(5)

где С, а - нормированный коэффициент нижних частот первого порядка.

Фильтр верхних частот Чебышева имеет монотонную характеристику показанную на рисунке. Например, фильтр верхних частот Чебышева с неравномерностью передачи 1 дБ, подобно его прототипу нижних частот, имеет пульсацию 1 дБ в диапазоне полосы пропускания. Для иллюстрации этого случая на рисунке приведена характеристика реального фильтра верхних частот Чебышева седьмого порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ.

Рисунок 4. Монотонная характеристика ФВЧ Чебышева

Коэффициент усиления ФВЧ представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении переменной р. Следовательно, для звеньев второго и первого порядков, описываемых соответственно уравнениями указанными выше, коэффициент усиления звена равен К.

При проектировании фильтров следует иметь ввиду, что идеальные АЧХ физически не реализуемы . Можно лишь стремиться к наилучшему приближению (или аппроксимации), совместимому с требованиями, предъявляемыми к фильтру. Из рисунка следует, что реальная АЧХ лишь приближенно представляет (аппроксимирует) идеальную АЧХ.

Фильтрующие свойства часто оцениваются величиной относительного затухания, определяемой в децибелах как

. (6)

Если она равна 0, то , если ?, то на выходе фильтра ничего нет.

Примерный вид реальных характеристик затухания для ФВЧ и ФНЧ приведен на рисунке.

Рисунок 5. Характеристика затухания ФНЧ	Рисунок 6. Характеристика затухания ФВЧ

Для фильтра верхних частот коэффициенты б,в и С будут иметь иные значения, они будут выражены через коэффициенты K(p) фильтра прототипа нижних частот:

(7)

(8)

(9)

где г=б+в

Эти соотношения исходят из преобразования фильтра нижних частот в фильтр верхних частот.

Фильтр верхних частот Чебышева второго порядка, так же как и его прототип фильтр нижних частот, можно реализовать на схеме операционного усилителя с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления.

Фильтр с МОС, показанный на рисунке, реализует функцию верхних частот второго порядка с инвертирующим коэффициентом усиления К>0.

Рисунок 7. Схема фильтра верхних частот с МОС.

{ значения ёмкостей и сопротивлений в данной схеме приняты условно}

Значение элементов данной схемы можно будет определить из соотношений:

(10)

(11)

(12)

У фильтра верхних частот Чебышева нечётного порядка должно быть звено первого порядка с передаточной функцией следующего вида:

(13)

Коэффициент Сфвч и aфвч представляют собой нормированные значения полученные из нормированных коэффициентов прототипа фильтра нижних частот.

Схема, реализующая уравнение коэффициента передачи изображена на рисунке.

Рисунок 8. Схема, реализующая уравнение коэффициента передачи.

Значение ёмкости С1 произвольно, а значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

(14)

(15)

Коэффициент передачи ФВЧ в нормированном виде можно записать следующим образом:

(16)

Для фильтра верхних частот коэффициенты б,в и С будут иметь иные значения, они будут выражены через коэффициенты K(p) фильтра прототипа нижних частот:

Где

- коэффициенты ФНЧ- прототипа.

Проведем денормировку коэффициентов.

, , ,

Для расчёта фильтра верхних частот второго порядка или звена второго порядка Чебышева, обладающего заданной частотой среза fc (Гц), или щс=2рfc (рад/с), и коэффициентом усиления К , необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти нормированные значения коэффициентов нижних частот бфнч, вфнч, Сфнч из листа задания.

2. Произвести операцию преобразования фильтра нижних частот в фильтр верхних частот и из данного выражения коэффициента передачи найти значения нормированных бфвч, вфвч, Сфвч.

3. Разработка принципиальной схемы начинается:

а) с нахождения коэффициента передачи фильтра через проводимости Y.

б) Сравнение полученного выражения с денормированной передаточной характеристикой фильтра верхних частот. Составить систему уравнений где пять неизвестных и три уравнения.

в) Решая полученную систему уравнений найти значения элементов. Для решения системы необходимо будет задать значения двух ёмкостей произвольно, порядка 10 мкФ …. 1 нФ.

4. Для расчёта звена первого порядка фильтра верхних частот заданного типа необходимо выполнить следующее:

а) найти нормированный коэффициент верхних частот С для звена первого порядка.

б) Записать коэффициент передачи фильтра через элементы схемы и сравнить его с выражением для коэффициента передачи фильтра верхних частот первого порядка. Решить полученную систему уравнений и найти выражения для расчёта элементов схемы. Здесь также необходимо значение ёмкости задать произвольно (порядка 10 мкФ …. 1 нФ).

5. Для проверки правильности расчёта элементов фильтра необходимо составить суммарную передаточную функцию фильтра верхних частот (она будет включать в себя передаточные функции каждого фильтрующего звена, соответственно со своими значениями элементов) и построить амплитудно-частотную характеристику, фаза-частотную характеристику, характеристику рабочего затухания, характеристику группового время запаздывания, импульсную и переходную характеристику. В случае совпадения этих характеристик с графиками построенными через коэффициенты б, в, С, можно будет сделать вывод о том, что элементы рассчитаны верно.

