Задача 1

Задано величини напруги на вхідних затисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).

Рис. 1.0

Вихідна схема

Дано:

U = 100 В; R₁ = 10 Ом;

R₂ = 20 Ом; R₃ = 7 Ом;

R₄ = 8 Ом; R₅ = 10 Ом;

R₆ = 20 Ом; R₇= 10 Ом;

R₈ = 5 Ом; R₉ = 5 Ом.

Визначити: струми в вітках.

Рішення:

Рис. 1.1



Проставимо напрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d. Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола U_ав, U_cd.

Схему перетворимо до еквівалентного опору. Опори R₇, R₈ і R₉ з'єднані послідовно і еквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R₇₈₉ = R₇ + R₈ + R₉ = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1). Опори R₆ і R₇₈₉ з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R_6-9 = R₆? R₇₈₉/( R₆ + R₇₈₉)=20?20/(20+20)= 10 Ом (Рис. 1.2).

Опори R₅ і R_6-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd): R_cd = R₅? R_6-9/( R₅ + R_6-9) = 10?10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R₁ R₁ R₂ R_3-9

Опори R₃, R_cd і R₄ з'єднані послідовно і їх еквівалентний опір:

R_3-9 = R₃ + R_cd + R₄ = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).



Опори R₂ і R_3-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола ав): R_ав = R₂? R_3-9/( R₂ + R_3-9) = 20?20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).

Еквівалентний опір усього кола (опори R₁ і R_ав з'єднані послідовно):

R_екв = R₁ + R_ав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).

Струми визначаємо за допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.

Сила струму на вході кола:

I₁ = U/R_екв = 100/20 = 5 А.

Напруга на паралельній ділянці ав:

Uав = I₁?R_ав = 5?10 = 50 В.

Сила струму: I₂ = Uав/R₂ = 50/20 = 2,5 A.

Сила струму: I₃ = I₄ = Uав/R_3-9 = 50/20 = 2,5 А.

Напруга на паралельній ділянці cd:

Ucd = I₃?R_cd = 2,5?5 = 12,5 В.

Сила струму: I₅ = Ucd/R₅ = 12,5/10 = 1,25 A.

Сила струму: I₆ = Ucd/R₆ = 12,5/20 = 0,625 A.

Сила струму: I₇ = Ucd/R₇₈₉ = 12,5/20 = 0,625 A.

Перевірка правильності рішення по першому закону Кірхгофа.

Вузол а: I₁ - I₂ - I₃ = 0; 5 - 2,5 - 2,5 = 0.

Вузол c: I₃ - I₅ - I₆ - I₇ = 0; 2,5 - 1,25 - 0,625 - 0,625 = 0.



Задача 2

Дані всі ЕРС і опори в схемі (рис. 2.1). Потрібно:

1. Скласти рівняння Кірхгофа (не вирішуючи).

2. Перетворити пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми віток методами контурних струмів і двох вузлів.

3. Скласти баланс потужностей.

4. Побудувати потенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.

Рис.2.1

Вихідна схема

Дано:

E₁ = 60B,

E₂ = 40 Ом,

R₁ = 8 Oм,

R₂ = 10 Oм,

R₃ = 12 Oм,

R₄ = 16 Oм,

R₅ = R₆ = R₇ = 30 Oм



Рішення:

Довільно проставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обраних контурів.

Складаємо рівняння за законами Кірхгофа.

Перший закон.

Для вузла 1 I₇ + I₅ - I₁ = 0.

Для вузла 2 I₂ - I₆ - I₅ = 0.

Для вузла 3 I₃ + I₆ - I₇ = 0.

Другий закон.

Для контуру А E₁ + E₂ = I₁?R₁ + I₂?R₂ + I₅?R₅.

Для контуру В E₂ = I₂?R₂ - I₃?(R₃ + R₄) + I₆?R₆.

Для контуру С 0 = I₇?R₇ - I₅?R₅ + I₆?R₆.

Перетворимо пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).

Рис.2.2. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку

Так як опори трикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові і рівні:



Рис.2.3. Розрахункова схема

Опори віток (рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:

R₁^/ = R₁ + R₅₇ = 8 + 10 = 18 Ом;

R₂^/ = R₂ + R₅₆ = 10 + 10 = 20 Ом;

R₃^/ = R₃ + R₄ + R₆₇ =

=12 + 16 + 10 = 38 Ом.

1. Визначимо струми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурні рівняння.

E₁ + E₂ = J₁?(R₁^/ + R₂^/ ) + J₂? R₂^/.

E₂ = J₁?R₂^/ + J₂?(R₂^/ + R₃^/ ).

Підставимо чисельні значення.

100 = J₁?38 + J₂?20.

40 = J₁?20 + J₂?58.

Контурні струми знаходимо за допомогою методу визначників.



J₁ = ?₁/? = 5000/1804 = 2,77.

J₂ = ?₂/? = - 480/1804 = - 0,266.

Визначимо струми в вітках.

I₁ = J₁ = 2,77 A; I₂ = J₁ + J₂ = 2,77 - 0,266 = 2,504 A.

I₃ = - J₂ = - 0,266 A.

Знак мінус свідчить про те, що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.

2. Визначимо струми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузлову напругу.

g₁, g₂, g₃ - провідності відповідних віток. Далі визначимо струми в вітках.

I₁ = (E₁+U_АВ)/ R₁^/ = (60- 10,11)/18 = 2,77 A.

I₂ = (E₁-U_АВ)/ R₂^/ = (40 + 10,11)/20 = 2,505 A.

I₃ = -U_АВ/ R₃^/ = -10,11/38 = - 0,266 A.



3. Складемо баланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бути дорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Р_спож = Р_нагр.

E₁? I₁ + E₂ ? I₂ = I₁²? R₁^/ +I₂²? R₂^/ + I₃²?R₃^/.

60 ? 2,77 + 40 ?2,505 = 2,77² ? 18 + 2,505² ? 20 + 0,266² ? 38.

266,4 = 266,3.

Погрішність розрахунків:

Точність розрахунку досить висока.

4. Для побудови потенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявши потенціал точки В рівним нулеві.

j_B--=--_;--j_С--=--j_B----E₁--=-----6_--B;--j_А--=--j_C--+--I₁?R₁--=-----6_--+--2,77?18--=-----1_,14--B;--j_D--=--j_А--+--I₂?R₂--=---1_,14--+--2,5_5?2_--=--4_--B;--j_B--=--j_D--–E₂--=--_.

Рис.2.4. Потенційна діаграма



Задача 3

По заданих величинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гц при амплітуді U_м і початковій фазі ц_u:

Показання приладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).

Побудувати в масштабі векторну діаграму напруг і струму.

Записати миттєві значення напруги і струму на вході кола:

i = I_м М Sin(щ·t + ц_i)

и

U = U_м М Sin(щ·t + ц_u).

Рис.3.1. Розрахункова схема.

Дано:

U_м =100 В, ц_u= 10^о;

R₁=20 Ом, R₂=25 Ом;

L₁= 63,8 мГн; С₁= 100 мкФ.

Рішення:

Діюче значення напруги (показання вольтметра):



U = U_м/1,41 = 100/1,41 = 70,71 В.

Миттєве значення напруги:

U = 100 М Sin(щ·t + 10^о).

Опори:

X_L1 = щ?L₁ = 2·р? f · L₁ = 2·р? 50 ·63,8?10^-3 = 20 Ом.

X_С1 = 1/(щ?С₁₎ = 1/(2·р? f ·З₁) = 1/(2·р? 50 ·100?10^-6) = 32 Ом.

Модуль повного опору кола:

z = [(R₁ + R₂)² + (X_L1 - X_C1)]^0,5 = [45² + (-12)²]^0,5 = 46,57 Ом.

Зсув фаз між струмом і напругою:

ц = arc tg (X_L1- X_C1)/(R₁ + R₂) = arc tg(-12/45) = - 14,93^o.

Модуль струму в колі (показання амперметра):

I = U/z = 70,71/46,57 = 1,52 А.

Амплітудне значення струму:

I_м = I?1,41 =1,52 ? 1,41 = 2,15 А.

Початкова фаза струму:



ц_i = ц_u - ц = 10^o + 14,93^o = 24,93^o.

Миттєве значення струму:

I = 2,15 М Sin(щ·t + 24,93^о).

Активна потужність у колі (показання ватметра):

P = I² ? (R₁ + R₂) = 1,52² ? (20 + 25) = 104 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.

U_R1 = I?R₁ = 1,52 ? 20 = 30,4 В; U_L1=I ? X_L1=1,52 ? 20 = 30,4 В;

U_R2 = I ?R₂ = 1,52 ? 25 = 38 В; U_C1 = I ?X_C1 = 1,52?32 =48,64 В.

Виберемо масштаби. Для струму - довільний. Для напруг - 0,5 В в 1мм. При побудові векторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:

? = ?_R1 + ?_L1 + ?_R2 + ?_C1.

Рис.3.2. Векторна діаграма



Задача 4

Задано значення напруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:

1. Визначити струми I₁, I₂, I₃, напругу U₂ і cosj кожної ділянки кола.

2. Обчислити активну, реактивну і повну потужності всього кола.

3. Побудувати в масштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.

Рис.4.1. Розрахункова схема

Дано:

вхідна напруга U=380B;

опори

R₁=185 Ом, R₃ = 210 Ом, X_L1 = 203 Ом,

X_L3= 195 Ом,

X_C2 = 200 Ом.

Визначимо повні опори віток. Показник оператора в градусах.

Z₁ = R₁ + jX_L1 = 185 + j203 = 274,65 ?e ^{j 47,66};

Z₂ = - jX_C2 = - j200 = 200?e ^{- j90};

Z₃ = R₃ + jX_L3 = 210 + j195 = 286,57?e ^{j 43} .



Визначимо повний опір паралельної ділянки кола.

Визначимо повний опір усього кола.

Z = Z₁+ Z₂₃ = 185 + j 203 + 186 - j 200 = 371 + j 3 ? 371.

Визначимо комплексні значення струмів за допомогою закону Ома.

Повний струм

Спадання напруги на паралельній ділянці кола в комплексній формі.

= 1,024 ?273?e ^{- j 47} = 280 ?e ^{- j 47}.

Струми в паралельних вітках у комплексній формі.



(Перевірка правильності визначення струмів по першому закону Кірхгофа: = 1,024 - 1,024 - j0,955 + j0,955 = 0).

Визначимо Cosц кожної ділянки кола.

Cosц₁ = R₁/Z₁ = 185/274,65 = 0,67; Cosц₂ = R₂/Z₂ = 0/200 = 0;

Cosц₃ = R₃/Z₃ = 210/286 = 0,73.

2. Визначимо потужності. Комплекс повної потужності всього кола.

=380?1,024 = 390.

Модуль повної потужності всього кола S = 390 (B·A).

Активна потужність усього кола Р = 390 (Вт).

Реактивна потужність усього кола Q = 0 (В?Ар).

- сполучений струм у колі (міняється знак на протилежний у показнику оператора).

3. Для побудови топографічної векторної діаграми (рис. 4.2) знайдемо спадання напруги в комплексній формі на кожнім елементі в вітках кола.

= 1,024 ?185 = 190.

= 1,024 ?195 ?e ^{j 90}= 200?e ^{j 90}.

= 280 ?e ^{- j 47}. = 0,955 ?e ^{- j 90}?210 = 200?e ^{- j 90}.

= 0,955 ?e ^{- j 90} ?195?e ^{j 90}= 186.

Виберемо масштаби. Для векторів струмів: 0,1А - 1 см; для векторів напруг: 40В - 1 см. При побудові сполученої векторної діаграми струмів і напруг враховувати закони Кірхгофа.



Рис.4.2. Векторна діаграма

Задача 5.1

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.1). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.1. Розрахункова схема

Дано:

U_л =127 В;

R_ав = 4 Ом;

R_вс = 8 Ом;

R_са = 6 Ом;

X_ав = 3 Ом; X_ав = 3 Ом;

X_вс = 4 Ом; X_са = 8 Ом.

Рішення:

Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_ав = R_ав + j X_ав = 4 + j3 = 5 ? e ^{j 36,87}.

Z_вс = R_вс + j X_вс = 8 + j3 = 8,544 ? e ^{j 20,556}.

Z_са = R_са + j X_са = 6 + j8 = 10 ? e ^{j 53,13}.

Представимо вектори лінійних напруг на комплексній площині, сполучивши вектор напруги ?_вс із дійсною віссю комплексної площини (рис. 5.1.1), і запишемо їх у комплексному виді.

.

Рис.5.1 .1. Векторна діаграма напруг

Визначимо фазні струми за законом Ома.



Визначимо лінійні струми за допомогою першого закону Кірхгофа.

= 3,038 + j25,22 + 12,6 + j1,52 = 15,638 + j26,74 = 31 ? e ^{j 59,7}.

=13,92 - j5,22 - 3,038 - j25,22=10,882 - j30,44=32,33 ? e ^{-j 70,33}.

= -12,6 - j1,52 - 13,92 + j5,22 = - 26,52 + j3,7 = 26,78 ? e ^{j 172}.

Визначимо активні потужності у фазах.

Р_ав = I_ав² ? R_ав = 25,4² ? 4 = 2580,64 Вт.

Р_вс = I_вс² ? R_вс = 14,86² ? 8 = 1766,66 Вт.

Р_са = I_са² ? R_са = 12,7² ? 6 = 967,74 Вт.

Визначимо активну потужність усього кола.

Р_ав + Р_вс + Р_са = 2580,64 + 1766,66 + 967,74 = 5315,04 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 5.1.2) виберемо масштаби.

М_U: 3 В в 1 мм. М_I: 0,5 А в 1 мм.



Рис.5.1.2. Векторна діаграма напруг і струмів

Задача 5.2

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.2). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.2

Дано:

U_л =254 В;

R_a = 3 Ом;

R_в = 4 Ом;

R_с = 6 Ом;

X_а = 4 Ом;

X_в = 3 Ом;

X_с = 8 Ом.

Рішення:

Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_а = R_а - jX_а = 3 - j4 = 5?e -^j53,13.

Z_в = R_в + jX_в = 4 + j3 = 5 ? e ^j36,9. Z_с = R_c + jX_с = 6 + j8=10?e ^j53,13.

Рис.5.2.1. Векторна діаграма напруг

Представимо вектори фазних напруг на комплексній площині (рис. 5.2.1), сполучивши вектор напруги з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги

U_ф = U_л/1,73 = 254/1,73 = 147 В.

= 147;

= 147? e ^{- j120};

= 147 ? e ^j120.



Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).

Визначимо струм у нульовому проводі за допомогою першого закону Кірхгофа.

=17,64 + j23,52 - 27,04 - j11,53 +5,77 + j13,52 =

= - 3,63 + j25,51 = 25,77 ? e ^j98,1.

Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.

Р_а = I_а² ? R_а = 29,4² ?3 = 2593 Вт. Р_в = I_в² ? R_в = 29,4² ?4 = 3457 Вт.

Р_с = I_с² ? R_с = 14,7² ?6 = 1297 Вт.

Р = Р_а + Р_в + Р_с = 2593 + 3457 + 1297 = 7347 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 5.2.2) виберемо масштаби. М_U: 3 В в 1 мм. М_I: 0,5 А в 1 мм.



Рис. 5.2.2. Векторна діаграма напруг і струмів

Задача 5.3

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.3). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.3. Розрахункова схема

Дано:

U_л =220 В;

R_в = 3 Ом;

X_а = 15 Ом;

X_с = 10 Ом.



Рішення:

Визначимо повні опори в комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_а = jX_а = j15 = 15 ? e ^j90. Z_в = R_в = 3. Z_с = - jX_с = - j10 = 10 ? e ^{- j90}.

Рис.5.3.1. Векторні діаграми напруг генератора (а) і навантаження (б)

Представимо вектори фазних напруг генератора на комплексній площині (рис. 5.3.1 а), сполучивши вектор напруги генератора ?_А з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги

U_ф = U_л/1,73 = 220/1,73 = 127 В.

127; 127? e ^{- j120} = - 63,5 - j110; 127 ? e ^j120 = - 63,5 + j110.

Визначимо зсув нейтралі.



Визначимо фазні напруги навантаження (див. рис. 5.3.1 б).

= 127 + 111,23 + j144,17=238,23 + j144,17=278,46 • е ^j31,18.

=- 63,5 - j110 + 111,23 + j144,17=47,73 + j34,17=58,7 • е ^j35,6.

=- 63,5+j110 +111,23+j144,17=47,73 + j254,17=258,6 • е ^j79,4.

Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).

По першому закону Кірхгофа сума струмів у комплексному виді повинна дорівнювати нулеві.

=9,61 - j15,88 + 15,96 + j11,32 - 25,42 + j4,76=0,15 + j0,2 ? 0.

Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.

Р_а = I_а² ? R_а = 18,564² ?0 = 0. Р_в = I_в² ? R_в = 19,57² ?3 = 1149 Вт.

Р_с = I_с² ? R_с = 25,86² ?0 = 0.

Р = Р_а + Р_в + Р_с = 0 + 1149 + 0 = 1149 Вт.



Для побудови векторної діаграми виберемо масштаби. М_U : 4 В в 1 мм. М_I : 0,5 А в 1 мм.

Рис.5.3.2. Векторні діаграми напруг та струмів

Задача 6

До лінії трифазного струму (рис. 6.1) промислової частоти з напругою 380/220В за допомогою рубильників приєднуються споживачі:

а) лампи накалювання загальною потужністю Ра, Рв і Рc на напругу 220В;

в) індуктивні котушки з повним опором Z_ав=Z_вс=Z_са=19(Ом) при фазному куті зрушення Дц у кожній фазі на напругу 380 В.

Вважаючи рубильники К_i включеними зобразити спрощену схему, а також:

1) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними трикутником, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаної трикутником;

2) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними зіркою, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаною зіркою;

3) накреслити окремо сполучену векторну топографічну діаграму. Сполучену діаграму вичертити крупно на окремому листі;

4) визначити показання амперметрів у схемі і струм нульового проводу, користуючись графічним методом (по сполученій діаграмі).

Рис. 6.1. Схема в загальному виді

Дано: включені рубильники

К₁, К₂, К₃, К₄, К₅, К₆;

Дц = 30^о,

Р_А = 4400 Вт,

Р_В = 2200 Вт,

Р_С = 4400 Вт,

f = 50 Гц.

Рішення:

Розрахункова схема представлена на рис. 6.2.

Задачу вирішуємо розрахунково-графічним методом.



Рис.6.2. Розрахункова схема

1. Модулі фазних струмів трикутника:

I_ав = I_вс = I_са = U_л /Z_ав = 380/19 = 20 А.

Лінійні струми в комплексній формі по першому закону Кірхгофа:

Будуємо векторну діаграму (рис. 6.3), прийнявши масштаби: напруг - 44 В в 1 см; струмів - 5 А в 1 см.

Рис.6.3. Векторна діаграма напруг та струмів



Так як навантаження симетрично, то лінійні струми навантаження, з'єднаної трикутником, однакові і відповідно до масштабу:

I_A? = I_B? = I_C? = 5 (A/см) ? 6,93 см = 36,65 А.

2. Модулі фазних (рівні лінійними при з'єднанні зіркою) струми зірки:

I_AY = I_CY = Р_А/U_ф = 4400/220 = 20 А.

I_ВY = Р_В/U_ф = 2200/220 = 10 А.

Будуємо векторну діаграму в тих же масштабах (рис. 6.4).

Рис.6.4. Векторна діаграма

Струм нульового проводу: .

З діаграми відповідно до масштабу: I₀ = 5(A/см)?2(см) = 10 А.

3. Будуємо сполучену векторну діаграму струмів і напруг у тих же масштабах струмів (рис. 6.5), за допомогою якої визначаємо лінійні струми всього кола (показання амперметрів і струм нульового проводу).

Відповідно до першого закону Кірхгофа в комплексній формі:

; ;

З діаграми відповідно до масштабу:

I_A = 5 (A/см)• 10,5 (см) = 8,6 А;

I_B = 5 (А/см) • 8,6 (см) = 43 А; I_C = 5 (А/см) • 10,5 (см) = 52,5 А;

I₀ = 5 (А/см) • 2 (см) = 10 А.

Рис.6.5. Сумісна векторна діаграма



Література

МорозовА.Г. Электротехника, электроника и импульсная техника: Учеб. пособие для инженерно-экономических специальностей вузов. - М.: Высш.шк.1987.-448с.

Электротехника. Учеб. пособие для вузов под ред. Пантюшина В.С.-М.: Высш. шк. 1985.-373с.

Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.- М.: Энергоатомиздат,1985.-552с.

Пантюшин И.С. Сборник задач по электротехнике.-М.: Высш. шк. 1973.-253с.