Основы социально-педагогической диагностики

Поскольку большинство в классе имеют балл 55 и ниже, одна интерпретация сгруппированной частоты распределения помогает нам сделать вывод, что тест был очень сложным. Однако, возможны, по крайней мере, три другие интерпретации :

- возможно, ученики не подготовились к тесту;

- возможно, учеников нужно было лучше подготовить в этой области;

- возможно, объяснение было неэффективным или неподходящим.

Какая же версия наиболее правильна и более подходит нам в данном случае? Подготовив сгруппированную частоту распределения, быстро понимаешь, что класс плохо справился с тестом. К такому же заключению мы можем прийти после просмотра перечня баллов или простой частоты распределения, но только это займет больше времени. Таким образом, сгруппированная частота распределения помогает нам расставить баллы. Но при использовании сгруппированной частоты распределения также имеются недостатки. Главным недостатком является потеря индивидуальных результатов.

Как результат, информацию мы распределяем с потерей точности. Рассмотрим промежуток баллов 49 - 55 из предыдущей сгруппированной частоты распределения. Мы видим, что 4 показателя отсутствуют в интервале. Но, чем именно являются эти показатели? Это 49, 51, 53, 55? Или это 49, 50, 51, 54? Или это все 4 раза 49? Или это два раза 52 и два раза 53? Или 51? Четыре показателя могут быть какими угодно комбинациями баллов. Без ссылки на перечень данных, мы не можем ничего сказать. Во время сгруппированной частоты распределения размеры таблицы сужаются, что приводит к более легкой расшифровке данных. Обычно, преимущества создания сгруппированной частоты распределения компенсируют его недостатки.

Далее мы рассмотрим шаги создания сгруппированной частоты распределения.

Шаги создания сгруппированной частоты распределения

Шаг 1.

Определяющий статус балла (обозначается R). Статус баллов определяется вычитанием низшего балла (L) из высшего балла (H).

Формула Применение

R = H - L R = H - L

R = 96 - 27

R= 69

Статус баллов 25 шестиклассников равен 69.

Шаг 2.

Определяющим является предназначение номера интервала. Номер интервала или категории используется в сгруппированной частоте распределения как нечто гибкое или произвольное. Различные авторитеты предложат вам выбрать из 5, 10 или 15 интервалов, или 8, 10, 12 или 15 интервалов и т. д. В нашем примере мы используем 11 интервалов. Что же является правильным?

Как мы сказали, это решение произвольно. Принимая такое решение, помните, что, используя много категорий или интервалов, необходимо демонстрировать различные частоты баллов. Другими словами, если вы решили использовать 5 интервалов и находите, что для N - 25 баллов существуют частоты 5 в каждом интервале, то количество интервалов очень маленькое. В этом случае, увеличив число интервалов до 10, получите результат в различных частотах для каждого интервала. Выбор такого большого количества интервалов необходим. Главное, если вы выберите больше, чем один интервал с нулем в графе частоты, то вы выбрали очень много интервалов. Во всем этом можно запутаться, так как существует несколько путей. С нижней линией иногда необходимо экспериментировать. Вы можете выбирать нужное количество интервалов до тех пор, пока не найдете наиболее подходящий для представления ваших данных. Если вы создаете сгруппированную частоту распределения для группы от 25 до 35 учеников, то вам лучше всего начать с 8 или 10 интервалов. Увеличивайте число интервалов в случае больших баллов.

Шаг 3.

Разделите свой статус на количество интервалов, выбранных вами, и округлите до ближайшего целого числа. Этим вы подсчитаете i - интервал широты.

Формула Применение

i = i = = 6,9 (округляем до 7)

Широта интервала равняется 7. Если мы решим использовать 8 в качестве числа интервалов, мы подвинемся и это сделает широту интервала больше.

i = i = = 6,9 (округлим до 9)

Если мы решим использовать 15 интервалов, тогда широта интервалов станет уже, нежели она была при 10 ил 8 интервалах.

i = 4,6 (округлим до 5)

Вы видите обратную зависимость между числом интервалов и широтой каждого интервала. Если используется несколько интервалов, то широта интервала увеличивается, а чем больше используется интервалов, тем больше их широта уменьшается. Также нельзя забывать о том, что увеличивая широту интервала, мы все больше и больше теряем индивидуальные данные.

Шаг 4.

Постройте графу интервалов так, чтобы каждый интервал был низшим баллом, и назовите это низшим ограничением (LL), а составное число интервалов - i. Высшее ограничение каждого интервала (UL) на один балл ниже, чем низший балл следующего интервала. Все эти значения являются низшим баллом и должны оцениваться как эквивалент интервала времени 1, 2, 3 и т. д. С широты интервала 7 LL каждого интервала будет 7, 14, 21 и т. д. (7 * 1; 7 * 2; 7 * 3). Однако, мы сокращаем те интервалы, которые находятся выше или ниже интервалов, включающих в низший и высший балл. Постройте следующие установленные интервалы, высший балл которых был 96, а низший - 27.

Низшее ограничение Высшее ограничение

( LL ) ( UL )

112 118

105 111

98 104

91 97 высший балл сокращает

84 90 все интервалы, находящиеся 77 83 выше.

70 76

63 69

56 62

49 55

42 48

35 41

28 34

21 27 низший балл сокращает

14 20 все интервалы находящиеся

7 13 ниже.

Категориальная информация

“Мне все известно.

Я устал все знать и все предвидеть”.

Б. Окуджава

Категориальная информация - это представление информации в форме понятий. При использовании категориальных параметров для оценки исследователь определяет количество случаев, когда применимо каждое (именно это, а не другое) понятие.

Результаты такого исследования представляются в виде частотной, либо в виде процентной зависимости. Например, наблюдение за автостоянкой и регистрация количества прибывающих автомобилей той или иной марки - есть исследование с категориальной формой представления результатов. Понятийным понятием здесь выступает марка автомобиля.

