Фазовая плоскость, фазовые траектории. Предельный цикл. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости. Изоклины, особые точки. Построение интегральных кривых с помощью изоклин. Построение интегральных кривых дельта-методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

Экономико-математический факультет Кафедра математического моделирования

и информационной безопасности

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Основы теории цепей»

на тему «Фазовая плоскость, фазовые траектории. Предельный цикл. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости. Изоклины, особые точки. Построение интегральных кривых с помощью изоклин. Построение интегральных кривых дельта-методом»



Содержание

Введение

I. Переходные процессы в нелинейных электрических цепях

1.1 Фазовая плоскость

1.1.1 Фазовые траектории

1.1.2 Свойства траекторий

1.2 Предельный цикл

1.3 Изображение простейших процессов на фазовой плоскости

1.4 Изоклины, особые точки

1.5 Построение интегральных кривых с помощью изоклин

1.6 Построение интегральных кривых дельта-методом

II. Построение интегральной кривой с помощью изоклин

2.1 Вспомогательная теория к интегральной кривой

2.2 Построение интегральной кривой

Заключение

Список использованных источников и литературы



Введение

Фазовой плоскости метод графоаналитический метод исследования динамических систем, описываемых уравнениями вида: , , где х и у - переменные состояния системы, Р (х, у) и Q (х, у) - функции, удовлетворяющие условиям теорем существования и единственности решений, t - время (независимая переменная). Поведение такой системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамической системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамической системы. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением точки, которую называют фазовой, изображающей или представляющей точкой. Траектория, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией; скорость и направление её движения определяются вектором фазовой скорости {Р, Q}. Существенно, что через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом системы и отображает совокупность всех возможных сочетаний системы и типы возможных движений в ней.

На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений

Р (х, у) = 0, Q (х, y) = 0; изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе; сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов. Фазовой плоскости метод состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета. Метод позволяет определить число, типы и характер особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис и даёт возможность по виду фазовых траекторий наглядно представить всю совокупность движений, возникающих в динамической системе при всевозможных начальных условиях. Особые точки классифицируют по характеру фазовых траекторий в их окрестности: основные типы особых точек изображены на Рисуноке 4. Изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) классифицируют по характеру их устойчивости (Рисунок 2).3

Данная курсовая работа посвящена изучению фазовой плоскости, предельного цикла, построению интегральных кривых с помощью изоклин и дельта-методом. По данной работе должны научиться находить изоклины и с помощью них строить изоклины.



I. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

1.1 Фазовая плоскость

переходный динамический электрический система

Фазовая плоскость -- координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь большую размерность.

В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат - первая производная x по времени (что, очевидно, связывает ось ординат с импульсом).

Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий -- это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц.

Рассмотрим автономную систему второго порядка для которой справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши.



(1)

(2)

(3)

(4)

При описании интегральных кривых, фазовых траекторий и фазовой плоскости автономной системы 2 -го порядка привычнее вместо переменных использовать переменные . В дальнейшем будем записывать автономные системы 2 -го порядка в виде:

(1)

(5)

(6)



(7)

Пусть x = ц(t) -- решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = ц(t) , t ? [a, b] -- кривая в пространстве Rx,y2 -- фазовая траектория системы, а пространство Rx,y2 -- фазовая плоскость автономной системы.

Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

Равенство x = ц(t) , t ? [a,b] , или, что то же самое,

-- параметрические уравнения фазовой траектории. (8)

Интегральная кривая системы изображается в 3-х мерном пространстве Rx,y, t2 . Она задается уравнением

(9)

Соответствующая фазовая траектория -- проекция интегральной кривой на фазовую плоскость.

Изобразив на фазовой плоскости несколько фазовых траекторий так, чтобы можно было убедительно предсказать поведение фазовой траектории, проходящей через любую точку фазовой плоскости (некоторой области фазовой плоскости) получим фазовый портрет автономной системы.

На рисунке приведено изображение фазовых портретов двух автономных систем. Видно, что траектории представленных систем ведут себя по-разному.

На верхнем рисунке приведен фазовый портрет системы, описывающей колебания математического маятника "без трения", на нижнем -- колебания математического маятника "с трением".

Рисунок 1 - Фазовый портрет системы, описывающей колебания математического маятника "без трения".

Рисунок 2 - Фазовый портрет системы, описывающей колебания математического маятника "с трением".

1.1.1 Фазовые траектории

Фазовая траектория -- траектория точки в фазовом пространстве, изображающая, как изменяется со временем t состояние динамической системы.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка Y ' = F(x,Y), и пусть вектор-функция Y = Ц(x) -- решение системы, определённое на промежутке [a, b].

Множество точек Ц(x), x ? [a,b] -- кривая в пространстве RYn. Эту кривую называют фазовой траекторией системы (или просто траекторией, или фазовой кривой), а пространство RYn, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством системы.

Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Ц(x), x ? [a,b], и изображается в (n +1)-мерном пространстве RY, xn+1.

Фазовая траектория -- это проекция интегральной кривой на пространство RYn.

На рисунке изображена интегральная кривая в пространстве RY, x2+1 и фазовая траектория в пространстве RY2:

Рисунок 3 - Фазовые траектории в окрестности особых точек.



Рисунок 4 - Фазовые траектории в окрестности особых точек следующих типов: а - устойчивый узел; б - неустойчивый узел; в - устойчивый фокус; г - неустойчивый фокус; д - седло; е - центр.

1.1.2 Свойства траекторий

1. Две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Это свойство фазовых траекторий означает, что фазовое пространство "расслаивается" на непересекающиеся фазовые траектории.

2. Если a -- точка равновесия автономной системы, то x = a -- фазовая траектория системы. Положение равновесия называют точкой покоя автономной системы.

3. Фазовая траектория, отличная от точки -- гладкая кривая (в каждой точке этой кривой существует ненулевой касательный вектор).4

1.2 Предельный цикл

Предельный цикл - изолированная замкнутая траектория в фазовом пространстве динамической системы, изображающая периодическое движение. В окрестности предельного цикла фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый предельный цикл), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются" на него (устойчивый предельный цикл). Поведение траекторий в окрестности предельного цикла связано со значениями его мультипликаторов. Если абс величины всех мультипликаторов меньше 1, то все траектории неограниченно приближаются к нему и он устойчив. Устойчивый предельный цикл является математическим образом периодических автоколебаний. Например, уравнение Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового генератора) имеет при значениях параметра единственный устойчивый предельный цикл (Рисунок 5).

(10)



Рисунок 5 - Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при различных значениях нелинейности: а- квазигармоничные колебания; б- сильно несинусоидальные; в- релаксационные.

Для систем с одной степенью свободы (их фазовое пространство - плоскость) устойчивыми предельными циклами и устойчивыми состояниями равновесия исчерпываются все возможные объекты, которые притягивают соседние траектории на фазовой плоскости. В многомерных динамических системах с размерностью фазового пространства n3 возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.

Рисунок 6 - Седловой предельный цикл: - устойчивое сепаратрисное многообразие; - неустойчивое сепаратрисное многообразие.

Если часть мультипликаторов (но не все) по модулю больше 1, то предельный цикл седловой (Рисунок 6) и лежит на пересечении двух сепаратрисных многообразий: устойчивого, по которому траектории приближаются к предельному циклу, и неустойчивого, состоящего из удаляющихся от предельного цикла траекторий. Устойчивые многообразия предельного цикла могут разделять в фазовом пространстве области притяжения различных аттракторов - как простых (состояние равновесия, устойчивый предельного цикла), так и странных. Неустойчивые многообразия седловых предельных циклов могут входить в состав странных аттракторов и стохастичных множеств гамиль-тоновых систем и определять их структуру. Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то предельный цикл неустойчив (устойчив при обращении направления движения по траектории, т. е. при ).

Переход через единичное значение абс величин одного или нескольких мультипликаторов при изменении параметров динамической системы свидетельствует о бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельного цикла.4

1.3 Изображение простейших процессов на фазовой плоскости

Рисунок 7(а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к) - Изображение простейших процессов на фазовой плоскости.



Требуется изобразить на фазовой плоскости переходный процесс в схеме на Рисуноке 7, а, вызываемый при нулевых начальных условиях замыканием ключа. Обозначим: - ток в цепи, uc - напряжение на конденсаторе. В уравнение цепи вместо подставим :

(11)

Положим , (12)

тогда . (13)

Последнее уравнение описывает прямую (Рисунок 7, б), которая является фазовой траекторией рассматриваемого процесса (точка b - точка равновесия).

Рассмотрим изображение на фазовой плоскости синусоидального колебания (Рисунок 7, в).

Обозначим , тогда , (14)

т.е. , (15)

. (16)

Разделив первое уравнение на lm, второе - на щIm, возведя в квадрат полученные выражения и сложив их, получим уравнение эллипса



. (17)

Следовательно, изображением синусоидального процесса (фазовой траекторией) на фазовой плоскости является эллипс (Рисунок 7, г).

Направление движения изображающей точки показано стрелкой. В верхней полуплоскости : следовательно, изображающая точка движется в сторону увеличения координаты х. В нижней полуплоскости , поэтому изображающая точка движется в сторону уменьшения координаты . В целом перемещение изображающей точки на фазовой плоскости происходит всегда по часовой стрелке.5

Рисунок 8 - Изображение переходного процесса цепи на фазовой плоскости.

1.4 Изоклины, особые точки

Тангенс угла наклона, образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке фазовой плоскости и осью абсцисс, определяет значение в этой точке. Совокупность точек фазовой плоскости, для которых , называют изоклиной. На фазовой плоскости можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение.

Для всех точек фазовой плоскости, отражающей процессы в цепи второго порядка (кроме особых точек), имеет вполне определенное значение. В особых точках , т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями .

Особые точки классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если особые точки окружена эллипсами (Рисунок 7, д), то ее называют особой точкой типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если особая точка окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (Рисунок 7, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если особая точка окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (Рисунок 7, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и действительные, то особую точку называют устойчивым узлом (Рисунок 7, з). При положительных действительных корнях получают особую точку типа неустойчивого узла (Рисунок 7, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем особую точку типа седла (Рисунок 7, к).

Рассмотрим переходный процесс в схеме на Рисунке 8, а, вызываемый замыканием ключа при нулевых начальных условиях: Е = 1 В, R = 1 Ом; L = 1 Гн; С = 1 Ф.

Рисунок 9 - Переходный процесс цепи.

Построим семейство изоклин для напряжения на конденсаторе uс. Определим положение и тип особой точки. Построим фазовую траекторию переходного процесса.

В уравнение цепи заменим на , на , на и учтем, что L = R = C = E= 1. Решим уравнение относительно и :

(18(a))

(18(б))

Из уравнения (18(б)) следует, что координаты особой точки у = 0, х = 1. Последовательно придавая значения 0, 1, 2,…, -1, -2, ?, строим семейство изоклин (Рисунок 8, б). Все изоклины проходят через особую точку и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение для нее.

Так как и , то к началу процесса изображающая точка находится в начале координат. В установившемся режиме х = 1 и у = 0.

Для построения интегральной кривой из исходной точки х=у=0 проводим два луча до пересечения с изоклиной в точках m и n: Первый луч соответствует значению той изоклины, с которой начинается движение, второй - значению следующей изоклины, на которую точка перейдет. Делим расстояние mn пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую - кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее и строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.

Особая точка в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой плоскости не отражено.

Временные зависимости по фазовой траектории получают по формуле , где х0 - начальное значение, а х - текущее. В окрестности точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при ц(х)>0, подсчет времени Дt на этом участке производят по средней скорости цср(х) = Дх/цср(х).1

1.5 Построение интегральных кривых с помощью изоклин

Пусть задано уравнение .

1. Находите изоклины нуля, решая уравнение .

2. Находите изоклины бесконечности, решая уравнение .

3. Рисуете эти кривые ручкой на плоскости и замечаете, что они делят всю плоскость на подобласти, в которых интегральные кривые возрастают (убывают). Это происходит, естественно, в зависимости от знака . Ставите в этих областях и ? соответственно.

4. Находите линию перегиба. Для этого надо решить уравнение . Рисуете эту линию на том же графике ручкой другого цвета расставляете на нем же и ? той же ручкой, в зависимости от того, функция выпукла вниз или вверх.

5. Берете ручку третьего цвета, ставите в произвольную точку и рисуете линию, которая должна возрастать (убывать) в зависимости от того, находится ли точка в области возрастания убывания; линия должна быть выпукла вверх (вниз) в зависимости от того, находится ли точка в областях выпуклости вверх (вниз); должна иметь горизонтальную касательную при пересечении изоклины нуля; должна иметь вертикальную касательную при пересечении изоклины бесконечности.

6. Повторяете пункт 5, меняя начальную точку, пока не удовлетворитесь нарисованной картинкой.

2 3 y 4

C D

m

B

1 n

A

x

Рисунок 10 - Построение интегральной кривой с помощью изоклин.

Чем ближе будут расположены изоклины друг к другу, тем больше ломанная интегральная кривая будет соответствовать истинной интегральной кривой.1

1.6 Построение интегральных кривых дельта-методом

Дельта-метод - это способ построения интегральных кривых на фазовой плоскости в виде отрезков дуг окружностей, центры которых расположены на оси . Метод применим к уравнениям вида

(19)

Полагаем, что начальные значения и известны. Добавив в левую и правую части (19) по , заменив на и на , получим уравнение

(20)

Здесь

(21)

Если считать величиной фиксированной, то уравнение (21) эквивалентно уравнению

, (22)

где -некоторое постоянно число.

В справедливости перехода от (21) к (22) можно убедиться, продифференцировав уравнение (22) по . Уравнение (22) при фиксированном описывает небольшой кусок интегральной кривой на рис. 6.1 от точки 0 до точки 1 в виде дуги окружности радиусом , равным расстоянию от точки 0 до центра окружности с координатами , . После проведения дуги 0-1 можно уточнить ее, взяв среднее значение на участке 0-1. Затем строят следующий участок 1-2 радиусом с центром , , уточняют положение этой дуги по среднему значению и т. д. Метод применим и к уравнению .2

0

1

2

R₂

R₁

Рисунок 11 - Пример построения интегральной кривой с помощью дельта-методом. (1)

Рисунок 12 - Пример построения интегральной кривой дельта-методом. (2)



II. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ КРИВОЙ С ПОМОЩЬЮ ИЗОКЛИН

2.1 Вспомогательная теория к интегральной кривой

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением - разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа, которое во многом помогает и в физике, как например, в изучении построении интегральных кривых различными методами.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Тангенс угла наклона, образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке фазовой плоскости и осью абсцисс, определяет значение в этой точке. Совокупность точек фазовой плоскости, для которых , называют изоклиной. На фазовой плоскости можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение.

Для всех точек фазовой плоскости, отражающей процессы в цепи второго порядка (кроме особых точек), имеет вполне определенное значение. В особых точках , т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями .

Особые точки классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если особые точки окружена эллипсами (Рисунок 7, д), то ее называют особой точкой типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если особая точка окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (Рисунок 7, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если особая точка окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (Рисунок 7, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и действительные, то особую точку называют устойчивым узлом (Рисунок 7, з). При положительных действительных корнях получают особую точку типа неустойчивого узла (Рисунок 7, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем особую точку типа седла (Рисунок 7, к).

2.2 Построение интегральной кривой

Пусть задано уравнение ( ).

1. Находим изоклины нуля, решая уравнение .



Строим таблицу

С	Уравнение изоклины
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4

2. Находим изоклины бесконечности, решая уравнение .

По решению этого уравнения выяснили, что изоклины бесконечности будут такими же, что и изоклины нуля.

Линии экстремумов:

(не является решением)

- интегральная кривая до прямой убывает

- интегральная кривая возрастает после пересечения с прямой .

4. Линии перегиба:

, , не является линией перегиба, т.к. является частным решением дифференциального уравнения.

Для нахождения линии перегиба решаем уравнение вида, для нашего уравнения

Линия перегиба находится в точке с координатами (1;1).

Строим интегральную кривую:

1 2 3 4 5 6

Чем ближе расположены изоклины друг к другу, тем больше ломанная интегральная кривая соответствует истинной интегральной кривой.



Заключение

Данная курсовая работа посвящена изучению фазовой плоскости, предельного цикла, изоклин, построению интегральных кривых с помощью изоклин и дельта-методом. Поданной работе я научилась строить интегральные кривые с помощью изоклин, выяснила, что чем ближе будут расположены изоклины друг к другу, тем больше ломанная интегральная кривая будет соответствовать истинной интегральной кривой.



Список использованных источников и литературы

1) Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи: Учеб. пособие / Л. А. Бессонов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1977. - 343 С. : ил. ; 21см. - 0.82 р.

2) Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - 9-е изд., перераб. и доп. - М.: «Высшая школа», 1996. - 638 С.

3) Основы теории цепей: Учеб. для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С.В.Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528 С.

4) Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б. Я., Негневицкий И. Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. -М.: Энергия- 1972. -200 С.

5) Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.-- 7-е изд., стер.-- М.: Высш. шк., 2003.-- 542 С.

Размещено на Allbest.ru