Измерения и обработка результатов

4. С помощью микрометра измеряют диаметр струны, а с помощью линейки ее длину.

5. Устанавливают магнит посередине струны и, плавно изменяя частоту вращением лимба генератора (в районе 20 - 30 Гц), добиваются устойчивых колебаний основного тона. Затем увеличивают частоту колебаний в кратное число раз и, передвигая магнит вдоль струны, получают устойчивые колебания последующих обертонов. Если амплитуды колебаний малы, следует увеличить выходное напряжение на генераторе.

6. Записывают в таблицу 11.1. отчета в порядке возрастания значения частот звукового генератора, при которых на струне устанавливаются стоячие волны. Вычерчивают профили стоячих волн.

7. Подставляют в формулу (11.2) полученные значения резонансных частот и вычисляют скорость волны в струне для различных опытов. Находят среднее значение скорости при данном натяжении струны. Оценивают погрешность измерения скорости. При этом можно использовать результаты первого опыта, очевидно дающий наибольшую погрешность. Погрешность в измерении собственных частот колебаний струны равна половине цены делений на лимбе генератора.

8. Изменяют первоначальное натяжение струны. В результате этого изменяется скорость распространения поперечных волн и набор собственных частот. Проводят измерения и вычисления согласно пп. 5 и 7 при других натяжениях. Рекомендуется варьировать натяжение струны ступенчато через 0,5 Н.

9. По формуле (11.3) рассчитывают теоретические значения скорости волны в струне при различных натяжениях. (Расчеты проводятся в системе СИ; плотность меди = 8,910³ кг/м³). Оценивают погрешность такого расчета.

10. В выводе сопоставляют измеренные и вычисленные значения скорости.

11. Для проверки характера зависимость скорости волны в струне от величины натяжения строят график зависимости квадратов измеренных скорости распространения от величины ее натяжения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

В бегущей волне A=A0cos(t-kl+₀) смещение колебания двух точек, находящихся на расстоянии l друг от друга, сдвинуты по фазе на

, (12.1)

где V - скорость распространения волн в упругой среде, , - частота и длина волны.

Выражение (12.1) может быть использовано для экспериментального определения скорости распространения звука в воздухе по измерениям величин ,,l.

Экспериментальная установка

Схема установки изображена на рисунке 27. Громкоговоритель Г, излучающий звуковые волны, закреплен на одном конце широкой трубы. Противоположный конец трубы либо открыт, либо закрыт заглушкой. Для предотвращения появления отраженной волны заглушка имеет прокладку из мягкого пористого материала (паралона). Питание громкоговорителя осуществляется от звукового генератора ЗГ. Вся установка смонтирована на измерительной скамье, вдоль которой может перемещаться микрофон М. Положение микрофона определяется с помощью масштабной линейки, укрепленной на скамье. Громкоговоритель Г испускает звуковую волну некоторой фазы ₁. Эта звуковая волна достигает микрофона с фазой ₂ и порождает в его цепи переменное напряжение. Между переменным напряжением на выходе звукового генератора и напряжением, возникающим в цепи микрофона, существует сдвиг фаз = ₂ -₁, зависящий от взаимного расположения микрофона и громкоговорителя. При перемещении микрофона по измерительной скамье на расстояние l = n, составляющее целое число волн, разность фаз изменяется на 2n. Если измерить расстояние l между двумя положениями микрофона, соответствующее разности фаз =2, то, используя формулу (12.1), можно вычислить скорость звука в воздухе:

(12.2)

Сдвиг фаз определяется по форме эллипса, описываемого на экране осциллографа электронным лучом, если вертикальные пластины осциллографа соединить с выходом звукового генератора, а горизонтальные - с микрофоном. При разности фаз = 2n

(n=0, 1, 2, ...) эллипс вырождается в прямую, проходящую через первую и третью четверти координатной плоскости, а при =(2n+1) - в прямую, проходящую через вторую и четвертую четверти.

1. Собирают электрическую схему установки. Микрофон располагают рядом с громкоговорителем. Подают напряжение от звукового генератора на телефон. По лимбу генератора выставляют частоту звуковых колебаний (между 1000 и 3000 Гц).

2. Медленно перемещая микрофон к противоположному концу измерительной скамьи, находят такое его положение, при котором на экране осциллографа появляется прямая линия. Делают отсчет положения микрофона.

3. Продолжая перемещать микрофон, находят несколько следующих его положений, в которых на экране осциллографа появляется такая же прямая линия, как и в первом положении.

4. Вычисляют расстояния l1 , l2 , l3 ... между двумя последующими положениями микрофона на измерительной скамье. Находят их среднее значение.

5. По формуле (12.2) вычисляют скорость распространения звуковой волны в воздухе. Находят погрешность ее измерения.

6. Измерения повторяют для двух других частот. Находят среднее значение скорости звука по всем измерениям.

7. Для сравнения полученного результата с табличными данными вычисляют скорость звука при условиях опыта, пользуясь соотношением

, (12.3)

где - температура воздуха в комнате (в кельвинах), V0 - скорость звука при 0С (331 м/с).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы

Экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов методом крутильных колебаний.

Идея эксперимента

Крутильный маятник представляет собой стержень или проволоку, верхний конец которой закреплен. К нижнему концу проволоки подвешивается тело произвольной формы. Если закрутить проволоку, т.е. вывести маятник из положения равновесия, то в системе возникнут крутильные колебания (t). Очевидно, что период этих колебаний зависит от геометрии системы, от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса. Это позволяет, изучая крутильные колебания, определить одну из важнейших характеристик материала, - модуль сдвига.

Теория

Если момент пары сил, приложенных касательно к незакрепленному концу проволоки, равен М, то угол кручения (угловое смещение колебательной системы) по закону Гука оказывается равным = сМ, где с - коэффициент, зависящий от упругих свойств материала проволоки. Модуль кручения f, равный

, (13.1)

показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

Модуль сдвига G равен

, (13.2)

где F/S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а - угол сдвига (рис. 28).

Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение

, (13.3)

где r - радиус цилиндрической проволоки, L - ее длина.

Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения

, (13.4)

где M - вращательный момент относительно оси подвеса, J - момент инерции тела относительно той же оси, - угловое ускорение. Используя (13.1) и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения , можно записать

. (13.5)

Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате - смещению и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания , где ₀ - циклическая частота. Поэтому ₀ должен быть равен

, (13.6)

где Т - период колебаний.

Далее

, (13.7)

откуда

. (13.8)

Экспериментальная установка

В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А (рис. 29). Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.

Для того, чтобы из выражения (13.8) найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции

, (13.9)

откуда

. (13.10)

Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml² и суммарного момента инерции штанги и проволоки j

. (13.11)

Для исключения j вычтем J₁ из J₂

. (13.12)

Подставляя сюда из соотношения (13.10) значение , получаем

. (13.13)

Подставив, наконец, это выражение в уравнение (13.7), находим модуль кручения

. (13.14)

Для модуля сдвига получается выражение

. (13.15)

Проведение эксперимента

Измерения

1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку. Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении. Измеряют радиус проволоки r и длину подвеса L. Записывают массы грузов m.

2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем, чтобы при пуске не возникали поступательные колебания.

3. Измеряют суммарное время t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов.

4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний. Измеряют расстояние l2.

5. Если число колебаний N в первом и втором случаях одинаково, то формулы (13.14) и (13.15) можно записать через время и число колебаний

. (13.16)

Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки.

6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы ,

. (13.17)

При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны l, а погрешности измерения t1 и t2 равны t.

Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность измерения величины r. Следовательно, радиус проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью. Кроме того, желательно

проводить эксперимент таким образом, чтобы значения величин l1 и l2 и, соответственно, t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга.

7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов.

8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.

ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ

Цель работы

Изучение зависимости величины деформации твердого тела от напряжения при деформации растяжения.

Идея эксперимента

Упругая деформация твердых тел описывается законом Гука

, (14.1)

где = F/S - нормальное напряжение (отношение силы F, приложенной перпендику-

лярно поперечному сечению образца, к площади S этого сечения), = l/l0 - относительная деформация (отношение удлинения l к первоначальной длине l0 образца), Е - модуль упругости (модуль Юнга). Заметим, что численно равно энергии, приходящейся на 1м³ деформируемого материала.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства твердых тел при деформации растяжения - сжатия. Он численно равен величине напряжения, которое вызывает изменение длины образца вдвое, если деформация при этом остается упругой. С другой стороны, модуль Юнга можно понимать как величину, численно равную объемной энергии деформации при удвоении размеров образца.

Закон Гука справедлив лишь для идеально упругих тел. Для реальных же тел наблюдаются различные отклонения от этого закона. На рис. 30 представлена характерная диаграмма растяжения твердого тела. Строгая пропорциональность между относительным удлинением и напряжением наблюдается лишь при сравнительно небольших нагрузках, на участке 0А.

Максимальное напряжение п, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности.

Максимальное напряжение уп, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации (относительная остаточная деформация не превышает 0,1 %), называется пределом упругости. Ему соответствует точка В на диаграмме деформации.

Предел текучести - это напряжение, которое характеризует такое состояние деформируемого тела, после которого удлинение возрастает без увеличения действующей силы (горизонтальный участок ВС).

Пределом прочностипр (точка D) называется напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.

Отклонения от закона Гука в области напряжений, не превосходящих предела упругости, объединяются общим понятием неупругости. Проявлением неупругости являются, например, упругие последействия и упругий гистерезис, подлежащий экспериментальному наблюдению в данной работе.

Явление упругого последействия заключается в изменении со временем деформационного состояния при неизменной величине напряжения. В этом случае после приложения нагрузки к образцу деформация возникает не мгновенно, а продолжает увеличиваться с течением времени (прямое упругое последействие); также и после снятия нагрузки: деформация образца исчезает не мгновенно, а продолжает уменьшаться во времени (обратное упругое последействие).

Площади, ограниченные кривой нагрузки и двумя абсциссами, соответствующими двум значениям относительной деформации, пропорциональны работе А внешних сил или, что тоже, потенциальной энергии Еп при упругом деформировании образца. Это следует из расчета элемента площади Q под кривой

, (14.2)

где с - коэффициент пропорциональности, W1 - объемная плотность энергии деформации образца. Коэффициент пропорциональности с равен объемной плотности энергии деформации, приходящейся на единицу площади, ограниченной графиком, и имеет размерность Дж/клетку.

Площадь под всей кривой нагрузки соответствует объемная плотность энергии W1, а площади под всей кривой разгрузки - объемная плотность энергии W2.

Если к образцу прикладывать сначала возрастающее напряжение, а затем производить разгрузку, то на графике = f() кривая нагрузки не будет совпадать с ветвью разгрузки. При полном цикле нагрузки - разгрузки график образует фигуру, называемую петлей гистерезиса. Площади петли пропорциональна объемная плотность поглощенной энергии упругости W, перешедшей в тепло.

Явления необратимого превращения в теплоту механической энергии (иначе, диссипация энергии) в процессах деформирования твердых тел связано с так называемым внутренним трением.

Для количественной оценки внутреннего трения материалов часто пользуются относительной величиной - коэффициентом поглощения

= W/W1 , (14.3)

где W1 - энергия упругой деформации при нагрузке образца.

Явления неупругости присущи всем реальным твердым телам, как полимерным, так и низкомолекулярным, в том числе металлам.

Явления неупругости металлов и других кристаллических тел связаны с дефектами кристаллической решетки: различными точечными дефектами, дислокациями и вызванными ими неоднородностями структуры и, как следствие, наличием внутренних механических микронапряжений в твердых телах. Неупругость полимерных материалов обусловлена изменением структуры макромолекул под действием механических напряжений.

Экспериментальная установка

Установка для наблюдения деформации растяжения представлена на рис.31 Она состоит из массивного основания 1 с верхним 2 и нижним 3 кронштейнами. Испытуемый образец - проволока 4, закрепляется с помощью винтовых зажимов 5 и 6. К нижнему зажиму прикреплена платформа 7, на которую для создания нагрузки накладываются

грузы. Для удобства закрепления проволоки верхний зажим сделан подвижным и может фиксироваться с помощью винта 8. Для того чтобы верхний кронштейн во время измерений находился под постоянной нагрузкой и имел постоянный изгиб, к нему на тягах 9 подвешена горизонтальная планка 10. На неё перед измерениями навешиваются все грузы, которые затем перекладываются на платформу. Прибор устанавливается (обычно крепится к стене) в вертикальном положении.

Для точного измерения величины деформации в работе применяется катетометр.

Катетометр предназначен для измерения вертикальных отрезков, расположенных на расстояниях несколько десятков сантиметров от объектива зрительной трубы катетометра.

Катетометр (рис. 32) состоит из вертикального штатива с колонкой 1 на треножнике, измерительной каретки 2, зрительной трубы 3 и отсчетного микроскопа 4. Подъемными винтами 5 треножника колонку можно устанавливать по круглому уровню строго вертикально. С помощью ручек 6 колонку можно поворачивать вокруг вертикальной оси. Измерительная каретка 2, несущая зрительную трубу 3 и отсчетный микроскоп 4, перемещается по колонке на роликах. Грубое перемещение каретки по вертикали осуществляется от руки при открепленном винте 7, точное - с помощью микрометрического винта 8 при закрепленном винте 7.

Зрительная труба 3 укреплена на каретке. Фокусировка трубы на выбранную точку объекта производится вращением маховичка 9. Сбоку на тубусе имеется цилиндрический уровень, ось которого параллельна визирной оси трубы. Уровень устанавливается в горизонтальном положении микрометрическим винтом путем совмещения изображения концов пузырька, рассматриваемого через окуляр зрительной трубы. При совмещении половинок пузырька визирная ось зрительной трубы принимает строго горизонтальное положение.

Измерительная система катетометра состоит из зрительной трубы и отсчетного микроскопа с осветительной системой. В фокальной плоскости окуляра отсчетного микроскопа установлена масштабная сетка (рис. 34), на которую специальным оптическим устройством проектируется миллиметровая шкала. Измерение расстояний между двумя точками производится с помощью зрительной трубы и отсчетного микро-

скопа путем сравнения измеряемой длины с миллиметровой шкалой.