Главная База знаний "Allbest" Программирование, компьютеры и кибернетика Методы использования информационных технологий при изучении курса "Алгебра и начала анализа"

Методы использования информационных технологий при изучении курса "Алгебра и начала анализа"

Способы формирования у учащихся знаний по информационным технологиям в математике, умения правильного выбора инструментария для решения практических задач. Разработка методики решения математических задач с использованием прикладного пакета Maple 9.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 19.03.2012
Размер файла 2,4 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Подчеркнем два обстоятельства:

· стандарт определяет минимальный уровень требований, так что профильный курс может выйти за его пределы;

· уровень профильного курса следует тщательно соотносить с уровнем образованности школьников и временем, отпущенным на реализацию курса (завышение требований по этим параметрам достаточно распространено).

2.2 Дифференциация обучения математике при интеграции в него информационных технологий

Необходимость внедрения информационных технологий в образовательный процесс, особенно в преподавание предметов естественно-математического цикла, сегодня ни у кого не вызывает сомнения. Использование информационных технологий позволяет ознакомить учащегося с основами компьютерного моделирования процессов и явлений. Интеграция информационных технологий в математику дает возможность создания единого предмета под условным названием «Математика и информатика». Проиллюстрируем необходимость введения такого предмета в школьный курс при наличии отдельно существующих предметов «Математика» и «Информатика» следующим примером из моей практики. Применение редактора электронных таблиц Microsoft Excel при изучении темы «Линейная функция у = kx + b и ее график» позволяет наглядно представить учащимся, что графиком линейной функции является прямая. Компьютер может высчитать координаты большого числа точек и построить их. Учащиеся наглядно могут убедиться, что действительно все эти точки лежат на одной прямой. Далее можно показать на одном чертеже как меняется график при изменении параметра k, а на другом чертеже - как меняется график линейной функции при изменении параметра b (число различных вариантов значений параметров k и b здесь не ограничено). Все это будет проделано гораздо быстрее, аккуратнее и с большим числом вариантов, чем при построении соответствующих зависимостей на доске, а учащиеся копировали информацию с доски себе в тетради. Особо отметим, что каждый ученик получает возможность провести самостоятельный эксперимент с программой построения графика линейной функции, которую он сам перед этим составил. Затем полученные графики можно вывести на печать, и у учащихся останется конспект данного урока. Таким образом, использование информационных технологий позволяет сэкономить учебное время для ее дальнейшего изучения без использования ПК. Это обусловлено, необходимостью научить учащихся не только составлять программы построения графиков функций, но и умению самостоятельно строить графики на бумаге.

Широкие возможности объединения математики с информатикой дает использование таких пакетов как: MathCad, Maple и т.д. Математический пакет MathCad может успешно применяться при изучении различных тем школьной математики: уравнения, системы уравнений, векторы, интегралы и др., а также на факультативных занятиях.

Среди возможностей Maple можно перечислить решение систем и систем с неравенствами, вычисление пределов, как конечных, так и бесконечных, взятие определенных и неопределенных интегралов, причем многие неопределенные интегралы, которые нельзя представить в элементарных функциях, представлены в виде специальных интегральных функций, которые можно использовать в дальнейших преобразованиях. Также можно брать производные любого порядка, решать дифференциальные уравнения и т.п. Для алгебраистов полезным окажется возможность задавать структуры, обладающие групповыми свойствами. Не обделен пакет и графическими средствами. Можно построить, как и простые функции, так и неявно заданные, есть возможность задания функций в различных координатных видах.

Конечно, возможности его не безграничны, но он окажет несомненную помощь при проверке результатов и математических выкладок.

Благодаря интеграции математики и информатики материал, который в настоящее время изучается в информатике, не является оторванным от жизни: учащиеся приобретают навыки применения тех или иных программных средств на практике. При внедрении информационных технологий в образование учебный материал предполагает наличие разветвлений, различных скоростей и способов его прохождения. Постоянно осуществляется контроль и поддерживается на необходимом уровне мотивация учения. Предполагается оказание помощи учащемуся в виде подсказок, пояснений и дополнительных указаний и задач. В условиях, когда математические способности у учащихся развиты не одинаково и разброс здесь очень велик, этот подход позволяет дать каждому учащемуся возможность работать в том темпе, при котором он наилучшим образом усваивает учебный материал. Таким образом, можно говорить о том, что интеграция информационных технологий в образование позволяет осуществлять индивидуальный подход к учащимся и тем самым помогает дифференциации образования, а интеграция информационных технологий в естественно-математические предметы в целом и в математику в частности дает возможность сделать учебный процесс наиболее эффективным как с точки зрения учителя, так и с точки зрения учащегося.

Глава III. Разработка методов использования информационных технологий на примере темы «Производная и ее применение»

3.1 Обзор прикладных математических пакетов

1. Классификация и структура систем компьютерной математики.

Компьютерная математика Дьяконов В. П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: «Нолидж», 2001. - 1296 с.; ил. - это совокупность методов и средств, обеспечивающих максимально комфортную и быструю подготовку алгоритмов и программ для решения математических задач любой сложности, при этом в подавляющем большинстве случаев с высокой степенью визуализации всех этапов решения. Эффективность использования всех этих систем существенно зависит от производительности компьютера.

Средства компьютерной математики интенсивно внедряются в аппаратные средства современной вычислительной техники. Ярче всего это проявляется в развитии программируемых микрокалькуляторов. Даже калькуляторы начала 80-х годов удивляли знающих пользователей своими математическими способностями. Например, помещаемые в нагрудном кармане рубашки научные калькуляторы запросто вычисляли сложные интегралы и производные функций, оперировали матрицами с действительными и комплексными элементами, решали системы линейных и нелинейных уравнений и позволяли довольно просто реализовать практически любые численные методы вычислений.

Современные микропроцессоры, математические сопроцессоры и графические процессоры видеоплат используют средства компьютерной математики, связанные с обработкой массивов информации, интерполяцией и аппроксимацией функций, дискретным преобразованием Фурье и т.д. Доступ пользователей к аппаратным средствам компьютерной математики практически закрыт. В тоже время с позиции математики в этих средствах нет ничего нового, что не было бы реализовано в современных программных средствах ЭВМ - в системах компьютерной математики. Программные средства математики развиваются намного быстрее аппаратных.

Компьютерные математические системы можно (условно) подразделить на семь основных классов:

· Системы для численных расчетов;

· Табличные процессоры;

· Матричные системы;

· Системы для статистических расчетов;

· Системы для специальных расчетов;

· Системы для аналитических расчетов (компьютерной алгебры);

· Универсальные системы.

Каждая из математических систем имеет определенные специфические для нее свойства, которые необходимо учитывать при решении конкретных математических задач.

Компьютерные математические системы как класс специализированных программных средств, рассчитанных на индивидуальную работу, возникли в начале 80-х годов ХХ века. Этому способствовало зарождение в это же время индустрии персональных компьютеров, что открыло дорогу таким системам к массовому пользователю. Отдельные системы (Matlab) были известны задолго этого, но они были реализованы лишь на больших ЭВМ и были доступными ограниченному кругу лиц. Эти системы представляли средства коллективного пользования, применение которых даже для решения простых задач требовало участия многих специалистов.

Сейчас такие системы благодаря их установке на ПК доступны педагогам и ученым, студентам и школьникам не только в коллективном, но и в индивидуальном порядке. Они используются в университетах и вузах, школах и колледжах. Велика роль таких систем и в автоматизации научно-технических расчетов и в математическом моделировании природных явлений и технических систем и устройств.

Помимо указанного деления на классы, можно выделить системы начального уровня (например, Derive и MuPAD), ориентированные на решение задач школьного образования и применение студентами младших курсов вузов. К системам среднего класса можно отнести систему MuPAD и систему MathCad. Высший класс представлен системами компьютерной алгебры Mathematica и Maple.

Каждая система компьютерной математики может иметь нюансы в своей архитектуре или структуре.

Современные универсальные системы имеют следующую типовую структуру:

Центральное место занимает ядро системы. Оно представляет собой множество заранее откомпилированных функций и процедур, представленных в машинных кодах и обеспечивающих набор встроенных функций и операторов системы. Этот набор должен быть функционально полным. Например, в него должны входить как минимум все основные элементарные функции. Роль ядра особенно велика в системах символьной математики, где в ядре хранятся многие сотни, а то и тысячи правил преобразования математических выражений.

Ядро математических систем тщательно оптимизируется, поскольку от скорости его работы зависит скорость вычислений, выполняемых данной системой компьютерной математики. Этому способствует и предварительная компиляция ядра. Доступ пользователя в ядро с целью его модификации исключен. Объем ядра может достигать нескольких мегабайт.

Интерфейс дает пользователю возможность обращаться к ядру со своими запросами и получать результат решения на экране дисплея. Интерфейс современных систем символьной математики базируется на средствах операционных систем Windows и обладает практически всеми их возможностями: перемещаемые и масштабируемые окна документов, диалоговые и информационные окна, кнопки управления, общение с периферийными устройствами и т.д. Нередко интерфейс систем обеспечивает возможность задания и редактирования библиотечных модулей и пакетов расширения систем.

Функции и процедуры, включенные в ядро, выполняются предельно быстро. С этой точки зрения в ядро было бы выгодно включать как можно больше вычислительных средств. Однако это невольно приводит к замедлению поиска нужных средств из-за возрастания их числа, увеличению времени загрузки ядра и к другим нежелательным последствиям. Поэтому объем ядра ограничивают, но к нему добавляют библиотеки более редких процедур и функций, к которым обращается пользователь, если в ядре не обнаружена нужная процедура или функция. Некоторые системы допускают модернизацию библиотек и их расширение силами самих пользователей.

Кардинальное расширение возможностей системы и их адаптация к решаемым конкретными пользователями задачам достигается за счет пакетов расширения. Эти пакеты, как правило, пишутся на собственном языке программирования той или иной системы, что делает возможным их подготовку обычными пользователями. Как правило, в базовую поставку систем включаются профессионально подготовленные пакеты расширения.

Справочная система обеспечивает получение оперативных справок по вопросам работы с системами компьютерной математики с примерами такой работы. В справочные системы нередко включают и такой материал, как математические и физические таблицы, формулы для нахождения производных и интегралов, алгебраические преобразования и т.д.

3.2 Краткая характеристика системы

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на серьезного пользователя. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, что указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему математической системой «для всех». Однако по мере распространения этой системы она становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств (работа, учеба) заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач, начиная со школы и заканчивая вузом, до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств и даже применения системы в математической художественной графике.

Maple 9 Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс. 2004. - 688 стр. - тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений. Заслуженной популярностью системы Maple пользуются в университетах - свыше 300 самых крупных университетов мира взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например Matlab и MathCAD, для реализации в них символьных вычислений.

Мар1е -- типичная интегрированная программная система. Она объединяет в себе:

· мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

· редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

· современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

· мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

· ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

· численный и символьный процессоры;

· систему диагностики;

· библиотеки встроенных и дополнительных функций;

· пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из окна программы. Система Мар1е прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях SUN, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM РС, Macintosh и др. Не случайно ядро системы Мар1е используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса MathCAD и Matlab.

Основой для работы с символьными преобразованиями в Мар1е является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов символьных преобразований. Ядро системы улучшается от версии к версии. В новейшей версии Мар1е 9 в ядре исправлены многие недостатки, выявленные в ходе обширного и поистине всемирного тестирования предшествующих версий. Это, впрочем, не исключает появление новых неточностей и ошибок.

В Мар1е имеется также основная библиотека операторов, команд и функций. Многие встроенные в нее функции, как и функции ядра, могут использоваться без какого-либо объявления, другие нуждаются в объявлении. Кроме того, имеется ряд подключаемых проблемно-ориентированных пакетов (packages), тематика которых охватывает множество разделов классической и современной математики.

Дополнительные функции из пакетов могут применяться после объявления подключения пакета с помощью команды with (name), где name -- имя применяемого пакета. Общее число функций, с учетом встроенных в ядро и размещенных в пакетах, в системе Мар1е 9 (как и в Мар1е 8) превышает 3000.

Система Мар1е интегрирует в себе три собственных языка:

* входной;

* реализации;

* программирования.

Мар1е имеет входной язык сверхвысокого уровня, ориентированный на решение математических задач практически любой сложности в интерактивном (диалоговом) режиме. Он служит для задания системе вопросов или, говоря иначе, задания входных данных для следующей их обработки. Это язык интерпретирующего типа и по своей идеологии напоминает Basic. Он имеет большое число заранее определенных математических и графических функций, а также обширную библиотеку дополнительных функций, подключаемую по мере необходимости.

Имеет Мар1е и свой язык процедурного программирования - Мар1е-язык. Этот язык содержит вполне традиционные средства структурирования программ. Ему доступны все специальные операторы и функции. Многие из них являются весьма серьезными программами: например, символьное дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд Тейлора, построение сложных трехмерных графиков и т. д.

В новые реализации Мар1е 8/9 добавлены средства Maplets создания визуально-ориентированного диалога с системой, включающие в себя задание множества диалоговых окон и иных типовых средств интерфейса, привычного пользователям Windows-приложений. Однако даже обычные средства диалога у систем класса Мар1е обеспечивают высокую наглядность и комфортность работы с системой при решении математических задач.

Языком реализации системы Мар1е является один из самых лучших и мощных универсальных языков программирования -- Си. На нем написано ядро системы, содержащее тщательно оптимизированные процедуры. Большинство же функций, которые содержатся в библиотеках расширения системы Мар1е, написаны на Мар1е-языке, благодаря чему их можно модифицировать и даже писать свои собственные библиотеки. По разным оценкам, лишь от 5 до 10 % средств Мар1е создано на языке реализации -- все остальное написано на Мар1е-языке.

Для подготовки программ на языке Мар1е могут использоваться внешние редакторы, но система имеет и свой встроенный редактор, вполне удовлетворяющий требованиям большинства пользователей. Он открывается командами New и Open в меню File. Этот редактор можно использовать для редактирования файлов программ или математических выражений. Версии Мар1е для MS-DOS имеют свой редактор программ и отладчик с функциями проверки синтаксиса. После версии Maple V для Windows необходимость в этих средствах практически отпала.

Мар1е-язык программирования считается одним из самых лучших и мощных языков программирования математических задач. Это, наряду с упомянутыми новыми средствами пакета Maplets, позволяет создавать высококачественные электронные уроки, статьи и даже целые книги.

Основные возможности системы Мар1е 9.

Возможности интерфейса:

· Работа со многими окнами;

· Вывод графиков в отдельных окнах или в окнах документа;

· Представление выходных и входных данных в виде естественных математических формул;

· Задание текстовых комментариев различными шрифтами;

· Возможность использования гиперссылок и подготовки электронных документов;

· Удобное управление с клавиатуры, с помощью главного меню и инструментальной панели;

· Управление с помощью мыши.

Символьные и численные вычисления:

· Дифференцирование функций;

· Численное и аналитическое интегрирование;

· Вычисление пределов функций;

· Разложение функций в ряды;

· Вычисление сумм и произведений;

· Интегральные преобразования Лампаса, Фурье и др.;

· Дискретные Z - преобразования;

· Прямое и обратное быстрое преобразование Фурье;

· Работа с кусочно-заданными функциями.

Численное и символьное решение уравнений:

· Решение систем линейных и нелинейных уравнений;

· Решение систем дифференциальных уравнений;

· Символьное вычисление рядов;

· Работа с рекуррентными функциями;

· Решение трансцендентных уравнений;

· Решение систем с неравенствами.

Вычисление элементарных и специальных математических функций:

· Вычисление всех элементарных функций;

· Вычисление большинства специальных математических функций;

· Пересчет координат точек для множества координатных систем;

· Задание производных функций пользователя.

Линейная алгебра:

· Свыше ста операций с векторами и матрицами;

· Решение систем линейных уравнений;

· Формирование матриц и их преобразования;

· Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц;

· Поддержка быстрых векторных и матричных алгоритмов группы NAG.

Графическая визуализация вычислений:

· Построение графиков многих функций;

· Различные типы осей (с линейным и логарифмическим масштабом);

· Графики функций в декартовой и полярной системах координат;

· Специальные виды графиков (точки массивов, векторные графики, диаграммы уровней и др.);

· Системы координат, определяемые пользователем;

· Графики, представляющие решения дифференциальных уравнений;

· Графики трехмерных поверхностей с функциональной закраской;

· Построение пересекающихся в пространстве объектов;

· Задание пользователем окраски графиков;

· Импорт графиков из других пакетов и программных систем;

· Анимация графиков;

· Проигрывание анимационных файлов.

Программирование:

· Мощный встроенный язык процедурного программирования;

· Простой и типичный синтаксис языка программирования;

· Обширный набор математических типов данных;

· Типы данных, задаваемых пользователем;

· Средства отладки программ;

· Мощные библиотеки расширения языка программирования;

· Задание внешних функций и процедур;

· Программный интерфейс с языками программирования.

Исходя из всего вышесказанного, наиболее удачным инструментом реализации интеграции компьютерной математики в курс «Алгебра и начала анализа» является прикладной пакет Maple 9.

3.3 Использование математического пакета Maple 9 при изучении темы «Производная и ее применение»

В примерном планировании учебного материала при трех уроках в неделю на изучение темы «производная и ее применение» отводится 54 урока в течение 2-го полугодия в 10 классе. В.И. Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева, С.М. Саакян Примерное планирование учебного материала и контрольных работ по математике 5-11 классы. М.: Вербум, 2001 г. - 208с.

Примерное тематическое планирование изучения данной темы выглядит следующим образом.

Количество часов.

Содержание учебного материала.

Производная.

2 часа

Приращение функции.

2 часа

Понятие о производной.

2часа

Понятие о непрерывности функции и предельном переходе.

4 часа

Правила вычисления производных.

2 часа

Производная сложной функции.

3 часа

Производные тригонометрических функций.

1 час

Контрольная работа.

Применения непрерывности и производной.

4 часа

Применения непрерывности.

3 часа

Касательная к графику функции.

4 часа

Производная в физике и технике.

1 час

Контрольная работа.

Применения производной к исследованию функций.

3 часа

Признак возрастания (убывания) функции.

3 часа

Критические точки функции, максимумы и минимумы.

4 часа

Примеры применения производной к исследованию функции.

5 часов

Наибольшее и наименьшее значения функции.

1 час

Контрольная работа.

При изучении этой темы, учащиеся получают не только практические знания, но и умения применять их при решении прикладных задач. На данном этапе задача учителя информатики составить систему задач, показывающую применение информационных технологий, при решении прикладных задач математики.

3.4 Методические требования к системе задач

Задача - это данная в определенных условиях цель деятельности, которая должна быть достигнута преобразованием этих условий согласно определенной процедуре. Задача включает в себя требование (цель), условие (известное) и искомое (неизвестное), формулирующееся в форме вопроса. Между этими элементами существуют определенные связи и зависимости, за счет которых осуществляется поиск и определение неизвестных элементов через известные.

Под термином учебно-познавательная задача подразумеваются упражнения, вопросы, текстовые и практические задания, представляющие собой методически обоснованную совокупность задач, обеспечивающих достижение определенных результатов обучения.

Система задач:

1. Должна соответствовать учебной программе;

2. Должна содержать задачи с недостающей и избыточной информацией;

3. Должна быть разнообразной по форме выполнения;

4. Должна обеспечивать дифференциацию в процессе обучения.

Система задач предполагает совокупность следующих методов решения:

1. Метод аналогий;

2. Обобщение формул;

3. Нахождение искомого по частям;

4. Преобразования;

5. Установления причины и следствия;

6. Качественного анализа;

7. Противопоставлений и обратных заключений;

8. Практический;

9. Доказательный;

10. Вероятностный;

11. Статистический.

Для курса информатики, характеризующегося многообразием межпредметных связей, усвоение нового материала должно происходить при актуализации ранее полученных знаний и умений. Формирование новых знаний и умений базируется на совокупности уже сформированных знаний и умений учащегося. При этом каждое новое понятие, правило, свойство вводится на основании связи нового материала со старым, такая связь реализуется в задачах.

Задача должна характеризоваться вариативностью в форме представления конкретных данных, количестве шагов, выполнение которых должно приводить к решению задачи. Это позволяет активизировать познавательную деятельность учащегося и способствует формированию свободного оперирования понятийным аппаратом изучаемого предмета.

Основная задача учителя - формирование у учащегося способности переносить полученные знания в нестандартные ситуации. Для реализации этой задачи, учителю необходимо предложить учащемуся такое задание, которое потребует от ученика отказа от имеющихся шаблонов и стереотипов решения. Такой отказ может быть реализован в рамках задач курса информатики, или привлечение задач из других дисциплин.

Способность информатики легко интегрироваться в любую предметную область, обуславливает необходимость выработки у учащихся умения свободно оперировать знаниями и умениями в разнообразных ситуациях. Отсюда явно прослеживается необходимость включения в систему задач, связанных с использованием информационных технологий для автоматизации и упрощения действий субъекта при решении задач математического содержания.

Немаловажной для учителя информатики является задача развития у учащихся творческого мышления. Реализация этой задачи обуславливает включение в систему учебно-познавательных задач заданий, требующих от учащегося проявления инициативы и активизации поисковой деятельности, то есть задач повышенной сложности (нестандартных).

Из всего вышесказанного отчетливо видны следующие методические требования к системе задач:

1. Система задач должна актуализировать ранее приобретенные знания и умения;

2. Система задач должна обеспечивать варьирование конкретного материала в заданиях и количество шагов, ведущих к решению;

3. Система задач, должна содержать задания, требующие переноса имеющихся знаний, умений и опыта решения в нестандартные ситуации;

4. В системе задач должна отчетливо просматриваться ведущая роль информационных технологий на современно этапе развития общества;

5. Система задач должна содержать задания, стимулирующие поиск рационального решения задач.

3.5 Методика решения типовых задач в Maple 9

информационный математика прикладной

При составлении системы задач необходимо учитывать все методические требования и обеспечить наличие в этой системе типовых задач, к которым относятся задачи на графическое отображение данных, на работу с функциями, нахождение производной.

Решение задач происходит в несколько этапов:

1. Математический анализ условия;

2. Компьютерная реализация;

3. Анализ полученных результатов.

Рассмотрим реализацию этих этапов на конкретных примерах.

Задача 1.

Найдите производную функции f:

.

Решение:

Запустим программу Maple 9. В появившемся окне программы укажем команду restart (для обновления экрана) и нажмем клавишу Enter (внимание в конце команды обязательно наличие «;»).

Введем функцию, от которой требуется найти производную. Значение функции присвоим переменной f. Квадратный корень в Maple вычисляется с помощью функции sqrt, далее введем подкоренное выражение (степень числа записывается как число ^ степень). Запишем последнюю часть выражения (деление записывается как числитель/знаменатель). Функция будет выглядеть следующим образом: f:=sqrt(1-x^4)+1/(x^2+3).

После обработки команды система выведет на экран функцию, записанную на математическом языке. Сравним эту функцию с исходной, в случае несовпадения внесем изменения.

Далее перейдем к нахождению производной от функции. Для этого используем функцию diff, которая позволяет находить производные от заданных функций. В качестве параметра функции diff укажем имя переменной, которой мы присвоили значение исходной функции и переменную, по которой должно быть осуществлено дифференцирование, то есть x. Результат вычисления запишем в переменную f1.

Таким образом, решение задачи сводится к использованию двух встроенных функций: sqrt, diff.

Задача 2.

Исследуйте функцию и постройте ее график.

.

Решение:

Запустим программу Maple 9. В появившемся окне программы набрать укажем команду restart (для обновления экрана) и нажмем клавишу Enter (внимание в конце команды обязательно наличие «;»).

Введем функцию, которую требуется исследовать. Значение функции присвоим переменной f. Далее введем выражение (степень числа записывается как число ^ степень, деление записывается как числитель/знаменатель, знак умножения обозначается *). Функция будет выглядеть следующим образом: f:=6*(x-1)/(x^2+3);

После обработки команды система выведет на экран функцию, записанную на математическом языке. Сравним эту функцию с исходной, в случае несовпадения внесем изменения.

Далее найдем производную функции. Для этого используем функцию diff, которая позволяет находить производные от заданных функций. В качестве параметра функции diff укажем имя переменной, которой мы присвоили значение исходной функции и переменную, по которой должно быть осуществлено дифференцирование, то есть x. Результат вычисления запишем в переменную f1.

Присвоим переменной q значение функции solve (для нахождения критических точек), в качестве параметров функции укажем переменные f1 и x.

Найдем точку минимума функции. Для этого переменной А присвоим значение функции min, в качестве параметров которой укажем q[1] и q[2]. Присвоим переменной x значение А, а переменной fmin - f.

Найдем точку максимума функции. Для этого переменной А1 присвоим значение функции max, в качестве параметров которой укажем q[1] и q[2]. Присвоим переменной x значение А1, а переменной fmax - f.

Найдем нули функции. Для этого переменной x присвоим значение 0, а переменной f0 - значение f.

Присвоим переменной f2 значение 6*(x1-1)/(x1^2+3).

Используя функцию plot, построим график функции от переменных f2 и x1.

Таким образом, решение задачи сводится к следующему алгоритму.

Задача 3.

Используя формулы дифференцирования:

a. (x2)'=2x;

b. (x3)'=3x2;

c. (kx+b)'=k.

Найдите производную функции f в точке x0, если:

f(x)= x3, x0 = 2; 1,5.

Решение:

Запустим программу Maple 9. В появившемся окне программы укажем команду restart (для обновления экрана) и нажмем клавишу Enter (внимание в конце команды обязательно наличие «;»).

Введем функцию, которую требуется исследовать. Значение функции присвоим переменной f. Далее введем выражение (степень числа записывается как число ^ степень). Функция будет выглядеть следующим образом: f:=x^3.

После обработки команды система выведет на экран функцию, записанную на математическом языке. Сравним эту функцию с исходной, в случае несовпадения внесем изменения.

Далее найдем производную функции. Для этого используем функцию diff, которая позволяет находить производные от заданных функций. В качестве параметра функции diff укажем имя переменной, которой мы присвоили значение исходной функции и переменную, по которой должно быть осуществлено дифференцирование, то есть x. Результат вычисления запишем в переменную f1.

Присвоим переменной x значение x0 = 2, и определим значение переменной f1 при x0.

Присвоим переменной x значение x0 = 1,5 определим значение переменной f1 при x0.

Таким образом, при x0=2 получили значение 12, а при x0=1,5 получили значение 6,75. Решение задачи сводится к следующему алгоритму.

Задача 4.

Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте график функции:

.

Решение:

Запустим программу Maple 9. В появившемся окне программы укажем команду restart (для обновления экрана) и нажмем клавишу Enter (внимание в конце команды обязательно наличие «;»).

Введем функцию, которую требуется исследовать. Значение функции присвоим переменной f. Далее введем выражение (степень числа записывается как число ^ степень, деление записывается как числитель/знаменатель, знак умножения обозначается *). Функция будет выглядеть следующим образом: f:=1/2*x^4-8*x^2.

После обработки команды система выведет на экран функцию, записанную на математическом языке. Сравним эту функцию с исходной, в случае несовпадения внесем изменения.

Далее найдем производную функции. Для этого используем функцию diff, которая позволяет находить производные от заданных функций. В качестве параметра функции diff укажем имя переменной, которой мы присвоили значение исходной функции и переменную, по которой должно быть осуществлено дифференцирование, то есть x. Результат вычисления запишем в переменную f1.

Присвоим переменной q значение функции solve (для нахождения критических точек), в качестве параметров функции укажем переменные f1 и x.

Присвоим переменной N значение 3.

Далее создадим цикл на 3 итерации такой, в котором каждому x[i] будет присваиваться значение q[i] и значение функции f будет вычисляться по формуле f[i]:=1/2*x[i]^4-8*x[i]^2.

Таким образом, имеем три точки экстремума с координатами (0;0), (22,-32), (-22,-32).

Найдем точку минимума функции. Для этого переменной fmin присвоим значение функции min, в качестве параметров укажем f[1],f[2], f[3].

Найдем точку максимума функции. Для этого переменной fmax присвоим значение функции max, в качестве параметров укажем f[1],f[2], f[3].

Переменной f4 присвоим значение функции от переменной x4.

Используя функцию plot, построим график функции от переменных f4 и x4, где x4 это интервал на котором строится график функции.

Таким образом, решение задачи сводится к следующему алгоритму.

Задача 5.

Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции

.

Проходящий, через точки с абсциссами x1=0 и x2=1. Постройте график функции.

Решение:

Запустим программу Maple 9. В появившемся окне программы укажем команду restart (для очистки экрана) и нажмем клавишу Enter (внимание в конце команды обязательно наличие «;»).

Введем функцию, которую требуется исследовать. Значение функции присвоим переменной f. Далее введем выражение (степень числа записывается как число ^ степень, деление записывается как числитель/знаменатель, знак умножения обозначается *). Функция будет выглядеть следующим образом: f(x):=1/2*x^2.

После обработки команды система выведет на экран функцию, записанную на математическом языке. Сравним эту функцию с исходной, в случае несовпадения внесем изменения.

Присвоим переменной x1 значение первой абсциссы и найдем значение исходной функции при x1. Найденное значение функции запишем в переменную f1.

Присвоим переменной x2 значение второй абсциссы и найдем значение исходной функции при x2. Найденное значение функции запишем в переменную f2.

Присвоим переменной q разность значений абсцисс x2 и x1.

Присвоим переменной v разность значений функций f2 и f1.

Получим угловой коэффициент касательной к графику функции.

Таким образом, коэффициент равен 0,5.

Используя функцию plot, построим график функции от переменных f и x, где x это интервал на котором строится график функции

Таким образом, решение задачи сводится к следующему алгоритму.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите производную функции

.

2. Исследуйте функцию и постройте ее график.

.

3. Используя формулы дифференцирования:

А. (x2)'=2x;

Б. (x3)'=3x2;

В. (kx+b)'=k.

Найдите производную функции f в точке x0, если:

,

x0 равно 0,5; -3.

4. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте график функции.

5. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции

.

Проходящий, через точки с абсциссами x1=1 и x2=2. Постройте график функции.

Алгоритмы решения задач и список используемых функций смотри в приложениях 1 и 2.

Заключение

В наше время показателем интеллектуальной мощи компьютеров, в том числе и персональных, стали новейшие программные системы символьной математики или компьютерной алгебры. Созданные для проведения символьных преобразований над математическими выражениями, эти системы буквально в последние годы были доведены до уровня, позволяющего резко облегчить, а подчас и заменить труд самой почитаемой научной элиты мира - математиков - теоретиков и аналитиков.

Общие принципы использования компьютерных продуктов в учебном процессе должны стать обязательной составной частью частных методик.

Этот курс предназначен для того, чтобы преподаватели - предметники в своей предстоящей конкретной работе постигли технологии применения нового учебного инструмента новой формы ведения урока, новых типов представления наглядных пособий, научились использовать те продукты, которые им представляют разработчики.

В специальной части дипломного проекта были осуществлены следующие задачи:

1. Рассмотрены новые подходы к организации учебного процесса с помощью компьютера;

2. Проведен анализ применения информационных технологий в образовании;

3. Разработана методика решения математических задач в 10 классе с использованием программного средства Maple 9;

4. Составлены задания для самостоятельной работы.

В результате проведенных уроков с помощью ПК старшеклассники увидели междисциплинарную связь двух предметов «алгебры и начала анализа» и «информатики». В результате чего можно говорить об интеграции одного предмета в другой. Так как в школе существует предмет МДО (междисциплинарное обучение), то результаты этого урока были положительно приняты и педагогическим коллективом и коллективом учащихся. Ученики умеют рассматривать проблему с точки зрения разных предметов (истории и химии, математики и философии и т.д.), слияние предметов информатики и математики прошло без затруднений. Помимо этого проведенный урок показал успешность использования новых форм обучения для формирования теоретических знаний и умений правильного выбора инструментария для решения практических задач.

Предложенная методика может стать первой ступенью в изучении программного средства Maple 9, в дальнейшем учащиеся могут использовать программное средство для проверки результатов решенных задач, построения графиков функции. В старших классах решение тригонометрических уравнений, неравенств, вычисление производной и интеграла. Для школьников Maple 9 является неоценимым помощником в изучении разнообразных математических тем, освобождая их от рутинных математических вычислений и сосредотачивая их внимание на существе изучаемого материала. Кроме этого программа позволяет осуществлять контроль деятельности учащихся, а также большое значение придается доступности и наглядности изложения.

Разумеется, возможные перспективы использования новых информационных технологий в математическом образовании не исчерпываются. Даже явные скептики вынуждены признать, что современные информационные технологии могут существенно изменить парадигму образования.

Библиография

1. Информатика: Учебник. - 3-е перераб. изд. / Под ред. Н.В. Макаровой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 768 с.: ил.

2. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс. 2004. - 688 стр.

3. Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике. М.: СОЛОН-Пресс. 2003. - 144 стр.

4. Дьяконов В. П. Компьютерные математические системы в образовании. Информационные технологии. - № 4. - 1997. - с. 40.

5. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогорова. - 9-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2000. - 365 с.: ил.

6. В.И. Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева, С.М. Саакян Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике 5-11 классы Вербум - М.: 2001г. - 208 с.

7. Дьяконов В. П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: «Нолидж», 2001. - 1296 с.; ил.

8. Информатика: 10-11 кл. / Под ред. Н. В. Макаровой - СПб.: изд-во «Питер», 1999.

9. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I и II. - М.: Физматлит, 2001.

10. О. А. Сдвиенко «Математика на компьютере: Maple 8» Москва, изд. Салон-Пресс, 2003.

11. А. Н. Васильев Maple 8. Самоучитель. М.: Издательский дом «Вильямс». - 2003.

12. В. Н. Говорухин, В. Г. Цибулин Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

13. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Вестник образования. - 2002. - 12. - с. 5-7, 11-16, 80-82.

14. П. Е. Данко, Т. Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I и II. - М.: «Высшая школа» - 1999.

15. В. Дьяконов «Maple 9». Учебный курс. Санкт-Петербург изд. Питер, 2005 год.

Приложения

Приложение 1

Использованные функции.

Функция

Комментарии

Restart

Обновление экрана

Sqrt

Нахождение квадратного корня

Diff

Нахождение производной от заданной функции

Solve

Нахождение критических точек заданной функции

Min

Нахождение минимума

Max

Нахождение максимума

Plot

Построение

For i to N do

...

od;

Создание цикла с 1 по N-ю итерацию

Приложение 2

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Размещено на Allbest.ru

Страница:


Подобные документы

  • Методы решения математических задач в Maple

    Характеристика, свойства и возможности программного пакета Maple. Применение аналитических, численных, графических возможностей системы Maple для моделирования физических явлений. Использование графики и анимации в системе Maple в педагогическом процессе.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 12.01.2016

  • Математический пакет Maple

    Дискретная минимаксная задача с ограничениями на параметры. Применение решений минимаксных задач в экономике с помощью математического пакета Maple. Математические пакеты Maple и Matlab. Основные средства решения минимаксных задач в среде Марle-языка.

    курсовая работа [2,2 M], добавлен 17.06.2015

  • Применение программных комплексов для решения инженерных задач

    Использование информационных технологий для решения транспортных задач. Составление программ и решение задачи средствами Pascal10; алгоритм решения. Работа со средствами пакета Microsoft Excel18 и MathCad. Таблица исходных данных, построение диаграммы.

    курсовая работа [749,1 K], добавлен 13.08.2012

  • Использование прикладного пакета Mathcad

    Решение оптимизационных задач и задач с размерными переменными с использованием итерационного цикла при помощи прикладного пакета Mathcad. Проведение исследования на непрерывность составной функции. Решение задач на обработку двухмерных массивов.

    контрольная работа [467,2 K], добавлен 08.06.2014

  • Решение задач с помощью современых компьютерных технологий

    Возможности современных компьютерных технологий решения задач в средах MS Excel, MS Word. Область программирования в офисных пакетах. Применение ЭВМ в решении математических задач. Разработка программного обеспечения. Разработка приложений с помощью VBA.

    дипломная работа [742,2 K], добавлен 29.01.2009

  • Основные методы решения задач нелинейного программирования

    Особенности решения задач нелинейного программирования различными методами для проведения анализа поведения этих методов на выбранных математических моделях нелинейного программирования. Общая характеристика классических и числовых методов решения.

    дипломная работа [2,4 M], добавлен 20.01.2013

  • Основы диалога пользователя в MathCAD

    Краткая характеристика пакета Mathcad, описание простейших примеров работы с ним, примеры решения основных задач элементарной математики. Компьютерные технологии решения математических задач и символьных вычислений. Образование векторов и матриц.

    дипломная работа [621,1 K], добавлен 11.03.2011

  • Сравнение компиляторов для трудных задач

    Компиляторы - инструменты для решения вычислительных задач с использованием бинарного кода. Проблема выбора "правильного" компилятора. Применение компиляторов языка С++. Оценка MinGW, Borland Builder, Intel C++ Professional Edition, Watcom и Visual Studi.

    контрольная работа [4,5 M], добавлен 05.10.2012

  • Разработка электронного учебного методического комплекса по изучению раздела "Симплексный метод решения задачи линейного программирования" дисциплины "Математические методы"

    Особенности задач линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Обоснование выбора языка, инструментария программирования, перечень идентификаторов и блок-схема алгоритма. Логическая схема работы программы.

    дипломная работа [2,4 M], добавлен 13.08.2011

  • Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

    Построение и использование математических и алгоритмических моделей для решения линейных оптимизационных задач. Освоение основных приемов работы с инструментом "Поиск решения" среды Microsoft Excel. Ввод системы ограничений и условий оптимизации.

    лабораторная работа [354,7 K], добавлен 21.07.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены