Управление банковскими ресурсами на основе теории нечетких множеств

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, стоящие перед человеком в различных областях знаний являются по своей природе слишком сложными и многогранными для того, чтобы использовать для их решения только точные, хорошо определенные модели и алгоритмы. Экономика является наиболее благодатной сферой приложения современных математических методов оперирования с неопределенностями.

Действительно, если исключить чисто бухгалтерский анализ, когда мы имеем дело с уже совершившимися событиями, главными проблемами экономической науки остаются планирование и прогнозирование, эффективность распределения ресурсов. Решение этих задач без анализа рисков, связанных с неопределенностью будущего, может в настоящее время представлять лишь некоторый академический интерес для представителей чистой математики. С другой стороны, оценка рисков с помощью только теоретико-вероятностного подхода возможна лишь при прогнозировании весьма близкого будущего, когда существующие в настоящий момент тренды еще имеют место быть.

Для более отдаленных горизонтов планирования, как правило, не имеется информации, достаточной для построения необходимых частотных распределений. В таких ситуациях управленцы используют экспертные оценки и другую информацию, характеризующуюся неопределенностями субъективной природы. Источником субъективной неопределенности служит также многокритериальность, внутренне присущая экономическим оценкам. В этих условиях решение экономических задач требует использования соответствующего математического аппарата.

Понимание необходимости разработки эффективной математической базы для работы с неопределенностями, в том числе и субъективной природы, осознание недостатков теоретико-вероятностных методов, привело к бурному развитию и формированию в последние 30 лет ряда новых научных дисциплин: интервальной математики, теории нечетких множеств, теории возможностей и теории свидетельств Демпстера-Шефера, частными случаями которой являются аксиоматики теории возможностей и классической теории вероятностей. Эти направления не отрицают, а обобщают традиционные представления. Во многих работах также показано, что теория вероятностей является частным случаем теории возможностей. В свою очередь математической основой последней является теория нечетких множеств.

В настоящее время постепенно становится ясным, какие подходы, в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать. Сегодня одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования экономических явлений и процессов является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные модели, зачастую представленные в виде программного обеспечения для персональных компьютеров, позволяют как менеджерам различного уровня, так и собственникам предприятий принимать экономически грамотные решения.

Весь этот комплекс новых теорий и методов (включая классическую теорию вероятностей) движется к естественному объединению в общую теорию анализа неопределенностей.

В последние годы все больше российских банков в целях повышения эффективности управления экономическими процессами пытаются организовать свою деятельность на основе современных научных исследований. Повсеместно внедряется бизнес-планирование, финансовый и инвестиционный анализ, современные программные продукты, основанные на последних научных разработках. Одновременно возрастает спрос на рыночные исследования (как на микроэкономическом, так и макроэкономическом уровне), на финансовую и общеэкономическую информацию.

В данной работе рассмотрены проблемы управления банковской деятельностью и распределения ресурсов банка на основе концепций теории нечетких множеств. Они значительно расширяют возможности учета неопределенностей различной природы, неизбежно сопутствующих математическому описанию реальности. Такой подход позволяет решать задачи совершенствования функционирования производственных систем в условиях неполноты и неточности информации о протекающих процессах, недостаточности и недостоверности знаний, при наличии субъективности оценок. В отличие от традиционной математики, требующей на каждом шаге моделирования точных и однозначных формулировок закономерностей, нечеткая логика предлагает совершенно иной уровень мышления, благодаря которому творческий процесс моделирования происходит на наивысшем уровне, при котором постулируется лишь минимальный набор закономерностей.

Таким образом, в работе будут рассмотрены задачи формализации функционирования банка как системы управления, а также задачи и модели эффективного распределения банковских ресурсов, основываясь на положения теории нечетких множеств.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Многие понятия, вследствие человеческого мышления, приближенного характера умозаключений, лингвистического их описания являются нечеткими по своей природе и требуют для своего описания соответствующего математического аппарата, в частности, аппарата теории нечетких множеств, предложенного Л. Заде. Существующие методы решения задач управления в условиях неопределенности, как правило, учитывают только достаточно малые изменения коэффициентов целевой функции и системы ограничений модели, и практически не позволяют учесть вариации структуры модели.

В банковской деятельности эта проблема весьма актуальна. Ведь точность и оптимальность принятия решений - это залог успешной стратегии банка, которая позволяет добиваться его наибольшей эффективности. Данная задача является ключевой: если сформулировано научное обоснованное представление о линии поведения банка, то это является решающим фактором успеха банковской деятельности. Ведь важной особенностью управления и распределения ресурсов банка являются имеющиеся факторы случайности, неточности. Таким образом, математические модели в прикладных отраслях должны строиться не только с точки зрения наиболее адекватного отражения сущности моделируемых процессов и явлений, но и с учетом условий неопределенности.

В связи с этим, аппарат нечетких множеств применяется для решения задач, в которых исходные данные являются ненадежными и слабо формализованными.

