1 = 24 способами.

Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов.

А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10•9•8•7•6•5•4•3•2•1=3 628 880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок. В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел. Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10! - и читается как «десять факториал». 0!=1 по определению.

Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из четырех элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок для множеств из n элементов равно n!.

Задача. Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через семь городов.

Решение. У нас есть семь городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.

Нужно дать учащимся несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб они лучше овладели навыками работы с ними.

1) Верно ли, что:

а) 10!=10•9! б) 10!=2!•5! в) 12!:11!=12?

2) найдите значения выражения 16! : 14! • 3!

В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.

Задача. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение. Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.

Задача. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение. Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!•4!.

Рассмотрим книгу В.С. Лютикас «Факультативный курс по математике. Теория вероятностей».

Обычно рассматривают правило произведения и «дерево» вариантов.

Список возможных задач по теме «Перестановки».

1. Сколько можно записать двузначных чисел? (90)

2. Сколько различных 5-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется. (120)

3. Сколько разных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется. (60)

4. Сколько можно составить 3-значных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться. (125)

5. Сколько 4-значных чисел можно составить из цифр 1 и 2? (16)

6. Сколько 5-значных чисел можно образовать из цифр 0 и 1? (16)

7. Сколько автомашин можно обеспечить 6-значными номерами? (106)

8. В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, заместителя и организатора внеклассных мероприятий класса. Сколькими способами можно организовать эту руководящую тройку, если одно лицо может занимать только один пост? (24360)

9. Сколько стартовых шестерок можно организовать из числа 10 волейболистов? (210)

10. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно организовать эту руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост? (303 600)

11. Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом черную. Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой кости, больше числа очков, появившихся на черной? (15)

Можно предложить следующее планирование по курсу в 7 классе (7 уроков).



Таблица

№	Тема	Содержание
1.	Наука о подсчете числа комбинаций - комбинаторика.	Определение, виды выборок (перестановки, размещения, сочетания). Правило суммы и правило произведения. Пример решения задачи.
2.	Решение задач.	№ 1-5
3.	Решение задач.	№ 6-11
4.	Геометрия и комбинаторика.	Решение задач из учебника (различные варианты, их анализ).
5.	Повторение.	Обобщение изученного.

Задачи на пересечение и объединение множеств

Пример 1. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро - фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Можно, конечно, «угадать» в процессе замысловатых рассуждений, можно - посредством вот таких действий:

1) 6 + 5 = 11.

2) 11 - 2 = 9.

Но как грамотно обосновать их? Как ответить на вопрос, что получилось в результате первого действия? Коротко - не получится, длинно - язык «сломаешь» и мысль «размажешь».

А ведь еще в XVIII в. великий Леонард Эйлер придумал очень красивый способ решения таких задач.

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов (впрочем, если это будут не совсем круги - не страшно). В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом - фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть (так как эту задачу можно предлагать на ранних стадиях обучения, то и слова надо употреблять простые, понятные детям, а не теоретико-множественные термины). В этой общей части (на рисунке затемненной) ставим цифру 2 (т.к. кактусы и фиалки у двоих). В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (всего кактусы - у шестерых, а двух мы уже учли). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3). А теперь сам рисунок подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Кактусы

Фиалки

Рисунок 19

Пример 3. Я живу в девятиэтажном доме, где на первом этаже нет квартир, а на всех остальных - по 4 квартиры. И в каждой квартире (кроме моей) есть какая-нибудь «живность». В 15 квартирах живут кошки, в 13 - собаки и в 13 - попугайчики. В одной квартире обитают и кошки, и собаки, в четырех - кошки и попугаи, а в одной - и кошки, и собаки, и попугаи. Сколько семей держат собак и попугаев?

Обратимся за помощью к тем же кругам Эйлера.

Остальное, как говорится, дело техники.

11 +0 + 3 + 1 + 13 - (1 +х) + х + + 13 - (3 + 1 + х) = 9 - 14, откуда следует, что х = 5, т. е. попугайчики мирно «уживаются» с собаками в 5 + 1 = 6 квартирах.

Решено три задачи. И хотя это не было заявлено официально, а было преподнесено в «легком жанре» (на предмет показа органичного введения элементов занимательности), все здесь было сделано с учетом основных принципов дидактики (начиная с перехода от простого к сложному и т. д.) и жизненного опыта.

Последняя из этих задач рассчитана на шестиклассника, но и умный пятиклассник может сообразить, как найти выход из создавшегося затруднительного положения (речь идет о решении получившегося уравнения).

Вспомнив, что собаки живут в 13 квартирах (т. е. выделенный круг содержит в себе 13 голов), можно сделать уравнение проще, а именно:

13+11 +3 + 13 - (4 + х) = 31

Рисунок 20

Такое уравнение пятикласснику под силу, как и следующие 10 задач.

№ 1. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

№ 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

№ 3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 - фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

№ 4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

№ 5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

№ 6. 65 % дедушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться капустой?

№ 7. В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 - гречневую и 7 малышей - перловую. Четверо любят и манную кашу, и гречневую, 3 - манную и перловую, 6 - гречневую и перловую, а двое с удовольствием «уплетают» все три вида каши. Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного ребенка, вовсе не любящего кашу?

