Токарю нужно выточить деталь, имеющую две части. Длина одной из них 15,7 см, а другой 13,2 см. Найдите длину заготовки.

Рисунок на плакате:

Рис. 3

Учитель: Как найти длину заготовки?

(Предполагаемый ответ: чтобы найти длину заготовки надо сложить 15,7 см и 13,2 см).

Учитель: Чтобы решить задачу надо сложить две десятичные дроби. Вы умеете складывать десятичные дроби? (Нет) Что будем делать?

(Предполагаемый ответ: учиться складывать десятичные дроби).

Учитель: Как можно сформулируем тему сегодняшнего урока?

(Предполагаемый ответ: «Сложение десятичных дробей»)

Учитель: Запишите тему урока «Сложение десятичных дробей». Что необходимо знать по данной теме? (Ответы детей фиксируются на доске).

Итак, чтобы решить задачу надо сложить две десятичные дроби. Но вы пока этого делать не умеете. Какие числа вы уже умеете складывать?

(Предполагаемый ответ: натуральные числа, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями).

Учитель: Как можно решить данную задачу, умея складывать натуральные числа, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями?

(Предполагаемый ответ: 1) выразить 15,7 см и 13,2 см в миллиметры; 2) представить данные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями).

Учитель: Рассмотрим два способа решения задачи.

I способ.

15,7 см = 15 см + 0,7 см = 150 мм + 7 мм = 157 мм;

13,2 см = 13 см + 0,2 см = 130 мм + 2 мм = 132 мм;

15,7 см + 13,2 см = 157 мм +132 мм = 289 мм = 28,9 см.

II способ.

15,7 см = 15 см + 13 см = 28 см = 28,9 см

Как же выполняется сложение десятичных дробей?

(Предполагаемый ответ: десятые доли складываются с десятыми, единицы с единицами, десятки с десятками).

Учитель: Решите следующие примеры и сделайте вывод

1) 5,17 + 3,12;

2) 11,124 + 23,2 11.

(Предполагаемый ответ: если есть сотые доли, тысячные, то их тоже складывали друг с другом).

Учитель с учениками делают общий вывод: десятичные дроби складываются поразрядно, начиная с младшего разряда. Правило поразрядного сложения позволяет складывать десятичные дроби точно так же, как и натуральные числа «столбиком». Надо только внимательно писать числа, чтобы одноименные разряды оказались друг под другом.

Например:

Введение алгоритма сложения десятичных дробей

Надпись на доске. Вычислите: 3,7 + 2, 651.

Учитель: Чем данное задание отличается от предыдущих?

(Предполагаемый ответ: разное количество знаков после запятой).

Учитель: Как следует поступать в данном случае?

(Предполагаемый ответ: уравнять количество знаков после запятой).

Учитель: Почему вы так думаете?

(Предполагаемый ответ: при сравнении десятичных дробей с разным числом знаков после запятой мы уравнивали количество знаков, то есть получили 3,700 + 2,651).

Учитель: Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая была под запятой.

Выполняется сложение, как сложение натуральных чисел, не обращая внимания на запятую.

В полученном результате поставить запятую под запятыми обеих слагаемых.

Записать ответ.

Учитель предлагает учащимся самостоятельно записать алгоритм решения в виде таблицы.

Таблица 1

Алгоритм сложения десятичных дробей

План действий	Решение
1. Уравнять количество знаков после запятой	3,700 + 2,651.
Записать дроби друг под другом? Так чтобы запятая оказалась под запятой.
2. Выполнить сложение, как сложение натуральных чисел, не обращая внимания на запятую
3. Поставить запятую в сумме под запятой в слагаемых
4. Записать ответ	3,700 + 2,651=6,351

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [19].

5.2. Фрагмент урока для 5-го класса по теме

«Таблица умножения»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - урок закрепления изученного материала. Основная цель урока - закрепить понятие «умножение чисел» и сформировать умения и навыки использования таблицы умножения.

В основе разработки урока лежит коллективная форма деятельности учащихся класса. На этапе закрепления используются такие формы коллективной формы деятельности, как работа в парах, работа в цепочке и работа в динамических группах.

Оборудование: оценочная таблица.

Закрепление изученного материала - 10 мин.

Закрепление таблицы умножения предлагается провести в форме коллективной деятельности учащихся, которая делится на три этапа.

1 этап. Работа в парах. Каждый ученик по очереди произносит один пример на умножение, его партнер отвечает, затем наоборот. Учащиеся учатся работать в парах и осуществлять взаимоконтроль друг над другом.

2 этап. Работа по цепочке. Участвуют все учащиеся класса. Учитель называет пример, учащийся отвечает. Затем отвечает следующий сидящий за ним ученик. Контроль над ответами осуществляет учитель.

3 этап. Работа в динамических группах. Учащиеся осуществляют перекрестный опрос, занося результаты друг друга в выданную для этого специальную таблицу.

5.3 Фрагмент урока для 5-го класса по теме

«Единицы площади»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - урок актуализации знаний. Основная цель урока - расширить у детей понятийную базу о единицах измерения площади за счет включения в нее новых элементов - ар, гектар. Установить соотношения между всеми известными единицами измерения площади. В процессе данного урока у учащихся развивается умение преобразовывать крупные единицы измерения площади в мелкие и наоборот. Мыслительные операции: анализ, классификацию, внимание, математическую речь.

