Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Разработка формы учебных текстов для шестого класса

на примере темы ”Делимость”

(Дипломная работа)

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор существующих форм учебной литературы

§1. Назначения и характеристики учебных текстов разного типа

§2. Анализ литературы, описывающей процесс математического исследования

Глава 2. Учебно-исследовательская деятельность шестиклассников на уроках “Начала алгебры”

§1. Учебно-исследовательская деятельность шестиклассников

§2. Характеристика программы “Начала алгебры” для 6-го класса

§3. Вывод

Глава 3. Апробация разработанных текстов

§1. Апробация текстов “описания исследования”

§2. Апробация текстов “помощники”

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

В традиционной программе алгебра представлена преимущественно в виде набора процедур и алгоритмов [34]. А развивающее обучение (РО) направлено на то, что учащиеся в начальной школе сами открывают способы действия [15], во второй ступени школы осваивают способы учебного исследования и оформляют эти исследования [3], [11].

Любое обучение должно быть обеспечено методическими материалами. Традиционное обучение обеспечено учебниками, где приводятся образцы решения и задания, дидактическими материалами, где содержатся варианты контрольных работ, карточки. Заметим, что развивающее обучение по математике в гораздо меньшей степени обеспечено методическими материалами. Так, например, в программе развивающего обучения разработанной С.Ф. Горбовым есть только учебник-тетрадь, где содержатся задания и оставлено место для выполнения этих заданий. В дополнении к этому учебнику-тетради приходится дополнительно использовать учебники для традиционного обучения. Программа курса “Начала алгебры” для шестого класса авторов О.В. Знаменской и Ю.Г. Юдиной, также разработанного в логике развивающего обучения, обеспечена задачником и рабочей тетрадью по теме “Признаки делимости в системе счисления по основанию р”. При апробации этого курса обнаружилась необходимость в текстах, описывающих ход математического исследования. Тексты такого рода необходимы, чтобы учащиеся учились различать некоторые виды рассуждений, и также для того, чтобы задать нормы оформления математического исследования.

Так же при апробации курса “Начала алгебры” обнаружен дефицит текстов, направленных на освоение алгоритмов действия. Такого рода тексты, нужны для того, чтобы учащийся мог отработать решение задач индивидуально. Аналоги таких текстов “помощников” существуют, например, карточки для коррекции знаний [22], справочная литература, подобного рода карточки, разработанные учителем, но большинство существующих текстов такого рода содержит только пошаговый алгоритм решения, и как показывает опыт, не являются реальными “помощниками” для слабых учащихся. Для тем “Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей” и “Сложение и вычитание отрицательных и положительных дробей” указанного курса тексты такого рода не были разработаны.

Таким образом, возникает разработческая задача: создать недостающее учебное обеспечение для 6-го класса развивающего обучения.

Цель дипломной работы - разработка учебных материалов к курсу “Начала алгебры” для учащихся шестых классов, а именно, текстов направленных на освоение типов рассуждений и текстов, необходимых для освоения алгоритмов действия.

Таким образом, мной разрабатывались два типа учебных текстов:

Тексты, которые были условно мной названы “Описание хода исследования”, необходимые для освоения типов описания исследования на материале темы “Признаки делимости в системе счисления по основанию р”;

Тексты - “помощники”, для освоения алгоритмов действия с действительными числами (обыкновенные дроби и отрицательные числа).

При достижении этой цели решались следующие задачи:

1. Анализ образцов учебной литературы с целью выделения назначений и соответствующих им характеристик текстов.

2. Анализ литературы, в которой описывается процесс математического исследования, и выделение структуры таких текстов.

3. Изучение содержания программы курса “Начала алгебры” для шестого класса с целью выделения требования, которым должны удовлетворять учебные тексты для шестого класса.

4. Разработка формы учебных текстов и методики их применения.

Объектом разработки является учебные тексты.

Предметом разработки является форма и содержание учебных текстов.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы (из 39 наименований).

В первой главе описываются назначения и характеристики учебных текстов разного типа. Анализируются тексты вузовских и школьных учебников, задачников, справочной литературы и выделяются следующие назначения текстов: передать знания, научить способам решения задач, помочь в подготовке к экзаменам, предоставить информацию, развить мышление.

Так же в этой главе приводится анализ текстов (в которых описывается математическое исследование) следующих авторов: Адамара Ж., Вагутена В.Н., Лакатоса И., Носова Н.Н., Пойа Д. Были выделены следующие характеристики, по которым сравниваются тексты, посвященные описанию исследования:

1. Стиль изложения

«Авторитарный» (квази-общение с читателем; обычно употребление глаголов в 1-м лице мн. числа) ( “Вы наталкиваетесь…”, “вам приходит в голову…”).

· рассуждение

- от лица автора (от 1-го лица) (“Я стал думать…”, “я сложил…”, “я принимаю…”).

- безличное (“Не трудно обнаружить…”)

2. Форма изложения

· диалог

- автора с читателем (“Случайно вы наталкиваетесь…и замечаете… Вам приходит в голову…”)

-вымышленных героев

(Сигма. …если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.

Учитель. Действительно, я его имею…

Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой…”).

· монолог (“Я хотел представить… мной руководила… Я спрашивал себя… мне без труда удалось…”).

3. Наличие верных и неверных ходов

Мной выделено три вида описания исследования:

1) “ход мыслей” (описывается от лица автора, в нем присутствуют как верные, так и неверные ходы) (Лакатос И, Носов Н.Н.);

2) “нормативное” описанием (описание безличное или “авторитарное”, наличие только верных ходов) (Вагутен В.Н., Пойа Д.);

3) событийно (описание от лица автора, описываются события, при которых происходило исследование) (Адамар Ж.).

4. Наличие ключевых слов

Таких как: я стал думать, я подметил, вы наталкиваетесь, выпишем и т.п. По ключевым словам, можно определить, кто проводит исследование либо автор (Адамар Ж.), либо вымышленный герой (Лакатос И., Носов Н.Н.), либо математик (Пойа Д.), либо читатель вслед за автором (Пойа Д.).

5. Присутствие или отсутствие метаязыка, описывающего исследование

Есть ли в тексте такие слова как: определение, контрпример, теорема, доказательство, гипотеза, открытие, результат, исследование. Я заметила, что метаязык используется теми героями, которые компетентны в исследовании. Например, у Лакатоса метаязык присутствует у учителя, а у учеников он отсутствует. Чем больше компетентность в вопросе исследования, тем больше метаслов используется.

6. Наличие вопросов

Задаются ли в тексте вопросы, на которые затем даются ответы или которые остаются без ответа (на которые должен ответить читатель).

Вторая и третья главы посвящены описанию учебно-исследовательской деятельности шестиклассников и анализу программы курса “Начала алгебры” для 6-го класса, а также апробации разработанных мною учебных текстов и анализу этой апробации.

Остановимся подробнее на текстах “описывающих исследование”, поскольку аналогов таких текстов нет в традиционном обучении, и их также не удалось обнаружить в занимательной литературе для шестиклассников.

В 6-ом классе учащимися осваивается новое предметное действие - учебное исследование.

Материал темы “Признаки делимости в системе счисления по основанию р” идеален для постановки и решения учащимися учебно-исследовательской задачи, а также для пропедевтики понятия доказательства. Продолжается работа по выводу, записи и обоснованию общих утверждений о делимости (учащиеся должны “сконструировать” математически грамотную запись признаков делимости). По теме “Признаки делимости в системе счисления по основанию р” существует следующее математическое обеспечение: объяснительная записка, методические рекомендации, задачник и рабочая тетрадь. Однако для успешного прохождения этой темы и получения желаемых результатов необходимы учебные тексты в виде образцов рассуждений.

Разработанный мной текст, описывающий ход исследования имеет следующую структуру. Он состоят из четырех частей: первая - это постановка задачи, а три - это три независимых друг от друга рассуждения, каждое из которых излагается от лица одного из школьников.

Рассуждение младшего школьника (полный перебор), имеет следующую структуру: перебор всех двузначных чисел (7-ичная система счисления), выбор из них удовлетворяющих условию делимости на 7, вывод (в 7-ичной системе счисления), аналогичный выбор однозначных и двузначных чисел удовлетворяющих делимости на 7 (14-ичная система счисления), вывод (в 14-ичной системе счисления), общий вывод.

Рассуждение ровесника (эмпирическое обобщение), имеет следующую структуру: произвольно выписываются трехзначные числа, из них выбираются делящиеся на 7 (переводом), выделяется не верная закономерность, выделенная закономерность проверяется и опровергается, поиск новой закономерности, проверка и подтверждение этой закономерности, вывод.

Рассуждение старшеклассника (содержательный анализ), имеет следующую структуру: выделение знания, на которое можно опираться (свойство делимости суммы), представление трехзначного числа в позиционной записи, выделение признака с помощью свойства делимости суммы и общего вида записи, вывод о признаке делимости в виде утверждения 1, анализ проделанного решения и обобщение по количеству знаков и виду системы счисления, результат в виде утверждения 2, описание результатов исследования в виде теоремы и доказательства.

Мной разработана форма учебных текстов. Рассуждение ведется от лица школьника, который рассказывает о своем решение, сформулированной в самом начале задачи. Каждое рассуждение построено как монолог, чтобы в чистом виде выделить сам способ рассуждения. В заключение рассказа каждого школьника приведены вопросы на понимание его рассуждения, для того, чтобы читающий рассуждение ученик мог выделить их логику и особенности.

Следует подчеркнуть, что употребление метаязыка свидетельствует о компетентности выполняющего исследование. Я вводила в рассуждение старшеклассника термины: утверждение, предположение, теорема, доказательство. У ровесника метаязык присутствует в меньшей мере, у него встречаются такие термины как предположение и контрпример, В рассуждение младшего школьника метаязык отсутствует.

Нормативное описание, как исследования, так и его результатов предлагается в четвертой части текста. Реальное описание в рассуждение ровесника, для него характерно наличие верных и неверных предположений.

По результатам первой апробации была скорректирована структура текста ровесника и старшего школьника. Вторая апробация выделила необходимость вопросов в конце рассказа каждого школьника о своем решении, которые помогли бы учащимся понять задачи текста.

Последний вариант текста приведен в приложение 4.

Совместно с учителями Анишиной Н.Н. и Ольшевской Н.А. была разработана методика работы с текстом, специфика которой заключается в том, что учащимся предоставлялась возможность ответить на вопросы класса, приняв позицию автора. Эта методика позволила обнаружить особенности понимания школьниками данных текстов. Практически все шестиклассники легко смогли занять позицию автора первого рассуждения, второй смогли понять в коллективно-распределенной форме, используя помощь учителя, не смотря на то, что это типичный способ рассуждения, который шестиклассники демонстрируют при решении подобных задач.

Наибольшую трудность представлял последний текст, даже с помощью учителя учащимся с трудом удалось выделить логику, и некоторые моменты так и остались непонятны.

В результате апробации на Школе молодого ученого, замечено, что семиклассники и восьмиклассники из развивающего обучения вполне способны понять последний текст и легко удерживают позицию автора, а дети из традиционной школы не понимают последнее рассуждение.

Таким образом, можно предположить, что именно в шестом классе развивающего обучения одновременная работа с текстами, описывающими все способы рассуждений, может задать “вектор” движения учащихся по освоению ими изложения решения учебно-исследовательской задачи.

Таким образом, можно сделать вывод, что способ - содержательный анализ для шестиклассников лежит в “зоне ближайшего развития”, а некоторыми семиклассниками и восьмиклассниками, присутствующими на Школе молодого ученого, этот способ освоен, т.к. они могут самостоятельно понять последний текст, и могут построить свои рассуждения способом - содержательный анализ.

Что касается текстов “помощников”, основное нововведение состоит в том, что эти “помощники” содержат не только алгоритм решения, но и пустые ячейки, которые ученик должен заполнить самостоятельно по аналогии с образцом и образцы оформления результата (что писать в тетради). Данная форма текстов, как показывает апробация, облегчает понимание алгоритмов действия и делает работу школьника более интересной.

В приложении приводятся образцы экспериментальных и итоговых вариантов учебных текстов разных типов.

Приложение 1 - 4. Тексты описывающие “ход исследования”.

Приложение 5 - 6. Тексты - “помощники”.

В заключение хочу выразить большую благодарность учителям Анишиной Наталье Николаевне (учитель гимназии №1 “Универс”) и Ольшевской Надежде Анатольевне (учитель лицея №1) за оказанную помощь в апробации разработанных учебных текстов.

алгебра учебный урок апробация

Глава 1. Обзор существующих форм учебной литературы

§1. Назначения и характеристики учебных текстов разного типа

Я выделила следующие цели учебных текстов: передачу знаний, научить способам решения задач, помощь в подготовке к экзаменам, предоставление информации, развитие мышления. Остановимся подробнее на выделенных нами особенностях текста, соответствующих каждому назначению.

Цель передать знания: овладеть основами (или тонкостями) определенной области науки, ее понятиями и методами [2], [8], [13], [19], [30], [38] ставят учебники и учебные пособия (курсы лекций и т.п.).

В вузовских учебниках почти всегда логическое описание строения, схемы курса, связь с другими областями науки, указываются общие объекты и методы [13].

В школьных учебниках логическое строение текста задано не явно. Иногда показывается связь с другими науками.

Как в вузовских, так и в школьных учебниках, теоретическая часть начинается с введения понятий (возможно на примерах показать разрывы в имеющихся знаниях и необходимость введения новых понятий), редко встречается подход к утверждениям и формулам с помощью рассуждений, часто встречается просто доказательство. Часто в тексте встречаются примеры и упражнения, иллюстрирующие доказательство.

Научить способам решения задач по некоторой тематике, признаны сборники задач и упражнений [10], [17], [35]. Они представляют уже известные способы и множество задач для упражнения и выработке навыков решения.

Чаще всего вузовские задачники представлены отдельной от учебника книгой. В вузовских задачниках иногда встречаются тексты, направленные на то, чтобы научить решать задачи, содержащие общие указания и рекомендации по решению задач, по поиску этих решений [37]. Часто вначале каждого параграфа приведены необходимые определения и краткие (предполагается, что читатель уже знаком с материалом) теоретические сведения. Теоретическая часть состоит из определений и теорем (критериев, формул, принципов и т.п.); доказательства или рассуждения, результатом которого является теорема, не приводятся, за исключением случаев, когда в них содержится описание метода. Теоретический материал иллюстрирует большим количеством примеров, существует образец применения способа в подробном разборе решения некоторой типичной задачи. Однако иногда теоретической части не существует. Типы задач и методы их решения систематизированы. Значительную часть параграфа составляют задания, которые нацелены на усвоение понятий и отработку методов решения задач. Количество заданий (различной степени трудности) превышает необходимый минимум, для усвоения основного материала обеспечивая достаточно богатый выбор. Оговариваются условия и границы применения изложенных методов, их практическое применение.

Школьные задачники чаще всего входят в учебник и поэтому теоретическая часть, для этих задачников, содержится в учебнике. Но некоторые задачники существуют вне учебника, в них теоретическая часть отсутствует.

С ними схожи пособия, ставящие своей целью помощь в подготовке к экзаменам [14], [21], [31].

После кратких теоретических сведений дается набор наиболее распространенных задач из вариантов экзаменов. Для каждой задачи приводится неправильное и правильное решение, либо типичные ошибки указываются после описания метода.

Предоставление информации (справочники [4], [9], [12], [24], [36], справочные пособия таблицы и др.). Основное назначение справочника то, что в нем можно навести “моментальную” справку. Кроме того, он может служить для повторения ранее изученного материала. Справочники имеют целью собрать в одном издании сведения (из одной или разных областей науки) рассредоточенные по многим источникам.

Структура таких текстов топическая, каждая глава автономна, есть ссылки на те параграфы, где разъяснены упоминаемые термины.

Во всех справочниках справка наводится с помощью алфавитного указателя или подробного оглавления.

Определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются примерами. Ведущая роль играет фактический материал (доказательства и рассуждения приводится только в особых случаях). В таких текстах нет постановки проблем. Исторические сведения иногда представлены в определенных параграфах (обычно в начале главы по данной теме).

Книгу, авторы которой заявляли бы своей прямой целью развитие мышления, мне найти не удалось, хотя некоторые авторы заявляют близкие к этому цели: «Побудить читателя к самостоятельному творческому мышлению, к дальнейшему совершенствованию своих математических знаний» [27]. Обычно такие книги представляют собой сборники занимательных задач или любопытных фактов. Например, у Кордемского Б.А. [20] дается последовательность задач, через которые накапливается опыт мышления.

К этой цели близки книги описывающие ход математического исследования [7], [23], [28]. Их цель научить способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи.

Стиль изложения либо рассуждение от лица автора, либо безличное, либо квази-общение с читатилем.

Часто в тексте встречаются смысловые разрывы, использованные автором для показа необходимости построения новых понятий, для постановки проблемы, для демонстрации способа рассуждения.

В конце главы или в самой главе часто встречаются примеры и задачи позволяющие отработать предлагаемые способы рассуждений и приводящие к результату.

§2. Анализ литературы описывающей процесс математического исследования

Результаты научных исследований по математике излагаются в виде научных статей [4], [16], [18] и обзоров. За века математической науки установилась стандартная форма статей. До утверждений и теорем обязательно нужно привести все необходимые определения и леммы с доказательствами. После формулировки теоремы строгое доказательство и следствия с доказательствами.

Часто отмечается новизна полученных результатов и описание проблемы, которая была решена (или возникла, если проблема и есть результат исследования). Стиль изложения - “отстраненный”, изложение ведется от первого лица.

Заметим, что процесс исследования остается за рамками изложения, как было проведено математическое исследование, не обсуждается.

Однако некоторые авторы обращают внимание на процесс получения результатов (исследования). В этом параграфе я приведу анализ таких описаний некоторыми авторами:

1) Лакатос И. “Доказательства и опровержения”[23];

2) Носов Н.Н. “Витя Малеев в школе и дома”[25];

3) Вагутин В.Н. статья “Близкие дроби” из журнала “Квант”[7];

4) Пойа Д. “Математика и правдоподобные рассуждения”[28];

5) Адамар Ж. “Исследование психологии процесса изобретения в области математики”[1].

1). “Доказательства и опровержения”

Автор пытается показать, что теоремы не появляются из неоткуда, что они появляются через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Для этого берется стереометрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и разбираются ее возможные доказательства.

Изложение ведется в двух планах: один из них - это рассказ об исследовании связи между сторонами, вершинами и гранями многогранника в форме диалога между учителем и учениками. В процессе диалога рассматривается связь с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств.

Таким образом, текст излагается в диалогической форме. Диалог ведется между учителем и 15 учениками (названными буквами греческого алфавита).

“… Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т. е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его. Этот полный куб делает не верной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для куба V - E + F = 2, так что для полного куба V - E + F = 4.

Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?

Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте найти радикально новый подход.

Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы - серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство “полностью взорвано”… Мое доказательство действительно доказало предположение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором… Я интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное”.

Другой план в книге составляют подстрочные примечания, дающие действительную историю доказательств и вскрывающие ошибки, которые делались при этом математиками 19 века. Диалоги учеников - это по существу и есть наглядное отражение этой истории.

Структура текста линейная, если ты не прочитал предыдущий параграф, то тебе будет не совсем понятно, то, что говорится в последующих параграфах.

Текст построен в следующем порядке:

1. Учителем ставится задача;

2. Учителем дается доказательство;

Далее текст построен в виде цикла состоящего из следующих этапов:

3. Ученики пытаются опровергнуть доказательство. Высказываются догадки, пытаются опровергнуть догадки, испытывают разными способами. Результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана.

4. Ученики пытаются доказать.

“Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V-E+F=2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. Мы испытали ее разными способами. Но мы пока не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Сигма. …пока не придумал строгого доказательства этой теоремы… Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.

Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте…

Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области догадок”.

В тексте используются метаязык: лемма, доказательство, контрпример, теорема, определение. Метаязык вводит учитель, т.к. он самый компетентный в вопросе исследовании.

У каждого персонажа в этом тексте своя роль. Я рассмотрю роли пяти персонажей, на мой взгляд, самых главных: учителя, ученика Альфа, ученика Бета, ученика Гамма, ученика Дельта.

1.Учитель

Учитель предлагает содержательные ходы, например, дает доказательство, которое далее пытаются опровергнуть. Также он направляет урок в нужном направлении. Например, он говорит: “Давайте прервем вашу дискуссию и вернемся к нашему рассуждению”.

Учитель вводит термины при помощи, которых можно описать исследование.

“…давайте введем такую терминологию. Локальным контрпримером я буду называть пример, который отвергает лемму (не отвергая необходимо основную догадку)…”.

Также он выделяет в высказываниях учеников определения и контрпримеры, и нумерует их. Учитель вводит метаязык, т. к. он более опытен в вопросе исследования.

Если ученики опровергают лемму, доказательство, предположение или определение, предложенное учителем, то учитель заменяет это на другое похожее, но более точное или слегка измененное.

“Я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрпример не сможет опровергнуть…”

Также учитель уточняет высказывания учеников.

“Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V-E+F не изменилось, то V-E+F не будет изменяться.

Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V-E+F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника ”.

2. Ученик Альфа.

Он усомневается.

“…Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом и с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани, может быть, развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага”.

Приводит контрпримеры, опровергает. Опровержение и контрпример Альфы приведены в процитированном куске текста, который показывает, что у Лакатоса изложение ведется в диалогической форме. В контрпримерах он “изобретает” почти все рассматриваемые многогранники, которые Дельта называет “монстрами”.

Мне кажется, что Альфа самый умный ученик.

3. Ученик Бета.

Является серединой между Альфой и Дельтой. Тем, что он относит многогранники Альфы в отдельный случай и говорит, что они являются исключением, он как бы поддерживает Альфу. А тем, что он предлагает устранить этих “монстров” для правильности первоначальной догадки, он поддерживает Дельту.

Бета дает определения, выделяет формулы и старается “сделать их совершенными”. Выделяет свой метод - “методом устранения исключений”, и использует его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.

Он легко принимает критику и быстро изменяет свои утверждения относительно критике.

“Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V-E+F=2.

Учитель. Вы уверены?

Бета. Да, вполне.

Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и “кратной структуры””.

4. Ученик Гамма.

Задает вопросы.

“Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получите только две альтернативы - исчезновения одного ребра или одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса, останется только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага”.

Гамма задает вопросы и этим старается добиваться точности.

“Учитель. Подозрение - это еще не критика.

Гамма. А контрпример будет критикой?”

“Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство ее не доказывает?”

5. Ученик Дельта.

Дельта старается все определить.

“…Я ищу порядка и гармонии в математике…”

“…Многогранник может быть поверхностью: он имеет грани, ребра, вершины, он может быть деформирован, растянут на доске, и ему нет никакого дела до понятия о “твердом теле”. Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников”.

Дельта - это консерватор. Говорит, что многогранники можно определить так, что они будут удовлетворять теореме Эйлера. Насчет таких отношений Дельты Альфа позже делает такое высказывание: “Дельта я поражен. Я думал, что на свете не существует гипотез, которые вы смогли бы спасти от уничтожения при помощи, подходящей лингвистической хитрости”.

“Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы доказали вашу догадку - теперь она стала теоремой. Я принимаю, что она несогласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана. Нужно отступить “критике”. Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример”.

Мне кажется, что роль Дельты такова, что он своим консерватизмом, своим “отрицанием” побуждает других, доказывая ему обратное придумывать контрпримеры, формулировать определения, делать новые догадки и доказывать их.

2). Витя Малеев в школе и дома

Пример рассуждения встречается, когда Витя пытается решить задачу заданную на дом.

“… я стал думать, как решить задачу. Сначала я думал, что если 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, то надо сложить все топоры и пилы вместе и 84 поделить на то, что получилось. Я сложил 12 топоров и 3 пилы, получилось 15,. Тогда я стал делить 84 на 15, но у меня не поделилось, потому что остался остаток. Я понял, что произошла какая-то ошибка, и стал искать другой выход. Другой выход нашелся такой: я сложил 12 топоров и 5 пил, получилось 17, и тогда я стал делить 100 на 17, но у меня опять получился остаток. Тогда я сложил все 24 топора между собой и стал делить рубли на топоры с пилами, но деление все равно не вышло. Тогда я стал отнимать пилы от топоров, а деньги делить на то, что получилось, но все равно у меня не получилось. Потом я еще пробовал складывать между собой пилы и топоры по отдельности, а потом отнимать топоры от денег, и то, что осталось, делить на пилы, и чего я только не делал, никакого толку не входило. Тогда я взял задачу и пошел к Ване Пахомову.

-Слушай, - говорю, - Ваня, 12 топоров и 3 пилы вместе стоят 84 рубля, а 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила? Как, по-твоему, надо сделать задачу?

-А как ты думаешь? - спросил он.

-Я думаю, нужно сложить 12 топоров и 3 пилы и 84 поделить на15.

-Постой! Зачем тебе складывать пилы и топоры?

-Ну, я знаю, сколько было всего, потом 84 разделю, на сколько всего и узнаю, сколько стоила одна.

-Что - одна? Одна пила или один топор?

-Пила, - говорю, - или топор.

-тогда получится, что они стоили одинаково.

-А они разве не одинаково?

-Конечно, не одинаково. Ведь в задаче не говорится, что они стоили поровну. Наоборот, спрашивается, сколько стоит топор и сколько пила отдельно. Значит, мы не имеем права их складывать.

-Да их, - говорю, - хоть складывай, хоть не складывай, все равно ничего не выходит,

-Вот поэтому и не выходит.

-Что же делать? - спрашиваю я.

-А ты подумай.

-Да я уже два часа думал!

-Ну, присмотрись к задаче, - говорит Ваня. - Что ты видишь?

-Вижу, - говорю, - что 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, а 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей.

-Ну, ты замечаешь, что в первый раз и во второй топоров куплено одинаковое количество, а пил на две больше?

-Замечаю, - говорю я.

-А замечаешь, что во второй раз уплатили на 16 рублей дороже?

-Тоже замечаю. В первый раз уплатили 84 рубля, а во второй раз - 100 рублей, 100 минус 84, будет 16.

-А как ты думаешь, почему во второй раз уплатили на 16 рублей больше?

-Это каждому ясно, - ответил я, - купили две пилы, вот и пришлось уплатить лишних 16 рублей.

-Значит, 16 рублей заплатили за две пилы?

-Да, - говорю, - за две.

-Сколько же стоит одна пила?

-Раз две 16, то одна, - говорю, - 8.

-Вот ты и узнал, сколько стоит одна пила.

-Тьфу! - говорю. - Совсем простая задача! Как это я сам не догадался?!

-Постой, тебе еще надо узнать, сколько стоит топор.

-Ну, это уж пустяк, - говорю я. - 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля. 3 пилы стоят 24 рубля. 84 минус 24, будет 60. Значит, 12 топоров стоят 60 рублей, а один топор - 60 поделить на 12, будет 5 рублей.

Я пошел домой, и очень мне было досадно, что я не сделал эту задачу сам…”

Сначала рассуждение ведется в виде монолога Вити, затем в виде диалога Вити и Вани. В рассуждении встречаются ключевые слова: я стал думать, которые показывают, что рассуждение ведется от первого лица.

Рассуждение Вити - это рассуждение ребенка, так может рассуждать реальный ребенок. Витя перебирает способы решения, которые только может придумать, поэтому рассуждение Вити не нормативное, в нем не заданы нормы того, как надо решать задачу. Правильное решение приводится тогда, когда идет диалог Вити с Ваней. В отличие от рассуждения Лакатоса И. в этом рассуждении метаязык отсутствует, т.к. в этом рассуждении не присутствует персонажа, который был бы компетентен в исследовании. В рассуждение есть вопросы, так как ведется диалог между персонажами.

3).Статья “Близкие дроби” из журнала “Квант”

“Выпишем все правильные дроби, у которых знаменатель не больше 7;

_{1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5/6, 1/6,1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7}.

(мы пропустили сократимые дроби: 2/4, 2/6, 3/6, 4/6 - из дробей, представляющих одно то же число, мы выбираем одну дробь, а именно ту, у которой числитель и знаменатель наименьшие). Теперь запишем те же дроби в порядке возрастания:

_{1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3/ 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7}. (1)

… При этом соблюдается интересная закономерность: числитель разности двух соседних дробей всегда получается равным единице, точнее,

А. Для любых двух соседних дробей a/b, c/d (где a/b< c/d) выполняется равенство bc-ad=1.

Какие еще закономерности присущи ряду дробей (1)? Не трудно обнаружить, что сумма двух дробей симметрично стоящих в этом ряду, равна 1. Интересно, заметил ли читатель, что

Б. Каждая дробь получается из соседних с ней двух дробей следующим образом: надо сложить их числители и разделить полученное число на сумму знаменателей…

Дадим два определения, связанными с нашими наблюдениями.

Определение 1. Назовем две дроби a/b, c/d,близкими, если bc-ad равно 1 или -1.

Упражнение 4. Выберите из дробей (1) все пары близких дробей”.

Схема, по которой описывает свое исследование В.Н. Вагутен: сначала он подбирает материал для исследования, затем ставит себе более узкую задачу и описывает, выделенную им закономерность, формулирует и обосновывает гипотезу и оформляет результат в виде определений и упражнений.

Это нормативное рассуждение, т. к. никаких рассуждений, которые нам не понадобятся, в тексте не встречается, показываются только те ходы, которые нам нужны для того, чтобы заметить закономерности.

Стиль изложения в этом рассуждении - это не явный диалог автора с читателем, об этом нам говорит фраза: “Интересно, заметил ли читатель, что…” Этим он как бы разговаривает с читателем, как бы спрашивает: “А вы заметили, что…”

В тексте используется метаязык: закономерность, определение, упражнение…

4).” Математика и правдоподобные рассуждения”

Автор ставил перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи.

“…Случайно вы наталкиваетесь на соотношения

3+ 7=10,

3+17=20,

13+17=30

и замечаете между ними некоторое сходство. Вам приходит в голову, что числа 3, 7, 13, и 17 являются нечетными простыми числами. Сумма двух нечетных простых чисел есть обязательно четное число; действительно, числа 10, 20, и 30-четные. А что можно сказать о других четных числах? Ведут ли они себя подобным же образом? Первое четное число, является суммой двух нечетных простых чисел, если, конечно,

6=3+3.

Двигаясь дальше, находим, что

8=3+5,

10=3+7=5+5,

12=5+7,

14=3+11=7+7,

16=3+13=5+11.

Всегда ли так будет продолжаться? Как бы то ни было, частные случаи, которые мы наблюдали, наводят на мысль об общем утверждении; любое четное число, большее чем 4, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел. Поразмыслив об исключительных случаях-числах 2 и 4, которые не могут быть расщеплены в сумму двух нечетных простых чисел, мы можем предпочесть следующее менее непосредственное утверждение: любое четное число, не являющееся ни простым числом, ни квадратом простого числа, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел.

Итак, нам удалось сформулировать предположение. Мы нашли это предположение с помощью индукции. Иными словами, оно возникло у нас в результате наблюдения, было указано отдельными частными примерами”.

Сначала, автор как бы рассказывает, что делает читатель, случайно натолкнувшись на некоторое соотношение, для этого он использует такие ключевые слова как: ”Вы наталкиваетесь…”, “вам приходит в голову…” Потом незаметно, он переходит на совместные действия с читателем, для того, чтобы это показать, он использует следующие ключевые слова: “…Двигаясь дальше, находим…”, “…мы наблюдали…”, “…мы можем предпочесть…”

После рассуждения в тексте выделяются шаги.

“Взглянем теперь назад и попытаемся уловить в предыдущем рассуждении такие шаги, которые могли бы быть типичными для процесса индукции.

Сначала мы подметим некоторое сходство. Мы осознали, что 3, 7, 13 и 17 - простые, а 10, 20 и 30 - четные числа и что три соотношения 3+7=10, 3+17=20, 13+17=30 аналогичны между собой.

Следующим шагом было обобщение. От четырех чисел 3, 7, 13 и 17 мы перешли ко всем нечетным простым числам; от 10, 20 и 30 - ко всем четным числам, а затем - к возможному общему соотношению

четное число = простому числу + простое число.

Мы пришли, таким образом, к отчетливо сформулированному общему утверждению, которое, однако, является только предположением, только пробным утверждением. Это значит, что утверждение не в коей степени не является доказанным, никак не может претендовать на истинность, оно является только попыткой подойти к истине”.

Рассуждение является нормативным, т. к. в нем встречаются только верные рассуждения, а неверных нет. Так же об этом нам говорят используемые слова, такие как “поразмыслив”.

В рассуждении используется метаязык: предположение, индукция, обобщение, утверждение.

Рассуждение в основном построено на рассмотрении частных случаев, из которых делается предположение.

В рассуждении очень много вопросов: “Всегда ли так будет продолжаться?”

”А что можно сказать о других четных числах?”

За каждой главой следуют упражнения. Некоторые из упражнений дают читателю возможность заново рассмотреть детали, только намеченные в тексте. Однако большая часть упражнений дает возможность читателю вывести свои собственные правдоподобные заключения.

5).”Исследование психологии процесса изобретения в области математики”

Рассуждение ведется от первого лица.

“Действительно, в течение одной бессонной ночи и при обстоятельствах, к которым мы еще вернемся, он построил первый класс автоморфных функций. Затем он пожелал найти для них выражение: «Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов: эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными. В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея безо всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, -идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я ничего не проверил и, едва сев в омнибус, продолжал начатый разговор, но я уже был вполне уверен, в правильности сделанного открытия для очистки совести проверил найденный результат.

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другом предмете. Однажды, когда я прогуливался на взморье, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла идея, что арифметические преобразования тройничных неопределенных квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии»”.

В этом рассуждение не описывается само исследование, а описываются события, при которых происходило это исследование, т. к. зто важно для психологов. Для них важно выделить те явления, при которых происходит исследование, чтобы потом выделить этапы, которые обязательно проходит исследование. Например, Пуанкаре А. в своей работе “Математическое творчество” говорит, что творчество проходит несколько необходимых этапов.

“То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего озарения, являющаяся результатом длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом изобретении мне кажется несомненной и ее следы можно найти и в других случаях, когда это менее очевидно. Часто, когда работают над трудным вопросом, с первого раза не удается ничего хорошего, затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом снова принимаются за дело. В течение первого получаса дело вновь не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно было бы сказать, что сознательная работа стала более плодотворной, так как была прервана, и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно предположить, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат этой работы внезапно явился математику точно так, как это было в случае, который я рассказал; только озарение вместо того, чтобы произойти во время прогулки или путешествия происходит во время сознательной работы, но совершенно независимо от этой работы, которая, самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты, полученные во время отдыха, но оставшиеся неосознанными, в осознанную форму”.

События, при которых происходило исследование, происходили в следующем порядке.

Сначала во время бессонной ночи построил класс автоморфных функций.

Затем он задал себе вопрос.

Потом путешествие заставило его забыть о работе.

Следующим шагом было то, что когда он вставал на подножку омнибуса, ему пришла идея, которую он сразу не проверил.

Затем, когда он прогуливался на взморье, ему внезапно пришла новая идея.

В рассуждении используются следующие слова для описания процесса исследования: идея, открытие, результат, исследование.

Анализируя все эти источники можно выделить следующие характеристики:

1. Стиль изложения · «Авторитарный» (квази-общение с читателем; обычно употребление глаголов в 1-м лице мн. числа); · рассуждение - от лица автора (от 1-го лица) - безличное; 2. Форма изложения · диалог - автора с читателем - вымышленных героев; · монолог.	“Вы наталкиваетесь…”, “вам приходит в голову…”. “Я стал думать…”, “я сложил…”, “я принимаю…”. “Не трудно обнаружить…” “Случайно вы наталкиваетесь… и замечаете... Вам приходит в голову…” Сигма. …если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его. Учитель. Действительно, я его имею… Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой…”. “Я хотел представить… мной руководила… Я спрашивал себя… мне без труда удалось…”

3. Наличие верных и неверных ходов

Мной выделено три вида описания исследования:

a. “ход мыслей” (описывается от лица автора, в нем присутствуют как верные, так и неверные ходы) (Лакатос И, Носов Н.Н.);

b. “нормативное” описанием (описание безличное или “авторитарное”, наличие только верных ходов) (Вагутен В.Н., Пойа Д.);

c. событийно (описание от лица автора, описываются события, при которых происходило исследование) (Адамар Ж.).

4. Наличие ключевых слов

Таких как: я стал думать, я подметил, вы наталкиваетесь, выпишем и т.п. По ключевым словам, можно определить, кто проводит исследование либо автор (Адамар Ж.), либо вымышленный герой (Лакатос И., Носов Н.Н.), либо математик (Пойа Д.), либо читатель вслед за автором (Пойа Д.).

5. Присутствие или отсутствие метаязыка, описывающего исследование

Есть ли в тексте такие слова как: определение, контрпример, теорема, доказательство, гипотеза, открытие, результат, исследование. Я заметила, что метаязык используется теми героями, которые компетентны в исследовании. Например, у Лакатоса метаязык присутствует у учителя, а у учеников он отсутствует. Чем больше компетентность в вопросе исследования, тем больше метаслов используется.

6. Наличие вопросов

Задаются ли в тексте вопросы, на которые затем даются ответы или которые остаются без ответа (на которые должен ответить читатель).

Глава 2. Учебно-исследовательская деятельность шестиклассников на уроках “Начала анализа”

§1. Учебно-исследовательская деятельность шестиклассников

Существенное отличие развивающего обучения на материале математики как обучение математике от традиционного изучения этого предмета в школе авторы экспериментальных программ видят, прежде всего, в том, что [3]:

· особый способ организации материала и деятельности по его усвоению позволяют формировать у детей содержательные (научно-теоретические) понятия;

· на уроках математики дети могут осуществлять деятельность, являющуюся, в каком-то смысле, аналогом математической деятельности.

По мнению авторов программ развивающего обучения в начальной школе ребенок осваивает предметное действие - изобретение, порождающее малорасчлененную предметную единицу (формирование научно-теоретического понятия числа занимает большой промежуток времени, поэтому число не представлено учащимся как предметное действие). Появление в шестом классе сложно структурированных математических объектов и операций с ними требует освоения учащимися нового предметного действия - учебного-исследования, позволяющего удерживать и преобразовывать целостную расчлененную предметную единицу.

Появление сложно структурированных математических объектов и новых предметных действий, с самого начала шестого класса предъявляет новые требования к учащимся. Им приходится заново выстраивать отношение к изменившемуся предмету и к самой урочной форме.

Психологи отмечают [3], [33], что для детей 1-5 классов учебная деятельность является ведущей. Однако учебная деятельность для подростков перестает быть ведущей, на первый план выходит деятельность социального экспериментирования, проб собственных сил и возможностей. Поэтому, чтобы обучение было успешным, нужно выстраивать такие формы учебной жизни, которые адекватны подросткам. Необходимо задать пространство предмета как пространство проб и экспериментирования с собственным действием и материалом, воссоздание значения собственного действия по отношению к предмету, перевод “пробности" в предметном содержании из зоны ближайшего развития в актуальную зону. Предполагается, что такая деятельность ребенка на уроке адекватна как возрасту; так и содержанию изучаемого предмета и реальной деятельности математика.

Белоконь О.В. и Знаменская О.В. считаю, что существенными составляющими развивающего обучения математике в среднем и старшем звене школы являются развитие учебной деятельности школьниками и воспроизводство математической культуры. Акцент делается на научности, культурности открываемых понятий и способов работы с ними.