Сильными сторонами применения математического подхода, основанного на нечетких множествах и нечетких логиках, являются: описание условий и метода решения задачи на языке, близком к естественному, универсальность и эффективность. Вместе с тем, имеются характерные недостатки: исходный набор постулируемых нечетких правил формируется экспертом и может оказаться неполным или противоречивым; вид и параметры функции принадлежности, описывающие входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно, и могут оказаться недостаточно адекватно отражающими реальную действительность.

В традиционных подходах к управлению все неопределенности естественных процессов трактуются в вероятностном смысле, однако на практике это не всегда соответствует природе неопределенностей, часто представляющих собой следствия субъективных оценок. Кроме того, частотные распределения будущих событий, как правило, известны недостаточно точно.

В работе речь идет о моделировании процессов, непосредственно связанных с практической управленческой деятельностью людей. Поэтому в нашей ситуации цель моделирования можно обобщенно сформулировать как получение информации, облегчающей процессы принятия адекватных решений в сфере банковской деятельности. С тех пор как почти 40 лет назад профессор Л.Заде сформулировал основы теории нечетких множеств (fuzzy sets theory) результаты её практического применения в виде так называемых нечетких систем можно видеть в различных областях человеческой деятельности. В работе подробнее остановимся на вопросах применения методов теории нечетких множеств к задачам управления процессами банковской деятельности и в сфере распределения ресурсов банка.

Важно отметить, что термин фаззи (fuzzy) (и особенно в укоренившемся русском переводе "нечеткий") вызывает настороженность у лиц, принимающих решения при выборе методов реализации того или иного проекта. Понятие "нечеткость" в этом случае воспринимается как неоднозначность или даже ненадежность функционирования будущей системы. На самом деле компьютерные модели на основе нечеткой математики абсолютно точны и однозначны по отношению к конкретной ситуации на входе модели. Их замечательным свойством является способность обрабатывать разнородную по качеству входную информацию, в целом повышая достоверность описания поведения объекта. Иными словами нечеткие системы отражают на выходе суммарную степень размытости, неполноты и неточности входных данных, тем не менее, предлагая единственное для данной конкретной ситуации решение.

2. БАНКОВСКИЕ РЕСУРСЫ

2.1 Виды и классификация банковских ресурсов

Необходимым активным элементом банковской деятельности являются ресурсная база коммерческого банка и факторы, ее определяющие. Для осуществления своих операций банки должны иметь в своем распоряжении определенные ресурсы. Коммерческий банк, с одной стороны, привлекает свободные денежные средства юридических и физических лиц, формируя тем самым свою ресурсную базу, а с другой - размещает ее от своего имени на условиях возвратности, срочности и платности. При этом коммерческий банк может осуществлять свои операции только в пределах имеющихся у него ресурсов.

Банковские ресурсы - это совокупность денежных средств, находящихся в распоряжении банка и используемых им для проведения активных операций и образования резервов. Это собственные капиталы и фонды коммерческих банков, а также их привлеченные средства. [1]

В результате проведения банками пассивных операций образуются источники банковских ресурсов, к которым относятся:

· размещение паев или первичная эмиссия (продажа) акций;

· продажа активов банка (земли, недвижимости, золота и драг. металлов);

· эмиссия и размещение краткосрочных и долгосрочных обязательств (депозитных сертификатов, банковских векселей, ипотечных обязательств и др.);

· продажа ценных бумаг (как государственных, так и корпоративных), принадлежащих банку или его клиентам;

· привлечение средств на депозитные счета юридических и физических лиц;

· получение займов от центрального банка, других кредитных организаций и финансовых институтов;

· использование части полученных банком доходов для увеличения ресурсной базы.

Банковские ресурсы складываются из:

· денежных средств, созданных банковской системой ранее и находящихся на пассивных счетах кредитных организаций (или активно-пассивных счетах в части превышения пассивов над активами), а также в денежном обращении;

· потенциальных ресурсов, которые создаются или привлекаются банками в настоящее время или будут созданы (привлечены) в будущем.

По способу образования ресурсы коммерческого банка можно разделить на две основные группы:

· собственный капитал

· привлеченные средства.

Собственные источники банковских ресурсов:

· акционерный капитал, образованный при создании банка;

· заработанная банком прибыль, которая может находиться в разных формах (в виде созданных за ее счет фондов банка, в виде нераспределенной прибыли прошлых лет и отчетного года).

Собственный капитал представляет собой средства, принадлежащие непосредственно коммерческому банку в период его деятельности. В качестве собственных средств выступают элементы, способные служить страховкой на случай непредвиденных убытков. [1]

Привлеченные средства носят для банка временный характер. Они могут формироваться банками на депозитной и недепозитной основе.

Депозиты - денежные средства юридических и физических лиц, привлеченные в результате проведения банком операций по открытию и ведению счетов клиентов, приема вкладов (депозитов), выпуска собственных ценных бумаг в виде долговых обязательств.

Прочие привлеченные средства носят характер займов, так как приобретаются банком по его собственной инициативе, в основном на межбанковском рынке.

В зависимости от условий привлечения ресурсов депозитного характера и возможности их изъятия собственником депозиты подразделяются на срочные и до востребования. [1]

Ресурсы недепозитного характера образуются у банков в результате

· выпуска и продажи ими собственных долговых бумаг (векселей, облигаций, банковских сертификатов);

· при покупке ресурсов на межбанковском рынке.

