Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

1

Министерство Образования Украины

Кафедра электротехники

Курсовая работа

по курсу “Теория электрических и электронных цепей”

на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”

Вариант № 12

Содержание курсовой работы

1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R₄=R₃ ), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Е_m.

2. Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определить по следующим формулам:

t_nn= или t_nn=

где ?_min - наименьший из двух вещественных корней;

? - вещественна часть комплексного корня.

3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.

4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону

e(t)=E_msin(?t +?).

Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.

Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.

5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U_0, U_1, U_2, U_3. Принимая значение времени: t₁=? , t₂=1,5? , t₃=2? , t₄= 2,5? .

Здесь ? - постоянная времени рассматриваемой цепи.

Таблица 1:

Номер варианта	Номер схемы	Параметры источника	Параметры цепи	Параметры источника для интеграла Дюамеля	Номер схемы по рисунку 2	Исследуемая величина ?(t)
		Напряжение U, В	Частота ?, Гц	Нач. фаза ?,град.	R1 Ом	R2 Ом	R3 Ом	L мГн	C мкФ	№ графика	Uо В	U1 В	U2 В	U3 В
12	12	70	30	75	26	10	10	100	25	12	20	5	10	0	4	UR2

Рисунок 1:

Рисунок 2:

График 1:

1 этап курсовой работы

Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом

1 этап

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

i_2(-0)=i_1(-0)=== 1.52 (A)

U_c(-0)= i₂^.R₂=U_c(+0)

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0 (1)

i₁^.R₁+ i₂^. R₂+L=U (2)

i₁^.R₁+ U_c=U (3)

Из (2) уравнения выразим i₁

i₁= (2.1)

i₁ из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим i_c

i_c= (1.1)

i₁ подставим в (3) и выразим U_c

U= (3)

U_c=U-U- i₂^. R₂- (3)

U_c=i₂^.R₂+ (3.1)

U_c= (3.2)

Подставим в место U_c и i_c в уревнение (3.2), получим:

(3.3)

Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:

(3.4)

В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:

2 этап

Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i₂, для этого мы представим i₂ как сумму двух составляющих i_2св - свободная составляющая и i_2вын - вынужденная составляющая

i₂=i_2св+i_2вын

i_2вын найдём по схеме

i_2вын=

i_2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через , а через ² получим:

L²+R₂++=0 (3.5)

Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни ₁ и ₂

0.1²+10++

15384,6+153,85+40000+10+0,1²=0

Д=b²-4ac=(163,85)²-4^.0,1^.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98

_1,2=; ; ₁₂ - вещественные

₁=

₂=

i_2св=А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.6)

i₂=1.94+ А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.7)

3 этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i₂ для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i₂₍₊₀₎=i_2вын(+0)+ А₁+А₂

-477 А₁-1162 А₂

Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i₁ для момента времени t+0 при U_c=i₂R₂

i₁= (3.9)

Найдём подставив значение i₁ из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение , i₂₍₊₀₎, i_2вын в систему и найдём коэффициенты А₁ и А₂

1,52=1,94+ А₁ + А₂ (4.1)

2=-477 А₁-1162 А₂ (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A₁ и подставим в (4.2)

А₁=-0,42-А₂

2=-477(-0,42-А₂)-1162А₂ (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А₂

2=200,34+477А₂-1162А₂

2=200,34-685А₂

А₂=

А₁=-0,42-0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А₁ и А₂ в уравнение (3.7)

i₂=1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t (А)

4 этап

Определяем остальные переменные цепи U_L, U_c, i_c, i₁

U_L= (В)

U_c= +i₂R₂=

= (В)

i_c= (А)

i₁=i_c+i₂=(0,044е^-477t+0,014е^-1162t)+( 1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t) =

=1,94-0,666е^-477t+0,304е^-1162t (А)

Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определим по формуле:

t_nn=

Найдём t_пп время переходного процесса

t_пп= (с)

Таблица переменных

Время переходного процесса tnn (c)	Значение тока i1 (A)	Значение тока i2 (A)	Значение тока ic (A)	Значение напряжения UL (B)	Значение напряжения UC (B)
0.000	1.578	1.520	0.058	0.20	15.22
0.001	1.622	1.590	0.032	10.49	16.95
0.002	1.713	1.695	0.018	9.75	17.92
0.003	1.790	1.779	0.011	7.07	18.50
0.004	1.844	1.837	0.006	4.70	18.84
0.005	1.879	1.875	0.004	3.02	19.06
0.006	1.902	1.899	0.0025	1.90	19.19
0.0063	1.907	1.905	0.0022	1.65	19.21

Рисунок 3 - График токов

где

i₁ i₂ i_c

Рисунок 4 - График напряжений

где

U_L U_C

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

e(t)=E_msin(t+)

R₁

где E_m=100 (B)

=2f =2 3,14 50=314 (Гц)

=30⁰

R₁=R₂=10 (Ом) L=100 (мГн)

R₃=9 (Ом) С=100 (мкФ)

=314 (Гц)

X_L=L=314^. 0,1=31,4 (Ом)

X_C= (Ом)

Найдём начальные условие:

U(t)=U_msin(t+)=100sin(314+30);

U_m=100e^j30=86,603+j50 (В)

U_C(-0)=0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Z_п=R₁+R₃+jX_L=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

Зная сопротивление и напряжение найдём I_3m

I_3m=I_1m=(А)

Найдём мгновенное значение тока

i₃(t)=I_3msin(t+)=2.725sin(314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i_3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

U_C(-0)=U_C(+0)=0 (B)

i_3(-0)= i₃₍₊₀₎=-1.314 (A)

1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i₃=0 (1)

i₁^.R₁+ i₃^.R₃+L=U(t) (2^/)

i₁^.R₁+i₂^.R₂+U_c=U(t) (3^/)

Из (2^/) уравнения выразим i₁

i₁= (2^/.1)

i₁ из уравнения (2^/.1) подставим в (1^/) и выразим i₂

i₂= (1^/.1)

U(t)=U(t)-i₃^.R₃-L+R₂

- (3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап

Вид решения для i_3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i_3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i_3св=А₁е^-406t+А₂е^-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i_3вын

i_3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I₁, а для этого найдём Z_{п вын} сопротивление цепи:

Z_{п вын}= (Ом)

I_1m= (A)

Найдём U_{ab вын}

U_{ab m}= I_1m (В)

I_{3 m}= (A)

Найдём i_{3 вын}

I_{3 вын}= I_{3 m}sin(t+)=2.607sin(314t-43.60) (A)

Таким образом

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

3^/ этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1^/ этапе.

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

i₃₍₊₀₎=i_3(-0)=-1.314 (A)

i₃₍₊₀₎=2.607sin(-43.60)+A₁+A₂=-1.798+A₁+A₂

R₁i₁=U(t)-R₂i₂-U_C

=

=

Подставим значение , i₃₍₊₀₎, и найдём коэффициенты А₁ и А₂ для времени t+0

-1.314=-1.798+A₁+A₂

433.96=592/806-406A₁-234A₂

A₁=-1.314+1.798-A₂=0.484- A₂

433.96=592.806-406(-0.484- A₂)-234 A₂

433.96-592.806+406 ^.0.484= A₂(406-234)

37.658=172A₂ A₂=0.219

A₁=0.265

Ток i₃ будет равняться

I₃=2.607sin(314t-43.60⁰)+0.265е^-406t+0.219е^-234t (A)

Таблица переменных

Время t, c	0.000	0.001	0.002	0.003	0.004	0.005	0.006	0.0063
Ток i2, A	1.115	1.327	1.528	1.671	1.7428	1.7430	1.6745	1.6413



3 этап курсовой работы

Найдём выражение для тока катушки операторным методом:

R₁ R₂

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

I_3(-0)=== 5.263 (A)

U_c(-0)=0 (В)

Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.

Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.

I_1(p)-I_2(p)-I_C(p)=0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

Из уравнения (2.3) выразим ток I₁(p) и подставим в уравнение (3.3):

Из уравнения (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Подставим численные значения элементов

По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p₁=0

0,000065p²+0,1065p+36=0

Д=(0б1065)²-4^.0,000065^.36=0,0019

I₂(p)=

Найдём A₁ A₂ A₃

Коэффициент A_n будем искать в виде, где N(p) - числитель, а M(p) - знаменатель

A₁=

A₂=

A₃=

Таким образом, i₂(t) будет равняться

i₂(t)=A₁^.exp(p₁t)+ A₂^.exp(p₂t)+ A₃^.exp(p₃t)=1,944-0,71e^-477t+0,3e^-1162t

Искомый ток катушки i₂ равняется :

i₂=1,944-0,71e^-477t+0,3e^-1162t (A)

Токи сходятся.

4 этап курсовой работы

Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её

Определим переходную характеристику h¹(t) цепи по напряжению U_R2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия U_C(-0)=U_C(+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0

i₁^.R₁+ i₂^.R₂=U i_с=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0 i₁=i₂+i_с

i₁=i₂+i_с

i₂(R₁+R₂)+i_сR₁=U i₂=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0

i_с^.R₃+U_c-+

ic+

+

+

0,00043+1=0 = -2322,58 ()

U_{C св}=Ae^-2322,58t

U_{C вын}= (B)

U_C=U_{C св}+U_{C вын}=0,278+Ae^-2322,58t A=-0,278

U_C=0,278-0,278e^-2322,58t (B)

i_с==25^.10^-6.0,278^.2322,58e^-2322,58t=0,016e^-2322,58t (A)

U_ab=i_cR₃+U_C=0,278-0,12e^-2322,58t (B)

Таким образом переходная характеристика h¹(t) будет равна

h¹(t)=U_R2(t)=0,28-0,12^.e^-2322,58t (В)

= (c)

5 этап курсовой работы

Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h¹(t) возьмем из предыдущего этапа

h¹(t)=0,28-0,12^.e^-2322,58t (В)

t_пп=(c)

Найдём , t₁, t₂, U₁^/(), U₂^/():

= (с)

t₁==0.00043 (c) t₂=1,5=0.00065 (c) t₃=2=0.00086 (c)

U₀=20 (В); U₁=-5 (B); U₂=-10 (B);

U₁^/()=0 () U₂^/()= ()

U₃^/()= ()

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+ (B)

t (c)	0	0.0001	0.0002	0.0003	0.0004	0.00043
UR2 (B)	3.2	3.697	4.092	4.404	4.652	4.716

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+

-

(B)

t (с)	0,00043	0.00045	0.0005	0.00055	0.0006	0.00065
UR2 (B)	4,14	3,64	2,37	1,06	-0,27	-1,64

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+=

- )+

+ (B)

t (c)	0.00065	0.0007	0.00075	0.0008	0.00085	0.00086
UR2(B)	-5,145	-4,396	-3,653	-2,914	-2,179	-2,03

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+

-

+ (B)

t (c)	0.00086	0.0009	0.00095	0.001	0.0013
UR2(B)	-1,97	-1,79	-1,60	-1,42	-0,707

Строим графики U(t) и U_R2(t) по данным таблиц.