В основе разработки фрагмента урока лежит постановка перед учащимися класса проблемной ситуации и поиск путей ее решения. На уроке используются такие методы коллективной деятельности, как проблемная беседа, решение проблемно-поисковых задач.

Оборудование: доска, мел.

Актуализация знаний - 15 мин.

На этапе актуализации знаний учащиеся в ходе успешного выполнения задания на преобразование известных единиц измерения площади, натолкнулись на что-то непонятное, новое, сигнализирующее, что что-то не так.

Учитель: Какие вы знаете единицы измерения площади?

(Предполагаемый ответ: 1 кв.мм 1 кв.см 1 кв.дм 1 кв.м 1 кв.км)

Как вы это понимаете?

(Предполагаемый ответ: 1 кв.мм - это квадрат со стороной 1 мм; 1 кв.см - это квадрат со стороной 1 см и т.д.)

Установим взаимосвязь между ними.

(Предполагаемый ответ: в 1 кв.см - 100 кв.мм; в 1 кв.дм - 100 кв.см; в 1 кв.м - 100 кв.дм; в 1 кв.км - 10000 кв.м)

Учитель во время ответов детей вносит изменения в схему:

1 кв.мм 1 кв.см 1 кв.дм 1 кв.м 1 кв.км

\/ \/ \/ \/

100 100 100 1000000

Создание проблемной ситуации:

Учитель: Рассмотрите запись на доске:

500 кв.м; 400 кв.см; 3 а; 2 кв.дм; 7 га.

Сделайте запись в тетрадь, расположив эти величины в порядке возрастания. (Учащиеся пытаются выполнить задание, но не могут). Почему вы не справились? В чём трудность?

(Предполагаемый ответ: не знаем, что такое а, га).

А вы можете предположить, чем они являются?

(Предполагаемый ответ: наверное, это единицы площади, ведь они стоят в одном ряду с известными нам единицами площади).

Если это единицы площади, то какой второй вопрос возникает?

(Предполагаемый ответ: какую взаимосвязь они имеют с другими единицами площади?)

Итак, скажите, какая же тема урока?

(Предполагаемый ответ: Новые единицы площади).

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [19].

5.4 Фрагмент урока для 6-го класса по теме «Деление обыкновенных дробей»

Комментарии к уроку

Данный урок является обобщающим в серии уроков по теме «Деление обыкновенных дробей». Основная цель урока - закрепить навык деления обыкновенных дробей через дидактические игры, проверка знаний и коррекция. Подобранные задания позволяют учащимся так же развивать внимание, познакомиться с историей России, родного города, проявить смекалку и умение проверять и анализировать свои ошибки.

Для урока выбрана необычная форма проведения - урок-игра, благодаря которой были использованы такие приемы коллективной формы обучения, как работа в динамических парах и «ручеек». Использование коллективной формы деятельности на данном уроке помогает ребятам не только закрепить и обобщить знания по теме, но и развивает у них умение взаимодействовать между собой.

Оборудование:

1) карточки для игры «Лото»; 2) карточки-коррекции; 3) плакат «Города»; 4) карточки для самопроверки; 5) карточки с вариантами ответов для самопроверки.

Закрепление и обобщение изученного материала - 20 мин.

1. Учитель проводит игру «Лото», где ребята работают в динамических парах. Каждому выдается 1 карточка с примерами и на каждую парту 16 маленьких карточек с ответами. Ребята, решив пример, кладут на него карточку с ответом. После того, как каждый закрыл все примеры карточками с ответами, учащиеся меняются карточками друг с другом и проверяют правильность решения.

Ответы: I вариант: ; ; ; ; ; ; 0; .

II вариант: ; 3; ; ; 0; ;; .

2. Игра «Числовой фейерверк». Учитель выдает по одной карточке-коррекции на ряд (8-9 человек на каждом ряду). Каждая парта по очереди заполняет по одному место в числовом фейерверке, где стоит знак вопроса «?». Затем ребята передают карточку на следующую парту. Учащиеся на местах выполняют примеры (можно устно). Затем вызывается по одному человеку с ряда заполнить фейерверк.

Карточки - коррекции:

1)

2)

3)

Ряд, первым верно заполнивший фейерверк, получает вымпел «Знание - сила».

3. Устная работа. Учитель вешает на доску плакат с названиями городов и датами их основания. Предлагает ребятам самостоятельно определить:

а) Сколько лет Москве (861 лет), С-Петербургу (305 лет), Тольятти (271 год)?

б) Какой из городов старше других? (Москва)

в) Насколько Тольятти моложе Москвы? (на 591 лет).

Плакат:

Города основаны: Москва - в 1147г. Санкт-Петербург - в 1703г. Тольятти (Ставрополь на Волге)- в 1737 г.

Рис. 4

Проведение самоконтроля - 7мин.