В последнем случае существуют различные каналы привлечения: от коммерческих банков или от центрального банка. В зависимости от условий предоставления ресурсов Национальным банком они могут быть:

· целевыми и использоваться коммерческими банками для кредитования конкретных проектов и клиентов;

· нецелевыми, которыми банки имеют право распоряжаться по собственному усмотрению.

Источники средств банка являются основным признаком классификации его ресурсов, однако банковские ресурсы можно классифицировать и по иным признакам, например, по стоимости ресурсов, по влиянию того или иного вида ресурсов на ликвидность и доходность банка.

Принимая во внимание стоимость ресурсов, условно можно выделить 3 их группы:

· бесплатные,

· дешевые,

· дорогие.

К бесплатным ресурсам относится в основном часть собственных средств банка, источником которых является прибыль. Бесплатными могут быть также ресурсы, представляющие собой остатки по счетам клиентов, по которым не предусмотрено начисление процентов. [1]

Дешевыми ресурсами, как правило, являются депозиты до востребования.

К дорогим можно причислить срочные депозиты и ресурсы, купленные на межбанковском рынке.

Стоимость ресурсов банка оказывает непосредственное влияние на его доходность, а ликвидность банка во многом зависит от того, на каких условиях привлечены средства клиентов (срочные, до востребования) и какова вероятность их одновременного изъятия.

Привлеченные ресурсы можно классифицировать по типам клиентуры:

· банки,

· юридические лица,

· физические лица.

Классификационным признаком ресурсов банка может быть и вид валюты, в которой они сформированы: национальная, иностранная (в том числе свободно конвертируемая и с ограниченной конвертацией).

Таким образом, при осуществлении коммерческим банком операций у него образуются собственные и привлеченные ресурсы. В зависимости от условий и признаков ресурсы коммерческих банков подразделяют на различные виды. Ресурсная база в деятельности коммерческих банков предопределяет масштабы и направления активных операций и, следовательно, объем и структуру банковских доходов. Состав и структура ресурсов коммерческого банка оказывает существенное влияние на его ликвидность и финансовые результаты деятельности в целом. [1]

Собственные ресурсы банка

Собственные средства коммерческого банка состоят из сформированных им фондов и прибыли, полученной банком в результате его деятельности в текущем году и на протяжении прошлых лет. Фонды банка составляют основу собственных средств. Каждый из них имеет определенное целевое назначение. Различаются также порядок и источники их формирования.

Отправной точкой в организации банковского дела является формирование коммерческими банками уставного фонда (капитала). Собственный капитал по общему определению - это имущество банка, свободное от обязательств, собственное имущество (средства) банка. В среднем составляет около 17% в общей структуре банковских ресурсов. Обеспечивает экономическую самостоятельность, стабильность и устойчивую работу банка. Его создание в размерах, определенных законодательством, является обязательным условием регистрации банка как юридического лица. Независимо от организационно-правовой формы банка, его уставный фонд формируется полностью за счет вкладов участников -- юридических и физических лиц. Средства, внесенные в уставный фонд, представляют собой стартовый капитал для начала осуществления хозяйственной и коммерческой деятельности вновь созданного банка и на протяжении всего периода функционирования кредитного учреждения являются экономической основой его существования.[1]

В обязательном порядке коммерческие банки должны формировать резервный фонд, который предназначается для возмещения убытков от активных операций банка, выплаты дивидендов по привилегированным акциям в случае недостаточности полученной прибыли и для других аналогичных целей. Резервный фонд формируется за счет отчислений от чистой прибыли банка. Размеры этого фонда находятся в непосредственной зависимости от размеров уставного фонда банка

Кроме обязательного формирования резервного фонда, коммерческими банками могут создаваться и другие фонды, источниками формирования которых служит банковская прибыль. Количество этих фондов, их названия, целевое назначение, размеры, порядок формирования и использования должны быть оговорены в учредительных документах банка или в специальных внутрибанковских положениях о фондах, утвержденных соответствующими органами управления банка. Чаще всего формируются фонд развития банка, фонды, аккумулирующие средства для выплаты дивидендов акционерам и индексации номинала акций, фонд текущих расходов банка. Могут создаваться также различные целевые фонды, например, для переподготовки и повышения квалификации персонала и т.д. В особую группу следует выделить фонды банка, образование которых связано с различными внешнеэкономическими факторами. Их можно объединить под общим названием фонды переоценки.

В состав собственных средств банка может входить и ряд других элементов:

· созданные за счет прибыли банка резервы на риски и платежи;

· эмиссионные разницы, образующиеся в результате реализации первично размещаемых акций по цене, превышающей их номинальную стоимость;

· нераспределенная прибыль отчетного года и прошлых лет.

Важно отметить, что отличительная особенность структуры банковских пассивов заключается в относительно небольшой доле собственных средств банка (около 10 %) по сравнению с долей привлеченных средств. [1]

Привлеченные ресурсы банка

Как отмечалось ранее привлеченные ресурсы можно классифицировать по разным типам:

· депозитные и недепозитные;

· бесплатные, дешевые, дорогие;

· банковские, юридических и физических лиц.

