Например, в различных исследованиях температурных полей возникает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и весьма неэффективный) -- привести карту (чертеж, план), в некоторых точках которой обозначены значения температуры. Другой способ -- набор изотерм -- гораздо эффективнее. Можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные -- между ними. Наглядность достигается окрашиванием самого «горячего» участка в ярко-красный цвет, самого «холодного» -- в ярко-голубой, а остальных -- в промежуточные цвета. Получится наглядная картина температурного поля.

А что делать, если дисплей монохромный? Или если изображение нужно перенести с цветного дисплея на бумагу при отсутствии возможности цветной печати? Тогда роль цвета может сыграть контраст. Сделаем самый «горячий» участок самым темным, самый «холодный» -- прозрачным, а остальные -- между ними. Эффектность, конечно, меньше, чем при цветовой раскраске, но определенная наглядность достигается.

То же самое можно делать и при иллюстрации температурного поля на поверхности обрабатываемой на станке детали, и поля температур, полученного путем радиолокации поверхности далекой планеты, и во множестве других задач.

Для конкретного моделирования явлений в приближении сплошной среды следует отобрать максимально простые задачи, поскольку соответствующие модели достаточно сложны. Такие задачи могут быть статическими и динамическими. Из статических задач наиболее простыми представляются моделирование распределения поля температур или электростатического поля. Из динамических задач, модели которых рассматривались в школьном курсе информатики, известна задача теплопроводности в стержне -- вероятно, самая простая задача такого рода.

Основные цели, преследуемые в данном разделе, таковы:

* углубление математического и физического образования учащихся;

* выработка навыков визуализации абстракций -- важной задачи для прикладной информатики в целом.

Остановимся на методике решения задачи моделирования распределения статических полей. Универсальным способом визуализации физического поля, распределенного в некоторой плоской области или в некотором объеме, является построение его изолиний (изоповерхностей).

Как показывает опыт, на данном этапе в подавляющем большинстве случаев следует ограничиться моделированием распределений полей в плоскости. Объемные построения требуют большого времени и непосильны многим учащимся.

Приступая к рассказу о построении изолиний, вначале приводим доводы в пользу того, что этот прием является удобным для визуализации поля. В курсе физики учащиеся, скорее всего, видели картины силовых линий электрического поля. Построение силовых линий, однако, задача более сложная, чем построение линий равного потенциала (изолиний), а информации дает не больше. Продемонстрируйте учащимся картины изолиний поля, создаваемого изолированным зарядом, парой равных зарядов и покажите, как по ним отчетливо видна общая картина поля. Другими примерами могут быть изотермы, которыми иногда сопровождают прогноз погоды, линии тока жидкости, изолинии концентрации вредных примесей в окружающей среде и т.д.

Далее переходим к технике построения изолиний. За основу можно взять процедуру, описанную в пособиях [5, 9].

Задачи, уместные для отладки первых навыков такого моделирования, очень просты. Пробной (тестовой) задачей является моделирование поля одиночного заряда, для которого ответ очевиден: любая изолиния -- окружность. Затем следуют простые симметричные комбинации зарядов.

Обсудите теперь методику проведения занятий по моделированию процесса переноса тепла в стержне. Эта тема уместна лишь при достаточно высокой математической подготовке учащихся, потому что в данном разговоре трудно избежать появления дифференциальных уравнений (хотя и возможно), причем уравнений в частных производных. Однако опыт показывает, что если не обсуждать сложных вопросов о таких уравнениях, не вдаваться в общие математические рассуждения, то на эмпирическом уровне тема вполне посильна для хорошо подготовленных учащихся и воспринимается ими с интересом.

Последовательность построения учебного процесса может быть следующей. О том, что такое теплопроводность, интуитивно все знают. Если рассматривать простейшую ситуацию -- распространение тепла в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью -- то понятно, что температура (основная характеристика процесса) является функцией единственной координаты и времени. В простейшей модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т. е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Вывод уравнения теплопроводности можно найти в ряде пособий, причем надо идти не от общего к частному (такой путь школьникам непосилен), а обращаться именно к простейшей ситуации однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. При этом, как обычно в таких случаях, вначале появляются приближенные конечно-разностные уравнения, затем от них (с помощью двух предельных переходов -- по координате и по времени) переходят к дифференциальным уравнениям. Поскольку при компьютерном моделировании мы всецело опираемся на численные методы, то для решения дифференциальных уравнений мы вновь строим конечно-разностную модель. Такая «двухъярусная» дискретизация весьма поучительна с точки зрения информатики. Естественно, нескольких пунктов этой программы можно избежать и вообще исключить появление дифференциальных уравнений, хотя кое-что при этом остается недоговоренным; у математика такой подход порождает чувство неудовлетворенности.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. (Последнее утверждение доказать на данном уровне изложения невозможно, но интуитивно приемлемые доводы привести легко.) Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени; краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простейшем варианте (которым вполне достаточно в данном случае ограничиться), какая температура поддерживается на концах стержня.

Подчеркнем, что моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени -- схему Эйлера, то величины {u₁^k} -- значения температуры в i-ом узле пространственной сетки в k-й момент времени -- приближенно находятся из системы весьма простых формул.

Если задаться целью получения уравнений модели сразу в конечно-разностной форме (минуя дифференциальную), то возникает нетривиальная задача вывода соответствующих формул, решение которой можно позаимствовать в задачнике [6].

При описанном моделировании не следует забывать о возможной неустойчивости простейшей разностной схемы. Прежде всего следует объяснить учащимся само понятие «неустойчивость». Рассуждаем примерно следующим образом. Расчетные формулы появились как дискретная аппроксимация непрерывного процесса. Чем мы расплачиваемся за дискретизацию? Первая «расплата» очевидна: мы получаем приближенное описание процесса. Числа u_i^k отнюдь не являются точными значениями температуры. Для увеличения точности результатов кажется естественным уменьшать шаги по координате и по времени, но здесь мы сталкиваемся со второй проблемой. Ее природа достаточно сложна, она уходит как в аппроксимацию производных конечными разностями, так и в накопление погрешностей округлений. При неудачном выборе шагов по координате и по времени решение начинает «раскачиваться» и перестает походить на истинное. В данном случае достаточно ограничиться приведением критерия устойчивости метода, приводящего к используемым расчетным формулам.

Тема «Имитационные стохастические модели»

Имитационное моделирование может стать существенной частью профильного курса информатики, ориентированного на моделирование. Включение метода имитационного компьютерного моделирования в профильный курс, ориентированный на моделирование, работа учащихся с имитационными моделями средней сложности представляют несомненный интерес и пользу, поскольку расширяют и обобщают представление о методе моделирования и его возможностях.

Идея имитационного моделирования интуитивно ясна и привлекательна. В основе этого метода -- теория вычислительных систем, статистика, теория вероятностей.

Начало изучения темы -- лекция об имитационном моделировании случайных процессов. К сожалению, в российской школе понятия теории вероятностей и математической статистики лишь начинают внедряться в курс математики, и учителю следует быть готовым к тому, чтобы самому сделать введение в этот важнейший для формирования мировоззрения и математической культуры материал. Приведем план соответствующей вводной лекции. элективный курс компьютерный моделирование

1. «Случайность» как фундаментальное математическое понятие. Случайные события и их вероятности.

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины (плотность вероятности).

3. Примеры типичных функций распределения. Равновероятное распределение. Нормальное распределение и представление об его особой значимости в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей.

4. Метод статистических испытаний в моделировании случайных процессов. Представление о статистической обработке результатов, получаемых при использовании метода статистических испытаний. Понятия «доверительный интервал», «доверительная вероятность». Вычисление средних значений испытуемых величин и оценка их достоверности.

5. Описание принципов имитационного моделирования. Отметим ключевые моменты, которые следует донести до учащихся. Имитацию целесообразно использовать:

* если она позволяет экспериментально исследовать сложные внутренние взаимодействия в рассматриваемой системе;

* при изучении воздействия на функционирование системы некоторых информационных и организационных изменений, а также изменений во внешней обстановке; для этого в модель системы вносят изменения и наблюдают влияние этих изменений на изменение системы;

* при детальном наблюдении имитируемой системы, что позволяет лучше понять систему и разработать такие предложения по ее имитации, которые были бы невозможны без имитации;

* если имитация сложных систем может дать представление о том, какие из переменных системы наиболее существенны и как эти переменные взаимодействуют.

Подчеркнем, что речь идет об элементарном введении в круг обсуждаемых понятий. В принципе сделать это можно не более, чем за два-три урока.

После этого обсуждаем технические вопросы, связанные с генерацией на ЭВМ последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения. Опираться при этом можно на простой факт: в каждом языке программирования есть датчик равномерно распределенных случайных чисел на отрезке от 0 до 1. На данном этапе нецелесообразно вдаваться в сложный вопрос о принципах его реализации. Опираясь на эти датчики, показываем, как можно устроить:

а) генератор равномерно распределенных случайных чисел на любом отрезке [а, b],

б) генератор случайных чисел под практически любой закон распределения (например, используя интуитивно ясный метод «отбора--отказа»).

Одним из вариантов отработки навыков имитационного стохастического моделирования является рассмотрение задачи моделирования очереди в системе массового обслуживания. Указанные системы элементарны для понимания постановки задач, имеют широкое прикладное значение.

Начать рассмотрение этой задачи целесообразно с обсуждения истории решения проблем массового обслуживания (задача Эрланга об обслуживании запросов на телефонной станции). Затем следует обзор типичных задач этой науки. Следует сказать о постановке задач в аналитической форме и о трудностях их решения, о том, что имитационное компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней -- получение аналитических результатов, т. е. представленных формулами. Однако возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере, кажется таковым).

Затем следует рассмотреть простейшую задачу, которую можно сформулировать на примере формирования и обслуживания очереди в магазине с одним продавцом. В этот магазин случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, то он начинает обслуживать покупателя сразу, иначе покупатель становится в очередь. Детали постановки и решения этой задачи методом статистического моделирования можно найти в книгах [9, 33]. Отметим, что на первом этапе моделирования распределения случайных величин на входе можно принять равновероятными, что хоть и не реалистично, но снимает ряд трудностей (для генерации случайных чисел можно просто использовать встроенный в язык программирования датчик).

Обратите внимание учащихся на то, какие вопросы ставятся в первую очередь при моделировании систем такого вида? Во-первых, это вычисление средних значений (математических ожиданий) некоторых случайных величин. Например, какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Или найти среднее время, проведенное продавцом в ожидании покупателя.

Задача учителя, в частности, состоит в том, чтобы разъяснить, что выборочные средние величины сами по себе -- случайные величины; в другой выборке того же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки -- не слишком отличающиеся друг от друга). Далее возможны варианты, например в более подготовленной аудитории можно показать способ оценивания доверительных интервалов, в которых находятся математические ожидания соответствующих случайных величин при заданных доверительных вероятностях (известных из математической статистики методами без попытки обоснования). В менее подготовленной аудитории можно ограничиться чисто эмпирическим утверждением, к примеру, если в нескольких выборках равного объема средние значения совпали в некотором десятичном знаке, то этот знак, скорее всего, верен. Если при моделировании не удается достичь желаемой точности, следует увеличить объем выборки.

В наиболее подготовленной в математическом отношении аудитории можно ставить вопрос: каково распределение случайных величин, являющихся результатами статистического моделирования, при заданных распределениях случайных величин, являющихся его входными параметрами? Поскольку изложение соответствующей математической теории в данном случае невозможно, следует ограничиться эмпирическими приемами: построением гистограмм итоговых распределений и сравнением их с несколькими типичными функциями распределения.

После отработки первичных навыков указанного моделирования переходим к более реалистической модели, в которой входные потоки случайных событий распределены по Пуассону. Это потребует от учащихся дополнительно освоить метод генерирования последовательностей случайных чисел с указанным законом распределения.

В рассмотренной задаче, как и в любой более сложной задаче об очередях, может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если люди заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в любой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Моделирование приближения к критической ситуации по мере возрастания одного из параметров -- интересная исследовательская задача.

На примере задачи об очереди отрабатываются сразу несколько новых понятий и навыков, таких как:

* понятие о случайных процессах;

* понятие и простейшие навыки имитационного моделирования;

* построение оптимизационных имитационных моделей;

* построение многокритериальных моделей (путем решения задач о наиболее рациональном обслуживании покупателей в сочетании с интересами владельца магазина).

Тема «Моделирование динамики развития популяций»

В данной теме ограничимся обсуждением методики проведения занятий по моделированию некоторых процессов, составляющих основу классической экологии (т.е. процессов развития отдельных популяций и их взаимодействия). В такой постановке этот материал может быть полезен для проведения нескольких уроков в пределах предмета, в котором моделирование экологических процессов является не основой, а частью. Такой выбор обусловлен следующими причинами. Во-первых, соответствующие модели достаточно просты и изучены, постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели распространения загрязнений окружающей среды, которые успешно применяют в современной социальной экологии, требуют использования весьма сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись.

С другой стороны, возможны профильно-ориентированные на экологию курсы информатики. Для таких курсов рассматриваемого в данном параграфе материала недостаточно. Дополнительный материал на эту тему можно найти, к примеру, в пособиях [25, 30].

Вводная беседа в этой теме может быть посвящена введению в проблематику классической экологии и использование в ней математических моделей. Следует дать определения таким понятиям, как «популяция», «сообщество», «внутривидовая конкуренция», «межвидовая конкуренция».

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот основные цели создания математических моделей в классической экологии:

1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

2. Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

3. Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

Модель считается адекватной рассматриваемому явлению только в том случае, если она выполняет одну из указанных выше функций.

При проведении беседы следует обратить внимание учащихся на то, что привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой -- возникли принципиально новые направления, и прежде всего -- имитационное моделирование.

После вводной лекции приступаем к построению и исследованию конкретных моделей. Методически уместно начать это с рассмотрения развития популяций с дискретным размножением, после чего следует плавный переход на популяции с непрерывным размножением. Естественная последовательность рассмотрения такова:

* динамическое моделирование численности изолированной популяции с дискретным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

* динамическое моделирование численности изолированной популяции с непрерывным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

* динамическое моделирование взаимодействия популяций:

а) состоящих в отношениях межвидовой конкуренции;

б) состоящих в отношениях «хищник-- жертва»;

* имитационное моделирование развития популяции и взаимодействия популяций.

Примеры ряда моделей, обозначенных выше, можно найти в пособиях [5, 9, 22, 27, 30, 35]. Обсудим методику их построения и исследования на нескольких примерах.

Пример. Моделирование развития изолированной популяции с дискретным размножением с учетом внутривидовой конкуренции.

Рассматриваются биологические виды, для которых потомки и предки не сосуществуют во времени (многочисленные растения, насекомые и др.). Тогда последовательные значения численности популяции можно представить последовательностью N₀, N₁, ....

Если нет никаких причин ограничения численности популяции, тогда возникает простейшая очевидная модель: N_t+l = R • N_t, где R -- коэффициент воспроизводства. Решение этой модели очевидно: N_t = N₀ • R^t, и при R >1 численность популяции нарастает по геометрической прогрессии.

Даже эта простейшая модель заслуживает обсуждения. Она выражает то, что в литературе иногда называют «законом Мальтуса». Очевидно, что долго неограниченно возрастать популяция не может. Простейший способ учета внутривидовой конкуренции связан с гипотезой о том, что коэффициент воспроизводства не есть константа, а зависит от численности популяции, спадая по мере ее роста. На этом этапе следуют разъяснить учащимся методику построения моделей в сфере знаний, где основным способом исследования являются наблюдения, в которой точные математические законы отсутствуют в силу сложности системы (в отличие от, например, физики). В такой ситуации делаются достаточно произвольные допущения, в значительной мере оправдываемые простотой, а полезность модели определяется путем сопоставления ее решений с закономерностями поведения реальных систем.

Проиллюстрируем это простым соображением. Итак, надо учесть, что величина R монотонно спадает с ростом величины N. Реального вида этого спада мы не знаем; его можно представить множеством способов с использованием общеизвестных элементарных функций, а если надо, то и выходом из этого класса.

Модель, в основу которой положена простейшая из таких функций, выглядит следующим образом:

Методика исследования этой модели и ряда других описана в указанных выше пособиях. Полезность модели следует их того, что описываемое ею поведение численности популяций многократно наблюдалось экологами в природе.

После этого ставим вопрос: достаточно ли этой модели для качественного описания развития любой популяции с дискретным размножением? Ответ может последовать лишь из того, наблюдались ли качественно иные динамики развития таких популяций, и является положительным. В природе наблюдались существенно более сложные процессы, нежели монотонное возрастание численности популяций с выходом на стационар, предсказываемое описанной выше моделью. Поэтому продолжился поиск более адекватных моделей.

В частности, целесообразно рассмотреть модель, предсказывающую четыре качественно разных типа динамики численности популяций (в зависимости от соотношения значений параметров): монотонное возрастание с выходом на стационар, колебательное установление стационарной численности, регулярное колебательное изменение (так называемые предельные циклы) и хаотическое поведение без каких-либо видимых закономерностей. Все эти типы динамик наблюдаются в природе.

Методика изучения сложных движений зависит от математической подготовки учащихся. Чаще всего предельные циклы и хаотическое поведение приводим описательно, иллюстративно, не стремясь дать определение этим сложным процессам. В классах же с высоким уровнем математической подготовки и выраженным интересом учащихся обсуждение этих вопросов может быть существенным элементом развития математических интересов.

При изучении более сложных моделей, выраженных дифференциальными уравнениями, методика исследования в основном остается та же. Она включает следующие этапы:

* постановку проблемы, введение терминологии, описание поведения соответствующих природных систем;

* построение математической модели;

* попытку качественного исследования модели, включая построение диаграмм на фазовой плоскости параметров модели;

* численное решение дифференциальных уравнений (как правило, простейшими из методов либо путем использования готовых программ).

Совсем иной является методика построения имитационных моделей экологических процессов. Ограничимся формулировкой одной из задач [5], на которой можно отработать построение такой модели.

Пример. Разработать имитационную модель системы «хищник-- жертва» по следующей схеме.

«Остров» размером 20x20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко. В противном случае она теряет 0,1 очка. Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают. В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко.

Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.

Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там нет кролика, которого нужно съесть, они производят потомство случайного пола.

Пронаблюдайте за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследите, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.

2.4 Анализ результатов формирующего эксперимента

В результате проведения контрольного эксперимента с помощью того же теста, который использовался для выявления актуального уровня знаний по теме «Моделирование», мы получили следующие данные: в контрольной группе 4 учащихся с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование», 17 человек - со средним уровнем и 4 человек с низким уровнем. В экспериментальной группе 10 учащихся имеют высокий уровень, 14 человек - средний и 1 человек - низкий уровень.

Таблица 2. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование»учащихся контрольной и экспериментальной группы после формирующего эксперимента

№	Уровень	Группы
		Контрольная	Экспериментальная
1	Высокий	4	10
2	Средний	17	14
3	Низкий	4	1

Представим полученные данные в виде диаграммы:

Рис.2. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся контрольной и экспериментальной группы после формирующего эксперимента.

Таким образом, 16% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Сравним данные до и после формирующего эксперимента в контрольной группе.

Рис.3. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся контрольной группы до и после формирующего эксперимента.

Таким образом, в контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

Сравним данные до и после формирующего эксперимента в экспериментальной группе

Рис.4. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся экспериментальной группы до и после формирующего эксперимента.

Таким образом, в экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

На данном этапе нашего исследования мы методически обосновали и провели эксперимент.

С целью выявления уровня знаний по информатике у учащихся 10-х классов был проведен констатирующий эксперимент на базе школы № 19 г. Красноярска. Исследование было проведено в январе 2009 г.

Констатирующий эксперимент показал, что 12% детей контрольной и экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 64% детей экспериментальной группы - средний уровень, 20% учащихся контрольной и 24% учащихся экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в обоих классах преобладает средний уровень знаний по теме «Моделирование».

Как отмечают практически все разработчики профильных курсов, ориентированных на моделирование, наиболее адекватным практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой являются компьютерные лабораторные работы. Экспериментальная апробация курсов моделирования подтвердила целесообразность применения такой формы организации занятий.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый -- проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй -- выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий -- самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Мы разработали систему занятий. Затем провели контрольный эксперимент.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

16% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

В контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

В экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

Заключение

Проанализировав педагогическую, психологическую и методическую литературу по теме исследования, мы сделали следующие выводы:

Тема «Моделирование» является очень важной в курсе информатики, так как позволяет провести исследовательскую работу, выполнить анализ полученных результатов, обратить внимание на конечность алгоритма, оценить точность модели, столкнуться с погрешностью приближенных вычислений, увидеть взаимосвязь различных наук и дисциплин, получить удовлетворение от выполненной работы.

Использование компьютера как инструмента учебной деятельности дает возможность переосмысления традиционных подходов к изучению многих вопросов естественнонаучных дисциплин, усиления экспериментальной деятельности учащихся, приближения процесса обучения к реальному процессу познания, основанному на технологии моделирования.

Решение задач из различных областей деятельности человека на компьютере базируется не только на знании учащимися технологии моделирования, но, естественно, и на знании данной предметной области. Известен опыт проведения бинарных уроков, т. е. уроков, проводимых учителем информатики совместно с учителем-предметником.

Для решения данной проблемы требуются обширные исследования. Мы проводили педагогический эксперимент. Полученные данные подтвердили актуальность проблемы изучения уровня знаний по информатике, что обуславливает необходимость работы в данном направлении.

В ходе работы были решены поставленные задачи:

1. Была изучена литература по проблеме исследования.

2. Были определено место предполагаемого содержания в элективном курсе информатики, его соотношение с существующим содержанием.

3. Была разработана система разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию.

4. Был проведен педагогический эксперимент по апробации измененного содержания и методики.

5. Были проанализированы результаты

Было методически обосновано и проведено и проведено педагогическое исследование группы учащихся девятых классов в количестве 50 человек. Педагогический эксперимент проводился в средней школе №19 г. Красноярска. Исследование было проведено в ноябре 2007 г.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

С целью выявления уровня знаний по информатике у учащихся 10-х классов был проведен констатирующий эксперимент на базе школы № 19 г. Красноярска. Исследование было проведено в январе 2009 г.

Констатирующий эксперимент показал, что 12% детей контрольной и экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 64% детей экспериментальной группы - средний уровень, 20% учащихся контрольной и 24% учащихся экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в обоих классах преобладает средний уровень знаний по теме «Моделирование».

Как отмечают практически все разработчики профильных курсов, ориентированных на моделирование, наиболее адекватным практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой являются компьютерные лабораторные работы. Экспериментальная апробация курсов моделирования подтвердила целесообразность применения такой формы организации занятий.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый -- проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй -- выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий -- самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Мы разработали систему занятий. Затем провели контрольный эксперимент.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

16% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

В контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

В экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

Следовательно, наша гипотеза получила подтверждение.

Список использованной литературы

1. www.infojournal.ru

2. Бауэр Ф., Гооз Г. Информатика. Вводный курс. М.: Мир, 1976. 484 с.

3. Бешенков С.А., Лыскова В. Ю., Ракитина Е.А. Информация и информационные процессы. Омск, 1999.

4. Бешенков С.А., Матвеева Н.В., Власова Ю.Ю. Два пути в школьном курсе информатики. // Информатика и образование. 1998. №2

5. Бешенков С.А., Ракитина Е.А. Моделирование и формализация. Методическое пособие. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

6. Бешенков С.А., Ракитина Е.А. Систематический курс. Информатика 10 класс. М.: БИНОМ, 2001.

7. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: ГИФМЛ, 1960. 392 с.

8. Вирт Н. Систематическое программирование. Введение. М.: Мир, 1977.183 с.

9. Гейн А.Г., Сенокосов А.И. Справочник по информатике для школьников. Екатеринбург: «У-Фактория», 2003.

10. Гейн А. Г., Липецкий Е. В., Сапир М. В., Шолохович В.Ф. Информатика. М.: Просвещение, 1994.

11. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 440 с.

12. Захарова Т. Б. Профильная дифференциация обучения информатике на старшей ступени школы: Дне. ... д-ра под. наук. М., 1997

13. Извозчиков В. А., Бережной Л. Н., Слуцкий А. М. Межпредметные связи и информатика: Методические рекомендации. СПб., 1992

14. Информатика в понятиях и терминах / Под ред. В. А. Извозчико М.: Просвещение, 1991.

15. Информатика. Энциклопедический словарь для начинающих. М.: Педагогика-Пресс, 1994.

16. Информатика: Учебник/ под ред. Н.В.Макаровой. М.: Финансы и статистика, 1997. 768 с.

17. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. (Утверждена приказом Минобразования России от 18.07.02 № 2783.). http://edu.of.ru

18. Краснов П. С.Педагогические тесты и измерения// Информатика в образовании. - 2008. - №3

19. Кузнецов Л. А., Филатова Л. О. Новый Базисный учебный план -- основа реализации профильного обучения в старшем звене средней школы. М.: АПКиПРО, 2001

20. Кушниренко А.Г., Лебедев Г. В., Скворень Р. А. Основы информатики и вычислительной техники. М.: Просвещение, 1991.

21. Могилев А. В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов. М.: Академия, 1999.

22. Образовательный стандарт основного общего образования по информатике и ИКТ / Программы для общеобразовательных учреждений. Информатика. 2-11 кл. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

23. Основные компоненты содержания информатики в общеобразовательных учреждениях // Информатика и образование. 1995. № 4.

24. Основы информатики и вычислительной техники: Пробн. учеб. пособие для сред. учеб. завед. В 2-х ч. / Под ред. А. П. Ершова и В. М. Монахова. М.: Просвещение, 1985 (ч. 1), 1986 (ч. 2).

25. Панкратова Л. П., Челак Е. Н. Контроль знаний по информатике: тесты, контрольные задания, экзаменационные вопросы, компьютерные проекты. -- СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

26. Примерная программа основного общего образования по информатике и ИКТ / Программы для общеобразовательных учреждений. Информатика 2-11 кл. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

27. Программы средней общеобразовательной школы. Основы информатики и вычислительной техники. М.: Просвещение, 1991.

28. Проект федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного) образования. Образовательная область «Информатика». Авторский коллектив под рук. А. А. Кузнецова // Информатика и образование. 1997. № 1.

29. Семакин И. Г., Шеина Т. Ю. Преподавание базового курса информатики в средней школе: Методическое пособие. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000-2003.

30. Семакин И.Г. и др. Информатика. Базовый курс для 7-9 классов.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999.

31. Семакин И.Г., Вараксин Г. С. Информатика. Структурированный конспект базового курса. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001-2005.

32. Семакин И.Г., Е.К. Хеннер ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ». - М., 2008.

33. Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков СВ., Шестакова Л. В. Информатика и ИКТ. Базовый курс: Учебник для 9 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

34. Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков СВ., Шестакова Л. В. Информатика и ИКТ. Базовый курс: Учебник для 8 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

35. Словарь школьной информатики. / Сост. А.П. Ершов. М.: Советская энциклопедия, 1988.

36. Стратонович Р.Л. Теория информации. М.: Советское радио, 1975.424 с.

37. Угринович Н.Д. «Исследование информационных моделей с использованием систем объективно-ориентированного программирования и электронных таблиц». - М., 2007

38. Файнстейн А. Основы теории информации. М.: ИЛ, 1960. 233 с.

39. Хантер Б. Мои ученики работают на компьютерах: Книга для учителя / Пер. с англ. -- М.: Просвещение, 1989.

40. Шафрин Ю.А. Информационные технологии. В 2-х т. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

41. Шеннон Р.Е. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 1978. 418 с.

Приложение

Предметная область «Экология»

Задача 1.

Представьте себе, что на Земле останется только один источник пресной воды -- озеро Байкал. На сколько лет Байкал обеспечит население всего мира водой?

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования -- определить количество лет, в течение которых Байкал обеспечит население всего мира водой, исследовать построенную модель.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: озера Байкал и населения Земли.

Зная количество воды в Байкале, численность населения Земли и потребляемость воды на 1 человека, можно найти, на сколько лет ее хватит. При составлении этой модели мы не учитываем возможные изменения климатических условий. Мы также считаем постоянными численность населения Земли и потребляемость воды на 1 человека в день. (Человечество потребляет на свои нужды огромное количество пресной воды. Основными ее потребителями являются промышленность, сельское и коммунально-бытовое хозяйство. Объем потребляемой воды зависит от уровня жизни, составляя от 3 до 700 л на одного человека в день.)

Разработка модели.

Для построения математической модели определим исходные данные. Обозначим:

V -- объем озера Байкал --;

N -- население Земли -- 6 млрд человек;

р -- потребление воды в день на 1 человека (в среднем) 300 л.

Так как воды, необходимо выполнить перевод V воды озера из км³ в ,

Результат -- количество лет, за которое население Земли использует воды Байкала, -- обозначим,

Итак,

.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул

Компьютерный эксперимент.

1. Введите в компьютерную модель исходные данные.

Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если потребляемость воды увеличится до 400 л на человека?

Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если население Земли уменьшится до 5,7 млрд человек?

Анализ результатов.

Построенная модель позволяет прогнозировать время использования вод Байкала с учетом потребляемости воды на 1 человека, изменения численности населения всего мира. Данную модель можно уточнить, учитывая изменения климатических условий.

Задача 2.

Известны ежегодные показатели рождаемости и смертности некоторой популяции. Рассчитайте, до какого возраста могут дожить особи одного поколения.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования -- исследовать изменение численности поколения популяции в зависимости от времени, определить возраст, до которого могут дожить особи одного поколения популяции.

Объектом моделирования является процесс ежегодного изменения количества одного поколения популяции, который зависит от рождаемости популяции и ее смертности.

Разработка модели.

Так как ежегодная рождаемость популяции соответствует количеству особей одного поколения в популяции, то исходными данными являются: х -- количество особей в 1 год; р -- ежегодная смертность (%).

Численность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле: . Расчет производим до тех пор, пока значениене станет1.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

Формулу копируем.

Компьютерный эксперимент.

Введите в компьютерную модель исходные данные р, х (например: р -- 30, х = 1000) и проиллюстрируйте зависимость численности популяции от времени на графике.

Результаты вычислений выглядят следующим образом:

Изменение численности популяции

Анализ результатов.

Результаты эксперимента показывают, что особи одного поколения данной популяции могут дожить до 20 лет.

Задания для самостоятельного выполнения.

Какова должна быть рождаемость популяции, чтобы особи одного поколения доживали до 25 лет при той же смертности? (Результат:.)

Каков должен быть показатель смертности, чтобы при той же рождаемости особи одного поколения доживали до 35 лет? (Результат:.)

Анализ результатов.

Модель показывает, что количество особей одного поколения всегда уменьшается и стремится к нулю, т. е. происходит гибель данного поколения популяции.

Задача 3.

Определите, как будет меняться плотность популяции голубя в течение 5 ближайших лет, если предварительные наблюдения позволили установить, что ее плотность составляет 130 особей/га. За период размножения (у голубя один раз в году) из одной кладки яиц в среднем выживает 1,3 детеныша. Смертность голубя постоянна, в среднем за год погибает 27 % особей. При увеличении плотности популяции до 300 особей/га и выше смертность составляет 50 %.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования -- исследовать процесс изменения плотности популяции с учетом ее рождаемости и смертности.

Объект моделирования -- процесс изменения плотности популяции.

Плотность популяции -- это число особей, приходящаяся на единицу площади или объема жизненного пространства. Измерением плотности пользуются в тех случаях, когда важнее знать не конкретную величину популяции в тот или иной момент времени, а ее динамику, т. е. ход изменений численности во времени.

Рождаемость характеризует способность популяции к увеличению численности за счет размножения особей. Показатель рождаемости -- это число новых особей (также яиц, семян), родившихся (вылупившихся, отложенных) в популяции за определенный промежуток времени.

Смертность -- это показатель, противоположный рождаемости. Смертность, как и рождаемость, выражается числом особей, погибших за данный период времени. Такой величиной может быть процент особей, погибших в единичный отрезок времени.

Разработка модели.

Известно начальное значение плотности популяции.

Плотность популяции к началу следующего года есть ее плотность к началу данного года плюс рождаемость и минус смертность.

Рождаемость зависит от плотности самок и плодовитости. Предположим, что в популяции равное количество самок и самцов. Зная плотность популяции, можно определить плотность самок (плотность самокплотности популяции). Плодовитость известна по условию задачи. Число особей, погибших за год, -- это процент (смертности) от общей плотности популяции. Смертность популяции зависит также и от величины плотности популяции.

Исходные данные:

плотность популяции (Р) -- 130 особей/га;

плодовитость -- 1,3 детеныша в год.

Остальные показатели рассчитываются следующим образом:

плотность самок;

рождаемостьплотность самок * плодовитость;

смертность* удельная смертность;

где удельная смертность голубяв год, если , в противном случае она равна 50 %.

Плотность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле:

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

Компьютерный эксперимент.

1. Введите значения исходных данных (плотность популяции =130 и плодовитость =1,3) и постройте в одной системе координат графики изменения плотности, рождаемости и смертности популяции голубя за 5 лет.

Показатели популяции голубя



2. Как изменится модель, если число самок составляет 1/3 от общего количества популяции?

Анализ результатов.

Данная модель позволяет исследовать процесс изменения плотности популяция с учетом ее рождаемости и смертности.

Задача 4.

Как определить размер популяции рыбы в озере, используя метод мечения и повторного отлова.

Решение.

Постановка задачи.

Объект моделирования -- популяция рыбы.

Для измерения обилия популяций испытано много различных методов. К наиболее распространенным относится метод мечения и повторного отлова (для подвижных животных). Этот метод включает отлов животных, его мечение (без причинения вреда). Через некоторое время животных снова отлавливают и подсчитывают их общее число и отдельно число меченых. Численность популяции оценивают по формуле:, где О -- общая численность популяции, В1 -- число особей при первом отлове, В2 -- число особей при втором отлове, М -- число меченых животных пойманных при втором отлове.

Используя данный метод, решите предложенную задачу при следующих значениях исходных данных:

В результате должно получиться 4230 особей.

Предметная область «Биология»

Задача 1.

Для производства вакцины на заводе планируется выращивать культуру бактерий. Известно, что если масса бактерий -- г г, то через день она увеличится на г, где коэффициенты а и Ъ зависят от вида бактерий. Завод ежедневно будет забирать для нужд производства вакцины т г бактерий. Для составления плана важно знать, как изменяется масса бактерий через 1, 2, 3, ..., 30 дней.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования -- исследовать изменения массы бактерий, в зависимости от ее начального значения.

Объектом моделирования является процесс ежедневного изменения количества вакцины с учетом выращивания и использования бактерий для производства вакцины.