Переходные процессы в линейной электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

четырехполюсник переходный операторный сопротивление

Теория электрических цепей является базовым курсом, дающим основные понятия и аналитический аппарат, необходимый для количественного описания электромагнитных процессов в технических системах, предназначенных для производства, передачи и распределения электрической энергии, распространения, преобразования и обработки информации, - системах связи, автоматического управления, средствах информационной и вычислительной техники, в электромеханических и электротехнических устройствах.

Курс теории цепей базируется на основных физических понятиях об электрических и магнитных явлениях. В основе курса лежат также знания, полученные в различных областях математики - линейной алгебре, теории дифференциальных уравнений, преобразований Фурье и Лапласа, численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

В свою очередь, на базе теории электрических цепей строятся многие последующие дисциплины, связанные с анализом конкретных классов систем, в которых методы и приёмы теории цепей развиваются и получают проблемную ориентацию.

Прикладная направленность курса требует на ряду с изучением теории решения задач, предлагаемых в виде самостоятельных расчётных заданий и курсовых работ.

При выполнении курсовой работы перед студентом ставятся следующие задачи и цели:

- Закрепление и более глубокое усвоение определенного объёма теоретических знаний, включающего следующие вопросы:

- комплексные частотные характеристики электрических цепей;

- расчёт переходной и импульсной характеристики цепи;

- расчёт характеристических и первичных параметров четырехполюсников

- Приобретение навыков, освоение методов расчёта и анализа электрических цепей;

- Развитие самостоятельности и творческой инициативы при решении конкретных задач.



1. Расчёт комплексного коэффициента передачи по напряжению для четырёхполюсника

Рассчитываемая цепь

Комплексная схема замещения

Входными зажимами буду считать зажимы 1 - 1', а выходными зажимами 2 - 2'.

Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:

где - комплексное входное напряжение четырехполюсника;

- комплексное выходное напряжение;

- зададимся значением для входного напряжения.

Комплексное выходное напряжение найдем из выражения:

где - комплексный второй ток;

- комплексное сопротивление резистора.

Определяем комплексные токи для данного четырехполюсника:

где - комплексное входное напряжение;

- комплексное входное сопротивление всей цепи четырехполюсника.

Токи в параллельных ветвях определяются следующим выражением:

где - комплексный первый ток;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление катушки L.

- комплексное сопротивление резистора ;

Определяем комплексное входное сопротивление цепи:



После элементарных преобразований комплексное входное сопротивление цепи принимает вид:

где,,,, и - индивидуальные численные значения выбранные для своего варианта и соответственно равные 100 Ом, 120 Ом, 140 Ом, 0,3 мкФ, 2мГн, а j - комплексная постоянная численно равная .

Полученное выражение для комплексного входного сопротивления четырехполюсника подставляем в выражение для первого тока, тогда получим:

Полученное выражение для первого тока подставляем в выражение для второго тока и получаем следующее выражение:



Определяем комплексное выходное напряжение заданной цепи, подставляя выражение второго тока в выражение:

Подставляем полученную дробь (1.10) в выражение для получения комплексного коэффициента передачи по напряжению (1.1):

После сокращения выражение для комплексного коэффициента передачи принимает вид:



Где А=

Комплексный коэффициент передачи по напряжению в показательной форме имеет вид:

где - модуль коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией АЧХ;

- аргумент коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией ФЧХ.

В результате аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ представляют собой соответственно:



Построение АЧХ

Построение ФЧХ



2. Расчет переходной характеристики цепи классическим методом

Рассчитываемая цепь до коммутации

Параметры заданного четырёхполюсника:

Производим анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяю токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на ёмкости в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).

По законам коммутации:

Независимые начальные условия равны:

Составляем систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации (t?0):



Рассчитываемая цепь после коммутации

Направление обхода выбираем произвольно. U1=1B

Ток представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи:

Определим ток в установившемся режиме цепи после коммутации. Так как на входе цепи включена ёмкость, то в установившемся режиме работы цепи все токи будут равны нулю.

Определим свободную составляющую тока для этого необходимо, получить характеристическое уравнение цепи после коммутации. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения - метод входного сопротивления.

Запишем характеристическое уравнение заданного четырехполюсника:



Приравняем к нулю числитель выражения:

Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение, вычислим его корни:

Дискриминант получился , находим корни:

Корни характеристического уравнения комплексно - сопряженные, поэтому характер переходного процесса - колебательный, следовательно свободная составляющая тока будет иметь вид:



где , - постоянные интегрирования.

Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений для т=0:

Из независимых начальных условий ,

Из второго уравнения системы уравнений определяем :

Из третьего уравнения системы уравнений определяем :

Подставляем значений второго тока и третьего тока в первое уравнение системы уравнений и получаем значение первого тока в нулевой момент времени :

Продифференцируем первое и второе уравнение системы уравнений (2.75) и запишем их для :



Из второго уравнения системы уравнений находим , подставляя известные значения конденсатора , значения сопротивлений и значения первого тока в нулевой момент времени (2.78):

Определим постоянные интегрирования и для определения свободной составляющей третьего тока. Так как установившаяся составляющая тока третьего равна нулю, то ток в цепи будет определяться только свободной составляющей:

Продифференцируем уравнение для тока (2.81) и запишем их для :

Запишем уравнение (2.81) для :



Из двух уравнений составим одну систему уравнений:

Решаем систему уравнений (2.84), подставляя известные численные значения (2.76), (2.80), (2.73), (2.73) и находим постоянные интегрирования и :

Подставляем полученные постоянные интегрирования в выражения для искомого тока третьего:

Таким образом, переходная характеристика заданного четырехполюсника имеет вид:



3. Расчет переходной характеристики операторным методом

Рассчитываемая цепь в операторном виде

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:



Запишем выражение выходного напряжения в операторном виде:

Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :

Приравниваем знаменатель выражения к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

Найдем производную от знаменателя дроби (2.92) то есть :



применяя теорему разложения, определим оригинал по формуле:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.92) первый корень характеристического уравнения

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:

В выражение подставим, первый корень характеристического уравнения и получим:

В выражение подставим второй корень характеристического уравнения (2.95) и получим:



Подставляем найденные значения в выражение:

Построим график переходной характеристики четырёхполюсника:

Переходная характеристика четырёхполюсника



4. Расчёт импульсной характеристики четырёхполюсника

Операторная схема заданного четырехполюсника

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:



Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :

Приравниваем знаменатель выражения к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:



Найдем производную от знаменателя дроби то есть :

В соответствии с теоремой разложения имеет вид:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) первый корень характеристического уравнения:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:

В выражение подставим первый корень характеристического уравнения и получим:



В выражение подставим второй корень характеристического уравнения и получим:

Подставляем найденные выражения в аналитическую форму импульсной характеристики;

5. Расчет - параметров четырехполюсника

При записи уравнений в форме положительное направление токов выбирается согласно рисунку 4.1. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приёмником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты: и - безразмерные, - имеет размерность сопротивлений, имеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены следующим образом (рисунок 4.1):

- отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;

- отношение токов при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных зажимах;

В нашем случае расчет - параметров будет произведен через параметры холостого хода и короткого замыкания.

Коэффициенты и представляют собой входные проводимости четырехполюсника рисунок 6.1, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно и представляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты:

В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов получаем:

Основываясь на наше задание начнем расчет - параметров с того, что рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания для заданной цепи.

Сопротивления холостого хода цепи найдем, используя выражения (5.1) и (5.3):

где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1', в режиме холостого хода на зажимах 2 - 2', Ом. То есть зажимы 2 -2' не подключены.

где - сопротивление со стороны зажимов 2 - 2', в режиме холостого хода на зажимах 1 - 1', Ом. То есть зажимы 1 - 1' разомкнуты и ток не будет проходить через конденсатор, а будет протекать в направлении резистора , поэтому будет определяться выражением (4.3).



где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 - 1', при закороченных зажимах 2 - 2', Ом. Так как зажимы 2 - 2' соединены между собой, соответственно ток третий, протекающий через резистор не будет проходить через R3, а пойдет по пути наименьшего сопротивления, поэтому будет определяться выражением (5.5);

где - входное сопротивление со стороны зажимов 2 - 2', в режиме короткого замыкания на зажимах 1 - 1', Ом. То есть зажимы 1 - 1' соединены между собой и токи, протекающие в заданной схеме, будут проходить через все элементы цепи. Поэтому будет определяться выражением (4.7).



Используя значения определяю - параметры

Проверим условие правильности подсчёта А-параметров:

6. Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Характеристические сопротивления будут выглядеть следующим образом:



Положим, что сопротивления и в схемах рисунок 6.1 а и б подобраны таким образом, что и . Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: и , которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 6.1 в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 6.1, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Предположим, что



Тогда получим:

Совместное решение этих уравнений относительно и дает:

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр , удовлетворяющий условиям:

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами соответствует тригонометрической формуле:



Параметр в общем случае комплексный; называется характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Это - третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть - А называется постоянной ослабления четырехполюсника, а мнимая часть В-постоянной фазы.
Децибел - единица затухания, в 10 раз меньшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза. Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в 2,718 раза.

Используя - параметры четырехполюсника, получаем характеристические сопротивления четырехполюсника (5.1), (5.2) и (5.3) (рисунок 4.2).

где - коэффициент передачи по напряжению;

- передаточное сопротивление, Ом;

- передаточная проводимость, См;

- отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов.



где - характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника;

- характеристическая (собственная) постоянная ослабления четырехполюсника, Нп или дБ;

- характеристическая (собственная) постоянная фазы четырехполюсника, рад или град.



Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы были исследованы: комплексный коэффициент передачи по напряжению , амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики цепи, переходная характеристика и импульсная характеристика заданного четырехполюсника, сопротивления холостого хода , и короткого замыкания , , А - параметры четырехполюсника, характеристические сопротивления четырехполюсника и , и характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника.



Список литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: учебник / Попов В.П. - 6-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2007 - 575 с.

2. Атабеков Г.И. Основы теории цепей: учебник / Атабеков Г.И. - 2-е изд., испр. - М.: Лань, 2006 - 432 с.

3. Атабеков Г.И. Основы теории цепей: линейные электроцепи / Атабеков Г.И. - 6-е изд. - СПб: Лань, 2008-592 с.

4. Новгородцев А.Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по теории электрических цепей. СПб: Питер, 2006

5. Новиков Ю.Н. Н73 Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа: Учебное пособие. СП6: Питер, 2005.

Размещено на Allbest.ru