Если бы функция f(x) в точке x0 обладала лишь свойством непрерывности в точке x0, то мы имели бы приближённое равенство f(x)f(x0).

Если же функция f(x) в точке x0 имеет первую производную, то приближение будет более точным; к правой части равенства f(x)=f(x0) добавится ещё одно слагаемое

т.е. имеет место приближённое равенство:

При наличии второй производной функции f(x) в точке х0 будем иметь

Следовательно, если функция бесконечно дифференцируема, то приближение может быть сделано с любой степенью точности.

Однако в курсе алгебры и начал анализа рассматривается лишь понятие первой производной. Поэтому при изучении применений производной к приближённым вычислениям ограничиваются лишь двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора, т.е. используют приближённое равенство:

Обобщение формулы

на уровне идеи аппроксимации даёт представление о решении этих вопросов. Если функция имеет производные любого порядка, то её можно приблизить многочленом с какой угодно точностью. Так получаются ряды для функций

sin х , cos x , е х , 1n x ...

Геометрически это означает, что график функции n-раз, дифференцируемой в точке х0, вблизи этой точки можно приближённо считать графиком некоторого многочлена n-ой степени.

Конечно, в школьном курсе нет возможности рассматривать с учащимися этот вопрос в таком общем плане. Но внимание к постановке задачи, отдельные примеры не только расширяют кругозор учащихся, но и помогут преодолеть некоторые методические трудности.

Одной из таких трудностей, как показал опыт, является переход от равенства

к равенству

Возникновение этой трудности можно предотвратить уже при постановке проблемы, если начать изложение примерно таким пояснением: «Вы знаете, что для функции f(x), непрерывной в точке х0, выполняется равенство

С другой стороны, если функция в некоторой точке х0 имеет предел, то её значения вблизи х0 приближённо равны этому пределу, т.е. для хх0.

Отсюда следует, что для непрерывной в х0 функции её значения вблизи х0 можно приближённо вычислять по формуле f(x)=f(xo).

то теперь вывод формулы получается без особого труда: так как

то для х0 выполняется равенство

отсюда

Такой подход к обобщению материала по применению производной к приближённым вычислениям позволяет представить перед учащимися формулу

f ( х 0 + х) f ( х 0 ) + f ' ( х 0 ) х

как частный случай решения общей задачи приближения функции многочленом, что даёт заменять сложные вычисления простыми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для наглядности иллюстрации формулы можно использовать геометрические примеры.

Рассматриваем приращение площади круга (рис. 39). Пусть радиус круга ОА=r.

Тогда площадь его, как функция радиуса, выражается формулой S(r)=r2.

Дав радиусу приращение r, можем заметить, что S(r)~2rr, т.е. площадь заштрихованного кольца приближённо равна произведению длины окружности радиуса г на ширину кольца (приращение r).

Множитель 2r, стоящий в правой части равенства, есть производная функции S(r), так как S'(r)=2r. Мы снова имеем формулу S(r)S'(r)r. Чем тоньше кольцо, т.е. чем меньше r, тем меньше будет погрешность при замене площади кольца выражением 2rr.

Если учащиеся усвоят, что формула f(x0+x)=f(х0)+f(х0)х даёт возможность приблизить всякую дифференцируемую функцию некоторой линейной, то это даст возможность разъяснить не только получение уравнения касательной.

Традиционно касательную трактуют как предельное положение секущей. Однако остаётся вне поля зрения важнейшее свойство касательной: касательная из всех прямых, проходящих через точку с абсциссой х0, теснее всех прилегает к кривой. Такая трактовка сразу же позволяет использовать формулу f(х0+х)f(х0)+f(х0)х. Касательной к графику функции y=f(x) в точке х0 является график той линейной функции, которая приближает f(x).[8]

Рассмотрев эту приближённую формулу, при изучении вопроса о касательной к графику функции учащимся целесообразно сообщить, что геометрический смысл этой формулы состоит в том, что ордината точки графика функции f(x) заменяется ординатой соответствующей точки касательной.

Проиллюстрируем формулу f(x0+x)f(x0)+f(х0)х несколькими примерами.

Известно, что значение синуса для достаточно малых значений аргумента приближённо равно значению аргумента. Это свойство связано с только что рассмотренным геометрическим смыслом приближённой формулы f(х0+х)f(х0)+f(х0)х.

Действительно, построив график функции y=sinx и проведя касательную к этому графику в точке (0;0) (рис.40), мы замечаем, что ею будет служить прямая у=х. И тогда при вычислении значений синуса малых углов мы заменяем искомую ординату точки графика y=sinx ординатой соответствующей точки касательной, а так как касательная есть у=х, то искомое значение синуса мы заменяем соответствующим значением аргумента. Так, вычисляя значения синуса для угла в один градус, мы, переводя градусы в радианы, будем иметь: sin l°sin 0,017-0,017.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подобную картину мы наблюдаем и в случае вычисления для малых углов значений тангенса. В точке (0;0) касательной к графику функции тангенса будет прямая у=х (в этом можно убедиться, подставив в формулу уравнения касательной y=y0+f (х0)(х-х0) необходимые значения у0, х0, f(x0) для функции y=tg х.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда вычисляя значения тангенса для малых углов, мы приближённо заменяем эти значения, значениями аргумента, выразив их предварительно в радианах.

Последние два примера могут быть использованы учителем при изучении производных тригонометрических функций.

Замечание 1. Для приближённого равенства sinx=x характерно то, что для малых положительных значений аргумента х значения синуса подсчитаны с избытком. На рисунке 40 график функции y=sinx расположен для х>0 ниже прямой у=х.

Замечание 2. В случае тангенса его значения для малых положительных углов подсчитываются с недостатком. На рисунке 41 график y=tg x расположен для х>0 выше прямой у=х.

Обобщающее повторение на уровне теорий непосредственно освещает полученные знания не только в плане внутрипредметных связей, но и межпредметных, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиции одной какой-нибудь теории. На уровне теорий обобщающее повторение вызывает у школьников широкие межсистемные ассоциации, что позволяет им осуществлять систематизированный перенос знаний из одного учебного предмета в другой.

Основная задача при обобщающем повторении на уровне теорий -установление общих закономерностей, причинно-следственных отношений, применение общих положений к конкретным фактам, умение самостоятельно проводить объяснение и выдвигать гипотезы.

Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией. Для проведения обобщающего повторения на уровне теорий недостаточно использовать только одну какую-нибудь группу понятий; требуется применение системы различного рода общих понятий и раскрытие этих понятий с единых теоретических позиций при использовании основополагающей идеи.

На этом уровне обобщающего повторения можно проследить путь развития того или иного закона, распространение некоторых из них на новые объекты и отношения между ними, выяснить границы применимости изученных законов.[8]

3.2 Сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей

Значительное влияние на реализацию внутрипредметных связей, на формирование системы знаний оказывает изложение материала в учебниках и методы, с помощью которых этот материал преподаётся. Существенное значение имеет метод сравнения.

Рассмотрим пример. Если мы хотим сформировать у учащихся понятие функции, то, естественно, следует подобрать такие зависимости переменных, чтобы некоторые из них были бы функциями, а некоторые нет. Только на основе сравнения возможно вычленение из множества всех зависимостей тех, которые являются функциональными.[7]

Следует заметить, что учащиеся зачастую, сравнивая два объекта по сходным внешним данным, несущественным свойствам, допускают ошибки, связанные с переносом свойств одного объекта на другой (т.е. используется метод аналогии, который не имеет статуса метода доказательства). Для подтверждения приведём примеры. 1. Учащимся 11 классов предлагалось решить два уравнения:

а)

б)

Первое уравнение школьники решили верно. Вот решение:

1gx-lg 0,4 = lg0,7

lgx = lg 0,7 + lg 0,4

lgx = lg (0,70,4)

lgx = lg 0,28

x = 0,28

Второе уравнение все учащиеся решили неверно; решение его проводилось по той же схеме, что и решение первого.

lg х + lg 0,5 = lg 0,25

lg x = lg 0,25 -lg 0,5

1g x = 1g

lg x = lg 0,5

x = 0,5

Но заметим, что во втором уравнении нужно использовать тождество, известное учащимся из 8 класса:

и тогда решение второго уравнения было бы таким: 1g+|lg0,5|=lg0,25.

Так под знаком десятичного логарифма стоит число 0,5, меньше единицы, то значение lg0,5 по знаку отрицательно, а значит:

1gx-lg0,5=lg0,25

1gx=lg0,25+lg0,5

lgx=lg(0,250,5)

lgx=lg0,125

x=0,125

Ошибка порождена внешним сходством этих двух уравнений, что и привело к «соскальзыванию» на известный способ действия. Правда здесь имеет место и ещё одна причина: у учащихся плохо сформирован навык обращения с тождеством



На уроках всегда это тождество используется слева направо, но для глубокого осмысления нужны упражнения на его использование справа налево, т.е.

2. Отрабатывая с учащимися умение решать иррациональные уравнения методом уединения одного из корней, учитель обычно вначале предлагает школьникам уравнения вида:

а затем уравнения более сложные:

Ученики без особого труда справляются с решение подобных уравнений. Если после этого учащимся предложить уравнение то они чаще всего, обнаружив сходство с предыдущими примерами, решают его тем же методом, хотя для получения верного ответа достаточно было использовать то, арифметический квадратный корень не должен быть отрицательным, а в первой же части этого уравнения стоит отрицательное число (-2). Причиной неправильного (вернее, нерационального) решения последнего уравнения явилось лишь его внешнее сходство с предыдущими уравнениями. В данном случае более слабая ассоциация (она связана с понятием арифметического квадратного корня) была подавлена более сильной и привычной ассоциацией по сходству.

Метод сравнения играет исключительно важное значение при формировании математических умений в сходных ситуациях, ибо при выполнении упражнений возможно образование ошибок типа „смыкания". Приведём примеры.

3. В курсе геометрии 7 класса (учебник «Геометрия» Атанасян JI.C.) в главе «Треугольники» изучаются замечательные свойства биссектрис, медиан и высот треугольника:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

Медианы треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Учащиеся, положив в основу внешнее сходство теорем, формулировали последнюю теорему ошибочно: «Высоты треугольника пересекаются в одной точке».

Задача учителя - организовать такую учебно-познавательную деятельность учащихся, результатом которой явилось бы сознательное усвоение формулировки последней теоремы. Для этого одной группе школьников следует предложить сделать построение высот в остроугольном треугольнике, а другой - в тупоугольном. Оппонентами учащихся, которые неверно дадут формулировку теоремы, выступит та группа школьников, которая проводила построения в тупоугольном треугольнике. Затем надо предложить им продолжить высоты треугольников, в результате чего они придут к правильной формулировке теоремы. Заметим, что в основе этой работы лежит метод сравнения, который предупреждает появление внутрипредметных связей отрицательного действия. Метод сравнения следует рассматривать как средство, способствующее упрочению и углублению знаний. Сравнение позволяет раскрывать отношения между понятиями, что способствует выработке умения классифицировать математические понятия, умения находить сходства и различия между математическими объектами.[3]

4. Перед уроком, на котором будет доказываться теорема Виета, целесообразно включить в домашнюю работу учащихся задание по заполнению таблицы 2. В результате наблюдения и сравнения школьники ещё до изучения теоремы Виета смогут самостоятельно сделать соответствующие выводы.

Таблица 2

Уравнения	Корни уравнения	X1+X2	х1х2
	х1	х2
х2-2х-4=0
х2+12х+30=0
х2-5/4х+3/8=0
х2-1/Зх-2/3=0
х2+х-30=0
х2-15/7х+2/7=0

5. Полезным для отработки определения логарифма может быть такое задание: «Сравните, не прибегая к приведению логарифмов к одному и тому же основанию, числа:

log25 и log32;

log4l,8 и log5l,8;

Iog3sin50° и log3sinl.»

