Развитие творческого мышления учащихся 5-6-х классов на уроках математики с помощью олимпиадных заданий

Решение. Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел, так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число. Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа, а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

Подобных пар очень много, например годятся пары 142 и 143, 312 и 313, 3120 и 3121, 1312 и 1313, 69999 и 70000

Ко второму уровню отнесем задачи, ответы на которые предполагают: понимание контекстной информации, которую можно додумать, реконструировать из учебного текста и контекста; выделение главного; установление связей между понятиями; объяснение причин; использование разных способов интерпретации фактов и явлений; обобщение математических понятий отношений и действий; соотнесение своих действий с целями собственной деятельности; готовность оценивать качество отдельных «шагов» собственной интеллектуальной деятельности и контролировать свои учебные действия.

Отвечая - объяснительный тип, учащиеся ориентируются на его формулировку, на слова, из которых он состоит, которые наводят их на ответ. Такие задачи необходимы на этапе актуализации прежних знаний, развертывания проблемы. К задачам этого уровня относятся следующие:

Задача 5

На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причём среди любых трёх фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит. После того, как электрик Петров починил несколько фонарей, среди любых четырёх фонарей, стоящих подряд, осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.

Решение

1 способ. Разобьём фонари на 25 шестёрок подряд стоящих, и докажем, что в каждой из них был починенный фонарь. Предположим, что в какой-то шестёрке ни один фонарь не был починен. В такой шестёрке не менее двух разбитых фонарей (поскольку в каждой из двух троек, составляющих шестёрку, был разбитый фонарь), между которыми не менее трёх работающих фонарей (так как иначе можно будет указать четыре фонаря, среди которых хотя бы два разбитых). Но как раз трёх работающих фонарей подряд стоять и не может.

2 способ. Посмотрим на фонари до прихода электрика. В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50. Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар) Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух. Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

Задача 6

На Васиной чаше двухчашечных весов лежат гири весом 1 г, 3 г, …, 2001 г, а на Петиной чаше -- 2 г, 4 г, …, 2000 г. Первым ходит Вася -- он убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Петиной. Потом Петя убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Васиной. Затем опять ходит Вася, потом Петя, и так далее. Выигрывает тот, кто первым сможет убрать все гири со своей чаши. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение. Выигрывает Вася. Ему достаточно до последнего момента не убирать со своей чаши гирю весом 2001 г.

В двух последних следует обратить внимание учащихся на то, что при ответе «может» достаточно привести хотя бы один подтверждающий пример (он фиксируется в тетрадях), тогда как ответ «не может» требует обоснований. Кроме фиксации примера, целесообразно задать учащимся дополнительный вопрос:

Рассуждения учащихся, проведенные таким образом, способствуют более глубокому пониманию математического содержания, создают возможности проводить рассуждения разными способами: с практической, геометрической, аналитической точек зрения последствий принимаемых решений.

Тип задач, направленных на третий уровень понимания назовем творческим.

Он основывается на реорганизации и трансформации имеющихся данных с тем, чтобы выйти за их пределы и увидеть изучаемый объект в новом виде. Очевидно, существуют два способа найти ответ: найти ответ в тексте, если достаточно хорошо знать текст и представлять, где нужно искать ответ на поставленный вопрос, однако учащемуся важно научиться искать и то, что он не знает.

Решение учащийся может дать различные ответы, находя различные способы их обоснования. Такие вопросы часто требуют обобщенного подхода к информации и расширенного ответа.

Задача 1: В правление фирмы входят 9 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 2: Найдите пропущенное число:

13	60	17
16		14
26	20	14
19		31

Задача 3: Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Задача 4: В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй - 20 суток и третий - 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Задача 5: Немецкого учёного Карла Гаусса называли королём математиков. Однажды в школе (Гауссу тогда было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1до 100. пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100 и запишите результат вычислений.

В рамках каждого уровня понимания можно выделить три типа задач, направленных на обогащение понятийного, рефлексивного и эмоционально-оценочного опыта. То есть на каждом уровне понимания - воспроизводящем, объяснительном и творческом -- могут быть три разных типа.

На основании проведенного анализа текстов ряда учебников математики 6-х классов с точки зрения наличия в них учебных заданий разных типов, (п. 1.3), был выделен дефицит задач с использованием графики. Однако практика обучения творчеству требует активного применения графиков, рисунков, диаграмм и т.п., которые являются для ученика как бы инструментом обобщенного «видения» содержания новых абстрактных понятий и представлений.

Изобразительные и условно-графические средства (таблицы, схемы, рисунки, графики, диаграммы, репродукции картин, фотографии ученых и т.д.), являющиеся составными элементами учебных текстов, играют существенную роль в развитии творчества учащихся, обогащая их понятийный опыт. Сама по себе графическая наглядность еще не обусловливает развития творческого мышления учащихся. Для этого необходима тесная взаимосвязь процессов восприятия с процессами мышления. Чем содержательнее, активнее деятельность учащихся, связанная с графической наглядностью, тем эффективнее будет ее влияние на умственное развитие. Это позволяет говорить о том, что вопросы, сформулированные с помощью графической наглядности, могут обрести новую функцию - активизировать творческое мышление учащихся.

Познавательные задачи, применяемые для активизации творческого мышления учащихся, должны иметь свойство обобщенности. Такие вопросы позволяют акцентировать внимание учащихся на главном в изучаемом материале, подводят их к осмыслению той или иной закономерности, но не дают готовых выводов, а требуют определенной мыслительной активности, самостоятельности. Формы графической наглядности, которые не только дополняют словесную информацию вопроса, но и сами выступают носителями информации, способствуют обогащению понятийного опыта учащихся, необходимого для роста уровней понимания учебного материала.

Приведем примеры (рис. 2):

1. Каков замысел художника, нарисовавшего этот «портрет»?

психологический педагогический творческий математика



2. Как вы думаете, что объединяет числа, украшающих «математическую» кошку?

3. Как вы могли бы подписать этот рисунок?

4. Какие бирочки можно поместить к представленным множествам натуральных чисел?

Такие типы задач можно отнести к творческим/понятийным. Следующие типы задач-заданий с помощью графической наглядности требуют самостоятельной постановки заданий и видоизменений условий. Цель таких задач-заданий -- вызов ситуации, которая требует видоизменения решения. Речь идёт в этих случаях о выработке умений перестраивать известные способы решения в соответствии с изменением условий задачи. Успех этой перестройки непосредственно зависит от того, в какой мере учащиеся умеют анализировать задачи, улавливая одновременно и сходное, и различное. Это способствует обогащению понятийного опыта учащихся, выработке более сложных умений, которые необходимы для «восхождения» на высокие уровни понимания и, соответственно, для формирования творческого мышления учащихся. Примеры таких заданий представлены на рисунках (рис. 3,4).

Рис. 4. Вопросы-задания по рисунку Подобные задания развивают умения:

• ставить разумные вопросы, соотнося их постановку с графически представленному условию;

• математизировать ситуацию (т.е. переводить задачу с сюжета, заданного рисунком на язык математики);

• выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи;

• анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать подходящие, т.е. соответствующие здравому смыслу;

• «разматематизировать» ситуацию (т.е. переводить полученный ответ на язык житейской практики).

• Методический прием специального построения умозаключений делает процесс мышления учащихся более продуктивным. Учащимся необходимо между посылками и выводами восстановить необходимую зависимость, даже если эта зависимость скрыта неочевидными пропусками каких-то элементов операций мышления. Какие данные необходимы для решения поставленной проблемы? Какими способ можно решить проблему?

Результатом организованного процесса суждения может стать изменение, расширение, уточнение собственной точки зрения, что становится платформой для возникновения учебного сотрудничества, которое, в свою очередь, приводит к развитию познавательной и творческой деятельности.

Полученное графически систематизированное изображение решаемой проблемы является хорошей наглядной основой для самостоятельного ее осмысления. Оно дает возможность обдумать полноту и глубину изложения рассматриваемой в параграфе проблемы, выделить вопросы и взаимосвязи, нуждающиеся, с вашей точки зрения, в более полном раскрытии и обосновании и др.

Графическая организации текста с помощью заданий предполагает:

· оценку предмета изучения с точки зрения возможности выделения в нем больших и малых смысловых единиц;

· выделение смысловых блоков и более мелких единиц, графическое установление связей между ними;

· осмысление полученной графической систематизации текста (оценка полноты, обоснованности ответа, определение заданий, вызывающих сомнение, требующих более аргументированного изложения и т.д.);

· умение презентовать свою графическую схему текста.

Учебным вопросам, направленным на формирование и обогащение рефлексивного опыта учащихся, отводится значительное место, т.к. они обеспечивают реальную открытость учащегося новому опыту, окружающим его участникам учебного процесса, самому себе.

Психолого-педагогические исследования показывают, что осуществление рефлексии невозможно без саморазвития учащегося, без его «выхода» за пределы собственного опыта.

С помощью заданий, направленных на обогащение рефлексивного опыта, создается рефлексивная среда: в мышлении -- проблемно - провокационных ситуаций; в деятельности - сотрудничество; в общении - открытость опыта для себя и других.

Психолого-педагогический анализ позволил выделить признаки заданий, направленных на развитие рефлексивного опыта в обеспечении развития творческого мышления учащихся:

1. Признак сотворчества. Вопросы создают творческую позицию субъектов, взаимодействующих в учебном процессе. Этот признак выражается, во-первых, в критичности относительно чужого и своего опыта; во-вторых, в том, что ответ на вопрос -- это не только результат, но прежде всего процесс совместного поиска.

2. Признак взаиморазвития. Он проявляется в том, что взаимодействие участников сотворчества связано не столько с взаимообменом опыта, сколько с взаимным преобразованием и достраиванием друг друга как целостных личностей. Каждый участник оказывается катализатором для развития другого.

3. Функциональный признак. Для субъектов сотворчества каждый новый опыт становится точкой отсчета, поводом для нового знания.

Создание выделенных рефлексивных признаков возможно с помощью организации заданий на обоснование позиции, идеи.

Такие учебные вопросы предполагают использование учащимися полученных навыков производить анализ информации, выносить оценочные суждения в нестандартных ситуациях. На этом этапе учитель дает возможность анализа учащимися конкретных учебных ситуаций. Такие задачи можно задавать и до, и после изучения темы.

1. Найдите число, которое записывается тремя различными цифрами, следующими в порядке возрастания, название которого состоит из слов, начинающихся с одной буквы. Ответ: 147

2. Математики пишут учебник для второго класса. Какое наибольшее число различных примеров на сложение чисел 0, 1, 2, …, 8, 9 они смогут придумать? Ответ: 100

3. Настя делилась с подругами конфетами, при этом она съела в три раза больше конфет, чем отдала. А её подруга Маша съела меньше всех, и число съеденных ею конфет было в восемь раз меньше, чем число конфет, съеденных остальными девочками. Скажите, со сколькими подругами Настя делилась конфетами, если конфеты были съедены все. Ответ: 2

4. Школьники шли в музей парами. Оказалось, что пар из двух мальчиков в 3 раза больше, чем пар из двух девочек.Когда они шли обратно, пар из двух мальчиков было в 6 раз больше, чем пар из двух девочек. Можно ли построить детей так, чтобы пар из двух мальчиков было в 11 раз больше, чем пар из двух девочек?Если можно, укажите в ответе цифру 1, если нет - цифру 0.Ответ: 1

5. На островах Туба, Юба, Руба, Муба и Коруба живут бабки Ёжки. К ним по морю приплыло 30 ступ. На каждом острове бабки Ёжки поделили ступы поровну. Причём оказалось, что у каждой бабки Ёжки на острове Туба ступ больше, чем у каждой бабки на Мубе; у каждой бабки на Мубе больше, чем у каждой на Рубе; у каждой на Рубе больше, чем у каждой на Мубе, и у каждой на Мубе больше, чем у каждой на Корубе. Определите, сколько бабок Ёжек живёт на Рубе, если на всех пяти островах бабок 20.Ответ: 1

6. Переставьте две спички, и запишите в ответ полученное верное равенство.

Ответ: 2+3=5

7. В таблице 3х3 расставлены положительные - как целые, так и дробные числа - числа. Произведения элементов в каждом строке и каждом столбце равны 1, произведение чисел в каждом квадрате 2х2 равно 2. Найдите число, стоящее в середине квадрата 3х3.Ответ: 16

8. Решите кросснумбер и укажите в ответе время, на которое установлен будильник у Пети.

По горизонтали:

a 6

b 252

c - столько минут Петя может ещё спокойно проспать

d 7

e 2014

f - Петины часы сейчас показывают ровно столько часов

По вертикали:

A - квадрат целого числа

B - факториал какого-то числа

Пояснение: факториал числа n - произведение всех целых чисел от 1 до n, например: факториал числа 3 - это 1*2*3=6

C 11

D = 07

E - число, состоящее из одинаковых цифр

F 3

Ответ: 08:00

Данные задачи стимулируют обращение ученика к прошлому опыту и предполагают выдвижение гипотез. При ответе на подобные учебные вопросы, прямое усмотрение истины осуществляется единовременным обобщением без строгого логического доказательства. Такие вопросы развивают интуицию-догадку, которая необходима для развития творческого мышления.

Задачи, обогащающие эмоционально-оценочный опыт учащихся, дают возможность подумать о тех действиях, которыми они пользовались для решения проблем. Например, при изучении темы «О распределительном законе умножения относительно сложения», уместен вопрос о том, какой из предложенных способов представления закона в тексте им больше понравился и написать об этом в тетрадях.

Учащиеся могут представить различные способы представления этого закона: словесный, с помощью чисел, с помощью символов, с помощью рисунков.

К вопросам, обогащающим эмоционально-оценочный опыт можно отнести, например, такие вопросы:

· Какую часть суток вы спите, говорите по телефону, смотрите в окно?

· Какие задания вам показались более трудными?

· Какие задания вам понравились?

· Ученик пропустил тему «Сложение целых чисел». Как бы вы ему рассказали, что -3+(+5)=2?

В данном параграфе рассмотрели использование разных типов задач и привели примеры их использования на примере основных тем курса математики 5-6-х классов.

Использование типологии, основанной на уровневом понимании учебного материала через обогащение понятийного, рефлексивного, эмоционально-оценочного опыта, способствует не только достижению учащимися обязательных результатов обучения и возможности углубленного изучения некоторых заданий учебного курса, но, кроме того, развивает умения анализировать, сравнивать, обобщать, планировать умственную деятельность, мыслить с учетом практического контекста, высказывать предположения, т.е. работать в творческом режиме.

2.2 Методические приемы работы с помощью учебных заданий на примере темы «Делимость чисел»

Одной из основных содержательных линий школьного курса математики является линия изучения числовых систем, в частности, вопросы теории делимости целых чисел.

Проблемы, связанные с анализом свойств целых чисел, со всевозможными числовыми комбинациями, всегда привлекали внимание математиков, на всех ступенях человеческого знания играли большую роль. Например, работы П.Л. Чебышева демонстрируют возможности сочетания теории и практических задач, которые решаются различными математическими методами (задачи о губчатых колесах, о ветряных мельницах, о кройке платьев и т.д.). В теории чисел часто ставятся проблемы, которые просто и доступно формулируются, но поиски решения практических задач с использованием теории чисел создают условия для различных решений, поиска гипотез.

Тема «Делимость чисел», с одной стороны, имеет прикладное значение в курсе математики 6-х классов, т.к. теоретические и практические результаты, полученные при ее изучении, используются при выполнении преобразований рациональных чисел (поэтому успешность изучения данной темы сказывается на успешности изучения темы «Рациональные числа»). С другой стороны, данный учебный материал может создать условия для развития творческого мышления учащихся. Внешне простые по своей постановке задачи темы «Делимость чисел» привлекают учащихся, мотивируют их творческую деятельность. Изучая данную тему, школьники с необходимостью приобретают опыт поиска закономерностей построения гипотез, опровержения и обоснования соответствующих предложений.

Большинство задач по вопросам темы «Делимость чисел» отличаются по поиску их решений. Они формулируются на доступном для школьников уровне, не требуют для решения большой предварительной суммы знаний. Как правило, при их решении не требуется владение серьезными математическими техниками, что позволяет ученику с любым уровнем знаний активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Задачи на делимость чисел входят не только в тематику олимпиадных заданий, но и в практику вступительных экзаменов в вузы.

Многие теоретико-числовые задачи школьного курса математики являются хорошей основой для самостоятельного планирования собственной деятельности: выдвигать цели и подцели, продумывать средства их реализации, выстраивать последовательность собственных действий и т.д.

Указанные особенности теоретико-числовых задач открывают богатые возможности их использования для развития творческого мышления учащихся, повышения качества знаний учащихся, развития у них устойчивого интереса к занятиям математикой.

Все вышесказанное определило выбор темы «Делимость чисел» в качестве примера организации работы с использованием типологии заданий, направленной на развитие творческого мышления учащихся.

Работа строилась с использованием учебной книги серии «МПИ» («Математика. Психология. Интеллект». «Делимость чисел» [35]).

Остановимся на содержании темы, которое создает условия ля постановки разных типов заданий.

В рамках данной темы учащиеся отвечают на один из заданий теории чисел:

«Делится ли одно целое число на другое?»

При ответе на этот вопрос создается широкий контекст, связанный с обсуждением выполнимости арифметической операции на различных числовых множествах. Вводится понятие «делитель натурального числа» и ставится задача поиска способов нахождения всех натуральных делителей данного натурального числа.

Учащиеся применяют свои знания о признаках делимости натурального числа; находят делители натуральных чисел, представляющих собой целое число сотен и тысяч; приходят к выводам о делимости произведения; обнаруживают новые признаки делимости; приходят к выводам о делимости суммы; учатся проводить доказательства некоторых признаков делимости. Наконец, рассмотрев разложение чисел на простые множители, получают способ нахождения всех делителей числа. Кроме того, учащиеся знакомятся с такими понятиями как «общий делитель натуральных чисел», «наибольший общий делитель натуральных чисел», «общее кратное двух натуральных чисел», «наименьшее общее кратное двух натуральных чисел». Учащиеся ищут закономерности, задают вопросы, проверяют их для различных частных случаев, предлагают контр примеры, обосновывают, учатся оформлять результаты своих исследований, рассуждать. В ходе этой деятельности учащиеся осознают смысл словесных выражений вида: «если... то», «тогда и только тогда», «те и только те», «неверно, что».

Работая над содержанием данной темы, школьники учатся отвечать на специальные типы заданий.

Осмысление познавательной ситуации начинается с понимания фактов (событий, явлений), которые носят констатирующий характер: субъект ограничивается узнаванием факта, актуализацией его смысла, сформированного в прошлой мыслительной деятельности, у учащегося «в уме» воссоздается та предметная ситуация, в которую включен требующий понимания факт. На это направлены вопросы воспроизводящего уровня понимания. Объяснительный уровень заданий требует более высокого уровня понимания и представляет собой процесс такого сопоставления с реальностью, в результате которого они, по мнению субъекта, «совпадают».

Работа по теме строилась специальным образом. Были составлены методические рекомендации для учителей, дидактические материалы для учащихся. Методические материалы для учителей включают развернутые цели изучения отдельных заданий темы, комплексы заданий для проведения уроков, вопросы для осуществления контроля, примеры различных форм проведения занятий, активизирующих деятельность учащихся при работе с вопросами и формирующих умения составлять вопросы. При составлении типологии заданий отмечаются особенности работы над понятиями.

Приведем примеры предлагаемых видов работы, способствующих развитию творческого мышления учащихся.

Пример 1. Вопросная карта изучения темы (рис. 6).

Рис. 6. Вопросная карта

Подобные вопросные карты позволяют учителю фиксировать признаки объекта, характеризующие понятия, что имеет большое значение для правильного использования понятий в учебной практике, дает возможность учителю охватить основные проблемы темы, посмотреть план ее изучения.

При изучении данного учебного материала необходимо акцентировать внимание учащегося на проблеме выполнимости операции на различных множествах, ввести понятие «делитель числа», постановке проблемы поиска натуральных делителей данного натурального числа.

Пример 2. Краткие советы по изучению темы «Делитель числа».

Таблица 4

Числовое множество	Всегда ли выполнима операция ?
	+	--	X
Натуральные числа	да	...	...	...
целые числа	да	...	да	нет

Вопросы, способствующие разно уровневому пониманию темы «Делитель числа» (табл. 4), могут быть представлены, например, таким образом:

Работа учеников с вопросом «Всегда ли выполнима операция?» позволяет отметить следующие моменты:

- аналогии между операциями сложения и умножения;

- выполнимость арифметических операций на различных числовых множествах;

- при работе с понятием «делитель числа»: а) дать определение; б) обоснование с помощью определения, что некоторое число является или не является делителем данного числа (например, что 2 -- делитель числа 12, а 3 не является делителем числа 25);

- в) проиллюстрировать, что если а: b, то и а: (-b);

- дать понятие признака делимости.

Реализация возможностей типологии заданий по уровням понимания позволяет учащимся решать проблему, касающуюся темы «Делитель числа» постепенно, при этом создавая условия для активной познавательной деятельности учеников, развития их понимания учебного материала и, как следствие, развития творческого мышления.

задания, которые позволяют повторить ключевые моменты теории.

Приведем некоторые задачи-вопросы, которые предусматривают работу учащихся в рамках данной темы на разных уровнях понимания. Вопросы-задания воспроизводящего уровня понимания:

1. Какое число называется простым?

2. Может ли простое число быть а) четным; б) нечетным?

позволяют повторить ключевые моменты теории, акцентируя внимание на существенных особенностях определения простого числа, понятиях четного и нечетного числа.

3. Известно, что целое число имеет делители 4, -3, 7. Какие делители, кроме данных, наверняка имеет это число?

Это вопрос объяснительного типа, ответ на который предполагает последовательность рассуждений учащихся:

Очевидным образом выписываются делители ±1, -4, 3 и -7. Если число делится на 4, 2, 7, это не означает, что оно делится на 8 или 56 (28:4, 28:2, но 28: 8). Ведь если число делится на 4, 2, 7, то его можно представить в виде произведения «4 - 7» или « 2 - 2 - 7», а вот дополнительного множителя 2 в этом произведении может и не оказаться, так как он уже содержался в множителе 4. То есть в данном случае можно точно определить делители ±1, ±2, ±7, ±4, ± 14 и ±28.

Подобные вопросы объяснительного типа требуют подробного описания процесса поиска, опровержения и подтверждения, дают возможность постепенного уточнения формулировок под влиянием дополнительно обнаруженных фактов, позволяют проводить аналогичные рассуждения на числовых примерах.

4. Придумайте трехзначное число: а) не делящееся на 5; б) делящееся на 5, но не делящееся на 10 (сколько таких чисел?); в) делящееся на 10, но не делящееся на 5 (сколько таких чисел?).

Трехзначные числа, подходящие к условию пункта б) должны оканчиваться цифрой 5. Таких чисел, меньших тысячи, - 90 (по одному в каждом десятке каждой сотни, начиная со второй). Чисел, удовлетворяющих условию в), не существует ("а: 10 => а =...*** 0 => а: 5).

Этот вопрос закрепляет навыки использования признаков делимости и развивает комбинаторные умения учащихся.

Учитель предлагает учащимся выделить из предложенных им утверждений верные и неверные. Выполняя задание, учащиеся описывают заданную тему, обосновывая свой ответ. После знакомства с основной информацией (текст параграфа, лекция по данной теме) учитель возвращает учащихся к выделенным ранее группам «верные» и «неверные», и предлагает им оценить их первоначальный вариант, используя полученные на уроке сведения.

Данный методический приём можно использовать как для индивидуальной и групповой работы, так и для фронтальной на начальной стадии урока, когда идёт подведение к теме и актуализация знаний. Приём позволяет выяснить, что знают или думают ученики по обсуждаемому вопросу.

Пример 3. Комплексы заданий, основанные на уровневом понимании учебного текста через обогащение понятийного, рефлексивного и эмоционально-оценочного опыта учащихся, которые могут быть положены в основу проведения урока по определенной теме.

Как бы вы их объяснили? Каков вид слагаемых, на которые разбивается каждое число? Какова взаимосвязь между делимостью на 4 каждого слагаемого и делимостью на 4 их суммы? Каким свойством обладает делимость суммы?



Какое из чисел 24,25,26 можно поставить вместо * в сумму 2000+*, чтобы оно делилось на: с!. 4; е. 5.	Объяснительный/понятийный
Для того, чтобы обосновать, что число 372 делится на 4, один из учеников записал 372 = 300+72, а другой 372=360+12. Какая из записей помогает получить признак делимости на 4 любого натурального числа?	Творческий /рефлексивный
О какой разрядной единице мы можем твердо заявить, что она делится на 4?	Объяснительный/ рефлексивный
Как бы вы объяснили следующие записи: Ј 43726; & |123456 ?	Творческий/понятийный
На карточке написано натуральное число, которое больше миллиарда. Какие цифры этого числа нужно знать, чтобы установить делится ли это число на: b. 2; 1. 4; 5; к. 8.	Творческий/понятийный
Сможете ли вы сформулировать признак делимости на 4?	Творческий/рефлексивный
Что нового вы узнали о делимости чисел? Что полезного вы узнали в это теме?	Творческий/эмоционально - оценочный
Какой план действий вы бы предположили при получении признака делимости на 8?	Творческий/ рефлексивный

С помощью этих заданий учащиеся смогут уточнить понятие «признаки делимости», ввести свойство делимости суммы и с его помощью обосновать признаки делимости на 4,5,8.

Данный комплекс заданий носит избыточный характер, чтобы дать возможность учителю организовывать диалог в зависимости от возникающих ситуаций.

Приведем пример:

К теме делимость чисел можно предложить задание: «Верно, или неверно»?

Представленные вопросы (воспроизводящие, объясняющие, творческие) имеют либо утвердительные ответы, либо отрицательные. Данные ответы обучающиеся помещают в таблицу:

Верно	Неверно

Ответы могут быть полными, либо краткими.

Примерами заданий могут быть такие:

• Если хотя бы одно слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число?

• Если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число, то сумма не делится на это число?

• Если каждое из слагаемых делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число?

• Если а делится на в, а в делится на с, то а делится на с?

• Есть числа, которые могут иметь только 2 делителя?

• Есть число, которое имеет только 1 делитель?

• Если уменьшаемое делится на некоторое число, а вычитаемое нет, то разность на это число не делится?

• Значение выражения 2к может оканчиваться нечетной цифрой?

• Значение выражения 10к может оканчиваться еще какой-либо цифрой, кроме нуля?

• Если ш-делитель числа п, то существует такое натуральное число к, что п=т*к?

• На данное натуральное число п делятся все числа, кратные п?

• Среди делителей данного числа найдется наименьшее и наибольшее число?

• Среди кратных данного числа всегда найдется наименьшее, но нет наибольшего числа?

• По последней цифре числа можно узнать делится оно на 9 или нет?

• Если п- нечетное число, то п+2 - четное?

• Если одно число делится на другое, то НОК этих чисел равен большему числу?

Заметим, что учитель не дает прямых оценочных суждений в адрес своих учеников, помогая им самостоятельно вырабатывать подходы к содержательной оценке хода и результатов собственной познавательной деятельности. Для обучающихся становится значимым не только усваивать «правильное» знание, но и сомневаться, противопоставляя собеседнику другую точку зрения, другое мнение, иной подход к оценке.

В данном фрагменте урока деятельность учителя провоцирует учащихся к рефлексии. В рассматриваемом, фрагменте роль таких «провокаторов» играют вопросы учителя, обращенные к Ане и Лене:

-- Что дает вам этот ответ? Зачем вам этот вопрос?...

В данном параграфе представлены некоторые элементы методики использования типологии учебных заданий, способствующей развитию творческого мышления учащихся.

Представленные типы заданий создают условия самостоятельно переносить ранее усвоенные знания и умения в новую ситуацию; видеть проблемы в знакомой ситуации; видеть новые функции объекта; видеть проблемы; видеть альтернативы решения; комбинировать ранее усвоенные способы деятельности в новые, применительно к возникшей проблеме, строить субъективно новые способы решения (в отличие от других, известных), то есть научить учащихся творческим процедурам.

2.3 Организация и результаты педагогического эксперимента

Педагогический эксперимент проходил в шестых классах Гимназии №2 г. Город, и состоял из трех этапов: констатирующего, поискового, формирующего. Охват обучаемых на поисковом этапе составил 62 человека; объем выборки на заключительном этапе формирующего эксперимента составил 40 человека.

Целью первого этапа эксперимента являлось выявление состояния проблемы развития творческого мышления учащихся 6-х классов на уроках математики, организации учебной деятельности, направленной на развитие творчества учащихся. Данный этап включал проведение пилотажных исследований, анкетирование и беседы с учителями. В частности, учащимся 6-х классов по основным темам курса математики 6-го классов предлагались специальные задания (на выбор), инициирующие их творческую деятельность.

Тип урока: урок практического применения знаний.

Цель урока: сформировать умение складывать и вычитать смешанные числа.

Задачи:

образовательные:

- закрепить умение складывать и вычитать смешанные числа.

воспитательные:

- вовлечь в активную деятельность всех учащихся класса;

- создать условия для воспитания навыков сотрудничества;

- воспитывать у учащихся любознательность и положительную мотивацию к учению.

развивающие:

- развивать познавательный интерес и логическое мышление;

- развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельной.

Форма работы: групповая форма работы.

Время реализации урока: 45 минут.

Учащиеся:

актуализируют:

- понятия «сократить дробь», «смешанное число», «наименьший общий знаменатель», «целая часть», «дробная часть», «неправильная дробь»;

- умение приводить дроби к наименьшему общему знаменателю;

- умение складывать и вычитать дроби с разными знаменателями;

- умение выделять целую часть из неправильной дроби;

- умение сокращать дробь.

приобретут:

- положительную мотивацию к обучению;

- навыки коллективной работы.

закрепят:

- умение складывать и вычитать смешанные числа.

Необходимое оборудование и материалы: компьютер, проектор, презентация урок-игра «Веселый садовник», названия групп («Зеленые», «Желтые», «Оранжевые» и «Красные»), томаты или красные кружки.

Дидактическое обеспечение урока:

Таблица «Действия со смешанными числами».

Сообщение «Томаты».

Дополнительная необходимая информация:

Предварительно класс необходимо поделить на четыре группы по трем уровням сложности: легкий уровень - группа «Зеленые», средний уровень - группа «Желтые» и группа «Оранжевые» и сложный уровень - группа «Красные».

Если класс слабый, то лучше, чтобы каждая группа решала примеры и уравнения своего уровня. Если класс сильный, то можно каждой группе дать возможность решить все задания, а затем проверить правильность их решения, нажав на соответствующую кнопку на слайде.

Ход урока

Мотивация учащихся. Здравствуйте, дети! Сегодня на уроке мы закрепим умение складывать и вычитать смешанные числа. Работать вы будете в четырех группах: «Зеленые», «Желтые», «Оранжевые» и «Красные».

I. Актуализация ранее изученного материала

1. Проверка домашнего задания. Задание: сопоставьте ответ с номером домашнего задания.

2. Тест.

Вопрос классу: о какой овощной культуре идет речь? Это одна из самых популярных овощных культур, хотя долгое время она считалась несъедобной и даже ядовитой. Ее родина - Южная Америка. Итальянцы называют ее «золотое яблоко». (Выслушиваются ответы учеников).

Чтобы узнать кто из вас был прав, решим тест.

При нажатии на правильный ответ, будет появляться часть рисунка.

Сообщение «Томаты».

II. Отработка умений и навыков

Итак, каждая из групп будет «выращивать» томаты. Если вы правильно решили задание, то ваша группа будет вознаграждена, получит томат.

У каждого ученика из группы должно быть решено задание в тетради.

Выполнение заданий по слайдам.

Физкультминутка (упражнение для глаз):

- Закрыть глаза. Отдых 10-15 с. Открыть глаза. Повторить 2-3 раза.

- Закрыть глаза. Выполнить круговые движения глазными яблоками с закрытыми глазами вправо и влево. Повторить 2-3 раза в каждую сторону.

- Поморгать глазами. Повторить 5-6 раз.

III. Итог урока.

Учащимся, работающим у доски, в зависимости от количества «выращенных» его группой томатов, выставляется оценка.

Рефлексия деятельности на уроке: обсудить с учащимися урок, предложив учащимся продолжить фразу «Сегодня на уроке я…».

40% учащихся не выбрали ни одного задания творческого характера, результаты выполнения выбранных заданий показали неумение учащимися актуализировать свои знания при решении новых задач, использовать общие методы и идеи, демонстрировать разнообразие и гибкость знаний.

Был проведен качественный анализ создаваемых текстов по следующим показателям:

1. Оригинальность идеи, способов изложения.

а) находчивость в соединении «несоединимых» элементов;

б) использование метафор.

2. Эмоциональность образов:

вызывает ли представленное задание интерес и эмоции у слушателя.

3. Разнообразие идей, ассоциаций:

разнообразие и количество используемых образов, ситуаций, действий,

многообразие их способов построения.

4. Умение увидеть проблему.

В таблице 6 представлены результаты анализа по выделенным показателям.

Таблица 6

Умение увидеть проблему	Разнообразие идей, ассоциаций	Оригинальность идей, способов изложения	Эмоциональность изложения
40%	10%	15%	6%

На данном этапе эксперимента были проанализированы некоторые учебники математики для 6-го класса по вопросным характеристикам, представленным в п. 1.3.

На основе анализа с помощью вопросных характеристик текстов, выделенных H.H. Сметанниковой, A.B. Хуторским, М.М. Поташником, вопросы на применение составляют в среднем 40% от общего числа заданий, представленных в текстах учебников, вопросы на субъектно-личностный опыт составляют лишь 7%, вопросы для направления мышления - 15%; вопросы с использованием графики - 10%.

Таким образом, содержание учебников не учитывает всех возможностей заданий.

На курсах повышения квалификации учителям была предложена анкета по использованию разных типов заданий в практике обучения.

По результатам анкетирования были выделены следующие наиболее часто задаваемые учителями группы заданий:

• репродуктивного типа;

• переключающие внимание учащихся;

• апеллирующие к эмоциям учащихся.

Результаты констатирующего эксперимента позволили определить цель и задачи исследования.

Результаты этого этапа эксперимента обозначили проблему поиска дидактических средств, создающих условия для развития творческого мышления на уроках математики. С этой целью был проведен теоретический анализ философской, педагогической, психологической литературы по теме исследования, который позволил выделить учебный вопрос как одно из средств, создающих условия для развития творческого мышления учащихся.

Целью второго этапа эксперимента поисковый этап, была разработка типологии учебных заданий, способствующих развитию творческого мышления учащихся 6-х классов, выявление психолого-педагогических и методических условий организации обучения учащихся 6-х классов средствами использования типологий заданий, апробировалась и корректировалась методическая система обучения с помощью заданий. Основное внимание на данном этапе исследования уделялось тем изменениям, которые вносит внедрение типологии заданий в результаты учебной деятельности и развитие качеств творческого мышления учащихся. Эти изменения прослеживались с использованием тех же заданий, которые были выделены на констатирующем эксперименте. Положительная динамика полученных данных (таблица 7) позволила сделать вывод, что предложенная методика преподавания с использованием специальной типологии заданий создает условия для развития творческого мышления учащихся.

Таблица 7

Умение увидеть проблему	Разнообразие идей, ассоциаций	Оригинальность идей, способов изложения	Эмоциональность изложения
60%	30%	45%	35%

Целью третьего этапа была проверка эффективности внедрения методики обучения математике с помощью типологии заданий, в основе которой заложены психо-дидактические характеристики заданий: их ориентация на уровневое понимание учебного материала, обогащение рефлексивного и эмоционально-оценочного опыта, обрабатывались, анализировались и обобщались результаты исследования, определялись перспективы дальнейшей работы. На данном этапе была разработана процедура оценивания результативности применения предложенной методики, а также интерпретированы полученные значения.

С целью диагностики уровня развития качеств творческого мышления (до экспериментального обучения и после экспериментального обучения), были использованы тесты творческого мышления П. Торренса.

Оценка выполнения этих тестов включает следующие показатели:

1) скорость, или беглость,-- количество ответов в каждом субтесте;

2) пластичность, или гибкость,-- степень разнообразия ответов, оцениваемая по количеству категорий в ответах;

3) оригинальность -- редкость, нетривиальность идей.

Фигурные тесты состоят из трех субтестов, на выполнение которых отводится 30 мин (по 10 мин на каждый).

Задание « Нарисуй картинку» -- тест, в котором испытуемый должен придумать оригинальную картину с использованием определенного элемента.

В инструкции подчеркивается необходимость придумать такой рисунок, который никто больше не сможет придумать (оригинальность. Художественный уровень исполнения рисунков во всех заданиях фигурных тестов не оценивается.

Задание «Незавершенные фигуры» Незаконченные фигуры вызывают стремление завершить их простейшим и легчайшим способом. Таким образом, чтобы создать оригинальный ответ, необходимо контролировать это стремление и тормозить его удовлетворение. Каждая законченная фигура (их всего 10) оценивается по оригинальности. Количество выполненных заданий определяет показатель беглости, а степень разнообразия ответов -- гибкость мышления.

Задание «Повторяющиеся фигуры» сходно с предыдущим. В задании «Повторяющиеся фигуры» стимулируются все характеристики творческого мышления. Беглость стимулируется инструкцией придумать как можно больше предметов и картинок, гибкость -- сделать их как можно более разнообразными, оригинальность -- попытаться придумать такие рисунки, которые никто не смог бы придумать.

Анализ полученных результатов показал, что в экспериментальных группах показатели творческого мышления достоверно увеличились после проведенного обучения. За этот период изменения аналогичных показателей у учащихся контрольной группы были незначительными.

Такой критерий развития творческого мышления, как «рефлексивность», определялся по количеству правильных ответов на вопросы, носящих рефлексивный характер.

На этапе формирующего эксперимента было важно определить желание обучающихся использовать свой творческий потенциал для решения творческих заданий. Для этого нами был введен критерий, который показывает желание индивида использовать свой творческий потенциал и назовем этот критерий творческой инициативой.

Каждому учащемуся было предложено на выбор пять заданий из 10- ти, представляющих для него интерес. Пять заданий носят репродуктивный характер, пять заданий носят творческий характер. К творческим отнесем задания, которые позволяют найти решение несколькими способами, требуют новых способов решения, отличных от ранее рассмотренных, предусматривают применение знаний в новых, нестандартных ситуациях.

Задания для учащихся 5-го класса:

1. Выполнить действия:

21 х 23+ 3(213 -52)=

2. Измени число или знак действий в числовом выражении так, чтобы его значение стало равно 0:

21 х 23 + 3(213 - 52)=

3. Скорость пешехода 6 км/ч, он прошел путь за 3 часа, а велосипедист проехал тот же путь за 1 час. Какова скорость велосипедиста?

4. Измени условие 3-ей задачи так, чтобы она имела абсурдный ответ.

Результаты:

Группы	Высокий	Средний	Низкий
5 ЭТ.	4,5%	9,1%	86,4%
5. К.Г.	4,7%	9,5%	85,8%

5. Сравни:

2 км 2 дм и 2 км 20 см 1час 10 минут и 110 минут

6. Вместо (*) поставить такие цифры, чтобы между выражениями можно было поставить знак равенства:

7(*) + (93 + 71): 4 = 36 * (*) + (97 + 7): 4.

7. Сторона квадрата равна 4. Найдите площадь прямоугольника, если его ширина равна сторона квадрата, а длина в 2 раза больше.

8. Прочти задачу №3. Какие вопросы к задаче ты бы еще мог задать?

9. Два автомобиля выехали одновременно на встречу друг другу из пункта А в пункт Б со скоростями 100 км/ч и 120 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пунктами 660 км.

10. Прочти условие задачи №9. Какое слово из задачи нужно исключить, чтобы решение ее стало неопределенным.

Анализ выполнения заданий на определение уровня сформированности операций «творческая инициатива» показал следующие

Кроме того, в конце 6-го класса проведена диагностическая рейтинговая контрольная работа. Способность и желание учащихся использовать свой творческий потенциал оценивались по критерию «творческая инициатива», который определялся по количеству выбранных и правильно выполненных заданий, носящих творческий характер. К творческим отнесем задания, которые позволяют найти решение несколькими способами, требуют новых способов решения, отличных от ранее рассмотренных, предусматривают применение знаний в новых, нестандартных ситуациях.

По результатам этой же рейтинговой контрольной работы мы сравниваем результаты успеваемости учащихся контрольных и экспериментальных классов.

В работе 19 задач, и у каждой задачи свой «вес» -- количество баллов, причитающихся за верное решение. Цель решающего -- набрать (за время, отведенное на контрольную работу) как можно больше баллов.

Время, отводимое на выполнение контрольной работы -- 60 мин.

Рейтинговая контрольная работа по теме «Делимость чисел» (учебник серии МПИ) [35, с.120].

Отец и сын решили измерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего прошли одновременно от одного дерева до другого. Длина шага отца -- 70 см, сына- 56 см. Найдите расстояние между этими деревьями, если известно, что следы совпали в точности

Простым или составным числом является сумма четырех последовательных натуральных чисел? Если сумма - число составное, то назовите хотя бы два его нетривиальных делителя5

Сравнение уровня выполнения заданий диагностической контрольной работы отображено в таблице 7.

Таблица 8

Участники эксперимента	Количество учащихся, получивших соответствующую отметку
	«5»	«4»	«3»	«2»	Всего
Контрольная группа	40	90	62	10	202
Экспериментальная группа	72	109	17	3	201 '

Для оценки значимости полученных результатов был использован статистический метод обработки данных К. Пирсона х^г (^{а =} 0,05).

В нашем случае выборки (контрольный и экспериментальный классы) и члены каждой выборки независимы, сумма-объемов (количество учащихся во всех классах) больше 20, значения в каждой ячейке таблицы больше 5. Таким образом, выполняются условия применения критерия%².

Эксперимент показал, что использование на уроках математики типологии учебных заданий, основанной на уровневом понимании учебного материала и психо дидактических характеристики заданий: их ориентации на обогащение понятийного, рефлексивного и эмоционально-оценочного опыта учащихся, позволяет создать условия для повышения качества математической подготовки учащихся, развивает их творческое мышление.

Эксперимент показал, что использование на уроках математики в 5 - 6-х классах типологии учебных заданий, основанной на уровневом понимании учебного материала и псих дидактических характеристики заданий: их ориентации на обогащение понятийного, рефлексивного и эмоционально-оценочного опыта учащихся, позволяет создать условия для повышения качества математической подготовки учащихся, развивает их творческое мышление.

2.4 Конспекты занятий

Конспект 1. «Признаки делимости на 3»

В рамках данной темы учителю необходимо ввести соответствующие признаки делимости, сформировать представление об универсальном способе получения признака делимости на произвольное число и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме.

Перед тем, как перейти к изучению признака делимости на 3, желательно повторить, какой общий способ получения признака делимости был использован ранее: находили первую разрядную единицу, которая делилась на данное число, и представляли число в виде суммы целого числа этих разрядных единиц и остатка. Теперь имеет смысл применить эту процедуру для обнаружения признака делимости на 3. Обоснование признака достаточно провести не в общем виде, а на конкретном числовом примере - на трехзначном или четырехзначном числе.