Площади плоских фигур в курсе геометрии основной школы

Приведем примеры упражнений по теме "Площади", выполнение которых способствует осознанию связей изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычислить по формуле площади треугольника?

Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычислить по формуле площади трапеции? А по формуле площади прямоугольника?

Можно ли площадь треугольника (трапеции) вычислить по формуле S=ch, где c - средняя линия, а h - высота треугольника (трапеции).

Итак, все вышесказанное доказывает целесообразность применения задач "на площади" предлагаемого сборника при формировании понятия "Площадь фигуры" в средней школе. Посмотрим теперь каким образом реализуются эти задачи при работе с теоремами.

Главным в изучении теорем является не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы в различных ситуациях, установление различных связей теоремы с другими теоремами. Приведем фрагмент урока, посвященного изучению площади трапеции.

Учитель начинает урок с повторения опорного материала:

Что такое площадь многоугольника (какими свойствами она обладает)?

Площади какого многоугольника мы можем находить, исходя из этого?

Площадь какого многоугольника мы нашли на основании общих свойств площади?

Какой прием мы использовали для вывода площади прямоугольника? (Достраивали до фигуры, площадь которой известна, - до квадрата - и разбиение ее на квадраты и прямоугольники.)

Аналогичные вопросы задаются при повторении площади параллелограмма и треугольника. В процессе такой беседы на доске появляется постепенно следующая запись (рис.21):

Рис.21

Подводится итог:

Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней;

Для вывода всех формул применяется один и тот же прием (указан выше).

Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? (После обсуждения учащиеся останавливаются на гипотезе, что, наверное, через основания a, b и высоту h.)

Попытайтесь найти эту закономерность, используя прием "достраивания" и "разбиения". У кого какие варианты, как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции можно было подойти через площади известных многоугольников?

Учащиеся начинают предлагать свои варианты (рис.22):

рис.22

Все предлагаемые учащимися рисунки изображаются на доске. Каждый новый рисунок вызывает у класса одобрительный гул, дети стараются придумать еще варианты.

Далее учитель по каждому ряду дает задание найти площадь трапеции по рисункам а, б и г соответственно. В результате в классе теорема докажется тремя способами. Можно предложить учащимся дома найти свои способы доказательства этой теоремы.

Включение школьников в поисковую деятельность на основе аналогии позволяет формировать у них не только логическое мышление, но и интуитивное, которое является необходимым компонентом творческого мышления независимо от их будущей профессоинальной деятельности.

Проведенный урок способствует развитию учащихся во всех аспектах: получили новые факты - теоремы, учитель раскрывает методологию математики (законы и приемы познания математических закономерностей), развивает интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления и т.п.). Учащиеся весь урок работали с интересом, причем каждый чувствовал себя первооткрывателем данного факта. Но это возможно лишь в том случае, если учащиеся приучены к постановке учителем проблемных вопросов и активно и с интересом включаются в поиск ответов на них.

Иначе можно было бы "открыть" с учащимися формулу для вычисления площади трапеции с помощью решения вспомогательной задачи: преобразовать трапецию в равновеликий треугольник. После решения данной задачи, нахождение формулы площади трапеции сводится к нахождению площади полученного треугольника.

Поиски различных способов доказательств теорем, различных способов решения задач является важным фактором развития математического мышления, что является основной целью обучения математике. С первых уроков геометрии необходимо демонстрировать учащимся различные способы доказательств одной и той же теоремы, различные методы решения одной и той же задачи. Полезно даже вернуться к решенной ранее задаче после прохождения очередной темы, чтобы применить новые знания к старой задаче (возможно, при этом получим более рациональное решение).

Если учителю удастся привить школьникам интерес к отысканию различных способов решения задач и различных способов доказательства теорем, то он сможет развить эстетический вкус учащихся при решении геометрических задач, развить творческие способности школьников, глубже показать им красоту математики. Необходимость решения задач различными способами заключается еще и в том, что у учащихся появляется возможность сравнить различные способы решения задач (доказательства теоремы) с целью выявления для себя наиболее оптимальный, увидеть достоинства и недостатки того или иного способа решения.

К сожалению, на уроках математики редко используется возможность показа и поиска различных доказательств теорем учителем (за исключением, быть может, теоремы Пифагора, о которой сообщается, что существует более ста различных ее доказательств, да иногда на обобщающих уроках по данной теме приводится несколько ее доказательств). При этом нередко у учеников возникает впечатление, что теорему можно доказать только так, как предлагается в учебнике или как рекомендует учитель, и никак иначе; предложенную задачу можно решить только одним способом. В этом случае решенные задачи быстро забываются учащимися, поскольку ученики не пытаются их применить в дальнейшей учебной деятельности: познавательные возможности этих задач снижаются, поскольку не раскрываются перед учениками. И все это приводит к тому, что ученики не способны мыслить самостоятельно. Учителя ссылаются на катастрофическую нехватку времени, при этом стараясь решить как можно больше задач, не понимая при этом, что для развития мышления учащихся лучше решить одну задачу несколькими способами, чем решить множество различных задач. Одним из путей устранения перечисленных выше недостатков является творческая деятельность учащихся по отысканию различных способов решения задач. Под руководством учителя активная деятельность учащихся в этом направлении способствует раскрытию познавательных и эстетических возможностей учебных задач.

Выше на примере площади трапеции уже приводился пример доказательства теоремы различными способами. Также различными способами можно доказать и теорему о площади параллелограмма, треугольника. Многие задачи предлагаемого сборника задач подразумевают наличие нескольких решений, а значит они реализуют развивающую функцию задач "на площади". Но задачи сборника были подобраны и с учетом реализации ими воспитательной функции задач "на площади", а именно направленных на формирование эстетического вкуса учащихся, повышения уровня математической культуры школьников. Ведь решение задач различными способами - это первый шаг к пониманию и восприятию внутренней красоты задачи. Приведем примеры задач, направленных на формирование и развитие эстетического вкуса учащихся, которые можно предложить решить различными способами, по теме "Площади фигур", поскольку эта тема является наиболее привлекательной для учащихся с эстетической точки зрения, к тому же ко времени изучения данной темы у учеников имеется определенный запас теоретических знаний, и они могут применить на практике полученные знания при поиске различных способов решения с целью отыскания наиболее рационального, красивого.

Задача. По данным рис.23 найдите площадь заштрихованной фигуры:

РЕШЕНИЕ.

1-ый способ. (рис.24 )

S = 10²-2S₁-2S₂

S₁ = (100-25р ) = 25-

S₂ = *25р =

S = 100-2(25-+) = 50

Рис.24

2-ой способ. (рис.25)

S = 10²-(5)² = 50

Рис.25

3-ий способ. (рис.26 )

S = 2*5² = 50 или S = = 50

Рис.26

4-ый способ. (рис.27 )

S = 2*5² = 50

Рис.27

5-ый способ. (рис.28 )

S = = 50

Рис.28

Данная задача представляет интерес не только с точки зрения различных способов решения, но и условие ее привлекает своей эстетической стороной. Приведенная задача побуждает учеников к математическому творчеству, поиску новых решений. Таких задач представлено в данном сборнике достаточное количество, что позволяет использовать его на уроках геометрии в целях развивающего обучения. Если на уроке предусмотрено решить задачу несколькими способами, то при этом полезно разбить класс на группы и предложить каждой группе решить задачу определенным способом, дав направление поиска. Сначала это может быть небольшая подсказка учителя, например, решить задачу или доказать теорему, используя определенное свойство геометрического объекта, выполнить дополнительное построение и т.п. Затем, решив задачу, разумно поставить перед учащимися вопрос "Нельзя ли получить тот же результат иначе?". После того, как ученики решили задачу различными способами, разумно будет разобрать достоинства и недостатки каждого способа решения с целью выбора наиболее оптимального с точки зрения школьников. При этом учащиеся учатся оценивать решение задачи, искать нестандартные подходы к решению, видеть и оценивать эстетическую сторону решения задачи, что, несомненно, положительно влияет как на развитие познавательного интереса школьников, так и на развитие мышления учащихся и их общей культуры.

Приведем пример задач сборника, при решении которых учителю необходимо показать идею решения учащимся.

Задача. Площадь треугольника ABC равна P. Прямая DE, параллельная основанию AC, отсекает от треугольника ABC треугольник BED площадью Q. На стороне AC взята произвольная точка M и соединена отрезками прямых с точками D и E. Чему равна площадь четырехугольника BEMD? (рис.29 )



Рис.30

Учителю следует сообщить учащимся, что при решении данной задачи необходимо воспользоваться идеей, которая часто оказывается плодотворной при отыскании площадей фигур. Следует также сделать акцент на том, что точка M - произвольная точка стороны AC. Вместе с учащимися следует отметить тот факт, что четырехугольник BEMD состоит из фиксированного треугольника BED и подвижного, зависящего от выбора точки M, треугольника DEM. Но где бы на AC мы ни выбрали точку M, высота треугольника DEM, проведенная к его основанию DE, не изменится по длине, значит, не изменится и площадь треугольника DEM. Следовательно точку M мы можем расположить на AC наиболее выгодным, удобным для нас способом, например, совместив ее с точкой A. И тогда речь будет идти об отыскании площади не четырехугольника BEMD, а треугольника BEA с той же площадью (рис.30 ).

Далее, сравниваем треугольники ABE и BDE. У них общая высота, проведенная из вершины E, значит их площади относятся как основания: , т.е.

(1)

Теперь сравниваем треугольники ABC и BDE. Они подобны, значит, их площади относятся как квадраты соответственных сторон: , т.е.

(2)

Из (1) и (2) получаем:

, т.е. .

Ответ: .

При решении этой задачи мы оперировали различными понятиями и теоремами, что в свою очередь доказывает возможность применения задач "на площади" предлагаемого сборника на различных этапах работы с понятиями и теоремами. В частности, мы заменили четырехугольник равновеликим ему треугольником. При этом использовав множество важных геометрических фактов, касающихся не только темы "Площади фигур", но и других тем школьного курса геометрии, а именно:

Применение понятия равновеликости фигур;

Использование того факта, что площадь треугольника не изменяется при передвижении вершины треугольника по прямой, параллельной основанию;

Использование теоремы о том, что если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований (сторон, на которые опущены высоты);

Использование признака подобия треугольников;

Применение теоремы об отношении площадей подобных фигур.

Решение подобных задач позволяет глубже оценить взаимосвязь различных разделов геометрии, оценить стройность и привлекательность этой науки, тем самым глубже осознать ее эстетическую сторону. Продолжим рассмотрение задач, идею решения или само решение которой целесообразно дать учащимся (сначала желательно предоставить учащимся возможность самим подумать над задачей).

Задача. Два параллелограмма расположены так, как показано на рис.31: они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.

Рис.31

Следует обратить внимание учащихся, что заштрихованный треугольник (рис.32) составляет половину площади как одного, так и другого параллелограмма. А это и означает, что их площади равны.

Рис.32

Это довольно нестандартный подход к решению задач, но его краткость и удивительная простота действительно восхищают учащихся, что естественно повышает их интерес к изучению геометрии.

Говоря о реализации развивающей и воспитательной функциях задач "на площади", нельзя не сказать о различных задачах на разрезание и перекраивание фигур, конструироании из бумаги. Подобные задачи призваны повысить интерес учащихся к геометрии, развивать их фантазию, творческие возможности. Кроме того, можно смело сказать, что решение подобных задач вносит определенный вклад в художественное воспитание учащихся, в развитие у них изобразительной культуры. Применять такие задачи можно и на уроках, и во внеклассной работе, для этого в сборнике представлено достаточное количество подобных задач. Приведем пример задачи на конструирование из бумаги.

Задача. 1) Укажите площадь данного на рис.33 квадрата, считая одну клетку за 1 кв. ед.

2) Вырежьте этот квадрат из бумаги и сложите из него треугольную пирамиду (рис.34);

3) Найдите площадь полной поверхности полученной пирамиды.

Рис.34

Данное задание не только на измерение площади квадрата, его выполнение осуществляет пропедевтику курса стереометрии, а именно знакомит учащихся с пространственным телом и площадью его поверхности. Подобные задания развивают пространственные представления учащихся и демонстрируют, что тема "Площади фигур" находит свое применение не только среди плоских фигур, но и среди пространственных тел. Подобные задачи можно предложить учащимся уже в 5-6 классах (вместо пирамиды можно сначала взять куб, цилиндр).

Выше уже отмечалась возможность применения задач "на площади" сборника при организации внеклассной работы (в приложении приведен пример игры на внеклассном мероприятии). Сборник оснащен и довольно трудными задачами, которые целесообразно применять при организации кружковой работы, факультативов или предлагать их для решения сильным ученикам.

Итак, мы показали, как задачи "на площади" сборника служат основным дидактическим целям, а именно: формируют системы знаний, умений и навыков решения различных типов задач, творческое мышление учащихся; способствуют развитию интеллекта, мировоззрения, нравственных качеств, стимулируют развитие интереса к геометрии, выполняют познавательную роль в обучении. Решение этих задач способствует развитию мышления школьников, а это, пожалуй, самая важная цель обучения математике.

2.3 Опытная проверка разработанных материалов и анализ результатов

Опытная проверка задач предлагаемого сборника проводилась в ЦО № 654 города Москвы и охватила 45 учеников восьмых классов: 8 "МиФ" и 8 "БиХ" ("МиФ" - это класс с физико-математическим уклоном, а "БиХ" - с биолого-химическим). Цели проведенной проверки состояли в следующем:

1) Получения экспертной оценки учителей математики, в которую входили:

Проверка целесообразности применения задач предлагаемого сборника;

Оценка варианта типологии задач, предложенной в работе;

Возможности применения задач сборника;

Возможные формы организации деятельности учащихся при работе с предложенными задачами;

Уровень доступности задач для учащихся различных категорий.

2) Разработка проверочной работы по теме "Площади фигур" с целями:

Проверки остаточных знаний учащихся по данной теме;

Проверки уровня сформированности умений решать задачи по данной теме;

Узнать мнение учащихся по предложенным задачам.

3) Разработка необязательного задания (выборки задач из предлагаемого сборника) для любознательных учеников по теме "Площади фигур" с целями:

Апробации некоторых задач сборника;

Проверки уровня доступности предложенных в сборнике задач для учащихся с различной степенью обученности;

Выявления типов задач, которые нравятся школьникам с различными интересами, возбуждающих интерес к изучению геометрии, задач, направленных на формирование эстетического вкуса учащихся при изучении геометрии в основной школе.

Охарактеризуем классы, в которых проходила опытная проверка, а также учителей математики, которые с ними работают.

8 "МиФ" - довольно сильный класс, с которым успешно работает очень сильный учитель математики - Зинаида Петровна Маргевич. Она отозвалась о своих подопечных как об очень способных ребятах, у которых есть желание учиться. Они с удовольствием занимаются на уроках и дома, выполняют интереснейшие творческие работы по алгебре и геометрии, с лучшими из которых учитель меня познакомил. Учащиеся с удовольствием решают предлагаемые учителем дополнительные задания, стремятся решать интересные задачи и в большом количестве, и, вообще, этот класс отличается особой активностью в изучении как алгебры, так и геометрии. Такие ребята держат в полной боевой готовности своего учителя, на долю которого выпадает нелегкая участь - проверять их работы, которые отличаются друг от друга разнообразными способами решения задач, которые зачастую оказываются красивыми и неожиданными, что приятно удивляет и радует учителя. Средний балл класса по геометрии, судя по оценкам прошлой четверти, составляет 4,2. Хотелось бы отметить, что учащиеся с удовольствием принимают активное участие в математической жизни школы, в том числе и в математических олимпиадах и марафонах. Как рассказал учитель, они сами узнали, что в Москве проводится "Матбой", позвали с собой Зинаиду Петровну и… победили.

Об учителе хотелось бы сказать, что Зинаида Петровна - учитель высшей категории, обладатель почетного звания заслуженного учителя России, профессиональный стаж которой свыше 30 лет. Хотелось бы отметить, что данный учитель постоянно год за годом совершенствует свою профессиональную деятельность, старается практиковать самые разнообразные формы и методы работы с детьми, формы организации уроков, внеклассных мероприятий. Зинаида Петровна трепетно относится к стимулированию познавательной активности своих учеников, к возбуждению интереса к геометрии у своих воспитанников, для чего всегда подбирает множество интересных, занимательных задач по каждой теме. Именно поэтому мы обратились именно к ней с просьбой провести экспертную оценку задач данного сборника.

Ознакомившись с подборкой задач по теме "Площади плоских фигур", Зинаида Петровна отметила, что в сборнике представлены задачи для работы как в классах с углубленным изучением математики, так и в обычных классах средней школы. Учителем отмечена также возможность использования предлагаемых задач на различных этапах урока и при различных формах работы, а именно при фронтальной работе с классом, при индивидуальной, коллективной и групповой работах. Некоторые задачи подходят для индивидуальных домашних заданий, самостоятельных и контрольных работ в классе, домашних контрольных работ и творческих работ. Зинаида Петровна подчеркнула необходимость решения некоторых задач из сборника на уроке, а также показа решения отдельных задач с целью демонстрации самой идеи решения. Учитель отметил также возможность применения некоторых задач во внеклассной работе, а также в кружковой и факультативной работах по математике. Область применения предлагаемых задач довольно широка, а именно их можно использовать при изучении и закреплении изучаемой темы, при ее повторении, при итоговом повторении курса планиметрии в 9 классе, при повторении планиметрии в 10 классе, а также при итоговом повторении в 11 классе.

Учитель посчитал удачной градацию задач сборника, а именно разделения на крупные блоки задач на измерение площадей, вычисление площадей и метод площадей, понравилась также последняя часть сборника, в которой Зинаида Петровна обнаружила множество интересных и занимательных задач, решение которых требует оригинальности мышления, внимания и сообразительности и которые делают изучение материала более живым и увлекательным, что способствует развитию интереса к геометрии.

Отмечено также удобство пользования сборником, которое обеспечивается, в частности, разбиением задач по видам фигур. Благодаря разноуровневой системе обеспечивается работа учащихся, обладающих разными уровнями владения материалом и имеющих различные математические способности.

Что касается 8 "БиХ" класса, то это тоже очень активный и сильный класс, в котором преподает студентка МГПУ Мелехина Мария Игоревна. Мария Игоревна хоть и начинающий учитель, но ее занятия проводятся на высоком методическом уровне. Коллеги отзываются о ней как об ответственном, терпеливом, трудолюбивом педагоге, относящемся к своей работе с полной отдачей и ответственностью. У нее сложились прекрасные отношения с детьми, общение с которыми происходит не только на уроках. О своих учениках Мария Игоревна отозвалась как о способных, старательных ребятах, активно работающих на уроках математики, особенно на уроках геометрии. Свою любовь к этому предмету они объясняют тем, что в геометрии не так много различных формул, как в алгебре, которые они никак не могут запомнить, а в геометрии - все наглядно и просто запоминается. Средний балл этого класса по геометрии по оценкам прошлой четверти составляет 4,1.

Экспертная оценка задач сборника была получена и от этого учителя математики. Мария Игоревна, помимо вышесказанного, отметила как положительный факт количество предлагаемых задач, их разнообразие, а также возможность их применения при организации различных форм учебного процесса. Предложенная градация задач также признана удачной, т.к. она позволяет учителю сразу находить задачи по конкретной теме, будь то урок по теме "Площадь треугольника", "Площадь трапеции" и т.д. Разбиение задач по различным уровням сложности помогает учителю при организации дифференцированного обучения.

После проведения экспертной оценки учителей математики, ребятам была предложена проверочная работа с целью выявления остаточных знаний у учащихся по теме "Площади фигур", которая была представлена в виде теста, предполагаемые ответы которого были разработаны с учетом типичных ошибок учащихся, возникающих при решении задач теста. В проверочной работе было представлено два варианта, в каждом из которых по шесть заданий, одно из которых - общее.

Инструкция к выполнению теста: Прочитав вопрос, выберите нужный вариант ответа. Каждый вопрос предполагает один или несколько правильных ответов.

Тест на тему "Площади фигур"

Вариант 1.

№1. По формуле d₁d₂, где d_1, d₂ - длины диагоналей, можно вычислите площадь…

1. Параллелограмма; 3. Квадрата;

2. Ромба; 4. Нет правильного ответа.

№2. Площадь треугольника, изображенного на рис.35, может быть равной…

1. 15 см²; 3. 13 см²;

2. 14 см²; 4. Нет правильного ответа.

Рис.35

№3. ABCD - параллелограмм.(рис.36) Равные площади имеют треугольники…

1. ABD и ACD; 3. ABO и BOC;

2. BOC и AOD; 4. Нет правильного ответа.

Рис.36

№4. Если радиус круга увеличить в 5 раз, то его площадь увеличится…

1. В 5 раз; 3. В 10 раз;

2. В 25 раз; 4. Нет правильного ответа.

№5. Чтобы разделить треугольник на два треугольника равной площади, нужно провести в нем…

1. Медиану; 3. Высоту;

2. Биссектрису; 4. Нет правильного ответа.

№6. В треугольнике со сторонами BC=8 см и AB=4 см проведены высоты к этим сторонам. (рис.37) Высота, проведенная к стороне длиной 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне длиной 4 см?

Рис.37

Вариант 2.

№1. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна…

1. ; 3. ;

2. ; 4. Нет правильного ответа.

№2. Площадь треугольника, изображенного на рис.38 может быть равной…

1. 3 см²; 3. 5 см²;

2. 4 см²; 4. Нет правильного ответа.

Рис.38

№3. ABCD - трапеция.(рис.39) Равные площади имеют треугольники…

1. ABD и ACD; 3. ABO и BOC;

2. BOC и AOD; 4. Нет правильного ответа.

Рис.39

№4. Если площадь круга уменьшить в 16 раз, то радиус этого круга уменьшится…

1. В 16 раз; 3. В 256 раз;

2. В 4 раза; 4. Нет правильного ответа.

№5. Если фигуры равновелики, то они…

1. Равны; 3. Подобны;

2. Имеют равные площади; 4. Нет правильного ответа.

№6. В треугольнике со сторонами AB=8 см и BC=4 см проведены высоты к этим сторонам. (рис.40) Высота, проведенная к стороне длиной 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне длиной 4 см?

Рис.40

Результаты проверочной работы отображены в следующей таблице:

Введем обозначения: Пусть n - номер задания, K_n - количество учеников, успешно решивших это задание, P_n - количество учеников, решивших это задание не полностью, N_n - количество учащихся, не справившихся с этим заданием или вовсе не приступивших к нему.

n	Вариант 1	Вариант 2
	Kn	Pn	Nn	Kn	Pn	Nn
8 "БиХ" (работу выполняло18 человек из 21)
1. 2. 3. 4. 5. 6.	1 8 1 10 6 7	9 1 9 0 1 0	0 1 0 0 3 3	6 2 1 4 7 5	0 0 0 0 0 0	1 5 6 3 0 2
8 "МиФ" (работу выполняло 27 человек из 30)
1. 2. 3. 4. 5. 6.	5 2 1 14 11 9	7 9 13 0 0 0	1 3 0 0 3 5	4 7 10 12 14 12	0 0 0 0 0 0	10 7 4 2 0 2

Задание №1 первого варианта было направлено на проверку знания формулы для вычисления площади ромба и квадрата, и с ним, как видно из таблицы, справились далеко не все учащиеся. Многие выполнили это задание не полностью, отметив как правильный ответ лишь ромб. Если сравнивать результаты между классами, то 8 "МиФ" справился с ним лучше. Что касается задания №1 второго варианта, то здесь проявили себя лучше ребята из 8 "Бих" класса. Ребята еще не изучали правильные многоугольники и их площади (в обоих классах), но им перед работой было объяснено на наглядно-интуитивном уровне, что площадь правильного шестиугольника со стороной a равна шести площадям равностороннего треугольника с той же стороной. И здесь все уже зависело от знания учащимися формулы площади равностороннего треугольника со стороной a.

Задание №2 в обоих вариантах вызвало некоторые затруднения. Оно и понятно, ведь ребята только приступили к изучению темы "Синус", но уже знали какие накладываются ограничения на синус. Формула площади треугольника, выраженная через две стороны и синус угла между ними, была сообщена учащимся непосредственно перед работой. При решении этого задания ребятам нужно было проявить смекалку и внимание, и многие с этим успешно справились. Если снова сравнивать результаты обоих классов между собой, то здесь ситуация следующая: в первом варианте результаты лучше у 8 "БиХ", а во втором - у 8 "МиФ".

В задании №3 обоих вариантов нужно было найти пары равновеликих треугольников в параллелограмме и в трапеции. Это задание было направлено на внимание, а также на знание ребятами необходимого теоретического материала (учащиеся не увидели треугольники с равными основаниями и одинаковой высотой). Многие школьники не увидели все пары равновеликих треугольников в параллелограмме, а ведь в основе этого задания лежало важное свойство медианы треугольника. Кстати, с этим заданием в явном виде справились практически все ученики первого варианта (задание №5). Случай с трапецией оказался для учеников проще - многие увидели единственную нужную пару из списка предложенных. Оба класса в этом задании проявили одинаковые успехи.

Задание №4 было на использование формулы площади круга, которую ребята будут изучать только в середине 9 класса. Здесь ребятам пригодились те знания, которые они приобрели в младших классах средней школы. Приятно удивило то, что практически все ученики обоих классов успешно справились с этим заданием.

Задание №5 в первом варианте было направлено на проверку знания учащимися важного, полезного для решения многих задач (например, №3 первого варианта) теоретического факта, что медиана треугольника делит его площадь пополам. Во втором варианте задание также теоретического содержания - на понятие равновеликости фигур.

И, наконец, последнее задание в обоих вариантах было на применение площадей к решению задач, а именно на метод площадей. С этим заданием практически не было проблем, а это значит, что учащиеся успешно применяют метод площадей при решении задач.

На следующем уроке с учащимися был проведен разбор ошибок проверочной работы, а также им было предложено высказать свое мнение о каждой задаче данной работы. Большинство ребят посчитало интересными задачи №2, №3, №5, легкими - №4, №6 и полезными - №1, №5 и №6.

В конце урока ребятам было предложено как необязательное задание порешать понравившиеся из 14 задач по теме "Площади фигур", на что большинство учащихся с охотой согласились. А задачи были следующие:

№1. Данный треугольник "перекроить" в прямоугольник (рис.41).

Рис.41

№2. По данным рис.42, 43 найдите площади заштрихованных фигур:

Рис.43

№3. Докажите, что площадь черной фигуры равна сумме площадей белых фигур (рис.44):

№4. Основания AB и CD трапеции ABCD соответственно равны a и b, O - точка пересечения диагоналей (рис.45). Найдите отношение площадей треугольника AOB и трапеции ABCD.

Рис.45

№5. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рис.46. Во сколько раз площадь внутреннего квадрата меньше площади исходного?

Рис.46

№6. Точка, взятая внутри равностороннего треугольника, соединена со всеми его вершинами. Кроме того, из нее опущены перпендикуляры на все стороны треугольника. Три из образовавшихся шести треугольников через один заштрихованы (рис.47). Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей незаштрихованных треугольников.



Рис.48

№7. Полуокружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках D и E соответственно, и имеет центр на стороне AB (рис.48). Найдите радиус этой полуокружности, если: BC=13 см, AB=14 см и AC=15 см.

№8. Зная медианы m_a, m_b и m_c треугольника, вычислите его площадь.

№9.Площадь прямоугольника 48 см², а стороны относятся как 1:3. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

№10. В прямоугольнике со сторонами проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения (рис.49). Найдите площадь фигуры, ограниченной биссектрисами.

Рис.49

№11. Площадь треугольника ABC равна P. Прямая DE, параллельная основанию AC, отсекает от треугольника ABC треугольник BED с площадью Q. На стороне АС взята произвольная точка M и соединена отрезками прямых с точками D и E.(рис.50) Чему равна площадь четырехугольника BEMD?



Рис.50

№12. Два параллелограмма расположены так, как показано на рис.51: они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.

Рис.51

№13. В четырехугольнике ABCD углы B и D прямые, а стороны AB и BC равны. Определите его площадь, если известно, что перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AD, равен 1. (рис.52)

№14. Пусть a - основание, h - высота, S - площадь параллелограмма. Найдите:

а) S, если a =15 см, h =12 см;

б) a, если S = 34 см², h = 85 мм;

в) a, если S = 162 см², h =.

№15. Номер в гостинице имеет вид, изображенный на рис.53. Найдите площадь номера и каждого его помещения, считая, что все они квадратные.

Рис.53

Учащиеся решили следующие задачи: №1 - №5, №7, №9, №10, №13, №14 и №15. Как и требовалось в задании, ребята выбрали и решили те из них, которые им более всего понравились. На вопрос "Чем вам понравилась данная задача?" ученики дали самые различные ответы:

Большинству учащихся понравился красивый внешне чертеж, поэтому они с удовольствием и живым интересом принялись за это задание (№2, 3);

Некоторых заинтересовали различные способы решения одной и той же задачи и выявления для себя наиболее изящного, необычного, красивого (№ 1, 3, 5).

Некоторым учащимся понравились задачи с интересным для них содержанием условия.

Некоторые задачи, как считают учащиеся, иллюстрируют важные принципы, необычные способы решения задач именно поэтому за их решение стоит взяться (№5, 6, 11, 12, 13).

Нашлись и такие ребята, которые интересуются задачами с практическим содержанием (№15).

Некоторым понравились просто трудные задачи (№6, 11).

Нашлись ученики, которые стали решать задачу только потому, что она легкая, хотя и не вызвала у них никакого интереса. Просто выполняли действия одно за другим - вот и все (№9, 14).

Хотелось бы отметить, что решали ребята все задачи самостоятельно, о чем говорят представленные ими различные способы решения.

Итак, проведенная опытная проверка показала, что у учащихся самые различные интересы в обучении геометрии, и учителю, ответственно относящемуся к своей профессиональной деятельности, важно учитывать интересы каждого своего ученика. Именно поэтому важно так подбирать систему задач на определенную тему, чтобы повышать культуру математического мышления школьников, привлекать их к математическому творчеству, побуждать искать изящные, рациональные приемы решения геометрических задач, тем самым повышать интерес учащихся к математике, а также формировать эстетический вкус учащихся при обучении геометрии. Следует отметить, что такую работу учителю необходимо проводить с самого начала обучения геометрии: показывать оригинальные приемы решения задач, учить школьников поиску различных способов доказательства теорем (полезно даже вернуться к ранее решенной задаче после изучения очередной темы, чтобы применить новые знания к старой задаче - возможно при этом получится более рациональное решение), приобщать их к математическому творчеству, предлагая самим составить задачи на готовых чертежах типа "Найдите площадь заштрихованной фигуры", или составить математическую сказку, рассказ с привлечением литературных героев по предложенным задачам., или предлагать учащимся задачи на разрезание и перекраивание. Известно, что решение задачи можно назвать красивым, если оно наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие этому требованию, неизменно вызывают интерес учащихся, побуждают их искать более короткие и более простые пути решения. Конечно, на уроке рассмотреть различные способы решения задач и доказательства теорем за неимением времени просто невозможно. Эту работу можно предложить учащимся в качестве творческого домашнего задания, или рассмотреть различные способы доказательства теорем (решения задач) на уроках математики, используя в демонстрационных целях кодоскоп, на факультативных занятиях, занятиях математического кружка, дополнительных беседах, индивидуальных занятиях в классе и дома и т.д. И данная тема позволяет осуществить наилучшие намерения учителя математики, ведь тема "Площади фигур" способна вобрать в себя большой теоретический и практический материал, который накапливают школьники ко времени изучения этой темы и, кроме того, располагает большими возможностями по формированию и развитию интереса учащихся и их эстетического вкуса при решении планиметрических задач непосредственно на уроках и во внеклассной работе (всевозможные задачи на разрезание, перекраивание фигур, задачи на построение, задачи по готовым чертежам, различные исторические и занимательные задачи). Кроме того, эта тема дает возможность выхода в пространство, поэтому при решении планиметрических задач на нахождение площадей плоских фигур осуществляется пропедевтика решения задач на нахождение площадей поверхностей пространственных тел и площадей сечений.

Геометрия располагает огромными возможностями для интеллектуального, эмоционального, эстетического и духовного развития человека. Поэтому, чтобы заинтересовать школьников, привлечь их внимание к геометрии, к процессу решения геометрических задач, к процессу геометрического творчества, необходимо показать этот предмет во всем его многообразии, акцентируя внимание учащихся на интересных, занимательных моментах. Каждому учителю с целью поддержания интереса учащихся к геометрии желательно иметь подборку занимательных задач по каждой теме учебника.

Заключение

В данной работе показано, что тема "Площади фигур" обладает множеством самых разнообразных задач, направленных на повышение интереса учащихся к изучению геометрии, на развитие мышления школьников, на развитие нравственных качеств учащихся. В ходе работы были подобраны задачи по теме "Площади фигур", которые было необходимо рассортировать в соответствии с выбранной типологией. В связи с этим все задачи были распределены по четырем крупным блокам:

Измерение площадей (непосредственное измерение площадей);

Вычисление площадей (измерение площадей с использованием формул);

Метод площадей (использование формул и свойств площадей при решении задач, в которых может не упоминаться о площади);

Разные задачи (задачи на разрезание, равновеликость и т.д., не вошедшие в предыдущие блоки).

Внутри этих блоков задачи были разбиты по трем уровням сложности. Кроме того, в блоке "Вычисление площадей" задачи были разбиты по видам фигур.

Опытная проверка показала, что имея такой сборник, у учителя будет широкий выбор в зависимости от его личных интересов и интересов школьников, что позволит значительно повысить эффективность обучения математике.

В процессе исследования поставленной проблемы в соответствии с целью и задачами работы получены следующие основные результаты:

Проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы;

Проведен анализ учебников и учебных пособий по математике и по геометрии для 7-9 классов;

Изучены нормативные документы;

Раскрыта сущность дидактических принципов при обучении по теме "Площади фигур", выявлены также психологические особенности школьников, которые необходимо учитывать при изложении данной темы;

В результате бесед с учителями математики получена экспертная оценка разработанной подборки задач;

В ходе бесед со школьниками были выявлены типы задач, которые нравятся учащимся;

Была разработана подборка задач по теме "Площади фигур", направленная на всестороннее развитие учащихся и возбуждения интереса к изучению геометрии;

Были разработаны конкретные методические рекомендации по реализации основных дидактических функций задач сборника.

Разработанный в данной работе сборник задач и методические рекомендации могут использоваться учителями математики в их практической деятельности, что позволит повысить эффективность обучения школьников геометрии. С этой целью учителям полезно осуществлять подборку занимательных задач по каждой теме курса планиметрии.

Список литературы

Алексеев В.Б., Галкин В.Я., Панферов В.С. Геометрия. 9 класс: Рабочая тетрадь к учебнику И.Ф. Шарыгина "Геометрия 7-9". В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 2007.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2 ч. Ч.2. М: Просвещение, 2007.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 2008.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия 8 кл.: Решение задач из учебника Л.С. Атанасяна и др. "Геометрия 7-9". В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 2007.

Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. Ч.1. Планиметрия.: Учебное пособие для студентов пед. унив-тов и ин-тов и для учащихся классов с углубл. изучением математики. М: Сантакс-Пресс, 2007.

Барчунова Ф.М. Развитие познавательного интереса к геометрии у учащихся 6-7 классов// "Математика в школе", 1974. №6.

Березина Л.Ю., Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М., Никольская И.Л., Чернышова Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для учителя. М: Просвещение, 2010.

Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника "Пайдейя", 2008.

Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных учреждений. (Углубленный курс развивающего математического образования) М: Институт учебника "Пайдейя", 2008.

Болтянский В.Г. О понятиях площади и объема // "Квант" ,1977. №5.

Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. М: Просвещение, 1985.

Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Кн. для учащихся 6 - 8 кл. средней школы./ Под ред. В.А.Гусева. М: Просвещение, 2009.

Васильев Н.Б. Площади многоугольников: Методические разработки для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ. М: ОЛ ВЗМШ, 2009.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений. М: Мнемозина, 2007.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений. М: Мнемозина, 2009.

Волович М.Б., Шахбазян Г.В. Учитывать потребности курса физики при изучении темы "Измерение геометрических величин"// "Математика в школе", 2006. №6.

Гордин Р.К. Геометрия: Планиметрия. 7-9 классы: Пособие для учащихся. М: Дрофа, 2007. (Задачники "Дрофы")

Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2010.

Гуринович К.М. Математика: задачи и решения. Мн: Хэлтон, 2009.

Гусев В.А. Геометрия -7: Экспериментальный учебник. Часть 3. М: Авангард, 2008.

Гусев В.А. Геометрия -7: Экспериментальный учебник. Часть 4. М: Авангард, 2008.

Гусев В.А., Маслова Г.Г., Семенович А.Ф. и др. Геометрия в 7 классе: Пособие для учителей. М: Просвещение, 1981.

Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин: Библиотека школьника. М: Учпедгиз, 1956.

Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Кузнецова Г.М. и др. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике. М: Дрофа, 2007.

Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2006.

Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. М: Просвещение, 2007.

Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 2008.

Иконникова В.Ф. Внеклассная работа как средство развития творческих способностей учащихся // "Математика в школе", 1974. №6.

Ирошников Н.П. Об осуществлении дидактических принципов в преподавании математики // "Математика в школе", 1958. №3.

Карнацевич Л.С. Изучение геометрии в 8 классе: Из опыта работы. Пособие для учителя. / Под ред. И.Ф. Тесленко. М: Просвещение, 1984.

Кокотушкин В.А., Панфилов Н.Г. 200 задач по геометрии для поступающих в вузы. М: "Уникум-Центр", "Поматур", 2007.

Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6-8: Учеб. пособие для 6-8 классов средней школы. М: Просвещение, 2010.

Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся 8 класса. М: Учпедгиз, 1958.

Кон И.С. Психология ранней юности: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2009.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под ред. Н.И. Чуприковой. М: "Институт практической психологии", Воронеж: НПО "МОДЭК", 2008.

Кукарцева Г.И. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 7-9 классы.: Учебное пособие. М: Аквариум, 2007.

Курдюмова Н.А. Математическая игра на внеклассном занятии. Геометрия. Тема "Площади фигур" // "Математика в школе", 2007. №6.

Литвиненко В.Н. Метод уравнивания в геометрических задачах // "Математика в школе", 2008. №6.

Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2010.

Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М. Тематический контроль по геометрии. 9 класс. (К учебнику А.В. Погорелова "Геометрия 7-11"). М: Интеллект-Центр, 2006.

Мищенко Т.М., Шарыгин И.Ф. Геометрия 9 клласс: Методическое пособие к учебнику И.Ф. Шарыгина "Геометрия 7-9". М: Дрофа, 2007.

Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. М: Школа-пресс

Мордкович А.Г. Геометрические задачи на плоскости. Школа абитуриента: Научись Сам. М: Школа-пресс, 2006.

Мухина В.С. Психология детства и отрочества: Учеб. для студентов психолого-педагогических фак-ов вузов. М: "Институт практической психологии", 2008.

Никитин Н.Н. Геометрия: Учебник для 6-8 классов. М: Учпедгиз, 1962.

Пичурин Л.Ф. О применении палетки в восьмилетней школе // "Математика в школе", 1965. №1.

Погорелов А.В. Геометрия: Пособие для учителей. М: Просвещение

Погорелов А.В. Геометрия 7-11: Учебник для 7-11 классов средней школы. М: Просвещение, 2010.

Погорелов А.В. Геометрия 7-11 кл.: Решение задач из учебника А.В. Погорелова "Геометрия 7-11". М: Дрофа, 2007. (серия "Решебники Дрофы")

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2006.

Программно- методические материалы: Математика. 5-11 кл.: Сборник нормативных документов / Сост. Г.М. Кузнецова. М: дрофа, 2007.

Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М: Дрофа, 2008.

Произволов В.В. Геометрия площади в задачах // "Математика в школе", 2006. №6.

Рабинович Е.М. Геометрия: Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. М: "Илекса", Харьков: "Гимназия", 2007.

Рейнгард И.А.: Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием. М: Учпедгиз, 1960.

Рощина Н.Л. Формирование эстетического вкуса учащихся в процессе решения планиметрических задач: Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М: МПГУ, 2008.

Рязановский А.Р., Фролова О.В. Геометрия 7-9 кл.: Дидактические материалы. М: Дрофа, 2007.

Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М: Просвещение, 2007.

Тесленко И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе (по учеб. пособию А.В. Погорелова "Геометрия 6-10"): Кн. для учителя. М: Просвещение, 1985.

Тоом А.Л. Сколько площадей у многоугольника? // "Квант", 1984. №12.

Учебные стандарты школ России. Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины. / Под ред. В.С. Леднева, Н.Д. Никандрова, М.Н. Лазутовой. М: "ТЦ Сфера", "Прометей", 2008.

Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учеб. завед. М: Дрофа, 2007.

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для общеобразоват. учебных заведений. М: Дрофа, 2008.

Якунина М.С. Эстетическое воспитание на уроках математики // "Математика в школе", 1982. №5.

Размещено на Allbest.ru