Рассуждения могут проводиться следующим образом. Так как логарифм числа есть показатель степени, в какую нужно возвести основание, чтобы получить это число, и, учитывая, что 2<3 (случай а), для получения числа 5 надо 2 возвести в степень с большим показателем, чем показатель степени числа 3 для получения числа 2. Итак, log25>log32.

6. При изучении в старших классах степенной функции у=ха полезно организовать сравнительный анализ свойств функций для различных показателей а. Результаты можно оформить в виде таблицы 3.

Таблица 3.

Свойства функции				у = х-2	у = х2
Область определения функции Множество значений функции Возрастает ли функция на всей области определения? Является ли функция чётной? Имеет ли функция экстремумы?

7. При введении понятия геометрическая прогрессия эффективной окажется работа учащихся по сравнению между собой нескольких последовательностей:

2,7,9,12,... -3,9,-27,81,...

3,5,7,9,11,... 1,2,3,4,5,...

4,8,16,32,... -17,25,36,2,18,...

Сравнивая между собой эти последовательности, школьники обнаружат среди них такие, которые образованы при помощи одного и того же, общего для всех свойства, а затем установят и сам способ их конструирования.

8. В плане сравнения значительный интерес может представить подбор задач, фабульное содержание которых было бы различно, но чтобы все они решались одним методом, более того, чтобы все они моделировались, например, одной и той же системой уравнений. Приведём примеры таких задач.

Две трубы, включённые одновременно, заполняют бассейн за 3 часа. За какое время заполнит бассейн каждая из труб в отдельности, если за час первая труба заполняет больше второй трубы на 1/5 бассейна?

Производительность труда одного токаря на 20% выше, чем у второго. За какое время, работая отдельно, каждый из них закончит работу, если, работая вместе, они выполняют её за 3 часа?

Два велосипедиста, выехавшие навстречу друг другу, встретились через 3 часа. За час первый велосипедист проезжает на 0,2 пути больше второго. За какое время проедет каждый из велосипедистов весь путь?[2]

Решение этих трёх различных по сюжету задач приведёт к одной и той же системе уравнений:

3.3 Самостоятельная работа учащихся

• Применение любого метода обучения предполагает соразмерное сочетание его с самостоятельной работой учащихся, ибо учение следует рассматривать не только как воспроизведение и запоминание учебного материала, а, в первую очередь, как активную познавательную деятельность, направленную на умственную переработку этого материала, что достигается самостоятельной работой школьников.
• Как правило, в школе на самостоятельную работу учителем отводится очень мало времени, и в основном такая работа выполняется в виде заданий по образцу. Для глубокого изучения учебного материала необходимо разумное сочетание различных видов самостоятельных работ на уроке.[3]
• Обучающие и проверочные самостоятельные работы по степени самостоятельности учащиеся можно подразделить на виды: самостоятельные работы по образцу; самостоятельные работы с указанием к их выполнению; самостоятельные работы вариативного характера; самостоятельные работы повышенной трудности.
• 1. Самостоятельные работы по образцу.
• Эти работы представляют собой первую степень формирования умений и навыков самостоятельной деятельности учащихся. Эта деятельность направлена на овладение школьниками основными умениями и навыками, способами работы. Реализация внутрипредметных связей в таких самостоятельных работах осуществляется путём жёсткой последовательности указаний, которые должен выполнять ученик.
• Приведём пример:
• 1. Учитель показывает образец решения уравнения 2х2 - 5х -- 9=0 помощью формулы корней квадратного уравнения, после чего учащимся предлагается решить уравнения:
• 3 х 2 + 7 х - 12 = 0;5х2-х-14 = 0 ...
• 2. Самостоятельные работы с указанием к выполнению.
• Эти указания должны давать лишь общее направление способа действия, и задача учащихся - самостоятельно выделить те действия, которые направлены на выполнение предложенного задания. Такой вид работы определяет более высокий уровень умений учащихся реализовывать внутрипредметные связи.
• Учащимся предлагается задача и указывается, какой теоремой нужно воспользоваться для её решения.
• Учащимся предлагается задача на доказательство и указывается, какое дополнительное построение следует произвести.
• Вычислите значение выражения:
• 1000000 - (1000000 - (1000000 - (1000000 - 999999))), воспользовавшись правилом раскрытия скобок.[7]
• 3. Самостоятельные работы вариативного характера.
• Такого вида работы предполагают частичное изменение условий задач, которые до этого решались. Реализация внутрипредметных связей осуществляется учащимися на уровне переноса знаний, умений и навыков в новые условия. Такой вид самостоятельных работ, требующий более сложных видов деятельности, позволяет школьникам накапливать опыт творческой деятельности. [7]
• 1. Если учащимся предлагались раньше задания на прямое использование формул сокращённого умножения, то вариативной самостоятельной работой может быть работа по выполнению таких заданий.
• Заполните пропуски:
• (?-9с2)2=25а2-?+?;
• ?+30ху+9у2=(?+Зу)2;
• (5х+?)2=?+70ху+?;
• (9a-?)2=?-?+100b2.
• 2. Заполните пропуски таким образом, чтобы стало возможным вынесение за скобки общего множителя:
• х2...х3...х5;
• ...+b3-...;
• (у+b)2+3а(...)3-8(...);
• 3n+1+...+8...
• 3. Восстановите коэффициенты одночленов в первом многочлене:
• (?а2+?а - ?)+(Зa2+2a+8)=7а2 - 8a+5;
• (?с - ?ab) - (4аb - Зс)=8ab - 12с.
• 4. Выпишите пропущенные члены так, чтобы получилось тождество:
• (4с -?)-(?- Зb+?)= 2с - 8b - 5;
• (2х2 - 7у) - (?+?) - (4у+5х2)= - (16у+5х2).

5. Необходимо предложить учащимся решить задачу: «На плоскости задано 7 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько получится отрезков, если каждую пару точек соединить отрезком?»

После этого для самостоятельного решения школьникам предлагается задача: «В турнире участвовало 7 шахматистов.

Сколько партий было сыграно, если каждый с каждым сыграл по одной партии?»

На первый взгляд это разные задачи, но способ решения первой задачи можно использовать для решения второй.

4. Самостоятельные работы повышенной трудности.

Эти работы предполагают творческую самостоятельность учащихся и характеризуют самый высокий уровень умений реализации внутрипредметных связей. В процессе выполнения таких работ школьники раскрывают для себя новые стороны изучаемого материала и наиболее полно проявляют свои математические способности. Приведём примеры указанного вида самостоятельных работ.[7]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Ковёр с отрезанными углами (рис 42, а) требуется перекроить так, чтобы получился прямоугольный ковёр.

(Решение этой задачи дано на рисунке 42, б.)

2. Решите уравнения и сделайте вывод о корнях уравнений, аналогичных данным:

а) 2х2 + 5x+2 = 0;

b) 3 х2 -10 х + 3 = 0;

с) 4 х2 + 17 х + 4 = 0;

d) 5x2-26x+5 = 0.

3. Решение по формулам квадратного уравнения:

a) x1=-2,x2=-

b) x1=-3,x2 =-

c) x1 = -4,x2=-

d) x1=-5,x2=-

Учащиеся должны подметить закономерность между найденными корнями и коэффициентами уравнений: каждое из уравнений имеет вид ах2±(а2+1)х+а=0 и его корнями являются числа (-- а) и (-- 1/а) или а и 1/а. Вывод учащиеся доказывают.

Заметим, что соотношения между видами самостоятельных работ должны меняться в соответствии с возрастом учащихся, при этом нужно учитывать их способности и склонности.

Один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ -однообразие видов, используемых учителем. Наибольшее число самостоятельных работ приходится на закрепление изложенного материала учителем непосредственно после его изучения и проверку знаний. Значительно меньшее число их используется при изучении нового материала, при последующем закреплении.

В частности, на уроках обобщающего повторения учащимся зачастую предлагаются задания, которые требуют от них самостоятельных действий, аналогичные, тем, которые были до этого сформированы, но при выполнении которых они по-прежнему очень мало мыслят. В результате такой организации учебного процесса учитель полностью берёт на себя его творческую часть, а учащимся оставляет лишь исполнительные функции.

Опытная работа

Реализация межпредметных связей

Цель: Показать эффективность использования заданий межпредметного характера к темам «Производная» и «Интеграл», для развития интереса, логики мышления, а также, для углубления знаний по математики и физики.

Одно из условий повышения эффективности учебного процесса и совершенствования качества знаний учащихся является установление и реализация межпредметных связей в процессе преподавания учебных предметов, в частности математики и физики.

Система взаимосвязей школьных курсов математики и физики, естественно, имеет несколько односторонний характер: сравнительно легко выяснить, что физике необходимо из математике. Причина заключается в разной природе физики и математики как наук и их роли как учебных предметов в системе межпредметных связей. Физике абсолютно необходим математический аппарат как язык, без которого невозможно описание физических явлений, и как орудие, как один из методов физического исследования.

Посещение уроков математики и физики в 10-11 классах общеобразовательной школы выявило что в школе изучение математики и физики происходит параллельно, и часто, не только математика используется в физике и в определенной мере даже определяет ход физического образования, но и физика использует математический аппарата, оказывает обратное воздействие на математику. В связи с этим была предложена попытка это взаимодействие сделать правилом, используя его сознательно и целенаправленно.

В ходе анализа урока было обнаружено, что при обучении физике происходит закрепление математических знаний. Так, в 11 классе это выражается в систематическом применении производной при изучении колебаний, использовании и закреплении свойств тригонометрических и показательной функций.

Это не простое применение математики, а развитие и конкретизация ее идей и методов на широком естественно научном материале. Кроме того, при изучении физики происходит формирование и развитие ряда математических умений как в технике вычислений (таблицы и т.д.), так и в области графических и аналитических умений. [13]

С другой стороны, изучение физики нередко ставит определенные задачи перед математикой в сфере формирования ряда физических понятий: скорость, мощность и т.д., которые являются исходными для формирования таких общих математических понятий, как «вектор», «производная», «интеграл» и др.

Поэтому использование элементов математического анализа при изучении физики является наиболее ценным, что и послужило сделать упор именно на этот раздел математики. Новое содержание физико-математического образования, внедренное в настоящее время в школу, позволяет существенно углубить и расширить межпредметные связи математики и физики с целью усиления эффективности методики преподавания, повышения качества знаний учащихся, а также привития интереса учащимся к физико-математическим дисциплинам. Рассмотрим конкретно, как реализовать на практике межпредметные связи алгебры и начал анализа и физики в 10-11классах.

При анализе содержания программ указаны учебных предметов взят учебный план (см. таблицу 4) принятый для средней общеобразовательной школы.

Таблица 4

Предмет	Всего часов по классам	Количество часов в неделю
	10	11	10 кл	11 кл
			1 полугодие	2 полугодие	1 полугодие	2 полугодие
Алгебра и начала анализа	102	104	2	2	2	2
Физика	102	119	2	2	3	2

Проведенный нами анализ программ позволил представить в виде схемы (см. таблицу 5) взаимосвязь курсов алгебры с началами анализа и физики 10-11 классов по действующим программам в соответствии с существующим учебным планом. [14]

Таблица 5

Кл.	Возможности использования математики на уроках физики	Тематический план по физике	Тематический план по математике	Возможности использования физики на уроках математики
10		Молекулярная физика
	Действия над действительными числами. Вычисления значений функций по заданной формуле и при помощи таблиц. Стандартный вид числа.	1. Основы молекулярно-кинетической теории	Действительные числа. Числовые функции	Понятие о величине и измерении. Массы молекул и атомов. Определение расстояний до небесных тел на основе измерения параллаксов. Число Авагадро. Ошибки при измерении, точность. Правила вычисления погрешности при решении задач и выполнении лабораторных работ. Графики тепловых процессов и деформации, как иллюстрации функциональных зависимостей.
	Графики функции. Аналитическое задание функций. Приращение функции. Стандартный вид числа.	2. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. 3. Свойства паров, жидкостей и твердых тел.	Предел и непрерывность	Графики тепловых процессов
		Электродинамика
	Приращение функции. Функциональные зависимости. Стандартный вид числа. Задание функций аналитическими формулами и графиками. Исследование функций. Производная (для анализа характеристик кулон. Поля - напряженности и потенциала, для определения электроемкости) Сложение и разложение векторов для описания электрического поля Векторы и действия над ними. Производная (для записи закона индукции Фарадея и формулы ЭДС самоиндукции). Приближенное равенство sin= (при малых значениях ) при решении задач.	Электрическое поле Постоянный ток Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция Физический практикум Экскурсия	Производная и ее применения Тригонометрические функции, их графики и производные Решение задач и повторение	Определение мгновенных значений скорости, ускорения и мощности. Связь между напряженностью и разностью потенциалов, выражение коэффициента поверхностного натяжения через поверхностную энергию. Физические задачи на нахождения экстерума функции. Понятие о величине и измерении. Угловые измерения. Правила вычисления погрешностей при решении задач и выполнении лабораторных работ.
11		Колебания и волны
	Тождественные преобразования тригонометрических выражений, а также решение тригонометрических уравнений и неравенств. Графики функций синуса и косинуса, производные тригонометрических функций. Уравнения гармонических колебаний y=Acos (x+) и дифф. уравнения y”=-2y. Тригонометрические функции числового аргумента и их производные. Тригонометрические функции. Приращение функции. Тождественные преобразования тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений и неравенств. Стандартный вид числа.	1. Механические колебания 2. Электромагнитные колебания. Переменный ток. 3. Производство, передача и использование электр. Энергии. 4. Механические волны. Звук. 5. Электромагнитные волны.	Тригонометрические функции, их графики и производные Первообразная и интеграл	Уравнение движения математического маятника. Гармонические колебания; свободные гармонические колебания: смещение, амплитуда, фаза, частота. Сложение колебаний. Период свободных электромагнитных колебаний. Движение тела брошенного под углом к горизонту. Работа переменной силы. Работа при изотермическом расширении газа. Энергия заряженного конденсатора и магнитного поля соленоида. Нахождение координаты по заданной скорости и скорости по заданному ускорению.
		Оптика
		1. Геометрическая оптика 2. Световые волны 3. Элементы теории относительности 4. Излечение и спекторы	Показательная логарифмическая и степенная функции Системы уравнений	Закон радиоактивного распада, период полураспада. Разветвленные цепи электрические структуры
		Квантовая физика
	Знания о показательной функции, дифф.уранений при излучении закона радиоактивного распада и периода полураспада.	1. Световые кванты. Действие света 2. Физика атома. 3. Атомное ядро. 4. Ядерная энергия, ее получение и использование. 5. Элементарные частицы. Обобщающие лекции	Решение задач и повторение	Решение задач с физическим содержанием
		Физический практикум
		Экскурсии Повторение

• Рассмотрим, как могут быть реализованы межпредметные связи математики и физики при формировании таких понятий как производная и интеграл.
• Во время прохождения преддипломной практики нами была проведена опытная работа в 11 «Б» классе СШ №81.
• Данная опытная работа проводилась на факультативных занятиях. На этих занятиях нами были предложены задания, которые дополняют задачный материал учебного пособия «Алгебра и начала анализа 10-11».
• На факультативных занятиях нами рассматривались следующие темы: «Решение физических задач с помощью производной», «Решение физических задач с помощью интеграла». Эти темы представлены в приложении. После проведения факультативных занятий была предложена учащимся самостоятельная работа по данным темам, результаты которой показали всю важность и эффективность заданий межпредметного характера.
• Нами было замечено, что успеваемость учащихся после посещения факультативных занятий увеличилась. Оценки ребят стали намного лучше, чем были прежде. Учащиеся повторили тему: «Производная», хорошо усвоили тему «Интеграл». На факультативных занятиях учащиеся увидели прикладной характер производной и интеграла в физических задачах.

Реализация внутрипредметных связей

Цель: Показать эффективность использования геометрического материала при решении некоторых уравнений, систем уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики темы "Решение уравнений" и "Решение систем уравнений" изучаются и обычно у школьников эти темы особого затруднения не вызывают. Но существуют задания связанные с алгебраическими системами, которые не решаются традиционными способами, или если решаются, то очень сложно, что вызывает у школьников затруднения.

Поэтому перед нами встал вопрос: возможно ли упросить выполнение таких заданий с помощью внутрипредметных связей. И нами был найден ответ на этот вопрос: мы можем решать некоторые задачи, используя геометрические приёмы. Нами было обнаружено, что с их помощью можно решать и сложные задачи и более простые, затратив на их решение меньше времени, чем при решении традиционными способами.

Приведём пример:

Имеет ли система уравнений решения при х > 0, у > 0 ?

х + у = 8,

х2+у2=81.

Для учеников не составит особого труда решить эту систему с помощью метода подстановки, но если применить здесь геометрический приём, то мы сразу же получим ответ на данный вопрос.

Второе уравнение системы представляет собой теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами х, у и 9, т.к. х > 0, у > 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из первого уравнения получаем, что для него не выполняется неравенство треугольника х + у = 8 < 9 (Рис.43). Получаем, что эта система не имеет решений при х>0, у>0.

Таким образом, в двух школьных курсах математики имеются большие возможности для реализации объективно существующих внутрипредметных связей, которые способствуют как усвоению учащимися теоретического материала, так и овладении навыками решения.

Во время преддипломной практики нами был проведёна опытная работа.

Объектом эксперимента был выбран 10 «А» класс средней школы № 81. Уровень успеваемости и уровень познавательной деятельности у учеников этого класса выше, чем у учащихся других 10 классов. Опытная работа проводился в виде факультативных занятий, который посещали 15 человек. При подготовке к занятиям нами был выделен следующий геометрический материал: «Теорема Пифагора», «Декартовы координаты и векторы в пространстве» и «Теорема косинусов».

При изучении вышеуказанных тем по геометрии внимание учащихся не заостряется на том, что они могут быть использованы в курсе алгебры. Между тем, использование их в курсе алгебры будет способствовать более глубокому пониманию изучаемого в обоих курсах материала и сэкономить время.

На факультативных занятиях нами предлагались задания, которые не предусмотрены программой для общеобразовательной школы. Они представляют собой задания повышенной трудности. Но, не смотря на это, выполнение этих заданий затруднений у школьников не вызвало, так как весь геометрический материал, который мы использовали, уже был изучен учащимися.

На факультативных занятиях нами рассматривались следующие темы: «Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения», «Решение систем уравнений с помощью теоремы Пифагора и теоремы косинусов», «Решение уравнений, систем уравнений и неравенств графическим способом». Эти темы предложены в приложении.

После проведения факультативных занятий по данным темам была проведена самостоятельная работа, которая представлена в приложении. Результаты самостоятельной работы показали, что предложенные задания доступны для учащихся и развивают у них интерес и логику мышления.

Успеваемость этих 15 человек, посещающих факультативные занятия, повысилась в среднем на один балл и в курсе алгебры, и в курсе геометрии. В последствии на уроках они справлялись с аналогичными заданиями намного успешнее, чем их одноклассникам, не посещавших факультативных занятий.

Методические рекомендации:

По результатам опытной работы можно представить следующие методические рекомендации:

- Выявить темы школьного курса математики, где могут быть реализованы межпредметные и внутрипредметные связи как средство углубления знаний учащихся по связанным предметам.

- Составить тематический план по предметам естественно-математического цикла с учетом применения рассмотренного материала в связанных предметах.

- Применить рассмотренную методику в учебном процессе.

Заключение

Обучение в современной школе реализуется как целостный учебно-воспитательный процесс, имеющий общую структуру и функции, которые отражают взаимодействие, преподавания и учения. Функция обучения - это качественная характеристика учебно-воспитательного процесса, в которой выражена его целенаправленность и результативность в формировании личности ученика. Межпредметные и внутрипредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга. Единство функций есть результат целенаправленного построения процесса обучения как учебно - воспитательной системы.

Проведенные нами исследования позволяют сделать некоторые выводы: межпредметные связи содействуют формированию у учащихся цельного представления о явлениях природы, помогают им использовать свои знания при изучении различных предметов, показывают комплексный подход к обучению. Реализация межпредметных связей в обучении математике предполагает сотрудничество учителя математики с учителями других предметов, посещения открытых уроков, совместного планирования уроков и т.д; реализация внутрипредметных связей в обучающей деятельности учителя заключается, прежде всего, в отборе материала, который представляет эти связи, в отборе организационных форм, методов и приемов обучения, направленных на более успешное усвоение этого материала.

Реализация внутрипредметных связей с позиции учебной деятельности ученика состоит в его самостоятельной работе по усвоению связей между изученными частями материала, по обобщению и систематизации знаний.

Список использованной литературы

1. Алдамуратова Т. «Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательной школы». - Алматы: Атамура, 2006. с 118-119

2. Антонов Н.С., Гусев В.А. «Современные проблемы методики преподавания математики». - М.: Просвещение, 1985. с 201-215

3. Глейзер Г.Т. «Повышение эффективности обучения математике в школе». - М.: Просвещение, 1989. с 321-329

4. Гельфанд М.Б., Берман В.П. Упражнения межпредметного характера к теме «Производная»». - М.: Просвещение, 1979. с 79-88

5. Гельфанд М.Б., Берман В.П. «Упражнения межпредметного характера к теме «Интеграл»». - М.: Просвещение, 1981. с 49-55

6. Генкин Г.З. «Геометрические решения алгебраических задач». //Математика в школе//№7, 2001. с 14-19

7. Далингер В.А. «Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике». - М.: Просвещение, 1991. с 83-109

8. Далингер В.А. «Геометрия помогает алгебре». //Математика в школе// №4, 1996. с 59-68

9. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы». - Алматы: Просвещение - Казахстан, 2004. с 85-105

10. Максимова В.Н. «Межпредметные связи в процессе обучения». - М.: Просвещение, 1989. с 17-52

11. Медяник А.И. «О роли внутрипредметных связей при обучении геометрии», //Математика в школе//№2, 1984. с 14-23

12. Математика: Сборник тестов: Учебно-методическое пособие. - Астана: НЦГСОТ, 2006. с 43-54

13. Пинский А.А., Тхамафокова С.Т. «Основное направление взаимосвязи курса «Алгебры и начала анализа» с курсом физики 10-11кл.» - М.: Просвещение, 1980. с 131-143

14. Шарыгин И.Ф., Букубаева К.О. «Геометрия 10-11 классы средней школы» - Алматы, Издательство «Кітап», 2004. с 163-181

15. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразовательной школы» - Алматы.: Атам?ра, 2007. с 161-162

16. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 7 кл. общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2007. с 14-16

17. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2004.с 38-39

18. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы. - Атам?ра, 2004. с 203-205

19. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 9 кл. общеобразовательный школы. - Атам?ра, 2006. с 163-171

20. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 кл общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2006. с 433-437

21. Шыныбеков А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2006. с 243-246

22. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 10 кл общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2007. с 47-51

23. Шыныбеков А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательной школы. - Алматы: Атам?ра, 2007. с 379-385

Приложение

Реализация межпредметных связей

Тема 1. «Решение физических задач с помощью производной»

Решение задач с помощью производной не является для учащихся новым. Тему «Производная» они проходили еще учась в 10 классе, поэтому решение данных заданий у них не вызвало особого затруднения.

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону S=20t-25t2. В какой момент времени скорость точки будет равна 0? [4]

Решение: Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

=s'(t)=50-252t

Положив =0, найдем t:

50-50t=0, t=1(c)

таким образом, скорость точки равна нулю в конце первой секунды.

Ответ: t=1.

Привет 2. Материальная точка вращается вокруг оси по закону =(t), где t - время в секундах, - величине угла поворота в радианах. На какой угол при этом поворачивается в среднем точка за секунду, т.е какова средняя угловая скорость точки в рад/с? Как определить мгновенную угловую скорость точки в момент t?

Решение:



Пример 3. Цепь висячего моста располагается по дуге параболы у=рх2.

Пролет моста имеет длину 50м, а стрела провеса f=5м. Определить величину угла провеса в крайней точке моста. [4]

Решение: Задача сводится к нахождению углового коэффициента касательной к графику функции у=рх2 в точке х=25. Значение р определяется из условия, что парабола проходит через точку с координатами (25:5).

у=рх2

5=р252

р=0,008.

Обозначим величину угла наклона касательной через .

Тогда

у'=tg

y'=20.00825

y'=0,4

tg=0,4

Ответ: tg=0,4

Пример 4. Точка движется по закону S=4t3+t2+8. найти величину скорости и ускорения в момент t=2с. [4]

Решение: При прямолинейном движении точки скорость в данный момент t=t1 есть производная S'(t) от пути S по времени t1, вычисленная для данного момента t=t1 . Ускорение точки а в данный момент t=t1 есть производная '(t) от скорости по времени t, вычисленная для данного момента t=t1.

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t.

=S'(t)=12t2+2t

Вычислим скорость движения точки в момент t=2c.

=1222+22=52(м/с)

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t

а='(t)=24t+2

Вычислим ускорение движения точки в момент времени t=2c.

а=242+2=50(м/с2)

Ответ: =52м/с, а=50м/с2

Привет 5. При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол =5+6t-t2 радиан. Найти угловую скорость вращения маховика в момент в ремени t=2c.

Решение: Угловой скоростью называется изменения угла за время t. Угловая скорость есть производная от угла поворота по времени t:

='(t) =6-2t

Найдем угловую скорость в момент t=2:

=6-22=2 (рад/с)

Ответ: 2 рад/с.

Тема 2: «Решение физических задач с помощью интеграла»

Пример 1. Материальная точка движется вдоль координатной прямой со скоростью (t)=2t(м/с). Укажите формулу, по которой можно найти координату этой точки х=х(t), если в начальный момент ее координата была равна -2(м). [5]

Решение: Так как (t)=x'(t), то х(t) - первообразная для функции (t)=2t, т.е х(t)=t2+C, где C - произвольная постоянная. В момент t=0, x(0)=-2м, отсюда получаем: -2=02+С, С=-2, и следовательно, х(t)=t2-2(м).

Пример 2. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью =2рад/с. на какой угол повернется она за промежуток времени от t1 до t2. [6]

Решение: Воспользуемся тем, что (t)='(t)

тогда (t) - первообразная для (t).

Решение запишется следующим образом:

Ответ: 2t2-2t1

Аналогично решается следующее задание.

Пример 3. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью =5tрад/с. На какой угол повернется она за промежуток времени от t1 до t2.

Данное задание учащиеся прорешивают самостоятельно.

Пример 4. Скорость изменения концентрации С вещества, вступившего в реакцию, выражается формулой =(t) (t измеряется в секундах, - в моль/см3). Как изменится концентрация вещества, вступившего в реакцию, за время от t1 до t2c? [5]

Решение: Известно, что (t)=c'(t), тогда с(t2)-c(t1)=моль/м3

Самостоятельная работа

Вариант 1. Вариант 2.

1. Точка движется прямолинейно по закону

S=30t-10t2 S=5t2-5t

В какой момент времени скорость точки будет равна 0?

2. Точка движется по закону

(S измеряется в метрах, t - в секундах). Найти величину скорости и ускорения в момент t = 0,3с.

3. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью

(t)=2t+3 (t) =

На какой угол повернется она за промежуток времени от 1 до 2,2с.

Реализация внутрипредметных связей

Тема 1: Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с модулями геометрическим способом

Прежде чем приступить к изучению этой темы мы повторили, как строить графики следующих функций:

1 у = х, у = х

2 у = х +1, у = х +1

3 у = х2 + 5х +1, у = х2 + 5х +1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение уравнений и систем уравнений графическим способом для учащихся не ново. Ученики знают, что уравнения и системы уравнений можно решать как графическим так и аналитическим способом и обычно у учащихся решение таких заданий особых затруднений не вызывают. Но если предложить учащимся уравнение или систему уравнений с модулями, то они могут вызвать у учащихся затруднения. Это связано с тем, что обычно в школьной программе особого внимания решению уравнений и систем уравнений с модулями не уделяется.

Если решать, например, систему уравнений непосредственно, то на это будет затрачено очень много времени, кроме того, в вычислениях можно допустить ошибки. Поэтому на факультативных занятиях нами были предложены решения уравнений и систем уравнений с помощью графиков.

Затем были предложены следующие задания.

1. Решить уравнение графическим способом:

|х2-1| = х + 5 [8]

Построение проводим по следующей схеме:

а) у = х2

b) у = х2-1

c) у = |х2-1|

d) у = х + 5

e) находим точки пересечения графиков (рис.44).

Ответ: х1 = -2, х2 = 3.

х2 -- 1 = х - 3

х2 +х-1 =6

Решить систему уравнений графическим способом

х2+у2=25

у=х-1 [8]

Построение проводим по следующей схеме:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) х2 + у2 = 25

b) у=х-1

с) у=|х-1|

d) находим точки пересечения графиков

х2 +у2 = 25 и у = |х-1|. (Рис.45).

Ответ: (-3;4), (4;3).

5. у=|х2 + 6х + 5|,

у-х=5

6. |у|=х-3

у=х2-8х+15

Тема 2: Решение систем уравнений с помощью теоремы Пифагора и теоремы косинусов

Прежде чем приступить к изучению данной темы учащимся было предложено вспомнить теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и теорему косинусов.

Затем им было предложено следующее задание:

Имеет ли система

x2+y2=25,

х + у = 2

решения при х>0 и у>0?

Решив её, ученики обнаружили, что система не имеет решений при x >0 и у >0. Затем ученикам был задан вопрос: смогли ли бы они сказать это не решая систему? И получили отрицательный ответ.

На первый взгляд, кажется, что устно не возможно решить это задание. Но, оказывается, что если применить здесь геометрические знания, то ответ на этот вопрос можно получить сразу.

Первое уравнение представляет собой теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами х, у и 5, так как х>0, у>0. А так как х + у = 2, то для этого треугольника не выполняется неравенство треугольника. Поэтому система не имеет решений.

Так же могут быть предложены Удобные задания:

Имеют ли следующие системы уравнений решения при х > 0, у > 0:

х2+у2 -25=0, х2+у2=1,

х = 3-у х + у = 1 и т.д.

Затем ученикам было объяснено, что существуют системы уравнений, состоящие из трёх уравнений с тремя переменными и решаются они точно так же как и с двумя переменными.

Можно предложить им решить несколько систем:

х + у - z = 2, , х + z = 5,

х + z = 0, ; х + у + z = 9, и т.д.

у-х+z=3 х-у-z=2

Можно задание усложнить, например, для первой системы уравнений найти значение выражения: ху + уz или х + у + z. Это будет сделать не трудно, так как значения х, у и z уже найдены.

Рассмотрим следующие задания:

Для положительных х, у и z из условий х2+ху + =169, =25 и

х + xz + = 144 вычислите значение выражения ху + уz + zх.

Для того, чтобы найти значение выражения необходимо найти значение х, у и z. Составим систему:

х2+ху + = 169,

=25 [7]

х +xz+ = 144

Эту систему решить очень сложно, тем более, что ученики ещё плохо умеют решать системы с тремя переменными. Возникает вопрос, можно ли, как и в предыдущих задачах применить геометрические знания?

II уравнение: - по обратной теореме Пифагора, числа и 5 являются катетами и гипотенузой для прямоугольного треугольника.

Если вспомнить теорему косинусов и следствие а2 = b2 + с2 ±2bссоs где - угол между сторонами b и с, то I уравнение представляет собой теорему косинусов для треугольника со сторонами х, =, 13 и углом 135° между сторонами х и . Аналогично из третьего уравнения получаем треугольник со сторонами х, , 12 и углом 135°.

Сопоставив эти треугольники получим треугольник АВС со сторонами 13, 12 и 5. (Рис.46)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку 132 =122 +52, то треугольник АВС прямоугольный.

SABC = SAOB+ SAOC + SBOC

Ответ: ху + хz + уz = 120

Аналогично решается следующее задание:

Для положительных x, у и z из системы уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

найти значение выражения

ху + 2уz + 3хz. (Рис.47)

Затем учащимся было предложено самостоятельно решить такую задачу:

Имеет ли система уравнений

решения для x>0, у>0 и z>0?

х2 + ху + у2 = 4,

x2 +хz + z2 =9,

у2 +хz + z2 =36

Тема 3: Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения

Прежде чем приступить к изучению данной темы, мы повторили следующие вопросы:

1. Что такое скалярное произведение и как оно находится?

2. Как найти длину вектора?

Затем мы приступили к рассмотрению таких заданий:

1. [7]

Решение:

Рассмотрим векторы = (х2;y2;z2) и = (1;1;2).

Вычислим

Исходную систему теперь можно переписать в виде



Так как , а это не выполняется так как => система не имеет решений.

2.

Решается аналогично.

3. Решить систему уравнений:

х2 + у2=-.у(х + z),

х2 + x + у= -2yz,

Зх2 +8y2 + 8ху + 8yz = 2х + 4z + 2

Решение:

Перепишем систему в виде

х(х + у) + у(у +z) = 0,

х(х + 1) + у(2z + 1) = 0,

4(х + у)2 +4(у + z)2 = (х +1)2 + (2z +1)2

Введём векторы: = (x;у), =(х + у;у + z), = (х + 1;2z +1)

Тогда =0, = 0, 4 = .

Если = 0, то х = у = 0, z = -.

Если же , то векторы и коллинеарны и, следовательно, =±2.

а) = 2

Тогда можем записать:

любое.

Значения z находим из первого и второго уравнения системы, подставив в неё значения х = 0, у = 0,5 получаем z = -0,5.

b) = -2

Составленные в соответствии с этим условием уравнения не дают решения исходной системы.

Ответ: (0;0; - 0,5), (0;0,5;- 0,5).

Аналогично решается следующая система:

х2 +у2 +ху + уz = 0,

х2 + х + у + 2уz = 0,

3х2 + 8у2 + 8ху + 8уz - 2х - 4z = 2

Самостоятельная работа

Вариант I Вариант II

1. Имеет ли следующая система уравнений решения при х> 0, у > 0 ?

х + у = 7, х = 3-у,

х2 +у2 -49 = 0 х2+у2=16

2. Решить систему уравнений графическим способом:

х + у2=9, у = х2 +5х + 1,

у=|х2-2| х = у-2

3. Решить систему уравнений, используя скалярное произведение векторов:

Размещено на Allbest.ru