Проверочная работа проводится в динамических парах. Учащиеся решают каждый свой вариант задания, а затем проверяют решение друг друга. Каждой паре дана так же карточка с вариантами ответов для I и II-го вариантов, при чем ответы записаны в хаотичном порядке. Каждому варианту ответа соответствует буква. Учащиеся, расставив буквы в порядке выполненных заданий, получат ответы на вопросы:

I вариант: Как называется хвостовая амфибия, обитающая на юго-востоке США, у которой отсутствует задняя пара конечностей? (Сирен).

II вариант: Как называется ящерица, которая использует свой язык для ориентации? (Варан).

Таблица 2

Вопросы
I вариант: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .	II вариант: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Варианты ответов
3	4	36		16					52
С	В	Е	А	И	Р	Н	Р	Н	А

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [5, 22].

5.5 Фрагмент урока для 6-го класса по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - обобщение и систематизация знаний. Его основная цель - закрепить основные понятия, связанные со сложением и вычитанием дробей с разными знаменателями.

Приведенный способ применения коллективной формы учебной деятельности учащихся подходит как для данной темы, так и для других тем уроков математики, алгебры или геометрии, которые являются обобщающими в серии уроков на выведение каких-либо правил, определений или теорем.

Оборудование: карточки.

Обобщение и закрепление знаний - 8 мин.

Готовятся карточки: на одной начало формулировки правила, на другой конец. Раздаются карточки всем учащимся. Произносят сначала те учащиеся, которые имеют карточки с началом формулировки, «откликается» тот учащийся, у которого на карточке конец формулировки. Правильность фиксирует учитель.

Карточки:

1. Начало: «При сложении дробей с разными знаменателями...».

Конец: «... нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить полученные дроби».

1. Начало: «Чтобы получилась дробь, равная данной…».

Конец: «…нужно числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число ».

2. Начало: «При приведении дроби к новому знаменателю…».

Конец: «…нужно ее числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель».

3. Начало: «Чтобы найти сокращение дроби…».

Конец: «…нужно разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от единицы».

4. Начало: «Чтобы дробь называлась несократимой…».

Конец: «…нужно, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми».

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [5].

5.6 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Формулы сокращенного умножения»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - введение нового материала. Данный фрагмент урока представляет собой исследовательскую работу учащихся, направленную на выявление общей формулы квадрата суммы и разности двучлена. Исследовательская работа не только вызывает огромный интерес у ребят, но и развивает их умение работать в коллективе.

Оборудование: таблица.

Закрепление изученного материала - 7 мин.

Учитель, сообщая цель урока, обращает внимание учащихся на то, что ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем все остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. И сегодня им предстоит сыграть роль исследователей в «открытие » двух из этих формул.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в динамические группы. Номер задания соответствует номеру группы. Учащимся предложено выполнить умножение двучлена на двучлен из левого столбца таблицы. После того, как ребята справились с заданием, они записывают полученный ответ в правом столбце. Средняя часть таблицы в момент выполнения задания скрыта от учащихся.

Таблица 3

1	( х + у) (х + у) =	(х + у)2	= х2 + 2 ху + у2
2	(c + d) (c + d) =	(c + d)2	= c2 + 2 cd + d2
3	(p + q) (p + q) =	(p + q)2	= p2 + 2 pq + q2
4	(2 + x) (2 + x) =	(2 + x)2	= 4 + 4 x + x2
5	(n + 5) (n + 5) =	(n + 5)2	= n2 + 10 n + 25
6	(m + 3) (m + 3) =	(m + 3)2	= m2 + 6 m + 9
7	( 8 + k) (8 + k) =	(8 + k)2	= 64 + 16 k + k2

Когда учащиеся заполнили таблицу, учитель просит их выяснить, есть ли нечто общее в условиях и ответах предложенных упражнений и можно ли выражения в левом столбце записать короче. Получив ответ, учитель обращает внимание на то, что они фактически уже приступили к исследованию темы урока. Класс переходит к обсуждению полученных результатов. Ребята замечают, что во всех случаях результатом умножения служит трёхчлен, у которого первый член представляет квадрат первого слагаемого данного двучлена, второй - удвоенное произведение первого и второго слагаемых, а третий - квадрат второго слагаемого. Такой анализ делает каждая группа и каждый вариант проговаривается вслух. В конце концов учащиеся без труда записывают общую формулу квадрата суммы двучлена. И быстро «открывают» формулу разности квадрата двучлена.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [1].

5.7 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Теорема о сумме углов треугольника»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель - сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника. При изучении данной темы используется проблемная ситуация, используя которую можно легко привести учащихся к трем различным способам доказательства теоремы о сумме углов треугольника, что придаст уроку и знаниям учащихся существенно новое качество.

Оборудование: чертеж.

Изложение нового материала - 13 мин.

Учитель ставит перед учащимися следующие проблемы:

ПРОБЛЕМА 1. «Как найти сумму углов треугольника?»

Естественное побуждение учеников - измерить углы и сложить их градусные меры.

ПРОБЛЕМА 2. «Как, не измеряя градусную меру углов, доказать, что их сумма равна 180є?».

На доске изображен данный чертёж

Отложим углы А и В от сторон угла С «по разные стороны от него». Получим угол MCN. Нужно доказать, что он равен 180є, т.е. является развернутым.