Разновидностью привлеченных ресурсов банков являются средства населения, размещенные во вклады. Кроме этого, в состав привлеченных средств в настоящее время стали входить средства индивидуальных предпринимателей. [1]

С переходом на рыночные отношения у коммерческих банков появились не только новые каналы привлечения средств, но и принципиально иные, нетрадиционные для прежней банковской системы, способы аккумуляции временно свободных денежных средств физических и юридических лиц. Среди привлеченных ресурсов появились такие новые виды, как средства, полученные от Национального банка, и средства, привлеченные от других коммерческих банков. Широко практикуется привлечение средств на депозитной основе, причем особое значение приобрело для коммерческих банков привлечение ресурсов на фиксированные сроки. С развитием корреспондентских отношений между банками появилась такая разновидность привлеченных ресурсов, как остатки средств на корреспондентских счетах. Принципиально новым способом аккумуляции средств стало их привлечение на основе выпуска банками собственных ценных бумаг долгового характера: облигаций, векселей, депозитных и сберегательных сертификатов.

Основную часть привлеченных ресурсов коммерческих банков составляют депозиты. Они представляют собой денежные средства, внесенные в банк его клиентами -- юридическими и физическими лицами. По экономическому содержанию депозиты можно разделить на несколько групп:

· депозиты до востребования;

· срочные депозиты;

· сберегательные вклады.

Основной характеристикой всех депозитов до востребования является возможность их владельцев без предварительного уведомления пользоваться этими средствами: производить за счет них платежи и перечисления; получать их часть для использования на разрешенные законодательством цели в виде наличных средств; осуществлять их депонирование и даже полное изъятие. [1]

Наиболее устойчивую часть депозитных ресурсов представляют срочные депозиты и сберегательные вклады. Под срочными депозитами понимаются денежные средства, внесенные в банк на фиксированный срок. В некоторых случаях коммерческие банки прибегают к оформлению срочных депозитов и вкладов депозитными и сберегательными сертификатами. Сберегательные счета клиентов характеризуются в основном отсутствием фиксированного срока хранения денежных средств и условия их ведения не требуют предупреждения об изъятии средств.

Недепозитными средствами принято считать ресурсы, которые формируются коммерческими банками путем продажи собственных долговых обязательств на денежном рынке или путем получения займов от других кредитных учреждений, в том числе от центрального банка. Недепозитные источники банковских средств в отличие от депозитов не носят персональный характер и не ассоциируются с конкретными клиентами банка. Они приобретаются на рынке зачастую на аукционной основе, предполагающей конкуренцию. [1]

Таким образом, доля привлеченных средств в общей сумме банковских ресурсов составляет более 70 %.

2.2 Основные принципы и особенности управления банковскими ресурсами

Управление банковскими ресурсами представляет собой деятельность, связанную с привлечением денежных средств вкладчиков и других кредиторов, определением величины и соответствующей структуры источников денежных средств в тесной увязке с их размещением. [2]

Управление ресурсами коммерческих банков можно условно подразделить на 2 уровня:

· уровень государства;

· уровень коммерческого банка.

При этом на каждом уровне управления используются как экономические, так и организационные методы. Сами же методы прямо либо косвенно воздействуют на величину ресурсов коммерческих банков.

На уровне государства управление ресурсами коммерческих банков происходит через разные учреждения, в основном через Национальный банк РФ с использованием различных инструментов.

Предоставление Национальным банком РФ кредитов коммерческим банкам непосредственно влияет на величину их пассивов. Официальная учетная ставка выступает фактором регулирования спроса на межбанковский кредит. Другим инструментом, который использует Национальный банк, являются операции на открытом рынке. Операции по купле-продаже государственных ценных бумаг увеличивают или снижают величину пассивов коммерческих банков. Установление экономических показателей регулирования деятельности коммерческих банков непосредственно сказывается на величине их ресурсов. Минимальный размер уставного фонда не только прямо, но и косвенно влияет на величину собственного капитала коммерческого банка, поскольку образование других его фондов взаимосвязано с уставным фондом. Предельное соотношение между размером собственных средств коммерческого банка и суммой активов, взвешенных с учетом степени риска их потери, устанавливает относительную черту развертывания активных операций коммерческого банка, характеризует его платежеспособность. В регулировании ресурсов важное место отводится показателям ликвидности коммерческого банка и максимального размера риска на одного заемщика. Соблюдение указанных показателей требует поддержания соответствия между сроками, на которые привлекаются и размещаются средства. При размещении ресурсов коммерческие банки исходят из степени кредитоспособности клиентов. [2]

Важная роль в управлении банковскими ресурсами принадлежит самим коммерческим банкам. При этом им необходимо выполнять требования Национального банка РФ о соблюдении коммерческими банками установленных экономических нормативов, а также проводить сбалансированную пассивную и активную политику. В развитии операций по привлечение свободных денежных средств важное значение имеет качество обслуживания клиентов. Привлечению средств вкладчиков в коммерческие банки способствует изменение порядка выплаты процентов. Одним из направлений работы коммерческих банков в области привлечения ресурсов является использование различных видов ценных бумаг, в частности, сертификатов. Следует также развивать спектр банковских услуг для вкладчиков, что будет стимулировать внесение средств на счета в коммерческих банках. [1]

Проблема управления ресурсами, привлеченными коммерческими банками, имеет не только количественную, но и качественную сторону. Привлекать ресурсы без проработки вопроса об их размещении немыслимо. Перед коммерческими банками стоит задача эффективного размещения ресурсов, которое возместило бы затраты и принесло банку прибыль, а также обеспечило выполнение предъявляемых Национальным банком Украины требований по ликвидности банка. Это возможно при осуществлении коммерческим банком тесной взаимоувязки пассивных операций с активными.

