Синтез оптимальной САУ

Размещено на http://allbest.ru

ВВЕДЕНИЕ

Современные автоматизированные системы управления техническими процессами требуют значительного количества и разнообразия средств измерений, обеспечивающих выработку сигналов измерительной информации в форме, удобной для дистанционной передачи, сбора, дальнейшего преобразования, обработки и передачи.

В настоящее время существует большое число различных по своему назначению систем автоматического регулирования. Одни из них поддерживают заданную температуру, давление, расход жидкости или газов в объектах регулирования, другие изменяют эти параметры по различным законам.

Автоматизация - это применение комплекса средств, позволяющих осуществлять производственные процессы без непосредственного участия человека, но под его контролем. Автоматизация производственных процессов приводит к увеличению выпуска, снижению себестоимости и улучшению качества продукции и тд.

Автоматизация агрегатов включает в себя автоматическое регулирование, дистанционное управление, технологическую защиту, теплотехнический контроль, технологические блокировки и сигнализацию.

В качестве регуляторов в подавляющем большинстве систем используются так называемые типовые промышленные регуляторы П-, ПИ- и ПИД-законы регулирования. Широкий диапазон изменения настроечных параметров типовых регуляторов позволяет использовать их для управления процессами с различной инерционностью, обеспечивает их взаимозаменяемость, удобство в эксплуатации и, в конечном счете, надежность систем управления.

1. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ ОБЪЕКТА ПО ТАБЛИЧНЫМ ДАННЫМ

Переходной кривой называется реакция звена на единичное скачкообразное воздействие при нулевых начальных условиях. В реальности амплитуда входного сигнала может быть отлична от единицы, в этом случае переходную кривую называют кривой разгона.

В таблице 1 показаны исходные данные для построения кривой разгона.

Таблица 1 - Данные для построения кривой разгона

tmin	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0,00	0,10	1,30	2,75	3,90	4,90	5,70	6,30	6,70	7,20	7,50	7,70	7,85	7,95		8,00	8,00

Также имеются следующие данные:

- ?X_вх = 0,25 кг/см²- амплитуда входного сигнала;

- ?Х_вых = 8 °С - диапазон изменения выходного сигнала;

- ф_зап = 1 мин - запаздывание;

- ?Т_шк = 100°С - диапазон шкалы.

Так как выходной сигнал имеет конечное установившееся значение, то есть система приходит к статическому режиму, в котором скорости изменения входного и выходного сигналов равны нулю, то можно говорить о том, что объект с самовыравниванием.

На рисунке 1 изображены исходные данные и результаты, выполненные в программном продукте ТАУ2.



Рисунок 1 - Исходные данные и результаты

На рисунке 2 изображена кривая разгона, построенная в программном продукте ТАУ2.

Рисунок 2 - Кривая разгона с запаздыванием

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТА МЕТОДОМ СИМОЮ М.П.

Математической моделью называется система математических соотношений (уравнений), устанавливающих связь между входными и выходными сигналами объекта.

В данном случае общий вид модели будет следующий:

, (1)

где - нормированная передаточная функция;

K - коэффициент усиления;

ф - время запаздывания (0,15 мин).

Найдем коэффициент усиления:

. (2)

Нормированной передаточной функции соответствует нормированная переходная характеристика , которая определяется как отношение текущего значения выходного сигнала к его установившемуся значению:

. (3)

Для определения коэффициентов и нормированной передаточной функции используется метод «площадей» Симою:

, (4)

где S_i - «площади» Симою, вычисляемые по переходной кривой.

При известных «площадях» Симою, задаваясь определённой структурой модели можно определить её параметры (коэффициенты). «Площади» Симою определяются с помощью вспомогательной ц(t) функции:

. (5)

В таблице 2 рассчитаны значения вспомогательной функции.

Таблица 2 - Рассчитанные значения вспомогательной функции

t, min	Y(t)	()	()
0	0	0	1
1	1,3	0,0125	0,9875
2	2,75	0,1625	0,8375
3	3,9	0,34375	0,65625
4	4,9	0,4875	0,5125
5	5,7	0,6125	0,3875
6	6,3	0,7125	0,2875
7	6,7	0,7875	0,2125
8	7,2	0,8375	0,1625
9	7,5	0,9	0,1
10	7,7	0,9375	0,0625
11	7,85	0,9625	0,0375
12	7,95	0,98125	0,01875
13	8	1	0

По рассчитанным значениям построим график вспомогательной функции (рисунок 3).



Рисунок 3 - График вспомогательной функции

Методом трапеций определяется площадь под кривой вспомогательной функции:

S1=1*(1+0,9875+0,8375+0,65625+0,5125+0,3875+0,2875+0,2125+0,1625++0,01+0,0625+0,0375+0,01875+0,00625+0,5)=5,67875

где t = 1 мин - шаг по времени.

