Расчёт полосового LC-фильтра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Задание

2. Расчёт полосового LC-фильтра

2.1 Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов

2.2 Формирование требований к полосовому фильтру

2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

2.4 Реализация LC-прототипа

2.5 Реализация пассивного полосового фильтра

3. Расчёт активного полосового фильтра

3.1 Расчёт полюсов ARC-фильтра

3.2 Формирование передаточной функции

3.3 Расчёт элементов схемы фильтра

4. Проверка результатов расчёта

Литература

1. Задание

На входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рисунок 1.1) с параметрами: период следования импульсов T_и = 218 мкс; длительность импульсов t_и = 80 мкс; период несущей частоты T_н = 20 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты U_m.н = 6 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания А_max = A = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания не должно превышать А_пол= =26 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа составляют R_г = R_н = 600 Ом (рисунок 1.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1.1 - Последовательность радиоимпульсов и их параметры

радиоимпульс фильтр амплитудный полосовой

Рисунок 1.2 - Общая схема проектируемых фильтров

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

1) Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов;

2) Определить частоты и и рассчитать превышение амплитуды частоты над амплитудой частоты в децибелах в виде соотношения А = =20lgU_mп/U_mз на входе фильтра;

3) Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания;

4) Рассчитать порядок НЧ-прототипа требуемого фильтра;

5) Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева;

6) Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра.

7) Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра;

8) Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты - ;

9) Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания);

10) Привести схему ARC-полосового фильтра.

2. Расчёт полосового LС-фильтра

2.1 Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов

Прежде чем приступить непосредственно к расчёту фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рисунок 2.1.

Рисунок 2.1 - Общий вид амплитудного спектра радиоимпульсов

Для этого сначала находим несущую частоту:

Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте находим по формуле:

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, построим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (аналогично рисунку 2.1).

Внутри огибающей должны находиться спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами , где - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

.

Учитывая, что:

рассчитываем частоты гармоник, лежащих справа от :

и частоты гармоник, лежащих слева от :

Амплитуды напряжения -ых гармоник находим по формуле:

, (2.1)

где - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе. В нашем случае, равно:

.

Из анализа рисунка 2.1 видим, что главный "лепесток спектра" занимает диапазон частот от до , а левый и правый "лепестки" -- диапазоны от до и от до соответственно. В нашем случае главный "лепесток" расположен от частоты 37,5 кГц до частоты 62,5 кГц, левый - от 37,5 кГц до 25 кГц, а правый - от 62,5 кГц до 75 кГц.

По формуле (2.1) рассчитываем остальные амплитуды, учитывая при этом

 и :

;

Далее на графике зависимости (рисунок 2.2) отражаем значения найденных амплитуд в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра.

Рисунок 2.2 - Амплитудный спектр заданной последовательности импульсов

2.2 Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 37,5 кГц и 62,5 кГц равны нулю, принимаем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 40,82 кГц до 59,18 кГц. Следовательно, эти величины будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра и соответственно (рисунок 2.3, б). Граничную частоту полосы непропускания выбираем равной первой гармонике спектра сигнала, находящейся после частоты

Рисунок 2.3 - Требования к ФНЧ и полосовому фильтру

Используя , находим, центральную частоту ПП:

тогда граничная частота полосы непропускания будет равна:

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник и спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной - полного ослабления:

, (2.2)

где - исходная разница амплитуд второй и четвёртой гармоник в децибелах, равная:

Исходя из этого, находим по формуле (2.2) значение :

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимацию передаточной функции выполняем с помощью полинома Чебышева.

2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Сначала находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

Далее находим значения нормированных частот:



Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 2.4.

Рисунок 2.4 - Требования к НЧ-прототипу

Найдём коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП () из рассмотрения формулы:

, (2.3)

где - функция фильтрации.

При и функция фильтрации имеет значение , поэтому:

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения формулы (2.3), но при и т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева равен:



поэтому:

.

Подставляя все значения в данную формулу, получаем: m = 2,369.

Далее округляем расчётное значение до целого числа в большую сторону и получаем . Пользуясь таблицей 2.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

Таблица 2.1 - Полюсы передаточной функции НЧ-прототипа

, дБ	Порядок
0,2	-0,814634	-0,407317 ± j 1,11701
0,5	-0,626457	-0,313228 ± j 1,021928
1,0	-0,494171	-0,247085 ± j 0,965999
3,0	-0,29862	-0,14931 ± j 0,903813

(2.4)

Из этих значений видно, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной .

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде:

,

где - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим:

Таким образом, передаточная функция НЧ-прототипа имеет вид:

Необходимо обратить внимание на то, что числитель передаточной функции приближенно равен свободному члену полинома знаменателя.

2.4 Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рисунок 1.2) составляется выражение для входного сопротивления в виде:

.

Полином выбираем из знаменателя выражения (2.5), а находим по формуле:

.

Таким образом, выражение для входного сопротивления принимает вид:

(2.6)

Формула (2.6) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме, приведённой на рисунке 1.2, фильтр, нагруженный на сопротивление , действительно является двухполюсником). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу, формула для разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, преобразуем выражение для сопротивления (2.6) в выражение для проводимости:

(2.7)

После этого производим ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

В результате, было получено четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: , , . Из анализа первого результата деления следует, что он отражает ёмкостную проводимость, поэтому все выражение (2.7) можно записать в виде цепной дроби:

. (2.8)

По формуле (2.8) составляем схему (рисунок 2.5), на которой С_1н = 3,349; L_2н= 0,712; С_3н = 3,349; R_г.н = R_н.н = R_нор.



Рисунок 2.5 - Принципиальная схема НЧ-прототипа

Далее денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

; ; ; (2.9)

где - нормирующая частота; - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (2.9) и значения и получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

Таким образом, элементы НЧ-прототипа имеют значения: C₁ = 48нФ, L₂ = =6мГн, С₃ = 48нФ и R_r = R_н = 600Ом.

2.5 Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:

 (2.10)

где .

На основании (2.10) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:

и , (2.11)

а ёмкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:

и . (2.12)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рисунке 2.5 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рисунке 2.6. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (2.11) и (2.12):

Рисунок 2.6 - Принципиальная схема полосового LC-фильтра

Таким образом, элементы пассивного полосового фильтра имеют следующие значения: С₁= 48нФ, С₂= 2нФ, С₃= 48нФ, L₁= 0,2мГн, L₂= 6мГн, L₃= 0,2мГн.

На этом расчёт полосового LC-фильтра окончен.

3. Расчёт активного полосового фильтра

3.1 Расчёт полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС-фильтра, полученными в разделах 2.1 - 2.3. При этом, воспользуемся не самой нормированной передаточной функцией (2.5), а только ее полюсами (2.4). С помощью них рассчитаем полюсы денормированной передаточной функции ПФ по формуле:

;

Вначале находим:

Затем сами полосы:

Расчёт показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения представляем в виде таблицы 3.1.

Таблица 3.1 - Полюса передаточной функции ARC-фильтра

Номера полюсов	Полюсы
1, 2	1,7215	30,82
3, 5	0,7174	26,08
4, 6	1,004	36,5

3.2 Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

.

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет равна:

. (3.1)

Коэффициенты в числителе имеют одинаковую величину. Рассчитываем её по формуле:

Коэффициенты знаменателя выражения (3.1) находим по формулам:

и ,

где - значения полюсов по таблице 3.1;

Аналогичные расчеты выполняем для других полюсов.

Значения всех рассчитанных коэффициентов сводим в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 - Значения коэффициентов передаточной функции

Номер сомножителя,	Значения коэффициентов
1	7,2692	3,443	0,9528
2	7,2692	1,4348	0,6807
3	7,2692	2,008	1,331

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (3.1) получаем передаточную функцию ARC-фильтра:

3.3 Расчёт элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рисунок 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 3.1, в виде:

(3.3)

Рисунок 3.1 - Принципиальная схема активного полосового фильтра на операционном усилителе

Из формулы (3.3) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.2) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчёт элементов этих схем ведётся путём сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.2) и (3.3).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.2):



В системе (3.4) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому необходимо задаться некоторыми значениями, например, ёмкостей конденсаторов и (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой ёмкостью нет вообще).

Если принять , то, решая (3.4), получим:

Таким образом, для первого звена значения сопротивлений будут следующие: R₁ = 7 кОм, R₅ = 29 кОм, R₂ = 91 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же , получаем:

Итак, для второго звена: R₁ = 7 кОм, R₅ = 70 кОм, R₂ = 53 Ом.

Аналогично для третьего звена:



Таким образом, для третьего звена: R₁ = 7 кОм, R₅ = 50 кОм, R₂ = 38 Ом.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений и в каждом звене берём постоянные резисторы из ряда Е12 с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению: для первого звена - R'₁= 10кОм, R'₅= 27кОм; для второго звена -

R''₁= 10кОм, R''₅= 68кОм; и для третьего - R'''₁= 10кОм, R'''₅= 47кОм. Сопротивление берём составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра. Номиналы переменных резисторов выбираем из ряда Е6: для первого звена - R'₂₂= 68Ом, для второго звена - R''₂₂= 47Ом, для третьего - R'''₂₂= 33Ом. Тогда резисторы должны иметь значения:

R'₂₁= R'₂-R'₂₂= 91Ом-68Ом= 23Ом;

R''₂₁= R''₂-R''₂₂= 53Ом-47Ом= 6Ом;

R'''₂₁= R'''₂-R'''₂₂= 38Ом-33Ом= 5Ом.

Окончательные значения резисторов согласно ряду Е12, равны: для первого звена - R'₂₁= 22Ом; для второго звена - R''₂₁= 10Ом; для третьего - R'''₂₁= 10Ом.

4. Проверка результатов расчёта

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант - проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант - проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график или всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.5) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.3). Очевидно, что всего фильтра будет:

(4.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчётов.

С этой целью в (3.3) производим замену переменной вида в результате чего получаем выражение:

Представляем модуль в виде:

(4.2)

Зная легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

, (4.3)

где (4.4)

Выполняем последовательно расчёт первого, второго и третьего звеньев. Значения элементов берём из раздела 2.3. Для первого звена они равны: С₃ = =С₄= 2 нФ, R₁ = 7 кОм, R₂ = 91 Ом, R₅ = 29 кОм. Подставляем эти значения в (4.2):

На частоте границы ПН f_з1 = 37,882 кГц находим Н₁(_з1) = 0,438. На частоте границы ПП f_п1 = 40,82 кГц находим Н₁(_п1) = 0,606. На частоте границы ПП f_п2 = =59,18 кГц находим Н₁(_п2) = 0,603. На частоте границы ПН f_з2 = 63,77 кГц находим Н₁(_з2) = 0,437.

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев.

всего фильтра вычисляем по формуле (4.1):



Далее по формуле (4.4) рассчитываем ослабления вначале каждого звена на разных частотах. Для первого звена получаем:

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев.

Теперь, находим ослабления всего фильтра на разных частотах:

Все результаты сводим в таблицу 4.1.

При анализе табличных данных обращаем внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 2.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

В ходе расчёта по формуле (4.2) обращаем внимание на то, что значение наиболее сильно зависит от величины сопротивления , поэтому именно это сопротивление выбираем переменным.

На рисунке 4.1 строим ожидаемую теоретическую кривую зависимости ослабления фильтра от частоты, а на рисунке 4.2 приводим принципиальную схему активного полосового фильтра.

Таблица 4.1 - Значения функций и на границах ПП и ПН

f, кГц	fз1	fп1	fп2	fз2
	37,882	40,82	59,18	63,77
Н1() Н2() Н3()	0,438 1,452 0,226	0,606 4,303 0,276	0,603 0,384 2,977	0,437 0,314 1,018
Н ()	2,116	5,185	3,964	1,769
А1(), дБ А2(), дБ А3(), дБ	7,165 -3,24 12,922	4,355 -12,675 11,177	4,396 8,314 -9,476	7,196 10,051 -0,159
А (), дБ	16,847	2,857	3,234	17,088

Рисунок 3.1 - Зависимость ослабления фильтра от частоты



Рисунок 3.2 - Принципиальная схема активного полосового фильтра

Литература

1) Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000. - 589 с.

2) Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник - М: Радио и связь, 1998. - 444 с.

3) Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: "Высшая школа", 1990. - 544 с.

4) Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. -- M.: Радио и связь, 1989. - 328 с.

5) Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983. - 752 с.

6) Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. - М.: Радио и связь, 1986. - 544 с.

Размещено на Allbest.ru