Из равенства внутренних накрест лежащих углов CBA и NCB, углов САВ и МСА следует параллельность прямых СМ и АВ; CN и АВ, ссылаясь на аксиому параллельных приходим к выводу, что прямые СМ и CN совпадают. Следовательно, угол МСN равен 180є.

II. В процессе доказательства замечаем, что угол В можно было не откладывать, он «сам отложился»: СМ | | АВ, поэтому углы NCB и СВА равны, как внутренние накрест лежащие. Отсюда и следует окончательный вывод.

III. Наконец, угол NCB можно даже на рассматривать. Отложив угол А и доказав, что СМ | | АВ, замечаем, что

А + В + С = МСВ + В = 180є, как сумма внутренних односторонних углов для параллельных прямых СМ и АВ и секущей СВ.

Решив данную проблему, учащиеся приходят к самостоятельному доказательству теоремы.

Указанные способы доказательства имеют и другие методические преимущества. Так I доказательство выявляет ведущую роль аксиомы параллельных в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника.

В доказательстве II, используя признак параллельных прямых и свойство параллельных прямых, мы приучаем учащихся различать прямую и обратную теоремы.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.8 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Признаки равенства треугольников»

Комментарии к уроку

Данный фрагмент показывает как можно применить методы организации коллективной деятельности учащихся на этапе закрепления знаний полученных по теме «Признаки равенства треугольников». Представленное задание не только вызывает огромный интерес у ребят, а кроме того развивает их умение работать в коллективе. Здесь использован прием коллективной деятельности под названием «ручеек». Подобные задания можно использовать на уроках математики, алгебры или геометрии при повторении или закреплении изученного материала.

Оборудование: кроссворд.

Закрепление изученного материала - 7 мин.

Эстафета: «Угадай кроссворд»

Правила игры:

С последних парт вперёд передаете кроссворд. В кроссворде пять понятий, каждая парта угадывает одно слово и передает дальше. Какой ряд быстрее угадает. После эстафеты проводится проверка результатов. Учитель заполняет заранее заготовленный на доске кроссворд (рис.1) под диктовку ребят.

Вопросы

1. Фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки (треугольник);

2. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник … (равнобедренный);

3. Перпендикуляр, проведенный из данной вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника (высота);

4. Отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (медиана);

5. Чем является медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника (биссектриса).

Рис. 6

Таким образом, ребята повторили признаки, основные понятия по данной теме и им предлагается использовать свои знания при решении задач.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.9. Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Квадратный корень из произведения»

Комментарии к уроку

Данный урок является уроком изучения нового материала по теме «Квадратный корень из произведения». Его основная цель - вывести формулу квадратного корня из произведения и сформировать опыт в выполнении исследовательских заданий.

Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят формулу квадратного корня из произведения и ее свойства. На уроке используются такие приемы коллективной формы обучения, как работа в динамических парах и самостоятельное проведение исследования.

Оборудование: «кросснамбер»; карточки с заданиями.

Подготовка к изучению нового материала - 7 мин.

Учитель: «Для начала - разминка. Она у нас сегодня тоже не совсем обычная.

Кросснамбер:

Рис. 7

Все любят разгадывать кроссворды, а мы займемся разгадыванием «кросснамбера», в нем все наоборот - даны буквы, а вам предстоит найти цифры и записать их под этими буквами:

По горизонтали:

Б) 112 + 10

Г) 172

Д) 10

Е) 6,63 102

Ответы: Б) 52; Г) 289; Д) 190; Е) 663.

По вертикали:

А)

Б) 14 =

В) 102 +

Ж) ()2

Ответы: А) 15; Б) 7; В)113; Ж) 64.

2. Учитель: «Очень хорошо, что вы знаете, что такое квадратный корень. Попросим одного ученика записать определение на доске, а в это время проверим, верны ли данные равенства (записаны на доске), и ответим на вопрос:

1) Почему?

= 4;

= - 4;

= - 3;

= 3;

= |- 5|;

Итак, какой вывод можно сделать? (Чтобы число являлось квадратным корнем другого числа, необходимо: 1) ; 2) ).

Таким образом, учащиеся самостоятельно вывели данные свойства.

Изучение нового материала - 15 мин.

Учитель: «А теперь приступим к нашей исследовательской работе: будем выводить новую формулу.

Для этого надо выполнить следующие задания. Учащиеся работают в динамических парах.

Вычислить:

1 вариант.

а) ; б) ; в) .

2 вариант.

а) ; б) ; в) .

(Ответы: а) 8; б) 15; в) 4).

Вопросы к классу - Что вы заметили при решении заданий?

· Как можно найти корень из произведения?

· Когда мы применяем это свойство?

А теперь попробуйте записать данные свойства в буквенном виде:

.

Каковы допустимые значения а и в? (Предполагаемый ответ: , )

А теперь докажем это утверждение, пользуясь определением, т.е. нам нужно доказать:

1) ;

2) .

Доказательство:

1) по определению , (по свойству чисел), тогда .

2) по свойству степеней, для любых имеем:

.

