Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Причины устойчивых ошибок учащихся являются следствием:

а) психологических факторов (ослабление внимания, памяти, мышления);

б) несовершенства организации процесса обучения;

в) недостатков программ, учебников по математике.

В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы:

«Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?»;

«Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?»;

«Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще нецелесообразно?».[5]

Но продуманная работа над систематическими (устойчивыми) ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном случае учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.

Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале, приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.

Так, для определения а) и б) данных при описании типичных ошибок четвертого вида можно соответственно привести контр.пример, иллюстрирующий их ошибочность:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) Число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым числом.

б) Прямые а, b, с (рис. 15) лежат в одной плоскости, не имеют ни одной общей точки, но не являются параллельными.

Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.

Контр. примеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: «Приведите контр.примеры, доказывающие ложность следующих высказываний:

а) любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

б) сумма любого четного и любого нечетного числа есть число простое

в) любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;

Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Покажем, как можно это сделать на примерах.

1. Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:

а) построить произвольный треугольник;

б) соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.

После этой работы учитель говорит: «Такой отрезок называется медианой треугольника» -- и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.

2. Работая над понятием квадратное уравнение, полезно предложить учащимся заполнить таблицу 1.

Таблица 1

Уравнение	а	b	с	b2 -4ac	x1	х2	x1+x2	x1хx2
х2--6х--9=0
	2	7	3
4х2= - 7х
25x2 + 3=0
	3	0	-27

При такой работе закрепляются знания о параметрах квадратного уравнения, идет активное усвоение общей формулы корней и теоремы Виета.

Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математики соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:

1. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия.

2. Введение термина, обозначающего понятие.

3. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объем понятия.

4. Формулирование определения понятия.

5. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.

6. Систематизация знаний.

Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например:

1. Учащиеся 7 класса верно формулировали определения соответствующих понятий и теорем, но не смогли ответить на вопросы:

а) хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из нее треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;

б) почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;

в) почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°?

Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Пример.

В 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца).

Вопросы: «С какого числа начинается натуральный ряд чисел?», «На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?», «Конечен ли натуральный ряд чисел?» -- педагогически нецелесообразны.

Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: «Каково наименьшее натуральное число?», «Какое натуральное число предшествует 1?», «Назовите наибольшее натуральное число», «Почему а+1 обозначает следующее за натуральным числом а число?»

Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приемы мышления, такие, как подведение под понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.

К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приемами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: «Будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют 180°?», «Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?»

Ошибки, допущенные при распознавании объектов в указанных выше вопросах, обусловлены тем, что во всех случаях нет сведений о некоторых необходимых признаках, а школьники испытывают большие трудности при распознавании объектов в задачах с неопределенным составом условий. [2]

Для того чтобы учащиеся могли верно подводить объект под понятие в случаях конъюнктивной и дизъюнктивной структур определений, можно вместе с ними составить следующую схему распознавания.

1. Исходя из условий выбрать удобное определение понятия, под которое подводится объект.

2. Выделить в выбранном определении все признаки понятия.

3. Установить, какими логическими союзами связаны между собой эти признаки.

4. Если все признаки понятия связаны союзом «и», то для подведения объекта под понятие надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, если не выполнен хотя бы один признак, то объект не принадлежит к указанному понятию, если же все признаки выполнены, то объект принадлежит объему этого понятия.

5. Если все признаки понятия связаны союзом «или», то для установления принадлежности объекта объему понятия достаточно проверить выполнение хотя бы одного из этих признаков.

Систематическое, целенаправленное использование такой схемы распознавания объекта позволит избежать ошибок, допускаемых учащимися при осуществлении логического приема мышления -- подведения объекта под понятие.

Рассмотрим еще один вопрос, связанный с определением понятий.

Радикальное изменение содержания школьной математики привело в свое время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось усиленное внимание к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.

Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.

Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся. Приведем примеры.

Учащимся предлагается задание: «Вычислить (x)dx, если функция f(x) задана графиком (рис. 16)». Немногие учащиеся решат ее рационально, не вычисляя интеграла, а находя сумму площадей прямоугольника и трапеции.

Предупредить формализм в знаниях учащихся возможно за счет усиления связей интуитивно-опытных представлений с логической формализацией, а также за счет усиления наглядно-смысловой стороны изучаемых вопросов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование и оперирование графическими моделями понятий математического анализа есть эффективное средство преодоления и предупреждения формализма в знаниях, повышения прочности и осознанности знаний, развития должной интуиции у учащихся в понимании фундаментальных понятий и внутрипонятийных связей. Геометрический язык позволяет проводить пропедевтику основных понятий математического анализа, способствует формированию политехнических знаний и прикладных умений, содействует развитию у учащихся навыков моделирования явлений действительности. Результаты могут быть достигнуты без дополнительных затрат учебного времени. С этой целью задачи графического содержания достаточно использовать в качестве устных вопросов к традиционным вопросам курса.

