Анализ частотных и временных характеристик активного четырехполюсника

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТАГАНРОГСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ в г.ТАГАНРОГЕ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ РАДИОТЕХНИКИ РТФ

Курсовая работа по курсу “Основы теории цепей”

На тему:

“Анализ частотных и временных характеристик активного четырехполюсника”

Выполнил студент группы Р-35

Скубачев А.В.

Проверил кандидат технических наук

доцент кафедры ТОР Орличенко А.Н.

2007 год.

1. Вариант задания 12-Z-16

Параметры элементов цепи:

L1 = 1 мГн,

L2 =1,35 мГн,

R₁ = 1 кОм,

R₂ = 1,7 кОм.

Необходимо определить Z-параметры четырехполюсников.

1.1 Для определения А- параметров четырехполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов

Рис.2 Комплексная схема замещений

Источник напряжения не подает в цепь напряжение, в данной комплексной схеме он показывает лишь то, что между зажимами 2-2' имеется напряжение U₂ и выбирается еще один контур с контурным током I₂₂ (искусственно созданный). Данный метод

Z₁₁Э₁₁+Z₁₂Э₂₂+Z₁₃Э₃₃=Л_11;

Z₂₁Э₁₁+Z₂₂Э₂₂+Z₂₃Э₃₃=Л_22;

Z₃₁Э₁₁+Z₃₂Э₂₂+Z₃₃Э₃₃=Л_33.

Выбирая направление обхода контуров как указано на рис.2, и учитывая, что

Z₁₁=jщL +R₁; Z₂₂=jщL₂; Z₃₃=jщL1+R₂+jщL2; Z₃₁=Z₁₃=jщL1; Z₂₁=Z₁₂=0; Z₂₃=Z₃₂=jщL₂;

Э₁₁=Э₁; Э₂₂= Э'₂; Э₃₃=Э₃; Л₁₁=U₁; Л₂₂=-U₂; Л₃₃=0,

Запишем контурные уравнения цепи:

(Z_R1+Z_L1)Э₁ - Z_L2Э₃ = U₁

Z_L2Э₂ - Z_L2Э₃ = -U₂

-Z_L1Э₁ - Z_L2Э₂ +(Z_R1+Z_R2+Z_L2)Э₃=0 (1)

Z_R1=Z_1, Z_L1=Z_2, Z_R2=Z_3, Z_L2=Z_4.

Система уравнений содержит токи и напряжения, среди которых ток конденсатора. Который можно исключить и который не является током на входных или выходных зажимах четырехполюсника. Система (1) примет вид:

(2)

(3)

Полученные уравнения содержат только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника и могут быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений четырехполюсника в формате Z:

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Преобразуя уравнения (3) к виду (5), а затем используя его для преобразования уравнения (2) к виду (4), получим

(6)

(7)

Сравнивая (6) и(7) с (4) и (5) получим

1.2 Определение коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе

Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов к зажимам в режиме холостого хода () на выходе найдем, используя полученные в пункте 2.1 выражения для первичных параметров:

Из выражения (8) следует, что АЧХ К_21Х(щ) и ФЧХ Ф_21Х(щ) имеют вид

Ф_21Х(щ)=

Графики частотных характеристик и Ф_21Х(щ), рис.3 и рис.4 соответственно.

Рис.3 Амплитудно-частотная характеристика щ,рад/мкc

Рис.4 Фазочастотная характеристика щ,рад/мкc

Графики частотных характеристик на практике часто стоят в полулогарифмическом или логарифмическом масштабах. Варианты выполнения таких графиков для рассматриваемого случая приведены на рис.5. и 6.

Рис.5 График АЧХ цепи в полулогарифмическом масштабе (в случае применения логарифмического масштаба по оси ординат)

Рис.6 График АЧХ цепи в полулогарифмическом масштабе (в случае применения логарифмического масштабе по обеим осям)

Предельные значения К_21Х(щ) и Ф_21Х(щ) при щ>0 и щ> для контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам.

Учитывая, что сопротивление индуктивности на постоянном токе равно нулю, в схеме (см. рис.1) можно заменить индуктивность перемычкой. В полученной схеме, эквивалентной исходной на бесконечно малой частоте, т.е. при щ> 0, К_21Х(0) > 0 и Ф_21Х(0) > 180.

На бесконечно большой частоте сопротивление индуктивности стремится к бесконечности. При щ> , К_21Х() > 1 и Ф_21Х() > 0.

1.3 Операторный коэффициент передачи по напряжению получим из выражения (8), заменой jщ оператором p:

Функция К_21Х(p) имеет два комплексных полюса и один вещественный нуль_, c^-1; p₀=0 c^-1 Полюсно-нулевая диаграмма функции К_21Х(p) приведена на рис.7. Расположение полюсов и нулей p₁, p_2, p₀ говорит о том что процессы в цепи имеют колебательный затухающий характер.

1.4 Выражения для изображения переходной и импульсной характеристик цепи запишутся соответственно в виде:

(9)

(10)

Оригиналы временных характеристик определяются с помощью таблиц преобразования Лапласа. Для этого преобразуем (9) и (10) к виду следующих табличных операторных функций:

, (11)

. (12)

После преобразований изображения (9) и (10) примут вид

, (13)

. (14)

Сравнивая (13) и (14) с (11) и (12) и учитывая, что выражение можно представит в виде , где и , получаем выражения для переходной и импульсной характеристик:

Переходной процесс в цепи практически заканчивается после коммутации за время t_п(3 - 5), где для нашего случая =1/min|Re(p_1,2)|= 4 мкс. Выбираем интервал расчета численных значений временных характеристик 312мкс, т.к. отличие отклика от установившихся значений при t>3 трудно показать на графике.

Рис.8 Переходная характеристика h¹(t)

Рис. 9 Импульсная характеристика h^б(t)

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи подсоединим к входным зажимам 1-1' независимый источник напряжения e(t)=u₁(t). Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах 2-2' при воздействии на цепь единичного скачка напряжения e(t)=1(t) при нулевых начальных условиях. В первоначальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t=t₀=0 напряжение на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1-1' u₂=u₁=1 В. С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t. В соответствии с этим переходная характеристика начинается от значения g(0)=1 и стремится к нулю при t.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения e(t)=1*(t) В. В течение действия единичного импульса все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности и принимает бесконечно большое значение, ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до i_L(0₊)=1/L, А. При t> в следствии рассеяния энергии в сопротивлении все точки и направления в цепи стремятся к нулю.

1.5 Рассмотрим расчет отклика в заданной цепи при напряжении на зажимах 1-1' u₁(t)

График u₁(t) приведен на рис.10., из которого видно, что внешнее воздействие описывается кусочно-непрерывной функцией, имеющей конечные разрывы при t=2 мкс, t=5мкс:

0, B при t < 0 мкс

u₁(t)= -6, В при 0 t < 2мкс

-4, В при 2 t 5мкс

-2, В при t > 5 мкс

Внешнее воздействие на цепь, имеющее ступенчатый вид, можно представить в виде суммы трех импульсов:

u₁⁽¹⁾(t)= -6*1(t), B;

u₁⁽²⁾(t)= 2*1(t-2*10^-6), B;

u₁⁽³⁾(t) = 4*1(t-5*10^-6), B.

Сдвинутых во времени на t_и

u₁(t)= u₁⁽¹⁾(t)+ u₁⁽²⁾(t) + u₁⁽³⁾(t)= -6*1(t)+ 2*1(t-2*10^-6)+ 4*1(t-5*10^-6), B

Используя теорему наложения, будем искать отклик u₂(t) в виде суммы трех частичных откликов u₂⁽¹⁾(t), u₂⁽²⁾(t) и u₂⁽³⁾(t) на каждое частичное воздействие в отдельности. Частные отклики можно найти с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. Используя известный временные характеристики цепи, отклики можно найти с помощью интеграла наложения (интеграла Дюамеля).

Операторные отклики на три частичных воздействия равны произведению операторного коэффициента цепи К_21х(р) и соответственно изображений неединичных скачков u₁⁽¹⁾(р), u₁⁽²⁾(р) и u₁⁽³⁾(р) по Лапласу:

u₂⁽¹⁾(р) = К_21х(р)*= -6*h¹(t); B

u₂⁽²⁾(р) = К_21х(р)*=2* h¹(t-2*10^-6); B

u₂⁽³⁾(р) = К_21х(р)*=4* h¹(t-5*10^-6); B

Таким образом, оригинал отклика u₂⁽¹⁾(t) на первое частичное воздействие числено равен произведению переходной характеристики h¹(t) цепи на величину скачка U₁=-6 В.

Отклик u₂⁽²⁾(t) на второе частичное воздействие u₁⁽²⁾(t)= 2*1(t-2*10^-6) при t<2 мкс тождественно равен 0, т.к. реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь. Аналогично и для u₁⁽³⁾(t), u₂⁽³⁾(t)=0.

При 2 t 5мкс отклик на неединичный скачок будет равен произведению сдвинутой по времени на t_и переходной характеристики h¹(t-2*10^-6) на высоту этого скачка U₂(t=t_и=2*10^-6)=-4 B:

u₂⁽²⁾(t)

= При t >

5 мкс отклик на неединичный скачок будет равен произведению сдвинутой по времени на t_и переходной характеристики h¹(t-5*10^-6) на высоту этого скачка U₃(t=t_и=2*10^-6)=4 B:

u₂⁽³⁾(t)=

Окончательное выражение реакции цепи будет иметь вид:

0, B при t < 0 мкс

u₁(t)= В, 0 t < 2мкс

,В 2 t 5мкс

, В t > 5 мкс

Интервал расчета численных значений реакции цепи на заданное воздействие t_{п max} определяется практически окончанием переходных процессов после последней коммутации. Результаты расчета отклика на заданное воздействие приведены на рис. 11

Рис.11 Отклик на заданное воздействие

активный четырехполюсник электрический цепь

2. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы

Первичные параметры четырехполюсника удовлетворяют условию обратимости _А=1.

Монотонность АЧХ К_21Х(щ) и монотонность крутизны ФЧХ dФ_21Х(щ)/dщ указывают на не возможность возникновения в цепи резонансных явлений.

Комплексно несопряженные полюсы операторного коэффициента передачи указывают на не колебательный характер переходных процессов в цепи.

Переходная характеристика g(t) не является квазигармонической функцией. Предельные соотношения для изображения и оригинала выполнены.

Импульсная характеристика h(t) также не является квазигармонической функцией.

Размещено на Allbest.ru