Розрахунок розгалуженого електричного кола

ЗАВДАННЯ № 1

Розрахувати розгалужене електричне коло методом рівнянь Кіргофа та методом контурних струмів

При виконанні необхідно:

1) визначити струми на всіх ділянках кола;

2) визначити напруги на ЕРС;

3) перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою балансу потужностей;

4) побудувати потенційну діаграму для будь-якого контура електричного кола (до контура входять 2 ЕРС, при чому один із зажимів береться як заземлений, тобто його потенціал рівний 0 ).

Розрахунок

В схемі 6 віток зі струмами І₁, І_{2, …,} І₆, довільний напрямок яких вказано стрілками.

Підставляємо ці вирази в п'яте та шосте рівняння та спрощуємо їх:

I₃ (r₃+r_1в) + (-І₂ + І₃)r₅ + (І₁ + І₃ )r₆ = E₁

I₂r₂ + (І₁ + І₂)•(r₄+r_2в)+ (І₂ - І₃)r₅ = E₂

Звідси:

I₁r₆ - І₂r₅ + І₃ (r₃+r_1в+r₅+r₆) = E₁

І₁(r₄+r_2в) +І₂ (r₂+r_2в+ r₄+r₅) = E₂

Підставляємо в четверте рівняння системи та в два останні рівняння числові значення опорів та спростивши їх отримуємо систему трьох рівнянь:

I₁•(-5) + I₂•8 + I₃ •4 = 100

I₁•6 - I₂•8 + I₃ •(3+1+8+6) = 100

I₁•(2+1) + I₂•(8+1+2+8) - I₃ •8 = 60

або

I₁•(-5) + I₂•8 + I₃ •4 = 100

I₁•6 + I₂•(-2) + I₃ •18 = 100

I₁•3 + I₂•19 + I₃ •(-8) = 60

Записуємо цю систему в матричній формі:

?₁ = -3240

?₂ = 19840

?₃ = 25220

Визначаємо струми:

I₁ = ?₁ / ? = - 1,1747 А;

I₂ = ?₂ / ? = 7,2145 А;

I₃ = ?₃ / ? = 9,1443 А;

З виразів (1), (2), (3) знаходимо решту струмів:

І₄ = 6,0398 А

І₅ = 1,9298 А

І₆ = 7,9696 А

б) Методом контурних струмів:

В незалежних контурах направляємо в одному напрямку ( за годинниковою стрілкою) фіктивні контурні струми I_11,I_{22 ,} I₃₃ і складаємо для їх знаходження систему рівнянь, записавши їх в загальному вигляді:

r₁₁I₁₁ + r₁₂I₂₂ + r₁₃I₃₃ = E₁₁

r₂₁I₁₁ + r₂₂I₂₂ + r₂₃I₃₃ = E₂₂ (4)

r₃₁I₁₁ + r₃₂I₂₂ + r₃₃I₃₃ = E₃₃

Визначаю власні опори контурів:

r₁₁ = r₁ + r₂ + r₃ + r_1в = 17 Ом;

r₂₂ = r₃ + r_1в + r₅ + r₆ = 18 Ом;

r₃₃ = r₂ + r₄+ r_2в + r₅ = 19 Ом.

Опори взаємні для двох контурів , при однакових напрямках контурних струмів , беруться зі знаком "-":

r₁₂=r₂₁= -(r₃+r_1в) = -4 Ом;

r₁₃=r₃₁= -r₂ = -8 Ом;

r₂₃=r₃₂= -r₅ = -8 Ом.

Контурні ЕРС:

Е₁₁ = Е₁ = 100 В;

Е₂₂ = - Е₁ = - 100 В;

Е₃₃ = - Е₂ = - 60 В.

Записуємо систему рівнянь (4) в матричній формі з числовими коефіцієнтами:

?₁₁ = 3240

?₂₂ = -21980

?₃₃ = -16600

Визначаємо контурні струми:

I₁₁ = ?₁₁ / ? = 1,1747 А;

I₂₂ = ?₂₂ / ? = - 7,9695 А;

I₃₃ = ?₃₃ / ? = - 6,0398 А;

Знаходимо силу струмів кожної з віток кола через контурні струми:

I₁ = -І₁₁ = - 1,1747 А;

I₂ = І₁₁ -І₃₃= 7,2145 А;

I₃ = І₁₁ -І₂₂ = 9,1443 А;

I₄ = -І₃₃ = 6,0398 А;

I₅ = І₃₃ -І₂₂ = 1,9298 А;

I₆ = -І₂₂ = 7,9695 А;

2. Визначити напруги на ЕРС.

U₁ = E₁ - I₃•r_1в = 100 - 9,1443•1 ? 90,8587 В;

U₂ = E₂ - I₄•r_2в = 60 - 6,0398•1 ? 53,9602 В.

3. Перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою баланса потужностей.

Баланс потужностей грунтується на законі збереження енергії:

Потужність яку генерують джерела ЕРС дорівнюють сумі потужностей ,споживаних колом та потужностей втрат.

Знаходимо потужність яку генерують джерела:

P_E = І₃E₁ + І₄E₂ = 9,1443 • 100 + (- 6,0398 • 60) = 1277 Вт.

Знаходимо потужність , яку споживає коло:

P_R = І₁²r₁ + І₂²r₂ + І₃²r₃ + І₄²r₄ + І₅²r₅ + І₆²r₆ = (-1,1747)І• 5 +7,2145І• 8 + + 9,1443І• 3 + (-6,0398)І•2 + 1,9298І• 8 + 7,9695І•6 = 1157 Вт.

Потужність втрат на внутрішніх опорах джерел ЕРС:

P_?R = І₃²r_1в + І₄²r_2в = 9,1443І•1 + (-6,0398)І•1 = 120 Вт.

Умова балансу потужностей виконується:

P_R+Р_?R = 1157 + 120 = 1277 = P_E

Отже, можна зробити висновок, що розрахунок кола виконаний правильно.

4. Побудувати потенційну діаграму для контура a-e-d-b-f-c-a, який включає в себе обидва джерела ЕРС.

Приймаємо потенціал вузла а , як нульовий: ц_а =0.

Тоді потенціали решти точок контура:

ц_е = ц_а - I₃r₃ = 0- 9,1443•3 = - 27,4329 B;

ц_d = ц_e + U₁ = - 27,4329 + 90,8587 = 63,4258 B;

ц_b = ц_d - I₅r₅ = 63,4258 - 1,9298•8 = 47,9874 B;

ц_f = ц_b - U₂ = 47,9874 - 53,9602 = - 5,9728 B;

ц_с = ц_f + I₄r₄ = - 5,9728 - 6,0398•2 = 6,0168 B;

Перевірка:

ц_а = ц_с+ I₁r₁ = 6,0168 + (-1,1747)•5= 0

Повний опір контуру:

r_пов = r₃ +r₅ + r₄ + r_1в + r_2в = 15 Ом.

Вибираємо масштаби m_ц= 10 В/см, m_R= 2 Ом/см та будуємо потенційну діаграму