Контроль знаний учащихся при изучении линии уравнений в основной школе

Еще один вид тестов - тест на заполнение пропусков в истинном утверждении. Такого вида тесты помогают учителю получить информацию о качестве формирования речевой математической культуры учащихся и уровне овладения математическим аппаратом, то есть цели проверки могут быть и комплексные.

Если тестирование осуществляется в письменном виде, то лист с тестовыми заданиями дается каждому ученику. Тест по одной и той же теме полезно делать в двух-четырех вариантах. Для простоты обработки задания, расположенные под одним номером, идентичны по содержанию.

Критерии оценок могут быть различны, в зависимости от теста и количества вопросов ([19], [29], [30]).

Наряду с тестовой формой контроля, на уроках математики могут применяться разного рода игры, в частности, чайнворды, кроссворды, криптограммы. Они вошли в практику обучения сравнительно недавно, опыт их применения основательно не изучен и не обобщен, но польза, приносимая ими, их влияние на усвоение учебного материала совершенно очевидны и реально ощутимы. Содержание, вкладываемое в игры, может быть различным. В основном это математическая терминология, не исключены и отдельные цифровые данные.

Урок - зачет

Одной из форм организации контроля знаний, умений и навыков учащихся является урок-зачет. Основная цель его состоит в диагностике уровня усвоения знаний и умений каждым учащимся на определенном этапе обучения. Положительная отметка за зачет выставляется в случае, если ученик справился со всеми заданиями, соответствующими уровню обязательной подготовки по изученному предмету. Если хотя бы одно из таких заданий осталось невыполненным, то, как правило, положительная оценка не выставляется. В этом случае зачет подлежит пересдаче, причем ученик может пересдать не весь зачет целиком, а только те виды заданий, с которыми он не справился [32].

Практикуются различные виды зачетов: текущий и тематический, зачет-практикум, дифференцированный зачет, зачет-экстерн и т. д. При их проведении используются различные формы организации деятельности учителя и учащихся: зачет в форме экзамена, ринга, конвейера, общественного смотра знаний, аукциона и тому подобное. Если учащимся предварительно сообщают примерный перечень заданий, выносимых на зачет, то его принято называть открытым, в противном случае - закрытым. Чаще же предпочтение отдается открытым зачетам с целью определения результатов изучения наиболее важных тем учебного предмета.

В качестве примера рассмотрим возможные основные этапы подготовки и проведения открытого тематического зачета.

Такой зачет проводится как завершающая проверка в конце изучаемой темы. Приступая к ее изложению, учитель сообщает о предстоящем зачете, его содержании, особенностях организации и сроках сдачи. Для проведения зачета из числа наиболее подготовленных учащихся отбираются консультанты. Они помогают распределить учащихся по группам в 3-5 человек, готовят учетные карточки для своих групп, в которых будут фиксироваться отметки за выполнение учениками каждого задания и итоговые отметки за зачет. Задания готовятся двух видов: 1) основные, соответствующие обязательному уровню подготовки учащихся; 2)дополнительные, выполнение которых вместе с основными необходимо для получения хорошей или отличной отметки.

Каждому ученику, кроме консультантов, готовятся индивидуальные задания, включающие основные и дополнительные вопросы и упражнения. В начале зачета, как правило, на спаренном уроке, ученики получают свои задания и приступают к их выполнению. В это время учитель проводит собеседование с консультантами. Он проверяет и оценивает их знания, а затем еще раз объясняет методику проверки заданий, в особенности основных.

На следующем этапе урока консультанты приступают к проверке выполнения заданий в своих группах, а учитель выборочно из разных групп проверяет в первую очередь работы учащихся, справившихся с основными заданиями и приступивших к выполнению дополнительных заданий.

В заключительной части урока завершается оценка выполнения каждого задания выставлением отметок в учетные карточки. Собрав учетные карточки групп, учитель на основе выставленных отметок выводит итоговую отметку каждому ученику и подводит общие итоги зачета [32].

Экзамены

Экзамены делятся на два вида: устные (по выбору) и письменные (обязательные). Форма проведения экзамена по выбору может быть различной: по билетам, собеседование, защита реферата, тестирование.

Обязательный экзамен по математике за курс средней школы в форме ЕГЭ подразумевает решение двух главных задач. С одной стороны, проверку обязательного уровня усвоения выпускником полной средней школы курса алгебры и начал анализа и, с другой стороны, - отбор наиболее подготовленной части учащихся для последующего обучения в высших учебных заведениях [24].

Учебные портфолио

Под учебным портфолио понимается форма и процесс организации образцов и продуктов учебно-познавательной деятельности обучаемого, а также соответствующих информационных материалов из внешних источников (от одноклассников, учителей, родителей и других), предназначенных для последующего их анализа, всесторонней количественной и качественной оценки уровня учащегося и дальнейшей коррекции процесса обучения. Состав учебного портфолио напрямую зависит от конкретных целей обучения данному предмету [46].