Большинство коммерческих банков в области управления активами использует метод общего фонда денежных средств, который предполагает мобилизацию средств с последующим направлением их на потребности, которые возникают в данный момент. Ряд коммерческих банков использует в своей деятельности метод научного управления, в основу которого положены экономико-математические методы. Управление ресурсами коммерческих банков означает не только привлечение и размещение денежных средств, но и определение оптимальной структуры источников образования для конкретного банка. [2]

Следовательно, основная цель коммерческого банка - выбрать такую структуру банковского капитала, которая при наименьших затратах на формирование не банковских ресурсов будет способствовать поддержанию стабильного уровня дивидендов и доходов, а также репутации коммерческого байка на уровне, достаточном для привлечения им необходимых денежных ресурсов на выгодных условиях. Таким образом, управление банковскими ресурсами - сложная и многогранная проблема, не имеющая однозначного ответа и требующая ежедневного анализа состояния не только банковских активов и пассивов, но и перспектив ее развития экономики страны в целом.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

3.1 Нечеткие множества

В традиционной прикладной математике множество понимается как совокупность элементов (объектов), обладающих некоторым общим свойством. Для любого элемента при этом рассматриваются лишь две возможности: либо этот элемент принадлежит данному множеству (т.е. обладает данным свойством), либо не принадлежит (не обладает данным свойством). Таким образом, в описании множества в обычном смысле должен содержаться четкий критерий, позволяющий судить о принадлежности или непринадлежности любого элемента к данному множеству.

Однако при попытках математического описания сложных систем язык обычных множеств может оказаться недостаточно гибким. Имеющаяся информация о системе может быть сформулирована на языке нечетких понятий, которые невозможно математически формализовать с помощью обычных множеств. [3]

Понятие нечеткого множества - попытка математической формализации нечеткой информации с целью ее использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При этом подходе высказывания типа "элемент x принадлежит данному множеству" теряют смысл, поскольку необходимо указать "насколько сильно" или с какой степенью данный элемент принадлежит данному множеству. [3]

Один из простейших способов математического описания нечеткого множества - характеризация степени принадлежности элемента множеству числом, например, из интервала [0, 1]. Пусть X - некоторое множество (в обычном смысле) элементов. В дальнейшем мы будем рассматривать подмножества этого множества. [4]

Определение 3.1.

Нечетким множеством С в Х называется совокупность пар вида , где , а - функция , называемая функцией принадлежности нечеткого множества С. Значение этой функции для конкретного х называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству С.

Нечеткое множество вполне описывается своей функцией принадлежности, поэтому ниже часто будем использовать эту функцию как обозначение нечеткого множества.

Л.А. Заде вводит в рассмотрение нечеткие множества с функциями принадлежности, значениями которых являются нечеткие подмножества интервала [0,1], и называет их нечеткими множествами типа 2. Обычные нечеткие множества, соответствующие определению 3.1, называются при этом нечеткими множествами типа 1. Продолжая это обобщение, Л.А. Заде приходит к следующему определению. [3]

Определение 3.2.

Нечеткое множество есть множество типа n, , если значениями его функции принадлежности являются нечеткие множества типа . Функция принадлежности нечеткого множества типа 1 принимает значения из интервала [0,1].

Далее будем рассматривать нечеткие множества, соответствующие определению 3.1, т.е. по терминологии Заде нечеткие множества типа 1.

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция



и в соответствии с определением 3.1 обычное множество B можно также определить как совокупность пар вида . Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широкое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция принадлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произвольной функцией или даже произвольным отображением. [3]

Сравним обычное множество чисел и нечеткое множество чисел . Функции принадлежности этих множеств представлены на рис. 3.1. Заметим, что вид функции принадлежности нечеткого множества С зависит от смысла, вкладываемого в понятие "близко" в контексте анализируемой ситуации.

Рис. 3.1. Графики функций принадлежности

Нечеткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем множестве X, т.е.

.

Универсальное множество X также можно описать функцией принадлежности вида

.

Носителем нечеткого множества A (обозначение supp A) с функцией принадлежности называется множество (в обычном смысле) вида

supp A={x|x}.

Нечеткое множество A называется нормальным, если выполнено равенство

.

В противном случае нечеткое множество называется субнормальным.[4]

Пусть A и B - нечеткие множества в X, а и - их функции принадлежности соответственно. Говорят, что A включает в себя B (), если для любого выполнено неравенство . Множества A и B совпадают (эквивалентны), если при любом . Если нечеткие множества A и B таковы, что , то и

.