Рассчитав по формуле , получили S1 = 5,67875.

Расчет каждой площади произведем в программном продукте ТАУ2 (рисунок 4).



Рисунок 3- Результаты расчета

3. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Как видно из рисунка 4 переходная кривая первой модели объекта наиболее точно совпадает с переходной кривой объекта.

Рисунок 4- Сравнение переходных кривых

Произведём расчёт переходной кривой по передаточной функции методом обратного преобразования Лапласа для модели объекта 1:

Для передаточной функции 5 произведём замену s=jщ, получим:

(6)

Преобразуем показательную функцию e^jщф по формуле Эйлера и получим следующее выражение:

(7)

Запишем выражение для действительной части:

(8)

Вычисляем Re(щ) для нескольких значений частоты щ. Полученные результаты запишем в таблицу 3.

Таблица 3 - Значения Re(щ) и щ

щ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
Re(щ)	18,32946	4,536234	1,981749	1,087459	0,673283	0,448029	0,311919
щ	0,8	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4
Re(щ)	0,223268	0,162156	0,118086	0,085094	0,059583	0,039274	0,022657
щ	1,5
Re(щ)	0,008695

Строим график вещественной частотной характеристики по таблице 3 (рисунок 5), заменяем кривую Re(щ) на трапеции.

Рисунок 5 - График вещественной частотной характеристики

Заменим область под кривой Re(щ) трапециями.



Рисунок 6 - График вещественной частотной характеристики с трапециями

Рисунок 7 - График трапеций

В результате замены кривойRe(щ) получаем 4 трапеции (рисунок 6), параметры которых сведены в таблицу 4. Построим 4 трапеции на отдельной вещественной частотной плоскости (рисунок 7).

Таблица 4 - Параметры трапеций

№ трапеции	r0	щ0	щ1	ч = щ0/ щ1
1	18,5	0,1	0,2	0,5
2	4,5	0,1	0,3	0,33
3	2	0,1	0,4	0,25
4	1	0,1	0,8	0,125

Также произвели расчет переходных процессов по методу Лапласа произведем в программе «ТАУ 2», результат расчёта представлен на рисунке8.



Рисунок 8 - Расчёт моделей передаточной функции №1

Для дальнейших расчетов определяются переходные процессы, которые соответствуют каждой из построенных трапеций. Для каждой из трапеций определяются соответствующие функции с помощью таблицы.

4. ПОСТРОЕНИЕ АФХ РАБОЧЕЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

В данном задании используем полученную передаточную функцию 1.

После замены в передаточной функции s=jщ и некоторых упрощениях и преобразованиях запишем действительную и мнимую части:

(9)

. (10)

При подстановке щ = 0,2 получим одну точку АФХ (Re = 2,8; Im = -4,6).

На рисунке 9 показана АФХ рабочей модели объекта, построенная в программе ТАУ2.

Рисунок 9 - АФХ рабочей модели объекта

На рисунке 11 приведены результаты расчета.

Рисунок 11 - Результаты расчета

5. ВЫБОР ЗАКОНА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Дальнейшие расчеты будем вести для двух автоматических регуляторов: ПИ и ПИД, так как они наиболее полно отвечают основным требованиям регулирования: малому значению начального перерегулирования; малому значению статической ошибки регулирования.

Выходная величина пропорционально - интегрального регулятораизменяется под действием пропорциональной и интегральной составляющих. Уравнение динамики ПИ-регулятора имеет вид:

	(10)

Пропорционально - интегральный закон позволяет изменять как величину, так и скорость перемещения регулирующего органа пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения. ПИ-регулятор, включая в себя пропорциональный и интегральный законы регулирования, очень часто может обеспечивать высокое качество регулирования, исключающее статическую и уменьшающее динамическую ошибки системы. В ряде случаев качество регулирования можно повысить введением в закон регулирования составляющей, пропорциональной первой производной или скорости изменения входной величины регулятора. Эта дифференцирующая составляющая (Д-составляющая) формируется при помощи дополнительного устройства.

Уравнения динамики ПИД-регулятора имеют вид:

,	(11)

где k_р - коэффициент усиления регулятора;

Т_и- время интегрирования;

Т_д- время дифференцирования.

Воздействие входной величины этих регуляторов на выходнуювеличину повышается с увеличением коэффициента усиления, уменьшением времени интегрирования Т_и и увеличением времени дифференцирования Т_д.

При наличии Д - составляющей выходная величина регулятора х изменяется с некоторым опережением относительно входной величины, пропорциональным скорости ее изменения dy/dt.

При наличии в законе регулирования Д - составляющей регулятор реагирует и на изменения скорости входной величины, т. е. на интенсивность ее изменения; такой регулятор вступает в работу быстрее, чем П - регулятор. Введение в закон регулирования воздействия по производной приводит к усилению влияния регулятора на переходный процесс, при этом сокращается время переходного процесса и уменьшаются колебания регулируемой величины.

Время дифференцирования Т_д - это отрезок времени, на который выходная величина регулятора опережает его пропорциональную составляющую при изменении входной величины с постоянной скоростью и при условии, что коэффициент передачи регулятора k_р равен единице.

6. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПЛОСКОСТИ НАСТРОЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ

Кривая Д-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива.

Произведём расчёт одной точки кривой Д-разбиения для ПИ-регулятора. Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид:

(12)

Получим из передаточной функции ПИ-регулятора следующее уравнение:

(13)

Рассчитаем К₁, К₀ по формулам:

(14)

(15)

где

Запишем выражения для действительной и мнимой части полученные в пункте 4:

(16)

. (17)

При подстановке щ = 0,2 получим одну точку АФХ (Re = 2,8; Im = -4,6).

Рассчитываем значения кривой Д-разбиения по формулам 16 и 17 в точке соответствующей частоте щ = 0,2:

Далее произведём расчёты кривых Д-разбиения ПИ и ПИД регуляторов в программе «ТАУ2». Настроечные параметры ПИ- и ПИД- регуляторов представлены на рисунках 12 и 14, а кривые Д-разбиения на рисунках13 и 15.

Полученные результаты при расчёте одной точки кривой Д-разбиения в ручную отличаются незначительно от результатов полученных при расчёте в программе «ТАУ2».

Рисунок 12 - Параметры настройки ПИ-регулятора



Рисунок 13 - Кривая D-разбиения ПИ-регулятора

Рисунок 14 - Параметры настройки ПИД-регулятора

Рисунок 15 - Кривая D-разбиения ПИД-регулятора при б=0,1

7. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЕК КРИВОЙ РАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ

Показатель колебательности М определяется как относительный максимум амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы по задающему воздействию.

Расчет и построение в плоскости параметров настроек кривой равного значения осуществляется для показателя колебательности m_зад = 0,221.

Рассчитаем кривые и параметры настроек для ПИ- и ПИД- регуляторов в программе «ТАУ2». Результаты параметров настройки ПИ- и ПИД- регуляторов представлены на рисунках 16 и 17.

Рисунок 16 - Параметры настройки ПИ-регулятора при m_зад = 0,221

Рисунок 17 - Параметры настройки ПИД-регулятора при б=0,35



Рисунок 18 - Кривая D-разбиения ПИ-регулятора

Рисунок 19 - Кривая D-разбиения ПИД-регулятора приб=0,35

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРА

Положение оптимальной (рабочей) точки, как в случае ПИ, так и в случае ПИД-регулятора существенно зависит от степени неопределенности задачи. Известно возмущение и передаточная функция объекта по каналу возмущения. В нашем случае скачкообразное возмущение приложено со стороны регулирующего органа, а передаточная функция рассчитывается по переходной кривой. В этом случае рабочая точка лежит несколько правее максимума граничной кривой и определяется формулами:

; (18)

. (19)

Найдем оптимальные параметры регуляторов.

Для ПИ-регулятора:

;

К₀ = 0,29;

К₁ = 0,53.

Для ПИД-регулятора:

;

К₀ = 0,92;

К₁ = 1,04;

К₂ = 0,42.

9. ПОСТРОЕНИЕ АФХ РАЗОМКНУТОЙ АСР И АЧХ ЗАМКНУТОЙ ПО ЗАДАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРА

Передаточные функции разомкнутых систем для ПИ- и ПИД-регуляторов выглядят следующим образом:

- ПИ-регулятор:

; (20)

. (21)

Вычислим:

.

- ПИД-регулятор:

; (22)

. (23)

Вычислим:

Для расчёта АФХ в передаточную функцию разомкнутой системы сделаем подстановку s=j:

- ПИ-регулятор:

;

.

При подстановке

Re = -0,82;

Im = -0,22.

Сравним полученную точку, рассчитанную вручную с точкой, полученной в программном продукте ТАУ2 (рисунок 20).

Рисунок 20 - Результаты расчета



Рисунок 21 - График АФХ разомкнутой системы для ПИ-регулятора

Произведем расчет АФХ для ПИД-регулятора в программе ТАУ2.

Рисунок 22 - График АФХ разомкнутой системы для ПИД-регулятора

Рисунок 23 - Результаты расчета

Рассчитаем и построим АЧХ замкнутой системы по задающему воздействию в программном продукте ТАУ2.



Рисунок 24 - АЧХ замкнутой системы по заданию для ПИ-регулятора

Рисунок 25 - АЧХ замкнутой системы по заданию для ПИД-регулятора

10. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ КРИВЫХ В ЗАМКНУТОЙ АСР ПО ЗАДАЮЩЕМУ И ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ МЕТОДОМ АКУЛЬШИНА

В системах содержащих запаздываниедля расчета переходных процессов в замкнутых АСР, целесообразно применять частотные методы, не требующие вычисления корней характеристического полинома.Одним из таких методов является метод Акульшина

Частотный метод Акульшина основан на том, что на вход АСР подаётся прямоугольная волна. Период выбирается так Т, чтоT/2 ?T_зад, то есть к моменту времени t=0 процесс установится, и начальные условия можно считать нулевыми. Прямоугольная волна раскладывается в ряд, значит, на выходе системы также получаем сигнал, состоящий из нескольких гармоник (по принципу суперпозиции).

Для расчёта переходных кривых методом Акульшина используем следующую формулу:

(24)

Определяем частоту щ₀ входного сигнала по формуле:

(25)

Резонансную частоту АЧХ щ_p находим по рисунку 24.

Вычисляем частоту щ₀ входного сигнала по формуле25:

Для построения переходного процесса возьмём следующие параметры: N = 12; x₀ = 1; щ₀ = 0,1; А(0) = К = 1,6 - коэффициент усиления.

Амплитуду A(kщ₀) и фазу f(kщ₀t) выбираем по рисункам 24 и 25.

Рассчитаем две точки переходной кривой для ПИ-регулятора методом Акульшина, используя формулу 24.

Рассчитаем точку для t = 1:



Рассчитаем точку для t = 2:

В результате расчётов методом Акульшина получили две точки переходной кривой для ПИ-регулятора: y(1) = 0,993 и y(2) = 1,4.

Произведём расчёты переходных кривых в замкнутой АСР по управлению и по ошибки в программе «ТАУ 2».

Рисунок 26 - Переходная кривая для ПИ-регулятора



Рисунок 27 - Переходный процесс для ПИ-регулятора по ошибке

Рисунок 28 - Переходный процесс для ПИ-регулятора по управлению

Рисунок 29 - Переходная кривая для ПИД-регулятора

Рисунок 30 - Переходный процесс для ПИД-регулятора по управлению



Рисунок 31 - Переходный процесс для ПИД-регулятора по ошибке

11. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ. ВЫБОР НАИЛУЧШЕГО ЗАКОНА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Прямые показатели качества определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе управления при ступенчатом внешнем воздействии.К прямым показателям качества относятся следующие показатели: величина перерегулирования, время регулирования, степень затухания, статическая ошибка.

Рассчитаем с помощью программы «ТАУ 2» для ПИ и ПИД регуляторов прямые показатели качества, результаты представлены на рисунках 32 и 33.

Рисунок 32 - Прямые показатели качества для ПИ-регулятора

Рисунок33 - Прямые показатели качества для ПИД-регулятора

Анализируя полученные прямые показатели качества для ПИ и ПИД регуляторов, можно сделать вывод, что наилучшее регулирование осуществляется в системе с ПИД-регулятором. Поэтому для рассчитанной АСР выбираем ПИД-закон регулирования.

12. ВЫБОР ТИПА ПРОМЫШЛЕННОГО РЕГУЛЯТОРА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЕГО НАСТРОЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Найдём истинные настройки регулятора. Для этого необходимо учесть коэффициенты усиления датчика и клапана:

; (26)

; (27)

; (28)

. (29)

К_кл = 1, К_д = 0,7 (кПа/°C).

Произведем расчет настроек ПИД-регулятора:

;

;

.

Для нашей АСР выбираем ПИД-регулятор с передаточной функцией следующего вида:

 . (30)

Найдем значения параметров настройки:

-предел пропорциональности:

; (31)

= 0,79;

- время изодрома:

; (32)

Т_и = 0,7;

- постоянная времени дифференцирования:

; (33)

Т_д = 0,29.

Таким образом, передаточная функция регулятора примет вид:

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

автоматический управление цифровой регулятор

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы -- это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того, развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Г.К. Аязян «Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами регулирования» Уфа: УНИ, 2011г.-135с.

2 Г.К. Аязян «Исследование линейной системы по корневым критериям качества». Методическое руководство. Уфа: УНИ, 2012г. - 23с.

3 Г.К. Аязян. «Расчет настроечных параметров типовых регуляторов одноконтурных автоматических систем регулирования». Методическое руководство по курсовому и дипломному проектированию. Уфа: УНИ, 2011г. - 25с.

4 Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. “Элементы автоматики” . М. Машиностроение, 2010.

5 Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 -- автоматика и управление в технических системах. Часть I. -- Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 2011.

Размещено на Allbest.ru