3. Виды аппроксимации частотных характеристик: Чебышева (инверсная)

По форме АЧХ различают фильтры нижних частот (ФНЧ) , фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Примеры АЧХ для приведенных типов фильтров показаны на рисунке 9.

Рисунок 9. АЧХ фильтров ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ.

Рассмотрим постановку задачи расчета фильтра на примере ФНЧ. В идеале мы бы хотели получить фильтр, который пропускает без искажений все частоты ниже и полностью подавляет все частоты выше . Такой ФНЧ называют идеальным, и он не реализуем на практике. Реализуемые же ФНЧ всегда вносят какие-то искажения в полосе пропускания и не до конца подавляет в полосе заграждения. Мы должны мирится с этим и научится регулировать искажения сигнала и подавление при использовании ФНЧ. На рисунке 2 показаны идеальная и реальная АЧХ ФНЧ. Синим показана АЧХ идеального фильтра, красным - реального.

Рисунок 10. Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Полоса частот от 0 до называется полосой пропускания ФНЧ, полоса частот от и выше называется полосой подавления или полосой заграждения. Полоса между и называется переходной полосой фильтра. Параметр

	(17)

определяет максимальное искажение сигнала в полосе пропускания, а параметр

	(18)

задает требуемое подавление в полосе заграждения. Таким образом получили такой «изогнутый коридор» в который должна поместиться АЧХ нашего фильтра. При этом чем «коридор Уже», тем параметр меньше, а параметр больше. Принято искажение в полосе пропускания и требуемое подавление выражать в децибелах, тогда:

	(19)

Откуда можно выразить:

	(20)

Таким образом, для расчета фильтра достаточно задать «коридор АЧХ» путем задания вышеприведенных параметров.

Часто при расчете фильтра используют еще два параметра, которые и мы тоже будем в дальнейшем использовать:

	(21)

Параметр определяет селективные свойства фильтра. Если сужать переходную полосу, то будет стремиться к единице. С другой стороны параметр определяет степень подавления фильтра с учетом вносимых искажений. Так если коэффициент подавления в полосе заграждения растет, то стремиться к нулю. Аналогично стремиться к нулю если коэффициент неравномерности в полосе пропускания стремиться к нулю.

Введем понятие порядка фильтра. Порядок фильтра можно определить как максимальное количество нулей и полюсов передаточной функции фильтра . Также можно сказать что порядок фильтра задается максимальной степенью полинома числителя и знаменателя передаточной функции фильтра.

Порядок фильтра можно рассчитать из уравнения при заданных параметрах и :

	(22)

где - функция аппроксимирующая квадрат модуля АЧХ. При заданном « коридоре АЧХ » уравнение (6) необходимо разрешить относительно . Чуть ниже мы поясним уравнение (6).

Необходимо отметить, что для сужения коридора АЧХ необходимо увеличивать порядок фильтра, однако при практической реализации от порядка фильтра зависит количество реактивных элементов (емкостей и индуктивностей) в его схеме. Таким образом, увеличение порядка фильтра приводит к усложнению самого фильтра, удорожанию и что самое важное, фильтр с увеличением порядка становится очень чувствительным к разбросу номиналов его компонент и требует точной прецизионной настройки.

Исходя из вышесказанного, можно предложить две постановки задачи. Первая постановка необходимо задать «коридор АЧХ» и исходя из коридора и выбранного способа аппроксимации идеального ФНЧ рассчитывать порядок фильтра согласно (6) и собственно сам фильтр. Вторая постановка задачи заключается в том, что задается порядок фильтра и некоторые наиболее важные параметры «коридора АЧХ», например подавление в полосе заграждения и частота среза, а остальные параметры не ограничивают. Так на практике как правило не накладывают ограничения на переходную полосу фильтра. Вторая постановка задачи расчета фильтра нашла наибольшее распространение. Кроме того при различном способе аппроксимации АЧХ ограничивают различные параметры «коридора».

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:

	(23)

где - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется потому что его частота среза . Основными способами аппроксимации являются:

Аппроксимация по Чебышеву второго рода

Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалсь допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:

	(24)

Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (4). На рисунках показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка при (уровень подавления в полосе заграждения равен ). Обратите внимание, что аппроксимирующая функция показана в линейном масштабе.

Рисунок 11: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка	Рисунок 12: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. Близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. . Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.

4. Вывод передаточных функций фильтровых звеньев по структуре Салена-Кея

Исходные данные

Коэффициенты операторной передаточной функции нормированного ФНЧ- прототипа:

с = 9.80196058818365E-0001

б₁= 1.56747688857422E-0001

в₁= 9.89665957944453E-0001

б₂= 4.54899510661107E-0001

в₂= 8.92790558573324E-0001

б₃= 7.08522598890340E-0001

в₃= 7.08522598890340E-0001

б₄=8.92790558573324E-0001

в₄= 4.54899510662017E-0001

б₅= 9.89665957944453E-0001

в₅= 1.56747768858104E-0001

Поскольку в задании по курсовому проекту даны коэффициенты c, б_i, в_i, в нормированном виде, то необходимо осуществить денормирование.

