Синтез регуляторов в системе автоматического регулирования методом расширенных частотных характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

“Тверской государственный технический университет”

Лабораторная работа №3

по дисциплине: “Автоматизация технологических процессов и производств”

на тему: “ Синтез регуляторов в САР методом расширенных частотных характеристик”

Выполнил: Мякатин И.Д.

Принял: Марголис Б.И.

Тверь 2016



Цель работы: Ознакомиться с методом расширенных частотных характеристик (РЧХ) и реализовать программу в среде MatLab, которая по заданной передаточной функции объекта управления и параметрах качества переходного процесса замкнутой САР рассчитает параметры настройки регулятора, исходя из типа регулирующего устройства.

Метод расширенных частотных характеристик

Метод расширенных частотных характеристик разработан Е.Г.Дудниковым для расчета настроек регуляторов САР с типовыми линейными законами регулирования.

Требования к показателям качества противоречивы. Например, уменьшение динамической ошибки достигается за счет увеличения колебательности и длительности переходных процессов. Наоборот, процессы с малым временем регулирования удается получить за счет увеличения динамической ошибки. Поэтому относительно желаемых значений показателей качества в замкнутой САР приходится принимать компромиссное решение. Если ставится задача выбора настроек регулятора, минимизирующих какой-либо показатель качества, то соответствующий переходный процесс, а также значения настроек регулятора называются оптимальными в смысле указанного критерия.

Расширенными частотными характеристиками называются выражения для передаточной функции, в которых переменная заменяется уравнением границы заданной колебательности. Для получения РЧХ следует заменить переменную в передаточной функции уравнением границы заданной колебательности:

.



Обычные частотные характеристики используются для исследования устойчивости САР с помощью критерия Найквиста. Этот критерий можно сформулировать для РЧХ, что позволяет исследовать САР на заданную колебательность переходного процесса. Для достижения заданной степени колебательности замкнутой системы необходимо, чтобы расширенная АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от до проходила через точку с координатами . С помощью критерия Найквиста для РЧХ может быть построена линия равного затухания (ЛРЗ) системы, по которой определяются оптимальные настройки регулятора.

Линией равного затухания называется геометрическое место точек в плоскости настроечных параметров регулятора, для которых величина степени колебательности постоянна.

Для получения уравнения ЛРЗ необходимо записать условие нахождения системы на границе заданной колебательности. Согласно критерию Найквиста, для РЧХ условием заданной колебательности в замкнутой САР является прохождение расширенной АФХ разомкнутой системы через точку , то есть

.

Если обозначить расширенные характеристики объекта и регулятора через и , то условие принимает вид

,

поэтому

.



Находя значения расширенной частотной передаточной функции объекта и подставляя их в формулу, получим значения расширенной частотной характеристики регулятора . Пусть действительная часть РЧХ регулятора , а мнимая часть , тогда

.

Подставляя в выражения для РЧХ объекта регулирования и регулятора и разрешая систему относительно настроечных параметров регулятора, можно получить уравнение ЛРЗ в параметрическом виде, где параметром является частота .

Запишем РЧХ ПИД-регулятора как

.

Избавимся от комплексности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель слагаемого с коэффициентом на :

.

В соответствии с формулой приравняем действительные части выражения к , а мнимые, соответственно, к :



Выражая из второго уравнения величину:

и подставляя её в первое уравнение, получим

.

В итоге из получаем уравнения ЛРЗ для системы с ПИД-регулятором в виде

Листинг программы

clc

clear

close all

syms w real

regtype=input('Выберите регулятор (1-ПИ, 2-ПД, 3-ПИД): ')

m=0.5;

tzad=10;

sig=20;

wt=0.5;

wsig=1-wt;

W=tf(2,[1 3 2]);

[num,den]=tfdata(W,'V');

chisl=poly2sym(num,(1i-m)*w);

znam=poly2sym(den,(1i-m)*w);

Wreg=-(znam/chisl);

x=(0:0.1:10);

Re=subs(real(Wreg),w,x);

Im=subs(imag(Wreg),w,x);

switch regtype

case 1

k1=Re-Im*m;

k0=-Im.*x*(m*m+1);

y=0;

for i=1:length(k1)

if k1(i)>0 && k0(i)>0

y=y+1;

k_1(y)=k1(i);

k_0(y)=k0(i);

Wpi(y)=tf([k1(i) k0(i)],[1 0]);

Wzam(y)=feedback(W*Wpi(y),1,-1);

[u,t]=step(Wzam(y));

sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;

tpp(y)=t(end);

I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;

plot(t,u)

hold on;

grid on;

end

end

I

[Iopt,nopt]=min(I);

disp('ПФ оптимального регулятора')

optreg=Wpi(nopt)

disp('ПФ оптимальной замкнутой')

Wzam(nopt)

[y1,t1]=step(Wzam(nopt));

plot(t1,y1,'r')

xlabel('t');ylabel('y(t)');

hold on

figure

plot(k_1,k_0,'.')

title('Линия равного затухания')

label('k1');ylabel('k0');

hold on;

grid on;

plot(k_1(nopt),k_0(nopt),'r*')

case 2

k1=Re+(Im*m);

k2=Im./x;

y=0;

for i=1:length(k1)

if k1(i)>0 && k2(i)>0

y=y+1;

k_2(y)=k2(i);

k_1(y)=k1(i);

Wpd(y)=tf([k2(i) k1(i)],1);

Wzam(y)=feedback(W*Wpd(y),1,-1);

[u,t]=step(Wzam(y));

sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;

tpp(y)=t(end);

I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;

plot(t,u)

hold on;

grid on;

end

end

I

[Iopt,nopt]=min(I);

disp('ПФ оптимального регулятора')

optreg=Wpd(nopt)

disp('ПФ оптимальной замкнутой')

Wzam(nopt)

[y1,t1]=step(Wzam(nopt));

plot(t1,y1,'r')

xlabel('t'); ylabel('y(t)');

hold on

figure

plot(k_2,k_1,'.')

title('Линия равного затухания')

xlabel('k2'); ylabel('k1');

hold on;

grid on;

plot(k_2(nopt),k_1(nopt),'r*')

case 3

k2=[0.2 0.5 1 1.2 1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

n=length(k2);

for j=1:n

k1=Re-m*Im+2*x.*k2(j)*m;

k0=(m^2+1)*x.*(k2(j)*x-Im);

y=0;

for i=1:length(k1)

if k1(i)>0 && k0(i)>0 && (k2(j)*k0(i)/k1(i)^2<0.25)

y=y+1;

k_1(y)=k1(i);

k_0(y)=k0(i);

Wpid(y)=tf([k2(j) k1(i) k0(i)],[1 0]);

Wzam(y)=feedback(W*Wpid(y),1,-1);

[u,t]=step(Wzam(y));

sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;

tpp(y)=t(end);

figure(j)

plot(t,u)

hold on;

grid on;

I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;

end

if (isempty(I)==true)

break;

else

I

[Iopt,nopt]=min(I);

optreg(j)=Wpid(nopt);

Iop(j)=Iopt;

figure(j)

[y1,t1]=step(Wzam(nopt));

plot(t1,y1,'r')

xlabel('t'); ylabel('y(t)');

hold on

figure(n+1)

plot(k_1,k_0,'.')

title('Линия равного затухания')

xlabel('k1'); ylabel('k0');

hold on;

grid on;

plot(k_1(nopt),k_0(nopt),'r*')

figure(n+2)

[y1,t1]=step(Wzam(nopt));

plot(t1,y1)

grid on

hold on

end;

I=[];

end

Iop

[Iopt1,nopt1]=min(Iop)

disp('ПФ оптимального регулятора')

optreg(nopt1)

disp('ПФ оптимальной замкнутой')

Wzam_opt=feedback(W*optreg(nopt1),1,-1)

[y1,t1]=step(Wzam_opt);

plot(t1,y1,'r')

xlabel('t'); ylabel('y(t)');

end

disp('Перерегулирование(%): ')

perereg=((max(y1)-y1(end))/max(y1))*100

disp('Время переходного процесса(с): ')

tpp=t1(end)



Полученные результаты:

1) ПИ-регулятор

regtype = 1

I = Columns 1 through 4

0.4235 0.1900 0.1162 0.1223

Columns 5 through 8

0.1552 0.1817 0.2029 0.2225

Columns 9 through 12

0.2418 0.2619 0.2822 0.3042

Columns 13 through 16

0.3284 0.3554 0.3364 0.3303

Columns 17 through 20

0.3703 0.4112 0.7729 0.3948

Columns 21 through 23

0.3207 0.7515 1.7458

ПФ оптимального регулятора

Transfer function:

0.4513 s + 1.063

ПФ оптимальной замкнутой

Transfer function:

0.9025 s + 2.126

s3 + 3 s^2 + 2.902 s + 2.126

Перерегулирование(%):

perereg = 16.0754

Время переходного процесса(с):

tpp = 10.3612



2) ПД-регулятор

regtype = 2

I = Columns 1 through 4

0.4387 0.4439 0.4471 0.4493

Columns 5 through 8

0.4514 0.4534 0.4553 0.4571

Columns 9 through 12

0.4589 0.4606 0.4622 0.4637

Columns 13 through 16

0.4639 0.4638 0.4638 0.4637

Columns 17 through 20

0.4637 0.4637 0.4637 0.4638

Columns 21 through 24

0.4638 0.4638 0.4639 0.4639

Columns 25 through 28

0.4640 0.4641 0.4641 0.4642

Columns 29 through 32

0.4643 0.4062 0.4069 0.4068

Columns 33 through 36

0.4067 0.4067 0.4066 0.4066

Columns 37 through 40

0.4065 0.4065 0.4064 0.4064

Columns 41 through 44

0.4064 0.4064 0.4063 0.4063

Columns 45 through 48

0.4072 0.4096 0.4120 0.4144

Columns 49 through 52

0.4167 0.4189 0.4210 0.4231

Columns 53 through 56

0.4252 0.4272 0.4292 0.4311

Columns 57 through 60

0.4329 0.4348 0.4365 0.4383

Columns 61 through 64

0.4400 0.4417 0.4433 0.4449

Columns 65 through 68

0.4464 0.4480 0.4494 0.4509

Columns 69 through 70

0.4523 0.4537

ПФ оптимального регулятора

Transfer function:

1.5 s + 21.5

ПФ оптимальной замкнутой

Transfer function:

3 s + 43

s2 + 6 s + 45

Перерегулирование(%):

perereg = 19.0903

Время переходного процесса(с):

tpp = 2.3313

частотный синтез регулятор автоматический



3) ПИД-регулятор

regtype = 3

I = Columns 1 through 4

0.2296 0.2436 0.2557 0.2669

Columns 5 through 8

0.2779 0.2894 0.3018 0.3156

Columns 9 through 12

0.3312 0.3488 0.3593 0.3902

Columns 13 through 16

0.4153 0.4390 0.4630 0.4184

Columns 17 through 20

0.3228 0.3459 0.2919 0.6107

Column 21

1.5231

I = Columns 1 through 3

0.3043 0.3083 0.3125

Columns 4 through 6

0.3174 0.3231 0.3299

Columns 7 through 9

0.3379 0.3473 0.3582

Columns 10 through 12

0.3618 0.3408 0.4012

Columns 13 through 15

0.4165 0.4330 0.4504

Columns 16 through 18

0.4675 0.4834 0.3270

Columns 19 through 21

0.3904 0.5271 0.6531

Column 22

2.1692

I = Columns 1 through 3

0.2417 0.2562 0.2688

Columns 4 through 6

0.2795 0.2885 0.2956

Columns 7 through 9

0.3010 0.2885 0.3480

Columns 10 through 12

0.2924 0.2972 0.3101

Columns 13 through 15

0.3390 0.4291 0.4397

Columns 16 through 18

0.4533 0.4633 0.4723

Columns 19 through 21

0.4798 0.2616 0.3370

Columns 22 through 23

0.1391 0.6175

I = Columns 1 through 3

0.2788 0.2895 0.2992

Columns 4 through 6

0.3086 0.3166 0.3232

Columns 7 through 9

0.3283 0.3531 0.3740

Columns 10 through 12

0.3181 0.3159 0.3149

Columns 13 through 15

0.3355 0.3469 0.3589

Columns 16 through 18

0.4414 0.4534 0.4630

Columns 19 through 21

0.4705 0.4768 0.2126

Columns 22 through 24

0.3131 0.2334 0.8491

Column 25

0.4639

I = Columns 1 through 3

0.3205 0.3298 0.3379

Columns 4 through 6

0.3448 0.3505 0.3550

Columns 7 through 9

0.3585 0.3625 0.3656

Columns 10 through 12

0.3579 0.3517 0.3521

Columns 13 through 15

0.3515 0.3664 0.3637

Columns 16 through 18

0.3603 0.3641 0.3742

Columns 19 through 21

0.4464 0.4557 0.4628

Columns 22 through 24

0.4688 0.0939 0.2680

Columns 25 through 26

0.9487 0.3182

I = Columns 1 through 3

0.3801 0.3867 0.3925

Columns 4 through 6

0.3974 0.4016 0.4009

Columns 7 through 9

0.4240 0.4095 0.4107

Columns 10 through 12

0.4112 0.4110 0.4101

Columns 13 through 15

0.4093 0.4085 0.4072

Columns 16 through 18

0.4052 0.4026 0.3996

Columns 19 through 21

0.3961 0.3924 0.3885

Columns 22 through 24

0.4468 0.4530 0.4576

Columns 25 through 27

0.4612 0.1465 0.1987

Column 28

1.0612

I = Columns 1 through 3

0.4785 0.4544 0.4568

Columns 4 through 6

0.4588 0.4831 0.4743

Columns 7 through 9

0.4956 0.4636 0.4880

Columns 10 through 12

0.4870 0.4705 0.4708

Columns 13 through 15

0.4706 0.4700 0.4691

Columns 16 through 18

0.4677 0.4660 0.4640

Columns 19 through 21

0.4617 0.4590 0.4560

Columns 22 through 24

0.4528 0.4495 0.4459

Columns 25 through 27

0.4430 0.4404 0.4378

Columns 28 through 30

0.4355 0.4336 0.4227

Columns 31 through 33

0.4222 0.4230 0.4253

I = Columns 1 through 3

0.5167 0.5188 0.5206

Columns 4 through 6

0.5192 0.5122 0.5270

Columns 7 through 9

0.5286 0.4988 0.5253

Columns 10 through 12

0.5216 0.5221 0.5224

Columns 13 through 15

0.5224 0.5222 0.5059

Columns 16 through 18

0.5058 0.5054 0.5048

Columns 19 through 21

0.5039 0.5028 0.5014

Columns 22 through 24

0.4998 0.4980 0.4960

Columns 25 through 27

0.4938 0.4914 0.4889

Columns 28 through 30

0.4862 0.4835 0.4807

I = Columns 1 through 3

0.5435 0.5435 0.5384

Columns 4 through 6 0.5383 0.5506 0.5497

Columns 7 through 9

0.5272 0.5504 0.5465

Columns 10 through 12

0.5442 0.5449 0.5454

Columns 13 through 15

0.5457 0.5458 0.5457

Iop = Columns 1 through 3

0.2296 0.3043 0.1391

Columns 4 through 6

0.2126 0.0939 0.1465

Columns 7 through 9

0.4222 0.4807 0.5272

Iopt1 = 0.0939

nopt1 = 5

ПФ оптимального регулятора

Transfer function:

1.5 s2 + 19.72 s + 7.84

ПФ оптимальной замкнутой

Transfer function:

3 s2 + 39.44 s + 15.68

s3 + 6 s2 + 41.44 s + 15.68

Перерегулирование(%):

perereg = 17.4782

Время переходного процесса(с):

tpp = 9.3831



Графики П.П. для значений k2=[0.2 0.5 1 1.2 1.5 2 3 4 5]:

K2=0.2



K2=0.5

K2=1



K2=1.2

K2=1.5



K2=2

K2=3



K2=4

K2=5



Графики оптимальных П.П. при соответствующих значениях K2:



Список литературы

1. Конспекты лекций по курсу “АТПП”

2. Марголис, Б.И. Компьютерные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования в среде Matlab / Б.И.Марголис. - Учеб. Пособие для вузов. - Тверь: изд-во ТвГТУ, 2015.-92 с.

Размещено на Allbest.ru