Еще раз формулируем свойство.

А если у нас не 2, а 3 или 4, или еще больше множителей?

Справедлива ли эта формула?

Приведите примеры.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [21].

5.10 Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Теорема Пифагора»

Комментарии к уроку

Тип данного урока относится к уроку изучения нового материала. Его основная цель - усвоение теоремы Пифагора и формирование умений применять теорему Пифагора при решении задач разной степени трудности.

В данном фрагменте представлен необычный способ проверки выполнения домашнего задания в коллективной форме. На этапе изучения нового материала учащиеся самостоятельно выводят формулировку теоремы Пифагора, а затем доказывают ее. Приведенный способ применения коллективной формы учебной деятельности учащихся подходит как для данной темы, так и для других тем уроков математики, на которых вводятся и доказываются теоремы.

Оборудование: таблица для проверки домашнего задания, тетрадь, ручка, карандаш, линейка.

Проверка домашнего задания - 5 мин.

На дом было задано начертить прямоугольные треугольники по известным катетам, измерить гипотенузу и заполнить таблицу. Проверка осуществляется путем заполнения таблицы, заранее приготовленной учителем на доске. (Под диктовку учащихся заполняется таблица 1 на доске).

Таблица 4

Катет	Катет	Гипотенуза
3	4	5
5	12	13
6	8	10
8	15	17

Такая коллективная форма проверки домашнего задания является одной из наиболее удачных. Перед всем классом поставлена общая цель: проверка результатов домашнего задания. Если у кого-то из ребят по ходу заполнения таблицы возникают вопросы, помочь с ответом сможет любой одноклассник. Учитель при этом только контролирует деятельность класса, заполняя таблицу и задавая наводящие вопросы.

Изучение нового материала - 10 мин.

Учитель начинает с того, что задает классу вопросы, при ответе на которые ребята могут высказывать смело свои предположения и совещаться друг с другом.

1. Как вы думаете, почему сумма катетов больше гипотенузы?

2. Останется ли треугольник прямоугольным, если увеличить или уменьшить одну из его сторон? Попробуйте сделать это в своих тетрадях.

3. Может ли катет быть длиннее гипотенузы?

4. Попадает ли каждая отдельная сторона прямоугольного треугольника в полную зависимость от двух других его сторон?

5. Сколько надо знать длин отрезков, чтобы построить прямоугольный треугольник?

6. Можно ли, зная лишь длину одной стороны, имея лишь один отрезок, построить прямоугольный треугольник?

7. Можно ли в прямоугольном треугольнике, зная длины двух сторон, найти третью?

8. Сформулируйте утверждение, позволяющее найти гипотенузу, зная длины катетов, в прямоугольном треугольнике.

После попыток ребят ответить на данный вопрос учитель дает историческую справку, непосредственно связанную с ответом.

На данном этапе ребята, отвечая на вопросы учителя могут рассуждать в слух, обсуждать вопросы с одноклассниками, приходя при этом к единому мнению. В ходе такой коллективной деятельности ребята самостоятельно приходят к открытию теоремы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формулировка теоремы записывается в тетрадь. Учитель предлагает ребятам попытаться самостоятельно доказать данную теорему.

На этом этапе разрешается обсуждение с соседом по парте. На это дается 5 - 7 минут, после чего учитель спрашивает у кого какие идеи. Ребята высказывают свои предположения, учитель их обобщает и записывает доказательство на доске под диктовку учеников, внося при этом, где это необходимо, свои коррективы.

Доказательство

Пусть АВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведём высоту СD из вершины прямого угла С.

1. Выразим cos A из прямоугольного треугольника ADC: .

2. Выразим cos A из прямоугольного треугольника AВC: .

3. Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию .

4. По основному свойству пропорции получаем .

5. Аналогично выразим cos В из прямоугольного треугольника CDB: .

6. Выразим cos B из прямоугольного треугольника AВC: .

7. Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию .

8. По основному свойству пропорции получаем .

9. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC2+BC2=AB (AD+DB)= AB2.

Теорема доказана.

При разработке данного урока была использована следующая литература: [2].

5.11 Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Четырехугольники»

Комментарии к уроку

Тип данного урока относится к уроку закрепления и систематизации знаний. Его основная цель - выявить экспериментальным способом свойства четырехугольников.

В данном фрагменте представлен необычный способ систематизации знаний - практический эксперимент. Учащиеся самостоятельно выводят свойства четырехугольников. В разработке описан такой прием организации учебной деятельности, как эксперимент.

Оборудование: бумага для оригами; сводная таблица.

Систематизация знаний - 10 мин.

Оригами и четырехугольники

В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы - от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты. Изучение превращений квадратного листа бумаги - один из наиболее интересных путей к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии, и не только.

Оригами - наглядная модель евклидовой геометрии. Поэтому на первом уровне знакомства с геометрическими фигурами оригами помогает открывать их свойства на интуитивном уровне, причем собираемая фигура может быть любой. Для первого знакомства даже желательно, чтобы она относилась к разряду занимательных фигур. Приведем текстовое математическое описание построения одной из фигур оригами.

1. Построить обе диагонали квадрата. Зафиксировать одну из них. На какие части одна диагональ делит квадрат? (Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника).

2. В каждом из двух прямоугольных равнобедренных треугольников построить все биссектрисы. Что такое биссектриса и как построить биссектрису перегибанием листа бумаги? Какую фигуру мы выделили внутри квадрата? (Ромб). В чем отличия ромба и квадрата?

3. Перевернуть квадратный лист бумаги и построить линии, проходящие через вершину ромба, отличную от вершины квадрата, так, чтобы вершина квадрата, отличная от вершины ромба, попала на диагональ квадрата.

4. Согнуть лист по другой диагонали квадрата. Из каких многоугольников состоит получившаяся фигура? (Равнобокая трапеция и равнобедренный треугольник).

5. Отогнуть один равнобедренный треугольник по линии, проходящей через верхнее основание трапеции. Какая фигура получится из двух равных равнобедренных треугольников? (Ромб).

6. Для каждого из треугольников построить все биссектрисы и согнуть полученную фигуру по оси симметрии.

Фигура готова (рис. 8)!

Рис. 8

Основной итог практической работы: с точки зрения оригами наиболее интересные линии в любом четырехугольнике - диагонали. С диагоналями чаще всего работаем при построении какой-нибудь фигуры. Результаты практических экспериментов заносим в таблицу (таблица 5). Приоритеты четырехугольников в оригами несколько отличаются от классического курса геометрии. Наиболее часто встречаются при построении квадрат, ромб и дельтоид.

Этот вид коллективной работы может быть прекрасно представлен на факультативном занятии по данной теме.

Таблица 5

Вид четырехугольника	Свойства четырехугольника, диагонали которого пересекаются
	Диагонали перпендикулярны	Диагонали равны	Число диагоналей, делящихся точкой пересечения пополам
Квадрат	+	+	2
Ромб	+	-	2
Прямоугольник	-	+	2
Параллелограмм	-	-	2

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.12. Фрагмент урока для 9-го класса по теме «Теорема синусов и теорема косинусов»

Комментарии к уроку

Тип данного урока систематизация и обобщение изученного материала. Его основная цель - систематизация знаний по пройденным темам.

В данном фрагменте представлен способ закрепления материала в форме коллективной деятельности.

Оборудование: сводная таблица.

Обобщение и систематизация изученного материала - 15 мин.

Коллективная работа в динамических парах. Ребята работают по двум блокам вопросов:

1) по теореме синусов;

2) по теореме косинусов.

Один учащийся из пары выполняет задания из первого блока, второй -из второго блока. Каждый заносит свой ответ в соответствующую колонку сводной таблицы (таблица 6), при необходимости можно использовать учебник. Затем ребята проверяют ответы друг друга, если находят ошибку записывают на их взгляд верное решение.

Итог работы класс подводит учитель вместе с учащимися по общей сводной таблице на доске.

Таблица 6

1 блок Теорема косинусов	2 блок Теорема синусов
1. Показать на чертеже треугольника угол между двумя сторонами.	1. Показать на чертеже стороны, противолежащие углам.
2.	2.
3. Вычитание векторов - геометрический способ.	3. Смежные углы и их свойство.
4. Скалярное произведение через длину векторов.	4. Проведение высоты в различных треугольниках.
5. Проекция наклонной (понятие, чертеж).	5. Формулировка теоремы.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.13 Фрагмент урока для 9-го класса по теме «Теорема об отрезках хорд, пересекающихся внутри круга»

Комментарии к уроку

Данный фрагмент представляет собой пример того, как можно путем постановки проблемного домашнего задания создать на уроке ситуацию, побуждающую учащихся к анализу своих действий и самостоятельному выявлению нового материала. Тема урока заранее не объявляется, а вытекает из проблемной ситуации. Так, тема урока становится проблемой, разрешение которой увлекает учащихся.

Оборудование: доска, мел.

Изучение нового материала - 15 мин.

Перед изучением темы учащимися предлагается дома решить следующую задачу:

Хорда AB, пересеклась с хордой CD в точке О, делится на отрезки АО = 45 мм и ОВ = 30 мм. Определить отрезок CD, если OD = 90 мм.

Урок начинается с проверки выполнения домашнего задания. Выясняется, что большинство учеников справились с работой, притом различными способами.

Одни построили отрезок АВ = 75 мм, отметили на нем точку О и отложили отрезок OD = 90 мм по трем точкам A, B, D построили окружность. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с этой окружностью.

Другие построили круг произвольного радиуса, в нем хорду АВ = 75 мм и на последней точку О. На окружности отметили точку D так, что OD = = 90 мм. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с окружностью.

Третьи построили чертеж и нашли отрезок СО из подобия треугольников AOC и BOD.

Каждый способ решения задачи ученики объясняли по своим же чертежам. Последний способ решения задачи отмечается учителем как самый рациональный.

Учеников, вероятно, очень удивит то, что, несмотря на произвольность угла пересечения хорд (в первом случае), радиуса круга (во втором случае) и различия способов решения задачи, они получили один и тот же результат: СО = 15 мм. Это убедит их в существовании определенной зависимости между отрезками пересекающихся в круге хорд. Еще раз обратившись к третьему случаю решения задачи, ученики сформулировали проблему: найти свойство отрезков пересекающихся хорд. Затем учитель называет тему урока и записывает ее. Построив чертеж, ученики составляют пропорцию из отношения сходственных сторон подобных треугольников. Используя основное свойство пропорции, они дают формулировку теоремы.

Таким образом, проблемная ситуация возникла в результате рассмотрения способов решения конкретной задачи.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.14 Фрагмент урока для 11-го класса по теме «Иррациональные уравнения»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель - ввести понятие иррациональных уравнений и развивать умение применять способы решения иррациональных уравнений. Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят алгоритм решения иррациональных уравнений и ее свойства. На уроке используются такие приемы коллективной формы обучения, как решение проблемно-поисковых задач и самостоятельное проведение исследования.

Оборудование: плакаты; карточки.

Изложение нового материала - 13 мин.

На магнитной доске висят карточки с уравнениями.

Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

Карточки:

Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?

Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.

Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

(Предполагаемый ответ: неизвестное находится под знаком корня).

Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.

Итак, построим алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.

Учитель объясняет алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.

1. Берет первую карточку с уравнением, прикрепляет к основной доске и решает его.

Решение.

Основной метод решения иррациональных уравнений - это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

2. Проверка.

При верное равенство.

При верное равенство.

3. Следовательно, числа -3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.

Ответ: -3; 3.

Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение: .

2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

Проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения?

Проверка.

При верное равенство.

При верное равенство.

Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.

(Ответ: 2).

Итак, получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число -1 в данном случае называется посторонним конем.

Вопрос к отвечающему: «Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?»

(Предполагаемый ответ: да, так как могут появиться посторонние корни).

Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.

Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?

(Предполагаемый ответ: возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень).

Учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?

Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.

Учитель: «Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни».

Закрепление изученного материала - 10 мин.

Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?

(Предполагаемый ответ: возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной).

Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.

Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.

Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на плакат

Плакат с уравнениями:



Рис. 9

Учитель: Как решить первое уравнение?

Выслушивает все варианты ответов. Если будут затруднения, вспоминает еще раз с учащимися определение арифметического квадратного корня и обратить внимание на доску с карточками, , где записаны условия выполнения равенства

(Ответ: уравнение не имеет решения).

Второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.

Третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему:

которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.

Плакат с решением уравнений:

Решение уравнений:

Рис. 10

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [37].

§6. Методические рекомендации для учителей математики средней школы

В этом параграфе сформулированы методические рекомендации для учителей математики по использованию коллективной формы организации учебно-воспитательного процесса. При этом был учтен опыт, полученный в период педагогической практики в школе на III - V курсах.

1. При построении учебного сотрудничества самих детей необходимо учесть, что выделяют четыре типа обучаемых, характеризующиеся определенной манерой поведения и специфическим предпочитаемым способом познания. Характеристику этих типов можно использовать по книге А.П. Панфиловой [24]:

Активист. Ему нравится учиться. Он любит узнавать что-то новое, получать инновационный опыт, хочет сам все испытать и во всем поучаствовать. Ему нравится быть в центре событий, проявлять инициативу, а не оставаться сторонним наблюдателем. Как правило, он откликнется на просьбу преподавателя первым участвовать в коллективной деятельности.

Мыслитель. Предпочитает сначала понаблюдать, поразмышлять, понять всю информацию до конца, а уж потом действовать. Склонен анализировать все, что увидел, долго размышлять над полученной информацией. Любит отрабатывать собственные подходы, испытывает дискомфорт, когда его торопят.

Теоретик. Ему присуще развитое логическое мышление и методичность, он шаг за шагом продвигается к решению проблемы, задает много вопросов. Для него характерен аналитический склад ума и потребность наблюдения за процессом со стороны.

Прагматик. При анализе ситуаций он сразу же стремится найти практическое решение, быстро все попробовать и перейти к действиям. Не склонен углубляться в теорию. Любит экспериментировать, искать новые решения. Обычно действует быстро, импульсивно и весьма уверенно.

2. При введении коллективной формы сотрудничества обучаемые оказываются перед необходимостью найти дополнительную информацию, следовательно, вынуждены задавать вопросы, преимущественно «восходящие»: «Что?», «Где?», «Когда?», «Зачем?», и т.п. Иногда ученики пытаются после двух - трех вопросов сразу же принимать решение. Учитель в этом случае может ставить принимаемые решения на обсуждение, предлагает обучаемым задавать вопросы авторам этих решений для выяснения их обоснованности. Основное назначение данного метода - развитие или совершенствование умений обучаемых, с одной стороны - принимать решения в условиях недостаточности информации, с другой - рационально собирать и использовать информацию, необходимую для принятия решения.

3. При оценке работы класса следует подчеркивать не столько ученические, сколько человеческие качества учащихся: терпеливость, доброжелательность, дружелюбие, вежливость. Оценивать можно лишь общую работу коллектива, ни в коем случае не ставить детям, работавшим вместе, разных оценок.

4. Порой коллективная работа требует перестановки парт. Для работы в динамических парах удобны обычные ряды, а вот при работе динамическими четверками, шестерками парты должны стоять так, чтобы ребятам, работающим вместе, удобно было смотреть друг на друга.

Ученики смогут сами подготовить класс к работе по составленному плану расстановки парт.

5. При организации коллективной работы необходимо учитывать противопоказания:

1) недопустима пара из двух «слабых» учеников;

2) ребят, которые по каким бы то ни было причинам отказываются сегодня работать вместе, нельзя принуждать к общей работе (а завтра стоит им предложить вновь работать вместе);

3) если кто-то пожелал работать в одиночку, необходимо разрешить ему отсесть и не позволять себе ни малейших проявлений неудовлетворения ни в индивидуальных, ни, тем более, в публичных оценках;

4) нельзя требовать абсолютной тишины во время совместной работы: дети должны обмениваться мнениями, высказывать свое отношение к работе товарища. Бороться надо лишь с возбужденными выкриками, разговорами в полный голос. В классе полезен «шумометр» - звуковой сигнал, говорящий о превышении допустимого уровня шума;

5) Овладение умениями учащихся необходимо фиксировать в индивидуальных листах контроля над их совместной деятельностью.

§7. Апробация материалов в период педагогической практики

В период преддипломной педагогической практики в средней школе № 49 г. Тольятти, проходившей с 11 февраля по 20 апреля 2008 года, было осуществлено апробирование приемов организации коллективной учебной деятельности учащихся 10 «Б» класса. В данном параграфе представлены разработки двух уроков различного типа по теме «Решение тригонометрических уравнений» с использованием коллективной формы организации учебной деятельности учащихся 10-го класса, а так же подробный анализ и выводы по результатам апробации.

7.1 Разработка урока изучения нового материала для 10-го класса по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Дата: 21.02.2008 г.

Школа № 49. Класс 10 «Б».

Общая тема: «Тригонометрические функции».

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели:

1. Ввести способы решения тригонометрических уравнений, приводящиеся к алгебраическим уравнениям.

2. Развивать представление о тригонометрических уравнениях, как об уравнениях приводящихся к алгебраическим уравнениям.

3. Воспитывать интерес к предмету при помощи методов коллективной работы учащихся.

Этапы урока:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Проверка выполнения домашнего задания - 3 мин.

3. Подготовка к изучению нового материала - 7 мин.

4. Изложение нового материала - 15 мин.

5. Закрепление нового материала - 10 мин.

6. Подведение итогов и постановка домашнего задания - 3 мин.

Оборудование: доска, мел, таблицы.

Не приводя конспект урока в целом, отметим, как была организованна коллективная форма учебной деятельности учащихся на уроке изучения нового материала.

На этапе подготовки к изучению нового материала учащимся были предложены следующие вопросы:

1. Что значит простейшая тригонометрическая функция?

(Предполагаемый ответ: простейшие тригонометрические функции - это числовые функции, заданные формулами y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x, называемые соответственно синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом).

2. Приведите пример простейшего тригонометрического уравнения.

(Предполагаемый ответ: а) б) ).

3. Приведите решения простых тригонометрических уравнений.

Предполагаемый ответ:

sin x = а
cos x =а
tg x = a

4. Вспомните основные тригонометрические тождества. Тригонометрическая единица.

(Предполагаемый ответ: sin2 a + cos2 a =1; cos2 a = 1 - sin2 a; sin2 a = = 1- cos2 a).

5. Как называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0.

Вспомните решение квадратных уравнений.

(Предполагаемый ответ: квадратное уравнение. .

Если D > 0 - 2 различных действительных корня.

Если D = 0 - 2 равных действительных корня.

Если D < 0 - нет действительных корней.

Для нахождения корней: ).

7. Когда произведение равно нулю?

(Предполагаемый ответ: когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть либо а = 0, либо b = 0).

На данный этап отводится 7 мин.

Этап изучения нового материала длится 15 мин. Он начинается с того, что перед учащимися ставится проблемная задача. На доске записано уравнение:

,

ребятам предлагается решить его самостоятельно. На раздумье даются 2 мин., после чего учащимся задаются вопросы:

1. Как Вы предлагаете решить данное уравнение?

(Предполагаемый ответ: как квадратное уравнение).

2. Как Вы считаете достаточно тех способов решения, которые Вы сейчас знаете, для того чтобы решить данное уравнение? Данное уравнение является простым? Можно назвать его квадратным алгебраическим?

(Предполагаемый ответ: Нет. Нужно сейчас сделать какие-то дополнительные действия, чтобы решить данное уравнение. Исходя, из этого взятое уравнение не является простым, но не является квадратным алгебраическим уравнением).

3. Чем это уравнение отличается от простого тригонометрического уравнения?

(Предполагаемый ответ: наличием квадрата).

4. Чем оно отличается от квадратного уравнения?

(Предполагаемый ответ: у квадратного уравнения неизвестным является переменная, а у этого уравнения аргумент функции).

5. Как Вы считаете, возможно, всю функцию sin x заменить, какой-нибудь переменной допустим y, т.е. sin x = y?

(Предполагаемый ответ: да).

Тогда на доске записываем получившееся уравнение на доске: