И. Г. Обойщикова предлагает осуществлять обучение учащихся приему моделирования поэтапно: в начальных классах - неявно, лишь упоминая, что, заменяя данные задачи значками (или графической схемой), мы используем модели, на этом этапе следует обучать учащихся действиям, входящим в «ядро» моделиро-вания (умение сопоставлять объекты, умение противопоставлять объекты, умение сравнивать объекты путем сопоставления или противопоставления, умение абстрагироваться, умение обобщать объекты); в 5 классе - явно и осознанно, раскрывая его сущность, изучая операции, входящие в «оболочку» моделирования (умение строить модель, умение проводить преобразования модели и умение ее конкретизировать); в 6 классе - самостоятельно используя прием в несложных случаях.

Проблема моделирования в начальной школе рассматривается А. К. Артемовым, Л. П. Стойловой, М А. Бородулько, Е. В. Конновой, М. Н. Сизовой, Т. Н. Харлановой и другими, но в 5 - 6 классах лишь некоторые авторы используют моделирование при решении сюжетных задач. Специальная методика формирования приема моделирования для названной ступени обучения пока еше слабо разработана. Однако вопросы моделирования приобретают все большее значение в обучении [26].

В учебниках новых поколений понятие математической модели и математического моделирования появляется уже на самых ранних этапах обучения. Так, например, в учебнике для 5 класса Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон уже во 2 параграфе первой части предлагается для изучения тема «Математические модели» [11].

В силу различных причин реально в школе эти учебники используются редко, поэтому идеи математического моделирования большинству учащихся незнакомы. Роль изучения элементов математического моделирования в 5 - 6 классах - пропедевтическая.

В этот период происходит первичное знакомство учащихся с понятиями «модель» и «моделирование», а также с отдельными действиями, характерными для метода математического моделирования. Вопросы, изучаемые в курсе математики 5 - 6 классов, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам.

В связи с выше изложенным рассмотрим особенности изучения темы «Математические модели» по учебникам «Математика» для 5 - 6 классов авторов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон и дадим краткий обзор учебников [6], [7], [11 - 17], [21], [22] с точки зрения наличия элементов математического моделирования.

Выводы по главе 1

1. В ходе изучения психолого-педагогической, философской, методической литературы были рассмотрены различные определения понятия «модель» и «моделирование» и их классификации. Из всех определений этих понятий можно выделить основные черты модели:

· модель замещает объект-оригинал;

· сохраняет некоторые важные свойства объекта-оригинала;

· результаты исследования модели переносятся на оригинал.

В свою очередь под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей.

Из всего многообразия моделей большинство специалистов выделяют два класса моделей:

1) материальные (реально существующие, по-строенные из каких-либо вещественных предметов: из ме-талла, дерева, стекла и других материалов);

2) идеальные (воображаемые, основанные на мысленном представлении).

2. Математическое моделирование, как частный случай моделирования, предполагает использование в качестве средства исследования оригинала его математическую модель, с помощью которой появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом.

3. Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Метод моделирования используется в любой науке, обладает огромной эвристической силой: позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого  -- к видимому, то есть сделать любой сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения.

4. Представления школьников о математическом моделировании весьма ограничены, хотя математическое моделирование играет важную роль в развитии диалектико-материалистического мировоззрения и является мощным методом научного познания. Включение в школьный курс математики уже на ранних этапах обучения понятий «модель» и «моделирование», формирование простейших умений математического моделирования играет важную роль в развитии личности в целом. Обучение моделированию учащихся приводит к повышению эффективности обучения и общеразвивающему эффекту.

Глава 2. Обучение школьников элементам математического моделирования

2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования

В учебнике по математике для 5 класса Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. [11] уже во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается на понятия «математическая модель» и «моделирование».

Авторы не дают определение модели, а на примере двух задач показывают, что в двух непохожих ситуациях используется одна и та же математическая модель, сразу указывая на ценность математического моделирования, что одна и та же модель может описывать различные явления. Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач на математический язык.  

Самая распространенная формулировка заданий, характерная для метода моделирования, звучит следующим образом:

· переведи условие задачи на математический язык;

· построй математическую модель задачи и реши ее.

Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

В 6 классе [12] выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются этапы решения задач с помощью уравнений.

Большое внимание уделяется этапу формализации, который вызывает у школьников наибольшие трудности при решении задач.

Для сравнения возьмем учебники по математике для 5 - 6 классов Н. Я. Виленкина и других [6 - 7], Г.В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина [21 - 22], И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича [16 - 17] и определим, какую роль авторы этих учебников отводят моделированию.

В учебниках [6], [7] понятия «модель» и «моделирование» не вводятся ни в 5, ни в 6 классах, соответственно нет задач с формулировкой, характерной для метода моделирования.

В учебнике [22] небольшое внимание уделяется математическому языку, но не встречаются сюжетные задачи, требующие перевода условия задачи с русского на математический язык.

В учебнике [16] изучаются темы «Математический язык», «Математическая модель». Как и в учебнике [11] понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения, - это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче.

Авторы пишут: «Выполняя задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу - понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель». Так неявно выделяются этапы моделирования: формализация и интерпретация.

Но следует отметить, что задачи, в которых требуется построить математическую модель, встречаются в учебниках [16], [17] очень редко.

2.2. Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6»

Учебники Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» [11 - 15] входят в часть единого непрерывного курса математики и являются продолжением учебника математики для начальной школы авторов Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон. Этот курс разрабатывается в настоящее время с позиции развивающего обучения, гуманизации и гуманитаризации математического образования.

Обучение школьников ведется на высоком уровне трудности. Но материал учебников предусматривает возможность работы по ним детей разного уровня подготовки.

Учебники ориентированы на развитие логического  мышления, творческих способностей ребенка и интереса к математике. Учебник для 5 класса состоит из двух частей, для 6 класса - из трех. Каждая часть включает в себя две главы. Эти учебники позволяют учащимся самостоятельно добывать знания, а главное учат учиться. С первых уроков ученикам предлагаются задания для формирования умений сравнивать, обобщать, классифицировать, рассуждать. Большая часть заданий требует от учащихся творческого подхода.

Новый материал вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное «открытие» его учениками. Часто задания для закрепления даны в игровой форме (кодирование и расшифровка, отгадывание загадок и т.п.) Учащиеся с огромным удовольствием выполняют эти задания.

В учебнике в системе даны задания на развитие логики, мышления, развитие всех видов памяти, творческих способностей.

«В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то как найти общее число фруктов? Конечно, 2 + 2 + 1 = 5. Но ведь точно также мы можем определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура.

В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, складывая не яблоки с апельсинами и не физкультуру с математикой, а натуральные числа.

Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условие задачи с привычного родного языка на специальный, математический язык, чем мы и займемся в этом пункте,» - так авторы учебника проводят мотивацию изучения математического моделирования еще в самом начале курса математики пятого класса (п. 1, §2, глава 1, [11]). Рассмотренный пример, настолько прост и нагляден, что понятен даже пятиклассникам, и становится ясно, что с помощью модели решать задачу будет проще, но еще не понятно, что именно представляет собой математическая модель.

Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

В этом же пункте авторы составляют модели пяти разнообразных задач, которые располагаются среди предложенных для решения, в том числе задач, основной сутью которых является отработка навыка перевода задачи на математический язык. Такими задачами являются задачи со следующими формулировками:

· Составь выражения для ответа на вопросы задач (№ 72).

· Придумай задачи, в которых математической моделью являются следующие выражения (№ 73).

· Среди данных задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают (№ 74).

· Построй математическую модель (№ 82, № 111).

· Составь схему к задаче (№ 76).

· Переведи условие задачи с русского языка на математический (№ 83, № 87, № 98, №102, № 116).

· Составь таблицу по условию задачи (№ 124).

· Запиши математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы x и y (№ 137).

Весь этот пункт направлен на овладение школьниками первым этапом решения задач с помощью математического моделирования. Заметим, что задачи с такими формулировками встречаются не только в этом пункте, но и по всему тексту учебника, например:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796, 797, 828 и другие;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478, 530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 и другие;

6 класс, часть 1, [13]: №№ 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 и другие;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 495 - 498, 505 - 507 и другие;

6 класс, часть 3, [15]: №№ 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 и другие, что дает возможность сформировать у учащихся не только умения, но и навыки построения математических моделей сюжетных задач.

Но кроме умения строить математические модели необходимо уметь их разрешать и переводить результат на понятный человеку язык. Эти два этапа процесса моделирования авторы объединяют в один, который называют «Работа с математической моделью» (п. 2, §2, глава 1, [11]). Из рассмотренных в этом пункте примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Для получения результата в некоторых задачах достаточно использовать алгоритмы действий с числами (например, № 82, [11]), в других - решение уравнений (например, № 144, [11]). Отсюда следует, что чем больше математических понятий и свойств знают учащиеся, тем больше они имеют возможность для отыскания короткого и простого решения.

При решении математических задач часто бывает так, что исследование полученной математической модели не сводится к известным случаям, то есть у учащихся нет достаточных знаний для исследования той или иной модели. Авторы учебника предлагают два специфических способа исследования математических моделей:

1) метод проб и ошибок;

2) метод перебора.

Рассмотрим на примерах, в чем состоит суть этих методов.

Метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в том случае, когда математическая модель представляет собой новый, еще не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одного не пропущено.

Задача. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника (см. № 168 (2), [11]).

Решение. Математическая модель представляет собой следующее уравнение: . Нужно найти и . Никакие известные пятиклассникам правила преобразования не помогают найти ответ. Авторы предлагают подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х (x - 9) было равно 90. Попробуем подставить в это выражение, например х = 13:

13 (13 - 9)=52

Мы видим, что полученное значение выражения слишком мало. Возьмем теперь х = 14:

14 (14 - 9)=70

И снова выбранное значение мало, хотя и ближе к искомому.

Далее возьмем х = 15. Получим:

15 (15 - 9)=90

Эта попытка оказалась удачной, при х = 15 имеем 15 (15 - 9)=90. Казалось бы, что задача уже решена, но это не так: ведь может оказаться, что есть другие x, при которых это выражение тоже равно 90. Допустим, что х > 15, тогда х - 9 > 6, следовательно произведение будет больше 90. Пусть х < 15, тогда х - 9 < 6, получим, что 15 (15 - 9)<90.

Нам требуется найти стороны прямоугольника. Получаем, х =15 и . Ответ: 15 см и 6 см.

Данный метод служит мощным средством при решении еще неизвестных уравнений, неравенств и систем уравнений. Однако он очень трудоемкий и нужно добиваться от учащихся поиска более рационального метода решения, если это является возможным в данной ситуации.

При решении задач методом проб и ошибок учитель должен объяснить школьнику, что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные иногда очень непростые рассуждения, а, значит, метод проб и ошибок имеет недостаток, который, в свою очередь не имеет другой метод - метод перебора.

Метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором автор поясняет, что следует рассматривать «все мысленные возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и дает решение задачи» [11].

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Но следует обратить внимание учащихся на анализ условия, тем самым сократить систему перебора. Рассмотрим задачу.

Задача. Задумано двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? (Cм. № 181 (1), [11]).

Решение. После составления модели получаем следующую задачу:

Для цифр х и y двузначного числа выполняется равенство 10x + y = xy + 66. Найти это число.

Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9. Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что правая часть равенства больше 66. Значит, и левая его часть, то есть задуманное число больше 66. Поэтому неизвестное число х не меньше 6, и можно рассматривать только четыре значения х - от 6 до 9.

При х = 6 наше равенство имеет вид 60 + y = 6y + 66, а этого быть не может, так как левая часть получилась меньше правой при любых значениях y от 0 до 9.

При х = 7 имеем 70 + y = 7y + 66. Если мы от каждой части этого равенства отнимем одно и то же число y, то получим 70 = 6y + 66, откуда 6y = 4, что для натурального числа не возможно.

При х = 8 имеем равенство 80 + y = 8y + 66. Снова, вычитая из каждой части y, получим, 80 = 7y +66, 7y = 14, y = 2. Таким образом, для чисел х = 8 и y = 2 равенство выполняется, и число 82 удовлетворяет условию задачи:

82 = 8 · 2 + 66.

Следует обратить внимание учащихся, что нельзя считать задачу полностью решенной, поскольку перебор еще не закончен, и среди не рассмотренных случаев могут найтись решения.

Выполняя аналогичные преобразования, имеем при х = 9:

90 + y = 9y + 66,

90 = 8y +66,

8y = 24,

y = 3.

Показывая учащимся, что получилось еще одно решение, число 93, которое удовлетворяет 93 = 9 · 3 + 66, мы подчеркиваем важность полного перебора.

Авторы также советуют проводить перебор с помощью таблицы:

X	Уравнение	Упрощенное уравнение	Y
6	60 + y = 6y + 66		невозможно
7	70 + y = 7y + 66	6y = 4	невозможно
8	80 + y = 8y + 66	7y = 14	y = 2
9	90 + y = 9y + 66	8y = 24	y = 3

После того, как произведен полный перебор, важно научить школьников формулировать ответ в соответствии вопросу исходной задачи. В данном случае ответ будет таков: задумано либо число 82, либо 93.

К методу проб и ошибок и к методу перебора авторы еще раз возвращаются уже в 6 классе (§ 3, глава 3, [15]).

В 6 классе продолжается обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с помощью уравнений. Но прежде чем приступить к решению задач, авторы учебника пытаются дать ответ на вопрос: «Для чего решают задачи?» и приходят к выводу, что, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Далее выделяются три этапа математического моделирования:

1) построение модели;

2) работа с моделью;

3) практический вывод.

Распространенным видом математических моделей являются уравнения. В соответствии с этапами моделирования решение задач с помощью уравнений состоит также из трех этапов:

1) составление уравнения;

2) решение уравнения;

3) ответ на вопрос задачи.

Учащиеся обучаются выбирать переменные, составлять уравнения, решать их и анализировать результат.

Система задач, приведенная в учебниках [11 - 15] позволяет достаточно полно раскрыть методы исследования математических моделей, большое внимание уделяется решению задач с помощью уравнений, так как уравнения - это основной вид моделей, изучаемых в 5 - 6 классах. На основе этих упражнений учащиеся должны научиться понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а также понимать значение математической модели, уметь строить ее, искать наиболее рациональный способ ее исследования и правильно делать вывод о проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу.

2.3. Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования

Известно, что процесс мате-матического моделирования осуществляется в три этапа:

1) формали-зация;

2) решение внутри модели;

3) интерпрета-ция.

Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется работе над вторым этапом моделирования, в то время как форма-лизация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Необходимо организовать обучение уча-щихся элементам моделирования, относящимся ко всем трем эта-пам. Важным средством обучения элементам моде-лирования, относящимся к этапам формализации и интерпретации, являются сюжетные задачи, но этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко. Учащимся, как правило, сразу предъяв-ляется словесная модель задачи, поэтому представления о характе-ре отражения математикой явлений, описываемых в задачах, часто оказываются весьма примитивными, то есть нет условий для содержательного раскрытия деятельности, проходящей на этом этапе математического моделирования. Поэтому надо искать пути содержательного раскрытия и конкретизации этапов форма-лизации и интерпретации математического моделирования. Уже в 5 - 6 классах целесообразно использовать задачи, которые позволяют учить школьников действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации.

Моделирование включает в себя большое число составных элементов, поэтому большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования. В. А. Стукалов [28] выявляет следующие элементы:

1) замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;

2) оценка полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных;

3) выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;

4) оценка возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.

На основе перечисленных элементов математического моделирования, характерных для этапов формализации и интерпретации, можно выделить умения, которыми должны овладеть учащиеся для успешного освоения методом математического моделирования:

1) умение заменять исходные термины математическими эквивалентами;

2) умение оценивать полноту исходной информации;

3) умение выбирать точность числовых значений;

4) умение оценивать возможность получения числовых данных для решения задачи.

Проанализируем учебники [11 - 15] Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон с точки зрения наличия задач, применяемых для формирования у учащихся 5 - 6 классов выделенных умений.

Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается прежде всего на жизненном опыте учащихся, то есть знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук, вооружают учащихся навыками самостоятельной работы, способствуют сознательному применению имеющихся знаний к жизни, знакомят их с новыми приемами решения, развивают математическое мышление и практическую смекалку.

Обучение замене исходных терминов может происходить при формировании понятий. В анализируемых учебниках [11 - 15] такими математическими эквивалентами являются понятия «прямоугольник», в частности, «квадрат», «прямоугольный параллелепипед» (в частном случае «куб»), «окружность», «сфера». В заданиях, предложенных авторами учебника, всегда наряду с исходным термином указывается его математический эквивалент, что по нашему мнению является целесообразным. В тексте учебника встречаются следующие задачи.

Понятие «прямоугольник»

· Площадь баскетбольной площадки прямоугольной формы а м², а длина 20 м. Какова ее ширина? (Cм. № 16 (1), [11]).

· На рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди площадь этого участка, и выразили ее в арах. Какова длина прямоугольника, имеющего такую же площадь и ширину 45 м? (Cм. № 57, [11]).

· Переведи условие задачи на математический язык:
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину - на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м². Какова площадь образовавшейся строительной площадки? (Cм. № 271 (2), [12]).

· Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора:
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами (см. № 333(3), [11]).

Понятие «параллелепипед»

Прямоугольный параллелепипед является математическим эквивалентом «аквариума», «печи», «ящика», «бассейна». Например.

· Из фанеры требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 40 см, 20 см и 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Какова будет его вместимость? (Cм. № 272, [11]).

· Из жести сделали бак без крышки. Он имеет форму куба с длиной ребра 8 дм. Бак надо покрасить снаружи и изнутри. Какую площадь надо покрасить? Какова вместимость бака? (Cм. № 712, [11]).

· Чтобы сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических метров земли пришлось вынуть? (Cм. № 280 (1), [11]).

· Имеется два аквариума с измерениями 453250 см и 503245 см.

а) На изготовление какого из двух аквариумов потребовалось больше стекла?

б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором - на 5 см. В каком аквариуме больше воды? (Cм. № 547, [15]).

Понятия «окружность» и «круг»

При изучении окружности, круга и их свойств в учебнике используются задачи, в которых используются такие термины как «окружность колеса», «обороты колеса», «арена цирка», «циферблат часов», «беговая дорожка», «экватор Земли».

· Великий древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э.) установил, что длина окружности примерно в 3 раза больше ее диаметра. Пользуясь этим результатом, реши задачу: Какова длина беговой дорожки ипподрома, имеющей форму круга радиусом км? (Cм. № 307(1), [12]).

· Длина экватора Земли равна примерно 40000 км, а ее диаметр составляет длины экватора. Чему равен диаметр Земли? (Cм. № 488, [12]).

· Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число округли до целых (см. № 549 (2), [15]).

· Чему равна площадь циферблата часов, если длина минутной стрелки равна 4,5 см. Число округли до целых (см. № 566 (а), [15]).

· Арена цирка имеет длину 40,8 м. Найди диаметр и площадь арены. Число округли до целых (см. № 737, [15]).

Также к этой группе относятся задачи:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 102 (3), 142 (5), 280 (1), 716, 753, 791, 800;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 269 (5), 271 (1), 307, 352 (3), 379 (1), 380 (2);

6 класс, часть 1, [13]: №№ 56 (а);

6 класс, часть 3, [15]: №№ 341, 342, 547, 549 (2,4), 562, 566.

Также при обучении действию замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами применяются задачи, в которых требуется замена одной единицы измерения другой более мелкой и наоборот. Таких задач в учебниках очень много, но в основном в них требуется переводить километры в метры, метры в сантиметры, минуты в часы (№№ (5 класс, часть 1, [11]) 146 (1,2,4), 162 (2), 340 (1), 392, 406, 408, 504, 561, 581, 679, 752. 764, 786, 797, 798; №№ 44, 56, 127 (3), 221, 228, 616 (2), 769 (2), 901, 992, 1065, 1067 (5 класс, часть 2, [12]); №№ 189 (2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209, 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306, 334 (6 класс, часть 1, [13]); №№ 44, 49, 125,203, 204, 292, 293 (1), 322, 372, 373, 551 (6 класс, часть 2, [14]); №№ 116, 130 (а), 132,133, 154, 195, 223, 228, 304, 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563, 633, 667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (6 класс, часть 3, [15])), что не вызывает больших сложностей у школьников. Например.

· Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? (Cм. № 225 (1), [14]).

· Подводная лодка, идя со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 45 мин быстрее (см. № 227 (1), [14]).

Часто на практике используются такие единицы времени, как неделя, декада, квартал, век. В учебниках недостаточно задач, в которых название единиц измерения включено в сюжет задачи и требуется заменить одну единицу измерения другой в соответствии с условием. В таких задачах математическим эквивалентом будет являться число более мелких единиц измерения.

· Средняя температура воздуха за неделю равна 18,6, а за шесть дней без воскресенья - 18,4. Какой была температура воздуха в воскресенье? (Cм. № 285 (2), [13]).

Мы считаем, что необходимо рассматривать больше задач, в которых требуется перевод единиц измерения, не водящих в известные системы мер, чем их приведено в учебниках [11 - 15].

При обучении действию оценки полноты исходной информации и введения при необходимости недостающих числовых данных необходимо учитывать компоненты, которые могут быть в условии этих задач: сюжет (объекты), величины, их характеризующие, значения этих величин. При этом можно выделить следующие типы задач, представленные в таблице [19].

	сюжет	величины	значения
а)	+	+	-
б)	+	-	+
в)	-	+	+
г)	-	-	+
д)	-	+	-
е)	+	-	-

Знак «+» обозначает наличие соответствующего компонента в условии, знак «-» - отсутствие. Знак «-» в графе «сюжет» характеризует задачи, в которых требуется подобрать объекты по заданным величинам и (или) значениям. Знак «-» в графе «величины» предполагает выделение системы необходимых исходных величин в условиях лишних или недостающих данных. Комбинации «+», «+», «+» и «-», «-», «-» не рассматриваются как не представляющие интереса.

Кроме того, задачи внутри одного типа могут отличаться и формой задания: таблица, диаграмма, чертеж, краткая запись и т. д. Приведем примеры задач, встречающихся в анализируемых учебниках, соответствующие выделенным типам.

Первый тип соответствует комбинации «+», «+» «-» и характеризуется наличием сюжета, величин и отсутствием значений величин. Сюда относятся такие задачи как:

· По шоссе автомобиль двигался 2 часа со скоростью 90 км/ч, а по проселочной дороге - 5 часов со скоростью v км/ч. Сколько всего километров проехал автомобиль по шоссе и по проселочной дороге? (Cм. № 14 (1), [11]).

· Зарплату рабочего, равную n руб., повысили сначала на 10%, а потом еще на 40% от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения? (Cм. № 58 (г), [15]).

· Цену на компьютер снизили сначала на 20%, а потом еще на 50% от новой цены. После этого компьютер стал стоить k руб. Какой была его первоначальная цена? (Cм. № 58 (д), [15]).

К типу I относятся также следующие задачи:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 10, 14 (1), 16 (2-8), 28 (б), 40 (1-4), 72 (1-5), 82 (1), 83 (2), 142, 158 (1), 207, 210 (3), 250 (2), 317 (1), 317 (5), 398, 431, 433, 465, 466, 505, 506, 509, 531, 680;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 478, 487, 495, 870, 884, 929, 1000, 1001, 1097, 1122, 1137, 1162;

6 класс, часть 1, [13]: №№ 66 (1,2), 107, 200, 222, 228, 443;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 47 (1,3,4), 53 (1,3), 83, 130 (1,3), 136, 286, 287, 329, 337, 374, 453;

6 класс, часть 3, [15]: №№ 10, 16, 24, 148, 268, 319, 367 (б, в, г, д, е), 729.

Ко второму типу относятся задачи, в которых есть сюжет, числовые данные, но нет величин, которые они характеризуют. Например.

· В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике? (Cм. № 167, [11]).

· Составь выражение для задачи и найди его значение:

В классе 25 учеников. Из них после уроков домой ушли 7 человек, а остальные разбились на 3 команды для игры. Сколько человек в каждой команде? (Cм. № 38 (4), [11]).

· Переведи условие задачи с русского языка на математический язык:

На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: «Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? (Cм. № 39 (2), [12]).

К типу II относятся также следующие задачи:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 111 (4), 159 (1,2), 181 (1,4), 182 (2), 196, 213 (1), 275 (2), 278 (1,2), 281, 299, 301, 337 (1,2), 348, 349, 358, 413, 425, 438, 525 (1,2), 559, 563, 569 (1), 595 (1,2), 607, 635, 636, 644, 671 (1,2), 687, 707, 709, 715, 719, 745, 771, 804;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 28 (1,2), 40 (1,2), 51, 78 (2), 94 (1,2), 95 (2), 133, 152 (1,2), 154 (1,2,3), 171 (1,2), 176, 184, 194 (1), 204, 206, 240, 249, 250, 253, 287, 304 (1,2), 329 (1), 330, 333 (4), 350, 367, 369, 385 (1), 387 (1,2,4,5), 427 (2), 490, 496, 497, 498, 504, 517, 558 (1,2), 559, 561 (1,2), 562 (1,2), 563 (2), 567 (1,2), 585, 587 (1,4), 595 (1,2), 599 (1,2), 674, 680, 712 (1,2), 778, 779, 834, 1049 (1,3);

6 класс, часть 1, [13]: №№ 17, 24, 57, 116, 130 (1,3,4), 133, 137, 165, 203, 212, 265, 301, 338, 410, 414, 450, 482, 483;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 108, 109, 110, 111, 112, 121, 173 (2,3,4), 176 (3), 184, 190, 191, 199, 200, 207, 209 (2,3), 213, 225, 226,229, 230, 240, 241, 249, 250, 252, 256,268, 281, 295, 326, 528 (1,2), 535, 552, 582;.

6 класс, часть 3, [15]: №№ 6 (1), 21, 50 (а), 64, 65, 93, 94, 95, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125 (а), 126, 127 (а), 150, 151, 152, 158, 292, 307, 368, 393, 464, 466, 467, 468, 472, 473, 497, 523, 627, 633, 699, 705, 767.

Ясно, что в учебнике очень много сюжетных задач, содержащих числовые данные, что обосновано целями образования.

Третий тип соответствует комбинации «-», «+» «+». К этому типу относятся задания, в которых нужно составить задачу по схеме или краткой записи. В учебниках Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон такие задачи представлены в следующем виде:

Составь по схемам задачи и найди неизвестные величины (d_t -расстояние между объектами через t ч после выхода) (№ 197, [13]):

40 км/ч 80 км/ч

25

t_встр. = 2,5ч

? км s = ? d_1,5 = ?

110 км/ч 70 км/ч

25

t = 2 ч

150 км t_встр. = ? d₂ = ?

? км/ч 9 км/ч

25

t = 1,4 ч = ?

? км d_1,4 = ? d_3,2 = ?

В основном нужно составить задачи на движение в различных направлениях согласно указанным в схемах данным. К этому же типу относятся задачи №№ 215 [13]; 387 [14]; 131, 524, 627 [15].

Четвертый тип характеризуется отсутствием сюжета и величин и наличием значений, то есть это такие задания, в которых нужно составить задачу по числовому выражению, уравнению и т.д. В учебнике к этому типу относятся задачи вида:

· Придумай 3 задачи, решением которых является выражение (№ 115, [13]):

(a - a : 4) :2.

· Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ (№ 424, [14]):

а) (-9) + (+4); б) (+6) + (+3);

в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7).

Аналогичные действия нужно выполнить в № 427 [14].

· Составь по данной математической модели задачу и реши ее (№ 496, [14]):

1) 0,48 : (1,6 - 2x) + 5,2 = 6 2) 2 (x -1,8) = 2/3 x.

Пятому типу соответствует комбинация «-», «+», «-», где нужно составить задачу с указанными величинами, например, расстояние, скорость, время; стоимость, цена, количество и др.

· Придумай задачу, приводящую к выражению 3х + 5у, о величинах:

1) путь, скорость, время (S = vt);

2) стоимость, цена, количество товара (C = an);

3) работа, производительность, время (A = vt);

4) площадь прямоугольника, его длина и ширина (S = ab) (см. № 15, [11]).

· Как найти: а) процент от числа; б) число по его проценту; в) процентное отношение двух чисел? Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ ты считаешь более удобным? Почему? (Cм. № 766, [15]).

В учебнике [14] отдельно выделяются задания, в которых нужно составить задачу о «доходах» и «расходах» по заданному выражению.

Например,

· Придумай по выражению задачу о «доходах» и «расходах» и найди ответ (№ 220, [14]):

1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (-8); 3) (-1) + (-4).

Аналогичные этому №№ 221, 314 [14].

Авторы анализируемого учебника включили немного задач такого типа. Это можно объяснить тем, что школьники 5-6 класса еще не имеют достаточной подготовки и жизненного опыта решать задачи без числовых значений и сюжета, то есть самостоятельно придумывать задачи.

К шестому типу задач относятся задачи, которые характеризуются только наличием сюжета. Это задачи вида:

· Запиши выражение для ответа на вопрос задачи:

В 5 «А» классе а учеников, а в 5 «Б» классе - на 3 ученика меньше. Сколько всего учеников в этих двух классах? (Cм. № 11 (1), [11]).

· Составь выражение:

Барону Мюнхаузену а лет, а его лошадь на 25 лет моложе. Во сколько раз барон старше своей лошади? (Cм. № 28 (1), [11]).

· В одном классе a человек, а в другом - на 20% больше. Сколько человек в двух классах? (Cм. № 58 (а), [15]).

К этому же типу относятся задачи:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 11 (2), 11 (3), 11 (4), 11 (5), 11 (6), 40 (5), 40 (6), 242, 250, 16 (7), 43, 295 (1), 295 (3), 295 (4), 217 (4), 317 (6), 596 (в), 596 (г), 596 (д), 596 (е), 751 (2);

5 класс, часть 2, [12]: №№ 42 (2), 42 (3), 102 (1), 102 (2), 102 (3), 102 (4), 194 (1), 260;

6 класс, часть 1, [13]: №№ 69, 288, 415;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4);

6 класс, часть 3, [15]: №№ 367 (а), 778.

Говоря об обучении действию выбору точности числовых значений, соответствующих смыслу задачи, не имеется в виду формирование понятий и умений, связанных с приближенными вычислениями. Речь идет о привлечении внимания учащихся к тому, что любая математическая модель имеет погрешность. Например, считать массу краски для пола с точностью до грамма неразумно, поэтому необходимо уметь округлять числовые данные в соответствии со смыслом задачи.

Формирование данного действия должно начинаться уже в процессе знакомства учащихся с единицами измерения, что происходит еще в начальной школе. Целесообразно при изучении всех единиц рассматривать, какие объекты на практике измеряются данной единицей.

При обучении округления результата в соответствии со смыслом задачи могут использоваться задания, требующие округления, но без указания точности округления. Для того чтобы показать учащимся необходимость округления, можно использовать задачу: «Сколько нужно заплатить за половину буханки хлеба, если целая буханка стоит 6р. 75 к.?»

Приведем примеры задач, которые могут быть использованы для формирования рассматриваемого действия.

· Длина комнаты 7 м, ширина 4 м, а высота 3 м. Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки комнаты, если площадь окон и дверей составляет 9 м²? Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 10 м² обоев? (Cм. № 280 (2), [11]).

· Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобразите шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб (см. № 30, [14]).

· В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По «Волгам» она составляет 11,1% в год. Каков срок службы этого автомобиля? (Cм. № 434, [14]).

При решении задач на практике приходится округлять не только результат, но и исходные числовые данные. Это может происходить, например, при использовании табличных данных, где указана точность более высокая, нежели требуется по смыслу задачи. Средством обучения выбору точности исходных данных могут служить задачи:

а) требующие практических измерений;

б) связанные с чтением и построением графиков;

в) связанные с избыточной точностью числовых данных.

Задачи, требующие практических измерений

· Измерь длину и ширину тетради и вырази результат в дециметрах. Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах (см. № 741, [12]).

Задачи, связанные с чтением и построением графиков

· На тренировке в 50-метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанцию 200 м. Один плыл кролем, другой - брасом. На рисунке приведены графики их движения:

1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию?

2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы?

3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов?

4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец?

5) На сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша? (Cм. № 468, [12]).

В основном в учебнике обучение выбору точности числовых значений реализуется при построении различных графиков зависимостей.

К этому типу задач относятся также:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 330, 345;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 111, 112, 129, 179, 548, 592, 638, 649, 890;

6 класс, часть 1, [13]: №№ 55, 77-80, 92, 155, 162, 280, 317, 468, 473;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 33, 37, 38, 50, 51,81, 84, 113, 140, 141-144, 154, 155, 173, 175, 176, 178, 189, 190, 265, 288, 374;

6 класс, часть 3, [15]: №№ 146, 155, 158, 198.

Задачи, которые должны использоваться при обучении действию оценки возможности получения результата, представлены в учебнике в небольшом количестве. К ним относятся такие задачи, как:

· В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий - 10, и еще 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это? (Cм. № 336, [13]).

· На туристической карте масштаб оказался оторванным. Можно ли его восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? (Cм. № 49, [14]).

· В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трех партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. Может ли какая-либо партия заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов? (Cм. № 368 (б), [15]).

В процессе решения предложенных и аналогичных задач учащиеся должны усвоить, что выбор точности зависит от цели, с которой решается задача, и от качеств самого измеряемого объекта. При ответах школьники опираются на свои представления о реальных объектах и процессах, описанных в задаче.

Анализ учебников [11], [12], [13], [14], [15] показал, что в них содержится достаточное количество задач для формирования простейших умений, входящих в метод математического моделирования. Кроме того, вводится понятие «математическая модель» и описываются этапы математического моделирования. Школьники учатся оперировать с моделями. Все это создает предпосылки для более осознанного дальнейшего обучения математике.

2.4. Опытное преподавание

Опытное преподавание осуществлялось в школе № 21 г. Кирова.

Первоначально была изучена соответствующая теме исследования математическая и методическая литература. После чего были разработаны и проведены два занятия математического кружка по темам:

1) Математические модели.

2) Решение задач с применением метода математического моделирования.

Проведена контрольная работа по теме «Решение задач».

Подробное описание кружков и контрольной работы содержится соответственно в приложениях 1, 2, 3.

Нами были поставлены следующие цели:

1) познакомить учащихся с понятием математической модели;

2) рассмотреть основные типы задач, в которых требуется перевод условия задачи на математический язык;

3) выделить основные этапы моделирования;

4) в соответствии с этапами моделирования выделить этапы решения задач с помощью уравнений;

5) сравнить результаты контрольной работы в разных классах.

Занятия проводились в 6-х классах, обучающихся по учебнику [7] Н. Я. Виленкина, после изучения темы «Решение уравнений».

Занятия математического кружка проводились в 6^б классе, а контрольная работа - в 6^б и в 6^в классах.

После проведения контрольной работы были получены следующие результаты:

1) количество человек, решивших каждую задачу в 6^б больше, чем в 6^в классе (см. диаграмму);

Количество человек, решивших каждую задачу

2) при решении первой задачи трудности возникли вследствие того, что в качестве переменной x многие выбрали количество автомобилей, которые отремонтировал первый механик (количество детей в младшей группе - во втором варианте), хотя целесообразно за x взять количество автомобилей, отремонтированных вторым механиком (количество детей в средней группе). Появление дробей усложнило модель задачи, и ученики не смогли решить ее. Причем в 6^б правильный выбор переменной сделали на 5 человек больше, чем в 6^в, этому способствовало составление таблицы к задаче.

3) при решении второй задачи в первом варианте были допущены ошибки при составлении математической модели, так как несколько человек получили не , а ;

4) в четвертой задаче большие сложности вызвали проценты, поэтому из каждого класса эту задачу смогли решить лишь 16 и 10 человек соответственно. Ребята не смогли перевести на математический язык выражения «на 60% (40%) меньше», «на 60% (40%) больше», а также у некоторых возникла сложность с выбором переменной, так в качестве переменной была выбрана искомая величина, что нецелесообразно;

5) при составлении пропорции в пятой задаче сложностей не возникло, но многие просто не успели решить ее.

Сложности при решении задач возникают в результате того, что не всегда выбор переменных являет-ся рациональным. Уже на ранних этапах обучения нужно приучать к выбору таких пе-ременных модели, которые оказываются наиболее удобными для решения задачи. Удачный выбор переменных помогает легче составить математическую модель задачи, и получить наиболее простую для реализации модель.

Также сложность вызывает перевод условия или части условия задачи на математический язык, результатом чего является неправильно построенная модель задачи.

Можно сделать вывод, что обучение действиям характерным для этапов моделирования, облегчает построение математической модели задачи, способствует построению более удобной и простой модели, и, как следствие, упрощается процесс решения задачи.

Выводы по главе 2

1. Анализ школьных учебников по математике для 5 - 6 классов показал, что большое внимание методу моделирования уделяется в основном в учебниках Г. В. Дорофеева, Л. В. Петерсон, в остальных учебниках или эта тема не изучается вообще, или рассматривается обзорно.

2. Учебники [11 - 15] содержат большое количество задач, характерных для метода моделирования, а именно: задачи, непосредственно реализующие этапы процесса математического моделирования; задачи, в которых требуется выполнить действия, характерные для этапов моделирования.