Отдельные авторы характеризуют учебные портфолио как

· коллекцию работ учащегося, всесторонне демонстрирующую приложенные усилия, а также очевидный прогресс в знаниях и умениях учащегося по сравнению с его предыдущими результатами;

· выставку достижений учащегося по данному предмету (или нескольким предметам) за данный период обучения;

· форму целенаправленной, систематической и непрерывной оценки и самооценки учебных результатов учащегося;

· антологию работ учащегося, предполагающую его непосредственное участие в выборе работ, представляемых на оценку, а также их самоанализ и самооценку.

Очевидно, что приведенные выше пункты далеко не исчерпывают состав возможного учебного портфолио, но они дают более или менее представление о том, что может быть включено в него.

Основной смысл учебного портфолио - показать, продемонстрировать все, на что ты способен. Основная задача - проследить динамику учебного прогресса.

Преимущества учебного портфолио в следующем:

· в отличие от традиционного подхода, который разделяет преподавание, учение и оценивание, учебное портфолио органически интегрирует эти три составляющие процесса обучения;

· позволяет объединить количественную и качественную оценку способностей учащегося посредством анализа разнообразных продуктов учебно-познавательной деятельности;

· поощряется не только оценка, но и самооценка и взаимооценка обучаемых;

· учебное портфолио направлено на сотрудничество учителя и учащегося с целью оценки достижений, приложенных усилий и прогресса в обучении.

В учебное портфолио могут быть включены следующие категории и наименования продуктов учебно-познавательной деятельности: работы самого учащегося - как классные самостоятельные, так и домашние; прикладные математические проекты (как индивидуальные, так и групповые); решения сложных занимательных задач по данной теме (на выбор учащегося); решения задач и упражнений из учебника, выполненных самостоятельно сверх учебной программы; задачи, составленные самим учащимся по данной теме; графические работы, выполненные по данной теме; описания экспериментов и лабораторных работ, выполненных учащимся (как индивидуально, так и в малой группе); варианты работ, выполненные учащимся в парах или в процессе взаимообучения.

К недостаткам учебного портфолио относят ослабление ее валидности и надежности, размытость критериев оценки элементов состава портфолио и трудоемкость процесса их проверки и оценки, высокий уровень субъективности оценки. Именно поэтому такая форма контроля знаний, умений и навыков по математике используется пока крайне редко [46].

Рейтинговая система контроля

Проблема объективности оценивания качества знаний учащихся разрешима, возможно применение рейтинговой системы контроля знаний учащихся. Использование такой системы ставит перед учителем задачу более тщательно отбирать и оценивать задания, составляющие основу текстов контрольных и самостоятельных работ. При этом к текстам заданий предъявляется ряд требований. Они должны быть понятны, недвусмысленны, не абстрактны, «новые» (то есть ранее не рассмотренные на практических занятиях), не слишком простые и сложные. Общее число заданий определяется из расчета времени, отводимого на самостоятельную работу учащихся, для каждого задания определяется свой «вес». Возможны следующие методы определения «веса»:

· оценивается смысловая значимость задания учебного материала, то есть наибольший рейтинг присваивается заданиям, проверяющим наличие обязательного уровня знаний;

· учитывается процент учащихся (одного класса), правильно выполнивших задание, по формуле p=k/n (k - число учащихся, правильно выполнивших задание; n - общее число испытуемых);

· учитывается число и значимость операций задания;

· оцениваются экспертные расчеты. Экспертам (учителям) предлагается анкета с заданиями, которые им необходимо проранжировать. После обработки результатов предлагается вторая анкета, в которой задания расположены по степени их значимости, определенной экспертами. Задания оцениваются по количеству очков, затем рассчитывается «вес» i-го задания по формуле: , где B_ij - «вес», определенный j-м экспертом i-му заданию, n - число экспертов.

Рассмотренные методы определения «веса» применимы к любому заданию, удовлетворяющему вышеперечисленным требованиям.

Таким образом, рассмотрев теоретический материал по проблеме контроля, можно сделать вывод, что существует большое разнообразие различных видов, форм и методов проверки знаний учащихся, которые учитель может применять на уроках математики. Если учитель владеет этим материалом, то контроль будет эффективным.

В практической деятельности учитель выбирая методы, формы и виды контроля учебной деятельности учащихся, обычно руководствуется целями обучения и его содержанием. Таким образом, выбор методов педагогической деятельности не произвольный акт. Он подчиняется ряду закономерностей, среди которых первостепенное значение имеют цели и конкретные образовательно-воспитательные задачи, содержание и принципы, уровень подготовленности класса и его развитие как коллектива, особенности личности самого педагога.

Во второй главе данной работы проведем анализ содержания программы по математике, учебников по алгебре 5-9 классов по теме «Уравнения». А на основании теоретического материала первой главы и проведенного анализа дадим методические особенности контроля знаний, умений и навыков учащихся при изучении линии уравнений в основной школе [26].

