Обучение учащихся элементам комбинаторики как средство развития у них критического мышления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Благовещенский государственный педагогический университет»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики обучения математике

Выпускная квалификационная работа

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТАМ КОМБИНАТОРИКИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ У НИХ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ



ВВЕДЕНИЕ

В условиях развития Российского образования педагоги используют эффективные методики обучения, отвечающие требованиям современной педагогики. В связи с этим завоевывают известность методики обучения, повышающие мотивацию обучения, увеличивающие познавательный интерес к дисциплине, помогающие традиционными и инновационными способами научить с максимальной эффективностью основным приемам и навыкам учащихся. В наше время имеется множество различных педагогических технологий, заслуживающих внимания педагогов.

Технология формирования критического мышления позволяет:

- активизировать мыслительную деятельность учащихся,

- научить выделять главное, анализировать ситуацию,

- устанавливать причинно-следственные связи,

- стимулировать творческую деятельность,

- проявлять креативные способности,

- выполнять исследования и делать умозаключения.

Необходимость применения данной технологии определена принадлежностью к развивающему обучению, современным подходом к образованию, перспективой воспитания нравственных основ личности школьников.

Элементы технологии критического мышления применяются давно, но интерес к данной методике обучения увеличился только в настоящее время в связи с модернизацией системы образования в общем и изменением личности учащегося и педагога в частности.

Объект исследования: процесс развития критического мышления учащихся в процессе обучения математике.

Предмет исследования: условия развития критического мышления учащихся при обучении их элементам комбинаторики.

Цель: выявить методические приемы и условия, способствующие развитию критического мышления у учащихся при обучении комбинаторике.

Задачи:

1. При анализе психологической, педагогической и методической литературы уточнить понятие критического мышления и изучить технологию развития критического мышления;

2. Проанализировать учебно-методическую литературу по математике;

3. Выявить особенности развития критического мышления при изучении математики в частности при изучении элементов комбинаторики;

Актуальность исследования: Рассмотрение научной литературы и педагогического опыта позволил выявить ряд противоречий в развитии математического мышления школьников:

- между увеличившимися требованиями к уровню развития мыслительной деятельности выпускников общеобразовательной школы и отсутствием в школьной практике специальной работы, ориентированной на развитие мышления учащихся;

- между необходимостью организации специальной работы, ориентированной на развитие математического мышления учащихся и отсутствием научно-методического обеспечения этой работы;

- между необходимостью использования в процессе обучения основ логики, комбинаторики и их практическим отсутствием в профессиональной компетентности учителей математики;

- между широкими возможностями формирования комбинаторно-критического мышления учащихся на уроках математики и недостаточной разработанностью методических направлений, учебно-методических комплексов, обеспечивающих развитие комбинаторно-критического мышления.

Хотя вопросам формирования мыслительной деятельности ученика уделяется достаточно большое внимание, тем не менее, необходимо отметить крайне низкое усвоение способов комбинаторно-критического мышления как в рамках школьной, так и социальной среды.

Поэтому одной из важнейших задач образования остается задача развития мышления учащихся, в котором одной из главных составляющих является комбинаторно-критическое мышление.

Под комбинаторно-критическим мышлением будем понимать продуктивный процесс, в результате которого происходит выбор необходимых знаний, способов и методов, направленных на разрешение различным числом вариантов, как частных конкретных задач, так и поиск общих закономерностей посредством модельно-мыслительных рассуждений.

Критическое мышление, то есть творческое, помогает человеку установить собственные приоритеты в личной и профессиональной жизни, предполагает принятие индивидуальной ответственности за сделанный выбор, формирует умение анализировать и делать самостоятельные выводы, прогнозировать последствия своих решений и отвечать на них, позволяет развивать культуру диалога в совместной деятельности. [28]

Современного ученика трудно мотивировать к познавательной деятельности, к поиску пути к цели в поле информации и коммуникации. Это происходит потому, что дети часто испытывают серьезные затруднения в восприятии учебного материала по всем школьным предметам. [1] Причиной этого является недостаточно высокий уровень развития мышления, в том числе критического. А это очень важно для человека в современном мире, который живет в новом веке с новым обликом познавательной культуры.



1. Формирование основ критического мышления у школьников на уроках математики

1.1 Понятие и цели внедрения технологии критического мышления

Технология критического мышления занимает значительную часть в педагогической практике, так как помогает добиться лучших результатов для освоения универсальных учебных действий школьников. А именно, обращают на себя внимание следующие «плюсы» данной образовательной технологии:

- формируется собственное мнение обучающихся,

- совершается обдуманный выбор между различными мнениями,

- самостоятельно решаются проблемы,

- учит аргументировано спорить,

- ценится совместная деятельность, в которой возникает общее решение,

- воспитывается умение ценить чужую точку зрения и сознание, что восприятие человека и его отношение к любому вопросу формируется под влиянием многих факторов.

Критическое мышление - это тип мышления о знании, каком-либо предмете, содержании или проблеме, при котором думающий улучшает качество его мышления с помощью умелого использования структур и интеллектуальных стандартов, присущих мышлению.

Критическое мышление (англ. critical thinking) - система суждений, которая используется для анализа вещей и событий с формулированием обоснованных выводов и позволяет выносить обоснованные оценки, интерпретации, а также корректно применять полученные результаты к ситуациям и проблемам. [25]

В общем значении под критическим мышлением подразумевается мышление более высокого уровня, чем составление вопросов.

В качестве результата внедрения критического мышления можно разобрать критерии для человека, обучающегося с помощью данной образовательной технологии.

Данная методика:

- поднимает актуальные проблемы и вопросы, формулируя их ясно и четко;

- собирает и аккумулирует относящуюся к делу информацию, используя абстрактные идеи, чтобы эффективно их интерпретировать;

- подводит к обоснованным заключениям и решениям, проверяя их по критериям и стандартам;

- предлагает задуматься непредубежденно в пределах альтернативных систем мышления, распознавая и допуская, по необходимости, их предположения, причастность и практическое соответствие;

- помогает эффективно общаться с другими при выработке решения.

Критическое мышление, коротко, - это самонаправляемое, самодисциплинируемое, самооценивающее и самокорректирующее мышление. Это предполагает соглашение со строгими стандартами, что влечет за собой эффективную коммуникацию и способность решать проблемы и обязательство преодолевать наш природный эгоцентризм и социоцентризм.

При планировании и проведении урока с элементами критического мышления преподаватель ставит перед собой три цели обучения: образовательные, воспитательные и развивающие. Каждая составляющая имеет свое направление воздействия на учащихся, но они тесно переплетаются и, как правило, могут быть реализованы только в совокупности. Критическое мышление является частью развивающего обучения. Поэтому развивающие цели весьма важны при проведении учебных занятий, ведь развитие должно прослеживаться на каждом шаге учебной деятельности.

К основным развивающим целям технологии критического мышления относятся:

- развитие памяти, внимательности, усидчивости;

- формирование умения выделять главное;

- увеличение степени развивающего воздействия на формирование личностных качеств обучаемых;

- формирование умений сравнивать, обобщать, контролировать, оценивать, анализировать, делать выводы;

- развитие познавательных возможностей, творческих способностей, креативности личностных качеств;

- организация способности общения (живого, виртуального, обоюдного, группового и т.д.);

- развитие самостоятельности, трудолюбия, специфичных способностей;

- развитие логического мышления;

-формирование эстетического восприятия окружающей действительности;

- развитие инициативы, познавательного интереса;

- обучение методам исследовательского поиска;

- развитие мыслительной деятельности;

- развитие практической направленности изучаемого материала;

- развитие интеграционных связей с другими дисциплинами;

- проведение анализа межпредметных связей;

- опора на морально-нравственные ценностные ориентиры;

- увеличение развивающих способностей;

- развитие нестандартного мышления;

- использование личностного и субъектного опыта;

- стимулирование «я - концепции»;

- внедрение ситуации «успеха» в образовательный процесс;

- развитие индивидуальных особенностей учащихся.

При проведении уроков математики с элементами технологии критического мышления, к развивающим целям можно добавить следующие:

- введение элементов опережающего обучения;

-развитие умений применять математические знания для решения практических задач;

- решение задач повышенной сложности;

- решение задачи разными способами;

- развитие математического мышления через методы активного обучения;

- развитие вычислительных навыков, кругозора школьников;

- формирование информационной культуры, овладение анализа информации и навыками поиска;

- развитие математической интуиции, логического мышления, применение знаний в нестандартных ситуациях, умения анализировать;

- привитие любви к математике,

- развитие у учащихся коммуникативных компетентностей (культуры общения, умения работать в группах),

- обучение самостоятельной деятельности по овладению знаниями.

Понятие «критическое мышление» является важной категорией для всей темы критического мышления. Под критическим мышлением в отечественной психологии принято понимать - основной канальный фактор для подрыва взглядов не только деструктивных культов, но и любых других попыток манипуляторной эксплуатации недостатков человеческой психики и мышления.

К конкретным инструментальным чертам относятся:

- Взвешенное суждение,

- Оценивающее суждение,

- Допущение,

- Классификация,

- Формулирование суждений на основе критериев,

- Понимание принципов,

- Предложение мнений с аргументами,

- Построение гипотезы,

- Логическое формулирование выводов. [3]

Г. В. Сорина считает, что критическое мышление предполагает наличие навыков рефлексии относительно собственной мыслительной деятельности, умение работать с суждениями, понятиями, вопросами, умозаключениями, развитие способностей к аналитической деятельности, а также к оценке аналогичных возможностей других людей.

Критическому мышлению в целом свойственна практическая ориентация. В силу этого оно может быть проинтерпретировано как форма практической логики, рассмотренной внутри и в зависимости от контекста рассуждения и индивидуальных особенностей рассуждающего субъекта.

Вместе с тем одна из главных особенностей критического мышления заключается в том, что оно учит конструированию рассуждений и анализу, получению знания вне зависимости от профессиональной сферы деятельности.

Критическое мышление ориентируется на анализ «естественных» рассуждений, не стремясь подогнать их под стандартные структуры формальной логики. [31]

В зарубежной психологии термин «критическое мышление» был одним из главных в философии Карла Поппера. Согласно его эволюционной эпистомеологии любой живой организм работает как решатель проблемы. При этом данные из окружающего мира используются для подтверждения или опровержения гипотез, которые живой организм предварительно задает. Не только организм, но и знание, которое он несет и хранит, адаптируется к окружающей среде путем естественного отбора. Знание всегда есть результат устранения плохо приспособленных гипотез или адаптаций. Если перед организмом встает проблема, то она ищет попытки решения с помощью выдвижения пробных теорий. Пробные теории подвергаются критическому процессу устранения ошибок. Как подчеркивал Поппер, все организмы, чрезвычайно активны в приобретении знания. [26]

Д. Клустер определял критическое мышление через 5 пунктов:

1. Критическое мышление есть мышление самостоятельное. Следовательно, мышление может быть критическим только тогда, когда оно носит индивидуальный характер.

2. Информация является отправным, а отнюдь не конечным пунктом критического мышления. Знание создает мотивировку, без которой человек не может мыслить критически.

3. Критическое мышление начинается с постановки вопросов и уяснения проблем, которые нужно решить.

4. Критическое мышление стремится к убедительной аргументации. Критически мыслящий человек находит собственное решение проблемы и подкрепляет это решение разумными, обоснованными доводами. Под всеми названными элементами аргументации - утверждением, доводами и доказательствами - лежит четвертый элемент: основание.

Основание - это некая общая посылка, точка отсчета, которая является общей для оратора или писателя и его аудитории и которая дает обоснование всей аргументации.

5. Критическое мышление есть мышление социальное. Всякая мысль проверяется и оттачивается, когда ею делятся с другими. Когда мы спорим, читаем, обсуждаем, возражаем и обмениваемся мнениями с другими людьми, мы уточняем и углубляем свою собственную позицию. [9].

Р. У. Поль писал: «Люди просто не должны доверять своим инстинктам. Они, несомненно, не должны доверять тому, что спонтанно происходит с ним. Они не должны принимать за истинное все, что преподносится как истинное. Они не должны предполагать, что их опыт необъективен. Они нуждаются в том, чтобы быть сформированными, они не рождены со стандартами, априорными нормами, суждениями, претендующими на абсолютную истинность, законность. Они должны вырастить в себе привычки и черты, которые объединят эти стандарты в их жизни». Критическое мышление - это размышление о мышлении, когда вы размышляете с целью улучшить своё мышление… При этом два момента имеют определяющее значение: критическое мышление - это влекущее за собой самоусовершенствование; и это усовершенствование приходит с навыками использования стандартов корректной оценки мыслительного процесса использования стандартов корректной оценки мыслительного процесса» [25].

Одна из самых популярных концепций критического мышления принадлежит американскому педагогу Р. Эннису, который одним из первых разработал систему установок или готовностей к критическому мышлению, или, другими словами, внутренних мотиваций, влияющих на «качество» мышления. Согласно концепции Р. Энниса критически мыслящий человек должен:

1. Заботиться о том, чтоб его решения, взгляды, были четко обоснованы, а для этого ему необходимо:

- Стремиться к поиску новых гипотез, альтернативных объяснений источников, выводов;

- Быть хорошо информированным;

- Рассматривать точки зрения, отличные от своих собственных;

- Расширять свой кругозор, стремиться к разносторонней осведомленности.

2. Быть способным четко представлять, как свою позицию, так и позицию других;

- Ясно и точно понимать сказанного и написанного, принимая во внимание особенности ситуации;

- Концентрироваться на выводе или вопросе, стремиться придерживаться основной темы;

- Искать и предлагать доводы (обоснования);

- Принимать во внимание всю ситуацию в целом;

- Осознавать собственные убеждения;

3. Уважать мнение и достоинства собеседника, т.е.:

- Уметь слушать и слышать других;

- Избегать критических замечаний, принимая во внимание чувства собеседника, быть восприимчивым и стремиться к пониманию чужих чувств, уровня познаний и глубины суждений;

- Быть внимательным к состоянию другого человека.

В основу современных концепций, описывающих интеллектуальные умения критического мышления, положены идеи американского исследователя Э. Глейзера. Он первым изложил набор определённых умений, которые, по его мнению, относятся именно к критическому мышлению: умение распознавать проблему и находить пути её решения, собирать и упорядочивать необходимую информацию, распознавать неподтверждённые предположения и оценки; точность и избирательность в использовании и восприятии языковых средств; умение истолковывать факты и информацию, давать оценку доказательствам, обнаруживать существование или отсутствие логических связей между суждениями, делать правомерные выводы и обобщения и подвергать их сомнению, перестраивать собственную систему убеждений и формировать правильные суждения о явлениях повседневной жизни.

Описанные Э. Глейзером интеллектуальные умения и навыки получили своё развитие в исследованиях Р. Энниса, Р. Пола, С. Норриса, А. Фишера. Вопрос о наборе тех или иных умений, которые относятся именно к умениям критического мышления, до сих пор остаётся «открытым», т.к. каждый из авторов предлагает свою систему, ровно, как и определение самого понятия «критическое мышление». Так, Р. Эннис выделяет 12 основных умений критического мышления, в то время как в концепции Р. Пола их число достигает 35. Выделим наиболее существенные, на наш взгляд, мыслительные умения, которые нашли отражение в большинстве современных концепций критического мышления:

- Оценка надёжности источников информации;

- Умение выделить необходимую информацию и способность к дальнейшей её обработке;

- Ясность изложения собственной позиции, точность в выборе языковых средств;

- Анализ и оценка высказываний, предположений, выводов, аргументов, гипотез, убеждений;

- Рассмотрение проблемы с различных углов зрения и сравнение различных позиций и подходов;

- Умение задавать вопросы с целью получения более точной информации или её проверки;

- Принятие решений и умение обосновать свой выбор.

Использование данных умений в повседневной жизни и на учебном занятии имеет место при наличии уже накопленных знаний и опыта. Критическое мышление - это своего рода «мышление о знании», которое позволяет «использовать ранее приобретённые знания, чтобы создавать новые». При этом понятие «знание» употребляется в самом широком смысле слова. По мнению автора книги «Критическое мышление и обучение» М.Мейсона знаниевый компонент критического мышления это - «…определённый объём знаний, будь то знание основных понятий, относящихся к критическому мышлению, или знание той или иной научной дисциплины, к которой критическое мышление может быть в последствии применено». Так, например, Р. Эннис полагает, что критическое мышление, являясь междисциплинарной и над предметной категорией, носит дедуктивный характер: учащийся овладевает интеллектуальными умениями критического мышления вне конкретной научной дисциплины и может применять их в различных областях знаний. В то время как Дж. Мак Пэк подчёркивает индуктивный характер критического мышления, полагая, что оно неотделимо от конкретной научной области и что необходимым условием критического рассмотрения проблем той или иной научной дисциплины является глубокое знание этой самой дисциплины. «Мы не можем критически рассматривать проблемы ядерной физики, не зная самой ядерной физики», - пишет автор.

Цель критического мышления - тестирование предложенных идей: применимы ли они, как можно их усовершенствовать и т. п. Чтобы провести соответствующий отбор надлежащим образом, необходимо, во-первых, соблюдать известную дистанцию, т. е. уметь оценивать свои идеи объективно, и, во-вторых, учитывать критерии, или ограничения, определяющие практические возможности внедрении новых идей.

Еще одной целью данной технологии является проверка предложенных решений с целью определения области их возможного применения, выявляющее их недостатки и дефекты. [15]

Для установления исходного уровня склонности к критическому мышлению использовался тест - «Бытовые Рассуждения» («Everyday Reasoning») - созданный в Калифорнийским университете, выявляющий склонность к критическому мышлению.

Западная психолого-педагогическая традиция располагает целым рядом отдельных исследований (П. Фэкайон, Н. Фэкайон, С. Джанкарло, Р. Эннис, С. Норрис, Г. Саломон), посвящённых изучению установок на критическое мышление, методик их развития и диагностики.

1.2 Этапы технологии развития критического мышления

Критическое мышление, есть мышление самостоятельное, носит индивидуальный характер, и означает, что человек пытается самостоятельно, независимо от остальных, сформулировать идею или дать оценку ситуации. Критическое мышление осуществляется в ситуации реально значимой для человека, определяемой его потребностями и целями.

Технология представляет собой совокупность приемов, направленных на то, чтобы заинтересовать ученика, пробудить его к деятельности, создать условия для обобщения информации, способствовать развитию критического мышления, навыков самоанализа и рефлексии. На основе этой технологии можно обучить школьников добывать информацию из различных источников.

Выполняя задание в группе, между собой общаясь, учащиеся принимают участие в добывании информации для решения вопроса, в построении знаний. Школьники приобретают новое качество, характеризующее развитие интеллекта на новом этапе, способность критически мыслить.

Выделяют следующие признаки критического мышления:

- мышление продуктивное, в ходе которого формируется позитивный опыт из всего, что происходит с человеком;

- самостоятельное, ответственное;

- аргументированное, поскольку убедительные доводы позволяют принимать продуманные решения;

- многогранное, так как оно проявляется в умении рассматривать явление с разных сторон;

- индивидуальное, ибо оно формирует личностную культуру работы с информацией;

- социальное, поскольку работа осуществляется в парах, группах; основной прием взаимодействия - дискуссия.

Критическое мышление начинается с вопросов и проблем, а не с ответов на вопросы преподавателя. Человек нуждается в критическом мышлении, которое помогает ему жить среди людей, социализироваться.

Основу технологии данного мышления составляет трехфазный процесс:

- Вызов,

- Осмысление содержания,

- Рефлексия,

Данную технологию можно использовать для учащихся любого возраста и применять на любой дисциплине школьной программы.

1. Стадия вызова.

Происходит выявление первоначальных представлений учащихся о теме обсуждения. Школьник ставит перед собой вопрос "Что я знаю?" по данной проблеме.

Задачи этапа:

- Актуализация имеющихся знаний;

- Пробуждение интереса к пробуждению новой информации;

- Постановка учеником собственных целей обучения;

- Определение вопросов, на которые необходимо найти ответы.

Можно предложить школьнику работу с вопросами по проблеме. Данная работа может проходить в два этапа: парная ("я сам"), групповая работа ("мы вместе"). Также может использоваться прием - "мозговая атака". На стадии вызова у ребенка должно сформироваться представление, чего же он не знает, "Что хочу узнать?"

Это побуждает школьников вспомнить, что они уже знают по этой теме, привести имеющиеся знания в определенную систему, а также поделиться своими знаниями. На стадии вызова целесообразно сочетать индивидуальную и групповую формы обучения.

На стадии вызова можно предложить каждому из учащихся начертить в тетради таблицу 1, и после проведения фронтальной беседы о познавательном объекте, заполнить колонки «Знаю», «Хочу узнать».



Таблица 1 - Выявление имеющихся знаний у учащихся

Знаю	Хочу узнать	Узнал
Записываются знания, которыми владеют учащиеся. Пополняется после групповой работы по обмену знаниями.	Обозначаются вопросы, знаний по которым не достаточно.	После работы записываются те знания, которые ученик индивидуально «Узнал» после работы с учебным текстом.

Информация, полученная на стадии вызова, выслушивается, записывается, обсуждается. Работа ведётся индивидуально, в группах или парах.

Таблица 2 - Деятельность на стадии вызова

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Приёмы и методы
Направлена на вызов у учащихся имеющихся знаний по изучаемой теме, вопросу; активизацию их деятельности; мотивация к дальнейшей работе.	Вспоминает, что известно по изучаемому, делает предложения, систематизирует информацию до изучения нового материала, задаёт вопросы, на которые хочет получить ответы.	Составление списка «известной информации»: • Рассказ-предположение; • Кластеры, таблицы; • Словарь понятий, терминов; • Ключевые понятия; • Логические цепочки;

2. Стадия осмысления.

Эта стадия начинается вместе с подачей новой информации. На этой стадии происходит соприкосновение учащихся с новыми знаниями, понятиями, идеями. Новая информация может быть представлена в виде текста, лекции, видеофильма. Здесь происходит соотнесение новой информации с той, которой ранее располагали учащиеся. Задачи стадии:

- Корректировка учеником поставленных целей обучения;

- Получение новой информации;

- Корректировка первоначальных знаний по теме.

Во время этой фазы урока учащиеся работают самостоятельно. Задачей учителя является поддержка активности учащихся, которая была достигнута на стадии вызова. На данной стадии школьник под руководством учителя и с помощью своих товарищей ответит на те вопросы, которые сам поставил перед собой на первой стадии (что хочу знать).

Здесь может быть предложена работа с текстом: прочитать, пересказать, растолковать соседу (группе), заполнение матричной таблицы, чтение с пометками текста (“V” - уже знаю; “+” - новое; “-” - противоречит взглядам; “?” - “хочу узнать подробнее”), выписка из текста. Например, при использовании метода перестановок при решении комбинаторных задач возможно следующее деление на части:

Таблица 3 - Прием «Инсерт»

Значки	Ключевые слова
	Понятие множества
+	С множествами можно делать действия, использовать основные свойства
-	Не думал, что для работы с множествами возможны формулы, думал, что такие задачи решаются перебором решений
?	Как решаются практические задачи

В ходе работы с учебным текстом, каждый ученик индивидуально заполняет колонку «Узнал». Осуществляется непосредственный контакт с новой информацией (текст, фильм, лекция, материал параграфа, рассказ).

Работа ведётся индивидуально, в парах или группах.

Таблица 4 - Деятельность на стадии осмысления

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Приёмы и методы
Направлена на сохранение интереса к теме при непосредственной работе с новой информацией, постепенное продвижение от знания «старого» к «новому».	Ученик читает или слушает текст, используя предложенные учителем активные методы чтения, делает пометки на полях или ведёт записи по мере осмысления новой информации.	Методы активного чтения: • инсерт; • двухчастные и трёхчастные дневники; • бортовые журналы; • таблицы «З-Х-У» • фишбоун; • кластеры, зигзаг…

На этой стадии можно провести чтение текста с пометками, что позволяет не только проанализировать текст повторно, но и учит школьников переводить обширную информацию из текстовой в табличную форму. Смысл используемых знаков необходимо оговорить заранее.

Используемые приемы: изучение текста и его отдельных частей, просмотр видеофильма, прослушивание лекций учителя.

3. Стадия рефлексии.

На завершающем этапе урока проводится фронтальная беседа с опорой на те новые знания, которые получены в ходе работы с текстом и проведения лабораторных и практических работ. Осуществляется окончательная коррекция колонки «Узнал» в таблице 1. Задачи этапа:

- Размышление;

- Рождение нового знания;

- Постановка учеником новых целей.

Размышление и обобщение того, “что узнал” ребенок на уроке по данной проблеме. На этой стадии может быть составлен опорный конспект в тетради учащегося. Кроме того, могут быть осуществлены: а) возврат к стадии вызова; б) возврат к ключевым словам; в) возврат к перевернутым логическим цепочкам; г) возврат к кластерам.

На стадии рефлексии осуществляется анализ, творческая переработка, интерпретация изученной информации. Работа ведется индивидуально, в парах или в группах.

Таблица 5 - Деятельность на стадии рефлексии

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Приёмы и методы
Учителю следует вернуть учащихся к первоначальным записям; внести корректировку, дополнения; дать творческие, исследовательские или практические задания на основе изученной информации.	Учащиеся соотносят «новую» информацию со «старой», используя знания, полученные на стадии осмысления содержания.	Кластеры, таблицы. Причинно-следственные связи. Возврат к ключевым словам. Ответы на поставленные вопросы. Организация круглых столов, дискуссий. Творческие работы, исследования.



Завершается урок составлением кластера, который продемонстрирует взаимосвязь основных понятий рассмотренных на уроке.

Используемые приемы: составление схемы, таблицы обсуждения, дискуссия, краткое сочинение, карты познания, кластер, синквейн, рисунок и т.д.

Представим основные характеристики критического мышления, в виде схемы 1: [37]

Схема 1- Характеристика критического мышления

При использовании технологии критического мышления происходит формирование нравственных качеств личности школьников, они показаны на схеме 2. [37]



Схема 2- Формирование нравственных качеств личности школьника

1.3 Методические приемы развития критического мышления учащихся

Технология критического мышления предполагает групповую, командную формы работы, которые формируют коллективную, коммуникативную формы работы. Рассмотрим схему 3, на которой показаны составляющие понятия «команды» и назначение составляющих этого понятия.



Схема 3 - Составляющие понятия «команды» с позиции критического мышления

Для каждой стадии реализации критического мышления характерны свои методические приемы, перечисленные далее.

1 - Вызов

- Индивидуальная, парная и групповая мозговая атака.

- Работа с ключевыми терминами.

- Перевёрнутые логические цепи (связать последовательность элементов информации в нужной последовательности).

- Свободное письмо (задаётся тема, а способ воплощения - нет; пишите всё, что приходит в голову: это может быть связанный текст, или опорные словосочетания).

- Разбивка на кластеры (построение логографа-выделение блоков идей).

- Механизм ЗХУ (знаю, хочу узнать, узнал).

2 - Стадия осмысления

- Маркировочная таблица («5» - я так и думал, «+» - новая информация, «+!» - очень ценная информация, «-» - у меня по-другому, «?» - не очень понятно, я удивлён).

- Взаимоопрос и взаимообучение (например, задать друг другу вопросы).

- Двойной дневник (страница делиться на две части: слева - что понравилось, запомнилось, справа - почему, какие ассоциации).

3 - Рефлексия

- Возврат к стадии вызова (обсудить, что совпадает с началом).

- Возврат к ключевым словам.

- Возврат к перевернутым логическим цепочкам.

- Возврат к кластерам (их заполнение).

- Возврат к ЗХУ.

Дополнительные приемы

А) Трёхчастный дневник (В третьей колонке - письмо учителю, описание впечатлений, предложения).

Таблица 6 - Трехчастный дневник

Вопросительные слова	Основные понятия темы	Описание впечатлений, предложения
…	…	…

Б) Графическая организация материала (Концептуальная таблица).

Рисунок 1 - Концептуальная таблица



В) Кубик

Рисунок 2- Кубик

Дать описание граней.

Сравнить с чем-нибудь.

Проассоциируй (на что похоже).

Проанализируй (из чего состоит).

Применить это.

Привести примеры.

Г) Синквейн - способ творческой рефлексии - “стихотворение”, написанное по определенным правилам:

1 строка - одно существительное,

2-я - два прилагательных,

3-я - три глагола,

4-я - крылатая фраза,

5-я - одно существительное, которое выражает суть.

"Критическое мышление" можно смело отнести к инновационным технологиям, так как она соответствует основным параметрам инновационного образования. Например, синквейн комбинаторики:

Комбинаторика

Интересная, непознанная.

Изучать, понимать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

Вариативность.

Д) Интеллект - карта.

Е) Составление кластера

Например, способы решения комбинаторных задач.

Комбинаторика

Перестановки Сочетания Размещения

с повторениями без повторения с повторениями без повторения

Схема 4 - кластер способы решения комбинаторных задач

Ж) Перепутанные логические цепочки.

Учитель предлагает учащимся ряд утверждений, среди которых есть верные, а есть и неверные. Учащиеся работают индивидуально, читают текст, отмечают перепутанные цепочки. Обсуждают свои результаты в группе, уточняют, исправляют.

З) Ассоциативные игры, направленные на закрепление материала.

Хокку (или хайку) - японская стихотворная форма в три строки. Хокку обычно выражает первое впечатление писателя от предмета, окружающего мира или события.

И) Прием «Фишбоун» («Рыбная кость»)



Рисунок 3 - прием «Фишбоун»

К) Понятийное колесо.

Его можно использовать по-разному: либо повторить определение каждого понятия по очереди, либо использовать игровой момент с той же целью.

Рисунок 4 - Понятийное колесо

Существуют приемы по развитию навыков ведения дискуссии, к ним относятся:

• Ролевая игра

• Перекрестная дискуссия

• Спор-диалог

• Метод углов (учащиеся расходятся по углам в соответствии с определенными взглядами. Аргумент одной группы - контраргумент другой. Учащиеся могут переходить в другой угол. Колеблющиеся сидят в центре класса, в процессе дискуссии могут подключиться к той или иной группе)

1.4 Использование технологии развития критического мышления у школьников

Для учащихся подросткового возраста актуальны следующие вырабатываемые навыки, которые относятся к технологии развития критического мышления у школьников:

- Готовность к планированию;

- Гибкость;

- Настойчивость;

- Готовность исправлять свои ошибки;

- Осознание;

- Поиск компромиссных решений.

Существует мнение, что критическое мышление - западная технология. Одной из задач «Национального комитета в сфере образования США» является повышение доли выпускников колледжей, способных критически мыслить, работать в коллективе и решать поставленные задачи.

Анализируя различные источники, можно сделать вывод, что американские и российские педагоги давно говорят об актуальности методики развития критического мышления, каждый своими словами, но об одном и том же. Например:

1) «Умение отличить возможное от невозможного, выделять основное, использовать аргументы при доказательстве или опровержении своих и чужих суждений и предположений, «узнавать» несообразности и «нелепости» в рассуждениях». П.П.Блонский.

2) «Процесс, при помощи которого разум перерабатывает информацию, чтобы понять установившиеся идеи, создать новые идеи или решить проблемы». Д.Х.Кларк, А.У.Бидл.

3) «Искусство думать о том, как вы думаете, когда думаете о том, чтобы думать более ясно, точно, четко, осмысленно, последовательно; искусство конструктивного скептицизма; искусство обнаружения и преодоления предубеждений и одномерности мышления; искусство целенаправленного и глубокого размышления».

Критическое мышление включает умение решать проблемы. Учащиеся вовлекаются во множество процессов, которые помогают им развить и продемонстрировать умение решать проблемы и мыслить критически.

Одним из механизмов формирования навыков критического мышления, стимулирования мышления является задавание вопросов. Для этого используется таксономия уровней познания Блума.

Большая часть вопросов, которые задают в школе, требуют лишь мышления низкого порядка на уровне воспроизведения и понимания. Знания и понимание являются преобладающими навыками мышления и служат базой для формирования навыков мышления более высокого порядка. На каждом последующем уровне навыки мышления становятся более сложными и используются реже.

Существует прямая связь между вопросами, которые мы задаем и уровнями мышления, на которые выходим при ответе на них.

Вопросы низкого уровня подходят для:

- Оценки подготовленности ученика и его понимания материала;

- Определения сильных и слабых сторон ученика;

- Повторения и /или обобщения материала.

Вопросы высокого уровня необходимы для:

- Мотивирования учеников мыслить глубоко и критически;

- Решения проблем;

- Организации дискуссий;

- Поощрения учеников к самостоятельному поиску информации.

критический мышление школьный комбинаторика

2. Изучение комбинаторики как средства развития у школьников критического мышления

2.1 Основные понятия комбинаторики

Дискретная математика (конечная математика) - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены конечные множества, графы, некоторые математические модели.

В математике некоторые понятия являются неопределяемыми (первичными). К ним относится понятие множества (например, в «Алисе в стране чудес»: «- Множество чего? - А ничего, просто множество»).

Множества можно составлять из различных объектов, как материальных, так и абстрактных (числа, геометрические фигуры и т.д.), объединённых на основе самых различных признаков, содержащих различное количество элементов. Под элементами множества в математике понимают объекты, составляющие множество. Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами: А, В, С и т.д., а элементы - малыми: а, b, с и т.д. Принадлежность элемента множеству записывают, а А.

Оказывается удобным считать множеством пустое множество, т. Е. множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается .

Рассмотрим некоторые примеры множеств.

1) Множество натуральных чисел: {1,2,3…}. Множество содержит бесконечное число элементов.

2) Множество всех делителей числа 12: {1,2,3,4,6,12}. Конечное множество, содержащее 6 элементов.

3) Множество всех выпуклых четырёхугольников. Множество содержит бесконечное число элементов. Несчётное множество.

4) Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения

х2 = -1. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество его решений - пустое.

Порядком множества называется число его элементов. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его порядком называется количество элементов. Если множество содержит бесконечное число элементов, оно называется бесконечным. Из бесконечных множеств можно выделить множества, элементы которых можно пронумеровать (множество натуральных чисел, множество, состоящее из членов арифметической или геометрической прогрессии и т. Д.) - счётные множества.

Множества можно задавать характеристическим свойством.

Например, Q = {т/п | т Z; п N} - множество рациональных чисел, состоящее из дробей, в числителе которых стоит целое число, а в знаменателе - натуральное.

Наглядную иллюстрацию множеств дают диаграммы Эйлера-Венна, в которых элементы множеств изображаются точками некоторых кругов.

Множество А называется подмножеством множества В (А В), если любой элемент множества А принадлежит множеству В.

Любое множество есть подмножество самого себя, пустое множество является подмножеством любого множества. Если А В и В А, то множества А и В состоят из одинаковых элементов и называются равными (А = В). Если А - непустое подмножество множества В и А ? В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества на рисунке 5



Рисунок 5 - Подмножество множества

Рассмотрим действия с множествами.

Пусть даны множества А и В.

1) Объединением множеств А и В (A U В) называется множество С (A U В = С), элементы которого являются элементами А или элементами В.

Рисунок 6 - Объединение двух множеств

2) Пересечением множеств А и В (А ? В) называется множество С (А ? В = С), элементы которого являются элементами А и элементами В одновременно.



Рисунок 7 - Пересечение двух множеств

3) Разностью множеств А и В (А\СВ) называется множество С (А\ В = С), элементы которого являются элементами А и не принадлежат В.

Рисунок 8 - Разность двух множеств

4) Декартовым произведением множеств А и В называется множество упорядоченных пар

(х, у), где х А, у В: А х В = {(х, у) | х А, у В}.

Рассмотрим еще некоторые примеры множеств.

i. Множество целых чисел есть объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным и множества, состоящего из числа 0:

N U {-n | n N} U {0} = Z.

2) Пересечением двух прямых (не обязательно различных) в пространстве может быть пустое множество (параллельные или скрещивающиеся прямые), точка (пересекающиеся прямые) или бесконечное множество точек (прямая, совпадающая с двумя заданными).

3) Разностью множества точек отрезка АВ и множества точек, одинаково удалённых от точек А и В (плоскость, перпендикулярная АВ и проходящая через его середину) являются все точки отрезка АВ, кроме его середины.

4) Координатная плоскость является декартовым произведением двух координатных прямых: R х R = R2.

5) Функцией с областью определения D и множеством значений Е называется любое подмножество декартова произведения D х Е, удовлетворяющее условию функциональности (если F - подмножество D x E:

F D х Е и пары (x, y1); (х, у2) F, то у1 = у2).

Множества могут быть заданы по-разному. Например, описанием элементов, арифметическими действиями с числами, перечислением и т.д. Но чаще всего они представляются графической схемой.

Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Замкнутая линия-круг Эйлера - ограничивает множество, а рамка - универсальное пространство Е. Заданы два множества: А = {a, b, c} и B = {b, d, e, f}. Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно (показано на рисунке 9).



Рисунок 9 - Графическое задание множеств

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность.

A B=B A

A B=B A

2. Ассоциативность.

(A B) C=A (B C)

(A B) C= A (B C)

3. Дистрибутивность.

(A B) C = (A C) (B C)

(A B) C= (A C) (B C)

4. A A=A, A ? A=A

5. A ?= A, A

6. Законы де Моргана (законы двойственности).

1) C (A B)= C A C B

2) C (A B)= C A C B

Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Под множеством понимается набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (которые называются элементами множества). Множество, все элементы которого изолированы друг от друга, называется дискретным. Элементы дискретного множества представляют собой конкретные конечные значения чего-либо. Для измерения степени изолированности элементов данного множества вводится понятие расстояния между элементами. Таким расстоянием для чисел может быть, например, модуль разности между ними; для точек на плоскости - геометрическое расстояние.

Дискретное множество определяется как множество объектов, расстояние между которыми не меньше некоторой наперед заданной величины L.

Разница между дискретным и непрерывным представлением информации хорошо видна на примере часов. В электронных часах с цифровым циферблатом информация представляется дискретно - цифрами, каждая из которых четко отличается друг от друга. В механических часах со стрелочным циферблатом информация представляется непрерывно - положениями двух стрелок, причем два разных положения стрелки не всегда четко отличимые (особенно, если на циферблате нет минутных делений). Вообще, любое представление информации с помощью конечного множества символов (букв, цифр, знаков препинания, математических знаков) дискретно; графическое представление (рисунок, чертеж) непрерывно.

Типичный пример дискретного устройства - электронно - вычислительная машина (компьютер), состояние памяти которой представляется последовательностью двоичных цифр: нулей и единиц, все операции в ней производятся с дискретными представлениями информации.

Типичные примеры аналоговых устройств - измерительные приборы, представляющие информацию положением стрелки (вольтметр, спидометр), непрерывной кривой, выдаваемой на экран (осциллограф) или на бумагу (кардиограф) и т.д. Переход от аналоговых представлений информации к цифровым (например, ввод результатов измерений ЭВМ) и обратно в технике осуществляется специальными устройствами: аналого-цифровыми и цифро-аналоговыми преобразователями.

Другой пример, измерение температуры больного - работа с дискретными величинами, так как каждая конкретная температура - это отдельная дискретная величина. А создание кардиограммы сердца - это исследование непрерывной величины, вследствие того, что линия кардиограммы - величина непрерывная.

В школьную математику не так давно включили элементы комбинаторики. Этот раздел - комбинаторика, “наука о способах подсчета вариантов”. Эта наука имеет примерно 300 летний возраст. Комбинаторика -изучает простейшие соединения. Как и в древней, в современной статистике невозможно обойтись, без навыков просчитывать в уме или, по крайней мере, быстро, по простым формулам, варианты событий, размещений предметов, значений величин и т.п.

Рассмотрим пример решения практического вопроса с использованием правил комбинаторики:

Решается вопрос об установлении электронной связи между 8 предприятиями фирмы по следующему принципу - каждое предприятие должно иметь отдельный канал связи со всеми остальными. Сколько таких каналов придется установить в фирме?

Для решения задачи можно нарисовать выпуклый 8-угольник и провести в нем все диагонали, пересчитав в конце их число и не забыв добавить число сторон. Человек, знающий комбинаторику, укажет верный ответ - всего требуется 28 каналов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 10 - Иллюстрация решения задачи



Можно рассуждать по-другому. Первое предприятие установит 7 каналов, второе - 6, третье - 5 и т.д. Значит нужно найти сумму:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

Для изучения наиболее популярных применений комбинаторики, рассмотрим ее основные понятия - перестановки, размещения и сочетания.

Перестановками называют операции над упорядоченным рядом из n различных объектов, в процессе которых “списочный состав” ряда не изменяется, но “места” объектов в этом ряду изменяются от варианта к варианту. Количество перестановок - это количество новых упорядоченных множеств, составленных из данного множества с тем же количеством элементов.

Попробуем найти число перестановок для множества из 1, 2 и 3 предметов.

Воспользуемся для этого простенькой схемой:

n=1 A 1 вариант.

N=2 AB BA 1?2= 2 варианта.

N=3 ABC ACB BCA BAC CAB CBA 1?2?3= 6 вариантов.

Можно доказать строго, что в общем случае число перестановок в ряду из n элементов составит

Pn = n! = 1?2?3 … (n - 1) ? n

n! - факториал числа,

n - произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Свойства перестановок: 1! = 1; 0! = 1.

Рассмотрим пример.

Дано множество А = {1, 2, 3}.

Составим все перестановки чисел этого множества: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Их 6.

Вычислим по формуле

P3 = 3! = 1?2?3= 6.

Размещениями из n элементов по m элементам Anm называют конечные упорядоченные множества, содержащие m элементов, выбранных из n элементов множества А. То есть, количество размещений - это количество новых упорядоченных множеств, составленных из данного множества с другим количеством элементов. Число всевозможных размещений вычисляется по формуле

Аmn =

Свойства размещений: А1n = n; Аon = 1; Аnn =n!

Рассмотрим пример.

Дано множество А = {1, 2, 3}.

Составим все размещения двух чисел этого множества: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Их 6.

Вычислим по формуле

Сочетаниями называют операции над множеством из n различных объектов, в процессе которых образуют подмножества из k элементов, взятых из исходного множества, так, чтобы варианты подмножеств отличались друг от друга хотя бы одним элементом. То есть, количество размещений - это количество новых неупорядоченных множеств, составленных из данного множества с другим количеством элементов.

Опустим доказательство формулы для расчета числа сочетаний из n по k в общем виде и приведем лишь примеры для числа сочетаний из 3 по 2 и из 5 по 3.

Если элементы исходного множества A, B, C.

Варианты подмножеств: AB, AC, BC - всего три.

Если элементы исходного множества A, B, C, D, E.

Варианты подмножеств: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE - всего десять.

Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами следует считать m - элементные подмножества, имеющие различный состав. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят название сочетание из n элементов по m, а их общее число определяется по формуле

Свойства сочетаний: С1n = n; Сon = 1; Сnn =1.

Рассмотрим пример.

Дано множество А = {1, 2, 3}.

Составим все сочетания двух чисел этого множества: 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3. Их 3.

Вычислим по формуле

Существует еще один способ вычисления числа сочетаний из n по m - с использованием коэффициентов в развернутой форме бинома Ньютона (p+q)n. В самом деле, например, при n = 3 коэффициенты при степенях разложения составляют 1, 3, 3, 1 - а это и есть сочетания из 3 по 0, 1, 2, 3 и 4 элементов.

С помощью сочетаний рассчитывается треугольник Паскаля, который заполняется значениями , если m ? n.

Таблица 6 - Треугольник Паскаля

n m	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

Проверяется треугольник Паскаля просто: первый элемент любого основания равен 1, второй - номеру основания, а все последующие - сумме двух «вышестоящих» (верхнего и левого).

Для чисел Cnm , называемых также биномиальными коэффициентами, справедливы следующие тождества, часто оказывающиеся полезными при решении задач:

Cnm = Cnn - m (свойство симметрии);

Cn + 1k = Cnk + Cnk - 1 ; Cn0 = 1 (рекуррентное соотношение);

Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn = 2n (следствие биномиальной формулы Ньютона).

Для любого натурального n верна формула, называющаяся биномом Ньютона:

(a + b)n = Cno an + Cn1 an-1b + … + Cnm an-mbm + … + Cnn bn .

Коэффициенты Cnm, равные числу сочетаний из n элементов по m, называются биномиальными коэффициентами. Частные случаи бинома Ньютона (n = 2; 3) входят в список формул сокращенного умножения:

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) 3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b) 3

Таблица 7 - «Основные формулы комбинаторики»

Понятия	Формулы для вычисления	Основные свойства
Перестановки	Рn = n! = 1 2 3 … n	1! = 1; 0! = 1
иРазмещения	Аmn =	А1n = n; Аon = 1; Аnn =n!
Сочетания	Сmn =	С1n = n; Сon = 1; Сnn =1

2.2 Анализ школьных учебников с точки зрения содержания комбинаторной линии

Рассмотрим учебники «Математика 5», «Математика 6», «Математика 7» под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина. [19, 20, 21]