Площади плоских фигур в курсе геометрии основной школы

Рис.7

У треугольника ABM сторона AM=2AD, а высота его совпадает с высотой параллелограмма. Основание AD треугольника AFD совпадает со стороной параллелограмма, а высота, проведенная из вершины F, в два раза больше высоты параллелограмма на сторону AD. Оба названных треугольника равновелики параллелограмму ABCD.

Заметим, что точки P и Q являются серединами сторон CD и BC параллелограмма. Этот факт обусловливает иной способ решения задачи: Через вершину B и середину P стороны CD проводим прямую до пересечения с прямой AD в точке M или через вершину A и середину Q стороны BC проводим прямую до пересечения с DC в точке F. Если учесть, что P- середина отрезков CD и BM, а Q- середина отрезков BC и AF, то можно указать еще один путь построения треугольников ABM и AFD. Четырехугольники BCMD и ABFC- параллелограммы, значит, точка M лежит на прямой, проходящей через вершину C и параллельной диагонали BD параллелограмма, и на прямой AD. Аналогично можно построить и точку F. Таким образом можно построить 8 различных треугольников, равновеликих параллелограмму ABCD.

Задача: Дана трапеция ABCD (AB¦CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Попробуем при решении данной задачи воспользоваться способом решения предыдущей задачи. Легко убедиться в том, что такие треугольники можно построить с помощью проведения прямых через вершины трапеции и середины боковых сторон, не содержащих эти вершины (рис. 8).

Треугольники ADL и BCF равновелики трапеции ABCD. Таких треугольников можно построить четыре. Другие треугольники, равновеликие трапеции ABCD, можно построить с помощью проведения прямых, проходящих через вершины трапеции параллельно диагоналям, не проходящим через эти вершины.

Рис.8.

На рис. 9 построены два треугольника, равновеликих трапеции ABCD,- треугольники MCB и ADF. Этот способ позволяет получить еще четыре треугольника, равновеликих данной трапеции.



Рис.9

Теперь перейдем к основной (первой) задаче. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении двух предыдущих задач.

На рис. 10 построены два треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD,- треугольники AMB и BPC.

Аналогичным образом можно построить еще два треугольника, равновеликих четырехугольникуABCD, проведя через вершину B прямую, параллельную диагонали AC. Проведя через вершины A и C прямые, параллельные диагонали BD, можно получить еще четыре треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD.

Рис.10

Таким образом, решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях.

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рассмотренный способ позволяет преобразовать пятиугольник ABCDE (рис.11) в четырехугольник MBCD, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рис.11

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в равновеликий ему (n-1)- угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n-2)- угольник и т.д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику, а значит, и данному n-угольнику.

Итак, при решении рассмотренной группы задач был осуществлен переход не только от менее общего к более общему, от частного к общему, но и от более общего к менее общему, т.е. не только обобщение, но и конкретизация.

Доступность изложения в значительной степени определяется тем, как выбранная учителем методика ведения урока, его форма и структура подготовят учащихся к восприятию нового материала, содержание и объем которого должен быть посилен учащимся.

Готовясь к уроку, необходимо определить круг сведений, которые будут сообщены ученикам. Урок нельзя перегружать новым материалом.На объяснение надо отвести столько времени, чтобы иметь возможность в случае неоходимости внести дополнительные разъяснения. Доступность объяснения определяется тем, насколько преподаватель сумел предугадать наиболее трудные положения и разъяснить их в зависимости от характера материала - до или в процессе объяснения.

Осуществляя принцип доступности обучения, важно помнить следующее. Принцип доступности не предполагает, что объяснение материала будет дано в форме, освобождающей учеников от необходимости думать. Доступность означает, что учащиеся в состоянии усвоить материал при определенном напряжении умственных сил.

Принцип прочности усвоения знаний

Знание тем прочнее, чем ярче были примеры, чем интереснее и нагляднее был иллюстративный материал, сопровождающий объяснение.

Нельзя недооценивать значение зрительной памяти ученика. Продуманная запись решения примера способствует более прочному усвоению изучаемого материала. Например, многие учителя согласятся с тем, что при изучении темы "Измерение площадей" одним из наиболее трудных моментов в этой теме является переход от одних единиц измерения к другим. Основная трудность здесь связана с необходимостью заучивания соотношений между различными единицами измерения, при котором невозможно опереться на логические связи между заучиваемыми числами. Действительно, как ученик может запомнить, что в одном квадратном метре 100 квадратных дециметров, а в квадратном километре миллион квадратных метров? Вызубрить? Но педагогами и психологами доказано, что зубрежка - самый нерациональный, самый варварский и непроизводительный способ обучения. Нужна осмысленная, целенаправленная работа с подлежащим усвоению материалом, в ходе которой этот материал запоминается. С этой целью в физике записи AB=5 см, S=15 см², V=11 дм³ считают произведением числа и наименования. Естественно, такое соглашение покажется учителям математики весьма странным. Поэтому, чтобы подчеркнуть отличие математической точки зрения от физической, будем употреблять слово "произведение" только в кавычках, когда речь идет о числах и наименованиях. Однако вне зависимости от отношения математиков к такому "как бы произведению" принятое соглашение очень удобно, поскольку оно позволяет применять законы действий к "произведению" числа и наименования.

Например, пусть известно, что фигура F имеет площадь 3 квадратных дюйма, и требуется узнать ее площадь в квадратных сантиметрах. Зная, что отрезок в 1 дюйм имеет длину примерно 2,54 см, находим: S=3 дюйма²=3(2,54 см)²=3 2,54 2,54 см см ? 19,4 см². В методике такая работа называется работой с именованными числами.

Прочность усвоения повышается при активной творческой работе учащихся. Например, учитель хочет провести с учащимися 5 класса практическую работу, чтобы ребята сами "открыли", сколько в одном квадратном метре квадратных сантиметров. Работа организуется следующим образом. Учащимся предлагается начертить в тетрадях квадрат и указывается, что его сторону будем считать равной 1 м. Требуется найти площадь этого квадрата, выраженную в квадратных сантиметрах. На своих рисунках учащиеся делают записи: 1 м = 100 см. Теперь остается посчитать площадь квадрата по привычной формуле S=a² = 100 см 100 см =10000 см².

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. В следствие появления в школе многих новых учебных предметов значительно увеличивается количество информации, которую должен запоминать подросток, в том числе и механически. У него возникают проблемы с памятью, и жалобы на плохую память в этом возрасте встречаются намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значит мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Легкость запоминания зависит от количества запоминаемого. Необходимо стараться уменьшать количество материала, подлежащего заучиванию. При выводе формул, правил, доказательстве теорем достаточно понять и запомнить только идею, лежащую в основе рассуждения. Так, например, зная формулу площади параллелограмма, выраженную через диагонали параллелограмма и синус угла между ними, можно получить формулу площади ромба и квадрата, использовав тот теоретический факт, что диагонали ромба и квадрата пересекаются под прямым углом, а значит, синус угла между диагоналями равен единице.

Прочность вычислительных навыков в значительной степени зависит от числа упражнений, выполненных учащимися. Тема "Площади фигур" как раз предполагает решение как можно большего числа различных задач. Учителю следует помнить при составлении системы упражнений, что быстрый переход от решения простых примеров к сложным отрицательно влияет на прочность усвоения. Важно учитывать, что при первичном закреплении необходимо решать множество задач на прямое применение изученных знаний, и совсем не следует сразу стремиться сложные решать задачи, комбинированного типа, в которых изученное действие встречается крайне редко. При этом полезно решать задачи такого типа:

Задача: На рис. 12 изображен треугольник.

Рис.12

Заполните пропуски в следующей таблице:

	a	b	c	б	в	г	R	r	S
1.	2	3				30?
2.	3	4	5
3.		2	6						12

Большое значение для формирования прочных знаний имеет повторение пройденного. В ряде случаев повторение органически связывается с изучением нового материала, так как обусловлено логической взаимосвязью изучаемых и изученных положений.

Принцип активности

Обучение должно опираться на активную, творческую работу школьника. Принцип активности прежде всего осуществляется в ходе уроков. Одна из наиболее распространенных форм урока - живая беседа между учителем и учениками. Учащимся задаются вопросы, задачи, примеры. Ответы составляют содержание нового материала. Живая беседа - одна из форм активного изучения. Наряду с ней применяется изучение материала в процессе упражнений. В практике преподавания получили распространение и другие формы осуществления принципа активности. К ним, в частности, относится такая методика проведения опроса и проверки домашнего задания, при которой все учащиеся напряженно следят за ответами товарищей, подмечают и исправляют ошибки в ответах, вносят дополнения. Опытные учителя придают большое значение развитию творческой инициативы школьников. Учащиеся делают рефераты, доклады, сообщения, выпускают газеты. Темами рефератов могут служить вопросы, связанные с углубленным изложением программы, вопросы из истории математики и т.п. Например, при изучении темы "Площади фигур" полезно приготовить учащимся сообщения из истории зарождения теории площадей, о возникновении системы мер, о древних способах вычисления площадей различных плоских фигур и т.д.

Постановка докладов и рефератов, выпуск газет, проведение олимпиад повышает интерес учащихся к занятиям математикой. Создание интереса к предмету - одно из условий осуществления принципа активности: интерес побуждает ученика к самостоятельным занятиям и самостоятельным поискам решений задач и ответов на вопросы.

Ведь дать каждому ученику глубокие и прочные знания - задача, требующая постоянного совершенствования собственных знаний учителя и серьезного продумывания всех элементов учебного процесса. Все усилия учителя, однако, могут оказаться бесплодными, если первым помощников в решении этого вопроса не будет сам ученик. Основной стимул учения - интерес к занятиям, и он должен систематически развиваться у каждого ученика. Для решения этого вопроса очень важна общая атмосфера в школе. Большое значение при этом имеет внеклассная работа. Однако главным условием формирования познавательной активности школьников является содержание и организация урока. Отбирая материал и продумывая приемы, которые будут использованы на уроке, учителю надо оценивать из и с точки зрения возможности возбудить и поддержать интерес учащихся к предмету. Каждый учитель знает, что класс не представляет собой однородную массу. Безусловно, имеется какая-то часть учащихся, у которых интерес к математике зародился еще до ее изучения. Таким ученикам нужны разнообразные и более сложные задачи, однообразные упражнения их утомляют. Во время выполнения упражнений тренировочного характера для них всегда надо иметь в запасе более сложные задания. Включение в домашние задания необязательных упражнений тоже в основном рассчитано на них. Но такие упражнения неободимо давать не только этим ребятам, но и всем желающим. Ведь важно привлечь к решению этих задач как можно больше учащихся. Даже среди желающих решить задачу подчас не все могут это сделать (опытная проверка это подтвердила). К тому же из-за недостатка времени организовать проверку таких задач на уроке невозможно. Решение этого вопроса может оказаться следующим: в классе делается специальный стенд, где вывешивается сначала текст необязательного задания, а через некоторое время и его решение. Причем решение вывешивается тогда, когда ребята сдали на проверку учителю свои работы. Кроме того, решения у учащихся могут быть самыми разнообразными и некоторые из них, естественно, верно решенные, могут оказаться на этом стенде. В некоторых случаях на стенде помещаются рисунки, по которым можно "додумать" решение. Например, в 8 классе после изучения темы "Площадь многоугольника" учащимся можно предложить в качестве необязательной задачу на доказательство (рис.13), а через неделю помещался только рисунок к ее решению (рис.14).

Рис.14

Говоря о развитии интереса у всех учащихся класса, прежде всего надо сказать, чем он вызывается у среднего ученика и когда может теряться.

Основным фактором развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала и успешное выполнение ими предлагаемых упражнений. Выполняя задание, ученик никогда не исходит только из его полезности. Если он справляется с предлагаемым материалом, он любит это дело (положительное отношение к учителю также является следствием успехов ученика). В действительности любить тот или иной предмет у школьника равносильно умению сделать ту или иную работу. Это подтверждают и беседы с учащимися и их учителями, и результаты различных психолого-педагогических исследований.

Таким образом, непонимание материала и отсюда неумение справиться с какими-то заданиями, которые предлагаются,- основная причина потери интереса к предмету. Лишь у сильных учащихся непонимание приводит к отысканию его истоков; остальные ученики чаще не ищут этих причин, не стремяться ликвидировать пробелы в знаниях; тогда-то и пропадает у них интерес к изучаемому предмету.

Чтобы предупредить непонимание изучаемого материала, учителю важно не только умело подобрать этот материал и продумать методику его изложения, но и все время быть в курсе того, насколько он усвоен каждым учеником. Учитель может достичь этого при помощи регулярного контроля знаний учащихся, который и покажет пробелы в их знаниях, что поможет оказать ученикам своевременную помощь.

Большое значение в понимании материала, а следовательно, в развитии интереса к геометрии, имеет систематическое возвращение к пройденному - повторение (об этом уже говорилось выше). Оно должно быть в той или иной форме ежеурочным и обязательно включаться в новый материал или в решение задач в качестве каких-то элементов, хотя и небольших. Это тем более необходимо, что специальных часов на повторение материала по геометрии в конце года почти нет.

Развитию познавательного интереса школьников способствует и проведение внеклассных мероприятий по предмету, одной из основных задач которых является развитие творческих способностей учащихся. Отечественная школа накопила богатый опыт проведения внеклассной воспитательной работы. В последние годы возникли новые ее формы: организация клубов, проведение недель того или иного предмета. Получили дальнейшее развитие, ставшие уже традиционными формы работы: факультативы, кружки, олимпиады, вечера, экскурсии. По своему содержанию внеклассная работа строго не регламентирована. Однако при отборе материала для внеклассных мероприятий следует учитывать знания и умения учащихся. И хотя непосредственная связь с текущим программным материалом не обязательна, внеклассная работа должна его дополнять, способствовать более глубокому усвоению учащимися основного материала.

Главное значение различных видов внеклассной работы по математике состоит в том, что она помогает усилить интерес учащихся к этому предмету, содействует развитию их математических способностей. Устойчивый интерес в нашей школе к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. Естественно, внеклассная работа по математике проводится не только во время недели математики. Систематическое проведение подобных мероприятий в течение всего учебного года, способствующее более глубокому и прочному усвоению знаний учащихся, зависит от личной инициативы учителя математики и от его отношения к своей профессиональной деятельности.

Например, по окончании изучения темы "Площади фигур" на внеклассном занятии можно провести с учащимися математическую игру.(См. Приложение 3.)

Предлагаемая игра ценна в том отношении, что позволяет незаметно и без принуждения втянуть учащихся в процесс поиска и конструирования. При этом ребята приучаются внимательно выслушивать вопросы и освобождаются от некоторых речевых стереотипов: привыкают называть один и тот же объект по-разному и, наоборот, улавливать различия в сходно звучащих описаниях. Это служит развитию математической речи учащихся. К тому же эта игра реализует осуществление описанных выше дидактических принципов обучения. К тому же с помощью нестереотипных заданий данной игры формируется устойчивый интерес учащихся к предмету, активизируется познавательная активность учащихся. В ходе поиска решения этих заданий происходит также и развитие мышления школьников. Ведь одна из важнейших задач обучения математике - развитие мышления учащихся. Решается она различными путями. Один из них - реализация принципа активности. Помимо вышесказанного, развитию мышления будет способствовать:

Самостоятельное решение учащимися задач повышенной трудности.

Решение задач различными способами; поощрение оригинальных способов решения.

Включение в качестве домашнего задания и дополнительного задания в контрольные работы примеров и задач, отличных от разобранных в классе (составляя такого рода задание, надо учесть, чтобы для его выполнения было достаточно тех знаний, которые имеются у учащихся).

Включение в систему упражнений вопросов, прямых ответов на которые нет ни в учебнике, ни в объяснении учителя.

Составление задач и упражнений самими учащимися (например, дать ученикам задание составить задачу на нахождение площади нестандартной фигуры по готовому чертежу. Выполняя это задание ребята уже будут продумывать способы ее решения).

Решение задач практического содержания (выполняя решение таких задач учащиеся понимают необходимость и жизненную важность изучения данной темы).

Важно отметить, что школьники, как и все люди вообще, мыслят по разному: у одних преобладает абстрактное, словесно-логическое мышление (в этом случае можно говорить об аналитическом складе ума), у других преобладает образное мышление (в таких случаях говорят об образном, художественном типе мышления), у третьих образные и абстрактные компоненты мышления находятся в равновесии (гармонический склад ума). Школьники, имеющие аналитический склад ума, страдают там, где успешность работы зависит от развития воображения, поэтому геометрия им дается труднее, чем алгебра. Аналитик легче рассуждает, чем действует, легче объясняет, как надо решить задачу, чем решает ее, в отличие от школьника с сильно развитым образным мышлением, который, не пускаясь ни в какие рассуждения, просто "видит", о чем идет речь. Для школьников с образным типом мышления трудности возникают там, где приходится работать без наглядной опоры. Даже когда их деятельность протекает в уме, она нуждается в опоре на образы, на работу представления и воображения. Как заметил В.А. Крутецкий, образность часто заменяет представителям этого типа мышления логичность. Учащиеся с преобладанием образных компонентов мышления, как показал В.А. Крутецкий, гораздо лучше себя чувствуют при работе со зрительным материалом, чем со словесно-логическим. Словесное объяснение решения задачи они воспринимают хуже, чем рисунок или чертеж.

Один из путей обучения школьников с различными складами ума- это введение элементов образности в абстрактный материал и установление смысловых связей в разнородном конкретном материале. Другой путь - это целенаправленная работа по развитию как теоретического, так и образного мышления школьников.

Реализации этих путей при обучении математике может способствовать решение задач, направленных на формирование и развитие эстетического вкуса учащихся, поскольку здесь абстрактное соединяется с образным.

Не следует забывать, что помимо развивающей, обучающей и развлекательной функций, игра на внеклассном мероприятии осуществляет такую важную функцию, как воспитательную. Командная игра воспитывает в ее участниках умение слушать и ценить мнение своих товарищей, чувство ответственности за свою команду. Подобное мероприятие способствует сплочению коллектива школьников. Выбор групповых форм работ обоснован и возрастными особенностями школьников. Ведь известно, что подросток высоко ценит свои отношения со сверстниками, а успехи в среде сверстников ценятся всего более. Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они являются той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственного сознания и значимое место среди сверстников. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные задания, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Высокий статус среди сверстников может быть достигнут с помощью хороших знаний: при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка дает возможность подтвердить свои способности. Именно эти особенности школьников данного возраста позволяют эффективно использовать групповые и коллективные формы работы.

Говоря о воспитании на уроках и внеклассных мероприятиях по геометрии нельзя не сказать об эстетическом воспитании школьников. В процессе формирования гармонически развитой личности эстетическое воспитание, органически входящее в преподавание всех школьных дисциплин, занимает особое место. Важную роль в эстетическом воспитании играет умелое преподавание математики. Математика, а именно геометрия, имеет много присущих только ей возможностей для решения этой важной проблемы. Дети любят красивое и увлекательное. Всем этим богата математика. Вдумчивые учителя из урока в урок показывают учащимся, что математика замечательна своей стройностью, точностью, связанностью всех своих частей. Источниками эмоционального и эстетического воздействия математики на школьников являются непременность ее выводов, универсальность применений, совершенство языка, романтичность ее истории и т.д.

Психологами доказано, что от эмоциональности ученика зависит работа его памяти. Если ученик неравнодушен к изучаемому материалу, если предмет вызывает у него интерес, тогда запоминание происходит как бы само собой, без особых усилий (непроизвольное запоминание). Человеческая память недолго хранит то, что не затрагивает его чувства. Например, каждый человек вспоминает яркие моменты из своей жизни, неважно хорошие они были или плохие, потому что они сопровождались высоким эмоциональным настроем, будь то взрыв положительных или отрицательных эмоций. Только там, где разум и чувства в союзе, осуществляется глубокое понимание и запоминание. Самым активным из школьных возрастов по эмоциональному восприятию является подростковый период. Большая часть подростков остро реагирует на свои восприятия, память, речь, мышление и старается придать им блеск и глубину.

Но не все педагоги правильно понимают, что же именно вызывает эмоциональный подъем у учащихся. Иногда имеет место такая ситуация: учитель, зная, что на его урок придут коллеги, старается сделать его "более красивым". Он подбирает и читает стихи, использует наглядные пособия, т.е. искусственно вводит эстетический элемент, не вытекающий из темы урока. Этим он значительно снижает интеллектуальную нагрузку учебного материала и не достигает поставленной цели.

Эстетическое воздействие на учащихся в немалой степени зависит от качества преподавания предмета. А именно: от умения безукоризненно, точно и ясно разъяснить содержание изучаемого материала, предложив продуманную систему вопросов и задач, организовать на уроке поиск рациональных путей их решения, показать красивые приемы быстрых вычислений. Творчески работающие учителя постоянно знакомят учащихся с жизнью и деятельностью выдающихся математиков, знакомят с иторией развития изучаемого на уроке вопроса.

Обучение математике немыслимо вне кабинета. Светлый, чистый, уютный кабинет значительно улучшает настроение учащихся, располагает их к учебе. Дети чрезвычайно восприимчивы к внешним раздражителям: хорошей ручкой хочется писать, красиво оформленную книгу хочется читать, за хорошей, чистой партой приятно сидеть и заниматься. Лучшие учителя заботятся о том, чтобы все в школе радовало глаз, было удобным, вызывало приятные эмоции, деловой настрой. Они периодически обновляют кабинеты, вовлекая всех учащихся в активную деятельность по их оформлению, приучают детей создавать и сохранять красоту. Только красота, в создании которой принимает участие сам ученик, по-настоящему видна ему, делает ученика ее ревностным защитником и пропагандистом. Поддержание порядка во всем - важное условие воспитания.

Аккуратность играет большую роль в жизни человека. Этому надо учить ребенка с самого начала его жизни - в быту и на уроках. Многие учителя добиваются аккуратного выполнения любой работы: ведения тетрадей, выполнения чертежей и т.д. Это воспитывает прилежность, внутреннюю собранность, усидчивость, вырабатывает умение доводить любую работу до совершенства. Педагог должен учить детей не только видеть прекрасное, но и создавать его.

Если рассматривать темы школьного курса геометрии, то некоторые из них просто созданы для демонстрации учителем всей красоты этого предмета. Пожалуй, самыми благодарными темами в плане эстетического воспитания являются темы "Симметрия" и "Площади фигур". В этих темах достаточно наглядности, они красивы и интересны, а также имеют огромное практическое значение. Например, при изучении темы "Площади правильных многоугольников", учителю полезно обратить внимание учащихся на то, что правильные многоугольники находят свое практическое применение в изготовлении паркетов. Укладка паркета - это искусство, которое украшало в прошлом и украшает сейчас великолепные залы многих замков и дворцов. После небольшой беседы, можно предложить ребятам практическую работу: подобрать "образцы паркета". Задание это следует дать на дом как творческое, но при этом предварительно продемонстрировать классу несколько образцов. Выполняя эту практическую работу, ученик сталкивается не только с математической задачей вычисления углов и площадей плиток, из которых будет изготовляться паркет, но и с проблемой выбора цвета и сочетания цветов плиток. Это уже творчество, поиск красоты, гармонии.

Возможности применения эстетического фактора на уроках математики связаны с постоянным совершенствованием методики ее преподавания, поиском повышения эффективности урока. Раскрытие эстетического в математике не может не увлечь учащихся, привлекая их к предмету. Но не только в этом следует учителю видеть цель эстетической работы. Научить юного гражданина ценить прекрасное в жизни - значит обогатить его духовный облик. Жизнь настоятельно требует сегодня сделать эстетику не гостьей на уроке, а эффективным методом повышения качества воспитания и преподавания.

Итак, мы рассмотрели различные дидактические принципы обучения. Важно отметить, что принципы дидактики нельзя рассматривать изолированно. В процессе обучения они выступают во взаимной связи и обусловленности. Например, тесно связаны принципы сознательности и активности, сознательности и систематичности, наглядности и доступности. Нарушение одного из них влечет за собой нарушение других. Так, не применяя наглядного материала при изучении геометрии в 5-6 классах, нельзя обеспечить сознательное усвоение этого раздела программы. С другой стороны, осуществление одного из принципов часто выступает через реализацию других. Например, наглядность в обучении выступает как основа прочности знаний. Каждому учителю следует помнить, что осуществление дидактических принципов является условием успешного обучения и развития учащихся.

Глава 2. Основные дидактические функции задач по теме "Площади фигур" и их реализация в учебном процессе

2.1 Сборник задач "на площади". Типология задач сборника

площадь фигура учебник школа

В данном сборнике представлены задачи следующих блоков:

1) Измерение площадей;

2) Вычисление площадей;

3) Метод площадей;

4) Разные задачи.

Результат сравнительного анализа школьных учебников по геометрии убеждает нас в том, что в школьном курсе геометрии основное внимание уделяется вычислению площадей, т.е. опосредованному измерению площадей, связанному с применением формул. Но в соответствии с принципом исторической целесообразности нельзя проигнорировать и непосредственное измерение площадей. Ведь геометрия возникла в глубокой древности в связи с необходимостью измерять расстояния, площади земельных участков, возводить постройки и т.д. Поэтому, на наш взгляд, целесообразно выделить в отдельный блок задачи на непосредственное измерение площадей. К тому же, поняв процесс измерения площадей, учащиеся поймут и как они вычисляются, с помощью формул, а также смогут по достоинству оценить все преимущества этого способа нахождения площадей плоских фигур. Именно по этим причинам в первой части предлагаемого сборника задач предлагается подборка задач на непосредственное измерение площадей.

Конечно же большое внимание в данном сборнике уделено задачам на вычисление площадей различных плоских фигур: треугольника, прямоугольника и квадрата, параллелограмма и ромба, трапеции, круга и его частей, многоугольников и различных плоских фигур. Вычислению площадей различных плоских фигур посвящена вторая часть сборника, которая для удобства пользования разделена на разделы, соответствующие различным видам фигур.

И, естественно, нельзя обойти стороной и те задачи, в которых площадь выступает как мощный инструмент, успешно применяемый при доказательстве различных теорем и решении задач, причем даже тех, в формулировках которых понятие площади не упоминается. Поэтому можно говорить о методе площадей в геометрии. Примеры таких задач можно найти в третьей части предлагаемого сборника.

Хотелось бы отметить и дополнительную четвертую часть, которая называется "Разные задачи" и в которую вошли задачи на равновеликость, равносоставленность, на разрезание и перекраивание, решение которых требует творческого применения знаний.

Может возникнуть вполне справедливый вопрос: "Разве мало задач по данной теме представлено в учебниках и различных пособиях по геометрии?" Конечно, в учебных пособиях представлено довольно много задач по теме "Площади плоских фигур", но у учителя всегда должен быть достаточный выбор задачного материала, ведь он должен учитывать интересы своих подопечных, а среди них всегда находятся "звездочки", ко встрече с которыми нужно готовиться особенно тщательно. А значит, необходимо подбирать соответствующий материал, отвечающий различным запросам учащихся для того, чтобы развивать у них интерес к геометрии.

В каждом блоке задач сборника представлены задачи как базового уровня, так и задачи повышенной трудности. Значительную часть предлагаемого сборника составляют задачи творческого плана, при решении которых требуется проявить оригинальность мышления, сопоставить при поиске пути решения текущий материал с ранее изученным, а в некоторых случаях даже провести маленькое самостоятельное исследование, вполне доступное учащимся, имеющим склонность и неподдельный интерес к математике. Среди них имеются как задачи, сравнительно несложные, так и задачи повышенной трудности. Подбор их осуществлен так, чтобы обеспечить работу учащихся, обладающих разными уровнями владения материалом и имеющих различные математические способности.

Также в пособии приведено определенное число задач занимательного характера, задач с необычной формулировкой или с неожиданным или красивым решением, а также задач, в которых знание материала геометрии имеет, может быть, меньшее значение, чем смекалка и сообразительность. Такие задачи делают изучение материала более живым и увлекательным, что также имеет немаловажное значение для привлечения интереса учащихся к изучаемому предмету. Помимо того, что некоторые задачи могут доставить поистине эстетическое удовольствие, следует учитывать, что они способствуют развитию мышления, памяти, внимания, познавательных интересов и познавательной активности учащихся. Учащимся прививается вкус и интерес к геометрии, повышается уровень геометрической (математической) культуры школьников, а также развивается творческое владение материалом геометрии.

Данное пособие может с успехом использоваться как в классах с углубленным изучением математики, так и в общеобразовательных классах, но при некотором отборе задачного материала. Представленный сборник задач может применяться на разных этапах урока и при различных формах организации деятельности учащихся.

Среди предлагаемых задач имеют место задачи по готовым чертежам, которые способствуют выработке навыков решения основных типов задач по данной теме. Всем известно, что бывают ситуации, когда ученику легче решить задачу, чем сделать к ней чертеж. Наличие готовых чертежей поможет наиболее рационально использовать рабочее время на уроке и организовать работу с детьми разного уровня обученности. Применение готовых чертежей способствует оптимизации процесса обучения математике и значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность. Некоторые такие задачи решаются устно или набрасыванием плана решения задачи. Ведь зачастую важна сама идея решения, а не конечный ответ. Но в обучении геометрии следует помнить, что ученик должен и сам уметь выполнять чертежи к задачам.

В сборнике представлены также задачи, содержащие параметр, исследовательского характера. Примером такой задачи служит следующая:

Задача: Может ли площадь треугольника ABC быть равной 15 см²? 11 см²? 5 см²? 12 см²? (рис.15)

Рис.15

Хотелось бы еще раз отметить, что предлагаемый сборник задач ни в коем случае не заменяет учебные пособия и задачники, которые уже активно используются учителями математики, а является лишь дополнением к ним, предоставляющим учителю возможность повысить эффективность своей работы и усилить практическую направленность преподавания геометрии.

2.2 Основные функции задач "на площади" и методика их реализации в процессе обучения в 5 - 9 классах

В методике преподавания математики основными функциями задач, определяемыми целями обучения, являются следующие: дидактические (обучающие), развивающие и воспитательные. Рассмотрим дидактические функции задач "на площади", предложенных в сборнике, и приведем ряд рекомендаций по их реализации на уроках геометрии. Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, роль задач в изучении теории чрезвычайно велика как при работе с понятиями, так и при работе с теоремами. Итак, остановимся сначала на том, как с помощью задач "на площади" предлагаемого сборника осуществляется работа с математическими понятиями.

Начальным этапом в работе по формированию понятия является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории. Например, на первом же уроке темы "Измерение площадей" целесообразно привести несколько примеров, связанных с практической необходимостью измерения площадей. А именно: при строительстве бассейна необходимо знать площадь поверхности воды, чтобы учесть потери ее испарения; в сельском хозяйстве - площадь поля, чтобы определить количество семян для посева; при ремонте квартиры - площадь поля и стен, чтобы вычислить необходимое количество обоев, кафеля, краски и т.д. Желательно попросить учащихся привести свои примеры, подтверждающие жизненную неоходимость изучения данного вопроса. Кроме того, для возбуждения интереса учащихся к данной теме, учителю целесообразно привести интересную историческую справку, касающуюся вопроса измерения площадей. Например, "измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности, название "геометрия" (т.е. "землемерие") связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей". Позже при изучении учащимися темы "Площади многоугольников", учитель может также привести исторические сведения о том, каким образом в древности вычислялись площади тех или иных фигур. Например, "В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которого имеют длины a, b, c и d, можно вычислять по формуле: . (т.е. сумму длин двух противоположных сторон умножить на полусумму длин двух других сторон). Эта формула, найденная опытным путем, неверная; в этом можно убедиться на примере параллелограмма. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанной формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников".

Переход от непосредственного измерения площадей (с помощью палетки) к измерению опосредованному также необходимо мотивировать. Важно привлечь внимание учащихся на тот факт, что до сих пор практическое измерение длин отрезков и величин углов с помощью масштабной линейки и транспортира не вызывало трудностей, а для измерения площадей такого удобного измерительного прибора нет и в принципе быть не может, так как измерять площадь, сравнивая ее, например, с квадратным метром, на практике невозможно. Измерение площадей с помощью палетки не отличается точностью, утомительно, поэтому на практике чаще всего пользуются более совершенными и точными способами измерения площадей, которые по существу сводятся к измерению длин отрезков и использованию особых формул.

Следующий этап работы с понятием - выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется посредством упражнений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся. Итогом этого этапа является формулировка определения понятия, усвоение которого составит содержание нового этапа. Например, понятие "площадь плоской фигуры" вводится во всех учебниках аксиоматически, т.е. перечислением основных свойств (аксиом) величины, называемой площадью. Осуществляя принцип наглядности, целесообразно дать геометрическую трактовку перечисленных свойств. В учебнике И.Ф. Шарыгина свойства площади наглядно интерпретированы следующим образом (рис.16):

Рис.16

Для акцентирования внимания учащихся на данных свойствах необходимо привести ряд задач и упражнений, для решения которых используются данные свойства. Например:

Свойство 2. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, площади которых равны.

Свойство 3. 1) Нарисуйте два равных прямоугольных треугольника. Составьте из них: а) равнобедренный треугольник;

б) прямоугольник;

в) параллелограмм.

2) Проведите необходимые измерения и найдите площадь изображенной на рис.17 фигуры:



Рис. 17

Свойство 4. Можно вспомнить известные из курса 1-6 классов учащимся единицы измерения площадей в ходе решения следующей задачи. Площадь поверхности озера равна 5 870 000 м². Выразите площадь поверхности озера в квадратных километрах и в гектарах.

На этапе усвоения определения понятия каждое существенное свойство, используемое в определении, делается специальным предметом изучения. Обеспечивается это требование с помощью упражнений. Одним из типов таких упражнений является распознавание объектов, принадлежащих понятию. Например, понятие площади можно с успехом применять при сравнении обыкновенных дробей.

Задача. Сравнить дроби: и .

Наибольшая трудность в этом задании состоит в том, чтобы увидеть объекты, принадлежащие понятию "площадь". Но эта проблема разрешается сразу после того, как учащиеся представят данные задачи геометрически (рис.18).

Рис.18

"Наложив" одну сетку на другую, таким образом приведя обе дроби к общему знаменателю, учащиеся получают следующую картинку (рис.19):

Подсчитав площадь каждой фигуры, т.е. число квадратиков, из которых оказалась составлена и та, и другая фигура, получаем, что левая фигура по площади больше правой, так как больше число квадратиков, составляющих ее. Значит, > .

Следующий этап: использование понятия в конкретных ситуациях. На этом этапе прежде всего осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия; с его определениями, эквивалентными принятому; используются изученные свойства и признаки понятия. На данном этапе учащиеся овладевают умениями переходить от понятия к его существенным признакам и обратно, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий, в частности учатся переосмысливать элементы чертежа с точки зрения другой фигуры и т.д., а также овладевают различными их совокупностями. На этом этапе важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей. Упорядочение задач может быть осуществлено посредством обобщения и конкретизации, привлечения аналогии, взаимно обратных задач. Блоки задач могут конструироваться следующими способами:

а) результаты решения предыдущей задачи используются в решении последующей;

б) результаты решения предыдущей задачи используются в условии последующей;

в) предыдущие задачи являются элементами последующей;

г) решения совокупности задач осуществляются одним и тем же методом.

Например, при обучении учащихся решению задач с помощью метода площадей целесообразно сделать соответствующую подборку задач из третьей части предлагаемого сборника задач (см. часть 3). Приведем несколько примеров таких задач.

Задача. Стороны треугольника равны a, b, и c. Вычислите высоту h, проведенную к стороне c.

Задача. В треугольнике со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?

Задача. Докажите, что в любом треугольнике высоты обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.

Задача. Длины сторон параллелограмма ABCD равны 6 см и 8 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, имеет длину 4 см. Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне параллелограмма.

Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Причем, площадь параллелограмма составляет половину площади прямоугольника. Найдите острый угол параллелограмма.

И вообще, чрезвычайно важно показать учащимся, что понятие площади можно с успехом использовать при доказательстве различных теорем и решении задач, причем даже тех, в формулировках которых отсутствует упоминание о площади. Поэтому можно говорить о методе площадей в геометрии. Об этом методе практически не упоминается в школьных учебниках (кроме учебника по геометрии И.Ф.Шарыгина, да и здесь он четко не формулируется, а лишь на конкретных примерах показано его применение). Интересно, что метод площадей оказывается "близким родственником" метода уравнивания, который используется при решении различных геометрических задач (А.Г. Мордкович называет его методом опорного элемента). Он сводится к следующему: одна из величин, не являющаяся искомой выражается двумя способами через данные в условии величины. Такую величину называют опорной. По крайней мере одно из двух выражений опорной величины должно содержать искомое. Тогда, приравнивая два выражения, получают уравнение относительно искомой величины. Сама же опорная величина при составлении уравнения исключается. Если для составления уравнения в качестве опорной величины выбирается площадь, то говорят, что используется метод площадей. Под методом площадей также понимается использование свойств площадей при решении задач и доказательстве теорем. Приведенные выше задачи предлагается решить с помощью метода площадей. Нельзя сказать, что это единственный метод решения предложенных задач. Просто зачастую именно метод площадей дает более изящное, более рациональное решение задачи. Использование метода площадей при решении задач значительно обогатит математическую культуру школьников.

Приведем подборку задач, упорядочение которых осуществлено посредством обобщения и конкретизации.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

Для решения данной задачи целесообразно рассмотреть более частные задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Задача. Дана трапеция ABCD (AB¦CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Теперь, рассмотрев различные частные случаи четырехугольников, перейдем к решению основной задачи 1. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении задач 2 и 3. Итак, решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях, например, в решении следующей задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в (n-1)-угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n-2)-угольник и т.д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику, а значит, и данному n-угольнику.

Итак, при решении рассмотренной группы задач мы осуществляли переход не только от менее частного к более общему, от частного к общему, но и от общего к частному, от более общего к менее общему, т.е. не только обобщение, но и конкретизацию.

Говоря об использовании аналогии, конкретизации, обобщения при решении задач, рассмотрим доказательство теоремы Пифагора, восходящее к Евклиду.

Задача. Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c, из которых c является гипотенузой. Докажем, что a² + b² = c².

Построим на сторонах a, b, c прямоугольного треугольника подобные многоугольники, площади которых равны соответственно лa²,лb²,лc². Если a² + b² = c², то лa² + лb² = лc². Очевидно, верно и обратное утверждение: если лa² + лb² = лc², то a² + b² = c². С помощью обобщения приходим к следующей теореме: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других многоугольников. Это обобщающее утверждение равновелико не только частному утверждению, от которого мы отправлялись, но и любому другому, например тому, которое получим, если проведем высоту из вершины прямого угла на гипотенузу.

Данное утверждение можно предложить учащимся на кружковом занятии по математике. Здесь же можно предложить школьникам, проявляющим интерес к геометрии, решить следующие задачи.

Задача. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены 4 равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата служат гипотенузами этих треугольников. Найдите площадь фигуры, составленной из квадрата и этих треугольников, если сумма катетов в каждом треугольнике равна d.

Задача. В треугольной пирамиде ABCD все ребра, выходящие из вершины D, попарно перпендикулярны. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей треугольников DAB, DBC и DCA (теорема Пифагора для треугольной пирамиды).

Задача. Докажите, что площадь черной фигуры равна сумме площадей белых фигур (рис.20).

При изучении темы "Площади" можно также установить аналогию между единицами длины и единицами площади. Познакомив учащихся с единицами измерения площадей, можно задать вопросы:

Какие единицы длины, аналогичные единицам площади вы знаете?

Какая единица площади аналогична сантиметру (метру и т.д.)? В чем сходство этих единиц?

Установив, что 1 см - это длина отрезка, а 1 см² - это площадь квадрата, сторона которого 1 см, целесообразно выполнить упражнения:

Длина отрезка 3 дм. Определите площадь квадрата, аналогичного этому отрезку.

Площадь квадрата 25 см². Начертите отрезок, аналогичный этому квадрату.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: сколько квадратных сантиметров в 1 дм²? Снижению таких трудностей способствует использование аналогии между единицами длины и площади:

1 дм = 10 см -это длина отрезка;

1 дм² - это площадь квадрата со стороной 1дм = 10 см, поэтому 1 дм² = 10 10 = 100 см².

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

установлением связей между отдельными понятиями, теоремами;

разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

обобщением понятия;

конкретизацией понятия.

Доступные ученикам связи между знаниями выясняются путем анализа содержания учебного материала. В качестве средств представления информации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графики, рисунки, схемы и т.д. Например, в учебнике А.В. Погорелова в конце каждого параграфа помещается раздел "Контрольные вопросы", в которых заостряется внимание на "опорных точках" теории и взаимосвязях между ними. После этих вопросов дается набор упражнений к изучаемому параграфу. Наличие в пособии специальных разделов "Контрольные вопросы" и "Задачи" является эффективным средством систематизации геометрических знаний.