Коэффициент передачи ФВЧ в нормированном виде можно записать следующим образом:

(30)

Для фильтра верхних частот коэффициенты б,в и С будут иметь иные значения, они будут выражены через коэффициенты K(p) фильтра прототипа нижних частот

Где

- коэффициенты ФНЧ- прототипа.

Проведем денормировку коэффициентов.

, , ,

б_d1= 245.163 в_d1= 1.559*10^4

б_d1= 711.492 в_d1= 1.407*10^4

б_d1= 1.108*10^3 в_d1= 1.116*10^4

б_d1= 1.396*10^3 в_d1= 7.167*10^3

б_d1= 1.548*10^3 в_d1= 2.469*10^3

Рассмотрим общую схему фильтра нижних частот по структуре Саллена-Кея второго порядка, которая изображена на рис. 15.

Выразим токи по закону Кирхгофа:

выразим соотношение напряжения на выходе к напряжению на входе, в результате получим выражение для коэффициента передачи через проводимости:

(31)

5. Моделирование разрабатываемого фильтра на функциональном уровне в MathCAD в частотной и временной областях (расчет АЧХ, ХРЗ, ХГ, ВЗ, ЧХ, ПХ в нормированном и денормированном виде)

5.1 Построение графиков в нормированном виде

1) Амплитудно-частотная характеристика:

(32)

Рисунок 16. АЧХ ФНЧ прототипа

2) Фаза-частотная характеристика

(33)

Рисунок 17. ФЧХ ФНЧ прототипа

3) Характеристика рабочего затухания

(34)

Рисунок 18. ХРЗ ФНЧ прототипа

4) Характеристика группового времени запаздывания

(35)

Рисунок 19. ХГВЗ ФНЧ прототипа

5) Импульсная характеристика фильтра:

(36)

Рисунок 20. ИХ ФНЧ прототипа

6) Переходная характеристика

(37)

Рисунок 21. ПХ ФНЧ прототипа

5.2 Построение графиков в денормированном виде

1) Амплитудно-частотная характеристика

(38)

Рисунок 22. АЧХ ФВЧ

2) Фазо-частотная характеристика

(39)

Рисунок 23. ФЧХ ФВЧ

3) Характеристика рабочего затухания:

(40)

Рисунок 24. ХРЗ ФВЧ

4) Характеристика группового времени запаздывания

(41)

Рисунок 25. ХГВЗ ФВЧ

5) Импульсная характеристика

(42)

Рисунок 26. ИХ ФВЧ

6) Переходная характеристика

7)

(43)



Рисунок 27. ПХ ФВЧ

6. Разработка принципиальной схемы фильтра

По условию мы имеем ФВЧ десятого порядка, принципиальная схема в данном случае состоит из последовательно соединённых пяти структур Саллена-Кея второго порядка.

Передаточная функция для фильтра второго порядка в нормированном виде:

, где (44)

Выражение для передаточной функции фильтра второго порядка (31), полученное в предыдущем пункте и выражение (44) тождественны. Отсюда обозначим наши элементы в общей схеме фильтра второго порядка следующим образом. Так как в числителе стоит 1, то , , В знаменателе находится полином второго порядка,,,, . Полученная структура фильтра на рис.28.

Рисунок 28. Структура фильтра Салена-Кея второго порядка.

Тогда выражение (31) можно переписать с переобозначенными коэффициентами:

(45)

Перепишем в виде:

(46)

получим систему:

(47)

выразив из первого и третьего уравления сопротивления и подставив во второе получим:

В работе необходимо рассчитать фильтр десятого порядка, соответственно необходимо собрать пять каскадов второго порядка. Для трех первых каскадов выберем коэффициент сd=1.Произведем расчет данных каскадов

С помощью пакета MathCAD.

Аналогично рассчитаем номиналы для второго и третьего каскадов:

для второго каскада:

[Ф] [Ф]

[Ом]

[Ом]

[Ом] R2₅ любое

для третьего каскада:

[Ф] [Ф]

[Ом]

[Ом]

[Ом] R3₅ любое

Так как денормированный коэффициент сd=1.316, то для четвертого каскада необходимо расчитать делитель напряжений.

Рисунок 29. Структура Фильтра Саллена-Кея второго порядка с делителем напряжений

Выполним расчет схемы:

По законам Кирхгофа

Запишем выражение для коэффициента передачи через проводимости:

(48)

Анализируя полученное выражение для коэффициента передачи, делаем вывод о том что

Схема для ФВЧ с делителем напряжений будет выглядеть следующим образом:



Рисунок 30. Структура ФВЧ Саллена-Кея второго порядка с делителем напряжений

Перепишем выражение для коэффициента передачи:

Получим систему:

Рассчитаем номиналы аналогично схеме повторителю:

для четвертого каскада-повторителя:

[Ф] [Ф]

[Ом]

[Ом]

R4₆ =0 [Ом] R4₅ любое

Рассчитаем делитель напряжений.

Для этого проанализируем выражение для коэффициента

:

[Ф]

[Ф]

Размещено на http://www.allbest.ru/