Пусть . Ясно, что , т.е. функции принадлежности этих множеств и должны удовлетворять неравенству при любом . Графически эти функции могут выглядеть, например, как показано на рис. 3.2. [3]



Рис. 3.2. Функции принадлежности множеств и

Операции над нечеткими множествами.

Определение 3.3.

Объединением нечетких множеств A и В в X называется множество с функцией принадлежности вида

.

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности - параметр семейства, то объединением множеств этого семейства является нечеткое множество с функцией принадлежности вида

.

Определение 3.3а.

Объединение нечетких множеств А и В в Х можно определить и через алгебраическую сумму их функций принадлежности:

Пусть нечеткие множества А и В в числовой оси описываются функциями принадлежности, показанными на рис. 3.3. Жирной линией показана функция принадлежности объединения этих множеств по определению 1.1.3.

Рис. 3.3. Функции принадлежности

Определение 3.4.

Пересечением нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

.

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности - параметр семейства, то пересечением множеств этого семейства является нечеткое множество с функцией принадлежности вида

.

Определение 3.4а.

Еще один способ определения пересечения нечетких множеств А и В - использование алгебраического произведения их функций принадлежности:

.

Полезным может оказаться следующее свойство носителей нечетких множеств:

Пусть функции принадлежности нечетких множеств А и В имеют вид, показанный на рис. 3.4. Жирной линией показана функция принадлежности пересечения множеств А и В по определению 3.4.

Рис. 3.4. Функции принадлежности нечетких множеств А и В

Определение 3.5.

Дополнением нечеткого множества А в Х называется нечеткое множество A` с функцией принадлежности вида

.

В отличие от обычных множеств, при таком определении дополнения, вообще говоря, следует

.

Пусть нечеткое множество А={множество чисел, гораздо больших нуля}, и пусть функция принадлежности этого множества имеет вид, показанный на рис. 3.5 (сплошная кривая). Тогда пунктирная линия на этом рисунке соответствует функции принадлежности дополнения A` множества А в множестве всех чисел. Словами множество A` можно описать как множество чисел, не являющихся гораздо большими нуля. [3]

Непустое пересечение множеств А и A` в этом примере представляет собой нечеткое множество числе, "гораздо больших нуля и одновременно не являющимися гораздо большими нуля". Непустота этого нечеткого множества отражает тот факт, что само понятие "быть гораздо большим" описано нечетко, вследствие чего некоторые числа могут с определенной степенью принадлежать одновременно и тому и другому множеству. В некотором смысле это пересечение можно рассматривать как нечеткую "границу" между множествами А и A`.

Рис. 3.5. Функция принадлежности множества А

Определение 3.6.

Разность множеств А и В в Х определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности вида

Определение 3.7.

Декартово произведение нечетких множеств в , , определяется как нечеткое множество А в декартовом произведении с функцией принадлежности вида

.

Определение 3.8.

Выпуклой комбинацией нечетких множеств в Х называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида

где .

Определение 3.9.

Операции концентрирования (CON) и растяжения (DIL) нечеткого множества А определяются следующим образом:

где .

Применение операции концентрирования к заданному нечеткому множеству означает уменьшение "нечеткости" этого множества. В реальной задаче это может означать поступление новой информации, позволяющей более точно описать данной нечеткое множество. Операция растяжения может применяться для моделирования ситуации, связанной с потерей информации.

Множества уровня и декомпозиция нечеткого множества.

Множеством уровня б нечеткого множества А в Х называется множество в обычном смысле, составленное из элементов , степени принадлежности которых нечеткому множеству А не меньше числа б. Если - множество уровня б нечеткого множества А, то

.

Пусть - множества уровня б объединения и пересечения нечетких множеств А и В, тогда справедливы связи

Если - множество уровня б декартова произведения нечетких множеств , то

,

т.е. множество уровня б декартова произведения представляет собой декартово произведение множеств уровня б рассматриваемых нечетких множеств. [3]

Множество уровня б любой выпуклой комбинации нечетких множеств содержит пересечение множеств уровня б всех этих множеств, т.е.

.

Удобно пользоваться разложением нечеткого множества по его множествам уровня:

,

где , а объединение нечетких множеств берется в соответствии с определением по всем б от 0 до 1. [3]

Пусть , а функция принадлежности нечеткого множества А в Х задана таблицей

х	0	1	2	3	4	5	6
	0	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1

Тогда для А можно выписать следующие множества уровня:

и представить нечеткое множество А в виде

3.2 Нечеткие отношения

Нечеткое отношение представляет собой важное математическое понятие, позволяющее формулировать и анализировать математические модели реальных задач принятий решений. Отношение на множестве альтернатив, объектов и т.п. в таких задачах выявляется обычно путем консультаций с лицом, принимающим решения (л.п.р.), или с экспертами, которые зачастую не имеют вполне четкого суждения об этом отношении. В подобных случаях нечеткое отношение может служить удобной и более адекватной реальности формой представления исходной информации, чем обычное отношение. [3]

Свойства обычных отношений и операции над ними.