Такое представление в результате оборачивается просто числом, которое показывает количество единиц, относящихся к той или иной определенной категории. Таким образом, исследователь, изучающий пристрастия избирателей на выборах или изучающий насколько успешно закончили студенты учебный год (в понятиях успешно/неуспешно), представляет результаты в категориальном виде. Численное выражение результата сводится к частному или процентному выражению.

Главное преимущество описательной статистики состоит в том, что она дает возможность исследователю анализировать большие массивы чисел с помощью малого количества характеристик.

Эти характеристики разнятся по пути получения. Если они получены для случайно отобранной группы, то они называются статистиками, а если же характерны для популяции в целом, то называются параметрами. Так как большинство исследовательских методик предоставляют результаты, полученные путем выборки, то в этой главе мы будем рассматривать исключительно статистики.

Ранее мы определили, что имеются два типа данных. И в дальнейшем рассмотрим наиболее общие принципы обобщения и обработки последних, которые необходимы из-за того, что большие массивы чисел или понятийных данных просто не поддаются прямой расшифровке.

Как обработать числовые данные.

“Чтоб живы стали и зашевелились

Все эти цифры, меры и ...”

К. Случевский

Прежде чем приступить к вычислению статистических параметров данные для удобства обработки необходимо разместить в определенном порядке. Общепринятым приемом расположения данных является расположение их в частотной зависимости. Для создания такого распределения необходимо сначала расположить в порядке следования (возрастания или убывания) все имеющиеся значения, а потом каждому из них сопоставить частоту, то есть то количество испытаний (или испытуемых), которые как результат представили данное число.

Часто числа в распределении (дальше будем называть числами значения) группируются с равными интервалами. Хотя само по себе частотное распределение является весьма информативным, визуально анализировать его бывает непросто из-за большого количества элементов. Для упрощения понимания и возможностей обработки часто полезно бывает представлять частотную зависимость в графическом виде. Одно из таких представлений известно под названием частотного поля. Рис. 8.1 представляет собой частотное поле, построенное с использованием данных таблицы 8.2.

Алгоритм построения частотного поля:

перечислите все имеющиеся результаты (или другие данные, представленные в числовом виде), расположив их в порядке возрастания. См. таб. 8.2;

каждому из результатов сопоставьте частоту (количество раз, когда при испытании получался данный результат);

на координатной плоскости расположите все значения на горизонтальной оси, поместив наименьше значения слева;

каждому из значений поставьте в соответствие значение частоты и отметьте это точкой на плоскости;

соедините точки линией.

Не забудьте, что все числа или группы чисел с нулевой частотой тоже должны быть отмечены на графике.

Как видно из рисунка 8.1, большинство результатов, представленных испытуемыми, находится в области средних значений (в середине распределения). Это его характерный видимый признак.

На вертикальной оси расположите все имеющиеся значения частот, начиная с 0 и соблюдая масштаб.

Искажения распределений

“Всю цепь промчавшихся мгновений,

Я мог бы снова воссоздать”.

М.Волошин

Результаты исследований могут быть представлены в произвольном виде, то есть иметь любой вид распределения. Если они представляют из себя последовательность значений, большое количество которых лежит в области низких значений, то графически представить такой случай можно представить так, как это показано на рис. 8.2. Как видно, в этом испытании только небольшое количество респондентов показали высокие результаты. Распределение результатов такого вида называется позитивно искаженным, так как симметрия графика нарушается стремлением к области высоких результатов, количество которых занижено. На практике возможен и обратный вариант, когда результаты можно представить в виде распределения, изображенного на рис. 8.3. В таком исследовании большое количество результатов лежит в области высоких значений, искажая часть распределения отображающую низкие результаты. Такое искажение называется негативным, а распределение негативно искаженным.

Чрезвычайно действенным приемом при анализе результатов различных исследований является сравнение нескольких частотных зависимостей на одной координатной плоскости. Такое построение приведено на рис. 8.4. Из внешнего вида этого рисунка можно сделать несколько важных выводов. Сравнивая результаты, которые получились при использовании двух разных методов, можно сказать, что в целом метод В дает более высокие результаты, чем метод А, по при этом разброс результатов метода В больше. Кроме того, можно указать и причину более высоких в среднем результатов метода В. Она заключается в наличии низких значений, а не в более или менее равномерном распределении показателей в районе средних значений.

Нормальная кривая

“И пространство пятилось, точно рак,

пропуская время вперед.”

И. Бродский

Часто при обработке результатов вместо ломаной линии исследователь строит сплошную кривую, сглаживая острые углы. Если такая сплошная кривая не искажена симметрично относительно средних значений, где имеет яркий максимум, то она называется нормальной (см. рис. 8.5). Распределение, которое описывает нормальная кривая, тоже называется нормальным. В нем все полученные значения лежат ниже кривой, которая является границей. График уравнения нормальной кривой представляет собой симметричную унимодальную колоколообразную кривую, осью симметрии которой является вертикаль, проведенная через точку 0.

Нормальная кривая графически описывается в виде известного математического уравнения распределения Гаусса. Многие физические и психологические характеристики сообщества людей тоже описываются нормальной кривой, то есть представляют из себя нормальное распределение. Позже мы рассмотрим параметры и свойства нормального распределения, так как для детального их анализа необходимо больше знать об описательных статистиках. А особенно важно понимать смысл стандартного отклонения.

Меры центральной тенденции

“Сквозь эфир десятично-означенный

Свет размолотых в луч скоростей

Начинает число…”

О. Мандельштам

Одним из важнейших показателей варьирующих характеристик исследуемых нами объектов является средняя величина. Характеризуя ту или иную группу учащихся, мы говорим или о средней успеваемости, или о наиболее характерных (массовых) проявлениях интересов, личностных качеств, направленности и так далее, описывая их с помощью средних величин. Значение средних величин в их свойстве нивелировать индивидуальные различия, в результате чего выступает более или менее устойчивая числовая характеристика признака - не отдельных представителей, а целой совокупности статистических единиц.

Любая средняя величина характеризует групповые свойства, В ней как в фокусе сходятся все силовые линии многочисленных влияний, под воздействием которых происходит развитие и изменение исследуемого нами педагогического явления и определяется размах вариации. В средней величине находит свое выражение внутренняя связь, существующая между отдельными элементами процесса и всей совокупностью элементов в целом.

Для исследователя средняя величина - это центр распределения: она занимает центральное место в общей массе варьирующих значений признака.

Усреднения помогут исследователю описывать зависимости и распределения, содержащие большое количество данных, небольшим количеством параметров.

Существуют несколько видов средних величин. Применяемые в социальных науках делятся на параметрические (степенные) и непараметрические (порядковые). Параметрические средние величины функционально связаны с распределением варьирующих свойств, тогда как непараметрические (порядковые) средние величины функциональной связи с распределением признаков не имеют . К ним мы должны отнести медиану, моду и некоторые другие показатели.

В педагогической диагностике мы чаще всего имеем дело с тремя наиболее часто используемыми усреднениями - средней арифметической, модой и медианой. Целесообразность использования того или иного усреднения определяется как правило условием параметра.

Мода

“И среди этой безмерности все мысли исчезают”.

Дж. Леонарди

Мода - значение параметра, которое встречается в распределении наибольшее количество раз. Это самое часто встречающееся значение.

Для примера найдите моду такого распределения:

25, 20, 19, 17, 16, 16, 16, 14, 14, 11, 10, 9, 9

Мода такого распределения равна 16, так как значение 16 встречается наибольшее количество раз - три.

В распределении 25, 24, 24, 23, 22, 20, 19, 19, 18, 11, 10 имеется две моды - 24 и 19. Поэтому оно называется бимодальным. Мода не очень много говорит нам о характере распределения, обращая нас только к одному, хотя и наиболее часто встречающемуся значению. Поэтому её редко называют при исследовании распределений.

Медиана

“Разве не видишь ты путь к тому,

что мы завтра отыщем.

Звездные руны проснулись.”

Н. Рерих

Медиана - это точка в ряду значений элементов распределения, выше и ниже которой лежит по 50% значений элементов ряда. Иначе говоря, это средний (срединный) элемент распределения. Для распределений, имеющих нечетное количество элементов, медианой будет собственно серединный элемент: для ряда 5, 4, 3, 2, 1 медиана 3. В рядах, содержащих четное количество чисел, медианой будет среднее значение двух центральных элементов. В ряду 70, 74, 82, 86, 88, 90 медиана 84.

Таким образом, значение медианы не обязательно должно совпадать со значением какого-то из элементов ряда.

Так как медиана - только значение серединного элемента, то она не дает представления обо всех имеющихся в ряду значениях и кроме того на ее величине не сказывается наличие в ряду как экстремально высоких, так и экстремально низких значений. Таким образом два совершенно разных распределения могут иметь одинаковые медианы:

98, 90, 84, 82, 76

90, 87, 84, 65, 41

Оба ряда имеют медиану 84.

Может показаться, что вычисление медианы - примитивная арифметическая операция. Это так в случае, если значения элементов ряда не объединены в группы. В противном же случае вычисления заметно усложняются.

С медианой удобно работать когда данные представлены в ординальном, интервальном или рейтинговом виде.

Среднее арифметическое

“Срок ожидания, короткий он или длинный,

не имеет никакого значения

для успеха вашей картины”.

Жан Превер

Среднее - последняя из анализируемых здесь мер центральной тенденции (МЦТ). Причем, в отличие от моды и медианы на его значение оказывают влияние все элементы распределения.

Среднее, которое используется в описательных статистиках, определяется как среднее арифметическое - сумма значений всех элементов ряда разделенная на их количество.

Среднее для ряда 58, 62, 74, 86, 95 и 105 равно 80. Среднее получено делением 480 на 6, так как сумма значений элементов равна 480, и ряд состоит из 6-ти чисел.

В табл. 8.3 представлено некое распределение, и для него вычислены все три МЦТ. Как видно, значения их несколько разнятся.

Здесь - мода 62, медиана 64.5, а среднее 66.7. Мода, будучи наиболее часто встречающейся величиной, тем не менее, не совпадает со средним, которое, вероятно, все же лучше всего описывает характер распределения, учитывая все значения. Но и это описание не идеально, так как распределение искажено.

Мы приводим три графика, где изображены различные соотношения среднего, моды и медианы.

В первом случае среднее значение, мода и медиана совпадают, во-втором, значения моды и медианы меньше среднего значения. А в третьем случае - мода и медиана по своим значениям больше среднего.

Определяя МЦТ мы используем только операции сложения и усреднения, не обращая внимания на разброс значений, их пределы. Другими словами МЦТ не учитывают вариации, которые имеют место в распределении.

Какую из МЦТ все же лучше использовать? Это зависит от конкретного случая, от того, в каком виде представлена информация. Со всеми типами представления используют только среднее, из за чего оно часто и оказывается предпочтительнее. Однако на величину среднего оказывают большое значение экстремальные (большие или маленькие) значения элементов. При наличии в ряду экстремальных значений предпочтение отдается медиане. Например, если значение среднего арифметического равно 50, что может совершенно не отражать истинный характер распределения. На величину среднего оказывает влияние число, приведенное в последней строчке, “сдвигая” его в область высоких значений, медиана этого ряда равна 17, что более точно отражает общий вид распределения.

При сравнении МЦТ различных распределений можно анализировать применимость того или иного метода исследований.

Отклонения

“Они последовательно означали собою - начало,

и продолженье начала, и - приближенье конца”

Ю. Левитанский

Несмотря на полезность и важность МЦТ, для полной характеристики результатов исследований их не достаточно. Два распределения, имеющие одинаковые средние и медианы, могут существенно отличаться по другим параметрам. Сравним два ряда:

А) 19, 20, 25, 32, 39

В) 2, 3, 25, 30, 75

Среднее для обоих распределений 27 и медиана для обоих 25. Тем не менее, видно, что они существенно различаются. В распределении А значения расположены близко друг к другу и сконцентрированы вокруг среднего, а в ряду В гораздо более отстоят друг от друга. Таким образом, разница между этими распределениями заключается в их вариациях (ширине пределов значений). Вариации - это другой вид статистики. А значит они должны подлежать количественному анализу, то есть должны быть измерены. Две численные оценки вариаций, которые применяются наиболее часто - это измерение ранга и стандартного отклонения.

Ранг

“Стремлюсь забыть, что тайна некрасива”.

Н. Гумилев

Ранг представляет из себя разницу между максимальным и минимальным значениями, имеющимися в ряду. Как и мода, ранг определяется с привлечением малого количества элементов - всего двух, что определяет малую его точность, как характеристики отклонений. Но за счет этого же ранг можно использовать в качестве экспресс-метода.

Стандартное отклонение

“Вот пример зависимости правды от искусства, а не искусства - от наличья правды”.

И. Бродский

Именно с помощью стандартного отклонения чаще всего характеризуют вариации ряда. Как и среднее, стандартное отклонение привлекает к анализу все элементы ряда.

Алгоритм вычисления стандартного отклонения:

найти среднее в распределении;

составить новый ряд из разностей между средним и каждым из элементов исходного ряда;

возвести в квадрат каждый элемент составленного ряда;

просуммировать все эти квадраты;

разделить полученную сумму на количество элементов в ряду.

В результате этих вычислений вы получите вариацию. Квадратный корень из значения вариации и даст величину, которую называют Стандартным отклонением. Алгоритм может быть представлен формулой:

SD= , где

SD - Стандартное отклонение.

- сумма,

Х - текущее значение X,

N - общее число объектов исследования.

Процедура вычисления стандартного отклонения кажется намного более сложной, чем она есть на самом деле.

Вычислим для примера стандартное отклонение для такого ряда:

100

96

94

92

90

80

Сумма всех значений - 552

Сумма квадратов всех значений - 51016

Число значений - 6

Вычисляем по формуле и получаем SD = 6,81

Обратите внимание, что, чем больше разброс значений элементов ряда, тем больше Стандартное отклонение. Таким образом, зная Стандартное отклонение для двух рядов, например если Стандартное отклонение (А) = 2.7, а Стандартное отклонение (В) = 8.3, можно сказать, что элементы ряда В больше разбросаны.

Вычислив для ряда среднее и Стандартное отклонение можно полностью характеризовать его.

Имеет место интересное явление, связанное со Стандартным отклонением, которое заключается в том, что, если ряд попадает под нормальное распределение, тогда интервал “Стандартное отклонение” будет включать в себя более 99% значений элементов ряда. При N = 72 и Стандартном отклонении SD=3 99% значений элементов находится в интервале от 63 до 81.

“Эллипс крика на вылет пронзает молчание гор”

Гарсиа Лорка

Пространство, находящееся под нормальной кривой, охватывает все значения элементов, присутствующих в ряду. Для такого распределения значение среднего, медианы и моды совпадают, и значение среднего лежит точно посередине ряда, попадая, соответственно, в центр кривой. Такой вид распределения очень часто встречается в реальной жизни. Так как такое распределение является симметричным, то на каждую его сторону приходится по 50% значений элементов.

Покажем, где на графике нормальной кривой располагается Стандартное отклонение. На нормальной кривой найдем точку, начиная с которой значения на вертикальной оси начинают изменяться быстрее, чем на горизонтальной. Это - точка перелома. На горизонтальную ось опустим перпендикуляр из точки перелома (см. рис. 8.8). Расстояние между точкой пресечения перпендикуляра с осью и средним и есть Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение является характеристикой для нормальной кривой, и теперь любое другое значение может быть выражено в единицах Стандартного отклонения. Можно показать, что по обе стороны от среднего в пределах 1 Стандартного отклонения находится 34% значений, между 1-м и 2-м Стандартным отклонением - 13,3% значений с каждой стороны. А между 2-м и 3-м, соответственно 2,15%.

Таким образом, если ряд нормально распределен, то, зная стандартное отклонение, можно найти значение любого из элементов, зная, как далеко он находится от среднего в единицах Cтандартного отклонения.

Напротив, зная результат, показанный отдельным респондентом, можно оценить его успешность, сравнивая его со средним, или применяя единицы Стандартного отклонения. Так, если результат лежит точно на линии + 1 Стандартное отклонение, то это значит, что не меньше 84% результатов будут хуже данного. Таким образом, имея в распоряжении среднее и Стандартное отклонение, всегда можно от единиц Стандартного отклонения перейти к процентам и определить, сколько результатов в данном исследовании хуже или лучше данного. Это один из самых важных выводов, который позволяет сделать применение нормального распределения.

Нормальная кривая и нормальные параметры

“Мы знаем, мы многое знаем Того, что не знают они!”

М. Цветаева

Исследователю часто необходимо знать, как соотносятся результаты, показанные одним из испытуемых, с результатами остальных. Для проведения такого рода анализа необходимо перейти от абсолютных методов оценки результатов к относительным, то есть сравнительным. Существует два метода подобной оценки - эквивалентный и метод процентного сравнения. О них речь шла раньше, а еще один метод - метод стандартных чисел будет рассмотрен здесь.

