Расчет фильтров по рабочим параметрам

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

«РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ»

Содержание

Введение

1. Постановка задачи синтеза электрического фильтра

2. Переход к ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте

3. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

4. Реализация схемы фильтра ФНЧ - прототипа

5. Переход от схемы ФНЧ - прототипа к схеме заданного фильтра

6. Расчет частотных характеристик фильтра

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех классов фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) и производить синтез любого фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или комбинациям элементов) заданного фильтра.

Согласно варианту требуется рассчитать фильтр верхних частот (ФВЧ), удовлетворяющий следующим техническим требованиям:

граничные частоты полосы пропускания (ПП) f₂ = 13,8 кГц;

граничные частоты полосы непропускания (ПН) f₃ = 8,1 кГц;

коэффициент отражения с = 43,3 %;

минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН А_min =16 (дБ);

сопротивление нагрузки R₂ =1450 (Ом).

Аппроксимацию требуется выполнить по Баттерворту, а реализацию - ускоренным методом Дарлингтона.

1. Постановка задачи синтеза электрического фильтра

Синтез электрического фильтра по рабочим параметрам (рабочему ослаблению или рабочей фазовой постоянной) состоит из двух этапов: аппроксимации и реализации.

На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение рабочей передаточной функции Т(р) фильтра, удовлетворяющей условиям физической реализуемости по заданным требованиям.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины составляющих ее элементов.

В синтезе фильтров используется преобразование частоты и нормирование сопротивлений и частот.

Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех классов фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) и производить синтез любого фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или комбинациям элементов) заданного фильтра.

Нормирование заключается в том, что вместо абсолютных значений частот и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их относительные величины. Нормирование осуществляется по отношению к нагрузочному сопротивлению и граничной частоте полосы пропускания для ФНЧ и ФВЧ (или среднегеометрической частоте полосы пропускания для ПФ).

Техническими требованиями к фильтру являются:

граничные частоты полосы пропускания (ПП) f₂ или f₂ , f₂₁;

граничные частоты полосы непропускания (ПН) f₃ или f₃ ,f₃₁;

максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП ДА (дБ) или коэффициент отражения с (%), которые связаны соотношением:



электрический фильтр аппроксимация частота

минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН А_min(дБ);

сопротивление нагрузки R_Н=R₂ (Ом).

Синтез фильтра производится в следующем порядке:

Переход к ФНЧ-прототипу и нормирование частот;

Аппроксимация рабочей передаточной функции Т(р) и характеристики рабочего ослабления фильтра А(Щ);

Реализация схемы ФНЧ (ФНЧ-прототипа);

Переход от схемы ФНЧ к схеме заданного фильтра и денормирование ее элементов;

Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего ослабления А(f) и рабочей фазы В(f) фильтра.

2. Переход к ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте

При расчете ФВЧ переходим к требованиям для ФНЧ - прототипа. Частотная характеристика ФВЧ переходит в частотную характеристику ФНЧ - прототипа при использовании преобразования частоты вида:

Щ₀ =- ,

где Щ₀ - расчетная нормированная частота ФНЧ - прототипа,

Щ - нормированная частота исходного ФВЧ.

Для ФНЧ - прототипа:

Рисунок 1

3. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ- прототипу необходимо получить математические выражения рабочей передаточной функции Т(р) и рабочего ослабления фильтра А(р). Известно, что частотные свойства фильтра определяются функцией фильтрации ц:

А = 10lg(1 + |ц|2) = 20lg(1/|T|), где |T|2= 1/(1+ |ц|2)

Следовательно, задача сводится к выбору аналитического выражения этой функции и расчету ее коэффициентов. В качестве аппроксимирующих удобно использовать полиномиальные функции, среди которых наиболее широкое применение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.

При выборе полинома Баттерворта в качестве аппроксимиующего функция фильтрации определяется выражением:

|ц(jЩ)|2=е2В2n(Щ)

где: е - коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания:

при ДА = 0.48037 дБ

В_n(Щ) =Щⁿ - полином Баттерворта,

n - порядок полинома Баттерворта, определяемый техническими требованиями к фильтру и являющийся порядком фильтра:

n ? 4.80965

n =5.

Перейдем к формированию нормированной рабочей передаточной функции Т(р) по Баттерворту:

|T(jЩ)|² = 1/(1+0.48037²Щ¹⁰)

где V(p)=(p-p₁)(p-p₂)…(p-p_n) - полином Гурвица, определяемый корнями уравненя 1+ е² (p/j)²ⁿ = 0, лежащими в левой полуплоскости.

Эти корни определяются соотношением:

Рабочее ослабление получим через рабочую передаточную функцию Т(jЩ)=Т(р)р=jЩ.

Окончательно получим:

Проверим полученное выражение А(Щ) на частотах Щ₀₁ = 0, Щ₀₂ = 1 и

Щ₀₃. Рабочее ослабление А на первой частоте должно быть равно 0, на второй - ДА,и на последней А_min.

Расчет подтверждает это:

4. Реализация схемы фильтра ФНЧ - прототипа

Существует несколько способов реализации электрических фильтров: по Дарлингтону, ускоренный метод реализации симметричных и антиметричных фильтров Попова П.А., реализация по каталогу нормированных схем и т.д. Реализация по Дарлингтону основана на формировании функции Z_вх(р) по Т(р). Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции Z_вх(р) в цепную дробь (по Кауэру).

Z_вх(р) определяется из выражения: с(р)=, откуда

Z_вх(р)=.

с(р) при аппроксимации по Баттерворту определяется:

Окончательно получим:

Сформируем коэффициент отражения с(р):

B₅(p) - полином Баттерворта пятого порядка (n=5).

Составим Z_вх(р), выбирая знак “ - “ у функции с(р):

Разложим функцию Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру) и построим нормированную схему фильтра:

l₁= 0.5337366 c₂=1.3973407 r₁=r₂=1

l₃= 1.727208 c₄=1.3973407

l₅= 0.5337366

Полученной функции Zвх(р) соответствует следующая нормированная схема (рис.1):

Рис. 2. Нормированная схема фильтра

Если выбрать знак “ + “ у функции с(р), то получим дуальную схему фильтра:

c₁= 0.5337366 l₂=1.3973407 r₁=r₂=1

c₃= 1.727208 l₄=1.3973407

c₅= 0.5337366

Ей соответствует дуальная схема (рис.2):

Рис. 3. Дуальная схема фильтра

5. Переход от схемы ФНЧ - прототипа к схеме заданного фильтра

Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ - прототипа к схеме ФВЧ. Согласно [1] каждая индуктивность l_k переходит в емкость с_k1= a / l_k, а каждая емкость c_q - в индуктивность l_q1= a / c_q (рис.6).



Рис. 4. Заданная схема фильтра

Для перехода к денормированным нагрузочному сопротивлению R₂ и граничной частоте f₂ (т. к. ФВЧ) осуществляется изменение уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:

а) преобразующий множитель сопротивления:

где R₂ - нагрузочное сопротивление,

r₂ - нормированное нагрузочное сопротивление;

б) преобразующий множитель частоты:

Коэффицикнты денормирования индуктивности k₁ и емкости k₂ определяются по формулам:



Рассчитаем эти коэффициенты:

Денормированные значения заданного фильтра определяются по следующим формулам:

6. Расчет частотных характеристик фильтра

После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедиться в его соответствии техническим требованиям. Для этого производится расчет частотных характеристик рабочего ослабления А(f) и рабочей фазы B(f) спроектированного фильтра, по которым проверяется выполнение технических требований:

рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины ДА:

рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значения А_min:

рабочая фаза В(f) позволяет судить о выполнении требований к ее линейности в пределах ПП (если такие имеются).

Расчет нормированных характеристик рабочего ослабления А(Щ₀) и рабочей фазы В(Щ0) ФНЧ - прототипа производим, пользуясь следующими соотношениями:

А(Щ) = 20lg | 1/T(j Щ) |

B(Щ) = arg { 1/T(j Щ) }

Зададимся частотами Щ₀ для расчета характеристик. Для фильтров Баттерворта, имеющих монотонно нарастающий характер А(Щ) и В(Щ), производим выбор пяти частот произвольно, включая Щ₀₁=0 и Щ₀₂=1 в ПП.

Т.к. в ПН зависимость А(Щ) фильтров Баттерворта имеет монотонно нарастающий характер, достаточно убедиться в выполнении условия A(f) A_min лишь на граничной частоте ПН . Поэтому в качестве расчетной выбираем в ПН одну частоту Щ₀ = Щ₀₃. Расчет В(Щ) производится на тех же частотах, что и расчет А(Щ).

Для преобразования нормированных А(Щ₀) и В(Щ₀) в соответствующие характеристики и B(f) ФВЧ необходимо расчитать значения денормированных и преобразованных частот, соответствующие нормированным частотам Щ₀ ФНЧ - прототипа. Для ФВЧ используем преобразование частоты и ее денормирование по следующим формулам:

Щ = 1/ Щ₀ f = f₂ Щ

Тогда в ПП Щ₀ = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1, и Щ₀ = Щ₀₃ = 1.7037 в ПН

Выполним преобразование и денормирование частоты по ранее описанным формулам. Соответствующий расчет дает следующие результаты:



Внесем данные значения в табл.1:

Таблицу 1

Щ0	0	0,25	0,5	0,75	1	1.7037
Щ	?	4	2	1,33333	1	0.58696
f(кГц)	?	55,2	27,6	18,4	13,8	8,1
А(дБ)	0	0	0.00098	0.05607	0.90171	16,86127
В(град)	0	- 49,8	-100,51	- 157,2	- 227,55	- 318,4

Построим графики частотной зависимости рабочего ослабления (рис.5) и рабочей фазы (рис. 6) по результатам расчета.



Рис. 5. Частотная зависимость рабочего ослабления

Рис. 6. Частотная зависимость рабочей фазы

Проверка технических требований по таблице 1 и графикам рис. 5 и рис. 6 подтверждает соответствие аппроксимированной Т(р) техническому заданию. Это свидетельствует о правильности выполнения этапа аппроксимации.

Заключение

На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение рабочей передаточной функции Т(р) фильтра, удовлетворяющей условиям физической реализуемости по заданным требованиям. На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины составляющих ее элементов. В синтезе фильтров используется преобразование частоты и нормирование сопротивлений и частот.

Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех классов фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) и производить синтез любого фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или комбинациям элементов) заданного фильтра. Нормирование заключается в том, что вместо абсолютных значений частот и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их относительные величины.

Cписок использованной литературы

Методическая разработка к курсовой работе по ТЭЦ “Расчет фильтров по рабочим параметрам”.

Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2006.

Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2009.

4. Дьяконов В. Mathcad 8/2000: Специальный справочник: “Питер”, 2011.

Размещено на Allbest.ru