Утверждение 1.

Любое трехзначное число в 14-ичной системе счисления делится на 7 в том и только в том случае, когда последняя цифра этого числа делится на 7.

Замечание 1. Если для делимости необходимо, чтобы последняя цифра (разряд единиц) делилась на 7, то не важно, сколько разрядов будет иметь число. Их может быть n.

Замечание 2. Число _n^. 14ⁿ+…+₁^.14+₀

делится на 7, т.к. 14 делится на 7. Если в утверждении 1 вместо 14 взять основание 7 или 28, или другие числа, делящиеся на 7, то получится также справедливое утверждение:

Утверждение 2.

Пусть число А записано в системе счисления, основание которой делится на 7. Тогда число А делится на 7 в том и только в том случае, когда его последняя цифра делится на 7.

Результат моего исследования можно представить в виде теоремы.

Теорема:

Доказательство.

Последняя сумма делится на 7р7,а₀7. Теорема доказана.

Приложение 2

Тексты описывающие “ход исследования”, опробованные в Школе молодого ученого.

Признак делимости на 7

Задача1. Вывести признак делимости на 7.

Так как задача общая, уточним систему счисления, в которой будем решать задачу. Например, возьмем системы счисления по основанию 7 и 14.

Задача 2. Вывести признак делимости на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.

Задачу решали три ученика: младший школьник, ваш ровесник и старшеклассник.

Рассуждение 1

Выпишу все двузначные числа в 7-ной системе счисления. Это числа:10₇, 11₇, 12₇, 13₇, 14₇, 15₇, 16₇, 20₇, 21₇, 22₇, 23₇, 24₇, 25₇, 26₇, 30₇, 31₇, 32₇, 33₇, 34₇, 35₇, 36₇, 40₇, 41₇, 42₇, 43₇, 44₇, 45₇, 46₇, 50₇, 51₇, 52₇, 53₇, 54₇, 55₇, 56₇, 60₇, 61₇, 62₇, 63₇, 64₇, 65₇, 66₇.

Возьму и выпишу из них все двузначные числа, делящиеся на 7. Это числа:10₇, 20₇, 30₇, 40₇, 50₇, 60₇.

Вижу, что на 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.

Так же возьму и выпишу все однозначные и двузначные числа в 14-ной системе счисления делящиеся на 7.

7₁₄, 10₁₄, 17₁₄, 20₁₄, 27₁₄, 30₁₄, 37₁₄, 40₁₄, 47₁₄, 50₁₄, 57₁₄, 60₁₄, 67₁₄, 70₁₄, 77₁₄, 80₁₄, 87₁₄, 90₁₄, 97₁₄.

Вижу, что на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.

Я перебрал все числа, поэтому делаю вывод, что:

1) На 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.

2) на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.

Рассуждение 2

Требуется найти признак делимости на 7 в 7-ичной и 14-ной системе счисления. Может мне удастся подметить закономерность в записи чисел делящихся на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.

Выберу произвольно несколько чисел из этих систем счисления. Например, числа: 365₇; 250₇; 160₇; 520₇; 437₁₄; 793₁₄; 340₁₄; 347₁₄; 874₁₄. Переведя числа в десятичную систему счисления и поделив на 7, я обнаружил, что на 7 делятся следующие числа:

250₇; 160₇; 520₇; 437₁₄; 340₁₄; 347₁₄.

Как увидеть закономерность? На что смотреть? В случае признака делимости на 9 в десятичной системе счисления смотрели, например, на сумму цифр числа. Посмотрю и здесь.

250₇ 2+5+0=7:7

160₇ 1+6+0=7:7

520₇ 5+2+0=7:7

437₁₄ 4+3+7=14:7

340₁₄ 3+4+0=7:7

347₁₄ 3+4+7=14:7

Вижу, что сумма цифр числа всегда делится на 7.

Мне кажется верным предположение: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся те числа, сумма цифр, в записи которых делится на 7. Для чисел 250₇; 160₇; 520₇; 437₁₄; 340₁₄; 347₁₄ мое предположение верно. Но верно ли оно для любого числа?

Переставлю цифры в числе 43714 (от этого сумма цифр не изменится) и получу число 74314.. Сумма цифр этого числа делится на 7, но само число не делится на 7. Это можно проверить переводом числа из 14-ной системы счисления в 10-ную и делением на 7.	Контрпример- это пример, опровергающий утверждение.

Следовательно, мое предположение для любого числа неверно и нужно искать другую закономерность.

Еще в случае признаков делимости на 2 и 5 в 10-ной системе счисления смотрели на последнюю цифру числа. Посмотрю и здесь. Вижу, что на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа оканчивающиеся на 0 или 7.

Сделаю предположение: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 7.

Предположение опровергнуть мне не удалось, поэтому я думаю, что оно верно для любых чисел в 7-ной и 14-ной системах счисления.

Рассуждение 3

Мне известно свойство делимости суммы: если каждое слагаемое суммы делится на 7, то сумма делится на 7. Попробую применить это свойство для вывода признака делимости на 7.

Рассмотрю два числа: 437₁₄ и 743₁₄. Представлю эти числа как сумму трех слагаемых при помощи позиционной записи числа:

437₁₄=4^.14²+3^.14+7

743₁₄=7^.14²+4^.14+3.

Замечу, что любое трехзначное число _{210 14} в 14-ной системе счисления можно записать в виде суммы трех слагаемых

_{210 14} =_2. 14²+₁^.14+₀

Из того, что 14 делится на 7, следует, что _2. 14²+₁^.14 всегда будет делиться на 7. Для того, чтобы вся сумма делилась на 7 нужно, чтобы последнее слагаемое этой суммы также делилось на 7. А последнее слагаемое в сумме? _2. 14²+₁^.14+₀ - это последняя цифра в записи числа _{210 14.}

Можно сделать вывод, что число _{210 14} в 14-ной системе счисления кратно 7, если последняя цифра в его записи 7 или 0.

Видно, что 437₁₄ -кратно, а 743₁₄ -не кратно семи.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 1.Любое трехзначное число в 14-ичной системе счисления делится на 7 в том и только в том случае, когда последняя цифра этого числа делится на 7.

Просматривая еще раз свое решение, я заметил две вещи:

1) если для делимости необходимо, чтобы последняя цифра (разряд единиц) делилась на 7, то не важно, сколько разрядов будет иметь число. Их может быть n;.

2) число _n…_{0 14} =_n^. 14ⁿ+…+₁^.14+₀ делится на 7, т.к. 14 делится на 7. Вместо 14 взять числа 7 или 28, или другие числа, делящиеся на 7, и мой признак делимости остается справедливым.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 2.

Пусть число А записано в системе счисления, основание которой делится на 7. Тогда число А делится на 7 в том и только в том случае, когда его последняя цифра делится на 7.

Я могу представить результат своего исследования в виде теоремы.

Теорема: Число

Доказательство. Верны равенства

Из свойства делимости суммы следует, что последняя сумма делится на 7 тогда и только тогда, когда р Знак делится на 7 и делится на 7.Теорема доказана.

Приложение 3

Карточки с заданиями для занятия 2 в Школе молодого ученого. Определить, истинны ли утверждения:

Приложение 4

Итоговый вариант текстов описывающих “ход исследования”.

Признак делимости на 7

При изучении признаков делимости возникает такой интересный вопрос: как выглядит признак делимости на 7 в разных системах счисления? Три ученика- младший школьник, ваш ровесник и старшеклассник изучали этот вопрос для чисел, записанных в системах счисления по основаниям 7 и 14.

Они решали такую задачу: Вывести признак делимости на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.

Прочитайте и изучите рассуждения этих учеников и ответьте на вопросы 1-24.

Рассуждение младшего школьника

Выпишу все двузначные числа в 7-ной системе счисления. Это числа:10₇, 11₇, 12₇, 13₇, 14₇, 15₇, 16₇, 20₇, 21₇, 22₇, 23₇, 24₇, 25₇, 26₇, 30₇, 31₇, 32₇, 33₇, 34₇, 35₇, 36₇, 40₇, 41₇, 42₇, 43₇, 44₇, 45₇, 46₇, 50₇, 51₇, 52₇, 53₇, 54₇, 55₇, 56₇, 60₇, 61₇, 62₇, 63₇, 64₇, 65₇, 66₇.

Возьму и выпишу из них все двузначные числа, делящиеся на 7. Это числа:10₇, 20₇, 30₇, 40₇, 50₇, 60₇.

Вижу, что на 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.

Так же возьму и выпишу все однозначные и двузначные числа в 14-ной системе счисления, делящиеся на 7: 7₁₄, 10₁₄, 17₁₄, 20₁₄, 27₁₄, 30₁₄, 37₁₄, 40₁₄, 47₁₄, 50₁₄, 57₁₄, 60₁₄, 67₁₄, 70₁₄, 77₁₄, 80₁₄, 87₁₄, 90₁₄, 97₁₄. Чтобы разобрать остальные двузначные числа, я возьму и обозначу 10 буквой б, 11 буквой в, 12 буквой г, 13 буквой д. Тогда остальные числа запишутся: б0₁₄, б7₁₄, в0₁₄, в7₁₄, г0₁₄, г7₁₄, д0₁₄, д7₁₄.