Различают два наиболее широко используемых параметра: Z-параметр и T-параметр. Z-параметр является наиболее доступным и простым для вычисления. Он показывает, как далеко находится какой-либо результат от среднего для данного исследования в единицах Стандартного отклонения. Шкала Z-параметров строится так, что за 0 принимается значение, лежащее на горизонтальной оси нормального распределения и совпадающее со средним для данного распределения. Масштабная единица Z-параметра равна одному Стандартному отклонению, причем вправо от “0” Z-параметр возрастает, а влево от “0” убывает в область отрицательных значений. Пусть для некого распределения среднее равно 50, а Стандартное отклонение. равно 2. Тогда, для значения 52 Z-параметр будет равен 1, а для значения 46 - соответственно - 2. Важность Z-параметра заключается в том, что с его помощью можно сравнивать успешность результата одного и того же испытуемого в различных исследованиях.

Пусть один и тот же респондент получил результат 60 баллов в тесте по биологии и 80 баллов в тесте по химии. На первый взгляд может показаться, что испытуемый лучше успевает по химии, чем по биологии. Но на самом деле никаких выводов нельзя делать до тех пор, пока мы не сравним эти результаты с остальными. Для чего нам необходимо знать средние результаты и стандартные отклонения для каждого из тестов. Оказалось, что в тесте по биологии среднее 50, а в тесте по химии 90. Стандартное отклонение для каждого из них соответственно 5 и 10. С учетом этих данных оказывается, что результат по химии имеет Стандартное отклонение -1, а по биологии +2. Это значит, что только 2% учащихся показали в тесте по биологии результат выше, чем 60. А в тесте по химии наш испытуемый оказался в отстающих - 84% учеников справились с этим тестом лучше. Сказанное иллюстрирует таблица:

Предмет	Балл	Среднее	Стандартное отклонение	Z	%
Биология	60	50	5	+2	98
Химия	80	90	10	-1	16

Конечно, Z-параметр не обязательно может быть равен целому числу стандартных отклонений. Вычислить Z-параметр можно по формуле:

где,

- исследуемое значение.

Для значения 80 (при среднем 65 и Стандартном отклонении 12) Z-параметр равен 1.25.

Представление процентных характеристик вероятностей

“Падают мысли, как листья в осеннюю стужу

Бывшие истины, зелень отжившая - мысли.”

Г. Горбовский

Так как Z-параметр дает процентное выражение для данного результата (см. пример выше), то от процентного выражения легко перейти к вероятности. Это будет вероятность получения числа, лежащего в определенных пределах по отношению к среднему (“0” Z-параметра). Если переобозначить горизонтальную ось, на которой строится распределение в единицах такой вероятности, то в пределах 0 - 1 в центре распределения будет лежать значение 0.5. Такое переобозначение сделано на рисунке 8.12. Так, вероятность получения числа, которое расположится в пределах одного Стандартного отклонения, равна 64% или 0.64.

T-параметр

“Вращается денно,

Вращается нощно,

Вращается вечно”.

Гарсиа Лорка

Случайный элемент распределения, значение которого лежит ниже среднего, имеет отрицательный Z-параметр. Иногда это неудобно. Чтобы избежать отрицательного значения Z-параметра, его можно трансформировать в T-параметр. Соответственно, смысл Т-параметра тот же, что и у Z-параметра, это по сути одно и то же, выраженное разными числами. Для перехода от Z-параметра к Т-параметру значение Z надо умножить на 10 и к полученному значению прибавить 50. Так Z-параметр +1 в Т-единицах равен 60, а Z-параметр -1 равен 30 Т-единицам. Распределение для Т-параметра содержит среднее 50 и Стандартное отклонение. 10. Существует еще ряд похожих стандартных чисел, значение которых зависит только от выбора масштаба.

Работа с параметрами и вид распределения

“Слагаю мудрые, глубокие творенья,

Где нет фальшивых нот…”

Поль Верлен

Возможно, вы обратили внимание на приведенный выше факт, что для параметров и вероятностей делается акцент на том, что распределение является нормальным. Это не случайно, так как сказанное справедливо только для нормального распределения. К счастью, многие процессы в реальной жизни дают распределение, близкое к нормальному. Особенно если исследования проводятся на базе случайной выборки. В ряде случаев, когда полученное распределение не является нормальным, оно во многом может быть приближено к таковому. И тогда при его анализе можно использовать величины, о которых говорилось выше.

“Но слабый человек, без долгих размышлений,

Берет готовыми итоги чуждых мнений,

И мнениям своим нет места прорасти”

К.Случевский

Наиболее важными исследованиями в педагогической диагностике являются те, которые позволяют установить связь между переменными, относящимися к различным процессам. Переменными здесь будем называть исследуемые параметры. В корреляционном анализе исследователь стремится установить, существует ли связь между несколькими независимыми переменными, например такими, как рост и вес, способность к чтению и письму. Как правило, исследования на наличие взаимосвязи проводятся для установления причинно-следственных связей. Например, к таким исследованиям относятся данные о курении и заболевании раком легких.

Корреляционный анализ представляет собой комплекс методов статистического исследования взаимозависимости между переменными, связанными корреляционными отношениями. Корреляционным считается такое отношение, которое между переменными, при которых выступает преимущественно нелинейная зависимость, т.е. значению любой произвольно взятой переменной одного ряда может соответствовать некоторое количество значений переменной другого ряда, отклоняющихся в ту или другую сторону от средней.

С помощью корреляционного анализа изучается отношение между двумя переменными, не опосредованное вмешательством исследователя. Таким образом, отсутствуют какие-либо манипуляции переменными, изучается также отношение между событиями и выражается количественным образом размах данного отношения. Этот метод является существенной альтернативой экспериментальному методу, но он не позволяет установить точного отношения причинности.

При корреляционном методе существует сложность интерпретации, которая возникает прежде всего за счет направления интерпретации, то есть, если выявляется отношение между двумя переменными, значит, эти переменные связаны между собой, однако не всегда можно понять, в каком направлении, то есть какая переменная оказывает влияние на другую.

Кроме того, другая сложность интерпретации наблюдается за счет того, что возможно вмешательство третьей переменной помимо двух других, которые исследуются, и изменения, которые выявляются в зависимой переменной, происходят за счет третьей переменной, а не за счет независимой переменной. Однако в некоторых случаях корреляционный метод является предпочтительнее, чем экспериментальный метод.

Это верно, прежде всего, для переменных, которые не годятся для экспериментальной манипуляции, таких как пол, возраст, психологическое состояние (например, депрессия), события в жизни индивидуумов (такие, как самоубийство) и т. д.

Корреляционный метод является предпочтительнее экспериментального метода в случаях, в которых установление определенных величин переменных возможно только для низших уровней величин по причинам этического характера, например, причинение боли субъектам, провокация тревоги субъектов.

И, наконец, данный метод предпочтительнее экспериментального, потому что позволяет быстро провести исследование, то есть позволяет сэкономить время и деньги. В некоторых случаях исследования, проведенные корреляционным методом, могут рассматриваться как пилотажные. Они предназначены для получения результатов, которые анализируются и на основании которых размышляют о том, что произошло, а затем на базе всего этого проводят экспериментальное исследование.

Цель корреляционного анализа - исследование возможных связей между переменными, без попыток повлиять на их значение. Хотя корреляционные исследования не устанавливают причинно-следственных связей, на основании полученных результатов можно сделать предположения на этот счет. которые могут оказаться полезными при дальнейшей работе. В этот раздел книги включено исследование природы корреляционного анализа и приведены примеры корреляционных исследований, а так же сделана попытка разобраться в некоторых специфических проблемах корреляционных исследований.

Корреляционный анализ, как и анализ причинно - следственных связей, относится к методам исследования, которые называются ассоциативным анализом. В ассоциативных исследованиях изучается наличие взаимосвязи между параметрами, но только с точки зрения наличия или отсутствия таковых, безо всяких попыток как-либо повлиять на их характер. Корреляционный анализ иногда рассматривают как одну из форм описательных исследований, так как в нем подлежит описанию существующая взаимосвязь между переменными.

Приемы, использующиеся в корреляционном анализе, коренным образом отличаются от тех, что исследователь использует при работе с другими типами статистического анализа.

Основной параметр, с помощью которого описываются результаты корреляционных исследований - это коэффициент корреляции.

Если в результате исследования обнаружено, что корреляция существует, то это означает, что переменные, характеризующие объект, однозначно связаны друг с другом. Позитивная связь характеризуется тем, что высокие значения для одной переменной совпадают с высокими значениями для другой. То же самое и для низких значений. Негативная связь обнаруживает обратную зависимость - высокие значения одной переменной связаны с низкими значениями для другой .

Идеальная позитивная связь	Идеальная негативная связь	Отсутствие связи
X	Y	X	Y	X	Y
5	5	5	1	2	1
4	4	4	2	5	2
3	3	3	3	3	3
2	2	2	4	1	4
1	1	1	5	4	5

Зачем нужны корреляционные исследования? Корреляционный анализ способствует решению двух следующих задач:

объяснение причин того или иного поведения в различных ситуациях;

возможность прогнозирования поведения и реакций людей.

Главная цель применения корреляционного исследования - облегчить исследователю понимание сути и причин тех или иных явлений через анализ взаимосвязи параметров, которые их характеризуют. Например, в психологии развития, где экспериментальные методы зачастую неприменимы, многие исследования целиком базировались на анализе взаимосвязей. Так, анализ зависимости развитости речи ребенка от богатства речи родителей углубил знания о механизмах развития детской речи. А для более полного понимания механизмов, реализующих процесс чтения, полезным оказалось исследование зависимости техники чтения от уровня развития различных видов памяти. При анализе зависимостей между параметрами исследователь базируется на результатах, представленных в численном виде, вычисляя коэффициент корреляции для переменных, которыми те характеризуются. Из дальнейшего вычисления следует исключать те массивы переменных, связь между которыми выражается > 0.20 .Если обнаруженная связь достаточно сильная, то можно предпринять попытку выяснить что-либо о причинно-следственных связях.

Остановимся на этом подробнее. Сам по себе корреляционный анализ не дает достаточно информации для достоверного определения причины и следствия в ряду взаимосвязанных явлений. Но большинство исследователей, которые занимаются корреляционным анализом, все же пытаются делать некоторые предположения, используя для этого базу полученных данных на основе которой строят свои предположения о причинно-следственной зависимости.

В качестве примера ошибочного исследования является поиск зависимости между ожиданием ошибочных ответов от ученика и действительным количеством неправильных ответов. Имеющаяся зависимость может навести на мысль, что эти оба показателя связаны между собой.

Если первая задача корреляционного исследования - это объяснять, то вторая задача - это изучать, чтобы прогнозировать.

Второй задачей, которая решается применением корреляционного анализа, является возможность прогнозирования развития событий или характера протекания тех или иных процессов, лежащих в сфере интересов исследователя. При установлении наличия связи между переменными, характеризующими параметры исследования, становится возможным предсказание величины одной переменной по известной величине другой. Например, установлено наличие сильной позитивной связи между результатами итогового школьного теста и результатами итоговых тестов при окончании первого семестра в колледже. Таким образом, можно для ученика хорошо выдержавшего итоговые школьные экзамены предсказать и хорошие результаты первой сессии в университете. Переменную, величина которой известна, то есть на базе которой делается прогноз, будем называть прогнозирующей, а переменную, величина которой прогнозируется - прогнозируемой. Для сказанного выше количество баллов школьного экзамена - прогнозирующая переменная, а результат показаний в первом семестре - прогнозируемая.

Методику составления прогноза при помощи точечной диаграммы можно продемонстрировать на примере. Допустим, что экспериментатор получил проведя работу с двенадцатью классами следующую информацию:



Класс	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ожидание учителем неверного ответа (рейтинговая оценка)	10	4	2	4	12	9	8	8	6		5	7
Элемент деструктивного поведения (рейтинг)	11	3	2	6	10	6	9	6	8	5	9	4

Используя эти данные, был вычислен коэффициент корреляции 0,71 между переменными. По числовым значениям можно построить точечную диаграмму, а потом заменить множество точек одной прямой линией, точное расположение которой вычисляется при помощи специальных математических преобразований. Такую линию будем называть линией регрессии. Для диаграммы 13.2 там же построена линия регрессии. Линия регрессии наилучшим образом отражает характер существующей зависимости, в ней как бы сконцентрирован весь смысл точечной диаграммы. Именно по виду этой линии и можно делать прогноз результатов. Пусть для какого-то учителя рейтинг учительского параметра 10. Тогда, используя линию регрессии, можно предположить, что класс, с которым тот работает, покажет деструктивное поведение на уровне 8 единиц. Можно решить и обратную задачу - зная степень деструктивности, определить насколько велик параметр "ожидание неправильного ответа". Возможность получения такого рода информации дает массу дополнительных возможностей в работе. Для рассмотренного примера, при построении линии регрессии на реальном материале, результаты можно использовать для коррекции линии поведения как учителя, так и класса.

На рисунке …… представлен ряд примеров точечных диаграмм. Изучая их, вы поймете, что такое взаимосвязь двух величин, и уясните смысл коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции, отражающий степень связи, будем обозначать r. Если r больше 0, то связь позитивная, то есть большим значениям одной переменной соответствуют большие значения другой. А если r меньше 0, то связь негативная и отношение между величинами переменных обратное: большие значения сочетаются с малыми и наоборот.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от +1 до -1, а знак его определяется видом связи. Если два параметра сильно связаны, коэффициент корреляции будет близок к единице. А при слабой связи - коэффициент корреляции близок к 0. Для вычисления коэффициента корреляции необходимо располагать двумя рядами значений переменных и только.

Точечные диаграммы на рисунке 8.16 иллюстрируют различные степени связи:

a, b, c - различные степени позитивной связи

e, f, g - различные степени негативной связи

d - отсутствие связи

Корреляционный анализ выступает в качестве одного из вспомогательных методов решения теоретических задач диагностики и включает в себя комплекс наиболее широко применяемых процедур при разработке тестовых и других методик диагностики, определения их надежности и валидности.

Одним из первых проблему использования корреляционного анализа в педагогическом измерении начал исследовать Б Битинас. После публикации его работы “Многомерный анализ в педагогике и психологии” корреляционный анализ стал довольно широко использоваться в педагогических исследованиях.

Нет смысла подробно излагать сущность и процедуру корреляционного анализа, т.к. все это описано во множестве работ, которые любой читатель этой книги без труда найдет в библиотеке.

Одна из наиболее используемых монографий, посвященных статистическому анализу написана профессором Санкт-Петербургского университета Г.Суходольским “Основы математической статистики для психологов”.Эта много раз переиздавалась, поэтому ее найти в книжных магазинах или в библиотеке не составит труда.

В последнее время появилось большое количество компьютерных программ, использование которых упростило процесс использования корреляционного анализа.

Точечная диаграмма

“Как подарок нам дана

Мыслей неоткрытых глубина,

Своего не знающая дна”.

Н. Гумилев

Будем исследовать два параметра на наличие взаимосвязи. Имея числовые значения для каждого из них, воспользуемся приемом построения точечной диаграммы. Прием пригоден только для данных, представленных в численном виде. Точечная диаграмма изображает существующую связь в виде рисунка. Она легко конструируется, если не делать некоторых ошибок. Первое: наносите на диаграмму точки, отображая каждого испытуемого только одной. Второе: не пропускайте и не переставляйте местами значения исследуемых параметров. Третье: интервалы на осях следует откладывать одинаковые. По данным таблицы 8.7 построена диаграмма 8.15.

Алгоритм построения точечной диаграммы:

выберите, какие параметры вы будете отражать на каждой из осей; не важно, что и где вы разместите;

выберите для каждой из осей масштаб и расположите на них все имеющиеся значения; проверьте, вы ничего не забыли;

каждого испытуемого обозначьте на диаграмме точкой так, чтобы показанные им значения параметров содержались на перпендикулярах к осям, проведенным из этой точки

Обработка диаграммы

“Измерить океан глубокий,

Сочесть пески, лучи планет...”

Г.Державин

Исследователя интересует не только вопрос о наличии связи между параметрами, но и вопрос о степени и характере этой связи. Точечная диаграмма иллюстративно изображает наличие связи. Можно заметить, что большие значения первой переменной дают большие значения и для второй. То же и с малыми значениями. Зная значения одной из переменных для какого-то конкретного случая, не отображенного на данной диаграмме, можно предположить соответствующее ему значение другой переменной.

Допустим, вновь прибывший при испытании по первому параметру показал результат 13. Тогда наиболее вероятное значение параметра 2 для него будет лежать, скорее всего, в интервале 35-45. Построенная нами точечная диаграмма иллюстрирует сильную степень связи. Если точки на диаграмме располагаются приблизительно по прямой, то такую связь называют совершенной или линейной связью. Такая связь на практике получается исключительно редко.

Вычисление коэффициента корреляции Пирсона

“Запрещено заниматься музыкой

более двадцати четырех часов

в сутки”.

Жак Превер

Существуют несколько коэффициентов. Каждый из которых вычисляется по определенной формуле. Вычислим коэффициент корреляции Пирсона. Будем обозначать его r.

При выражении данных в числовом виде он является наиболее подходящим. Он предназначен для анализа данных, представленных в рейтинговом или интервальном виде.

Формула для вычисления коэффициента Пирсона выглядит так:

r =

Не пугайтесь громоздкости формулы. По сути она гораздо проще, чем сначала кажется. Произведем вычисления. В качестве исходных данных, как мы сказали, необходимо два ряда значений для двух переменных.

Пусть в исследовании по двум параметрам X и Y принимали участие пять респондентов A, B, C, D, E и имеется следующий результат, представленный в числовом виде:

A	20	20
B	18	16
C	28	20
D	15	12
E	10	10

Нам необходимо установить, имеется ли между этими двумя переменными связь, какова она и по знаку и по величине. Применим формулу Пирсона.



Промежуточные результаты представим в виде таблицы:

	X	Y			XY
A	20	20	400	400	400
B	18	16	324	255	288
C	18	20	324	400	360
D	15	12	225	144	180
E	10	10	100	100	100
	81	78	1373	1300	1328
	X	Y			XY

Пользуясь полученными результатами, рассчитаем значение r Пирсона.

умножим на n сумму XY;

умножим x на y;

вычтем результат шага 2 из результата шага 1;

умножим x ² на n;

возведем x в квадрат ;

вычтем результат шага 5 из результат шага 4;

умножим y на n;

возведем y в квадрат;

умножим результат шага 6 на результат шага 9;

извлечем квадратный корень из результата шага 10;

разделим результат шага 3 на результат шага 11.

Это и будет значение r Пирсона.

ETA-параметр

Другой индекс, определяющий степень корреляции - вычисление параметра ЕТА. Правила вычисления здесь приводить не будем, однако скажем, что применяется ЕТА в случаях, когда точечная диаграмма показывает не прямолинейное, а криволинейное расположение точек (см. рис.8.17). Пределы изменения ЕТА - от 0 до 1. Высокое значение ЕТА дает очень высокую степень связи.

Основные шаги при производстве корреляционного анализа

“От мира благ не жди, а будь трудолюбив”

Рудаки

Проблему, а соответственно и переменные, надлежит выбирать, имея некую теоретическую посылку, подлежащую проверке. Предположение о наличии связи между переменными должно быть обосновано. Неверный выбор параметров ставит под сомнение исход предприятия. В целом при корреляционном анализе рассмотрению, как правило, подвергается проблема одного из следующих типов:

- существует ли связь между переменными;

- какова успешность (точность) прогноза значений одной переменной по величине другой;

- комплексный анализ связей между большим количеством переменных.

Большинство корреляционных исследований будут представлять из себя ответ на один из этих вопросов. Рассмотрим примеры реальных исследований, использующих корреляционный анализ:

достоверность суждений начальства о работе учителя;

ясность объяснений учителя и её связь с успеваемостью;

влияние употребления наркотиков на учеников 5-го - 8-го классов;

влияние духовного развития на уровень профессиональности при оказании психологической помощи;

соотношение между взглядами на здоровье и здоровым образом жизни;

связь способности студентов к взаимодействию с успеваемостью;

прогноз результатов теста на основании восприятия студентами психологической обстановки в классе.

Выбор группы респондентов

“Не ждет ли нас теперь другая эра?”

И. Бродский

Группа респондентов при производстве корреляционного анализа, как и при любом другом психологическом исследовании, должна подбираться с особой тщательностью и, по возможности, представлять из себя случайно сформированную выборку. Респонденты должны быть в состоянии предоставить необходимую информацию о каждой из изучаемых переменных. Минимальная численность группы, рекомендуемая исследователями, 30 человек. При работе с меньшей группой возникают большие ошибки в определении коэффициентов корреляции. Бесконечное увеличение числа респондентов влечет за собой для исследователя опасность “утонуть” в собранной информации.

Выбор экспериментальной методики

Для получения данных можно использовать любую из многочисленных методик. Важно лишь то, чтобы результаты были представлены в численном виде. Иногда привлекается информация, собранная в виде аудио-видео записей. Но наиболее распространенные методики все же - тесты, вопросники и т.д. Само собой, что используемая методика должна быть надежной и многократно проверенной. Если результаты получены с малой степенью достоверности, то дальнейшая работа даст неверные результаты. Для более успешного прогнозирования необходимо к тому же знать, какая переменная прогнозирует, а какая прогнозируется.

Представление данных

Как правило, при производстве корреляционного анализа данные, полученные в результате исследования, удобно оформлять в виде таблицы такого вида:

параметры исследования

Испытуемый	01	02
А	-	-
В	-	-
С	-	-

Здесь - буквами обозначены испытуемые, а 01 и 02 - измеряемые параметры, которые должны быть выражены в численном виде. То есть для каждого участника измеряется и фиксируется каждая из величин, подлежащих изучению. Далее полученные ряды проверяются на наличие связи, и, при её обнаружении, с помощью коэффициента корреляции определяется сила этой связи. Обратим, однако, внимание на то, что сказать что-либо определенное о характере причинно-следственных связей при подобном представлении результатов невозможно. Ранее мы определяли три возможных случая для причинных отношений между параметрами:

- первая переменная, изменяясь, является причиной для изменения второй переменной;

- вторая влияет на первую;

- причиной изменения и первой и второй переменной является некая третья, возможно неизвестная и не измеренная.

При производстве корреляционного исследования может измеряться различное число параметров, но все же основной принцип будет сходным с описанным выше.

Обычно в корреляционных исследованиях все переменные измеряются в течение непродолжительного периода времени - зачастую сразу одна за другой. Так, если предмет интереса исследователя - изучение связи между уровнем развития речи и памятью, то тест на развитие речи и тест на память могли быть проведены непосредственно друг за другом, но в одной и той же группе испытуемых.

Для создания основы прогностических исследований иногда необходимо разносить измерения во времени - сначала измерять прогнозирующий фактор, а потом - прогнозируемый. (Напомним, что прогнозируемый фактор измеряется для группы, и на основании этого измерения делается прогноз для какого-то отдельного индивида, если известен только его результат при измерении прогнозирующих переменных.) Так, например, при прогнозировании результатов итогового теста по математике для студентов на основании их результатов вступительных тестов промежуток между измерениями составил целый учебный год.