№ 8. В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15 - джаза и 14 - народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз - 7, классику и народную - 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

№ 9. В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 - в цирке и 6 - на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

№ 10. Если я не ошибаюсь, в нашем садово-огородном обществе только я не выращиваю орехов. Гуляя по улице, я насчитала на 19 участках фундук, на 40 - грецкий орех, на 34 - арахис. На 11 участках я обнаружила и фундук, и арахис; на 6 - фундук и грецкий орех; на 20 - арахис и грецкий орех. А мой сосед выращивает все три вида орехов. Всего у нас в обществе 56 участков. Верно ли это?

Остальные задачи с равным успехом можно предлагать и шестикласснику, и абитуриенту.

№ 11. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

№ 12. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

№ 13. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

№ 14. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, nb крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

№ 15. Из сотрудников фирмы 16» побывали во Франции, 10 - в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

№ 16. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решивших задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше - решивших задачу или девочек?

№ 17. В поход отправились учащиеся 5 и 6 классов. Мальчиков было 16; шестиклассников и шестиклассниц всего 24; пятиклассниц столько, сколько мальчиков из 6 класса. Сколько всего детей отправилось в поход?

№ 18. В салоне небольшого самолета было 42 пассажира. Некоторые из них были москвичами, остальные - иногородние. Среди москвичей было 9 мужчин. Некоторые из пассажиров были артистами, но ни одна из иногородних женщин артисткой не была. Всего иногородних мужчин было 18. Из них 13 не были артистами. Среди пассажиров, не являющихся артистами, было 16 мужчин и 11 женщин. 5 москвичей не были артистами. Сколько всего артистов было в самолете?

№ 19. Получил я посылку от своих друзей из Сочи с яблоками и грушами. Одни плоды были большие, другие маленькие. Да и по цвету, они отличались: часть была желтого цвета; часть - зеленого. Среди плодов не было маленьких груш и не было маленьких зеленых яблок. Яблок было 25. Груш было 17. Больших плодов было 32. Желтых плодов было 28. Зеленых яблок было на 2 больше, чем зеленых груш. Сколько больших желтых яблок было в этой посылке?

№ 20. Наш класс изготовил кубики для детского сада. Несколько кубиков мы склеили из картона, а остальные сделали из дерева. Кубики были только двух размеров: большие и маленькие. Когда кубики были готовы, мы покрасили их: несколько кубиков в зеленый цвет, а остальные - в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых кубиков большого размера было 6. Больших зеленых кубиков из картона - 4. Красных кубиков из картона было 8, а красных кубиков из дерева - 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11. Сколько всего кубиков мы изготовили?

Ответы: № 1. 89 семей. № 2. 2 ученика. № 3. Не менее 28 учеников. № 4. 7 одноклассников. № 5. 9 футболистов; 9 теннисистов. № 6. 45 %. № 7. 20 ребятишек. № 8. 3 студента. № 9. 20 учеников. № 10. Ошибаюсь! № 11. 14 учеников. № 12. 1 девушка. № 13. 4 ученика. № 14. 70 человек. № 15. 7 сотрудников. № 16. Поровну. № 17. 40 учеников. № 18. 15 артистов. № 19. 3 больших желтых яблока. № 20. 33 ящика.

2.4 Формирование критического мышления при использовании элементов комбинаторики в обучении

Одна из основных задач современного обучения состоит в развитии личности учащихся и подготовке к получению образования на основе профильного изучения математики. Эта задача требует развития математической культуры учащихся, основным компонентом которого является математическое мышление.

На основе изучения логического и комбинаторного мышления как видов мышления, анализа психолого-педагогической литературы сформулировано определение комбинаторно-критического мышления и его развития как синтеза двух видов мышления.

Комбинаторно-критическое мышление - мышление, реализуемое посредством мыслительных операций, направленного на выделение конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий, дальнейшего процесса преобразования числа выделенных выборов в зависимости от субъектного опыта ученика.

Чтобы развивать комбинаторно-критический стиль мышления у старшеклассников необходимо чтобы:

- учащиеся умели находить и видели, как можно больше вариантов подхода к одной и той же проблеме, а также могли выбрать наиболее оптимальный, исходя из поставленных целей и задач;

- учащиеся умели рассматривать собственные действия и действия других с различных точек зрения, развивая тем самым критическую и рефлексивную компоненты;

- учащиеся умели, применяя ряд мыслительных операций, переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению решения с различных позиций;

- учащиеся смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания своей профессиональной карьеры.

Умение решать задачи, разрабатывать стратегию их решения, выдвигать и доказывать гипотезы, прогнозировать результаты своей деятельности, анализировать и находить рациональные способы решения задачи путем оптимизации, различных вариантов перебора с использованием логических операций позволяют судить об уровне развития комбинаторно-критического мышления школьников.

Необходимость поиска новых эффективных средств развития комбинаторно-критического мышления школьников обусловлена его значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном обществе. Умение логически рассуждать, вариативно мыслить является показателем общей культуры мышления человека.

Чтобы развивать комбинаторно-критический стиль мышления у старшеклассников необходимо чтобы:

- учащиеся умели находить как можно больше вариантов подхода к одной и той же проблеме, а также могли выбрать наиболее оптимальный вариант, исходя из поставленных целей и задач;

- учащиеся умели рассматривать собственные действия и действия других с различных точек зрения, развивая тем самым критическую и рефлексивную компоненты;

- учащиеся умели, применяя ряд мыслительных операций, переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению решения с различных позиций;

- учащиеся смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания своей профессиональной карьеры.

Предлагается следующая система педагогических условий, помогающих организовать деятельность по формированию и развитию комбинаторно-критического мышления старшеклассников.