Отношением R на множестве Х называется подмножество декартова произведения . В соответствии с этим определением задать отношение на множестве Х означает указать все пары элементов, такие, что связаны отношением R. Для обозначения того, что элементы x и y связаны отношением R, мы будем пользоваться двумя эквивалентными записями: или . [3]

Простым примером отношения может служить отношение "не меньше" на интервале [0,1]. На рис. 3.6. это отношение (т.е. все пары , связанные отношением) представлено заштрихованной областью. Отношению "равно" в этом примере соответствует показанная на рис. диагональ единичного квадрата. [4]

Рис. 3.6. Отношение "не меньше" на интервале [0,1]

Если множество X, на котором задано отношение R, конечно, то это отношение удобно описывать матрицей , представляющей собой характеристическую функцию множества . Элементы этой матрицы определяются следующим образом:

Отношение В включает в себя отношение А, если для соответствующих множеств выполнено .

Если А - отношение на множестве Х, то обратным к А отношением называется отношение А^-1 на Х такое, что тогда и только тогда, когда . Если - матрицы этих отношений (в случае конечного множества Х), то элементы этих матриц связаны соотношением , т.е. матрица А^-1 получается путем транспонирования матрицы А.

Дополнением отношения R на множестве Х называется множество, являющееся дополнением множества R в декартовом произведении . Матрица дополнения отношения R получается из матрицы отношения R путем замены нулевых элементов единичными, а единичных - нулевыми.

Произведение (композиция) отношений А и В на множестве Х определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда найдется элемент , для которого выполнены отношения . Элементы матриц отношений , А и В связаны соотношением

,

т.е. матрица отношения С равна максиминному произведению матриц отношений А и В (в максимином произведении матриц вместо арифметических операций сложения и умножения используются операции max и min соответственно).

Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого . В матрице рефлексивного отношения все элементы главной диагонали равны единице. Примером рефлексивного отношения может служить отношение R ( ? ) на множестве чисел.

Отношение R на Х называется антирефлексивным, если из того, что , следует . Все элементы главной диагонали матрицы такого отношения равны нулю.

Отношение R на Х называется симметричным, если из того, что , следует . Матрица симметричного отношения - симметричная, т.е. .

Отношение R на Х называется антисимметричным, если из того, что и , следует . Матрица такого отношения обладает следующим свойством: если , то .

Отношение R на Х называется транзитивным, если из того, что и , следует . Транзитивность отношения R эквивалентна условию или .

Транзитивным замыканием отношения R на Х называется отношение, полученное из R следующим образом:

Транзитивное замыкание можно неформально определить как "наименьшее" транзитивное отношение на Х, включающее в себя отношение R. Для любого отношения R его транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, содержащих R. R - транзитивное отношение тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим транзитивным замыканием, т.е. когда . [3]

Определение нечеткого отношения.

Определение 3.10.

Нечетким отношением R на множестве Х называется нечеткое подмножество декартова произведения , характеризующееся функцией принадлежности . Значение этой функции понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения .

Обычное отношение можно рассматривать как частный случай нечеткого, функция принадлежности которого принимает лишь значения 0 или 1.

Приведем пример, иллюстрирующий принципиальное различие обычных и нечетких отношений. Для этого лучше всего рассмотреть два "похожих" отношения на одном и том же интервале [0, 1], причем одно из этих отношений обычное (четкое), а другое нечеткое. В качестве обычного отношения возьмем отношение R ( ? ), а в качестве нечеткого отношения возьмем отношение (>>) ("много больше"). [3]

На приведенном рис. 3.7, а пары (x,y) из интервала [0, 1], связанные отношением R (т.е. x, y - такие, что ), образуют множество, показанное штриховкой. Диагональ единичного квадрата является границей этого множества: все пары (x, y), находящиеся за этой диагональю (вне штрихованной области), не связаны данным отношением.

В случае же отношения ситуация сложнее из-за того, что понятие "много больше" является нечетким. Пытаясь построить соответствующее отношению подмножество единичного квадрата, мы обнаружим, что в этом квадрате есть пары (x, y), которые мы определенно относим к подмножеству (т. е. считаем пары (x, y) связанными отношением ), и пары, которые мы считаем определенно не входящими в это подмножество (т. е. считаем не связанными отношением R). Так, например, можно считать, что определено много больше , т.е. .

С другой стороны, ясно, что для можно столь же определенно записать .

Однако подобной определенности нет в отношении, скажем, пары с парой ,

то можно сказать, что отношение (>>) в большей степени приложимо к паре , чем к паре . [3]

Таким образом, существует некоторая промежуточная область перехода от пар, для которых отношение (>>) определенно выполняется, к парам, для которых это отношение определенно не выполняется, причем парам (х, у) из этой области можно приписать степени выполнения данного отношения или субъективные оценки, зависящие от смысла, вкладываемого в понятие "много больше" в контексте той или иной ситуации.

Рис. 3.7. Пары (x,y) из интервала [0, 1], связанные отношением R

На рис. 3.7, б отсутствие четкой границы множества R показано изменением плотности штриховки. [3]

Если множество X, на котором задано нечеткое отношение R, конечно, то функция принадлежности этого отношения представляет собой квадратную матрицу. По смыслу эта матрицы аналогична матрице обычного отношения, но элементами ее могут быть не только числа 0 или 1, но и произвольные числа из интервала [0, 1]. Если элемент этой матрицы равен , то это означает, что степень выполнения отношения равна .

Носителем нечеткого отношения R на множестве Х называется подмножество декартова произведения вида

.

Носитель нечеткого отношения можно понимать как обычное отношение на множестве X, связывающее все пары (х, у), для которых степень выполнения данного нечеткого отношения не равна нулю. В случае конечного множества X матрицу носителя можно получить, заменив в матрице исходного нечеткого отношения единицами все ненулевые элементы. [3]

При анализе задач принятия решений с нечеткими отношениями удобно пользоваться множествами уровня нечеткого отношения. Поскольку нечеткое отношение определяется как нечеткое множество, то и его множества уровня определяются как

.

Нетрудно видеть, что множество уровня нечеткого отношения R на X представляет собой обычное отношение на X, связывающее все пары (х, у), для которых степень выполнения отношения R не меньше . Матрицу множества уровня можно получить, заменив в матрице нечеткого отношения R единицами все элементы, не меньшие числа , и нулями - все остальные элементы. [4]

Пример.

Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве имеет вид

Тогда матрица обычного отношения, являющегося множеством уровня 0,5 этого нечеткого отношения, выглядит так:

.

Операции над нечеткими отношениями.

Перейдем теперь к рассмотрению операций над нечеткими отношениями. Некоторые из этих операций являются аналогами соответствующих операций для обычных отношений, однако, как и в случае нечетких множеств, существуют операции, характерные лишь для нечетких отношений. Заметим, что так же, как и в случае нечетких множеств, операции объединения и пересечения нечетких отношений (и операцию произведения) можно определить различными способами. [4]

Пусть на множестве X заданы два нечетких отношения A и B, т.е. в декартовом произведении заданы два нечетких множества A и B. Нечеткие множества

называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В на множестве Х.

Для функции принадлежности получаем

Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для нечетких множеств А и В выполнено . Для функций принадлежности этих множеств неравенство выполняется при любых . В рассмотренном выше примере отношений ( ? ) и ( >> ) нечеткое отношение содержится в отношении R, т.е. должно быть для любых чисел .

Если R - нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение R, характеризующееся функцией принадлежности

,

называется дополнением в Х отношения R.

Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения. Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его дополнение R` (не лучше).

Обратное к R нечеткое отношение R^-1 на множестве Х определяется следующим образом:

или с помощью функций принадлежности:

.

Важное значение в прикладных задачах имеет произведение или композиция нечетких отношений. В отличие от обычных отношений, произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь мы приведем некоторые из возможных определений этой операции. [3]

Определение 3.11.

Максиминное произведение нечетких отношений А и В на множестве Х характеризуется функцией принадлежности вида

.

В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения равна максиминному произведению матриц отношений А и В, т.е. получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения обычных отношений.

Определение 3.11а.

Минимаксное произведение нечетких отношений А и В на Х определяется функцией принадлежности вида

Определение 3.11б.

Максимультипликативное произведение нечетких отношений А и В определяется функцией принадлежности

Для сравнения друг с другом введенных операций произведения приведем простой пример произведения отношений А и В на конечном множестве X, состоящем из двух элементов.

Пример.

Проекции нечетких отношений.

Выберем некоторое число y и рассмотрим множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что (рис. 3.8), т.е. множество вида .

Для фиксированного множество R(y) образовано всеми числами из интервала [0,1], не меньшими y. Объединение всех таких множеств по всем называется первой проекцией R⁽¹⁾ отношения R, т.е.

.

Множество R⁽¹⁾ обладает тем свойством, что для каждого его элемента x найдется элемент y , что (в данном примере ). [3]

Рис. 3.8. Множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что

Если аналогичным образом ввести множества вида

и взять их объединение по всем , то получим вторую проекцию R⁽²⁾ отношения R:

.

Для любого элемента найдется такой элемент , что (в данном примере ).

В приведенном примере первая и вторая проекции отношения R ( ? ) совпадают со всем интервалом [0, 1], т.е. . Более общий случай иллюстрирует рис. 3.9.



Рис. 3.9. Общий случай проекции

Легко проверить, что декартово произведение представляет собой наименьшее прямоугольное множество, содержащее R.

Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R - нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности . Для произвольного нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид , где y - фиксированный элемент множества X. Например, для нечеткого отношения R=(близко к), заданного на числовой оси, множество R(y) можно понимать как нечеткое множество чисел, близких к выбранному числу y.

Объединение нечетких множеств R(y) по всем называется первой проекцией R⁽¹⁾ нечеткого отношения R. [3]

Согласно определению операции объединения нечетких множеств функция принадлежности имеет вид

.

Если - декартово произведение первой и второй проекций нечеткого отношения R, то . Этот факт следует из определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств:



Пример.

Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве имеет вид

Тогда функции принадлежности первой и второй проекции этого отношения таковы: