Разработка системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике

Разговор о логико-лингвистических информационных моделях уместно использовать и для достижения иных, не указанных выше, общеобразовательных целей -- для знакомства с компьютерной лингвистикой. Данная наука также связана с моделированием в сфере языка. Вопросы анализа текстов на естественном языке, машинного перевода, синтеза текстов на естественном языке могут стать темами для рефератов, докладов учащихся.

Язык программирования Паскаль как логико-лингвистическая модель. Любой язык программирования является логико-лингвистической моделью языка. Назначением такого языка является запись алгоритма решения задачи в виде, пригодном для ее реализации на ЭВМ.

Для изучения данной темы предпочтительным является язык высокого уровня. Так как Паскаль наиболее используем в обучении программированию, дальнейшие обсуждения ограничим им. Поскольку исполнителем программы является ЭВМ, построенная по законам математической логики, то текст любой программы должен быть однозначно интерпретируем. Двусмысленности, свойственные «естественному» языку, здесь неприемлемы. Язык программирования должен быть жёсток и по синтаксису, т. е. правилам приемлемого сочетания символов языка, и по семантике, т.е. смыслу, придаваемому каждой допустимой конструкции.

В силу этого встает проблема формального описания правил синтаксиса и семантики языков программирования. В «естественном» языке такая проблема тоже существует; по отношению к синтаксису она регулируется известными правилами правописания, по отношению к семантике -- с помощью толковых словарей и т.д. Характерная черта «естественного» языка -- принципиальная невозможность сформулировать эти правила полностью, так, чтобы однозначно исчерпать все возможные проблемы. Более того, письменный язык не вполне совпадает с устным, а один диалект естественного языка -- с другим. Следует обратить внимание учащихся на то, что в этом проявляется не столько недостаток «естественного» языка, сколько его достоинство, возможность описать не только рационалистическую, но и эмоциональную сферу человека.

Проблемы формального описания искусственных языков (языков программирования) возникли при создании первых из них в конце 1940-х -- начале 1950-х гг. Естественно, что для подобного описания нужен язык, стоящий «над» тем, который описывается -- так называемый метаязык. Из двух чаще всего используемых профессионалами метаязыков в методическом плане представляется более подходящим и простым для понимания язык синтаксических диаграмм Вирта. Еще один методический довод в его пользу -- изображение в виде специфического ориентированного графа, что создает некоторое единство при изучении информационных моделей.

Цель изучения синтаксических диаграмм состоит в показе идеи построения информационной логико-структурной модели известного учащимся языка. Не следует ставить задачи построения полного набора диаграмм, описывающих язык Паскаль (его можно найти в справочных изданиях).

Вначале проведите следующее рассуждение. В любом языке есть изначальные базовые понятия, которые нуждаются не в разъяснении, а в перечислении. В русском языке, например, это буквы кириллицы -- они просто есть и не несут особой смысловой нагрузки. В Паскале такую роль играют символы, составляющие алфавит языка, и служебные слова. Признаком такого не нуждающегося в разъяснениях объекта в синтаксической диаграмме является то, что он заключен в овал (или кружок):

Все остальные объекты на синтаксической диаграмме заключаются в прямоугольники. Каждый такой объект нуждается в точном однозначном определении того, что он означает; соответствующее определение дается отдельной для каждого объекта синтаксической диаграммой.

Примеры построения синтаксических диаграмм начните с простейших понятий языка. Например, таким примером может быть понятие «программа»:

Важную роль на диаграмме играют линии, соединяющие отдельные объекты. В предыдущем примере в этот смысле все просто: линия со стрелкой -- направление перемещения по диаграмме. Однако эти линии могут раздваиваться; всякое раздвоение передается словом «или» и означает возможность двигаться по любой ветви. Приводим диаграмму понятия «заголовок», взятую из базовой версии языка Паскаль (обратите внимание учащихся, что пока нет диаграмм для каждого из объектов языка, кроме базовых, описание его не закончено, рис. 14.6):

С помощью этой диаграммы отрабатываем правильное понимание раздвоений линий. То, что после прямоугольника со словом «идентификатор» линия раздвоилась, означает, что далее следует или символ «точка с запятой», или скобка -- в зависимости от смысла выстраиваемой конструкции. Поскольку учащиеся знают основы Паскаля, то на этом этапе методически целесообразно привести примеры содержательных конструкций заголовка -- как верные, так и неверные синтаксически:

a) program rt; б) program n2 (а,b8); в) program xu (.

Вариант в) очевидным образом неверен, но надо доказать это, «проведя пальцем» по синтаксической диаграмме. В этом примере мы использовали то, что учащиеся фактически знают: как можно и нельзя строить идентификаторы. Однако следует подчеркнуть, что пока мы не изобразим синтаксическую диаграмму понятия «идентификатор», наши действия по анализу примера не являются формально полными. Соответствующая диаграмма очень проста:

Методически полезно сопоставить диаграмму с попыткой точного словесного определения, эквивалентного диаграмме. Так, в случае понятия «программа» такое определение очень легко привести: «Программа состоит из последовательно идущих заголовка, блока и точки». Однако словесные эквиваленты быстро усложняются, а иногда становятся неоднозначными. Для доказательства поручите учащимся сформулировать словесно, например, понятие «заголовок».

С еще большей очевидностью полезность и однозначность лингвистического моделирование понятий Паскаля проявляется на более сложных конструкциях. Разберите, например, знакомую учащимся конструкцию «оператор множественного ветвления» (рис. 14.7):



Ее полный словесный пересказ весьма длинен, затруднителен и к нему, как правило, можно придраться в связи с неоднозначностью -- начинает сказываться неформализованность «естественного» (в данном случае русского) языка. Сделайте попытку сопоставления; в качестве домашнего задания можно поручить учащимся проделать то же в отношении различных понятий Паскаля, снабдив их при этом соответствующими синтаксическими диаграммами.

В конце изучения данной темы уместно связать однозначность языка программирования, наличие строгого описания смысла конструкций, с процессом трансляции программ. Вопрос этот достаточно сложен, но нетрудно добиться осознания того, что в трансляторе все эти правила заложены и что лексический, синтаксический и семантический анализ текста программы является частью процесса трансляции, так как каждый из учащихся имеет опыт отладки простых программ и видел, что происходит при наличии ошибок.

Язык управления учебными исполнителями как логико-лингвистическая модель. Другие логико-лингвистические модели, вполне доступные для изучения, связаны с многочисленными учебными исполнителями. Их использование при изучении информатики является методически полностью оправданным, особенно на ранних этапах.

Обсудим план построения соответствующей беседы (урока), базируясь на Черепашке ЛОГО -- одном из самых популярных учебных исполнителей. Цель урока -- не изучение языка ЛОГО (предполагается, что учащиеся с ним знакомы), а выявление его как логико-лингвистической модели. Однако этот урок вполне уместно сопроводить работой за компьютером.

Итак, выбрав некоторую версию «Черепашки» (они довольно сильно различаются друг от друга), начнем разговор о том, что Черепашка ЛОГО есть простейшая модель объекта, который может:

* перемещаться по некоторому полю в заданном направлении на заданное расстояние;

* менять направление перемещения;

* реагировать на достижение границы поля;

* оставлять или не оставлять за собой след.

Кроме того, «Черепашка» может выполнять достаточно сложные логические предписания (движения в зависимости от условий, циклические движения).

Методически урок может быть построен следующим образом.

1. Напомните учащимся о ЛОГО.

2. Сопоставляя движение реальной черепахи с Черепашкой ЛОГО, обсудите, в каком смысле второе является моделью первого (цели моделирования, какие сделаны огрубления и т.д.).

3. Постройте метаязык, описывающий язык управления ЛОГО-черепашкой. Аппаратом для этого может быть язык синтаксических диаграмм Вирта. Возможная последовательность действий:

* выявите базовые понятия языка ЛОГО;

* выявите основные конструкции;

* постройте набор синтаксических диаграмм (частично или полностью, в зависимости от ситуации).

Тема «Технология компьютерного математического моделирования»

Целесообразно вводные занятия по этой теме проводить в виде беседы, привлекая знания учеников по различным общеобразовательным дисциплинам, их жизненный опыт. Изложение необходимо иллюстрировать большим количеством примеров.

Особая роль первого раздела заключается в том, что здесь повторяются и обобщаются основные понятия компьютерного математического моделирования (КММ), известные из базового курса информатики, вводятся новые -- «моделирование», «информационное моделирование», «математическое моделирование», «формализация», «идентификация модели» и др.

Другой важный аспект темы -- формирование представления об этапах компьютерного математического моделирования. Здесь, с одной стороны, фигурируют приведенные выше понятия, с другой -- присутствует полная технологическая цепочка КММ. Конечно, все эти этапы будут неоднократно повторяться при исследовании конкретных процессов (объектов), но основы закладываются именно на вводных занятиях. Действительно, одним из условий успешного усвоения учащимися систематического курса КММ является наличие у них хорошо развитых представлений об этапах КММ, о значении каждого из этапов.

При обсуждении этапов КММ можно использовать общую схему абстрактного моделирования, изображенную выше на рис. 13.4. Обсуждение следует конкретизировать, учитывая особенности именно математического моделирования.

Формализованная схема является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью и разрабатывается в тех случаях, когда из-за сложности исследуемого процесса переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным. На этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математическая задача исследования с указанием окончательного перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей.

Прежде всего составляется список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также список тех величин, которые желательно получить в результате моделирования.

Обозначив первые (входные) величины через х₁, х₂, ..., х_n,а вторые (выходные) через y₁, y₂, …, y_k, можно поведение объекта или процесса символически представить в виде

y₁ = F_j(x₁, х₂, ..., х_n) (j = 1, 2, ..., k),

где F_j символически обозначает некоторые математические операции над входными величинами.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием. Чаще всего невозможно, да и не нужно, учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин у}. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет модель и способствует пониманию главных свойств и закономерностей объекта моделирования.

На этапе перехода от формализованной схемы к математической модели необходимо перейти от абстрактной формулировки к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстанет перед нами в виде уравнения, системы уравнений, неравенств, матриц, дифференциальных уравнений и т.д.

В беседе следует подчеркнуть тот факт, что математическое моделирование отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограничены и, как правило, гораздо сложнее численных. Поэтому при проведении занятий по КММ в школе следует пользоваться численными методами, реализуемыми на компьютерах. Это создает определенное методическое единство курса и заметно снижает барьер необходимой математической подготовки учащихся. Разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование, но можно попытаться в школьной практике ограничиться лишь простейшими из них.

И, наконец, после изучения этого раздела учащиеся должны уяснить подходы к классификации компьютерных математических моделей. Как известно, бывают классификации моделей по используемому математическому аппарату, по отраслям наук и т.д. Наиболее органичной представляется классификация по целям моделирования. Действительно, выделение целей моделирования -- это первое, что необходимо сделать перед содержательным описанием и формализацией объекта (процесса), и в конечном итоге именно цели моделирования определяют, какая модель будет построена. При этом важно подчеркнуть, что в зависимости от целей моделирования и выбранных факторов для одного и того же процесса можно получить существенно различающиеся математические модели. Учителю следует привести примеры постановки задач, приводящих к моделям, относящимся к основным классам: дескриптивным, оптимизационным, многокритериальным, игровым, имитационным.

Тема «Моделирование физических процессов»

Эта тема фигурирует в нескольких вариантах курса компьютерного моделирования. Причина -- традиции и относительная простота решаемых задач, их близость школьному курсу физики.

Как правило, эта тема является началом к изложению компьютерного моделирования в физике. Поэтому ей может предшествовать вводная лекция (беседа) о компьютерном моделировании физических процессов в целом.

В начале на ряде примеров проиллюстрируйте утверждение, что физика -- наука, в которой математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограничены.

Во многих вариантах курса компьютерного моделирования математические модели в физике по праву занимают больший объем по сравнению с другими, и на их изучение отводится большее количество времени. Действительно, создание той или иной модели физического процесса является естественным и не требует некоторых искусственных приемов, к которым часто приходит прибегать в других предметных областях. Поэтому восприятие этих математических описаний процессов или явлений не вызывает у учащихся, по крайней мере, психологических трудностей. В профильном курсе, ориентированном на учащихся, специализирующихся по физико-математическому и естественнонаучному профилю, целесообразно наибольшее внимание уделить именно моделям физики.

Перечень рассматриваемых вопросов может быть таков:

* движение тел с учетом сопротивления среды;

* движение маятника с учетом сопротивления среды, вынужденные колебания, резонанс и т.д.;

* движение небесных тел (задача двух тел);

* движение электрических зарядов;

* теплотомассоперенос (на примере процесса теплопроводности в линейном стержне).

Номенклатура компьютерных математических моделей в физике может ориентироваться на подготовленность и интересы учащихся, их специализацию в том или ином разделе физики.

Цели обучения:

* ввести в КММ на примере моделей из области физики;

* отработать схемы вычислительного эксперимента на сравнительно простых, знакомых по курсу физики задачах.

Поставленные задачи обучения считаются успешно выполненными, если у учащихся вырабатывается комплекс указанных ниже знаний, умений и навыков.

Изучение каждой новой содержательной задачи и, как следствие, получение новой математической модели требует мотивировки целесообразности ее введения. Мотивировка может, во-первых, опираться на жизненный опыт учащихся, во-вторых, достигаться путем разрешения проблемной ситуации.

Моделирование процессов движения тел в среде. При моделировании процесса движения тела, прежде всего, целесообразно рассмотреть традиционные для школьного курса физики динамические модели, но с учетом сопротивления среды. Это свободное падение тела, полет тела, брошенного под углом к горизонту, движение тела с переменной массой. При этом составляющие силы сопротивления можно рассмотреть предварительно, перед изучением конкретных моделей либо в ходе построения одной из моделей.

Более детально обсудим методику построения компьютерных математических моделей физических процессов и их последующего исследования на примере нескольких задач.

Первая из них -- моделирование свободного падения тела с учетом сопротивления среды. Основная дидактическая роль этой наиболее простой задачи -- практическое знакомство с этапами компьютерного математического моделирования, освоение этих этапов, приобретение навыков формулирования и разрешения учебных проблем, проблемных ситуаций. Несмотря на то, что на первый взгляд она является простой, при ее исследовании придется решить ряд серьезных проблем, о чем будет сказано ниже.

В ходе обучения обязательно придется пользоваться понятиями «предел» и «производная». Понятие «предел» не вызывает существенных затруднений; в контексте данного обсуждения вполне достаточно интуитивного понимания предела, сформированного у учащихся к X классу.

Не совсем так обстоит дело с понятием «производная». Возможны две ситуации:

1) учащиеся вполне владеют понятием и дифференциальная форма записи второго закона Ньютона (и последующих при решении конкретных задач дифференциальных уравнений) будет им понятна (при этом никакой техники дифференцирования, тем более решения дифференциальных уравнений, не требуется);

2) учащиеся не знакомы с этим понятием; в этом случае необходимо сделать математическое отступление и пояснить понятие «производная», на что, как показывает опыт, вполне достаточно одного урока.

Другая методическая проблема, которую необходимо решить, -- строить модели динамических процессов в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений. Как показывает практика, учащиеся физико-математических классов вполне способны воспринять дифференциальные уравнения и численные методы их решения. Для этого достаточно ввести дифференциальные уравнения и объяснить простейшие численные методы их решения, базируясь на физическом и геометрическом смысле производной.

При использовании численных методов интегрирования дифференциальных уравнений разумно рассмотреть явные схемы невысокого порядка (не выше второго); если кто-либо из учащихся проявит интерес именно к методам решения систем дифференциальных уравнений и их устойчивости, то следует предложить им самостоятельно изучить литературу, где излагаются явные методы более высокого порядка либо неявные схемы. Такой подход подтвердил свою жизнеспособность.

При изучении динамических процессов в менее подготовленной аудитории рекомендуется ограничиться конечно-разностными уравнениями. Любую модель из рассмотренных ниже можно сформулировать в конечно-разностном виде, вообще не упоминая о дифференциальных уравнениях (примеры далее приводятся).

Свободное падение тела с учетом сопротивления среды. В этой и многих других физических задачах, на основе которых строятся модели, фундаментальную роль играет второй закон Ньютона -- основа динамики. Формулируем его вначале в «школьной» форме, а затем, чтобы исследовать реалистические ситуации, необходимо подвести учащихся к более общей математической форме. Проводим следующее рассуждение: если движение происходит с переменной скоростью, то, как известно учащимся, для его характеристики привлекаются два понятия: средняя скорость за не который промежуток времени ?t, равная отношению, где

?S -- пройденный путь и мгновенная скорость в данный момент времени t, которая на математическом языке записывается как . Точно так же при движении с постоянным ускорением можно ввести два понятия -- среднее ускорение за время ?t, равное, и мгновенное ускорение в момент t:

.

В стандартных математических обозначениях,, т. е. мгновенная скорость есть производная от перемещения по времени, а мгновенное ускорение -- производная от скорости по времени. Второй закон Ньютона в уточненной редакции утверждает: ускорение, с которым движется тело в данный момент времени, пропорционально действующей на него в этот момент силе и обратно пропорционально имеющейся в данный момент у тела массы:

и (1)

разные записи этого утверждения.

Приведенное рассуждение является типичным для этой темы обоснованием перехода от дискретного к непрерывному.

Далее отмечаем, что при реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Очевидно, что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере Набора скорости возрастает сила сопротивления среды.

Поясните учащимся, что закономерности, связывающие силу сопротивления со скоростью движения тела, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. Приведите эти закономерности (при этом вполне достаточно ограничиться линейной и квадратичной по скорости составляющими силы сопротивления: ,F_сопр = k₁•х + k₂ • х²).

Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения -- это уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело -- силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:

(2)

При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы, действующие на тело; это будет способствовать наилучше-

му восприятию полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов.

Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер.

На этом этапе возникает вопрос о способах решения дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их решения -- численные. Для начала вполне достаточно ограничиться методом Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если на основании определения производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением , то, зная скорость х₀ в начальный момент времени t = 0 и обозначив ее как х_l в момент ?t, перепишем уравнение в виде

(3)

Если далее понимать под х₁ приближенное значение скорости в момент ?t, то получим формулу для вычисления х₁:

(4)

Это и есть формула метода Эйлера.

Далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением х₁, можно, отталкиваясь от него, найти х₂ и т.д. Общая формула метода Эйлера применительно к данной задаче такова:



Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю. Для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со скоростью соотношением , то, проводя схожие с приведенными выше рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению s_n+l=s_n + х_n •?t, решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод Эйлера к системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных начальных условиях х(0) = х0, s(0) = s₀ получим таблицу значений функций х(t), s(t).

Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная проблемы -- это контроль точности и выбор шага по времени ?t. Казалось бы, чем меньше шаг, тем точнее решение, но, во-первых, это утверждение не является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как выбрать шаг по времени для вывода значений перемещения и скорости на экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности информации и обозримости представления результатов на экране; из практических соображений удобно, если он кратен ?t (реально шаг вывода результатов может составлять десятки и сотни ?t).

Кроме того, ставится задача: представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия виде. Это могут быть графики зависимостей х(t), s(t); изображение процесса падения в динамике (здесь возможны вариации).

Как отмечалось выше, если математическая подготовка учащихся недостаточна, проводить моделирование на основе дифференциальных уравнений затруднительно и нецелесообразно. Возможный выход -- использование конечно-разностных уравнений. К построению модели и учету факторов, влияющих на изучаемое явление или процесс, подходим на должном уровне строгости, но предельный переход не выполняем, останавливаемся и записываем вместо дифференциальных соответствующие конечно-разностные уравнения. Проведем соответствующее несложное рассуждение, в котором упоминание о дифференциальных уравнениях отсутствует полностью.

Вспомним, что ускорение есть приращение скорости, а скорость -- приращение перемещения:. Знаки приближенного равенства свидетельствуют о том, что эти соотношения тем точнее, чем меньше промежуток ?t; в пределе ?t > 0 они становятся точными.

Если в некоторый момент времени t₀ величина s имеет значение s₀, а величина х -- значение х₀, то в некоторый последующий момент времени t₁= t₀ + ?t будем иметь:

,

Здесь введены обозначения F₀ = F(t₀, х₀, s₀), m₀ = m(t₀, х₀,s₀).

При вычислениях значений х и s в последующие моменты времени можно поступать аналогично (6). Так, если известны значения х_i, и s_i, в момент t_i, то

,

На самом деле мы, естественно, пришли к формулам метода Эйлера, но методически иначе, даже не упоминая о дифференциальных уравнениях.

При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной At проявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.

Вопрос о выборе конкретного значения ?t весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном моделировании мы можем получить решение задачи о движении тела на некотором конечном отрезке времени [t₀, Т]. Чем меньше величина ?t:

а) тем больше вычислений требуется, для того чтобы пройти весь заданный временной интервал;

б) тем выше точность в передаче значений непрерывных функций s(t), х(t) их дискретными представлениями -- наборами чисел s_i=s(t_i), х_i=х(t_i)

Вопрос о точности результатов является в описываемом моделировании одним из центральных. Он распадается на два: как оценить эту точность и можно ли, уменьшая ?t, достигать все большей точности?

Остановимся вначале на первом. Теоретические оценки точности слишком сложны и на практике часто неприменимы. Самый популярный эмпирический прием оценки точности заключается в следующем: отрезок [t₀, Т] проходится с некоторым шагом ?t, а затем с существенно меньшим (например, в два раза) шагом. Сравнение результатов в точках t₁; t₂, ..., T позволяет составить представление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то следует повторить процесс с еще меньшим шагом.

Однако уменьшение ?t, как ни странно, не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий и тем больше шансов увеличить чисто вычислительную погрешность округления, всегда сопутствующую компьютерным вычислениям. Другая причина глубже и связана со способом дискретизации -- перехода от описания реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простейшим формулам (4) -- (7). Обе вместе могут привести к неустойчивости решения, т. е. получению результатов, не имеющих реально ничего общего с истинными. Обычно неустойчивость становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага ?t. Способы дискретизации, ведущие к более устойчивым методам решения таких задач, описаны в литературе (см., в частности, [5, 9]).

Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные. Поэтому более целесообразно нацеливать учащихся на самостоятельную разработку программ.

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться прикладной программой (например, табличным процессором или математическим пакетом типа MathLab, что, впрочем, уже потребует дополнительных усилий).

Для того чтобы продемонстрировать учащимся практическую значимость решаемых задач, построенных математических моделей, целесообразно предложить содержательную проблему, для решения которой необходимо применить построенную модель, предварительно формализовав задачу и выполнив ранжирование факторов. В качестве такой содержательной задачи может, например, выступать задача о полете парашютиста. Проведем детальное моделирование. Перед тем как его начинать, необходимо решить вопрос об удобных способах представления результатов. Разумеется, колонка чисел, выдачи которой проще всего добиться от компьютера при численном моделировании, желательна. Однако слишком много чисел в колонке быть не должно, их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, гораздо больше шага, с которым интегрируется дифференциальное уравнение, т.е. далеко не все значения х_i, найденные компьютером, следует записывать в результирующую таблицу.

Кроме таблицы необходим график зависимости х(t); по нему хорошо видно, как меняется скорость со временем, т. е. происходит качественное понимание процесса.

Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Изображениям в разные моменты можно придать разный цвет -- от «холодного» зеленого при относительно малых скоростях до «горячего» красного при высоких скоростях -- прием условных цветов, широко используемый в современной научной графике.

Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом -- скажем, через каждый метр или 100 метров, смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются.

Решение будем выполнять до тех пор, пока парашютист не опустится на землю. Шаг интегрирования дифференциального уравнения можно подобрать методом проб и ошибок, решая уравнение несколько раз, начав, например, с заведомо большого значения ?t= 0,1 си постепенно уменьшая его до тех пор, пока качество решения не станет приемлемым.

Полное моделирование включает изучение временной зависимости не только скорости, но и пройденного телом пути. Не сделав последнего, можно в конкретных ситуациях получить бессмысленный физически результат. Например, парашютист прыгает с самолета и через некоторое время достигает вполне безопасной для приземления скорости 10 м/с. Но сколько он перед этим пролетел? Если это расстояние много больше высоты, с которой состоялся прыжок, то фактическая скорость приземления много выше, и это ничего хорошего не сулит.

Компьютерная реализация этой модели может быть выполнена программированием как на традиционном языке программирования (Паскаль, Бейсик и др.), так и, например, в электронных таблицах. Частичное тестирование программ можно проводить при k₂= 0, т.е. для движения без трения. Решение в этом случае очевидно (свободное падение).

Как отмечалось выше, методически целесообразным бывает использование табличных процессоров для моделирования. Результаты решения подобных задач обязательно следует иллюстрировать графиками зависимости скорости и перемещения от времени (если же движение неодномерно, тот и изображениями траекторий). Разумеется, предпочтительным является построение графиков программным путем. Если учащиеся реализуют программы на языке программирования, то проще всего заложить в программу еще и построение графиков; если решение реализуется в электронной таблице, то можно воспользоваться заложенными в эти программы графическими возможностями.

Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (снизив при этом точность вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы -- для того, чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов.

Модели свободно падающего тела можно придать черты оптимизационной, поставив задачу, например, так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k₂), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.

Таким образом, в методическом плане рассмотренная модель выигрышна, поскольку, несмотря на свою простоту, позволяет обсуждать множество связанных с ней проблем.

При выполнении компьютерной лабораторной работы по исследованию модели можно предложить разноуровневые учебные задания (рассчитанные, соответственно, на «среднего» и «сильного» ученика):

1) получить результаты и их графическое отображение для заданного набора параметров модели;

2) исследовать свободное падение тела в средах различной вязкости и провести содержательное сравнение результатов исследования;

3) придать модели черты оптимизационной (самостоятельно или с помощью учителя), выполнить указанные исследования, провести содержательное сравнение результатов исследования.

По использованной здесь схеме могут вводиться и исследоваться другие модели, где учитывается сопротивление среды. При этом уже нет нужды отвлекаться на изучение численных методов решения систем дифференциальных уравнений, поскольку это достаточно проделать аккуратно только один раз, скажем, на примере рассмотренной выше модели.

Перечислим модели движения тела в среде, которые допускают достаточно простое исследование:

* движение тела, брошенного под углом к горизонту, с учетом сопротивления среды;

* взлет ракеты (особенность -- масса тела меняется в ходе движения);

* различные задачи на прицельную стрельбу при движении «снаряда» в среде (в воздухе, под водой и т.д.).

Многие такие задачи сформулированы в пособии [6].

При моделировании движения тел эффективным методическим приемом является обезразмеривание величин, входящих в математическую модель. Обезразмеривание заключается в том, что вместо абсолютных единиц системы СИ (или какой-либо другой) переходят к относительным единицам, естественным именно для данного движения. При этом существенно их правильно выбрать. Например, при изучении движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления среды легко получить выражения для дальности полета по горизонтали L, максимальной высоты полета Н, полного времени полета Т (отсылаем к школьным учебникам физики). Введем новые переменные для скорости, перемещения и времени. Будем измерять х- и y-компоненты скорости относительно ее начального значения, перемещение в горизонтальном направлении -- относительно L, в вертикальном -- относительно H, время -- относительно Т. Это означает введение новых переменных, которые обозначим так:

,,,,.

Переходя в дифференциальных уравнениях модели к новым переменным, получаем в них безразмерные комбинации параметров, определяющих закономерности движения.

Смысл этой деятельности заключается в следующем. Во-первых, следует подчеркивать большую естественность в использовании относительных (безразмерных) единиц измерения физических величин, нежели абсолютных. Диапазон значений безразмерных величин неширок, в данной задаче, очевидно, что в любой момент

времени в ходе движения тела V_x, V_y, X, Y, ф < 1. Это удобно, особенно при решении задач в которых значения (размерных) переменных изображаются очень малыми или очень большими числами. Получив, например, в какой-то момент значение X = 0,3, мы понимаем, что это составляет 0,3 от максимального движения по горизонтали в отсутствие трения, т.е. всякий раз чувствуем смысл, чего не скажешь, получив, например, значение х = 26 м/с.

Важнейшая роль обезразмеривания -- установление законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в исходные уравнения или являющихся для них начальными условиями. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров, фактически определяющие характер движения. Если изучаются два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что значения безразмерных параметров одинаковы, то движения будут качественно одинаковы (подобны). Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров, что тоже создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом.

Сделаем оговорку: обезразмеривание -- полезный методический прием. Однако если учащиеся испытывают трудности с его пониманием и использованием, настаивать на этом необязательно; те же по существу результаты можно получить и при использовании уравнений в размерных переменных.

Моделирование колебательных движений. В этой и в последующих обсуждаемых моделях практически откажемся от записи формул; математические формулировки можно найти в указанной ниже литературе (например, пособиях [5, 8]).

Колебательные изменения значений величин встречаются в естественных (природных и общественных) и искусственных (технических) системах столь часто, что, несомненно, заслуживают внимания при изучении компьютерного математического моделирования.

По традиции изучение колебательного движения чаще всего начинается с так называемого математического маятника -- идеализированной системы, состоящей из тела массы m, прикрепленного к концу жесткого «невесомого» стержня длиной l, верхний конец которого вращается без трения в точке подвеса. Поскольку его движение при малых амплитудах описано в школьных учебниках физики и полностью поддается исследованию аналитически, без привлечения компьютера и численных методов, то методически целесообразно, отметив указанное выше обстоятельство и напомнив учащимся основные результаты, связанные с малыми (гармоническими) колебаниями (для удобства эти формулы приведены ниже), перейти к рассмотрению модели движения математического маятника при произвольном (не малом) начальном угле отклонения.

Процедура вывода уравнения движения маятника описана во многих руководствах. Процесс описывается либо в дифференциальной, либо в конечно-разностной формах. Переменной, относительно которой записаны уравнения, является и -- угол отклонения нити от положения равновесия. В случае колебаний с малой амплитудой в одном из уравнений можно приближенно заменить sin(и) на и. Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение, приводимое в школьных учебниках физики. Приводим это решение (гармонические колебания) и обсуждаем его свойства.

Далее ставим задачу исследовать процесс колебаний математического маятника с немалой амплитудой. Она может включать ряд частных заданий; первым из них может быть установление зависимости периода колебаний от начальной амплитуды и его отклонение от периода малых колебаний.

Весьма интересным и полезным, с точки зрения развития учащихся и получения дополнительных знаний, может стать введение представлений о гармоническом анализе. Поскольку никакое регулярное введение в теорию рядов Фурье на этом этапе обучения не нужно и невозможно, то достаточно ограничиться примерно следующим подходом. Уточним еще раз, что такое периодическая функция, и развеем часто существующее заблуждение, что периодическая и гармоническая суть одно и то же. Приводим примеры периодических, но не гармонических зависимостей. Для того чтобы продемонстрировать учащимся, что такого рода зависимости могут быть аппроксимированы суммой простых тригонометрических функций, можно привести (без доказательства) соответствующие ряды и предложить просуммировать (с помощью ЭВМ) возрастающее число гармоник, наблюдая на экране, как сумма становится все ближе к исходной зависимости.

При немалых колебаниях движение маятника не является гармоническим, хотя и остается периодическим. Изучаемое периодическое движение при условии, что в начальный момент маятник имеет максимальное отклонение и нулевую скорость, можно представить суммой гармонических, что позволяет увидеть различия между малыми и произвольными колебаниями маятника, понять методику исследования колебательных движений.

Одним из первых заданий на пути такого исследования может быть следующее: ограничиваясь немногими членами ряда, исследовать зависимость амплитуд нескольких первых гармоник от начальной амплитуды колебаний. Поскольку формулы для коэффициентов Фурье учащимся незнакомы, то есть два пути: либо, при достаточно глубокой математической подготовке, «вывести» эти формулы (что представляется исключительным случаем), либо просто взять на кривой и(t) несколько произвольных (примерно равноотстоящих) точек и привязать в них наблюдаемую зависимость, т.е., по существу, воспользоваться интерполяцией. Этот прием, не будучи строгим, тем не менее позволяет найти с достаточной для наших целей точностью амплитуды нескольких гармоник.

Дальнейшее моделирование колебаний математического маятника может включать в себя:

* колебания маятника при наличии трения;

* вынужденные колебания под действием периодической силы, изучение явлений биений и резонанса при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний маятника;

* колебания маятника с периодически меняющейся длиной нити подвеса и параметрический резонанс.

Моделирование движения небесных тел. Указанное моделирование опирается на знания учащихся, почерпнутые при изучении закона всемирного тяготения. Оно позволяет углубить знания, связанные с движением тел Солнечной системы, элементами астрономии.

Тема начинается с рассмотрения модели движения космического тела (планеты, кометы, спутника) в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой. Напомните учащимся физический закон, регулирующий данное движение, -- закон всемирного тяготения; для моделирования существенна запись этого закона в векторной форме.

Важный методический (и содержательный) момент -- выбор системы координат, в которой рассматривается движение. Если ее центр расположить произвольно, то возникает задача о движении двух взаимно тяготеющих тел с весьма сложными траекториями. Напомните учащимся, что исторически астрономы, начиная с Птолемея и включая Коперника, рассматривали движение относительно одного из тел (т.е., говоря более формально, в системе координат, связанной с этим телом). В системе Коперника такой системой координат при изучении Солнечной системы стало Солнце. Это резко упрощает задачу, позволяет заниматься изучением движения лишь одного из тел.

Процедура получения системы дифференциальных уравнений движения в указанной системе координат описана в ряде пособий (см., например, [5, 9]).

Следует обратить внимание учащихся на то, что в этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами метров, секунд и т.д. Для выбора типичных величин, с помощью которых естественно произвести обезразмеривание, можно рассуждать так. При некоторых условиях, как известно, орбита движения «малого» небесного тела может быть круговой. Соотношения параметров, характеризующих эту круговую орбиту, нетрудно установить, так как при круговом движении сила тяготения играет роль центростремительной силы. Таким образом, достаточно произвольно выбрать один параметр -- типичное расстояние, а для скорости и времени параметры для обезразмеривания тем самым найдены.

В качестве первой содержательной задачи можно рассмотреть движение небесных тел вокруг Солнца. Тогда в качестве типичного расстояния естественно принять характерное расстояние от Земли до Солнца (так называемая астрономическая единица). После обезразмеривания оказывается, что уравнения в безразмерных переменных вообще не содержат параметров! Единственное, что отличает режимы движения друг от друга -- это начальные условия.

Вернемся к исследованию движения небесных тел в Солнечной системе. Учащиеся задают некоторые (возможно, произвольные) начальные условия и интегрируют уравнения. Первая цель -- построить траекторию движения и поэкспериментировать, как она будет меняться при изменении начальных условий (например, скорости).

Далее исследование можно усложнить. Так, при движении по замкнутым орбитам можно поставить задание: проверить справедливость законов Кеплера о соотношении параметров орбиты; при движении по незамкнутым орбитам -- доказать, что ее формой будет гипербола, и т.д. Многие задания для самостоятельной работы можно найти в задачнике [5].

Если придерживаться методики, избегающей упоминания о дифференциальных уравнениях вообще, то уравнения модели можно сразу записать в конечно-разностной форме. Они получаются из второго закона Ньютона, представленного в конечно-разностной форме, и закона всемирного тяготения. Разумеется, с точки зрения дифференциального подхода, это есть применение метода Эйлера к дифференциальным уравнениям модели уравнениям.

Моделирование движения заряженных частиц. Из курса физики учащимся знаком закон Кулона, описывающий взаимодействие точечных зарядов. Он похож на закон всемирного тяготения, но роль масс играют заряды.

Наиболее простые модели в данном разделе получаются при моделировании движения одного заряженного тела в поле, создаваемом другим заряженным телом («неподвижным», находящемся в начале выбранной системы координат). В этой ситуации уравнения модели практически совпадают с уравнениями движения небесного тела -- с точностью до обозначений. Рассматривать более сложную ситуацию, когда несколько зарядов движутся относительно друг друга, методически нецелесообразно.

Если рассматривать систему из двух зарядов противоположных знаков, то ситуация полностью аналогична задаче двух тяготеющих тел, обсуждавшейся выше. Если же рассмотреть движение заряда, одноименного по знаку с тем, который находится в начале координат, то в соответствующих уравнениях просто сменятся знаки; однако траектории движения будут совсем непохожи на траектории движения в случае разноименных зарядов. Соответствующее моделирование вполне посильно учащимся, особенно если эта тема следует за моделированием движения небесных тел.

После проведения простых численных экспериментов по моделированию движения заряженного тела можно перейти к более сложным проектам исследовательского характера. Задания для таких проектов можно найти, в частности, в задачнике [5].

Моделирование физических процессов в приближении сплошной среды. Целью этих занятий является как углубление навыков моделирования физических процессов, так и выработка реального понимания понятия «сплошная среда», столь важного в физическом мире. Кроме того, возникает возможность еще раз продемонстрировать в работе прием дискретизации, фундаментальный для информатики.

План занятий по этой теме может быть следующим. Вначале проведите лекцию на тему, что отражает абстрактное понятие «сплошная среда». Физические примеры -- жидкости, газы; близкие примеры из самой информатики -- графическая информация, звуковая информация и т.д. Напомните учащимся, что при описании явлений, проистекающих в сплошной среде, свойства объекта описываются с помощью непрерывных величин (функций). Примеры, которые здесь уместны, связаны с диффузией, теплопроводностью, потоками жидкости и газа, распространением электромагнитных волн и др.

На той же лекции уместно рассмотреть вопрос о роли научной графики в компьютерном моделировании. Так, при моделировании процесса теплопроводности стоит задача наиболее наглядно показать динамику изменения температуры. При этом уместно прибегнуть к условной раскраске или условному контрастированию -- мощному приему научной графики. Он находит широчайшее применение и представляет собой набор приемов по максимально удобной, хотя и условной, визуализации результатов компьютерного моделирования.