Реализация проблемного обучения на кружковых занятиях учащихся 5-го класса

Учащимся предлагалось попробовать самостоятельно решить данные задачи и присвоить каждому заданию балл от 1 до 10 в порядке возрастания интереса данного задания для них, то есть самому интересному заданию соответствует 10 баллов, а самому неинтересному - 1 балл. Таким образом, 1 балл может быть присвоен только одному из заданий, 2 балла - одному из заданий и так далее. Далее был проведен анализ всех работ учащихся, который представлен в следующей таблице.

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Общее количество баллов	100	78	125	177	144	93	199	106	108	190
Средний балл	4,2	3,3	5,2	7,4	6	3,9	8,3	4,4	4,5	7,9
Популярность задание (место)	8	10	5	3	4	9	1	7	6	2

Проанализировав данную таблицу, можно сделать вывод, что содержание кружка полностью удовлетворяет интересам учащихся и данные задачи довольно занимательны для них.

§2. Кружок математики в 5 классе, организованный с помощью проблемного метода обучения

Кружок рассчитан на 10 занятий. Возможно проведение кружка в любой период обучения в 5 классе, так как материал кружковых занятий не связан с программным материалом. С нашей точки зрения целесообразно проводить данный кружок во втором полугодии, а в первом полугодии можно организовать кружок, содержащий задания более высокого уровня сложности, но по тематике соответствующие программному материалу, а также задачи логического характера. Учащиеся должны усвоить систему работы на кружке, так как этот вид работы для них является новым. Во втором же полугодии можно переходить на новый уровень обучения, именно здесь и возможно проведение кружка, программа которого представлена в данной разработке.

Проблемное обучение направлено, прежде всего, на развитие творческих способностей школьников, умение нестандартно мыслить в различных ситуациях и при решение различных задач. Для того, чтобы организовать кружковые занятия с учетом способностей и возможностей каждого ученика, определить насколько нестандартно может мыслить каждый из учащихся, посещающих кружок, целесообразно на первых двух занятиях определить уровень творческих способностей каждого ученика. Итоги проведенного тестирования помогут понять, кому следует уделить больше времени и, может быть, задать какой-либо наводящий вопрос. Поэтому первые два занятия кружка проводятся для оценки уровня творческого мышления учащихся, необходимой при обучении с применением проблемного метода.

Для определения уровня творческого мышления предлагается использовать тест, разработанный в 1966 году Е.П. Торренсом, наиболее известные тесты определения уровня творческого мышления. В своих тестах он обратил основное внимание на сам процесс творческого мышления. Предполагается использовать адаптированный тест, прошедший апробацию среди американцев и россиян. Показатели по всем частям текста определяются следующими факторами, установленными в исследованиях Дж. Гилфорда:

· «беглость» - способность продуцировать большое количество идей;

· «гибкость» - способность применять разнообразные стратегии при решении проблем;

· «оригинальность» - способность продуцировать необычные, нестандартные идеи;

· «разработанность» - способность детально разрабатывать возникшие идеи. [19]

Все тесты сгруппированы в три батареи: вербальную, образную и звуковую. Мы остановим свое внимание на первой. Первая батарея поможет определить уровень словесного творческого мышления. Тесты в основном предназначены для использования в дошкольном и школьном возрасте.

Тест Е.П. Торренса на вербальное творческое мышление предназначен для диагностики у детей таких характеристик, как умение задавать информативные вопросы, устанавливать возможные причины и следствия применительно к ситуациям, изображенным на серии картинок, предлагать оригинальные способы применения обычных предметов, задавать нестандартные вопросы по поводу хорошо знакомого предмета, строить предложения.

Надежность тестов очень велика - от 0,7 до 0,9.

Вербальная батарея состоит из семи субтестов:

1. «Вопросы»: требуется придумать как можно больше вопросов о происходящем на картинке.

2. «Причины»: требуется придумать как можно больше причин, вызвавших события, происходящие на картинке.

3. «Следствия»: требуется придумать как можно больше следствий, вытекающих из происходящего на картинке.

4. «Улучшение предмета»: требуется придумать как можно больше способов улучшения игрушечного слона.

5. «Необычное использование»: требуется придумать как можно больше способов необычного использования картонных коробок.

6. «Необычные вопросы»: требуется придумать как можно больше необычных вопросов о картонных коробках.

7. «Невероятная ситуация»: требуется придумать как можно больше последствий заданной невероятной ситуации.

Для проведения вербальной батареи необходимо 45 минут, без учета времени на инструкции. Более подробное описание дается в Приложении 2.

В связи с этим, целесообразно вербальную батарею тестов провести на первом занятии математического кружка.

Это тестирование не совсем соответствует предмету математики, но для определения уровня творческих способностей вообще, у детей школьного и дошкольного возраста, оно является самым распространенным и достоверным.

Задачи со спичками, помогающие в развитии пространственного мышления и осуществлении целенаправленного поиска решения, предполагается включить в материал следующих двух занятий.

Развить логическое мышление и умение делать выводы целесообразно, в частности при решении математических ребусов. Поэтому занятие №4 возможно провести по этой теме.

Решение задач с применением совершенно нового для учащихся метода можно осуществить на следующем занятии по новой для учащихся теме «Пересечение множеств». Предполагается обучение новому для учащихся методу решения задач, с использованием кругов Эйлера.

Формировать у учащихся умения анализировать и делать самостоятельные выводы предполагается при изучении новой для них темы топологического характера «Графы». Изучению данной темы предполагается отвести занятие №6.

Учить самостоятельному проведению небольших исследований и установлению опытным путем каких-то фактов, можно во время изучения темы «Геометрия нитей», которой предполагается отвести занятие №7.

Занятия №8,9 предполагается посвятить обобщению и систематизации знаний по всем ранее пройденным темам.

Название кружка: «Математическая шкатулка».

Цели:

Образовательные

§ учить осуществлять целенаправленный поиск решения задач,

§ учить делать самостоятельные выводы, применять их при решении задач,

§ формирование навыков исследовательской деятельности,

§ овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности.

Развивающие

§ Развитие творческого, логического и пространственного мышления,

Воспитательные

§ Воспитание математической культуры учащихся,

§ Воспитание таких качеств личности, как целенаправленность, настойчивость в преодолении трудностей, самостоятельность, ответственность, точность и аргументированность высказываний,

§ Воспитание ответственного отношения к труду.

Возрастная категория: 11-12 лет.

Применяемые методы:

§ эвристический,

§ исследовательский,

§ проблемное изложение.

Планирование

№ занятия	Тема
1	Уровень творческого мышления
2,3	Задачи со спичками
4	Математические ребусы
5	Пересечение множеств
6	Графы. Вычерчивание фигур одним росчерком пера
7	Геометрия нитей
8,9	Повторение

Занятие № 3.

Тема: Задачи со спичками.

Цели: формировать умение осуществлять целенаправленный поиск решения задач на примере задач со спичками.

II этап: Разминка ума.

Постановка проблемы.

Задание №1. В музее, в котором собраны произведения искусства трех видов: картины, скульптуры и предметы быта - произошла кража из двух залов с разными произведениями искусства. В каждом из девяти залов музея собраны произведения искусства одного вида, при этом залы расположены так, что из одного зала с картинами не возможно напрямик попасть в другой зал с картинами, то есть из зала с картинами двери ведут только в залы с предметами быта и скульптурами и наоборот. Как узнать, что и в каких залах пропало, если известно, что на север и запад выходят окна залов с каждым видом произведений искусства, при условии, что из этих залов не пропало ни одного предмета быта?

Перевод на язык математики

Учитель: Для того чтобы выяснить, что же произошло, попробуем переформулировать задачу и перевести ее на язык математики.

Учитель: Каким образом музей может быть разделен на залы?

Ученик: Например

Учитель: Какое расположение возможно для залов с разными произведениями искусства? Что мы должны сделать, чтобы показать положение залов с теми или иными произведениями искусства на рисунке?

Ученик: Должны ввести обозначения для залов с разными произведениями искусства. Например:

- предметы быта,

- скульптуры,

- картины.

Учитель: Как же теперь будет выглядеть наша схема с учетом введенных обозначений, если мы отобразим на ней все известные данные задачи?

Ученик: Схема может выглядеть, например, так:

Решение задачи

Учитель: Как же эта схема поможет нам в решении задачи?

Ученик: Можно, пользуясь сделанной схемой, понять закономерность расположения залов музея, чтобы отыскать залы, в которых произошла пропажа.

Учитель: Еще раз внимательно прочитайте условие задачи и посмотрите на рисунок. Какие выводы можно сделать?

Ученик: По рисунку сразу понятно, что пропажа произошла в залах со скульптурами и с картинами. Но необходимо понять расположение залов. Известно, что из зала со скульптурой невозможно попасть напрямик в другой зал со скульптурой. Можно сделать вывод, что в центральной части музея расположен зал с картинами, значит, третий зал со скульптурой расположен в юго-восточной части музея. Схема расположения залов будет выглядеть следующим образом:

III этап: Изучение нового материала.

Учитель: Решив предыдущую задачу, мы смогли найти пропажу. Каким образом мы это сделали?

Ученик: Выясняли возможное расположение элементов.

Учитель: А теперь мы рассмотрим следующую задачу и узнаем, что произойдет при изменении расположения элементов.

Задание №2. Из десяти спичек выложите три квадрата. Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два ромба.

Учитель: Задачи со спичками предполагают практическое ее выполнение, т.е. для выполнения задания необходимо выложить то или иное изображение, фигуру. Что мы должны в первую очередь представлять, чтобы мы смогли выложить спичками те фигуры, которые от нас требуют в задании?

Ученик: Мы должны представлять, как выглядят эти фигуры. Т.е. как они изображаются.

Учитель: Как же изображаются фигуры, упомянутые в этом задании?

Ученик: (рисует на доске)Квадрат - , ромб - ?( )

Учитель: Итак, мы вспомнили, как изображаются фигуры, теперь необходимо подумать, как расположить спички, чтобы получилась требуемая фигура.

Учащиеся пытаются выложить требуемую фигуру с помощью спичек, а потом все вместе обсуждают выложенные фигуры, и приходят к выводу, какой должна быть эта фигура.

Задание №3. Необходимо выложить фигуру таким образом, чтобы образовались один восьмиугольник, два квадрата и восемь треугольников, воспользовавшись при этом только 8 спичками.

Учитель: Как должна выглядеть эта фигура?

Учитель: Тогда для того, чтобы понять, как возможно выполнить это задание, предлагаю сначала такое задание.

Задание №4. Сколько здесь треугольников?

Решение этой задачи направленно на понимание учащимися возможного расположения различных фигур относительно друг друга.

Учитель: Вернемся к заданию№3.Теперь вы поняли, что возможно выкладывать фигуры, содержащие в себе другие фигуры. Но как же это сделать, воспользовавшись только 8 спичками?

Ученик: Так как фигуры могут состоять из более мелких фигур, можно выложить следующую фигуру

Учитель: Мы выполнили задания на составление фигур по тексту задачи. Теперь же мы займемся непосредственным преобразованием уже данных фигур, которые называют геометрическими.

IV этап. Решение геометрических задач со спичками

Постановка проблемы

Задание №5. Имеется помещение квадратной формы, разделенное на 9 одинаковых комнат квадратной формы перегородками. Необходимо снести восемь перегородок так, чтобы осталось две комнаты квадратной формы , одна в другой.

Перевод на язык математики.

Учитель: Чем можно воспользоваться для наглядного представления условия задачи?

Ученик: Спичками. Выложить с их помощью модель помещения, разделенного на 9 квадратных комнат.

Учитель: Какие же стены в помещении нужно снести, чтобы ответить на вопрос задачи?

Ученики совещаются и приходят к выводу, что можно разбить помещение на две квадратных комнаты, чтобы одна находилась в другой, можно несколькими способами, но только единственный способ разбиения можно осуществить, снеся только 8 стен.

Ученик:

Задание №6. Из спичек сложена фигура, состоящая из девяти равных треугольников. Уберите пять спичек так, чтобы осталось пять треугольников. Как это сделать?

Задание №7. Возьмите фигуру из задачи 5 и переложите шесть спичек так, чтобы получилась фигура, состоящая из шести равных четырехугольников.

Задание №8. Из спичек сложена фигура, состоящая из шести равносторонних треугольников. Переложите четыре спички так, чтобы получилось три равносторонних треугольника.

Мы научились выяснять возможное расположение различных элементов относительно друг друга, научились менять положение элементов, в чем нам помогали задачи со спичками. Задачи со спичками бывают различной тематики, поэтому для того, чтобы перейти к другим задачам, выполним сначала такое задание.

V этап.

Задание №9. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки: а) MDCCCCV; б) MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом? Упростите запись года, учитывая, что в римской записи чисел четыре одинаковые цифры подряд не пишут.

Учитель: Можем ли мы записать год, в котором был построен каждый дом?

Ученик: Не можем, так как мы не знаем, какая арабская цифра соответствует тому или иному знаку в римской нумерации и как записываются римские цифры.

Учитель: Необходимо узнать, что обозначает каждый знак в римской нумерации, и по каким правилам записываются числа. Это будет частью вашего домашнего задания. На следующем занятии, зная римскую нумерацию и правила, мы сможем продолжить решение задач.

VI этап. Итоги урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами занимались решением задач со спичками. Выполнили несколько заданий со спичками. Мы не смогли решить две задачи, так как не знаем, как изображается ромб и римскую нумерацию. К следующему занятию вам необходимо знать изображение ромба, также римскую нумерацию и правила записи римских чисел. (Одному из учащихся необходимо задать сделать доклад по римской нумерации и правилам записи римских чисел).

Занятие №4.

Тема: Задачи со спичками.

Цели: формировать умение осуществлять целенаправленный поиск решения задач в ходе решения задач со спичками.

II этап. Проверка домашнего задания.

Учитель: На прошлом занятии мы не смогли выполнить (два) задание(я). На дом вам было задано разобраться с римской нумерацией.

Доклад одного из учащихся на 5-7 минут по римской нумерации.

Необходимо записать на доске и в тетрадях следующую таблицу

Римские цифры	Арабские цифры
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Учитель: Теперь мы знаем обозначения римских цифр и правила записи, значит, мы можем выполнить задание, не получившееся на прошлом уроке.

Постановка проблемы

Задание №1. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки: а) MDCCCCV; б) MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом? Упростите запись года, учитывая, что в римской записи чисел четыре одинаковые цифры подряд не пишут.

Ученик: Дома построены в: а) 1905 году, б) 1899 году. Учитывая правила записи римских чисел, получатся следующие числа: а) MCMV; б) MDCCCXCIX.

Задание №2. Используя римскую систему записи чисел, запишите год своего рождения.

Учитель: Следующие задания тоже будут по римской нумерации, но уже с использованием спичек.

III этап.

Задание №3. Из спичек сложили шесть неверных равенств. Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

Задание №4. На столе лежит 9 спичек. Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было:

а) по 4;

б) по 6.

Учитель: мы рассмотрели фигуры, которые изображали числа в римской нумерации.

IV этап.

Постановка проблемы

Задание №9. 16 спичками изображают крепость и окружающий ее ров, наполненный водой. Как при помощи двух шестов (спичек), длина которых как раз ровняется ширине рва, пробраться в крепость?

Перевод на язык математики

Ученик: Нужно выложить с помощью спичек модель крепости и рва и так расположить две спички, чтобы по ним можно было «пройти» с берега в крепость.

Решение

Учитель: Каким же образом это можно осуществить, ведь каждый шест имеет такую же длину, какова и ширина рва?

Ученик: Нужно каким-то образом сложить два шеста.

Учитель: Что значит «сложить»? Связать? Но у нас нет веревки и каких-либо других приспособлений.

Ученик: Тогда нужно так их совместить, чтобы они держались без каких-либо приспособлений. Например, положить один на другой.

Учитель: В каком месте это возможно осуществить? Посмотрите внимательно на рисунок.

Ученик: В углах.

Учитель: Какое же должно быть расположение шестов, чтобы они не упали в воду?

Ученик: Здесь ров шире, чем везде, следовательно, не получится положить шест от одного берега до другого. Значит нужно положить шесты следующим образом:

Учитель: Правильно. Это единственное возможное расположение шестов для перехода на другой берег?

Ученик: Да

Учитель: А теперь самостоятельно потренируйтесь в выполнении задач на перекладывание спичек.

Задание №5. Спичечный рак ползет вверх. Переложите две спички так, чтобы он полз вниз.

Задание №6. Из спичек построен дом. Переложите две спички, чтобы дом повернулся другой стороной.

Задание №7. Этот греческий храм построен из одиннадцати спичек. Переложите четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.

Задание №8. Переложите три спички так, чтобы рыбка поплыла в противоположную сторону.

V этап. Подведение итогов урока

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами более подробно познакомились с римской нумерацией и выполнили несколько заданий со спичками. В качестве домашнего задания по этой теме следующая задача: Переложите две спички так, чтобы корова смотрела в противоположную сторону. Ответ зарисуйте в тетради.

Занятие №5 (фрагмент)

Тема: Математические ребусы.

Цели: Формировать навыки решения математических ребусов.

II этап: Актуализация.

Постановка проблемы

Задание №1. На листе бумаги был решен пример. Петя разлил чай, и часть примера стерлась. Помогите Пете восстановить решение примера, если известно, что складывали два двузначных числа, в результате получилось трехзначное число, оканчивающееся на 98.

Учитель: Необходимо восстановить решение примера. Что нужно сделать, чтобы мы смогли помочь Пете?

Ученик: Необходимо записать пример.

Учитель: Как мы сможем это сделать, если мы не знаем некоторые цифры? Чтобы это понять, решим следующее задание.

Задание №2. Ученик решал пример на сложение. После того, как он его правильно решил, другой ученик стер некоторые цифры. Помоги восстановить первоначальную запись:

*784

₊3*90

58*5

846*

22817

Учитель: Как необходимо начинать восстанавливать пример, с конца или с начала?

Начинаем восстанавливать пример с конца, так как при сложении могут получиться единицы переноса, которые нужно учитывать в старшем разряде. При сложении четырех чисел, одно из которых неизвестно, а остальные три числа 0, 4 и 5. В результате, сумма этих чисел оканчивается цифрой 7. В сумме все эти четыре числа не могут давать 7, так как 4+0+5 = 9, значит, вместе со стертым числом они должны давать 17, а это возможно только в том случае, если стертой цифрой была 8. Вместо следующей звездочки стояла цифра 7, так как при сложении в младшем разряде образовалась единица переноса, а сумма всех этих цифр равняется 1.

Проводя аналогичные рассуждения, учащиеся восстанавливают весь пример:

4784

₊3690

5875

8468

22817

Учитель: Теперь можем вернуться к примеру из задания №1.

Ученик: Необходимо записать пример, обозначив стершиеся цифры звездочками.

Учитель: Как же был записан пример?

Ученик: ₊ **

**

*98

Учитель: Можем мы теперь восстановить цифры, вместо которых стоят звездочки?

Ученик: Можем. Обращаем внимание на то, что сумма двух двузначных чисел является трехзначным числом, последние две цифры которого 98. Значит, в результате сложения двух двузначных чисел может быть только число 198. Это число может получиться только в результате сложения двух наибольших двузначных чисел, каждое из которых 99. Исходя из этого, можно сделать вывод, что пример выглядел так:

₊99

99

198

Учитель: Мы восстановили несколько примеров, в которых были неизвестны некоторые числа. Теперь мы переходим к решению математических ребусов.

III этап: Введение нового материала.

Задание №3. Как из трех кошек сделать одну собаку?

Учитель: Чтобы выполнить задание, что мы должны сделать.

Ученик: Сформулировать его на языке математики.

Учитель: Подумайте, что может означать на языке математики это задание?

Ученик: Нужно произвести какие-то действия над тремя кошками, чтобы получилась одна собака.

Учитель: Какое действие может быть использовано в данной задаче?

Ученик: Сложение.

Учитель: Как тогда можем записать это.

Ученик: Например

КОШКА

⁺ КОШКА

КОШКА

СОБАКА

Учитель: Какие есть предположения как мы буде решать этот ребус?

Ученик: ???

Учитель: Тогда попытаемся выполнить несколько других заданий, чтобы понять, как решаются такие ребусы.

Задание №4. Мальчик написал записку с помощью шифра:

17 6 18 6 2 16 18 5 6 18 6 3 16 19 16 2 29 20 10 6

Как расшифровать сделанную запись, если известно, что мальчик пользовался русским алфавитом?

Учитель: Как вы думаете, как, используя русский алфавит, можно расшифровать эту записку и что тогда обозначают цифры в этом ребусе?

Ученик: Возможно, если необходимо использовать русский алфавит, нужно каким-то образом связать каждое число с буквой.

Учитель: Какая может быть установлена связь?

Ученик: Возможно, каждое число обозначает порядковый номер буквы в алфавите, вместо которой стоит число в данном ребусе.

Учитель: Попробуйте выполнить это задание, воспользовавшись этим предположением.

Ученик: перебор дерево событие.

Учитель: Как вы считаете, подтвердились ваши предположения. Смогли вы решить ребус?

Ученик: Да, так как в результате замены цифр соответствующими буквами получились слова.

Учитель: Какие же предположения мы можем сделать исходя из решения данного задания для выполнения задания № 3?

Ученик: Необходимо заменить буквы цифрами и, возможно, нужно воспользоваться для этого алфавитом.

Учитель: Попробуйте выполнить это задание, воспользовавшись этим предположением.

Ученики пробуют заменить буквы цифрами, соответствующими их порядковому номеру в алфавите. У них не получается решить ребус таким способом.

Учитель: К каким выводам вы пришли, пытаясь заменить буквы цифрами, обозначающими их порядковый номер в алфавите?

Ученик: Для решения этого ребуса необходимо заменить буквы цифрами, но эти цифры могут не являться порядковыми номерами этих букв в соответствующем алфавите.

Учитель: С учетом сделанных выводов выполните данное задание.

Путем некоторых рассуждений и умозаключений учащиеся должны прийти к следующим выводам.

Ученик: Так как КА + КА + КА оканчивается на КА, то КА = 50, а значит, К = 5, А = 0. Так как Ш + Ш + Ш + 1 оканчивается на 0, то Ш = 3. Так как сумма трех чисел, начинающихся на 5, может начинаться лишь с 1, то С = 1. Рассматривая варианты для О, получаем, что О = 6 или О = 7, а значит, Б = 9 или Б = 2. Значит, получается два возможных решения этого ребуса:

56350 57350

+56350 +57350

56350 57350

169050 172050

Занятие №6 (фрагмент)

Тема: Пересечение множеств.

Цели: Учить решать задачи на пересечение множеств с помощью кругов Эйлера.

III этап: Введение нового материала.

Постановка проблемы

Задание №1. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и волейболом - трое, волейболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом.

а) Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта?

б) Сколько ребят увлекается лишь одним видом спорта?

Учитель: С какой проблемой мы столкнулись в данной задаче? Что нам «мешает» в условии?

Ученик: В условии есть данные о количестве учащихся в классе, количестве учащихся занимающихся баскетболом, волейболом и хоккеем. Проблема заключается в том, что некоторые из учащихся занимаются двумя, а некоторые тремя видами спорта. Не понятно, как можно решить эту задачу.

Учитель: Для того, чтобы мы смогли решить эту задачу и поняли как решаются задачи, аналогичные данной, решим следующую задачу.

Постановка проблемы

Задание №2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро - фиалки. И только у двоих из них есть и кактусы и фиалки.

Перевод на язык математики

Учитель: Можем мы для лучшего понимания условия задачи нарисовать рисунок (схему), на которой отобразим все известные величины?

Ученик: Можем.

Учитель: Раз у нас в условии говорится о подругах, которые выращивают разные растения, но некоторые выращивает и то и другое, как мы можем изобразить это на нашей схеме?

Обсуждая с учителем возможные обозначения, учащиеся приходят к выводу, что каждую из девочек удобно обозначить кружком (квадратиком и др.), половина которого будет закрашена одним из двух цветов, в зависимости от того, какое растение она выращивает, а вторая половина будет закрашена другим цветом у тех девочек. Кто выращивает оба растения.

Ученик: Мы нарисуем несколько кружков. Поделим каждый кружок пополам и закрасим сначала зеленым цветом столько половинок кружков, сколько девочек выращивает кактусы. Затем, из этих кружков мы закрасим фиолетовым цветом столько половинок кружков, сколько девочек выращивает и кактусы и фиалки. А затем мы закрасим фиолетовым столько пустых кружков, сколько девочек выращивает фиалки, с тем учетом, что двух из них мы уже отметили, как выращивающих и кактусы и фиалки.

С помощью разноцветных мелков учащиеся рисуют на доске рисунок. У них должно получиться следующее:

Учитель: А можем мы по-другому нарисовать рисунок, отметив не каждую девочку, а объединив их в группы? И как это можно изобразить?

Ученик: Девочки, выращивающие кактус, изображаются зеленым цветом, а девочки, выращивающие фиалки - фиолетовым. А девочки, выращивающие и то и другое должны обозначаться и тем и другим цветами.

Учитель: Правильно. Но что у нас получится за схема, если мы изобразим одну и вторую группы девочек с помощью какой-нибудь геометрической фигуры, например круга?

Ученик: У нас получатся два круга, накладывающихся один на другой.

Учитель: А как нам нужно обозначить на рисунке, сколько девочек выращивает кактусы, сколько фиалки, а сколько и то и другое вместе?

Ученик: У нас получится картинка, состоящая из трех частей, каждая из которых обозначает девочек, выращивающих только кактусы, только фиалки или и то и другое вместе. Значит, на каждой из этих частей рисунка просто ставим число, обозначающее количество девочек в той или иной группе.

Решение проблемы.

Учитель: Теперь по этому рисунку можем мы сосчитать, сколько у меня подруг?

Ученик: Можем узнать, сколько у Вас подруг. Получится следующее выражение: 4 + 2 + 3 = 9.

Учитель: Хорошо, молодцы. Теперь попробуем выполнить следующую задачу.

Постановка проблемы

Задание №2. Мы с подругами отдыхали на турбазе в большой компании. Прибыв на место, мы обнаружили, что 12 человек привезли с собой бутерброды с колбасой, 5 - с сыром и 9 - с маслом. Трое сделали бутерброды двух видов: и с колбасой, и с маслом, а я захватила с собой бутерброды с маслом и бутерброды с сыром, но не оказалось ни одного отдыхающего, который привез бы бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром. Сколько человек было в нашей компании?

Перевод на язык математики.

Ученик: Можно выполнить рисунок, аналогичный тому, с помощью которого мы решали предыдущую задачу. Он поможет нам понять, сколько было человек в компании.

Учитель: Хорошо. Как же тогда может выглядеть схема условия задачи, нарисованная с помощью кругов и их пересечений?

Ученик: Для начала обозначим разными цветами группы людей, которые привезли с собой разные бутерброды.

Учитель: Допустим, у вас нет цветных карандашей и фломастеров под рукой, как можно тогда обозначить разные группы?

Ученик: Можно обозначить каждую группу буквой, например К - люди, которые привезли бутерброды с колбасой, М - люди, которые привезли бутерброды с маслом, С - люди, которые привезли бутерброды с сыром.

Учитель: Тогда как с этим условием может выглядеть наша схема?

Ученик:

Учитель: Хорошо. Может ли быть другой вариант данной схемы, соответствующий условию задачи?

Обсудив с учителем, учащиеся приходят к выводу, что возможен другой вариант схемы, равносильный первой схеме.

Ученик:

Решение проблемы

Учитель: С учетом нарисованной нами схемы, можем мы теперь без проблем решить эту задачу?

Ученик: Да. Решение такое: 9 + 3 + 5 + 1 + 4 = 22 человека было в компании.

Учитель: Можем мы теперь, решив эти две задачи, вернуться к решению задания №1?

Ученик: Да, можем. Эти две задачи нам показали, что первую задачу можно решить с помощью кругов. Главное правильно составить схему по условию.

Перевод на язык математики.

Учитель: Самостоятельно составьте схему условия данной задачи.

Обсудив условие, ребята приходят к затруднению, так как на схеме должно быть обозначение пересечения всех трех кругов, что обозначает количество ребят, которые увлекаются одновременно тремя видами спорта.

Ученик: Мы не знаем число ребят, занимающихся одновременно тремя видами спорта, его только нужно найти. Но число ребят, занимающихся только одним видом спорта, зависит от ребят, занимающихся всеми видами спорта.

Учитель: Как же мы поступаем, когда не знаем какой-то величины, но она фигурирует в записи условия, а в дальнейшем и в записи выражения по условию?

Ученик: Мы обозначаем такие величины за неизвестную.

Учитель: Хорошо. Что же в нашей задаче мы примем за неизвестную?

Ученик: Ребят, которые одновременно увлекаются тремя видами спорта, обозначим z. Тогда с этим условие, схема будет выглядеть так:

Решение проблемы.

По рисунку видно, что одним лишь видом спорта, баскетболом - занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z ребят, одним лишь хоккеем 8 - z, одним лишь волейболом 10 - z.

Можем составить уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят. Получим следующее уравнение:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 +5 + z = 38.

Решив это уравнение, получаем z = 2, значит, двое ребят занимаются тремя видами спорта. Складывая количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта, т. е. числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z, как мы теперь знаем, равно 2, найдем ответ на второй вопрос задачи: 21 человек увлекается лишь одним видом спорта.

Занятие №7 (фрагмент)

Тема: Графы. Вычерчивание фигур одни росчерком пера.

Цели: учить решать задачи на вычерчивание фигуры одним росчерком; ознакомить с понятием графа; вывести правило решения задач с помощью графов; учить решать задачи, применяя это правило; формировать умение анализировать и делать самостоятельные выводы.

III этап: Введение нового материала.

Постановка проблемы

Задание №1.(задача «о кёнигсбергских мостах») Почти триста лет назад в городе Кёнигсберге, располагавшемся по берегам реки Преголя (или Преголь) и на двух островах, было семь мостов. Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку пути?

Учитель: В сущности, для решения задачи, как вы думаете, что необходимо сделать, раз нам нельзя проходить по одному и тому же мосту дважды, как мы запомним, на каком мосту мы были, а на каком еще нет?

Ученик: Нужно чертить линию пройденного маршрута, тогда на тех мостах, по которым мы уже прошли на рисунке останется след, и мы будем помнить, что туда идти уже нельзя.

Учитель: Тогда что мы начертим, отмечая каждый мост, на котором были, если нам нельзя проходить по одному мосту больше одного раза?

Ученик: Мы начертим фигуру, при этом мы не прочертим ни одной линии этой фигуры дважды. Ведь линия обозначает, что мы уже здесь проходили, а значит, больше мы не имеем права проходить в этом месте, следовательно, и линии маршрута не могут быть прочерчены одна по другой.

Учитель: Каким образом можно вычертить фигуру так, чтобы не пройти по одному и тому же месту, но при этом мы не можем просто взять и переместиться с необходимое нам место, мы всегда оставляем за собой след (линию). Ведь мы не можем перелететь с одного берега на другой.

Ученик: Такую фигуру можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, при этом, не прочерчивая одну линию дважды.

Учитель: Такие задачи называются задачами на вычерчивание одним росчерком. Решим несколько таких задач.

Задание №2. Начертить, не отрывая пера.

Учитель: Получилось ли у вас начертить фигуры одним росчерком?

Ученик: Не все.

Учитель: Есть такие учащиеся, у кого получилось нарисовать все фигуры одним росчерком?

Ученик: Нет.

Учитель: Давайте сравним результаты, у кого какие фигуры получилось нарисовать одним росчерком.(Вызывает троих учеников к доске и каждый из них рисует все фигуры, которые у него получилось нарисовать одним росчерком)

Сделаем вывод, по данным на доске, какие же из фигур, данных на рисунке, можно начертить одним росчерком.

Учитель: Есть у кого-нибудь предположения, почему не можем остальные фигуры начертить таким же образом?

Учащиеся высказывают свои предположения, но так и не могут прийти к однозначному выводу.

Учитель: Чтобы понять, почему одни фигуры удалось нарисовать одним росчерком, а другие нет, рассмотрим их «сеть кривых». Сеть таких кривых называют графом (от греческого слова grapho - «пишу»). Точки, в которых соединяются кривые, называются узлами.

Посмотрите внимательно на рисунки. Как вы думаете, какие существуют виды таких узлов? От чего это зависит?

Ученик: Есть узлы, в которых соединяются две линии, три линии, четыре линии и пять линий.

Учитель: Правильно, как же тогда можно разделить все эти узлы на какие-то подгруппы, как вы думаете?

Ученик: Узлы, в которых сходится четное количество линий, и узлы, в которых сходится нечетное количество линий.

Учитель: Исходя из этого, как можно назвать эти узлы?

Ученик: Четные и нечетные.

Учитель: Правильно. Еще раз сформулируйте, какие узлы называются четными, а какие нечетными.

Ученик: Четным называется узел, в котором сходится четное количество линий. Нечетным называется узел, в котором сходится нечетное количество линий.

Учитель: Теперь, с учетом только что сформулированных определений и рисунков, попытайтесь вывести правило, с помощью которого можно было бы понять, можно данную фигуру нарисовать одним росчерком.

Учащиеся самостоятельно выводят правило и вместе формулируют его, на основании сформулированных ранее определений и применения этих определений к рисункам.

Ученик: Если в фигуре (на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком.

Учитель: Вы правы. Вы сформулировали важное правило, мы еще потренируемся его применять на практике. А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали наше занятие. Как же возможно ее решить с учетом сделанных нами выводов, воспользовавшись сформулированным правилом?

Ученик: Решим эту задачу, изобразив рисунок с помощью графа. Узлами обозначим берега и острова, и семь кривых, которые будут обозначать мосты.

Ученик: Если бы существовал искомый маршрут, то этот рисунок можно было бы вычертить одним росчерком.

Учитель: Вы правы. Долго бы спорили жители города, если бы через Кёнигсберг не проезжал великий математик Леонард Эйлер. Он заинтересовался спором и разрешил его. Подумайте, как мог рассуждать великий ученый?

Возможны различные варианты рассуждений, но после обсуждения всех вариантов должны прийти к следующему:

Ученик: Возьмем один из островов, например остров D. К нему ведут три моста. Допустим, прогулка начинается вне этого моста, тогда, поскольку по каждому мосту можно пройти только один раз, заканчиваться она должна на этом острове.

Учитель: Хорошо, но у нас еще есть два берега и еще один остров, еще пять мостов. Какие следует проводить рассуждения дальше?

Ученик: Рассмотрим теперь остров А. К этому острову ведет пять мостов. Допустим, прогулка началась вне острова А, тогда она должна закончиться на этом мосту, как и в случае с островом D. 5, как и 3 - число нечетное. Значит у каждого из островов нечетное количество мостов.

Но и на берег С, и на берег В также ведут по три моста, и к ним применимо то же рассуждение. Каждый из участков суши, обозначенных буква

ми А, В, С и D, будет либо началом, либо концом прогулки. Мы никогда не сможем, попасть в то место, откуда вышли, пройдя при этом каждый мост только один раз.

Учитель: Какой же можно сделать вывод из решения этой задачи?

Ученик: Задача об обходе мостов оказалась равносильной задаче о рисовании одним росчерком. Решение задачи о мостах доказывает, что изображенную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Так же обосновывается наше правило для любой фигуры.

Учитель: Мы с вами хорошо поработали. Вывели правило о возможности вычерчивания фигур одним росчерком, решили задачу о кёнигсбергских мостах, тем самым подтвердив сформулированное правило. Теперь потренируемся применять полученные знания на практике.

Занятие №8 (фрагмент)

Тема: Геометрия нитей.

Цели: установление опытным путем зависимости количества узлов и количества промежутков от вида шнура; применение этих свойств при решении задач.

III этап: Введение нового материала.

Учитель: Необходимо решить следующую задачу:

Задание №1. Из Нижнего Новгорода в Астрахань (и обратно) ежедневно, в один и тот же час, выходит по пароходу. По течению реки пароход проходит этот путь за 4 дня, а обратно (против течения) - за 5 дней. Сколько пароходов встретит на своем пути до Астрахани пароход, вышедший из Нижнего Новгорода? Каково минимальное число пароходов, необходимое для обслуживания этого маршрута?

Учащимся предлагается самостоятельно попытаться решить эту задачу. Через некоторое время обсуждаются возможные варианты решения. Так как решение этой задачи общепринятыми методами вызывает значительные сложности, учащимся, скорее всего, не удастся решить её. Учителю следует вместе с учащимися обосновать, почему не подходят для решения этой задачи уже знакомые методы (недостаточность данных и т.д.).

Учитель: Решение этой задачи можно провести совсем просто, используя свойства своеобразной «геометрии нитей». Так как нам эти свойства пока неизвестны, необходимо вывести их с помощью проведения опыта.

Учащиеся должны будут самостоятельно провести опыты, а затем сделать выводы из этих опытов, т.е. необходимые для решения данной задачи свойства.

Учащимся раздаются тонко скрученные шнуры (нити) и предлагается сделать на этих шнурах произвольное число узлов, не связывая концы шнура между собой (на открытом шнуре).

Учитель: Теперь, каждому необходимо подсчитать количество узлов и количество промежутков между ними на своем шнуре, а результаты сообщить мне для занесения в общую таблицу, изображенную на доске. Например:

Учитель: Оставим пока эту таблицу и проведем еще один опыт. Необходимо теперь выполнить то же задания, только теперь необходимо связать концы шнура друг с другом (для замкнутого шнура).

Эти результаты занесем в другую таблицу.

Учитель: Теперь внимательно посмотрите на обе таблицы сделайте выводы, как связаны между собой число узлов с числом промежутков для открытого и для замкнутого шнура.

Ученик: Для открытого шнура число узлов на единицу меньше числа промежутков, а для замкнутого - равно числу промежутков.

Учитель: Можно ли эти выводы оформить так, чтобы в дальнейшем удобно было использовать их на практике? Что для этого нужно сделать?

Ученик: Необходимо оформить это в виде свойства (формулы).

Учитель: Правильно, для этого необходимо как-то обозначить используемые величины. Какие величины нам важны? Как их можно обозначить?

Ученик: Число узлов и число промежутков. Возможны следующие обозначения: У - число узлов, П - число промежутков.

Учитель: Тогда как же можно записать наши выводы в виде свойств с учетом этих обозначений?

Ученик:

1) У - П = 1 - для открытого шнура;

2) У - П = 0 - для замкнутого шнура.

Учитель: Теперь вам необходимо записать свойство для открытого шнура с узлами на концах.

Ученики самостоятельно проводят опыт и устанавливают равенство:

У - П = 1 - для открытого шнура с узлами.

Учитель: Мы с вами вывели свойства для открытых и замкнутых шнуров с узлами. Теперь можно вернуться к той задачи, для решения которой мы их рассматривали. Прочитайте еще раз внимательно задачу и подумайте, как применить эти свойства по отношению к ней.

Ученик: Для того, чтобы мы могли применить данные свойства при решении задачи, необходимо одну из величин задачи обозначить «узлами», и какую-то величину обозначить «промежутками». В данном случае можно обозначить «узлами» пароходы, идущие по данному маршруту в указанный отрезок времени, а «промежутками» - отрезки пути, пройденного каждым пароходом за один день.

Учитель: Тогда каким свойством мы будем пользоваться в нашем случае?

Ученик: В обоих случаях, когда теплоход движется по течению реки и начинает движение против течения, в Нижнем Новгороде и Астрахани одновременно находятся пароходы. Поэтому будем рассматривать для открытого шнура с узлами на концах.

Учитель: Тогда как мы найдем количество узлов и промежутков для данной задачи?

Ученик: Количество промежутков при движении по течению реки равняется 4, количество промежутков против течения реки равняется 5, так как по течению теплоход идет 4 дня, а против течения 5 дней, а каждый день выходит еще по пароходу.

Учитель: Как мы это запишем?

Ученик:

П = 4 + 5 = 9.

И тогда, если мы пользуемся свойством для открытого шнура с узлами на концах, получаем следующее:

У - 9 = 1;

У = 10.

Учитель: На какой вопрос задачи мы сейчас ответили?

Ученик: Данный пароход встретит на своем пути 10 пароходов.

Учитель: Какое количество пароходов необходимо для бесперебойного обслуживания маршрута?

Ученик:

10 + 1 = 11 (пароходов).

Для бесперебойного обслуживания маршрута необходимо 11 пароходов.

Учитель: Мы вывели некоторые зависимости количества узлов и промежутков для замкнутого или открытого шнура. Эти зависимости, как мы с вами только что убедились, помогут нам в решении задач.

Заключение

1. Анализ психолого-педагогической литературы по теме исследование таких авторов как В.А.Крутецкий, Л.И.Божович, Ф.Отиа и др. показал актуальность данной работы и возможность организации обучения в 5 классе с применением проблемного метода. С 11-12 лет ребенок начинает проявлять способность к абстрагированию и начинает рассуждать в отвлеченной форме, в этом возрасте начинают проявляться математические способности, более всего необходимые для исследовательской деятельности. Проявление учащимися самостоятельности, так присущей подростковому периоду развития, может помочь при организации исследовательской деятельности, осуществляемой в рамках проблемного обучения.

2. Анализ методической литературы по математике следующих авторов: А.В.Фаркова, Т.Д.Гавриловой, Б.А.Кордемского, Н.А.Козловской, А.Я.Блоха с соавторами, Ю.М.Колягина с соавторами и других выявил, что в связи с маленьким опытом самостоятельного обобщения материала, необходимого при проблемном обучении, целесообразно применять метод проблемного обучения на внеклассных занятиях учащихся 5 класса. В этом возрасте надо развивать и укреплять интерес учащихся к математике и кружок, построенный с использованием метода проблемного обучения, является наиболее подходящей для этого формой внеклассной работы. На основании этого анализа отобран материал для проведения кружковых занятий с применением проблемного метода. Анкетирование учащихся 5 класса подтвердило, что подобранный для кружка материал соответствует познавательным интересам учащихся.

3. Ядром методических рекомендации по проведению математического кружка с применением проблемного метода является ;

4. Математический кружок для 5 класса с применением проблемного метода «Математическая шкатулка» включает занятия по следующим темам: уровень творческого мышления, задачи со спичками, математические ребусы, пересечение множеств, графы, геометрия нитей. Данные занятия направлены на развитие образного, логического и творческого мышления, развитие исследовательских умений школьников. По содержанию и методике проведения кружка были получены положительные отзывы учителей математики ГОУ СОШ №85 на проведенном заседании методического объединения.

Приложение 1

Задание№1. 16 спичками изображают крепость и окружающий ее ров, наполненный водой. Как при помощи двух шестов (спичек), длина которых как раз ровняется ширине рва, пробраться в крепость?

Задание№2. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын?

Задание №3. Мы с подругами отдыхали на турбазе в большой компании. Прибыв на место, мы обнаружили, что 12 человек привезли с собой бутерброды с колбасой, 5 - с сыром и 9 - с маслом. Трое сделали бутерброды двух видов: и с колбасой, и с маслом, а я захватила с собой бутерброды с маслом и бутерброды с сыром, но не оказалось ни одного отдыхающего, который привез бы бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром. Сколько человек было в нашей компании?

Задание №4. Начертить, не отрывая пера.

Задание№5. Перед вами стоят 6 стаканов: три с водой и три пустых. Дотроньтесь рукой лишь до одного стакана и добейтесь, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.

Задание№6. Вычислите: (2 + 4 + 6 + … + 2006) - (1 + 3 + 5 + … + 2005).

Задание №7. Имеется помещение квадратной формы, разделенное на 9 одинаковых комнат квадратной формы перегородками. Необходимо снести восемь перегородок так, чтобы осталось две комнаты квадратной формы , одна в другой.

Задание№8. Запишите 100

а) с помощью пяти единиц и знаков действий;

б) с помощью пяти пятерок и знаков действий;

в) с помощью пяти троек и знаков действий.

Задание№9. Проехав половину всего пути, пассажир лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир проехал бодрствующим?

Задание №10. Как из трех кошек сделать одну собаку?

Приложение 2

СУБТЕСТЫ № 1-3 «Вопросы», «Причины», «Следствия».

Задания первых трех субтестов выполняются на основе одного и того же стимульного изображения. При этом в первом субтесте обследуемому необходимо задать как можно больше вопросов для того, чтобы выяснить, что же происходит на картинке. Во втором -- выдвинуть как можно больше причин, которые могли привести к тому, что на ней изображено. В третьем субтесте требуется придумать как можно больше следствий, которые будут являться результатом происходящего на картинке.

Первые три субтеста связаны с «научным» (причинно-следственный) креативным мышлением. Субтест «Вопросы» позволяет проявить любознательность, чувствительность к неизвестной и недостающей информации, умение заполнять пробелы в существующих знаниях. Субтесты «Причины» и «Следствия» выявляют способность выдвигать гипотезы относительно причин и следствий различных событий.

СУБТЕСТ №4 «Улучшение предмета».

В четвертом субтесте обследуемому предлагается высказать как можно больше идей по поводу улучшения игрушечного слона, кото-рые сделали бы его более привлекательным для игры.

СУБТЕСТ №5 «Необычное использование».В пятом субтесте обследуемый должен придумтть как можно бо-льше способов необычного использования картонных коробок. Дан-ный субтест является кодификацией теста Дж. Гилфорда «Необыч-ное использование кирпича».

СУБТЕСТ №6 «Необычные вопросы». В шестом субтесте обследуемый должен придумать как можно больше вопросов о самых разнообразных и необычных свойствах картонных коробок. Данный субтест является адаптацией методики Р. Бекхата.

СУБТЕСТ №7 «Необычная ситуация».

В седьмом субтесте обследуемому предлагается картинка, на ко-торой изображена неправдоподобная ситуация. Его задача -- пред-положить как можно больше последствий этой невероятной ситуа-ции. Данный субтест является адаптацией методики Дж. Гилфорда. Он максимально стимулирует проявление фантазии.

Специальные инструкции к субместам.

При групповом тестировании в начале работы с каждый субте-стом психолог просит обследуемых (начиная с 4-го класса) открыть соответствующую страницу Альбома со стимульным материалом и вслед за ним читать про себя инструкцию.