Глава II. Методические особенности контроля знаний, умений и навыков учащихся при изучении линии уравнений в основной школе

§1. Анализ содержания программы по математике

Материал, изучаемый в курсе алгебры 7-9 класса по теме уравнения, достаточно объемен и в обязательном порядке входит в экзамен. Поэтому от того, как был проведен контроль знаний, умений и навыков учащихся и как усвоен материал, зависит успешность сдачи экзамена. Чтобы учителю определиться с выбором форм проверки, сначала необходимо выделить содержание контроля. Отправной точкой учительской работы является анализ программы, затем анализ содержания темы в учебниках и только потом, в соответствии с ними, выбор форм и методов контроля. Об этом и пойдет речь во второй главе.

Курс алгебры в 7-9 классах характеризуется повышением теоретического уровня обучения, постепенным усилением роли теоретических обобщений и дедуктивных заключений. Прикладная направленность курса обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач [48].

Целью изучения этого курса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и другие), усвоение аппарата функций как основного средства математического моделирования, решение прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

В связи с этим программа курса математики предполагает следующее содержание по изучению уравнений в основной школе.

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение нелинейных систем. Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной переменной.

В соответствии с программой выделяются следующие требования к математической подготовке учащихся:

– понимать, что уравнения - это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

– правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение, неравенство, систему»;

– решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными (линейные и системы, в которых одно уравнение второй степени);

– решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, неравенства второй степени;

– решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.

При организации учебного процесса учителю следует строить свою работу, опираясь на раздел программы «Тематическое планирование учебного материала», в котором приводится конкретное планирование, ориентированное на действующие в настоящее время учебники математики.

Итак, анализ программы позволяет сориентироваться в основных требованиях, предъявляемых к изучению линии уравнений в основной школе. Следующим этапом, позволяющим продумать эффективный систематический контроль, является анализ содержания тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре для основной школы.

§2. Анализ изложения тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре

В учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2007/2008 учебный год, существуют разные подходы к изучению уравнений. Для сравнения рассмотрим следующие учебники.

1. [1], [2], [3].

2. [33], [34].

3. [35], [36], [37], [38].

4. [4], [5], [6].

5. [13], [14], [15].

6. [9], [10], [39].

В таблице 3 (Приложение 1) представлен сравнительный анализ содержания и последовательности изучения темы «Уравнения» по данным учебникам. Из данной таблицы видно, что содержание данной темы изложено по-разному. Отличие наблюдается и в порядке следования тем, и по месту в учебном процессе, и по объёмам изложенного материала, его сложности и значимости, и по системе задач.

Анализ учебников для классов общеобразовательных учреждений

Отметим, что в учебниках [1], [2], [3] тема «Уравнения» следует за темой «Алгебраические выражения» и изучается в начале учебного года. Понятие уравнения вводится в 7-м классе через сюжетную задачу, как равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Далее дано определение корня уравнения, как значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство, и на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие решить уравнение (найти все его корни или установить, что их нет), на интуитивном уровне вводится понятие линейного уравнения, так как оно не получает явного определения, а заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами.

Далее, в теме «Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным», вводятся свойства уравнений (о переносе членов уравнения и умножении их на одно и то же, неравное нулю число), и тем самым учащимся обосновывается известный из курса математики V-VI классов способ решения уравнений, много времени уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения.

Для закрепления данной темы приводятся задачи:

1) на оперирование основными понятиями;

2) на овладение алгоритмом решения уравнений данного класса;

3) на применение уравнений к решению текстовых задач.

Более глубоко данная тема изложена в учебнике [2]. Система упражнений включает не только задания на отработку типовых умений, но и задачи повышенной трудности (задачи на доказательство, на составление программ для вычисления значения выражения, системы уравнений с двумя неизвестными, где одно из уравнений третьей степени, текстовые задачи на движение, задача Маклорена). В данном курсе изучаются квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, уравнения вида , где >, приведённые квадратные уравнения, формулы для нахождения корней данных уравнений, теорема Виета и обратная теорема. Это единственный учебник, в котором подробно изучена тема «Комплексные числа» и их связь с уравнениями - «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными».

В учебнике [3] есть несколько упражнений на решение иррациональных уравнений. Для решения таких уравнений используется метод возведения в квадрат и координатный метод. В главе «Элементы тригонометрии» приведены упражнения на решение тригонометрических уравнений.

Заметим, что в упражнения для повторения включен отдельный пункт, в который входят упражнения на решение различных видов уравнений и их систем, задачи на составление уравнений. Примечательно то, что более трудные задачи по теме «Уравнения» нашли свое отражение в разделе «Задачи для внеклассной работы».

В учебниках [33], [34] понятие уравнения, в отличие от учебников [1], [2], [3], вводится уже в 5-м классе в главе «Натуральные числа», хотя и также через сюжетную задачу. Определение уравнения, его корня и решения аналогично определению, данному в учебнике [1]. Однако нахождение неизвестного базируется не на основе использования основных свойств, а с помощью правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя, с использованием переместительного, сочетательного и распределительного законов. В 5-м классе учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при решении текстовых задач (непосредственно само решение задач, составление задач по уравнению, определение значения выражения), таким образом, учащиеся еще и логически мыслят, рассуждают, анализируют.

Учебник [34], по сути, является продолжением учебника [33], так как с темой уравнения учащиеся соприкасаются только при непосредственном решении самих уравнений и текстовых задач. Единственное отличие заключается в следующем: учащиеся при решении уравнений используют операцию раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, базирующуюся на законах, известных из курса 5-ого класса. И только по окончании курса 6-ого класса на основании уже изученного ранее вводятся два свойства решения уравнений, которые в учебниках [1], [2], [3] имеют место в 7-м классе.

В учебниках [35], [36], [37], [38] понятие уравнения вводится впервые в 6-м классе также через сюжетную задачу. Правила решений аналогичны правилам, данным в учебниках [33], [34]. Однако заметим, что определение понятия решить уравнение и определение понятия корень не даны, как, впрочем, не сказано о том, сколько вообще корней может иметь уравнение. Данные понятия вводятся лишь в учебнике [36].

Дальнейшее изучение темы «Уравнения» продолжается в курсе алгебры 7-ого класса. Примечательно, что также как и в учебниках [33], [34], учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при составлении и решении текстовых задач. Однако стоит отметить то, что материал по данной теме не является цикличным - весь необходимый материал изучается отдельными блоками, а блоки структурированы по сложности (от простых уравнений к более сложным).

Система задач в учебниках [35], [36], [37], [38] значительно шире, помимо задач на оперирование основными понятиями и задач на овладение алгоритмом решения уравнений при решении текстовых задач (причем не только алгебраическим методом, но и арифметическим), она включает еще и упражнения в чтении и записи алгебраических упражнений, упражнения на истолкование алгебраических выражений для разных условий задачи, упражнения на составление алгебраических выражений и задач по готовым выражениям, кроме того, присутствуют задания тестового характера. Задания повышенной трудности вынесены в пункты под названием «Для тех, кому интересно». Способы решения уравнений аналогичны способам, данным в учебниках других авторов.

Примечательно то, что при решении уравнений учащиеся могут пользоваться не только основными свойствами, но и методами, которые используются в учебниках [11], [12].

В 8-м классе учащиеся решают квадратные уравнения (в том числе неполные и приведенные уравнения), пользуясь приемом выделения квадрата двучлена, методом замены переменной, методом разложения на множители, теоремой Виета. Система задач по теме «Квадратные уравнения» включает разнообразные задачи: задачи на оперирование основными понятиями, задачи на составление уравнений, задачи на заполнение пропусков в уравнении и другие.

Примечательно, что в учебнике [37] находит отражение формула нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (1) и формула нахождения корней приведенного квадратного уравнения (2):

(1)

(2)

Далее учащиеся закрепляют навыки решения уравнений при решении различных систем уравнений и задач.

В курсе 9-ого класса учащиеся решают уравнения с модулем, целые, рациональные, иррациональные, дробные уравнения, уравнения с параметром, задачи на составление уравнений, системы уравнений с двумя переменными. Отметим, что в учебнике [38] для нахождения корня уравнения используется графическое исследование уравнений.

Таким образом, в учебном пособии [38] охвачен более широкий класс уравнений, чем в учебниках других авторов, а в главу «Повторение» включены все виды уравнений, изученных ранее, а также системы уравнений второй степени.

В учебниках [4], [5], [6] перед введением уравнений с одной переменной изучаются сначала выражения и их преобразования. Понятие уравнения с одной переменной вводится через сюжетную задачу в 7-м классе. Далее дано определение корня уравнения: «Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство» [[4], 23с.]; на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие «решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет» [[4], 24с.] и равносильные уравнения. Далее рассматриваются линейные уравнения с одной переменной.

Отметим, что система задач включает однотипные упражнения на решение уравнений, почти все они обязательного уровня. Однако, пункт «Дополнительные упражнения» содержит разнообразные задачи повышенного уровня, а, в общем, весь курс алгебры 7-ого класса пронизан уравнениями различной степени сложности.

Отметим также, что в учебнике [4] курс алгебры 7-ого класса начинается и заканчивается темой уравнения. В конце учебного года в главе «Системы линейных уравнений» вводится определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Система задач в данной главе включает упражнения различной степени сложности на решение уравнений и их систем различными способами.

В пункт «Задачи повышенной трудности» включены параметрические уравнения, уравнения с модулем, целочисленные уравнения, а также задачи на составление систем уравнений и их решение.

В учебнике [5] в главе «Квадратные корни» изучаются уравнения вида , позднее вводится определение квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Система задач включает упражнения на решение квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других видов уравнений различными методами, а также упражнения на решение задач с помощью системы уравнений. Отметим, что в учебнике [5] имеется глава «Дополнительные упражнения», в которую включен очень широкий класс задач различной степени сложности на решение уравнений.

В учебнике [6] уравнения изучаются в отдельной главе, в которую включены целые уравнения, биквадратные, иррациональные уравнения, системы уравнений с двумя переменными и системы уравнений второй степени, а также задачи на составление систем уравнений. Система задач, также как и в учебнике [5], включает упражнения различной степени сложности, в том числе, и задачи повышенной трудности.

В учебниках [13], [14], [15] заложено проблемное изложение материала, развивающее обучение и диалектический подход к введению математических понятий.

Понятие уравнение рассматривается в 7-м классе в качестве математической модели. Само решение уравнений, то есть нахождение корней, происходит посредствам применения формул сокращенного умножения, способа группировки, разложения на множители и прочее.

В учебнике [13] рассматривается линейное уравнение, причем, кроме определения понятия уравнения с одной переменной (аналогично определению, данному в учебниках [1], [2]), вводится определение понятия уравнения с двумя переменными и его решения, а также теорема о графике линейного уравнения. Итогом изучения уравнений в 7-м классе является рассмотрение темы «Графическое решение уравнений» и темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

В учебнике [14] задачи на данную тему становятся сложнее: это решение рациональных и иррациональных уравнений, квадратных (полных, неполных, приведенных, неприведенных) и биквадратных уравнений, уравнений с параметрами и прочие, хотя методы решения уравнений аналогичны методам, данным в учебниках [36], [37], [38].

Отметим также, что данные, которые нужно запомнить, например, алгоритмы решения конкретного класса уравнений, выделены курсивом.

Система задач включает в себя разнообразные задачи - от примитивных задач до заданий повышенной трудности. Такое разнообразие заданий обеспечило наличие задачника к данному учебнику.

В курсе 9-ого класса учащиеся знакомятся с понятием рационального уравнения с двумя переменными и понятием решения такого уравнения, получают представление о равносильных преобразованиях. Исходя из этого, система задач содержит различные виды упражнений на решение рациональных уравнений с двумя неизвестными и их систем, а также упражнения на применение данных уравнений при решении текстовых задач.

Заметим, что в конце курса 9-ого класса учащиеся также решают простейшие тригонометрические уравнения.

В учебниках [9], [10], [39] определение понятия уравнения вводится на интуитивном уровне (через пример) в 6-м классе в главе рациональные числа. Определение понятия корня и решения уравнения аналогично определениям, данным другими авторами. Далее приведена примитивная система задач, где в основном присутствуют упражнения на решение по образцу и упражнения на составление уравнений при решении текстовых задач.

Далее, в учебнике [10] также на интуитивном уровне вводится определение понятия уравнения первой степени с одним неизвестным. Заметим, что в определении понятия решить уравнение не оговаривается тот факт, что корней может и не быть. Определение понятия линейного уравнения следующее: «Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно х или числа». Кроме того, автор выделяет еще одно свойство, необходимое при решении уравнений, - приведение подобных членов, которое в учебниках других авторов является методом решения линейных уравнений. Далее учащиеся решают простейшие линейные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи на составление уравнений, системы линейных уравнений с двумя неизвестными и задачи на составление данных систем. Заметим, что автор включает в систему задач по теме «Уравнения» однородные диофантовы уравнения и предлагает более простой способ решения систем уравнений - метод Гаусса.

В 8-м классе учащиеся приобретают навыки решения квадратных (неполных, общего вида, приведенных) и рациональных уравнений (биквадратных; «распадающихся»; уравнения, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая - нуль) и применяют полученные знания при решении задач. Помимо данных уравнений изучают комплексные уравнения, уравнения прямой и окружности. В конце курса 8-ого класса учащиеся решают системы рациональных уравнений первой и второй степени, причем, с тремя неизвестными, а также решают задачи, составляя системы уравнений. Отметим, что в качестве способа решения систем уравнений активно используется графический метод.

В курс 9-ого класса включены лишь упражнения на решение различных видов уравнений, никаких новых сведений о линии уравнений учащиеся не получают.

Таким образом, материал в учебниках [9], [10], [39] расположен так, что отдельные темы программы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений. Изложение материала связное - подряд излагаются большие темы, нет мелких вопросов, нарушающих логику изложения тем. Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала по отдельности, потом трудности совмещаются. Сложность заданий в каждом пункте нарастает линейно. Упражнения выстроены по нарастанию сложности и не перебиваются упражнениями на другие темы. Важную роль в формировании первоначальных представлений о зарождении и развитии науки играют исторические сведения, завершающие каждую главу учебника. Учебники [9], [10], [39] нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся, но их можно использовать в классах с обычной программой по математике.

Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики

Проанализируем учебники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так как данные учебники предназначены для классов с углубленным изучением математики и в них описаны иные подходы к изучению материала и значительно расширено содержание.

В учебнике [7] содержатся 18 параграфов, охватывающих все основные темы общеобразовательного курса алгебры в 7-м классе, и ряд дополнительных вопросов. Учебник дает возможность достаточно обстоятельно рассмотреть теоретические вопросы и предложить учащимся широкий круг упражнений, различных по уровню сложности. Что касается конкретного материала по теме «Уравнения», то он достаточно объемный и содержит упражнения различной степени сложности. В данном курсе изучаются уравнение с одной переменной и его корни, равносильные уравнения, линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, уравнения с модулем и задачи на составление уравнений.

Далее, после изучения глав «Разложение многочленов на множители» и «Формулы сокращенного умножения», продолжается изучение линии уравнений (несмотря на то, что упражнения на решение уравнений различной степени сложности в этих главах также присутствуют) в главе «Системы линейных уравнений». В данной главе для решения предлагаются упражнения на решение уравнений с двумя переменными в целых числах, на решение систем уравнений различными способами (в том числе системы уравнений с тремя переменными) и задачи на составление уравнений.

В учебнике [8] в отличие от учебника [7] тема «Уравнения» изложена в отдельной главе «Квадратные уравнения», которая изучается в конце курса 8-ого класса. В данной главе также как и в учебниках для классов общеобразовательных учреждений изложен теоретический материал о квадратных уравнениях и его корнях, о решении дробно-рациональных уравнений. Однако изложение достаточно обстоятельно и представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений (например, упражнения на решение параметрических уравнений, уравнений с модулем, на применение обратной теоремы Виета, упражнения на доказательство).

Отметим, что в тему «Квадратные уравнения» дополнительно включен вопрос о выражениях, симметрических относительно корней квадратного уравнения.

Учебник [16] отличается, прежде всего, более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (изъяты слишком простые примеры и рассуждения, добавлены более сложные и интересные примеры). Материал по теме исследования написан в русле той концепции, которая использована в учебнике [14], с соблюдением практически того же порядка следования параграфов, но с естественным расширением материала. По оглавлению сразу можно выделить дополнительный материал: алгоритм извлечения квадратного корня, уравнения высших степеней, уравнения с модулями и параметрами. Система задач, также как в учебнике [8], разнообразна по содержанию и уровню сложности.

Учебник [17] является продолжением учебника [16] и написан на базе учебника [15]. Единственное отличие заключается во включении в курс дополнительного материала по теме исследования: задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), однородные, иррациональные, симметрические системы, системы с модулями. Соответственно и система задач значительно шире.

В учебник [11] включены упражнения на решение дробно-рациональных и кубических уравнений, неопределенных уравнений первой степени, используется метод разложения на множители, формулы сокращенного умножения, метод выделения полного квадрата, основное свойство пропорции, наибольший общий делитель коэффициентов и так далее. Система задач включает уравнения более высокого порядка, так как учащиеся при выполнении заданий могут пользоваться теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком, теоремой Безу о корнях многочлена, теоремой о симметрических многочленах от двух переменных. Соответственно и система задач более сложная и трудоемкая. Несмотря на то, что уравнения различной степени сложности включены в каждую тему, рассматриваемую в данном учебнике, они находят свое отражение в отдельной главе «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений». В данной главе вводится определение понятия квадратного и приведенного уравнения, корней уравнения, формула нахождения корней через дискриминант и по теореме Виета (в том числе и для многочленов высших степеней). Отметим, что система задач включает упражнения на составление уравнений по известным корням и их кратности, упражнения на решение уравнений с параметрами, упражнения на доказательство, упражнения на нахождение суммы, произведения, разности корней уравнения, не решая данное уравнение, на определение знака корней, задачи на составление уравнений.

Отметим, что в курсе алгебры 8-ого класса учащиеся учатся решать возвратные и однородные уравнения, симметрические системы уравнений и системы уравнений с параметрами и модулем. Помимо методов, известных из курса алгебры общеобразовательной школы, учащиеся при решении уравнений часто прибегают к использованию графического метода решения уравнений.

В учебнике [12] в систему задач включены иррациональные, показательные уравнения, в том числе с модулем. Достаточно много упражнений на решение уравнений включено в главу «Элементы теории множеств», но также имеется глава, в которой находит свое отражение материал по теме «Уравнения» - «Уравнения, неравенства и их системы». Заметим, что в данной главе, на функциональном уровне даны общее определение уравнения с одной переменной и его корня, определение целого рационального уравнения и методы решения таких уравнений (разложение на множители, введение новой переменной и прочие), определение дробно-рационального уравнения, определение равносильных уравнений. Также как и в курсе алгебры общеобразовательной школы вводятся следствия из уравнений.

Система задач достаточно хорошо структурирована, содержит много упражнений на решение всех изученных видов уравнений различной степени сложности.

Данная глава является итоговой при изучении уравнений в курсе алгебры, так как включает в себя все виды уравнений, изученных не только в курсе 9-ого класса, но и уравнения, рассматриваемые ранее.

Таким образом, анализ программы и школьных учебников позволяет выделить 3 основных блока учебного материала по теме «Уравнения» - теоретический, практический и прикладной. Теоретический блок включает в себя: определение уравнения, корень уравнения, решение уравнения и системы и прочее. Практический блок состоит из умения решать линейные, квадратные, рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений различными методами. Прикладной блок составляют следующие задачи: решение неравенств и их систем, построение графиков, решение текстовых задач и прочее. Под прикладными умениями в контексте нашего исследования мы понимаем умение решать задачи, в которых уравнения выступают как средство решения.

§3. Методические рекомендации по осуществлению контроля при изучении линии уравнений в основной школе

На основе проведенного анализа содержания программы по математике, анализа изложения тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре, можно сделать следующий вывод: для успешной проверки знаний, умений, навыков учащихся можно выделить три основных блока, подлежащих контролю, - теоретический, практический, прикладной. В соответствии с выделенными в предыдущем параграфе блоками учебного материала по теме «Уравнения», а также рассмотренными в первой главе основными формами контроля дадим некоторые методические рекомендации по осуществлению проверки знаний, умений и навыков учащихся при изучении уравнений в основной школе.

Теоретический блок

Проверять следует те знания, которые являются ведущими в данном курсе или относительно трудно усваиваются учащимися, или, которые необходимы для успешного усвоения дальнейших разделов и тем курса. На контроль теоретических знаний оказывает влияние вид проверки: для уточнения содержания материала при текущей проверке необходим анализ связей изучаемого материала с ранее пройденным, а для тематической и итоговой проверки - выделение ведущих знаний и способов оперирования ими. Как известно, практики без теории не бывает.

Теоретические знания могут быть проверены при помощи теста на заполнение пропусков в истинном утверждении (глава I §6 с. 29). Приведем пример такого теста проверки теоретического материала по теме «Квадратные уравнения» по учебнику [5], при которой проверяются следующие знания: определение квадратного уравнения и его корня, неполного квадратного уравнения, дискриминант и количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, теорема Виета (Приложение 2).

Тесты могут состоять из комбинации заданий с выбором ответа, на заполнение пропусков и установление соответствия. Приведем пример таких тестов (Приложение 3).

Тест №1 является диагностирующим, направлен на предупреждение неуспеваемости, связанной с наличием пробелов, препятствующих успешному усвоению новой информации. Перед изучением темы «Системы уравнений» учитель должен быть уверен, что его ученики владеют базовыми знаниями, например, по теме «Квадратные уравнения».

Тест №2 проводится, как правило, после изучения нового материала, но перед решением основных, типовых задач на применение полученных знаний. Основной целью этого тестирования является закрепление и проверка навыков составления и решения системы уравнений по условию задач различной ситуации; выявление пробелов в знаниях по теме «Системы уравнений». В качестве примера рассмотрим тест №2 (Приложение 3) по учебнику [15], контролирующий степень усвоения темы «Системы уравнений» [18].

Тест №3 предназначен для заключительного контроля после того, как уже проведены уроки по решению задач на применение новых знаний. В тест включены вопросы для определения глубины усвоения материала, а не для его простого репродуктивного воспроизведения. Рассмотрим в качестве примера тест №3 (Приложение 3), систематизирующий знания и умения по теме «Системы уравнений» [42].

Тест №4 включает в себя задания повышенной сложности по теме «Уравнения». Данный тест можно предложить отличникам на итоговом уроке после проведения контрольной работы на время проведения анализа контрольных работ с другими учащимися [18].

В силу специфики математических диктантов (глава I §6 с. 27) (воспринимаемые на слух вопросы, лаконичные ответы) их педагогические возможности ограничены. С их помощью, как правило, можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому ошибкой было бы противопоставлять диктанты другим формам контроля, например, самостоятельным работам. Одно и то же задание, в принципе, может быть и в диктанте, и в самостоятельной работе. Но эти задания будут иметь разную дидактическую функцию. В самостоятельной работе от ученика требуется фиксирование хода работы, что делает подконтрольным поиск результата. В математическом диктанте контроль может вестись лишь по конечному результату. Не по всякой теме можно и нужно проводить математический диктант. Рассмотрим пример математического диктанта для 9-ого класса по теме «Уравнения» (Приложение 4).

Практический блок

Общие умения, выделенные в предыдущем параграфе, отрабатываются на уроках алгебры и при самостоятельном выполнении домашних заданий. Традиционно организовать проверку можно при помощи домашних контрольных работ, самостоятельных работ и контрольных работ. Теоретические знания и практические умения учащихся могут быть проверены в ходе итогового контроля в форме экзамена. Эффективной формой тематического контроля знаний, умений, навыков учащихся является урок-зачет, в ходе которого могут быть проверены теоретические знания и практические умения.

Домашняя контрольная работа носит обучающий характер. Приведем пример домашней контрольной работы для 9-ого класса к учебнику [6] по теме «Решение квадратных уравнений различными способами» по учебнику [28] (Приложение 5).

Самостоятельные работы (глава I §6 с. 22) носят обучающий характер. Они представлены в двух вариантах. В каждой работе представлены два блока заданий. Первый блок, расположенный над чертой, состоит из стандартных тренировочных упражнений. Второй блок, расположенный под чертой, состоит из заданий, усложненных по сравнению с заданиями первого блока в алгоритмическом или логическом плане и способствующих развитию учащихся. Рассмотрим пример самостоятельной работы «Уравнения и системы уравнений» для 9-ого класса (Приложение 6), которая может быть использована, когда преподавание ведется по учебнику [6].

Контрольная работа (глава I §6 с. 24) одна из наиболее применяемых форм тематического контроля знаний учащихся. Организация тематического контроля в форме контрольных работ позволяет не только осуществлять контролирующую и оценивающую роль проверки знаний учащихся, но и содействует реализации программных требований к уровню знаний, умений и навыков учащихся. Рассмотрим пример контрольной работы по теме «Системы уравнений» для учащихся 9-ого класса (Приложение 7), которая может быть использована, когда преподавание ведется по учебнику [15]. В вариант включены задания, соответствующие уровню обязательной подготовки, и одно задание повышенной сложности [28].

Прикладной блок

Данный блок включает в себя прикладные умения (нахождение неизвестного функции, при котором она принимает конкретное значение, решение неравенств и прочее). Уравнение становится не целью, а средством, помогающим решить неравенство, систему неравенств. Речь идет об использовании уравнений при решении неравенств и их систем. С помощью уравнений можно найти точки пересечения с осью Оx, построить график, составить задачу. В Приложении 8 приведем пример применения уравнений при изучении темы «Уравнения» и других тем курса в форме ЕГЭ (глава I §6 с.31)[24].

Для проработки и проверки уровня достигнутых знаний по курсу решение уравнений различного вида можно использовать развивающую самостоятельную работу (глава I §6 с.25) [28]. Пример самостоятельной работы приведен в Приложении 9.

Итак, проверка знаний, умений и навыков учащихся - это составная часть учебного процесса, направленная на объективный анализ хода изучения и усвоения учениками программного материала, усиление ответственности школьников за качество самостоятельной работы. Для того, чтобы ученики успешно усваивали учебный материал, устраняли пробелы в своих знаниях, необходимо иметь полную информацию об эффективности их работы. Чтобы определить содержание контроля, сначала выделяются его объекты (то есть указывается то, что контролируется после изучения материала), а затем устанавливается, с помощью каких форм проверки можно это сделать. С точки зрения цели обучения к таким объектам в курсе алгебры 7-9 классов при изучении линии уравнений можно отнести: теоретические знания, прикладные знания. Особое внимание уделяется разработке содержания контроля знаний учащихся. Содержание обусловлено дидактическими целями и задачами, стоящими при изучении темы, раздела или всей учебной дисциплины в целом, и изменяется в зависимости от места контроля в учебном процессе [47].

§4. Опытное преподавание

Опытное преподавание осуществлялось в МОУ СОШ им. С. С. Ракитиной г. Мураши. В качестве основной экспериментальной базы был выбран 7^а класс, в котором был проведен спаренный урок по теме «Линейные уравнения с двумя переменными». В качестве контроля по данной теме была проведена самостоятельная работа. Анализ данной самостоятельной работы, ее качественные и количественные характеристики показывают, насколько эффективен был контроль знаний, осуществляемый учителем на предыдущих этапах обучения.

Пример урока приведен далее. Так же в виде плана в Приложении 10 приведены уроки по теме «Системы уравнений» на базе учебника [15]. Данные уроки в настоящее время используются учителями математики в МОУ СОШ ИМ. С. С. Ракитиной г. Мураши.

Тема урока: линейные уравнения с двумя переменными.

Тип урока: урок введения нового материала, урок первичного закрепления.

Цели:

1) общедидактическая цель: создать учащимся условия для получения и осмысления новых знаний, выработке умений и навыков применять знания при решении задач.

Триединая дидактическая цель:

1) образовательный аспект: создание условий для проверки знаний учащихся по данной теме, выявления имеющихся пробелов и организации работы по их ликвидации;

2) развивающий аспект: создание условий для развития практического мышления при использовании математических знаний, внимания, памяти, логического мышления, коммуникативных умений;

3) воспитательный аспект: создание условий для выработки у учащихся правильной самооценки уровня своих знаний, создание условий для воспитания внимания, наблюдательности, сосредоточенности, аккуратности ведения записей в тетради.

Учебник [4]

Урок

I. Организационное начало урока.

- Здравствуйте, садитесь.

II. Сообщение темы и цели.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными уравнениями с двумя переменными».

III. Актуализация знаний учащихся.

- Посмотрите на доску. Какие из этих уравнений вам уже знакомы?

1) 1)

2)

3)

4)

5)

6)

- А как называются эти уравнения?

- Правильно, это линейные уравнения с одной переменной.

- А кто скажет определение линейного уравнения с одной переменной?

- Уравнение вида , в котором x - переменная, а а и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

- Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной.

- Посмотрите на доску, перед вами линейные уравнения. Давайте вспомним, как они решаются.

1)

2)

- Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Линейные уравнения с двумя переменными».

- Все решают уравнения в тетрадях, а …….. пойдет к доске и решит с подробным объяснением первое уравнение: .