Покажем, каким образом геометрическое истолкование понятия производной может способствовать правильному построению графиков функции с помощью дифференциального исчисления. (Мы проиллюстрируем тем самым реализацию внутрипредметных связей на уровне умений и навыков.)

1. График функции f (х) = х3 -2х2 + х должен быть таким, каким он изображен на рисунке 17. Учащиеся же представляют его в виде, изображенном на рисунке 18.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Функция f(х)=х2--х4 должна иметь график, изображенный на рисунке 23, а школьники строят ошибочно другие эскизы графика (рис. 19,20)

Эти ошибки происходят из-за того, что школьники при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение.

Действительно, график функции f(x)=x2--x4 (см. рис. 20) построен так, что в точках с абсциссами х=-- и х= к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная функции в этих точках существует (она равна нулю), а значит, проведение касательных возможно.

Следовательно, при построении графика функции школьники должны уметь сопоставить ход кривой в окрестностях экстремальных точек с тем, возможно ли проведение касательных или нет, причем в случае равенства нулю производной функции в этих точках касательные должны быть параллельны оси х.

3. Пусть нужно построить график функции f(x)=x4 -- 2х2 -- 3. Учащиеся оформляют проведенное исследование функции в виде таблицы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

До построения графика функции полезно сначала на координатной плоскости отметить точки (--1; --4), (0; --3), (1; --4) (рис. 22)

Учитывая, что касательные к графику функции в этих экстремальных точках параллельны оси х (это следует из равенства нулю угловых коэффициентов, так как f' (--1) = f'(0) = f'(1) = 0), проведем в этих точках прямые, параллельные оси х (рис. 22). Затем следует, согласно таблице, наметить ход кривой в точках (рис.23). Построение самого же графика функции явится завершающим этапом (рис. 24).[7]

Внутрипонятийные связи играют ведущую роль в образовании понятий а межпонятийные связи -- в его формировании.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формирование понятия более длительный процесс, чем его образование. Образование понятия связано с изучением овладения его содержанием, а формирование понятия характеризуется еще и овладением его объемом.

Содержательной стороной межпонятийных связей являются логические отношения, которые устанавливаются между понятиями. Остановимся на их характеристике. Дадим каждому из видов отношений соответствующее определение.

К основным отношениям между понятиями следует отнести: отношение тождества, отношение несогласованности, отношение подчинения, отношение соподчинения, отношение частичного совпадения. Эти отношения определяют структуру понятийного аппарата курса математики.

Определение 1. Понятия А и В тождественны, если полностью совпадают их объемы (рис. 25)

Например, понятия арифметическая прогрессия и линейная функция, заданные на множестве натуральных чисел, являются тождественными.

Определение 2. Понятие А называется несогласованным с понятием В, если их объемы не имеют общих частей (рис. 26)

Примером несогласованных понятий могут служить понятия треугольник и четырехугольник

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение 3. Если объем понятия А входит целиком в объем понятия В, то понятия А и В находятся в отношении подчинения. Понятия А- подчиненное, понятие В - подчиняющее (рис.27)

Этот вид отношения между понятиями имеет особое значение. Фактически здесь речь идет об отношении вида к роду. Многие же понятия в курсе школьной математики определяются через ближайший род и видовое отличие, т. е. определения строятся на отношении подчинения понятий. Примером такого вида отношений могут служить отношения между частными видами функций и самим понятием функции. Последнее выступает родовым по отношению к каждому конкретному виду функции. Другим примером может служить отношение между понятиями многоугольник и трапеция.

Определение 4. Если объем понятия А и объем понятия В входят друг в друга частично, то эти понятия находятся в отношении частичного совпадения (рис. 28).

В отношении частичного совпадения находятся понятия монотонная функция и нечетная функция. Действительно, есть функции одновременно монотонные и нечетные, есть функции монотонные, но не нечетные, есть функции нечетные, но не монотонные. В отношении частичного совпадения находятся понятия ромб и прямоугольник.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение 5. Если понятия А и В несогласованы, а их объемы целиком входят в объем Понятия С, то понятия А и В называются соподчиненными (рис. 29)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

математика алгебра геометрия межпредметный

Так, пусть С -- это рациональные выражения; А -- целые рациональные выражения; В -- дробные рациональные выражения. Понятия А и В в данном случае несогласованы, но объемы их целиком входят в объем понятия С, следовательно, они находятся в отношении соподчинения. В таком же отношении находятся понятия четырехугольник, трапеция, параллелограмм.

Мы рассмотрели различного рода связи между понятиями в зависимости от соотношения их объемов, но существуют отношения и другого характера. Например, отношения пространственно временные, отношения порядка, отношения количества и т. д.

Организовать необходимую ориентацию учащихся в учебном материале нужно не на основе наблюдения внешних проявлений понятий, а на основе анализа важнейших отношений между ними.