Вижу, что на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.

Я перебрал все числа, поэтому делаю вывод, что:

1) На 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.

2) на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.

1.Сколько двузначных чисел рассматривал школьник?

2.Какую закономерность школьник увидел в записи чисел?

3.Что позволило младшему школьнику сделать правильный вывод?

4.Решил ли младший школьник задачу?

Рассуждение ровесника

Требуется найти признак делимости на 7 в 7-ичной и 14-ной системе счисления. Может мне удастся подметить закономерность в записи чисел делящихся на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.

Выберу произвольно несколько чисел из этих систем счисления. Например, числа: 365₇ ; 250₇; 160₇; 520₇; 437₁₄; 793₁₄; 340₁₄; 347₁₄; 874₁₄. Переведя числа в десятичную систему счисления и поделив на 7, я обнаружил, что на 7 делятся следующие числа:

250₇ ; 160₇; 520₇; 437₁₄ ; 340₁₄; 347₁₄.

Как увидеть закономерность? На что смотреть? В случае признака делимости на 9 в десятичной системе счисления смотрели, например, на сумму цифр числа. Посмотрю и здесь.

250₇ 2+5+0=7:7

160₇ 1+6+0=7:7

520₇ 5+2+0=7:7

437₁₄ 4+3+7=14:7

340₁₄ 3+4+0=7:7

347₁₄ 3+4+7=14:7

Вижу, что сумма цифр числа всегда делится на 7.

Мне кажется верным предположение 1: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся те числа, сумма цифр, в записи которых делится на 7. Для чисел 250₇; 160₇; 520₇; 437₁₄; 340₁₄; 347₁₄ мое предположение верно. Но верно ли оно для любого числа?

Переставлю цифры в числе 43714 (от этого сумма цифр не изменится) и получу число 74314.. Сумма цифр этого числа делится на 7, но само число не делится на 7. Это можно проверить переводом числа из 14-ной системы счисления в 10-ную и делением на 7.	Контрпример- это пример, опровергающий утверждение.

Следовательно, мое предположение для любого числа неверно и нужно искать другую закономерность.

Еще в случае признаков делимости на 2 и 5 в 10-ной системе счисления смотрели на последнюю цифру числа. Посмотрю и здесь. Вижу, что на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа оканчивающиеся на 0 или 7.

Сделаю предположение: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 7.

Предположение опровергнуть мне не удалось, поэтому я думаю, что оно верно для любых чисел в 7-ной и 14-ной системах счисления.

5.Какие числа рассматривал ровесник?

6.Почему из этих чисел он выбрал числа: 250₇; 160₇; 248₁₄; 520₇; 437₁₄; 340₁₄; 347₁₄ ?

7.Какая закономерность была подмечена в записи чисел?

8.Как проверялось, верна ли выделенная закономерность?

9.Какие знания привлекались в рассуждении?

10.Какое неверное предположение сделал ровесник? Как вы думаете, из-за чего это предположение оказалось неверным?

11..Мог ли способ, используемый в рассуждении, привести к верному выводу? В каком случае?

12.Какое верное утверждение сформулировал ровесник?

13.Как вы думаете, сомневается ли ровесник в том, что его утверждение верно?

14.Решил ли ровесник задачу?

Рассуждение старшеклассника

Мне известно свойство делимости суммы: если каждое слагаемое суммы делится на 7, то сумма делится на 7. Попробую применить это свойство для вывода признака делимости на 7.

Рассмотрю два числа: 437₁₄ и 743₁₄. Представлю эти числа как сумму трех слагаемых при помощи позиционной записи числа:

437₁₄=4^.14²+3^.14+7

743₁₄=7^.14²+4^.14+3.

Замечу, что любое трехзначное число _{210 14} в 14-ной системе счисления можно записать в виде суммы трех слагаемых

_{210 14} =_2. 14²+₁^.14+₀

Из того, что 14 делится на 7, следует, что _2. 14²+₁^.14 всегда будет делиться на 7. Для того, чтобы вся сумма делилась на 7 нужно, чтобы последнее слагаемое этой суммы также делилось на 7. А последнее слагаемое в сумме?_2. 14²+₁^.14+₀ - это последняя цифра в записи числа _{210 14.}

Можно сделать вывод, что число _{210 14} в 14-ной системе счисления кратно 7, если последняя цифра в его записи 7 или 0.

Видно, что 437₁₄ -кратно, а 743₁₄ -не кратно семи.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 1. Любое трехзначное число в 14-ичной системе счисления делится на 7 в том и только в том случае, когда последняя цифра этого числа делится на 7.

Просматривая еще раз свое решение, я заметил две вещи:

1) если для делимости необходимо, чтобы последняя цифра (разряд единиц) делилась на 7, то не важно, сколько разрядов будет иметь число. Их может быть n;.

2) число _n…_{0 14} =_n^. 14ⁿ+…+₁^.14+₀ делится на 7, если , т.к. 14 делится на 7. Вместо 14 взять числа 7 или 28, или другие числа, делящиеся на 7, и мой признак делимости остается справедливым.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 2.

Пусть число А записано в системе счисления, основание которой делится на 7. Тогда число А делится на 7 в том и только в том случае, когда его последняя цифра делится на 7.

Я могу представить результат своего исследования в виде теоремы.

Теорема: Число

Доказательство. Верны равенства

-

Из свойства делимости суммы следует, что последняя сумма делится на 7 тогда и только тогда, когда р делится на 7 и делится на 7.Теорема доказана. Знакзаменяет слова “тогда и только тогда, когда”.

15.Что в этом рассуждении вам понятно, а что трудно понять?

16. Каким свойством решил воспользоваться старшеклассник, чтобы вывести признак делимости на 7?

17.Почему, оказалось, достаточно рассмотреть всего 2 числа?

18. Что старшеклассник сделал с числами 437₁₄ и 743₁₄?

19.Какая закономерность была подмечена старшеклассником в записи трехзначных чисел в 14-ной системе счисления?

20. Как вы думаете, зачем старшекласснику понадобилось просматривать еще раз свое решение? Что при этом выяснилось?

21. Мог ли способ рассуждения старшеклассника привести к неверному выводу? Почему?

22. Какие верные утверждения сформулировал старшеклассник?

23. Как вы думаете, сомневается ли старшеклассник в том, что его теорема верна?

24. Решил ли старшеклассник задачу?

25. Какие задачи решили младший школьник, старшеклассник, ровесник? Сформулируйте их.

26. Решите аналогичную задачу, опишите свои рассуждения и сравните с рассуждениями школьников, которые вы изучили. Что вы обнаружили?

Приложение 5

Первоначальный вариант текстов “помощники”.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Задание: Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение и	Описание Разложим знаменатели данных дробей на простые множители. Найдем наименьший общий знаменатель. Общим множителем в знаменателях дробей является 2. Наименьший общий знаменатель будет равен произведению общего множителя и остальных сомножителей знаменателей данных дробей. Наименьший общий знаменатель дробей и будет равен 12. Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найдем для каждой дроби дополнительный множитель. Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Получили дроби с одинаковыми знаменателями.

Сравнение дробей

Задание: Сравните дроби

Решение НОЗ	Описание Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найдем для каждой дроби дополнительный множитель. Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Получим дроби Теперь сравним полученные дроби.

Сложение дробей

Задание: Вычислить:

Решение НОЗ	Описание Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найдем для каждой дроби дополнительные множители. Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Получим дроби Теперь сложим полученные дроби.

Приложение 6

Второй вариант текстов “помощники”

Таблица 1.

Как сложить отрицательные числа
Задание. Вычислить: -3+(-2)	Задание. Вычислить: 25+(-14)
Как решать:
Образец:	Сделай сам:
1.Найдем модули данных чисел	и	1.Найди модули данных чисел	и
2.Сложим эти модули	+=3+2=5	2.Сложи эти модули
3.Перед полученным числом поставим знак “минус”		3.Перед полученным числом поставь знак “минус”
Что писать в тетради: -3+(-2)=(+)= - (3+2)= - 5	Запиши:

Таблица 2

Как сложить отрицательное и положительное числа
Задание. Вычислить: 3+(-4)
Как решать:
1. Найдем модули данных чисел	и 44
2. Найдем больший модуль	44 больше, чем
3. Вычтем из большего модуля меньший	4-4-3=1
4. Поставим перед суммой знак большего по модулю числа	-4 по модулю больше 3, значит, ставим знак “минус”.
Что писать в тетради: 3+(-4)=-(4-) - (4+3)= - 1

Сложение чисел равных по модулю, противоположных по значению

Задание. Вычислить:

5+(-5)

Решение: При сложении равных по модулю чисел с разными знаками всегда получается ноль.

5+(-5)=0

Размещено на Allbest.ru