Перпендикуляр
Разработка хода урока по геометрии на тему "Перпендикуляр". Определения перпендикулярности различных объектов, доказывание признаков и свойств перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.
Рубрика | Педагогика |
Вид | лекция |
Язык | русский |
Дата добавления | 21.04.2008 |
Размер файла | 313,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2
Ход урока.
Деятельность учителя |
Деятельность ученика |
|
- Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? - Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве? - Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». |
- В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии. - Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. |
|
- Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? - А какие задачи решали? - Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь? - А что значит привести знания в систему? - Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? - Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему. |
-Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. - Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. - Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе. - Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения. - Перпендикулярность прямых и плоскостей. |
|
- Перпендикулярность каких объектов мы изучили? - Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1> - Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными? - Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок> - Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали? - Сформулируйте ее. < Открывает рисунок> - Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения. < Открывает рисунок> - В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их. <Открывает соответствующие рисунки> - В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему? -Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными? -Какие факты можно отнести в эту часть? - Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их - заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность - мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7. -Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев> |
- Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. - Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . - Они могут пересекаться и скрещиваться. - Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. <Формулируют> - Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. - Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>. - Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>. - Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>. - Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости. - Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . -Признак перпендикулярности двух плоскостей. Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна; одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости; одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой. <Ученики формулируют следующие эвристики: Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости; прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости; данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой. Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. > |
|
-Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства. - Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй - перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд - пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут. - Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик> -Хорошо. Послушаем теперь второй ряд. -Третий ряд, пожалуйста. |
<Работают> < Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали> - DOAB (DOABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ) - DOAC, DOBC (аналогично) - DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). -DOABC(по условию). -ABCOD,COADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). -DABABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) -DOCABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) -DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). |
|
- Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. |
||
Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»> <Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице> -Что называется расстоянием от точки до прямой? -Какие еще расстояния можете назвать? - Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. - То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице. - Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> - Опишите это понятие. <Открывает соответствующий рисунок> - Какие еще углы вы знаете? - Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. |
- Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой. - От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости. - Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой. - Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. - Между параллельными плоскостями - расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой. - Между скрещивающимися прямыми- расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой. - Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник. - Угол между прямыми. - Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. - Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. - И угол между плоскостями - это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении. |
|
- Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. - Начнем с первого задания. - Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай. -Второй ряд, пожалуйста. -И последний угол? -Дорешаете дома. -Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку. -Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС. Эту задачу будем решать на новом рисунке. -Итак, начнем. -Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. - Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? - Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости? - То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует? - А через какую точку пройдет проекция наклонной? - Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать? - А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС? - Как найти DК? - Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске. - Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. - Назовите их и докажите. -Как их найти? |
- Так как ОDАВС, то АО - проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО - угол между DА и АВС. - Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ. -Угол между DВ и АВС - это DВО. -Угол между DС и АВС - это DСО. - Так как DО - перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО - искомое расстояние. - Мы доказывали, что СОDАВ, значит СО-расстояние от С до DАВ. -АВDОС, то АО-расстояние от А до DОС. Так как DО перпендикулярно АВ, то DО - расстояние между D и прямой АВ. -АВС. - Наклонной. - Она должна быть перпендикулярной к проекции. - Через точку О, так как она проекция точки D. - Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М-середина ВС, тогда АМ - медиана правильного ?АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОКВС, и ОК-проекция DК на АВС. При этом DКВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК-расстояние от точки D до прямой ВС. - Произвольно. - Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК - средняя линия ?АМВ. - Аналогично, причем DL равно DК. - Они уже построены. - DКО - линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, DLО - линейный угол двугранного угла при ребре АС. - Например, DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО. |
|
- Это все задания, которые мы планировали решить на уроке. - А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. - Какие типы задач нами были рассмотрены? -Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии? |
-на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями. -позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. |
|
- Что вы теперь умеете делать? - Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления. |
- Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями. |
|
Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе. |
Расстояния в пространстве (Таблица 1)
От точки до прямой |
Между параллельными прямыми |
От точки до плоскости |
Между парал-лельными прямой и плоскостью |
Между параллельными плоскостями |
Между скрещивающимися прямыми |
|
AM б |
AM б |
AM в |
AM в |
|||
Решение треугольников |
Углы в пространстве
Между прямыми |
Между наклонной к плоскости и плоскостью |
Между плоскостями |
|
0 < ц ЎЬ 90 |
0 < ц < 90 |
0 < ц ЎЬ 90 |
|
Решение треугольников |
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярные прямые |
Перпендикулярные прямая и плоскость |
Перпендикулярные плоскости |
Записи на доске и в тетрадях
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Дано: ?АВС равносторонний,
О середина АВ,
ОD АВС.
АВ=6см, ОD=3см.
1. Найти пары перпендикулярных прямых.
Решение.
а) DOAB, DOAC, DOBC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).
б) DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).
2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.
Решение.
а) DOABC(по условию).
б)ABCOD, COADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
3. Найти пары двух плоскостей.
Решение.
DABABC, DOCАВС, DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).
4.Найти углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC.
Решение.
Так как ОDАВС, то АО - проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО - угол между DА и АВС.
5. Найдите расстояния от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС.
6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.
Подобные документы
План-конспект урока на тему "Способы записи алгоритмов". Понятие алгоритма как одно из основных в программировании и информатике. Школьная лекция, беседа, работа с учебником и книгой как методы обучения. Документация на программно-педагогическое средство.
курсовая работа [169,8 K], добавлен 18.05.2011Методическая схема изучения теорем и их доказательства на примере признака параллельности прямой и плоскости. Сущность аксиом стереометрии, их роль при доказательстве теорем, иллюстрация на моделях. Методка изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
реферат [448,8 K], добавлен 07.03.2010Особенности восприятия геометрического материала детьми возраста 11-12 лет. Подходы к преподаванию элементов геометрии с позиции пропедевтики. Анализ учебников для учащихся 5-6 классов. Разработка упражнений на тему "Треугольники и четырехугольники".
дипломная работа [95,9 K], добавлен 23.04.2011Программа проведения урока на тему: налогообложение в России. Описание образовательных целей урока, литературы что используется для его проведения, места проведения. Поэтапная характеристика урока. Цели данного урока. Методы проведения урока.
учебное пособие [19,4 K], добавлен 05.12.2008Программа проведения урока на тему: мозаика на изделиях из древесины. Описание образовательных целей урока, литературы, что используется для его проведения, места проведения. Поэтапная характеристика урока. Цели данного урока. Методы проведения урока.
учебное пособие [14,9 K], добавлен 05.12.2008Обогащение словарного запаса учащихся - цель урока английского языка на тему " I need a desk". Проверка усвоения орфографии в пределах изученного материала. Работа над новым материалом, методы его закрепления. Проверка понимания английской речи учениками.
конспект урока [1,6 M], добавлен 23.11.2015Программа проведения урока на тему: предпринимательство в экономической структуре общества. Описание образовательных целей урока, литературы, что используется для его проведения, места проведения. Поэтапная характеристика урока. Методы проведения урока.
учебное пособие [16,7 K], добавлен 05.12.2008Программа проведения урока на тему: реклама в системе предпринимательства. Описание образовательных целей урока, литературы, что используется для его проведения, места проведения. Поэтапная характеристика урока. Методы проведения урока и цели.
учебное пособие [18,7 K], добавлен 05.12.2008Психолого-педагогическая характеристика подросткового возраста. Авторские образовательные технологии в обучении геометрии. Особенности использования методики В.Ф. Шаталова. Конспект урока по теме: "Соотношение между сторонами и углами треугольника".
дипломная работа [1,1 M], добавлен 26.12.2011Психолого-педагогический портрет школьника 6 класса. Разработка цикла занятий на тему "Импрессионизм". Изучение вопроса о французском искусстве XIX в. Методическая разработка и краткое содержание занятия. Примерные вопросы для закрепления материала урока.
дипломная работа [59,2 K], добавлен 28.05.2015