Синтез следящей системы

Синтез методом желаемой ЛАЧХ

Вывод по результатам синтеза

Библиографический список

Метод заключается в том, чтобы приблизить ЛАЧХ заданной системы к желаемой ЛАЧХ, удовлетворяющей требованиям по времени регулирования , перерегулированию , максимальному значению второй производной от выходного сигнала и установившейся ошибке. Приближение производится с помощью корректирующих фильтров.

Передаточная функция неизменяемой части разомкнутой системы имеет вид:

Определение коэффициента передачи. Коэффициент передачи регулятора определяется, исходя из заданной установившейся ошибки:

А условие гласит, что коэффициент передачи регулятора K должен быть больше 0 В нашем случае:

Так как по условию коэффициент передачи регулятора : K0

Примем :.

Тогда коэффициент передачи фильтра:

Коэффициент передачи скорректированной системы

Определение частоты среза скорректированной системы

Строим среднечастотную часть желаемой ЛАЧХ с наклоном -20дб/дек. Частота среза определяется из условия:

Здесь wcm - минимальная частота среза , определяемая по времени регулирования, wco - частота среза оптимальной системы.

Для определения wco используется равенство

в котором величины gm , g0 являются исходными данными для синтеза.

Минимальная частота среза по номограмме Солодовникова:

;

Условие не выполняется, следовательно дальнейшее использование номограмм замыкания теряет смысл.

Значение частоты среза скорректированной системы должно удовлетворять условию:

Построение желаемой ЛАЧХ

Низкочастотная часть проходит через точку (,) с наклоном .

Будем работать в логарифмическом масштабе по частоте , поэтому соответствуют частоты сопряжения асимптотических ЛАЧХ:

и

Для проверки правильности проведенного исследования, воспользуемся программным средством Matlab:

Скорректированная система

Передаточная функция скорректированной системы:

ЛАФЧХ скорректированной системы

Переходный процесс скорректированной системы

Фильтр

Передаточная функция фильтра:

Синтез модального управления объектом

Метод заключается в построении скорректированной системы путём задания корней характеристического уравнения. Эти корни выбираются, исходя из требований к системе: ко времени регулирования и к перерегулированию . Корректировка системы осуществляется с помощью обратных связей.

ЛАФЧХ фильтра

Назначение корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Время регулирования и перерегулирование связаны с косвенными оценками процессов в линейных системах - степенью устойчивость (модуль вещественной части корня характеристического уравнения, ближайшего к мнимой оси и степенью колебательности (, где , ) - следующими зависимостями:

, где для астатических систем,

Получаем следующие значения:

Таким образом, корни , характеристического уравнения должны удовлетворять зависимостям:

Для систем третьего порядка добавляется условие удалённости вещественного корня от пары комплексно-сопряжённых (разнос в 3-5 раз по вещественным частям)

Формирование закона управления, обеспечивающего желаемые значения корней характеристического уравнения.

В отсутствии возмущающего воздействия структурная схема системы имеет вид:

,

Математическое описание с помощью дифференциальных уравнений:

 (1)

В матричной форме математическое описание системы можно представить в виде:

, где - вектор переменных состояния.

, ,

Передаточная функция имеет вид:

.

Выбор переменных состояния системы не является единственно возможным. Можно заменить любым способом вектор на вектор , при этом

, где - неособая матрица. Тогда

, ,

Выберем их таким образом, чтобы матрица соответствовала исходной системе дифференциальных уравнений, записанной в нормальной форме Коши, т.е. чтобы матрица имела вид:

Для этого перейдём к дифференциальному уравнению, описывающему работу системы:

, где

Переменные состояния выберем следующим образом:

, , .

При выбранных переменных система дифференциальных уравнений примет вид:

при этом матричное уравнение системы принимает

вид:

, , .

Сформируем управление :

(2)

так, чтобы замкнутая система имела заранее заданные корни характеристического управления. Матричное уравнение замкнутой системы:

.

Рассмотрим матрицу

(3)

Определим желаемые корни по найденным условиям. Пусть , тогда . Характеристическое уравнение примет вид: (4)

Коэффициенты

а1=39180

а2 =4417 а3=108

Последняя строка матрицы (3), очевидно, определяет коэффициенты характеристического уравнения. Сравнив их с (4), получим выражения для

Перейдём к исходным переменным системы. Очевидно, что , .

Для нахождения зависимости для перепишем второе уравнение системы (1):

.

Преобразуем его к следующему виду, учитывая, что :

.

Подставим полученные зависимости для , в определяющее уравнение (2):

Сравнивая полученное уравнение в исходных переменных с уравнением в заменённых переменных, получаем окончательные выражения для коэффициентов , .

,

,

Реализуем полученную схему при помощи системы MATLAB и проверим характеристики качества и быстродействия.

Схема системы, скорректированной методом модального управления.

Выходной сигнал скорректированной системы

tрег=0.48c

Графики входного и выходного сигнала исходной системы

Перерегулирование

Время регулирования

Установившаяся ошибка

График выходного сигнала скорректированной системы

График выходного сигнала

График сигнала ошибки:

График изменения 2-й производной

Вывод по результатам синтеза

Максимальное значение второй производной - ,

Максимальное значение выходного сигнала - ,

Перерегулирование ,

Время регулирования ,

Установившееся значение ошибки (от),

Запасы: по амплитуде - , по фазе - .

Таким образом следящая система удовлетворяет соотношению %<20% и имеет сравнительно малое время регулирования , т.е. система удовлетворяет заданным требованиям.

Библиографический список