№3. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г).

№4. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г)

№5. Вычислите:

а) ;

б) .

№6. Найдите область допустимых значений выражения:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№7. Имеет ли смысл выражение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№8. Докажите тождество:

.

№9. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№10. Постройте график функции:

а) ; б) .

Методические рекомендации.

Задачи обязательного уровня - это задания, представленные под номерами 1 - 4, остальные задания рассчитаны на дифференцированную работу с учащимися. В представленных здесь заданиях учащиеся должны уметь находить значения арккосинуса заданного числа и решать несложные вычислительные задачи. На уроке целесообразно решить те уравнения, которые представлены в заданиях под пунктами а) и б), а пункты в) и г) следует задать учащимся качестве домашнего задания.

Задания под номером 8 - 10 рассчитаны на учащихся, претендующих на отличную оценку. Здесь учащиеся должны понимать смысл понятия арккосинус и уметь находить значения тригонометрических функций от арккосинуса какого-либо числа.

Урок №3

Тема урока: «Арккосинус и решение уравнения »

№1. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№2. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№3. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№4. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№5. Решите неравенство:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№6. Решите неравенство:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№7. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№8. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№9. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№10. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Методические рекомендации.

Задания, представленные под номерами 1 - 3, являются задачами обязательного уровня, т.к. в них рассматриваются тригонометрические уравнения, решением которых являются те числа, которым соответствуют табличные значения функции косинус (), а также такие уравнения, которые не имеют корней в силу ограниченности функции косинус. Задание №4 не является обязательным, т.к. требует от учащихся выполнения ряда преобразований и умения решать квадратные уравнения, однако, ученик, претендующий на оценку больше, чем оценка «3», должен понимать принцип решения таких заданий. Представленные под номерами 5 - 10 тригонометрические уравнения и неравенства не являются обязательным результатом обучения, но они показывают учителю уровень усвоения материала учащимися, поэтому, наряду с простейшими тригонометрическими уравнениями, ученик должен иметь представление о способах решения простейших тригонометрических неравенств, а также уметь решать уравнения, в которых имеет место отбор корней.

Урок №4

Тема урока: «Арксинус и решение уравнения ».

№1. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№2. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№3. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№4. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№5. Докажите тождество:

а) ;

б) .

№6. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№7. Найдите область допустимых значений выражения:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№8. Имеет ли смысл выражение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№9. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Методические рекомендации.

При отборе задач необходимо показать учащимся связь с понятием арккосинуса, которое было изучено ранее, поэтому в системе упражнений необходимо давать новое понятие арксинуса в комбинации с уже изученным ранее понятием и его свойствами.

Задания под номером 6 - 9 рассчитаны на учащихся, претендующих на оценку, отличную от оценки «3».

Урок №5

Тема урока: «Арксинус и решение тригонометрического уравнения »

№1. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№2. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№3. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№4. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите неравенство:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№7. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№8. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№9. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№10. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Методические рекомендации.

При решении задач по данной теме необходимо не только решать простейшие тригонометрические уравнения вида , но и приводить это уравнение в комбинации с ранее изученным уравнением вида , что, в свою очередь, является пропедевтикой ряда методов решения тригонометрических уравнений (введение новой переменной и разложение на множители).

Система упражнений, приведенная выше, позволяет осуществлять дифференцированную работу с учащимися на уроках математики. Обязательными здесь являются задания, представленные под номерами 1 - 3.

Урок №6

Тема урока: «Арктангенс и решение уравнения . Арккотангенс и решение уравнения ».

№1. Вычислите

а) ; б) .

№2. Вычислите:

а) ; б) .

№3. Вычислите:

а) ; б) .

№4. Вычислите:

а) ; б) .

№5. Вычислите:

а) ; б) .

№6. Вычислите:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

№8. Решите уравнение:

а) ; б) .

№9. Решите уравнение:

а) ; б) .

№10. Решите уравнение:

а) ; б) .

№ 11. Решите уравнение:

а) ; б) .

№ 12. Решите уравнение:

а) ; б) .

№ 13. Решите уравнение:

а) ; б) .

№14. Решите уравнение:

а) ; б) .

№15. Постройте график функции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№16. Постройте график функции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Методические рекомендации.

Как и в предыдущих уроках, при составлении системы упражнений реализуется принцип от простого к сложному, который в данном случае заключается в том, что сначала приведены задания, в которых от учащихся не требуется выполнение каких-либо преобразований, а затем в уравнения, представленные в заданиях, постепенно вводятся дополнительные преобразования (формулы приведения, вводятся дробные выражения, квадратные уравнения и т.п.).

Задания, представленные выше под номером 14 и 15, рассчитаны на сильного ученика, претендующего на оценку «5», поэтому их целесообразно задавать в качестве дополнительных номеров в домашнем задании.

Приведем решение к заданиям №14 и №15.

№14. Постройте график функции:

а)

Решение

По определению арксинуса числа имеем

Тогда изменяется в пределах от -1 до 1. Но , следовательно, мы получаем функцию вида , где .

Решение заданий б), в) и г) - аналогичное.

№15. Постройте график функции:

а) .

Решение

Рассмотрим область определения данной функции: .

Теперь упростим выражение, стоящее в правой части записи функции. Получаем

.

Задача свелась к построению графика функции , при .

Остальные задания этого номера решаются аналогично, с учетом области определения заданных функций.

Уроки №7 - №10

Тема: «Тригонометрические уравнения».

При составлении системы упражнений по данной теме следует выделить четыре «блока»:

1. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения новой переменной .

2. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.

3. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители.

4. Решение однородных тригонометрических уравнений и уравнений, приводимых к ним.

тригонометрический уравнение урок методический

Урок №7

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ; б) ;

б) ; г) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; в) .

№7. а) Найдите корни уравнения , принадлежащие отрезку .

б) Найдите корни уравнения , принадлежащие отрезку .

№8. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№9. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№10. Решите уравнение и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку .

№11. Решите уравнение и найдите:

а) наибольший отрицательный корень;

б) корни, принадлежащие интервалу .

№12. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Методические рекомендации.

Задания, представленные под номерами 9 - 11, не являются обязательными, однако, именно эти номера (т.к. здесь мы имеем место с отбором корней тригонометрического уравнения) позволяют учащимся осознать роль параметра в формуле корней тригонометрического уравнения.

Задания, аналогичные №12, можно также решать с учащимися и при решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители, но, т.к. при решении уравнений данного типа (область допустимых значений здесь не вся числовая прямая, т.е. имеют место некоторые ограничения) также можно говорить об отборе корней тригонометрического уравнения.

Задания №1 - №6 являются обязательными для всех учащихся.

Как можно было заметить ранее, система упражнений, представленная к урокам №1 - №7 (в дальнейшем это будет справедливо при подборе упражнений и на последующих уроках), составлена таким образом, чтобы показать учащимся связь между преобразованиями, которые они изучали с 7 по 9 касс, и тригонометрическими уравнениями. Сначала от учащихся требуется простое понимание того, что тригонометрические функции могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Затем до сознания учеников доводиться тот факт, что любое тригонометрическое уравнение сводится к простейшему при помощи несложных преобразований, которые они уже знают (разложение на множители, введение новой переменной , приведение к квадратному уравнению).

Приведем решение № 9 (п. (а)) и №12.

№9. Найти корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) .

Решение

Однако для решения нашего уравнения данная запись формулы для нахождения корней тригонометрического уравнения не является удобной, поэтому воспользуемся другой записью

Нетрудно видеть, что простым перебором по параметру n мы сразу получаем все требуемые корни уравнения, т.е.:



Ответ: .

№12. Решить уравнение:

а) .

Решение

В данном уравнении речь идет об отыскании корней уравнения на отрезке . Из серии этому отрезку принадлежат только три значения: .

Однако и также являются решением данного уравнения, поэтому ответом будут являться следующие значения: .

б) .

Решение

Так же как и в п. а), рассмотрим серию решений уравнения , накладывая на нее следующие ограничения: .

Серией решения уравнения являются следующие значения x: .

Очевидно, что неравенствам не будет удовлетворять только значение (при ).

Ответ: .

Урок №8

На данном уроке целесообразно рассмотреть еще один случай введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений: решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

№8. Решите уравнение:

а) ; б) .

№9. Решите уравнение:

а) ; б) .

Методические рекомендации.

Как уже было замечено ранее, упражнения, представленные на этом уроке, позволяют ученику понять связь между решением тригонометрического уравнения и квадратного уравнения. Нетрудно также видеть, что решение тригонометрического уравнения, в конечном счете, сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения, т.е. реализуется принцип дидактической спирали - непрерывного изучения материала всего школьного курса в контексте новой темы.

Задания, представленные под номерами 1 - 4, являются обязательными заданиями, их должен уметь решать каждый учащийся. Задания №5 - №9 рассчитаны на ученика, претендующего на оценку «4» и более.

Урок №9

После того, как учащиеся научились решать тригонометрические уравнения с помощью введения новой переменной, а также научились решать тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным уравнениям, следует перейти к решению уравнений с помощью разложения на множители.

№1. Решите уравнение:

а) ;

б)

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

№8. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№9. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Методические рекомендации.

Большое внимание следует здесь уделить заданиям, представленным под номерами 5, 6. При решении задания №5 следует обратить внимание учащихся на возможное появление постороннего корня, и поэтому следует четко отслеживать область допустимых значений выражения, стоящего в правой части нашего уравнения. Аналогичное замечание справедливо и для №6.

Рассмотрим решение п. б) из №8.

№8. Решить уравнение.

б) .

Решение

Урок №10 - №11

На данных уроках необходимо рассмотреть решение однородных тригонометрических уравнений и уравнений, приводимых к ним.

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) ;

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

№8. Решите уравнение:

а) ; б) .

№9. Решите уравнение:

а) ; б) .

№10. Решите уравнение:

а) ; б) .

№11. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№12. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№13. Решите уравнение и выделите те его корни, которые принадлежат интервалу

№14. Решите уравнение:

а) ; б) .

№15. Решите неравенство:

а) ;

б) .

Методические рекомендации.

Перед тем, как начинать решать с учащимися однородные тригонометрические уравнения, можно ввести алгоритм их решения.

Алгоритм решения уравнения

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член .

2. Если член в уравнении содержится (т.е. ), то уравнение решается делением обеих его частей на и последующим введением новой переменной .

3. Если член в уравнении не содержится (т.е. ), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят .

Приведенный выше алгоритм позволит учащимся лучше ориентироваться в однородных уравнениях.

Задание №13 рассчитано на сильного ученика, претендующего на оценку «5». Данное задание предполагает, что учащиеся из курса 9 класса помнят алгоритм решения квадратных неравенств.

Урок №12

Тема урока: Контрольная работа по теме «Простейшие тригонометрические уравнения».

Вариант 1.

№1. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№2. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№3. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№4. Найдите корни уравнения , принадлежащие отрезку .

№5. Необязательное задание.

Решите уравнение:

.

Вариант 2.

№1. Решите уравнение:

а)

б) .

№2. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№3. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№4. Найдите корни уравнения , принадлежащие отрезку .

№5. Необязательное задание.

Решите уравнение:

.

Методические рекомендации.

Контрольная работа, представленная по теме «Простейшие тригонометрические уравнения», охватывает весь изученный материал.

Целью данной контрольной работы является проверка умения решать тригонометрические уравнения, используя при этом различные способы решения.

В первом задании учащиеся должны решить простейшее тригонометрическое уравнение, причем одно уравнение решается относительно положительного значения тригонометрической функции, а другое - относительно отрицательного. Кроме того, варьируется переменная: то x, а то nx.

Во втором задании учащиеся должны решить тригонометрическое уравнение путем сведения его к квадратному уравнению или путем разложения на множители.

В третьем задании учащиеся должны решить однородное тригонометрическое уравнение первой и второй степени.

Четвертое задание предполагает отбор корней при решении тригонометрического уравнения.

Пятое задание является необязательным и рассчитано на сильного ученика.

Таким образом, мы видим, что контрольная работа охватывает весь материал, изученный по данной теме.

§2. Тема «Формулы тригонометрии и тригонометрические уравнения»

Перед тем, как рассмотреть систему упражнений по предложенной теме, обратим внимание на то, что в данной работе будут рассмотрены только те уроки, которые имеют непосредственное отношение к решению тригонометрических уравнений, а, следовательно, и в качестве задач будут представлены только тригонометрические уравнения. Также данная система упражнений исключает контрольные работы, которые представлены по теме «Преобразование тригонометрических выражений». Таким образом, получаем, что система упражнений представлена только для 13 часов вместо запланированных 15 часов.

Урок №1 - №2

Тема урока: «Синус и косинус суммы аргументов».

На первом уроке целесообразно рассмотреть с учащимися ряд тригонометрических тождеств и их доказательство, а также преобразование тригонометрических выражений. На втором же уроке следует перейти к решению тригонометрических уравнений, давая учащимся возможность понять, что тригонометрические формулы являются «инструментом» для решения тригонометрических уравнений .

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б).

№4. Решите уравнение:

а) ; б) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

Урок №3 - №4

Тема урока: «Синус и косинус разности аргументов».

Так же, как и в случае синуса и косинуса суммы аргументов, на первом уроке целесообразно дать учащимся вывод формул и отработать с ними доказательства тождеств, тригонометрические преобразования, а на втором уроке - следует начать с учащимися решать тригонометрические уравнения, имеющие прямое отношение к данной теме. Такое построение учебного материала показывает связь между решением тригонометрических уравнений и тригонометрическими преобразованиями.

№1. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ; б) .

Урок №5 - №6

Тема урока: «Тангенс суммы и разности аргументов».

При проведении этих уроков желательно придерживаться схемы изложения материала, которая представлена для уроков №1 - №4, т.к. такое изложение материала способствует осознанию учащимися связи между тригонометрическими преобразованиями и тригонометрическими уравнениями и открывает перед учащимися смысл изучаемых тригонометрических преобразований.

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; в) .

№3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) , ;

б) , .

№4. Решите неравенство:

а) ; б) .

Методические рекомендации.

Задание №4 не является обязательным для решения всеми учащимися, однако, оно дает нам возможность лишний раз обратиться к числовой окружности. Более того, решая данные неравенства, мы опять приходим к решению простейшего тригонометрического уравнения.

Приведем решение уравнений из №3.

№3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) , .

Решение

.

Осуществляя перебор по параметру n, получаем корни уравнения на заданном промежутке.

Ответ:

б) , .

Решение

.

После перебора корней получаем ответ.

Ответ: .

Урок №7

Контрольная работа по материалам уроков №1 - №6.

Вариант 1

№1. Найдите значения выражений:

а) ;

б) .

№2. Упростите выражения:

а)

б) .

№3. Докажите тождество

.

№4. Решите уравнение

.

№5. Зная, что , найдите .

№6. Известно, что .

Найдите .

Вариант 2

№1. Найдите значения выражений:

а) ;

б) .

№2. Упростите выражения:

а) ;

б) .

№3. Докажите тождество

.

№4. Решите уравнение

.

№5. Зная, что , найдите .

№6. Известно, что .

Найдите .

Методические рекомендации.

Контрольная работа представлена по материалам уроков №1 - №6.

Цель контрольной работы - проверить сформированность умения выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, используя формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов, а также умения применять изученные преобразования при решении тригонометрических уравнений.

В предложенной контрольной работе не были представлены задания, связанные с преобразованием выражений, содержащих тангенс суммы или разности аргументов. Формула тангенса суммы или разности аргументов отчетливо вытекает из формул косинуса и синуса суммы или разности аргументов, а также из определения тангенса.

Обязательному уровню усвоения учебного материала здесь соответствуют задания, представленные под номерами 1 - 4.

Пятое задание является заданием среднего уровня сложности, а шестое повышенного уровня сложности.

За выполнение заданий базового уровня ставится оценка «3». В случае успешного выполнения заданий базового уровня и одного из заданий более высоких уровней, ставится оценка «4», за выполнение всех заданий - оценка «5».

Урок №8 - №9

Тема урока: «Формулы двойного аргумента».

При изложении материала данных двух уроков мы будем придерживаться той схемы, которая была предложена в предыдущих уроках.

Однако при разработке системы упражнений следует учитывать тот факт, что при последовательном переходе от одного упражнения к другому, постепенно увеличивается их сложность. Кроме заданий на простое применение формул двойного аргумента, появляются задания, в которых данный материал комбинируется с материалом предыдущих уроков, в том числе и с материалом §1.

№1. Решите уравнение:

а) ; б)

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ; б) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№8. Сколько корней имеет уравнение:

а) , на отрезке ;

б) , на отрезке ?

№9. Докажите тождество:

а) ; б) .

№10. Используя замену и тождества из упражнения №9, решите уравнения:

а) ; б) .

№11. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№12. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Методические рекомендации.

Как уже было сказано выше, при последовательном переходе от одного упражнения к другому их сложность увеличивается. В чем это проявляется? В первых двух заданиях от учащихся требуется простое применение формулы двойного аргумента, при помощи которой уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению. Задания №3 - №5 приводят исходное уравнение к квадратному, а потом, уже после решения соответствующего квадратного уравнения, мы приходим к решению простейшего тригонометрического уравнения. Т.е. здесь нам требуется выполнить больше преобразований.

Продолжая последовательное передвижение от номера к номеру, отчетливо видно, что количество преобразований увеличивается.

В задании №11 до сознания ученика доводится тот факт, что аргументом тригонометрической функции может являться многочлен второй более высоких степеней.

Приведем решение уравнения из №11 и п. а) №12.

№11. Решить уравнение:

а) .

Решение

№12. Решить уравнение:

а) .

Решение

Аналогичным образом решается и п. б).

Урок №10

Тема урока: Формулы понижения степени».

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

№4. Сколько корней имеет уравнение на отрезке ? Найдите эти корни.

№5. Решите уравнение:

а) ; в);

б) ; г) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

Урок №11 - №12

Тема урока: «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение».

При изучении материала, представленного в данной теме, на первом уроке необходимо на доказательстве тригонометрических тождеств закрепить основные формулы. На втором же уроке следует показать, что изученные тригонометрические формулы работают, как только мы начинаем решать тригонометрические уравнения.

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ; б) .

№5. Решите уравнение:

а) ; б) .

№6. Решите уравнение:

а) ; б) .

№7. Решите уравнение:

а) ;

б)

№8. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке :

а) ;

б) ?

№9. Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу :

а) ;

б) .

Методические рекомендации.

Задания, представленные под номерами 1 - 4, являются обязательными для всех учащихся, остальные задания рассчитаны на ученика, претендующего на оценку выше, чем «3».

Урок №13

Тема урока: «Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму».

Упражнения, связанные с доказательством тождеств, мы рассматривать здесь не будем, поэтому остановимся только на тригонометрических уравнениях.

№1. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ; б) .

Урок №14

Тема урока: «Преобразование выражения к виду

Упражнения, связанные с доказательством тождеств, мы рассматривать здесь не будем, поэтому остановимся только на тригонометрических уравнениях.

№1. Решите уравнение:

а) ; б) .

№2. Решите уравнение:

а) ; б) .

№3. Решите уравнение:

а) ; б) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№6. Решите уравнение;

а) ;

б) .

Методические рекомендации.

Приведем решение п. а) из №4, п. а) из №5, п.а) из №6.

а) .

Решение.

Имеем:

где

Перепишем наше уравнение в виде:

Ответ:

в) ;

При решении данного уравнения, его левую часть необходимо привести к виду:

где .

д) ;

Уравнение преобразуется к виду и решается графически.



Урок №15

Тема урока: Контрольная работа по теме «Формулы тригонометрии».

Вариант 1

№1. Упростите выражение

.

№2. Решите уравнение

.

№3. Докажите тождество

.

№4. Вычислите

.

№5. Решите уравнение

.

№6. Решите уравнение

.

Вариант 2

№1. Упростите выражение

.

№2. Решите уравнение

.

№3. Докажите тождество

.

№4. Вычислите

.

№5. Решите уравнение

.

№6. Решите уравнение

.

Методические рекомендации.

Контрольная работа представлена по материалам уроков №8 - №14.

Цель контрольной работы - проверить сформированность умения выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, используя формулы суммы и разности синуса, суммы и разности косинуса, а также - умения применять изученные преобразования при решении тригонометрических уравнений.

В предложенной контрольной работе не были представлены задания, связанные с преобразованием выражений, содержащих сумму или разность тангенсов. Формулы суммы и разности тангенсов учащимся запоминать не обязательно, т.к. они должны уметь выводить эти формулы, используя определение тангенса и формулы сунны и разности синусов и косинусов.

Задания, представленные под номерами 1 - 4 - задания обязательного уровня (базового уровня).

Пятое задание является заданием среднего уровня сложности, а шестое повышенного уровня сложности.

За выполнение заданий базового уровня ставится оценка «3». В случае успешного выполнения заданий базового уровня и одного из заданий более высоких уровней, ставится оценка «4», за выполнение всех заданий - оценка «5».

Заключение

Цель предложенной дипломной работы была направлена на изучение методических особенностей обучения решению тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе.

На основании изученной психолого-педагогической и методической литературы были выделены основные педагогические принципы, на которые следует опираться при изложении учебного материала по тригонометрии, и дано обоснование представленных принципов. Таковыми принципами являются принцип наглядности, доступности, научности, сознательности и активности, систематичности и последовательности. Также был выявлен объем изучаемого материала и основные требования к учащимся по теме «Тригонометрические уравнения».

В результате анализа школьной учебной литературы по теме «Тригонометрические уравнения» (школьных учебников) была выявлена наиболее удачная концепция изложения теоретического материала по теме, которая соответствует психолого-педагогическим и возрастным особенностям учащихся. Данная концепция представлена в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа 10 - 11» и, как было отмечено в работе, предполагает обучение решению тригонометрических уравнений путем последовательного перехода от изучения «простых моделей» (таковыми в математике являются основные элементарные функции) к изучению «сложных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). Иными словами, начинать изучение надо с простейших тригонометрических уравнений и уравнений, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «сложным моделям», т.е. уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать», используя рутинный аппарат формул. Нетрудно видеть, что в данной концепции реализуется принцип от простого к сложному.

На основании предложенной концепции изложения теоретического материала была разработана система упражнений по теме «Тригонометрические уравнения» и методические рекомендации к каждому уроку по данной теме. Система упражнений, представленная в дипломной работе позволяет осуществлять дифференцированную работу с учащимися на уроке, что, в свою очередь способствует повышению уровня познавательной активности и интереса у учащихся по теме «Тригонометрические уравнения». Структура системы упражнений позволяет учащимся, без механического запоминания большого числа формул, достаточно глубоко и осознанно изучить основной тригонометрический материал.

Кроме упражнений были разработаны три контрольные работы по теме «Тригонометрические уравнения», причем одна контрольная работа была по материалу раздела «Простейшие тригонометрические уравнения», а две другие - по материалу раздела «Формулы тригонометрии и тригонометрические уравнения». Задания, представленные в контрольных работах, охватывают весь материал по теме «Тригонометрические уравнения» и составлены в соответствии с требованиями к уровню подготовки учащихся, зафиксированными в программе по математике.

Система упражнений была опробована на учащихся 10 «Б» класса средней общеобразовательной школы №434 ВОУ ДО г. Москвы и показала свою конкурентоспособность по сравнению с системой упражнений, предложенной в учебнике А.Н. Колмогорова и др. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс».

Таким образом, на основании всего сказанного мы можем судить о том, что цель дипломной работы достигнута.

Используемая литература

Абрамович М.И.; Стародубцев М.Т. Математика. Геометрия и тригонометрические функции: Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. - М.: Высшая школа, 1976.: ил.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 254 с.: ил.

Бадмаев Б.Ц., Психология: как ее изучить и усвоить: Учебно-методическое пособие для студентов вузов. - М.: Учебная литература", 2007. 256 с.

Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 2009 г. - 400 с.: ил.

Германович П.Ю. Вопросы и задачи на соображение для 8-10 классов. Алгебра, геометрия и тригонометрия: Пособие для учителей. - Л.: Учпедгиз, 1957. - 150 с.

Егерев В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие /В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; под редакцией М.И. Сканави. - 6-е изд., испр. и доп. - М.: Столетие, 2007. - 560 с.: ил.

Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006 г. - 176 с.: ил.

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10-11 кл. с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 2009. - 176 с.: ил.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд; под ред. А.Н. Колмогорова. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 320 с.: ил.

Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа: 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - М.: Мнемозина, 20061. - 364 с.: ил.

Литвиненко В.Н.; Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Тригонометрия: Учебное пособие. - М.: Вербум-М, 2007. - 160 с

Мордкович А.Г.; Тульчинская Е.Е. Тригонометрия: Учебное пособие для учащихся старших классов общеобразовательных школ. - М.: Издательский дом "Новый учебник", 2009. - 224 с.: ил.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2006. - 336 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Задачник для общеобразовательных учебных учреждений /А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина Е.Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с.: ил.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Методическое пособие для учителя. - М.: Мнемозина, 2006 г. - 144 с.: ил.

Муравин Г.К.; Тараканова О.В., Элементы тригонометрии: 10 кл: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 2008. - 128 с.: ил. - (Темы школьного курса).

Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2007 г. - 383 с.: ил.

Новоселов С.И. Тригонометрия: Учебное пособие для общеобразовательных учебных учреждений. - М.: Учпедгиз, 1963. - 150 с.: ил.

Олехник С.Н. Уравнения и неравенства (нестандартные методы решения): Учебное пособие для учащихся старших классов общеобразовательных школ /С.Н. Олехник, М.К. Потапов П.И. Пасиченко. _ М.: Дрофа, 2007. - 150 с.: ил.

Подласый И.П., Педагогика: Учебник для студентов педагогических вузов (в 2-х книгах) - М.: Владос, 2006. - 576 с.: ил.

Потапов М.К. Алгебра и анализ элементарных функций: Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. _ М.: Наука, 1980.: ил.

Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5 - 11 кл. /Сост. Г.М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2007. - 320 с.

Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». - М.: ООО «Школьная пресса», 2008, №6.

Размещено на Allbest.ru