В первую очередь следует выделять отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов. Затем выделяются отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов математических объектов. Нет необходимости явно знакомить учащихся с межпонятийными отношениями, достаточно показать содержательно ограниченную сферу их использования.

Установление межпонятийных отношений должно строиться на основе сравнения и выявления различий и сходств между понятиями. Сравнение понятий может проводиться по схеме:

а) выделение признаков понятий;

б) установление общих и существенных признаков;

в) выбор одного из существенных признаков в качестве основания для сравнения;

г) сопоставление понятий по выбранному основанию.

При изучении понятий на основе сопоставления их существенных примаков выбираются сравнимые и несравнимые понятия. Сравнимыми понятиями считаются те, в содержание которых входят общие признаки

На основе анализа этих общих признаков делается вывод о наличии или отсутствии общей части объемов этих понятий и затем строятся различные классификационные схемы.

Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Они позволяют разом охватывать множество понятий, лучше проследить за развитием узловых понятий, видеть каждое из них в центре всех тех отношений, в которые оно вступает со всеми остальными.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти значительно дольше, чем отдельные предметы. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных усилий, хаотическое же их расположение требует значительных волевых усилий. Схемы, отражающие отношения между понятиями, позволяют лучше сохранить в памяти ученика учебный материал.

Построение подобных иерархий отрабатывается по следующей схеме:

а) выбор основания для классификации;

б) разбиение всего множества рассматриваемых объектов по выбранному основанию на группы;

в) установление внутригрупповых связей и отношений;

г) установление межгрупповых отношений;

д) построение модели системы понятий, имеющей определенную логическую структуру.

В схемах и таблицах выделяются не только элементы системы, но и отражаются системообразующие отношения между ними. Они выступают в качестве модели структуры материала в сознании ученика, а также играют роль средства усвоения результатов обобщений.

Выражаясь образно, они играют роль «дорожных указателей», облегчающих движение в «лабиринте понятий». [7]

Конструирование схем и таблиц проводится так, чтобы в них отражались генетические связи, которые определяют основное содержание и структуру всей темы; они должны быть легко читаемы, в них особым способом должны быть выделены основные смысловые элементы.

Ценность их состоит в том, что по мере дальнейшего изучения материала они могут периодически обновляться.

Динамичность подобных схем способствует развитию динамичности умственной деятельности школьников, выражающейся в их способности включать известные понятия, факты в новые связи и отношения, причем это включение идет не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу.

Методы работы с данными схемами могут быть различными: учитель проводит эвристическую беседу, выразив ее результаты в виде схемы; учитель предлагает учащимся план беседы, а затем по составленному плану проводит ее; учитель предлагает схему, по которой учащиеся самостоятельно проводят обобщение; учитель предлагаем самостоятельно обобщить материал и выразить результаты обобщения в виде схемы

К составлению систематизирующих таблиц и схем учащиеся должны подготавливаться постепенно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы и таблицы. После уяснения их основного назначения, существенных сторон их составления школьникам можно дать заполнение таких схем и таблиц. Этап самостоятельного конструирования явится завершающим. Следовательно, вначале учитель выполняет основную роль, а затем постепенно происходит вытеснение его участия самостоятельной работой школьников.

Схемы, которые можно использовать при работе с внутрипонятийными и межпонятийными связями, различают по их назначению, степени абстрактности и широте охвата учебного материала.

Так, например, по назначению выделяют схемы, объекта (они отражают структуру объекта) и схемы ориентации в объектах (они отражают взаимосвязи между объектами). Примерами схем объектов могут служить те, которые изображены на рисунках 16,17, примерами схем ориентации в объектах -- рисунке 30,31,32. [2]

Схемы объекта используются на этапе введения понятия и по способу взаимодействия связеобразующих элементов носят локальный характер. Схемы ориентации в объектах используются для тематического повторения и предназначены для систематизации и обобщения изученного учебного материала. Их ценность состоит в том, что они отражают то общее, что характеризует в сознании учащегося системные знания по изученной теме.[7]

2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач

Наиболее полное осуществление принципа дифференцированного подхода к каждому учащемуся реализуется в процессе решения задач. Первое и основное требование к подбору задач состоит в том, чтобы каждая из них носила творческий характер, способствовала пониманию учащимися основ теории, приобщению их к той или иной важной математической идее. Решение задач должно быть важным средством интенсификации процесса обучения математике. Именно задачи могут обеспечить органическое единство изучения всех тем курса математики.

Задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала на основе нового, решить старые задачи новыми методами; содержало в себе пропедевтику последующих тем курса.[3]

В настоящей статье мы хотим показать реализацию принципа тесной взаимосвязи между различными темами курса алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. Такая связь дает учителю возможность одновременно заниматься изучением сегодняшнего материала, повторением вчерашнего и подготовкой к освоению завтрашнего: тем самым каждая тема изучается не сама по себе, а в комплексе с другими. Это способствует развитию творческого мышления, экономии времени, интенсификации учебного процесса, лучшему усвоению материала, закреплению максимального количества навыков и умений.

Возможность осуществления этого принципа мы рассмотрим на примере решения задач, так или иначе связанных с темой «Многочлены».

В теме «Действительные числа» часто рассматриваются задачи на доказательство того факта, что данное число является иррациональным.

Пример 1. Доказать, что число а = 2 + 3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть а -- число рациональное. Тогда а2 = 5 + 26 и 6= -число рациональное. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно -- число а = 2 + 3 иррациональное.

Пример 2. Доказать, что число а = 32 + 33 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть aQ, тогда

а3 = 2 + 3 + З36 (32 + 33), а3 - 5 = За36

и 36 = (а3 -- 8) -- число рациональное. Мы снова пришли к противоречию, доказывающему, что 32 + 33 -- число иррациональное.

Заметим, что схема решения в обоих случаях одинакова. Предположив, что данное число рациональное после возведения в соответствующую степень, мы приходим к противоречию -- в одной части равенства получается число иррациональное, в другой рациональное.

Казалось бы, нет никаких преград для решения подобных задач с другими числовыми данными. Однако следующий пример показывает, что это не совсем так.

Пример 3. Доказать, что число х0 = 32 + 34 иррациональное.

Решение. После возведения в куб получается равенство

или , (2)

которое не дает возможности сделать заключение, подобное сделанному при решении примеров 1 и 2. Приходится искать новые пути решения. Один из таких путей появляется после изучения в теме «Многочлены» следующей теоремы и ее следствий:

Пусть несократимая дробь х0 =(pZ, qN) является корнем многочлена апхn + ап-1хn-1 + ... + а1х1 + а0 (ап 0) с целыми коэффициентами. Тогда р -- делитель а0, q -- делитель ап.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Всякий рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами является целым.

Теперь можно воспользоваться следующим алгоритмом для доказательства иррациональности числа а:

1. Составить приведенный многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число а.

2. Доказать, что он либо вовсе не имеет целых корней, либо ни один из его возможных целых корней не может быть равен а.

Возвратимся к примеру 3. Переписав равенство (2) в виде -- 6x0 -- 6 = 0, видим, что число хо = 32 + 34 является корнем приведенного многочлена х3 -- 6х -- 6. Число хо = 32 + 34 рациональным быть не может, так как иначе оно должно быть целым, но 2 < 32 + 34< 4, а число 3 корнем данного многочлена не является. Следовательно, х0 = 32 + 34 -- число иррациональное.

Заметим, что описанный способ может быть применен и при решении примеров 1 и 2.

Пример 4. Составить многочлен с целыми коэффициентами, один из корней которого 2 + З.

Решение: х0 = 2 + 3. Тогда . Искомый многочлен: х4 -- 10х2 + 1.

Решение примеров 2 и 3 может служить мотивом и для доказательства интересного утверждения: если aN, bN, то число

3a + 3b может быть либо целым, либо иррациональным.

Действительно, 3a + 3b является корнем приведенного многочлена (х3 -- (a+b))3 -- 27abx3. Это приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Он не может иметь других рациональных корней, кроме целых. Следовательно, если его корень xо = 3a + 3b не является целым, то он иррационален.

Пример 5. Доказать, что 323 + 3123 -- иррациональное число.

Доказательство. Рассмотрим неравенства

2,5 < 323 < 3,

4,5 < 3123 < 5,

7 < 323 + 3123 < 8,

т. е. число 323 + 3123 не является целым, а следовательно, оно иррационально.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся производят деление многочлена на многочлен. Умение производить такое деление может в последующем облегчить решение многих задач: нахождение асимптот, вычисление производных, интегралов и т. д.

Пример 6. Найти наклонную асимптоту графика функции

Решение. Произведя деление многочленов, получим:

х3 - 3х + 1 = х - 1 +

Так как , то наклонной асимптотой является прямая у = х -- 1.

(Решения такого типа используют в школах с углубленным изучением математики или лицеях)

Пример 7. Найти промежутки выпуклости графика функции

Решение. Деление многочлена 2х2 -- 3х + 1 на многочлен х -- 2 качественно облегчит нахождение второй производной:

Теперь легко находим:

y' = 2-, у" =

Следовательно, на промежутке (2; + ) график функции обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (- ; 2) -- выпуклостью вверх.

Преподавание таким образом станет интереснее, продуктивнее и будет соответствовать принципу интенсификации всего учебного процесса в школе.[7]

2.4 О взаимосвязях алгебры с геометрией

В обучении недопустим отрыв алгебры от геометрии. Напротив, когда нужно придать наглядность отвлеченным фактам и отношениям, когда нужны ускоренные методы решения задач и требуются надежные средства контроля, приходят на помощь геометрические представления.

Проследим, какие успехи уже достигнуты в отношении геометрических представлений в курсе алгебры и чего еще нужно добиваться в дальнейшем.

Уже в курсе математики 5 класса учащиеся, встречаясь с понятием «величина» и различных частных ее числовых значений, осмысливают отвлеченную схему геометрическими образами. Сюда относятся разного рода диаграммы: линейные, прямоугольные, столбчатые, секторные. Длины рек и высоты гор изображаются отрезками надлежащей длины; добыча угля, железа и тому подобного по годам -- прямоугольниками надлежащей высоты с равными основаниями; распределение земельных угодий, бюджет времени школьника и т. п. -- секторами круга, пропорциональными центральным углам. На этом этапе учащиеся знакомятся с масштабом. В данной связи нужно упомянуть чтение и в особенности составление планов и карт, укрепляющих идею пропорциональности.[8]

Весьма важный этап -- переход к использованию числовой о с и, на которой числовые значения величины изображаются точками. Числовая ось естественно и неизбежно употребляется в связи с введением отрицательных чисел; однако вполне возможно и желательно, чтобы учащиеся ради разделения трудностей знакомились с нею ранее введения отрицательных чисел. Тогда пришлось бы говорить о числовой полупрямой, или числовом луче.

Должно быть очень хорошо разъяснено, что положительные значения величины изображаются отрезками, отложенными от начала в одном и том же положительном направлении (вправо); но если начало всех отрезков одно и то же, то достаточно указывать лишь их концы; таким образом, оказывается, что значения величин изображаются точками. Раньше введения отрицательных чисел учащиеся должны усвоить изображение точками на луче дробных чисел, заданных в виде обыкновенных или десятичных дробей.

При введении отрицательных чисел луч продолжается влево, превращаясь в прямую (ось). При этом абсолютное значение числа, сравнение положительных и отрицательных чисел по величине и четыре основных действия над этими числами получают наглядное истолкование.

При выполнении упражнений следует подчеркивать, что числовая ось может быть использована при рассмотрении любой величины, независимо от ее природы: на числовой оси могут быть изображены не только длины рек, высоты гор и прочие линейные величины, но также площади государств, объемы сосудов, температуры, скорости передвижения различных видов транспорта и т. д.

Координатная плоскость в качестве отвлеченного объекта рассмотрения составляет пункт программы 7 класса; но в пропедевтическом порядке учащиеся встречаются с нею и раньше, в 6 классе, например, в связи с температурными графиками или графиками движения поездов. Координатная плоскость служит для изображения, в виде точек на плоскости, числовых значений пары величин (таковы в названных примерах «время -- температура» или «время -- пройденный путь»).

Усвоение соответствия между парами чисел и точками координатной плоскости, а также обратного соответствия (в первую очередь рассматриваемого в аналитической геометрии) не представляет затруднений для учащихся. Гораздо труднее ими усваивается соответствие между уравнением и его графиком -- геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Но это и во много раз важнее. Чтобы установить соответствие между данным уравнением и его графиком, у учащегося нет другого средства, как построить на чертеже (листе клетчатой бумаги) достаточное число точек графика и затем соединить их плавной кривой. Правда, в немногих простых случаях можно найти график путем логического рассуждения или, применяя более сильные средства (например, средства математического анализа), установить, по крайней мере, некоторые его свойства. Однако логика школьника на данном этапе еще недостаточно надежна, чтобы на нее можно было смело опереться; ограничиться упомянутыми простейшими случаями недостаточно, а усовершенствованных средств еще нет в распоряжении учеников.

Поэтому необходимо научить их при первой же встрече с координатной плоскостью строить графики уравнений по точкам. Это -- главная задача, которую должен ставить перед собой преподаватель, работая в классе с координатной сеткой. Конечно, имеется в виду усвоение координатного принципа; из него вытекают детализация, особенности частных случаев.[9]

В 7 классе, согласно программе, надлежит заниматься прямыми линиями; однако показывать в числе первых примеров также и простейшие криволинейные графики (например, обратную пропорциональность) было бы весьма желательно. По поводу прямых линий наиболее важно иметь в виду следующие замечания

1.Требование метрической точности (наличие числового соответствия между предложенной задачей и чертежом) должно быть выполнено во всех случаях.

2. Следует уделять особое внимание наклону прямых. Под «наклоном» нужно понимать то же, что угловой коэффициент, т. е. тангенс угла, который прямая образует с осью Ох. Для учащихся, еще не знающих тригонометрии, ; «наклон» есть коэффициент при х в уравнении, решенном относительно у; чтобы увидеть его на чертеже, достаточно найти на прямой две «вершинки» (лучше -- соседние) и, выделив прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, для которого отрезок между «вершинками» служит гипотенузой, взять (с учетом знака) отношение вертикального катета к горизонтальному.

3. Необходимо добиться умения находить отрезки, которые прямая образует на координатных осях.

4. Наиболее трудным для усвоения является навык: провести прямую через две точки с заданными числовыми координатами. В уравнении у=ах+b буквенные коэффициенты а и b следует считать неизвестными и подбирать их значения в соответствии с требованиями задачи: получается линейная система.

Свойства трехчлена второй степени (в 8 классе) должны быть рассматриваемы в теснейшей связи с его графиком.

После рассмотрения в 8 классе графика функции у= может быть в порядке обобщения рассмотрен график дробной линейной функции

с числовыми коэффициентами; этот график строится учащимися по точкам в порядке упражнений. В результате построения учащиеся увидят, что график дробной линейной функции есть уже знакомая им кривая -- гипербола. Вслед за этим учитель покажет учащимся, что построение графика дробной линейной функции легче выполнить после некоторых преобразований. Именно: для построения графика функции

предварительно выполняются следующие преобразования:

а) выделяется из дроби целая часть:

б) выносится за скобки коэффициент при х в знаменателе и записывается результат в виде:



Теперь ясно видно, что график данной функции может быть получен из графика функции

путем перенесения последнего вправо на единицы масштаба и вверх на единицы масштаба; асимптотами перенесенного графика будут служить прямые, полученные путем перенесения оси ординат и оси абсцисс соответственно на -т единицы масштаба вправо и на единицы масштаба вверх; поэтому построение графика данной функции сводится к построению графика функции , отнесенного к прямым и как к осям.

В 9 классе следует уделить внимание графикам показательной и логарифмической функции.

Преподаватель должен во время работы с графиками функций следить за правильным пониманием и активным употреблением учащимися терминов, относящихся к возрастанию и убыванию функций. Надо, чтобы учащиеся, постепенно осваиваясь с этими терминами, употребляли их в более сокращенной редакции. Например, сначала, глядя на чертеж, следует «поведение» функции

у=х2--6x +11

характеризовать словами: «при возрастании переменной х от 3 до бесконечности функция у возрастает от 2 до бесконечности, а при возрастании переменной х от минус бесконечности до 3 функция у убывает от бесконечности до 2; в дальнейшем можно говорить короче: «функция у возрастает при x>3 от 2 до + и убывает при х<;3 от + до 2». «При х=3 функция у принимает наименьшее значение 2», или «достигает минимум 2».

Следует отметить, что важное значение имеют и геометрические задачи, которые сводятся к решению уравнений, можно проиллюстрировать такими задачами.

Сущность слияния областей математики может быть показанa и в следующих примерах.

Задача. В игре «Зарница» участвовало 72% всех школьников города. Из числа участников 60% были мальчики, а остальные, на которых приходилось 9000 человек, -- девочки. Сколько школьников не участвовало в игре?

Данные задачи можно занести в таблицу

	Участвовало 72%	Не участвовало 28%
Девочки Мальчики	40%--9000 60%--?

Обычный путь решения -- найти количество участвовавших из чего количество неучаствующих может быть выведено путем умножения на .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Количество неучаствовавших: = 8750.

Геометрия может сыграть очень важную роль здесь, объясняя метод пропорции таким образом (рис. 33,а): точка D делит [ВС] в "отношении 72 : 28; точка Е делит [AD] в отношении 60 : 40. Площадь BED -- 9000 см2. Найти площадь ADC. Площадь каждого треугольника на диаграмме представляет группу учащихся (в масштабе: 1 см2 представляет 1 учащегося): Sabs -- представляет число мальчиков,

Sbed -- представляет число девочек,

Sadc -- представляет число не участвовавших в игре учащихся.

Эту ситуацию геометрически можно представить с помощью прямоугольников или параллелограммов (см. рис. 33, б). Этот квадрат получен из треугольника на рис. 33, а, где каждый треугольник BAD и ADC достроен до прямоугольника.[6]

Глава 3. Некоторые пути реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания

3.1 Обобщающее повторение как средство реализации внутрипредметных связей

В педагогической литературе существуют различные классификации видов повторения.

По временному признаку в начале учебного года, в различное время года, после изучения отдельных тем, разделов учебного материала; в конце учебного года всего курса.

По основной дидактической цели: опорное; первично закрепляющее; подкрепляющее (предупреждающее), корректирующее; углубляющее; обобщающее -- систематизирующее.

По частоте использования: эпизодическое; периодическое; регулярное.

По месту в процессе усвоения:

Повторение, предшествующее изучению нового материала, при котором вспоминаются те факты из ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения нового.

Повторение, сопутствующее изучению нового материала; этот вид повторения ставит своей целью восстановить в памяти ученика те знания, которые входят в содержание вновь изучаемого, а так же провести сравнение, сопоставление и установление логических связей ранее пройденного и нового материала.

Повторение следующее за изучением нового материала и обеспечивающее закрепление полученных знаний, выработку твёрдых умений и навыков; этот вид повторения особо направлен на систематизацию и обобщение полученных знаний с целью их дальнейшего, более эффективного использования.

Обобщение в сознании учащихся при существующей структуре курса и используемой технологии обучения сами по себе, произвольно не возникают. Школьники не всегда осознают, что любому теоретическому материалу изучаемого курса присуща определенная система. Отсутствие у учащихся умения обобщать есть одна из основных причин слабого овладения ими системой знаний. Поэтому на определенном этапе обучения необходимы перекомпановки, соподчинения, систематизации материала, появление новых связей и отношений между элементами изученной суммы знаний.[7]

Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания. Если в какой-либо теме учебного курса слабо будут реализованы внутрипредметные связи, то обобщающее повторение призвано устранить этот недостаток; с его помощью можно устранить те связи и отношения между элементами знаний, которые ранее не были раскрыты.

Дадим классификацию обобщающих повторений исходя из их содержания, максимально ориентированного на учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Обобщающее повторение рассматриваем на уровне: понятий, системы понятий и теорий. Наиболее сложным является организация обобщающего повторения на уровне теорий в связи с чем первые два уровня в большей степени приемлемы в обучении учащихся младших и средних школьных возрастов, последний же дает большой эффект в основном лишь в старших классах.

На повторно - обобщающие уроки следует выносить прежде всего материал, знакомящий учащихся с ведущими идеями курса и имеющий важное мировоззренческое значение, а так же материал, который впоследствии из предмета изучения перерастет в средство изучения. Объектами обобщения могут быть понятия, методы доказательства теорем, методы решения задач и т.д. Содержание обобщающих повторений можно строить либо на системе упражнений, либо на сочетании теоретического и практического материала.

Остановимся на характеристике выделенных уровней обобщающего повторения.

1. Обобщающее повторение на уровне понятий.

Обобщающее повторение на уровне понятий позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. На данном уровне обобщающего повторения отрабатываются опорные знания темы в аспекте тех связей и отношений, которые были использованы при первоначальном изучении материала. Большую роль в организации этого вида повторения играют внутрипонятийные связи.

Задания, используемые на повторно -- обобщающих уроках такого типа, по своим функциональным назначениям можно разделить на следующие группы:

Способствующие воспроизведению факта, закона, алгоритма, формулировок определений и теорем.

Требующие анализа какого-либо факта, закона, ситуации.

Формирующие умения самостоятельно иллюстрировать теоретические положения примерами, в том числе и из практики.

Приводящие к синтезу знаний и их обобщению.

Развивающие мышление учащихся.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приведем примеры знаний, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне понятий в различных темах школьного курса математики.

1. При обобщении темы «Многогранники» курса геометрии 11 класса учащимся может быть предложено такое задание.

Существует ли четырехугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

Ответом может служить рисунок 34. В пирамиде SABCD грани SBC и SAD перпендикулярны основанию ABCD. (Искомая пирамида получена из треугольной пирамиды SKCD, у которой грани SCK и SDK перпендикулярны основанию - KCD.)

Для проведения обобщающего повторения по теме „Производная" можно повторить определение производной, алгоритм нахождения производной функции по определению, основные правила и формулы, связанные с производной.

2. Для того чтобы обучить учащихся различать свойства и признаки понятий, полезной при организации обобщающего повторения на уровне понятий окажется работа по переформулированию теорем в условной форме: «Если..., то...».

Действительно, как узнать о свойстве или о признаке идет речь в теореме? На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие окажется в заключение теоремы, то она выражает признак. Покажем на примерах.

a) Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Переформулируем теорему из категорической формы в условную. Будем иметь: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Так как понятие прямоугольный треугольник оказалось в условии теоремы, то теорема выражает собой свойство этого понятия.

b) Теорема: «Треугольник, у которого углы при основании равны, равнобедренный». Сформулируем теорему в терминах «если..., то...». Будем иметь: «Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный». Так как понятие равнобедренный треугольник оказалось в заключение теоремы, то эта теорема выражает собой признак.

Заметим, что некоторые теоремы одновременно выражают как свойство, так и признак одного и того же понятия. Так обстоит дело в последнем случае; сформулировать теорему в виде: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны», мы имели бы свойства равнобедренного треугольника.[7]

2. Обобщающее повторение на уровне системы понятий.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умение сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, т.е. устанавливать подчиненность вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит либо обогащение и расширение ранее изученных понятий.

Если на уровне понятий обобщающее повторение организовывалось с помощью методов наблюдения и сравнения, то на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это дает возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что еще более существенно, по отношениям между ними.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предлагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определенные записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определенную структуру.

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

1. В теме «Сумма углов треугольника» курса геометрии 7 класса центральными являются признаки и свойства параллельных прямых, теорема о сумме углов треугольника.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учитель может для обобщающего урока заготовить четыре чертежа (рис. 35 -- 36), по которым учащимся будет предложено доказать теорему о сумме углов треугольника. Доказательства, проводимые по каждому из рисунков, подключают каждый раз другой набор знаний, полученных школьниками в этой теме.

В случае, изображенном на рисунке 35 школьники используют свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, понятие развернутого угла; в случае изображенном на рисунке 36, в работу подключается понятие вертикальных углов и их свойства.

Остановимся более подробно на доказательстве теоремы по рисунку 38.

Дано: ABC. Доказать: A+B+C=180°.

Доказательство.

Проведём прямые AD, BF и ЕС, перпендикулярные прямой АС. Так как ADAC и ECAC, то AD||BF.

Так как BFAC и ECAC, то BF||ЕС AD||EC.

5+1=90°, 6+4=90°. 5+1+6+4=180°. (*)

При такой работе над центральной теоремой курса геометрии учащиеся сами устанавливают связи между элементами знаний.

2. Выше отмечалось, что организация обобщающего повторения на уровне системы понятий ставит цель сформировать у учащихся умение подводить объект под понятие. Зачастую, если речь идёт о теоремах, выражающих свойства и признаки понятий, учитель ограничивается повторением формулировок теорем в том виде, в котором они давались при первоначальном введении. Больше же пользы может оказать переосмысление теорем в виде указаний к их использованию.

Таким образом, можно поступить, например, при обобщении тем «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей в курсе стереометрии 10 класса.

1) Если надо установить параллельность двух плоскостей, то следует

проверить одно из условий:

найдутся ли в одной из плоскостей две прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым в другой плоскости;

найдется ли плоскость, параллельная каждой из двух данных плоскостей;

найдется ли прямая, перпендикулярная каждой из двух плоскостей.

2) Если надо установить перпендикулярность прямой и плоскости, то следует проверить одно из условий:

будет ли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости;

будет ли эта плоскость перпендикулярна прямой, параллельной данной плоскости;

будет ли прямая перпендикулярна плоскости, параллельной данной плоскости;

будет ли прямая перпендикулярна линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей, одна из которых данная, а в другой лежит эта прямая.

Аналогично можно поступать и в случаях установления параллельности прямой и плоскости, параллельности двух прямых, перпендикулярности двух плоскостей, перпендикулярности двух прямых.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но недостаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей, то систематичность знаний -- реализацию объемных связей, получаемых путем структурирования линейных. Объемные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

3. Обобщающее повторение на уровне теорий.

На уровне теорий обобщающее повторение дает определенную трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе. На этом уровне все большее место начинает занимать обобщение и конкретизация в их единство.

Основная сущность обобщающего повторения данного вида состоит в том, что строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений, понятий, выясняется не столько содержание понятий, сколько их происхождение, и анализу подвергается природа самих понятий.

Приведем примеры обобщающего повторения на уровне теорий.

В курсе "Алгебра и начала анализа" при обобщении материала темы "Производная" на уровне теорий можно с позиции теории дифференциального исчисления показать учащимся, как с помощью понятия производной получают единую трактовку такие понятия, как скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного движения и т. д.

Целесообразно так же более тесно связать понятие производной с такими содержательно -- методическими линиями курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований.

Понятие производной функции может быть использовано при доказательстве тождеств, усилится прикладная направленность курса, расширится класс решаемых задач.

Рассмотрим решение задачи, которая может быть предложена учащимся.

Докажите, что для всех неотрицательных х справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию

на промежутке [0;).

Найдём производную этой функции:

При любом значении х >0 справедливо неравенство f (х)>0. Это значит, что на промежутке (0;+) функция f(x) возрастает. В то же время замечаем, что функция f(x) на промежутке х>0 есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что она на левом конце этого промежутка при х=0 принимает своё наименьшее значение.

А так как

то для любого х0 f(x)0, т.е.

откуда

Рассмотрим ещё один пример обобщающего повторения на уровне теорий.

Обобщая материал о применении производной к приближённым вычислениям, можно показать учащимся идею линеаризации функции. Суть этой идеи состоит в следующем.

В случае непрерывности функции у=f(x) в некоторой точке х0 её значения для всех значений аргумента из достаточно малой окрестности точки х0 приближённо равны значению f(x0). Если же к свойству непрерывности функции в точке х0 добавить ещё одно свойство, а именно её дифференцируемость в этой точке, то значения функции y=f(x) в достаточно малой окрестности точки х0 приближённо могут быть заменены значениями некоторой линейной функции y=kx+b (как впоследствии будет выяснено, это уравнение есть уравнение касательной к кривой y=f(x), проведённой к ней в точке с абциссой х0).

Фактически это следует из разложения функции в ряд Тейлора. Действительно, пусть мы имеем разложение